Apuntes de Clases Finanzas II

Pontificia Universidad Católica de Chile, Escuela de Administración Apuntes de Clases Finanzas II (EAA-321A), Sección 11

Sebastián Cerda N.2 Marzo de 2009 (esta versión)

1 Este

es un borrador preliminar, por lo tanto agradeceré notificar toda clase de

errores. 2 e-mail de contacto: [email protected]

Contents Preface

ix

1 Retornos en Finanzas 1.1 Definiciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Retornos Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Retornos Continuamente Compuestos . . . . . . . . . . . . . . 2 La 2.1 2.2 2.3

Importancia del Arbitraje en Finanzas El Concepto de Arbitraje . . . . . . . . . . ¿Por Qué Importa el Arbitraje? . . . . . . Los Teoremas Básicos de Arbitraje . . . . 2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio . . . . . 2.3.2 El Principio de No Arbitraje . . . . 2.4 Ejemplos de Arbitraje . . . . . . . . . . . 2.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal 2.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados 2.5 Estrategias de Arbitraje . . . . . . . . . .

3 Renta Fija 3.1 Algunas Definiciones de Utilidad . . . 3.2 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente 3.4 Tasa Interna de Retorno (TIR) . . . 3.5 Tasas de Interés Forward . . . . . . . 3.6 Retornos de Inversión en Bonos . . . 3.7 La Curva de Rendimientos . . . . . . 3.8 La Curva de Tasas Forward . . . . . 3.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos . v

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1 1 3 3

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7 7 7 8 8 8 9 9 10 10

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13 13 14 14 15 16 18 19 20 21

vi

CONTENTS 3.10 Duración y Convexidad . . . . . . . 3.10.1 Duración . . . . . . . . . . . 3.10.2 Convexidad . . . . . . . . . 3.11 Inmunización . . . . . . . . . . . . 3.12 Estrategias de Arbitraje con Bonos

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4 Decisiones de Inversión Bajo Incertidumbre 4.1 El Enfoque de la Utilidad Esperada . . . . . . . 4.2 Algunas Definiciones de Utilidad . . . . . . . . . 4.2.1 Equivalente Cierto . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Prima Por Riesgo . . . . . . . . . . . . . 4.3 Grados de Aversión al Riesgo . . . . . . . . . . 4.4 Preferencias en el Espacio de Media y Varianza

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5 Valorización de Activos Bajo Incertidumbre 5.1 Correcciones por Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 ¿Qué determina el precio de mercado del riesgo (λm ), común a todos los activos? . . . . . . . . . .¡ . . ¢. . . . . . . . . . . 5.3 ¿Qué determina la cantidad de riesgo β i,m , individual a cada activo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Un Ejemplo de Valorización: La Tasa Libre de Riesgo . . . . 6 Combinaciones de Activos 6.1 El Caso de 2 Activos Financieros . 6.1.1 Sin Venta Corta de Activos 6.1.2 Con Venta Corta de Activos 6.2 Extensión a N Activos . . . . . . . 7 La 7.1 7.2 7.3 7.4

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Frontera Eficiente El Concepto de Diversificación de Activos . . . . . . . . . . Caracterización Gráfica de la Frontera Eficiente . . . . . . . Propiedades de la Frontera Eficiente . . . . . . . . . . . . . . Una Explicación Intuitiva a las Propiedades de la Frontera Eficiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Portafolios de Mínima Varianza y Representación Beta . . .

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22 24 26 27 27

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29 31 34 34 35 35 36

41 . 43 . 44 . 47 . 49

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51 51 52 57 59

63 . 63 . 65 . 66 . 71 . 73

8 Equilibrio de Mercado 77 8.1 La Definición de Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . 78

vii

CONTENTS 8.2 8.3 8.4 8.5

El Portafolio de Mercado y el Equilibrio de Mercado . . . . . El CAPM como Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . El CAPM cuando Existe un Activo Libre de Riesgo . . . . . El CAPM a Partir de Una Representación de Factor de Descuento Estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Una Aplicación del Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . 8.6.1 El Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.2 Preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.3 Equilibrio de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.4 El Equilibrio Gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.5 El Equilibrio Algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 La Línea del Mercado de Capitales y la Línea de Mercado de los Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 79 . 82 . 83 . . . . . . .

84 84 85 86 87 88 89

. 90

9 El Modelo de Mercado, CAPM y Riesgos Financieros 9.1 El Modelo de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 CAPM y Modelo de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Riesgos Financieros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93 93 94 95

10 Limitaciones del CAPM 97 10.1 La Crítica de Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.2 Set de Posibilidades de Inversión No es Estable en el Tiempo . 98 10.2.1 El CAPM Intertemporal (ICAPM) . . . . . . . . . . . 99 10.2.2 El ICAPM desde una representación de Factor de Descuento Estocástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 10.2.3 La Frontera Eficiente de Media y Varianza Siempre Existe103 10.3 Los Resultados de Fama y French . . . . . . . . . . . . . . . . 104 10.4 El APT como Explicación Alternativa a los Resultados de Fama-French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.5 Críticas al APT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 11 Eficiencia del Mercado de Capitales 11.1 Algunas Definiciones de Utilidad . . . . . . 11.2 Eficiencia de Mercado . . . . . . . . . . . . 11.3 Hipótesis de Formación de Expectativas . 11.3.1 Retornos Esperados son Positivos . 11.3.2 Retornos Esperados son Constantes

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111 . 111 . 112 . 113 . 113 . 114

viii

CONTENTS 11.3.3 Retornos Esperados se Mueven en una Relación RiesgoRetorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 11.4 Categorías de Eficiencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . 115

12 Derivados Financieros (1): Forwards y Futuro 117 12.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 12.2 El Perfil de Riesgo de un Contrato Forward . . . . . . . . . . 118 12.3 El Precio de un Contrato Forward . . . . . . . . . . . . . . . . 119 12.4 El Precio Forward con Costos Alternativos ("Convenience Yield") Para el Activo Subyacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 12.4.1 Precio Forward con un pago de dividendo antes del vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 12.4.2 Precio Forward con dos pagos de dividendo antes del vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 12.4.3 Precio Forward con un pago de dividendo por periodo antes del vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 12.4.4 Precio Forward con un continuo de dividendo pago de dividendo antes del vencimiento . . . . . . . . . . . . . 124 12.5 Contratos Forward de Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 12.6 Contratos Forward como Estrategias Especulativas . . . . . . 125 12.7 Contratos Forward como Estrategia de Cobertura . . . . . . . 126 12.7.1 Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 13 Derivados Financieros (2): Opciones Financieras 129 13.1 Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 13.2 El Perfil de Riesgo de Las Opciones . . . . . . . . . . . . . . . 129 13.3 Algunas Consideraciones Sobre Opciones Financieras . . . . . 132 13.4 Estrategias de Inversión Especulativas con Opciones . . . . . . 133 13.5 Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 13.5.1 Bull Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 13.5.2 Bear Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 13.5.3 Butterfly Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 13.6 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 13.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . 137 13.8 La Paridad Put-Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 13.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Opciones antes del Vencimiento138 13.10Valoración de Opciones por Método de Arboles Binomiales: 1 período al vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

CONTENTS

ix

13.11Método de Arboles Binomiales: 2 períodos al vencimiento . . . 142 13.12La Formula de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 14 Finanzas Corporativas (1): Estructura de Capital 147 14.1 La Irrelevancia de la Estructura de Capital: El Teorema de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 14.1.1 Alguna Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 14.1.2 Supuestos de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . 148 14.1.3 Proposicion I de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 149 14.1.4 Proposicion II de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 150 14.1.5 La importancia de Modigliani y Miller . . . . . . . . . 150 14.2 Impuestos a las Empresas y Estructura de Capital . . . . . . . 151 14.2.1 Beneficio Tributario de la Deuda . . . . . . . . . . . . 151 14.3 Impuestos Personales y Estructura de Capital . . . . . . . . . 152 14.3.1 Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Impuestos Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 14.4 La Deuda Como Fuente de Destrucción de Valor . . . . . . . . 157 14.4.1 Existencia de Costos Reales por Problemas Financieros 158 14.4.2 Problemas de Agencia: La Deuda Como Incentivo a Elegir Malos Proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 15 Finanzas Corporativas (2): Política de Dividendos 163 15.1 La Irrelevancia de la Política de Dividendos: Modigliani-Miller 163 15.2 Los Inversionistas Tienen Preferencia por Firmas que Pagan Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 15.3 La Desventaja Tributaria de los Dividendos . . . . . . . . . . 166 15.3.1 El Modelo de Elton y Gruber . . . . . . . . . . . . . . 166 15.4 La Existencia de Costos de Transacción . . . . . . . . . . . . . 167 15.5 La Teoría de Clientelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 15.6 La Teoría de Información de la Politica de Dividendos . . . . . 168 15.7 Existencia de Problemas de Agencia . . . . . . . . . . . . . . . 168 15.8 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Preface El objetivo de estas notas de clases son exponer conceptos básicos en finanzas desde una perspectiva que sea consistente con el esquema docente definido en el programa del curso. En estas notas no se pretende ser creativo en la presentación de los tópicos de estudio. Por el contrario, las demostraciones y ejemplos númericos aquí contenidos son estándares para cualquier buen libro en finanzas. De esta forma, la idea es que se complementen estas notas de estudios con un buen libro de texto para lograr una mejor comprensión del plan de estudios para este semestre.

ix

Chapter 1 Retornos en Finanzas Lo relevante en este curso es entender conceptos. No es necesario que memorice estas fórmulas. Si no entiende algún concepto durante este curso, siempre puede inventar su propia notación. Eso no lo pejudicará en terminos de nota. No obstante, por claridad de presentación de estas notas de clases me parece importante partir definiendo cierta notación que utilizaré durante todo el transcurso del semestre. El retorno de un activo es un concepto intertemporal en el sentido que computa la diferencia entre lo invertido y lo recibido en dos períodos distintos de tiempo. Por eso muchas veces es necesario, explícitamente, introducir el tiempo en nuestras definiciones. Utilizaré los subíndices para referirme al tiempo. Por ejemplo, el precio de un activo al cierre de 2005 es P2005 . El precio del activo en el período t es Pt , mientras que la tasa de interés en ese mismo período es Rt . El período corriente (hoy) será definido por t = 0.

1.1

Definiciones Básicas

Definition 1 El Retorno Bruto de un activo es: Rt+1 =

valor en $ recibidost+1 . valor en $ pagadost

En el caso de una acción que paga dividendos, el retorno bruto es, Rt+1 =

Pt+1 +Dt+1 . Pt

R es un número alrededor de 1 (por ejemplo 1,10).

Definition 2 El Retorno Neto de un activo es: rt+1 = Rt+1 − 1. Definition 3 El Retorno Porcentual de un activo es: 100 × rt+1 . 1

2

CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS

Definition 4 El Retorno Continuo de un activo es: rt = ln Rt . Por ejemplo, ln (1.10) = 0.09531 = 9.531%. real Definition 5 El Retorno Real de un activo es: Rt+1 =

cantidad de bienes recibidost+1 . cantidad de bienes pagados t

Definition 6 El Indice de Precios al Consumidor (IPC) es IP Ct ≡ Definition 7 La Tasa de Inflación Bruta es Πt+1 ≡

valor en $ de los bienest . cantidad de bienest

IP Ct+1 . IP Ct

De tal forma, es posible definir el retorno real como:

=

valor en $ de los bienest+1 ·

real = Rt+1

valor en $ de los bienest+1 ·

real Rt+1

real Rt+1 real Rt+1

valor en $ de los bienest ·

valor en $ de los bienest · IP Ct nominal = Rt+1 · IP Ct+1 nominal R = t+1 Πt+1

bienes recibidost+1 valor en $ de los bienest+1 bienes pagadost valor en $ de los bienest 1 IP Ct+1 1 IP Ct

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

En otras palabras, el retorno real bruto es el retorno nominal bruto divido por la tasa de inflación bruta. En términos de retornos continuos, tenemos que: ¡ real ¢ ¡ nominal ¢ ln Rt+1 (1.5) = ln Rt+1 − ln (Πt+1 )

Para bajas tasas de inflación neta, la siguiente es una buena aproximación a la tasa de retorno real bruta: ¢ ¡ nominal nominal 1 + rt+1 Rt+1 nominal = ≈ 1 + rt+1 − π t+1 (1.6) Πt+1 1 + π t+1

Es posible utilizar exactamente la misma idea para computar los retornos brutos en pesos de inversiones en otras monedas. Defina el retorno bruto en bienes en USD t+1 USD dólares (USD) de una inversión como Rt+1 = valor . El tipo valor bienes en USD t

3

1.2 RETORNOS COMPUESTOS $/U SD

valor bienes en $t = valor . Por lo de cambio pesos por dólar se define como et bienes en USD t tanto, el retorno en bruto en pesos de tal inversión es $ Rt+1

valor bienes en $t+1 valor bienes en USDt+1 = = · valor bienes en $t valor bienes en USDt

valor bienes en $t+1 valor bienes en USD t+1 valor bienes en $t valor bienes en USD t

(1.7) $/U SD

$ U SD = Rt+1 · Rt+1

1.2

et+1

$/U SD

et

(1.8)

Retornos Compuestos

¿Cuál es el pago total de una inversión de $1 por 10 períodos en un instrumento que promete pagar 10% por período? La respuesta es más que $2. En la medida que es necesario computar los intereses sobre los intereses ya capitalizados, la respuesta correcta es el retorno compuesto. Defina Vt como el valor de la inversión en el periodo t. Por lo tanto, tenemos que: V1 = R · V0 = (1 + r) V0 V2 = R2 · V0 VT = RT · V0

(1.9) (1.10) (1.11)

RT es lo que tradicionalmente se conoce como el Retorno Compuesto.

1.3

Retornos Continuamente Compuestos

Hay ciertas propiedades de los retornos continuamente compuestos que hacen agradable trabajar con ellos. • El retorno continuamente compuesto a T períodos plazo es T veces el retorno continuamente compuesto de un período. ln V1 = ln R + ln V0 ln VT = T ln R + ln V0

(1.12) (1.13)

• Si las tasas de retornos no son constantes, entonces el retorno bruto a T períodos plazo es R1 R2 . . . RT tal que ln (R1 R2 . . . RT ) = ln (R1 ) + ln (R2 ) + . . . + ln (RT )

(1.14)

4

CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS • Los retornos continuamente compuestos son convenientes también porque permiten computar de manera más simple retornos reales o retornos convertidos desde otras monedas: ¡ ¢ ¡ ¢ Rnominal Rreal = ⇒ ln Rreal = ln Rnominal − ln Π (1.15) Π

En este punto, resulta clarificador una ilustración de la intuición detrás de los retornos continuamente compuestos. Suponga la existencia de un bono que paga 10% y capitaliza sus intereses semestralmente. Cada 6 meses se realiza un pago de interés por 5%. El retorno bruto anual de tal bono es: compuesto semestral: (1.05) (1.05) = 1.1025 = 10.25%

(1.16)

¿Qué ocurre ahora si la capitalización es trimestral? compuesto trimestral: (1.025)4 = 1.1038 = 10.38%

(1.17)

Es posible generalizar esta idea, tal que ³ r Ń (1.18) 1+ N Incluso es posible llevar este argumento al extremo para un instrumento que capitaliza intereses infinitas veces por período. Esa es la tasa de retorno continuamente compuesta: ³ r Ń 1 1 3 r + . . . = er = 1 + r + r2 + (1.19) lim 1 + N→∞ N 2 2×3 Por lo tanto, si R = er es la tasa de retorno bruta por período, entonces podemos computar la tasa de retorno continuamente compuesta como: compuesto N veces:

r = ln R

(1.20)

A modo de ejemplo, un retorno de 10% anual continuamente compuesto es exactamente equivalente a una tasa de retorno bruto compuesto anual de e0.10 = 1.1051709. O lo que es lo mismo una tasa de retorno neto compuesta anual por 10.51709% es equivalente a un retorno anual continuamente compuesta por 10%. A CADA TASA DE RETORNO COMPUESTA N VECES POR PERIODO LE CORRESPONDE EXACTAMENTE UNA TASA DE RETORNO CONTINUAMENTE COMPUESTA. Un pequeño ejemplo númerico puede llevar a clarificar esto un poco más.

1.3 RETORNOS CONTINUAMENTE COMPUESTOS

5

1. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que paga la tasa bruta de R compuesta semestralmente? ¡ ¢2×3 Definiendo r = R − 1, tenemos que el retorno en 3 años es 1 + 2r .

2. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que promete pagar una tasa de retorno anual continuamente compuesto por rcc ? cc

Ese retorno es simplemente e3×r . Si la tasa de retorno fuera definida como semestral continuamente compuesta, entonces la respuesta sería cc e2×3×r .

Chapter 2 La Importancia del Arbitraje en Finanzas 2.1

El Concepto de Arbitraje

El concepto de arbitraje es un concepto muy vago al cual se hace recurrente referencia entre aquellos que observan el mercado financiero. No obstante, cuesta encontrar una definición precisa de este concepto. ¿Qué son las oportunidades de arbitraje en finanzas? Es una idea muy simple, pero muy potente. Siempre que el precio de un activo financiero esté mal colocado por el mercado, surge una oportunidad de arbitraje con respecto al activo que tiene el precio errado. Una oportunidad de arbitraje es siempre libre de riesgo. Eso quiere decir que la ganancia se puede hacer por completo en el período corriente. Si la estrategia de inversión tiene riesgo, eso ya no es arbitraje es simplemente especulación.

2.2

¿Por Qué Importa el Arbitraje?

Si usted es un operador de mercado, obviamente toda oportunidad de arbitraje le interesa porque es una forma de ganar dinero sin riesgo. En nuestro caso, el arbitraje nos interesa por un interés netamente académico. El asumir que no existen oportunidades de arbitraje en el mercado significa que todos los activos financieros están valorizados correctamente. Los activos financieros son paquetes de promesas de pago. Una acción promete pagar un flujo de dividendos. Un bono promete pagar un flujo de intereses y capital. 7

8CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS Los derivados financieros son formas más complejas de armar paquetes de flujos de caja sobre acciones, bonos, tipo de cambio, etc. En cualquier caso, si no existen oportunidades de arbitraje y el costo de armar paquetes de activos financieros es cero1 , entonces el asumir no arbitraje es una manera muy simple de valorizar cualquier activo financiero.

2.3

Los Teoremas Básicos de Arbitraje

Dado que como veremos más adelante, el arbitraje es un concepto tanto intertemporal (en el tiempo) como entre distintas realizaciones posibles de los estados de la naturaleza, conviene ser un poco más riguroso en la definición del arbitraje. Existen dos teoremas fundamentales en finanzas acerca del arbitraje.

2.3.1

La Ley de Un Sólo Precio

Si dos activos prometen los mismos flujos de caja (en cada estado de la naturaleza) deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, significa a todo evento y no en valor esperado. Una violación de la ley de un solo precio equivale a la existencia de una oportunidad de arbitraje. ¿Por qué razon se podría violar este teorema? Hay variadas razones para ello, por ejemplo que los inversionistas sean irracionales, esto es que pongan mal los precios de los activos que compran. Una segunda razón que se me viene a la cabeza es que el costo marginal de armar activos financieros sea distinto de cero. Una de las razones que se aduce para explicar la "burbuja" especulativa del Nasdaq en el año 2001 es que, a pesar de que el mercado intuía que esas acciones no valían su precio, no era posible (por razones regulatorias) armar paquetes de activos que apuntaran a la caída de precio de esas acciones, y que por tanto arbitraran precios claramente sobrevalorados.

2.3.2

El Principio de No Arbitraje

Si el pago (a todo evento) del activo A es mayor o igual al pago (a todo evento) del activo B (esto es, en todos los períodos y estados posibles de la naturaleza, el activo A paga lo mismo que B pero en al menos un estado o 1

Este no es un mal supuesto. Piense, cual es el costo marginal de producir una unidad fisica de un bono, una accion? Solo el valor del papel utilizado para tal fin.

9

2.4 EJEMPLOS DE ARBITRAJE

período paga más), entonces de manera cierta el precio del activo A debe ser mayor al precio del activo B.

2.4

Ejemplos de Arbitraje

La noción de arbitraje resulta más didáctica por la vía de un par de ejemplos. Como estándar de notacion, definiremos t = 0 . . . T como los períodos futuros en el tiempo y s = 0 . . . S como los posibles estados de la naturaleza. De esta forma, nos referiremos a Xst como el pago prometido por el activo X en el estado s durante el período t.

2.4.1

Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal

Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0 . . . 2. El activo X paga X1 en t = 1, el activo Y paga Y2 en t = 2 y el activo Z paga X1 en t = 1 e Y2 en t = 2. p (.) es el precio del activo en t = 0.

Activo

t=0

t=1

t=2

X

p (X)

+X1

0

Y

p (Y )

0

+Y2

Z

p (Z)

+X1

+Y2

Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y ) − p (Z) > 0 X1 − X1 = 0

0

Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z) − p (X) − p (Y ) > 0

0

0

Por ley de un sólo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X) + p (Y ) = p (Z). Ahora bien, ¿qué ocurre si la ley de un sólo precio no se cumple, p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puede ejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia de arbitraje sería comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Corresponde la estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).

10CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS

2.4.2

Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Naturaleza

Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0, 1 y s = 1, 2. El activo X paga X11 en t = 1 y s = 1, el activo Y paga Y21 en t = 1 y s = 2 y el activo Z paga X11 en t = 1 y s = 1 y Y21 en t = 1 y s = 2. Activo

t=0

t=1 s=1

s=2

X

p (X)

+X1

0

Y

p (Y )

0

+Y2

Z

p (Z)

+X1

+Y2

Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z) p (X) + p (Y ) − p (Z) > 0 X1 − X1 = 0

0

Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z) − p (X) − p (Y ) > 0

0

0

Por ley de un solo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X) + p (Y ) = p (Z). Ahora bien, que ocurre si la ley de un solo precio no se cumple, p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puede ejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia de arbitraje seria comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Corresponde la estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).

2.5

Estrategias de Arbitraje

Independiente de los flujos de caja de los activos (o paquetes de activos), las estrategias de arbitraje siempre se construyen iguales: (1) corresponde ver si se viola la ley de un sólo precio para combinaciones de activos, (2) si se viola la ley de un sólo precio corresponde arbitrarla, (3) la estrategia de arbitraje equivale a, de acuerdo a la ley de un sólo precio, vender el activo caro y comprar el activo barato, (4) la cantidad de activo que se compre o venda corresponde a la combinación de activos que haga todos los flujos de caja en t = 1 . . . T y s = 1 . . . S sea igual a cero excepto por el flujo de caja corriente (en t = 0) que debe ser siempre positivo. Aquí está la clave para hacerse rico invirtiendo en activos financieros: COMPRAR BARATO Y VENDER CARO. Hasta ahora no se ha encontrado

2.5 ESTRATEGIAS DE ARBITRAJE

11

otra forma para ganar sin riesgo. Cualquier otro tipo de estrategia es pura y exclusiva especulación financiera.

Chapter 3 Renta Fija Por renta fija nos referiremos al caso de instrumentos financieros que prometen el pago de flujos futuros no aleatorios. Esto no quiere decir que el precio de esos activos no tenga riesgo. Las tasas de descuento de tales flujos pueden ser variables, asi como la probabilidad de pago de los flujos prometidos. Lo estándar es denominar Renta Fija a toda inversión en Bonos.

3.1

Algunas Definiciones de Utilidad

En general, los Bonos se clasifican de acuerdo a su estructura de pagos. Existen 3 grandes categorías de bonos:

1. Bono Cero Cupón. Estos bonos efectuan un único pago a su vencimiento que incluye tanto principal como intereses. 2. Bono "Bullet". Estos bonos pagan cupones periódicos que incluyen solo el pago de intereses. El principal de un bono "bullet" se paga por completo al vencimiento del instrumento. 3. Anualidades. Bono con Cupones. Estos bonos pagan cupones periódicos por montos iguales que incluyen tanto el pago de intereses como la amortización de parte del principal. 13

14

CHAPTER 3 RENTA FIJA

3.2

Notación

Necesitamos distinguir bonos de distinta madurez. Para esto, utilizaremos la siguiente notación: P (3) es el precio de un bono cero cupón que vence en 3 años. Las variables en minúsculas (ejemplo, p(3) ) corresponden al logaritmo natural de la variable en mayúscula.

3.3

Precios de Bonos Vía Valor Presente

Comenzaremos este capitulo ignorando cualquier fuente de incertidumbre. De esta forma, asumiremos que tanto los flujos futuros de caja como las tasas de interés son conocidos ex-ante. Introducir incertidumbre hace el análisis un poco más complejo pero las conclusiones relevantes no cambian dramáticamente. El truco para valorizar bonos está en entender que cualquier tipo de bono puede ser generado como una combinación de otros bonos. El resto es trivial: La Ley de un Sólo Precio. Un conjunto de bonos cero cupón, bonos "bullet" y bonos con cupones es lo mismo que una secuencia de tasas de interés futuras. Para encontrar el precio de cualquier categoría de bono basta en saber como empaquetar ese bono en función de bonos de los cuales usted ya conozca su precio. Un bono otorga un derecho a recibir una secuencia de flujos de caja {F1 , F2 , . . . , FN }. Como cualquier activo financiero, un bono debe valorizarse por valor presente, N X Fj P = (3.1) R1 R2 R3 · · · Rj j=1 donde R1 es la tasa de interés entre 0 y 1, R2 es la tasa de interés entre 1 y 2, etc. Obviamente, entendemos R = 1 + r, donde r es la tasa de interés tal como la observamos normalmente. El problema con valorizar bonos vía valor presente es donde encontrar las tasas de interés relevantes. Hay 3 opciones para esto último: 1. Utilizar las tasas de interés de los bancos. El problema es ¿cuál es esa tasa?, ¿la de depósitos o de créditos, ¿de qué banco? Esto, en realidad, sólo ocurre en los libros de texto.

3.4 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

15

2. Utilizar el precio de mercado de los bonos cero cupón para encontrar esas tasas de interés. Suponga, por ejemplo, que usted tiene el precio de bonos cero cupón a 2 períodos plazo. P (1) = R11 y P (2) = R11R2 . Basta con conocer P (1) y P (2) para encontrar R1 y R2 . Hay una propiedad interesante acerca de los bonos cero cupón: todo bono puede ser valorizado como una combinacion de bonos cero cupón. El precio de un bono cero cupón a N períodos plazo. P (N) =

1 R1 R2 R3 · · · RN

(3.2)

Combinando las ecuaciones (3.1) y (3.2), se obtiene la siguiente expresión para el valor de un bono: P =

N X j=1

P (j) · Fj

(3.3)

3. Utilizar el precio de mercado de bonos con cupones para encontrar esas tasas de interés. Suponga que usted conoce el precio de 2 bonos con cupones (P 0 y P 00 ) con la siguiente estructura de pago: bono 1 {F10 , F20 } F0 F0 F 00 F 00 y bono 2 {F100 , F200 }, tal que P 0 = R11 + R1 R2 2 y P 00 = R11 + R12R2 . Estas son 2 ecuaciones y 2 incógnitas que usted puede resolver rápidamente para encontrar R1 y R2 .

3.4

Tasa Interna de Retorno (TIR)

Definition 8 Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa de interés ANUAL, FICTICIA, CONSTANTE Y, CONOCIDA que, dado el precio de mercado del bono en cuestión, resuelve la ecuacion de valor presente neto (VPN=0). Esta definición asume que el bono se paga a todo evento, i.e. no existe la cesación de pagos. A partir de esta definición, podemos ver que la TIR de un bono cero cupón es el número Y (N) que satisface P (N ) =

1 N

[Y (N) ]

(3.4)

16

CHAPTER 3 RENTA FIJA Por lo tanto, Y (N) = ln Y (N) y (N)

1 1

[P (N) ] N 1 = − ln P (N) N 1 = − p(N) N

(3.5) (3.6) (3.7)

Por su parte, la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisface la siguiente ecuación: N X Fj P = (3.8) j Y j=1 En general, dado el precio (P ) y el flujo de caja (Fj ), usted tiene que encontrar el valor de Y que resuelve esta ecuación. En la medida que todos los flujos de caja sean positivos, Fj ≥ 0, la solución a este problema es relativamente simple. Lo importante es que rentenga lo siguiente: • La TIR es sólo una forma muy simple de presentar los precios de distintos bonos. • Al utilizar TIR no hemos ningún tipo de supuestos, tales como que las tasas de interés sean conocidas, constantes o que los flujos de caja estén libres de riesgo de no pago. • EXCEPTO PARA EL CASO DE UN BONO CERO CUPON A UN PERIODO PLAZO, LA YIELD DE UN BONO NO ES LA TASA DE INTERES EFECTIVA DE MERCADO.

3.5

Tasas de Interés Forward

Otra particularidad del precio de los bonos cero cupón es que permiten identificar expectativas implícitas de tasas de interes futuras. La definición del precio de un bono cero cupón a N períodos plazo es P (N ) =

1 R1 R2 R3 · · · RN

(3.9)

17

3.5 TASAS DE INTERÉS FORWARD

De lo cual se deriva la siguiente definición de una tasa de interés forward RN+1 =

P (N) P (N+1)

(3.10)

Definition 9 Tasa de Interés Forward es la tasa de interés a la cual es posible contratar hoy un depósito (crédito) que se hará efectivo a comienzos del periodo N y será liquidado durante el período N + 1. La intuición es muy simple. Usted siempre puede sintetizar un contrato forward a partir de la gama completa de bonos cero cupón. Suponga que usted compra una unidad de bono cero cupón a N períodos plazo y simultáneamente vende una cantidad x de bonos cero cupón a N + 1 períodos plazo al vencimiento. La siguiente tabla muestra los flujos netos de tal operación: Operación

t=0

t=N

t=N +1

Compra 1 unidad de Cero a N

−P (N)

+1

0

Venta de x unidades de Cero a N + 1

+xP (N+1)

0

−x

Flujo de Caja Neto

xP (N+1) − P (N)

1

−x

Seleccione un valor x tal que el flujo de caja en t = 0 sea igual a cero: x=

P (N) P (N+1)

(3.11)

Piense en los resultado de esta operación: los flujos en t = 0 fueron nulos, en t = N se obtuvieron flujos positivos por 1, y finalmente en t = N + 1 se (N ) debera realizar un egreso de caja por PP(N +1) . En otras palabras, acabamos de sintetizar un contrato (firmado hoy en t = 0) para conseguir un crédito en t = N que se pagará en t = N + 1. Eso es exactamente una operación forward, donde la tasa forward en tal contrato entre N y N + 1 es P (N) P (N +1) = ln P (N) − ln P (N+1) = p(N) − p(N+1)

FN→N+1 = ln FN→N+1 fN→N+1

(3.12) (3.13) (3.14)

Algunas aclaraciones importantes sobre las tasas de interés forward:

18

CHAPTER 3 RENTA FIJA 1. Las tasas de interés forward son importantes porque permiten endeudarse en el futuro. Si usted tiene un proyecto pero la inversión no la efectuará hasta dentro de varios períodos quizás le interese tomar un contrato forward para endeudarse en el futuro cuando requiere los recursos para invertir. 2. LAS TASAS DE INTERES FORWARD NO SON LAS TASAS DE INTERES FUTURAS. SON LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LA INFORMACION DISPONIBLE. EN EL FUTURO PUEDEN PASAR MUCHAS COSAS (COMO QUE POR EJEMPLO EL BANCO CENTRAL SUBA LAS TASAS DE INTERES). 3. Dado lo anterior si usted tiene una visión distinta del mercado acerca de la evolución futura de las tasas de interés, entonces usted puede especular contra las tasas de interés forward para ganarle al mercado. Pero esta es una apuesta con riesgo, porque en principio no hay ninguna razón para creer que usted sabe más que el mercado.

3.6

Retornos de Inversión en Bonos

En el caso de bonos cero cupón, el retorno de inversión antes de vencimiento es muy simple. Si usted compra un bono cero cupón con N al vencimiento y lo vende en N + 1 cuando a este bono sólo le quedan N − 1 períodos al vencimiento, la rentabilidad es: (N−1)

1+

(N) rbt+1 (N)

rbt+1

=

Pt+1

(N)

Pt ´ ³ (N) (N−1) (N) ≈ ln 1 + rbt+1 = ln Pt+1 − ln Pt

(3.15) (3.16)

Excepto para el caso de los bonos cero cupón con un período al vencimiento, este retorno no es un valor conocido ex-ante. En el caso de los bonos cero cupón a un período plazo, tenemos que estos cumplen una muy interesante propiedad: (1)

(1)

1 + rbt+1 = R0,t = Yt

=

1 (1)

Pt

(3.17)

19

3.7 LA CURVA DE RENDIMIENTOS

Para el resto de los bonos con cupones, la rentabilidad de la inversión en bonos es un poco más complicada. Pt+1 Pt ≈ ln (1 + rbt+1 ) = ln Yt + ln Pt+1 − ln Pt ≈ yt + pt+1 − pt

1 + rbt+1 = Yt rbt+1 rbt+1

3.7

(3.18) (3.19) (3.20)

La Curva de Rendimientos

La curva de rendimientos es un gráfico que vincula la TIR de bonos cero cupón y su plazo N al vencimiento. 6% 5%

TIR

4% 3% 2% 1% 0% 0

2

4

6

8

10

N

Suponga que usted conoce la evolución futura de las tasas de interés a un período plazo (o de lo que es lo mismo, las TIR de los futuros cero cupón a un período plazo). La fórmula del valor presente para un cero cupón con N períodos al vencimiento es ! ¶ Ã µ 1 1 1 1 1 1 (N ) (3.21) = P0 = ··· · · · (1) (1) (1) R1 R2 RN Y1 Y2 YN Sustuyendo la definición de TIR para un bono cero cupón, P (N) =

1 N

[Y (N ) ]

,

20


en la ecuación (3.21) se obtiene (N ) Y0

´1 ³ (1) (1) (1) (1) N = Y1 Y2 Y3 . . . YN

(3.22)

De acuerdo a (3.22), la TIR de un bono cero cupón con N períodos al vencimiento es el promedio geométrico de todas las futuras tasas de interés a un período plazo desde hoy hasta el período N. Aplicando logaritmos sobre la expresión (3.22), se obtiene que (N)

y0

=

´ 1 ³ (1) (1) (1) (1) y1 + y2 + y3 · · · + yN N

(3.23)

El logaritmo natural de la TIR de un bono cero cupón con N períodos al vencimiento es el promedio aritmético del logaritmo natural de todas las futuras tasas de interés a un período plazo desde hoy hasta el período N. Las relaciones (3.22) y (3.23) son formas alternativas de entender la ley de un sólo precio. El lado izquierdo y derecho de ambas expresiones presentan dos formas distintas de obtener un peso en N períodos mas. El lado izquierdo se obtiene de adquirir un bono cero cupón a N períodos, mientras que el lado derecho viene de invertir en bonos cero cupón de un período plazo durante los próximos N períodos. La ley de un sólo precio nos indica que para evitar la existencia de oportunidades de arbitraje, ambas alternativas deben costar exactamente lo mismo.

3.8

La Curva de Tasas Forward

La curva de tasas forward es un gráfico que vincula las tasas forward y el período N en que se espera esta tasa. Suponga que efectivamente conocieramos la evolución futura de las tasas de interés. En términos de arbitraje, esto implica que Tasa de Interés Forward = Tasa de Interés Spot Futura F (N) = RN→N+1

(3.24) (3.25)

¿Cuál es la intuición de esto? Simple y puro arbitraje. Si la tasa de interés forward fuera más baja que la tasa de interés spot futura, entonces los inversionistas se endeudarían hoy a la tasa forward y prestarían en el futuro a tasa spot, generando una ganancia libre de riesgo.

21

3.9 NO ARBITRAJE EN RETORNOS DE BONOS

Una particularidad relevante de las tasas de interés forward es que estas se encuentran implícitas dentro de la curva de rendimientos. Para entender esto, es necesario volver a la ecuación (3.25) F (1) = R1→2

(3.26)

Utilizando la definición de tasas de interés forward en la ecuación (3.12), (1) F = PP (2) , se obtiene que (1)

P (1) = R1→2 P (2)

(3.27)

Sustituyendo las siguientes definiciones, R0→1 = la ecuación (3.27), se obtiene £ (2) ¤2 = R0→1 R1→2 Y

Y (2) = [R0→1 R1→2 ]

1 P (1)

y Y (2) =

√1 , P (2)

en

(3.28) 1 2

(3.29)

que es exactamente la expresión para la curva de rendimientos para el caso de 2 períodos en la ecuación (3.22). Esto no es para nada sorpresivo cuando piensa en lo siguiente. Si usted necesita llevar dinero desde hoy hasta el período N , existen 3 formas alternativas de realizar esto. Ir renovando tasas spot cada período, contratar tasas forward hasta N o comprar un bono cero cupón con vencimiento en N (la curva de rendimiento). Como todas las alternativas cumplen con el mismo objetivo, éstas deben ser equivalentes entre sí.

3.9

No Arbitraje en Retornos de Bonos

Considere dos formas alternativas de transferir dinero desde el actual período hacia el siguiente: (1) Comprar un bono cero cupón con N períodos al vencimiento y venderlo como un bono con N − 1 períodos al vencimiento durante el próximo período o (2) Comprar un bono cero cupón con un único período al vencimiento. De nuevo, por un asunto de arbitraje ambas estrate-

22


gias deberan rentar lo mismo, tal que ³ ´ ³ ´ (2) (1) 1 + rb1 = 1 + rb1

(3.30)

=

(3.31)

(1)

P1

(2) P0 i2 h (2) Y0 (1) Y1

(2)

Y0

1

(1)

P0

(1)

= Y0

(3.32)

i1 h (1) (1) 2 = Y0 Y1

(3.33)

Por una nueva vía hemos llegado al mismo resultado: una representación de la curva de rendimientos.

3.10

Duración y Convexidad

Recuerde que la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisface la siguiente ecuación: N X Fj P = Yj j=1

(3.34)

Esta expresión nos indica que existe una relación no lineal entre precios de bonos y su TIR.

Precio

3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD

23

Y0

TIR

Nos gustaría conocer cómo cambia P ante cambios en la TIR del bono (Y ), sin embargo ésta es una relación compleja (porque no es lineal). Existe una relación no lineal entre P e Y , P = P (Y ). Esta relación puede ser aproximada por lo que se conoce como la Aproximación de Taylor:

P X 1 di P (Y0 ) i P (Y ) ≈ P (Y0 ) + i (Y − Y0 ) i! d (Y0 ) i=1

(3.35)

donde Y0 es un arbitrario punto de expansión. La expansión de primer orden de Taylor es

∂P (Y0 ) (Y − Y0 ) ∂Y0 ∂P (Y0 ) ∂P (Y0 ) P (Y ) ≈ P (Y0 ) − Y0 + Y ∂Y0 ∂Y0 | {z } P (Y ) ≈ P (Y0 ) +

constante

(3.36) (3.37)

24

CHAPTER 3 RENTA FIJA Diferenciando esta última expresión1 , se obtiene ∂P dY ∂Y dP ∂P dY Y ≈ P ∂Y· Y P ¸ dP Y ∂P (Y0 ) dY ≈ − − P P ∂Y0 Y {z } | dP ≈

(3.38) (3.39) (3.40)

Duración de un Bono

3.10.1

Duración

La duración de un bono es la elasticidad de la relación entre precios y TIR alrededor del punto asociado a la TIR vigente. Por lo tanto, la duración es una primera aproximación a la sensibilidad del precio ante cambios en la TIR de un bono. Y dP d ln P D=− =− (3.41) P dY d ln Y Esto ultimo implica que, dada la duración, es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIR del bono: dP dY ≈ −D · (3.42) P Y Duración de un Bono Cero Cupón La definición del precio de un bono cero cupón es 1 YN Y dP Y 1 − = N N+1 = N P dY P Y P (N) =

(3.43) (3.44)

Para bonos cero cupón, tenemos que DURACION=MADUREZ DEL BONO. 1

Obviamente, la primera diferencia de una constante es cero.

25

3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD Duración de Otros Bonos El precio de bonos con cupones es P =

N X Fj Yj j=1

(3.45)

N N N X Y dP 1 X Fj Fj /Y j Y X Fj − j j+1 = j j = j PN (3.46) = j P dY P j=1 Y P j=1 Y j=1 Fj /Y j=1 X valor del flujo D = duración de cada flujo × (3.47) valor total del bono flujos

Por lo tanto, para el caso de bonos con cupones, la duración es el promedio ponderado (por el valor de cada flujo) de la duración de los flujos individuales. Una implicancia relevante de lo anterior es que la duración de un bono es siempre menor que su madurez. Duración de Una Perpetuidad El precio de una perpetuidad con cupón C es P = Y C−1 . Dada la definición de duración en la ecuación (3.46), tenemos que la duración de una perpetuidad por C es ∞ ∞ CX 1 1X C j = j D= P j=1 Y j P j=1 Y j

P j Reemplazando la propiedad que ∞ j=1 jz = se obtiene la duración de una perpetuidad

z (1−z)2

C (1/Y ) P (1 − 1/Y )2 Y Y D = (Y − 1) 2 = Y −1 (Y − 1)

D =

(3.48) en la ecuación (3.48),

(3.49) (3.50)

Duración Modificada Muchas veces resulta más conveniente computar lo que se conoce como la duración modificada. Esto es el cambio porcentual en el precio que se origina

26


por un cambio absoluto en la TIR del bono (en vez del cambio porcentual en la TIR que suena algo extraño porque es el cambio porcentual sobre algo que ya está en porcentaje). µ ¶ 1 dP 1 Y dP 1 DM ≡ − = − = ×D (3.51) P dY Y P dY Y Esto último implica que, dada la duración modificada, es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIR del bono: dP = −DM · dY (3.52) P

3.10.2

Convexidad

Precio

En el siguiente gráfico es posible apreciar dos bonos con igual duración para un nivel de TIR de Y0 . Sin embargo, ambos bonos tienen distinta curvatura alrededor de ese punto. Eso indica que en la medida que existan cambios muy grandes en el nivel de TIR, entonces la duración sera una muy mala aproximación al verdadero cambio en precios ante cambios en TIR.

Y0

bono 1 bono 2 TIR

Esto hace necesario tener una mejor aproximación a tal cambio. La forma de hacer esto es ocupar la convexidad de cada instrumento (el segundo término asociado a una expansión de Taylor). La convexidad del bono es el

3.11 INMUNIZACIÓN

27

cuociente entre la segunda derivada del precio del bono con respecto a su TIR y el precio del bono: ¸ N · ¢ ∂2P 1 X Fj ¡ 2 = 2 (3.53) j +j ∂Y 2 Y j=1 Y j

1 ∂2P (3.54) P ∂Y 2 Esto último implica que, dada la duracion modificada y la convexidad, es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIR del bono: 1 dP = −DM · dY + · Convexidad · (dY )2 (3.55) P 2 Convexidad =

3.11

Inmunización

Sabemos que el precio de los bonos cambia cuando cambian las TIR de estos bonos. Si tenemos estos bonos en cartera, nuestra riqueza financiera fluctuará con cambios en TIR. Se conoce como inmunización al ejercicio de construir un portafolio de renta fija que sea inmune a cambios en TIR. Existen dos formas de construir portafolios inmunizados: 1. Portafolios Dedicados: Para cada flujo de caja de activos o pasivos, se puede comprar o vender el correspondiente bono cero cupón. No importa qué ocurra con las TIR, los flujos de caja estarán completamente cubiertos por bonos cero cupón de madurez equivalente. El valor del portafolio será completamente inmune a cambios en TIR. 2. Calzar la Duración del Portafolio: Compre (o venda) un bono que cuadre exactamente la duración de un pasivo (o activo) de renta fija. De esta forma, cumplirá con dos condiciones (1) valor presente de los activos = valor presente de los pasivos y (2) duración de activos = duración de pasivos. La posición neta del portafolio sera insensible a los cambios en TIR.

3.12

Estrategias de Arbitraje con Bonos

La conclusión del capitulo pasado (sobre arbitraje) es que en la medida que haya un precio mal puesto siempre es posible arbitrar tal precio. En esta

28


oportunidad veremos una pequeña aplicación al caso de renta fija (bonos). Suponga que existen 3 bonos: (1) el bono A es un cero cupón a 1 período plazo con TIR por 4%, (2) el bono B es un cero cupón con madurez de 2 períodos y TIR de 5%, y (3) el bono C es un bono con 2 cupones en cada período por $1 y TIR por 4,25%. Los precios de estos bonos son: 1 = 0.96154 1.04 1 = = 0.90703 1.052 1 1 + = = 1.8727 1.045 1.0452

P (1) =

(3.56)

P (2)

(3.57)

PC

(3.58)

Dado que la suma del pago de los bonos A y B es igual al pago del bono C, por ley de un sólo precio PC = P (1) + P (2)

(3.59)

Lo cual es falso: 1.8727 > 0.96154 + 0.90703 = 1.8686. Esto implica la existencia de una oportunidad de arbitraje. ¿Cuál? Todas las oportunidades de arbitraje son iguales: hay que vender el activo caro y comprar el activo barato. ¿En qué proporciones? En las que hagan cero todos los flujos en t = 1 . . . N . En este caso, esto es trivial, basta con comprar 1 unidad del bono A y 1 unidad del bono B y vender 1 unidad del bono C. Operación

t=0

Compra 1 unidad de bono A

−P (1)

t=1 t=2 1

0

Compra 1 unidad de bono B

−P (2)

0

1

Venta de 1 unidad de bono C

+PC

-1

-1

Flujo de Caja Neto

PC − P (1) − P (2) = 0.0041

0

0

Chapter 4

Decisiones de Inversión Bajo Incertidumbre

Hasta ahora nos dedicado a explicar como valorizar activos vía arbitraje. Esto es, basta con conocer el precio de un activo, para valorizar otros activos cuyos flujos de caja sean combinaciones de activos con precios conocidos. No obstante, nada hemos dicho acerca de la causa por la cual cierto inversionista pudiera demandar cierto activo financiero. Una característica de los activos financieros es que el valor de sus flujos depende de la realización de estados de la naturaleza caracterizados por distribuciones de probabilidades.

En los cursos tradicionales de microeconomía, vimos como las preferencias de los consumidores sobre un conjunto de bienes, {c1 , c2 . . . cN }, pueden ser descritas por curvas de indiferencias., u (c1 , c2 . . . cN ). 29

C2

30CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE

C1

U(C)

Estas funciones de utilidad cumplen con propiedades estándares, utilidad marginal del consumo es positiva, U 0 (·) > 0 y decreciente U 00 (·) < 0.

C

tema con los activos financieros es que los pagos ofrecidos no son en bienes sino en realizaciones de estados de la naturaleza. Estos estados de la naturaleza tienen probabilidades asociadas a ellos, esto quiere decir que las prefer-

4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA

31

encias asociadas a activos financieros deben ser funciones de realizaciones de la naturaleza así como de sus respectivas probablidades. Suponga que existen N posibles estados de la naturaleza {s1 . . . sN } con probabilidades asociadas {p1 . . . pN }. Un activo financiero pagará bienes por {c1 . . . cN } en caso de realización de alguno de los estados de la naturaleza. De esta forma, las preferencias de los agentes pueden ser descritas indistintamente como preferencias sobre pago de bienes en cada estado de la naturaleza, V (c1 . . . cN ) o como preferencias sobre probabilidades de los estados U (p1 . . . pN ). La intuición es muy simple. Suponga que a usted le gusta mucho el consumo en el estado 1 (c1 ), esto es equivalente a decir que le gusta mucho cierta distribución de probabilidad que asigna mucho peso al estado 1. Esto indica que existen dos enfoques alternativos para representar preferencias sobre pagos inciertos: • Sobre el conjunto de pagos posibles en cada estado de la naturaleza, V (c1 . . . cN ). • Sobre el conjunto de distribuciones de probabilidad de los estados, U (p1 . . . pN ).

4.1

El Enfoque de la Utilidad Esperada

El enfoque de la utilidad esperada viene de suponer que existe independencia de las preferencias sobre distribuciones de probabilidad. Esto es que la probabilidad de un estado de la naturaleza no afecta mis preferencias sobre las probabilidades del resto de los estados de la naturaleza. Bajo el supuesto de independencia, las preferencias de los agentes pueden ser representadas por:

V (c1 . . . cN ) = U (p1 . . . pN ) =

N X i=1

pi ·u (ci ) ⇐⇒ Indice de Utilidad Esperada

(4.1) donde u (·) cumple con todas las propiedades estándares en una funcion de utilidad. Los primeros en notar el supuesto de independencia como condicion necesaria para la existencia de una representacion de utilidad esperada como (4.1) fueron los economistas John Von Neumann y Oscar Morgenstern (1944). Por

32CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE lo tanto, muchas veces se suele hacer referencia al índice de utilidad esperada como la representación de Von Neumann - Morgenstern. Una importante implicancia del enfoque de la utilidad esperada es que nos permite definir la actitud de los agentes hacia el riesgo (i.e. incertidumbre). Para efectos simplificatorios, suponga que existen sólo 2 posibles estados de la naturaleza, tal que la utilidad esperada es: E [U] = p · u (c1 ) + (1 − p) · u (c2 ). Existen 3 casos posibles para definir la actitud hacia el riesgo: • Agente es averso al riesgo: E [U] = p · u (c1 ) + (1 − p) · u (c2 ) < U [E] = u (p · c1 + (1 − p) · c2 ) (4.2) Como es posible observar en el gráfico siguiente, la aversión al riesgo es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal decreciente, u00 (·) < 0. La intuición es que un agente averso al riesgo siempre prefiere el valor seguro de una apuesta, U [E], al valor esperado de tal apuesta, E [U].

U[E]

U(C)

E[U]

C1

p*C1+(1-p)*C2

C2

• Agente es preferente al riesgo: E [U] = p · u (c1 ) + (1 − p) · u (c2 ) > U [E] = u (p · c1 + (1 − p) · c2 ) (4.3)

4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA

33

Como es posible observar en el gráfico siguiente, la preferencia al riesgo es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal creciente, u00 (·) > 0. La intuición es que un agente preferente al riesgo siempre prefiere el valor esperado de una apuesta, E [U ], al valor seguro de tal apuesta, U [E].

E[U]

U[E]

C1

p*C1+(1-p)*C2

C2

• Agente es neutral al riesgo: E [U ] = p · u (c1 ) + (1 − p) · u (c2 ) = U [E] = u (p · c1 + (1 − p) · c2 ) (4.4) Como es posible observar en el gráfico siguiente, la neutralidad al riesgo es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal constante, u00 (·) = 0. La intuición es que un agente neutral al riesgo siempre está indiferente entre el valor esperado de una apuesta, E [U ] y al valor seguro de tal apuesta, U [E].

34CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE

E[U]=U[

C1

p*C1+(1-p)*C2

C2

EN GENERAL, PRACTICAMENTE TODAS LAS APLICACIONES FINANCIERAS ASUMEN QUE LOS AGENTES SON AVERSOS AL RIESGO1 .

4.2 4.2.1

Algunas Definiciones de Utilidad Equivalente Cierto

Considere 2 posibles inversiones financieras. La primera es una inversión f, La segunda es una inversión riesgosa que promete pagar un flujo riesgoso, W libre de riesgo que promete pagar un valor fijo, W , a todo evento. f, si y sólo si un inversionista Definition 10 W es el equivalente cierto de W averso al riesgo está indiferente entre ambos tipos de activos. h ³ í ¡ ¢ f U W =E U W

(4.5)

Esto, gráficamente, equivale a lo siguiente: 1

Salvo que se explícite lo contrario, asumiremos que los agentes son aversos al riesgo.

4.3 GRADOS DE AVERSIÓN AL RIESGO

35

U(W)

E[U]=U[E

premio por riesgo W-

4.2.2

E[W~]

Prima Por Riesgo

Definition 11 La prima por riesgo (π) es el monto que un agente averso al riesgo estaría dispuesto a pagar para evitar una inversión riesgosa. ³ h i ´ h ³ í f f U E W −π =E U W (4.6) h i f como π son valores ciertos, por tanto es trivial notar que Tanto E W la prima por riesgo se encuentra vinculada al concepto de equivalente cierto. h i h i f f −W W =E W −π ⇔π =E W (4.7)

4.3

Grados de Aversión al Riesgo

La distincion entre aversión, preferencia o neutralidad al riesgo puede resultar muy restrictiva si lo que, por ejemplo, nos interesa hacer es una comparación entre el grado de aversión al riesgo del subconjunto de agentes aversos al riesgo. En otras palabras, requerimos definir una medida más precisa de la curvatura del índice de utilidad esperada (más curvatura equivale a mayor aversión al riesgo).

36CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE Si el índice de utilidad esperada es estrictamente creciente y dos veces continuamente diferenciable, entonces es posible definir el siguiente par de medidas de aversión al riesgo. Definition 12 Grado de Aversión Absoluta al Riesgo es el grado de aversión de un agente a jugar un monto fijo absoluto en una lotería de precio justo. u00 (W ) AAR (W ) = − 0 u (W )

(4.8)

Definition 13 Grado de Aversión Relativa al Riesgo es el grado de aversión de un agente a jugar una proporción fija de su riqueza en una lotería de precio justo. u00 (W ) (4.9) ARR (W ) = −W · 0 u (W ) Por definición, tenemos que u00 (·) < 0. De tal forma que      > 0 si el agente es averso al riesgo      grado de aversión al riesgo = = 0 si el agente es neutral al tiesgo        < 0 si el agente es preferente al riesgo 

(4.10)

4.4

Preferencias en el Espacio de Media y Varianza

Como veremos más adelante, en muchas aplicaciones resulta particularmente útil suponer que la utilidad esperada se puede representar en un espacio de media y varianza de las distribuciones de probabilidad sobre los estados de la naturaleza. Existen dos formas de llegar a este resultado: 1. Suponer que las distribuciones de probabilidad de los retornos de los activos financieros pueden ser representados completamente por los 2 primeros momentos de su distribución. La única función de distribución (estable) que cumple con tal propiedad es la distribución Normal. Lamentablemente, la distribución efectiva de retornos de activos generalmente tiende a no parecerse mucho a una distribución Normal.

4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA37 2. Una segunda alternativa consiste en no imponer ninguna restricción sobre la distribución de probabilidades sino que sobre la forma de la función de utilidad esperada. Suponga que la función de utilidad es cuadrática u (W ) = αW 2 + W (4.11) Por definición, tenemos que E (W ) = µW

(4.12)

Mientras que la utilidad esperada es E (u (W )) =

N X

£ ¤ ¡ ¢ pi · Wi + αWi2 = E (W ) + αE W 2 (4.13)

i=1 ¡ ¢ E (u (W )) = µW + αE W 2

(4.14)

Por su parte, la definición de la varianza de W es2 V ar (W ) = σ 2W =

N X i=1

2

¡ ¢ pi · [Wi − µW ]2 = E W 2 − µ2W

(4.15)

Parta de la definición de la varianza V ar (W ) = E [W − µW ]2 ¡ ¢ = E W 2 − 2E (W · µW ) + µ2W

La definición de la covarianza de W y µW es

Cov (W, µW ) = E [(W − E (W )) (µW − E (µW ))] = E (W · µW ) − µ2W Como la covarianza entre una variable aleatoria (W ) y una constante (µW ) es siempre cero E (W · µW ) − µ2W = 0 E (W · µW ) = µ2W Reemplazando esto último en la definición de la varianza de W ¡ ¢ V ar (W ) = E W 2 − 2µ2W + µ2W ¡ ¢ V ar (W ) = E W 2 − µ2W

38CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE Reemplazando la expresión (4.15) en la definición de la utilidad esperada (ecuacion (4.14)), se obtiene que ¡ ¢ E (u (W )) = µW + α σ 2W + µ2W

(4.16)

Las preferencias se encuentran perfectamente especificadas por los primeros dos momentos de una distribución aleatoria (la media y la varianza). El problema con la función de utilidad cuadrática es que viola el supuesto de no saciedad de una función de utilidad, u0 (·) > 0. Cuando α < 0, u (W ) es decreciente para todo el rango de valores W > − 12 α.

Media de W

La simple intuición nos indica que a un agente averso al riesgo no le gustará la varianza de riqueza tal que sus curvas de indiferencia en el espacio de media y varianza tomarán la siguiente forma.

Var(W)

Por su parte, al agente preferente al riesgo le gustará tener mucha varianza en su riqueza, tal que sus curvas de indiferencia en el espacio de media y varianza tomarán la siguiente forma.

Media de W

4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA39

Var(W)

Media de W

Finalmente, aquellos agentes con neutralidad al riesgo verán representadas sus preferencias en el espacio de media y varianza por el siguiente tipo de curvas de indiferencia.

Var(W)

Chapter 5 Valorización de Activos Bajo Incertidumbre El capítulo precedente nos ha permitido, hasta ahora, definir preferencias entre distintas realizaciones de estados de la naturaleza: comparar y elegir entre distintas loterías, además de definir sus respectivos equivalente cierto y prima por riesgo. Ahora bien, nada de esto hasta ahora nos indica cómo valorar un activo riesgoso. En este sentido, el presente capítulo tratará de extender el análisis previo de tal manera de entender cómo valorar un activo que promete el pago de flujos en algún momento futuro del tiempo. En particular, lo que haremos será tratar de determinar el valor de en t de un activo que paga un flujo de caja xt+1 durante el periodo t + 1. Este flujo de caja va a ser distinto dependiendo del activo al cual se haga referencia: en el caso del activo libre de riesgo a un periodo plazo tendremos que xt+1 = 1, mientras que en el caso de una acción ese flujo es el precio de mañana más el dividendo pagado xt+1 = pt+1 + dt+1 . ¿Quién valoriza un activo (acciones, bonos, etc.)? Un inversionista. Por lo tanto, a la hora de entender el precio de cualquier activo es necesario modelar lo que un inversionista quiere. La manera de hacer esto es a través de una función de utilidad definida tanto sobre consumo presente como consumo futuro. U (ct , c+1 ) = u (ct ) + βEt [u (ct+1 )] (5.1) , donde Et [·] se refiere a la esperanza condicional a toda la información duisponible durante el periodo t. Definamos φ como el monto de activo como el valor del activo comprado 41

42CHAPTER 5 VALORIZACIÓN DE ACTIVOS BAJO INCERTIDUMBRE y e como la dotación disponible. Entonces, el problema del inversionista es maxu (ct ) + βEt [u (ct+1 )] {φ}

(5.2)

sujeto al siguiente par de restricciones presupuestarias: ct = et − pt φ ct+1 = et+1 + xt+1 φ

(5.3) (5.4)

La condición de primer orden de este problema es una ecuación de Euler estándar, igual a la vista en su primer curso de Macroeconomía. pt u´(ct ) = Et [βu´(ct+1 ) xt+1 ]

(5.5)

La ecuación (5.5) indica que en el óptimo el costo marginal de ahorrar un peso adicional en ese activo debe ser igual al beneficio marginal de este ahorro. El costo marginal de ahorrar está dado por el lado izquierdo de la expresión (5.5), es decir la utilidad marginal del consumo multiplicado por el precio del activo. Por su parte, el beneficio se encuentra dado por el lado izquierdo de (5.5), es decir el valor esperado del pago que efectuará el activo multiplicado por la utilidad marginal de una unidad extra de consumo durante el próximo periodo. Obviamente, la ecuación (5.5) puede ser trivialmente reescrita como · ¸ u´(ct+1 ) pt = Et β (5.6) xt+1 u´(ct ) pt = Et [mt+1 xt+1 ] (5.7) u´(ct+1 ) mt+1 = β (5.8) u´(ct ) Las ecuaciones (5.6), (5.7) y (5.8) son las fórmulas centrales de la literatura moderna de valoración de activos y, por lo tanto, volveremos recurrentemente a ellas. Por ahora, retenga el siguiente nombre, mt+1 es lo que se conoce universalmente como el Factor de Descuento Estocástico (FDE). Algunas particularidades del FDE: • Permite incorporar todas las correcciones por riesgo al introducir mt+1 dentro de la esperanza condicional. • Un único FDE permite realizar todas esas correcciones por riesgo, en otras palabras, un único FDE basta para valorizar todos los activos. • El FDE es estocástico (o aleatorio) porque no se conoce con certidumbre en el periodo t.

43

5.1 CORRECCIONES POR RIESGO

5.1

Correcciones por Riesgo

Ahora bien, ¿cómo es que un único FDE permite realizar toda corrección por riesgo para cualquier activo? Olvidando por un momento los subíndices t y dividiendo ambos lados de la expresión (5.7) por p, se obtiene lo que se conoce como una representación de factor de descuento estocástico

i

£ ¤ 1 = E mRi

(5.9)

, donde Ri = xpi es el retorno bruto de la inversión. Aplicando descomposisición de covarianza sobre la expresión (5.9) ¡ ¢ ¡ ¢ 1 = E (m) E Ri + cov m, Ri

Utilizando la propiedad de que Rf =

1 1 , E(m)

(5.10)

se llega a que

¡ ¢ ¡ ¢ E Ri − Rf = −Rf cov m, Ri ¶µ ¶ µ ¡ i¢ var (m) cov (m, Ri ) f − E R = R + var (m) E (m) {z }| {z } | β i,m

¡ ¢ E Ri = Rf + β i,m λm

(5.11) (5.12)

λm

(5.13)

, donde β i,m es el beta de la regresión entre Ri y m y λm es el negativo de la razón entre la varianza y la media de m. La ecuación (5.13) es lo que tradicionalmente se conoce como la representación beta. Algunas cosas a destacar acerca de la representación beta de un activo: • λm se conoce como el precio de mercado del riesgo (o premio por riesgo). Este premio por riesgo no es un parámetro libre, ya que depende del ratio var(m) . Dado que var (m) > 0 y E (m) > 0, entonces λm < 0. En E(m) otras palabras, el premio por riesgo para el crecimiento de la utilidad marginal del consumo es negativo. 1

El flujo de caja para el caso del activo libre de riesgo es x = 1, tal que p(1) = E [m] o 1 1 equivalentemente Rf = p(1) = E[m] .

44CHAPTER 5 VALORIZACIÓN DE ACTIVOS BAJO INCERTIDUMBRE • β i,m se conoce también como la cantidad de riesgo, tal que el retorno exigido por un activo es igual al retorno del activo libre de riesgo más un factor de de riesgo que es igual al premio por riesgo multiplicado por la cantidad de riesgo asumida en cada activo. • Sólo el riesgo sistemático recibe una mayor compensación en términos de retorno esperado. El riesgo idiosincrático no importa (no es remunerado en términos de retorno esperado). ¿Por qué? Considere el caso de un activo cuyo retorno no tiene correlación alguna con m (el FDE que captura todo el riego que le importa al inversionista), en ese caso tendremos que cov (Ri , m) = 0, tal que β i,m = 0, y E (Ri ) = Rf . En otras palabras, un activo cuyo retorno no tiene correlación con el riesgo sistemático (en m) sólo renta la tasa libre de riesgo, no importa cuál sea su riesgo total.

5.2

¿Qué determina el precio de mercado del riesgo (λm), común a todos los activos?

Asuma una función de utilidad con grado de aversión relativa al riesgo con1−γ stante, donde γ es el parámetro de aversión al riesgo, tal que u (c) = c1−γ . Luego el FDE es simplemente mt+1

u0 (ct+1 ) =β 0 =β u (ct )

µ

ct+1 ct

¶−γ

Con algo de creatividad matemática, reescribamos el FDE de la siguiente forma, c −γ·ln β· t+1 c

mt+1 = e

t

Lo anterior puede ser aproximado por la siguiente expresión, ¶¸ · µ ct+1 mt+1 ≈ 1 − γ · ln ct Por lo tanto, tenemos que, var (mt+1 ) ≈ γ 2 · σ 2c

5.2 ¿QUÉ DETERMINA EL PRECIO DE MERCADO DEL RIESGO (λM ), COMÚN A TO h ³ í =varianza de la tasa de crecimiento del condonde σ 2c = σ 2 ln ct+1 ct sumo. Además, Et (mt+1 ) ≈ 1 − γ · µc h ³ í =valor medio de la tasa de crecimiento del donde µc = Et ln ct+1 ct consumo. Dado lo anterior, se llega a que en el caso de función de utilidad con grado de aversión relativa al riesgo constante, el precio de mercado del riesgo es λm ≈ −

V ar (mt+1 ) γ 2 · σ 2c = Et (mt+1 ) γ · µc − 1

Se desprende de la expresión anterior que: • El (valor absoluto) del precio de mercado del riesgo crece con la varianza de la tasa de crecimiento del consumo (σ 2c ). En otras palabras, en un futuro más incierto (caracterizado por mayor volatilidad del consumo), las compensaciones por riesgo (en valor absoluto) deben ser mayores. • El (valor absoluto) del precio de mercado del riesgo cae con la media de la tasa de crecimiento del consumo (µc ). En otras palabras, en épocas (caracterizadas por mayor crecimiento del consumo), las compensaciones por riesgo (en valor absoluto) deben ser menores. • El (valor absoluto) del precio de mercado del riesgo crece con la aversión al riesgo (γ). En otras palabras, con individuos más aversos al riesgo (caracterizados por una mayor concavidad de su función de utilidad), las compensaciones por riesgo (en valor absoluto) deben ser mayores. ¿Cuál es la intuición detrás de esto último? La respuesta está en mt+1 . ¿Qué es el FDE (mt+1 )? Es la tasa marginal de sustitución entre consumo 0 ) presente y consumo futuro, β uu(c0 (ct+1 . La utilidad marginal del consumo mide t) cuan feliz me encontraría si es que me encuentro un peso botado en la calle, no cuan feliz me hace todo mi consumo del periodo. Dado individuos aversos al riesgo, la concavidad de su función de utilidad implica que a estos individuos les importa más perder un peso que ganar un peso. En términos del panel de la derecha del gráfico siguiente, si se parte de un punto de consumo como el representado por el punto negro, la concavidad de la función de utilidad hace que un peso perdido (la flecha hacia la izquierda) genere una reducción

46CHAPTER 5 VALORIZACIÓN DE ACTIVOS BAJO INCERTIDUMBRE

Utilidad del Consumo

Utilidad Marginal del Consumo

(marginal) en la utilidad mucho más grande que la ganancia (marginal) en utilidad de un peso ganado (la flecha hacia la derecha).

Pérdida marginal del peso adicional Utilidad marginal del peso adicional Consumo Total

Consumo Total

En palabras sencillas, el argumento anterior implica que individuos aversos al riesgo valoran más las pérdidas que las ganancias. En un mundo altamente volátil (representado por una gran varianza en la tasa de crecimiento del consumo) es muy probable soportar grandes alzas o grandes caídas en consumo en el futuro. Como estas últimas las valoran más (y son más probables si el consumo es muy volátil), entonces -intuitivamente- ese futuro más incierto se hace más doloroso para los inversionistas, los cuales demandan compensación adicional por tomar riesgo en el futuro. El análisis se hace más extremo para el inversionista si es que la concavidad de su función de utilidad es mayor (lo que ocurre si es que es más averso al riesgo), ya que el dolor de las pérdidas crece con la aversión al riesgo. Finalmente, si la tasa de crecimiento del consumo es (en valor esperado) muy alta, entonces se hace menos probable tener que soportar dolorosas pérdidas en el futuro por una caída en el consumo, lo cual requiere una compensación menor por tomar riesgo en el futuro. En este punto, retenga lo siguiente, la concavidad de la función de utilidad (dada por la aversión al riesgo) implica que se valoran más las pérdidas que las ganancias de consumo. En dicho contexto, • Si el consumo es muy volátil, se hace más probable soportar una pérdida muy grande de consumo en el futuro que no es compensada por la mayor probabilidad de una ganancia de consumo en el futuro. Por lo tanto, ante alta volatilidad del consumo, se demanda mayor compensación por tomar riesgo. • Lo anterior se agrava si los inversionistas son altamente aversos al riesgo, porque esto significa que el dolor de las pérdidas de consumo son

¡ ¢ 5.3 ¿QUÉ DETERMINA LA CANTIDAD DE RIESGO β I,M , INDIVIDUAL A CADA AC todavía más altas que las ganancias de consumo. Por lo tanto, ante alta aversión al riesgo, se demanda mayor compensación por tomar riesgo.

• Si se espera que el consumo crezca muy fuerte, se hace menos probable soportar una pérdida de consumo en el futuro. Por lo tanto, ante alto crecimiento del consumo, se demanda menor compensación por tomar riesgo. Esto último es particularmente relevante por su implicancia macroeconómica. Las épocas de alto crecimiento del consumo son épocas de expansión, en las cuales se debe demandar menor compensación por tomar riesgo. Por el contrario, épocas de contracción del consumo son épocas de recesión, en las cuales se debe demandar mayor compensación por tomar riesgo.

5.3

¡ ¢ ¿Qué determina la cantidad de riesgo β i,m , individual a cada activo?

Asuma -nuevamente- una función de utilidad con grado de aversión relativa al riesgo constante y recuerde que, en dicho caso, el FDE se puede aproximar por ¶¸ · µ ct+1 mt+1 ≈ 1 − γ · ln ct Dada la definición de cantidad de riesgo, se tiene que ¢ ¡ i cov mt+1 , Rt+1 β i,m = V ar (mt+1 )

Dado que el denominador de dicha expresión es positivo, concentremónos en el numerador, ¶ ¶ µ µ ¢ ¡ ct+1 i i , Rt+1 cov mt+1 , Rt+1 ≈ −γ · cov ln ct

Dado que conocemos que -por construcción- el precio de mercado del riesgo es negativo λm < 0, la expresión anterior implica lo siguiente sobre el retorno exigido a los activos, ´ ´ ³ ³ ¡ ¢ i i , R • Si cov ln ct+1 t+1 > 0, entonces cov mt+1 , Rt+1 < 0 y β i,m < 0. ct ¡ i ¢ De esta forma, Et Rt+1 > Rf . El retorno exigido a un activo cuyo

48CHAPTER 5 VALORIZACIÓN DE ACTIVOS BAJO INCERTIDUMBRE retorno tiene covarianza positiva con la tasa de crecimiento del consumo debe ser mayor a la tasa libre de riesgo. ³ ³ ´ ´ ¡ ¢ ct+1 i i • Si cov ln ct , Rt+1 < 0, entonces cov mt+1 , Rt+1 > 0 y β i,m > ¡ i ¢ f 0. De esta forma, Et Rt+1 < R . El retorno exigido a un activo cuyo retorno tiene covarianza negativa con la tasa de crecimiento del consumo debe ser menor a la tasa libre de riesgo.

¿Cuál es la intuición detrás de esto último? La respuesta -nuevamenteestá en mt+1 . ¿Qué es el FDE (mt+1 )? Es la tasa marginal de sustitución 0 ) entre consumo presente y consumo futuro, β uu(c0 (ct+1 . Dado individuos aversos t) al riesgo, la concavidad de su función de utilidad implica que a estos individuos les importa más perder un peso que ganar un peso. Por lo tanto, si se invierte en un activo cuyo retorno tiene covarianza positiva con la tasa de crecimiento del consumo, se está invirtiendo en un activo que va a pagar menos exactamente en las épocas (cuando cae el consumo) en que se sufre más (también es cierto que va a pagar más en las épocas en que se disfruta más, pero esas épocas le importan menos porque es averso al riesgo). De esta forma, activos cuyos retornos tienen covarianza positiva con el consumo son activos que amplifican el dolor de las pérdidas en los malos tiempos. Entonces, para obligar a que estos inversionistas mantengan esos activos se les debe exigir un retorno mucho mayor que la tasa libre de riesgo. Por el contrario, si se invierte en un activo cuyo retorno tiene covarianza negativa con la tasa de crecimiento del consumo, se está invirtiendo en un activo que va a pagar más exactamente en las épocas en que se sufre más (cuando cae el consumo). Dichos activos alivian el dolor de las pérdidas en los malos tiempos. Entonces, los inversionistas están dispuestos a exigir un retorno mucho menor a la tasa libre de riesgo por mantener esos activos. Corolario: Si definimos buenas épocas -desde un punto de vista económicocomo aquellas épocas en que crece más fuerte el consumo y malas épocas como cuando el consumo se contrae, entonces lo siguiente es cierto: los activos que pagan mal en los malos tiempos deben exigir un retorno esperado más grande y los activos que pagan mejor en los malos tiempos deben exigir un retorno esperado menor.

5.4 UN EJEMPLO DE VALORIZACIÓN: LA TASA LIBRE DE RIESGO49

5.4

Un Ejemplo de Valorización: La Tasa Libre de Riesgo

Un ejemplo sencillo para entender la manera en la cual funciona la valorización de activos bajo incertidumbre es comenzar con el más simple de los casos: el activo libre de riesgo (el bono cero cupón con pago a un periodo plazo). El flujo de caja ofrecido por el activo libre de riesgo en el próximo periodo es xt+1 = 1, tal que la ecuación (5.6) se convierte en (1)

pt

= Et [mt+1 ] 1 Rtf = Et [mt+1 ]

(5.14) (5.15)

donde Rtf representa la tasa de interés bruta libre de riesgo. Suponga ahora que la función de utilidad es CRRA (constant relative risk aversion, grado de aversión relativa al riesgo es constante). u (ct ) =

1 1−γ c 1−γ t

(5.16)

¶γ

(5.17)

Tal que mt+1 = β

µ

ct ct+1

Reemplazando la ecuación (5.17) en (5.15), se obtiene que Rtf =

βEt

1 h³

ct

ct+1

´γ i

(5.18)

Para efectos de simplicidad ³ ´ algebraica, supongamos que la tasa de crecct imiento del consumo ct+1 se comporta como una variable aleatoria dis-

tibuída de acuerdo a una distribución lognormal2 , entonces la expresión (5.18) puede ser reescrita como #−1 " 2 Rtf

2

−δ −γEt [∆ ln ct+1 ]+

= e e

γ 2

σ 2t (∆ ln ct+1 )

(5.19)

Diagmo que la variable z se distribuye normal, entonces ez se distribuye lognormal y 1 2 cumple con la siguiente propiedad: E (ez ) = eE(z)+ 2 σ (z) .

50CHAPTER 5 VALORIZACIÓN DE ACTIVOS BAJO INCERTIDUMBRE , donde e−δ = β1 y ∆ ln ct+1 = ln ct+1 − ln ct . Tomando logaritmos naturales sobre la expresión (5.19), se obtiene una expresión para la tasa de interés continua libre de riesgo µ 2¶ γ f rt = δ + γEt [∆ ln ct+1 ] − σ 2t (∆ ln ct+1 ) (5.20) 2 La ecuación (5.20) nos permite destacar un hecho de gran relevancia económica: la tasa de interés real libre de riesgo no es un parámetro libre, en el sentido de que no puede tomar cualquier valor. En particular, en equilibrio, la tasa de interés real debe cumplir con las siguientes características: • La tasa de interés real es más alta cuando el inversionista es más impaciente (cuando β es bajo). En otras palabras, si los inversionistas quieren consumir más en el periodo corriente (hoy) se requerirá de una tasa de interés mayor para convencerlos de ahorrar. • La tasa de interés real es más alta cuando la tasa de crecimiento del consumo es más alta. Mayores tasas de interés reducen el nivel de consumo presente, lo cual logra hacer crecer su tasa de crecimiento desde hoy hasta el próximo periodo. • La tasa de interés real es más sensible a la tasa de crecimiento del consumo si las personas son altamente aversas al riesgo (mayor valor de γ). Si un inversionista es altamente averso al riesgo, le interesará mucho mantener un patrón de consumo lo más estable posible en el tiempo y, por lo tanto, está menos dispuesto a cambiar su patrón de consumo en respuesta a cambios en la tasa de interés real. Se concluye, entonces, que se requieren grandes cambios en tasas de interés para inducirlo a tomar cierto patrón de consumo. • En el caso de inversionistas aversos al riesgos, estos -por definiciónle otorgan mayor importancia a los estados de la naturaleza donde se consume menos en relación a aquellos estados donde se consume más. Por lo tanto, cuando el consumo es más volátil (σ2t (∆ ln ct+1 ) es más alto), las personas querrán consumir menos para protegerse de los ahora muy malos estados de la naturaleza, ahorrarán más e impulsarán las tasas de interés reales a la baja. Esto último es lo que se conoce como el efecto sobre las tasas de interés del motivo precaución del ahorro.

Chapter 6 Combinaciones de Activos Durante el capítulo previo de este este curso nos dedicamos a demostrar que de acuerdo a un grupo importante de supuestos1 es posible caracterizar las preferencias de los consumidores en un espacio definido por los dos primeros momentos de una distribución aleatoria: la media y la varianza. Más aún, con algún trabajo adicional, es posible demostrar que estas preferencias en media y varianza son convexas2 . Ahora bien, como es cierto en cualquier problema de optimización bajo restricciones (como en que el por ejemplo un agente intenta maximizar su función de utilidad sujeto a restricciones), es necesario identificar el set de posibilidades de inversión. Esto es lo que se conoce como la Frontera de Posibilidades de Inversión, y cuyas propiedades son las que, a continuación, se intentará caracterizar en más detalle.

6.1

El Caso de 2 Activos Financieros

Definamos A y B como los dos únicos activos financieros disponibles para inversión. La media y varianza de ambos tipos de activos se expresará como E (RA ), E (RB ) y σ 2 (RA ), σ 2 (RB ) respectivamente. Ademas, la proporción de la riqueza invertida en el activo A se denotará α tal que (1 − α) es la proporción invertida en el activo B. De esta forma, el retorno esperado y 1

Por ejemplo, que los retornos de los activos provengan de una distribución Normal multivariada o que la función de utilidad de los inversionistas sea cuadrática. 2 Por convexidad, nos referimos a que la combinación lineal entre dos canastas de consumo indiferentes para el inversionista (A y B), es siempre preferida a A o B. Convexidad: A ∼ B ⇒ αA + (1 − α) B Â A y B

51

52

CHAPTER 6 COMBINACIONES DE ACTIVOS

la desviacion estándar del portafolio P constituido por la combinación de ambos activos puede ser expresado como E (RP ) = αE (RA ) + (1 − α) E (RB ) (6.1) q σ (RP ) = α2 σ 2 (RA ) + (1 − α)2 σ 2 (RB ) + 2α (1 − α) cov (RA , RB()6.2)

Sin embargo, como la covarianza entre RA y RB es por definición: cov (RA , RB ) = σ (RA ) σ (RB ) ρA,B

(6.3)

donde ρA,B es el coeficiente de correlación entre los retornos de A y B. Por definición, tenemos que −1 < ρA,B < 1, donde ρA,B = −1 implica que ambos activos están (perfectamente) negativamente correlacionados y ρA,B = 1 implica que ambos activos están (perfectamente) positivamente correlacionados. Reemplazando (6.3) en (6.2) obtenemos q σ (RP ) = α2 σ 2 (RA ) + (1 − α)2 σ 2 (RB ) + 2α (1 − α) σ (RA ) σ (RB ) ρA,B (6.4)

6.1.1

Sin Venta Corta de Activos

Supongamos por ahora que no existe venta corta de activos3 tal que 0 < α < 1 y analicemos entonces las propiedades de los portafolios contruídos como combinación de los activos A y B. En primer lugar, note de la ecuación (6.1) que la media del portafolio es una combinación lineal de la medias de cada activo y no depende en ninguna forma de la correlación entre ambas clases de activos. Por lo tanto, simplemente nos centraremos en lo que ocurre con la desviación estándar del portafolio bajo distintos escenarios de correlación de retornos entre activos. ¡ ¢ • Caso 1: Activos perfectamente (positivamente) correlacionados ρA,B = 1 Si ρA,B = 1, la ecuación (6.4) es simplemente

σ (RP ) = |ασ (RA ) + (1 − α) σ (RB )| 3

(6.5)

Se conoce como venta corta de activos, el caso en el cual un inversionista pide prestado un activo financiero para venderlo hoy pero tiene la obligación de restituirlo en el futuro. En la practica, la venta corta permite mantener posiciones negativas en alguna clase de activos, i.e. α < 0.

53

6.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS

donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución del problema cuadrático tome la raíz positiva del problema4 . El gráfico 1 muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de ambos tipos de activos, cuando E (RA ) = 3%, σ (RA ) = 1%, E (RB ) = 10%, σ (RA ) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos de ambos tipos de activos sea uno implica que todos los portafolios compuestos por ambos activos estén sobre la linea recta que une ambos activos. 12.0% B

10.0%

Media

8.0% 6.0% 4.0% A 2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

ρA,B = 1.0 ¢ ¡ • Caso 2: Activos perfectamente (negativamente) correlacionados ρA,B = −1 Si ρA,B = −1, la ecuacion (6.4) es simplemente

σ (RP ) = |ασ (RA ) − (1 − α) σ (RB )|

(6.6)

donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución del problema cuadrático tome la raíz positiva del problema. El gráfico 2 muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de 4

Por definición, la desviación estándar es siempre positiva.

54

CHAPTER 6 COMBINACIONES DE ACTIVOS ambos tipos de activos, cuando E (RA ) = 3%, σ (RA ) = 1%, E (RB ) = 10%, σ (RA ) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos de ambos tipos de activos sea -1 implica que existe un portafolio que tiene la propiedad de tener una desviación estándar igual a 0. En el gráfico 2, este portafolio es el que corresponde al punto C. Simple algebra nos permite determinar que el portafolio C es aquel que cumple con la siguiente composición α=

σ (RB ) 5 σ (RA ) + σ (RB )

(6.7)

12.0% B

10.0%

Media

8.0% 6.0% 4.0%

C A

2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

ρA,B = −1.0 • Ademas, por simple inspección geométrica del gráfico 2 es posible determinar que cuando ρA,B = −1.0, toda la combinación posible de portafolios se reduce a dos segmentos lineales (A − C y C − B). El segmento A − C se describe por la siguiente recta σ (RP ) = ασ (RA ) − (1 − α) σ (RB ) si α > 5

Reemplace σ (R) = 0 en 6.6 y resuelva para α.

σ (RA ) σ (RA ) + σ (RB )

(6.8)

55

6.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS

Mientras que el segmento C − B es simplemente la recta descrita por σ (RP ) = (1 − α) σ (RB ) − ασ (RA ) si α <

σ (RA ) σ (RA ) + σ (RB )

(6.9)

¢ ¡ • Caso 3: Activos imperfectamente correlacionados −1 < ρA,B < 1

En primer lugar, es importante resaltar el hecho de que independiente del coeficiente de correlación entre ambos tipos de activos, si se invierte el 100% del riqueza en A (α = 1), tendremos que las ecuaciones (6.1) y (6.2) se transforman en E (RP ) = E (RA ) y σ (RP ) = σ (RA ). De la misma forma, si el 100% de la riqueza es invertida en el activo B (α = 0), las ecuaciones (6.1) y (6.2) se transforman en E (RP ) = E (RB ) y σ (RP ) = σ (RB ). En este sentido, independiente de la composición del portafolio su representación gráfica en el espacio de media y desviación estándar debe pasar por los puntos A y B. Dado que −1 < ρA,B < 1, podemos decir lo siguiente acerca de la ecuación (6.2):

σ (RP ) < ασ (RA ) + (1 − α) σ (RB ) si ρA,B < 1 σ (RP ) > ασ (RA ) − (1 − α) σ (RB ) si ρA,B > −1

(6.10) (6.11)

En términos gráficos, esto implica que en el gráfico 2, el portafolio que combina los activos A y B, debe estar a la izquierda del segmento A−B (ecuación (6.10)) y a la derecha del segmento A−C −B (ecuacion (6.11)). En el siguiente grafico, es posible apreciar los portafolios que combinan A y B cuando −1 < ρA,B < 16 . 6

El gráfico está construído con un valor ρA,B = −0.8.

56

CHAPTER 6 COMBINACIONES DE ACTIVOS 12.0% 10.0%

B

Media

8.0% 6.0% 4.0%

C A

2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

ρA,B = −0.8

• Ahora bien cabe preguntarse porque la representación gráfica de los portafolios formados por A y B en el espacio de media y desviacion estándar tienen una forma suavemente concava. Para clarificar el punto, suponga que tuvieran una forma convexa como la línea punteada en el siguiente gráfico.

57

6.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 12.0% 10.0%

B

Media

8.0% 6.0% v

4.0%

C

u

A 2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

• Como u y v se encuentran sobre la línea roja, estos portafolios deben ser una combinacion de A y B. De esta forma, cualquier combinación de A y B puede ser expresada como una combinación de los portafolios u y v. Por lo tanto, aplica lo siguiente para el segmento de portafolios entre u y v: σ (RP ) < αu σ (Ru ) + (1 − αu ) σ (Rv ) si ρA,B < 1 σ (RP ) > αu σ (Ru ) − (1 − αu ) σ (Rv ) si ρA,B > −1

(6.12) (6.13)

Esto implica que el segmento de portafolios ubicados entre u y v debe estar necesariamente a la izquierda de la línea recta trazada entre u y v, lo cual es contradictorio con una forma convexa para la combinación de media y desviación estándar de los portafolios compuestos por A y B.

6.1.2

Con Venta Corta de Activos

La venta corta de activos es una simple operación financiera que consiste básicamente en lo siguiente: pedir prestado un activo financiero, el cual se

58


devolverá en algún punto en el futuro. En la práctica, esto es como ir a solicitar un crédito en el banco. Siempre se puede ir a un banco y solicitar un crédito a plazo que se devolverá como dinero más un cierto pago de interés prepactado. La venta corta es lo mismo, se puede acudir al tenedor de un activo, pedírselo prestado, venderlo, recaudar recursos para invertirlos o consumirlos, comprarlo nuevamente en algún punto del futuro y devolverlo a quien originalemente lo prestó. Suponga como hasta ahora que existen dos activos financieros: A y B. Usted podría acudir hasta donde un tenedor del activo A, pedirle prestado su activo, vender A y con ese dinero comprar B. En este sentido, su posición neta en el activo A sería negativa (α < 0) y su posición neta en B sería mayor al 100%. De esta forma, y tal como se aprecia en el siguiente gráfico, el alzamiento de la restricción a la venta corta de activos permite desplazar la combinación de alternativas alcanzables de media y desviación estándar a la derecha de los puntos A y B.

14.0% 12.0% 10.0%

B

8.0%

Media

6.0% 4.0% 2.0%

A

0.0% -2.0% -4.0% -6.0% -8.0% 0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

Desviacion Estandar

Combinación de Activos A y B con Venta Corta de Activos

59

6.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS

6.2

Extensión a N Activos

En la medida que un portafolio compuesto por A y B es trivialmente implementable, este portafolio también puede ser combinado con un tercer activo D para obtener nuevos portafolios que son combinación de A, B y D. Por lo tanto, todo lo señalado en la sección anterior es trivialmente aplicable a una situación con una cantidad N > 2 de activos financieros7 . Suponga la existencia de un número finito N de activos financieros y defina αiP , αjP y σ ij como la proporción del portafolio P invertida en el activo i, la proporción del portafolio P invertida en el activo j y la covarianza entre activos i y j respectivamente. De esta forma, la media y la varianza de un portafolio P puede ser descrita por el siguiente par de ecuaciones: E (RP ) = σ2 (RP ) =

N X

αiP E i=1 N X N X

(6.14)

(Ri )

αiP αjP σ ij

(6.15)

i=1 j=1

Sabemos que la contribución del activo i a la media (retorno) del portafolio es simplemente E (Ri ), ahora nos gustaría establecer la contribución de ese mismo activo a la varianza (riesgo) del portafolio. Para eso, reescribamos la ecuacion (6.15) como ÃN ! N X X σ 2 (RP ) = (6.16) αiP αjP σ ij i=1

j=1

PN

De manera obvia, el término j=1 αjP σ ij es la contribución del activo i a la varianza (riesgo) del portafolio P . Es importante notar que este término es la contribución de i al riesgo de un único portafolio, P . La contribución al riesgo de cualquier otro portafolio dependerá de la composición de tal portafolio. Analícemos un poco más en detalle la contribución de i al riesgo del portafolio P . Este puede fácilmente ser descompuesto en dos partes. N X j=1

7

αjP σ ij = αiP σ 2 (Ri ) +

N X

αjP σ ij

(6.17)

j=1 j6=i

Siempre puedo agrupar una cantidad grande de activos en dos portafolios distintos y construir combinaciones de dos portafolios.

60


El primer término a la derecha de la ecuación (6.17) es el porcentaje de P invertido en i multiplicado por la varianza de i. Este término es completamente idiosincrático al activo i debido a que no depende de otro activo j. Ahora bien el segundo término a la derecha de la ecuación (6.17) si depende del resto de los activos en P . Si la covarianza entre el activo i y el activo j (que tambien forma parte del portafolio P ) es negativa, entonces el término P N 8 j=1 αjP σ ij es obviamente negativo . Por lo tanto, a pesar de que la varj6=i

ianza de cualquier activo es, por definición, siempre positiva, no es posible determinar a priori si la contribución de un activo al riesgo del portafolio será positiva (y de qué magnitud) en la medida que es necesario conocer su covarianza con el resto de activos. Su covarianza con el resto de los componentes del portafolios (los activos j) puede ser negativa y contribuir a reducir el riesgo (varianza del portafolio).

En este punto, ya conocemos la contribución de un activo a la media y la varianza de un portafolio. No obstante, surge la pregunta obvia: ¿a qué portafolio nos referimos? Supongamos de nuevo que se poseen tres alternativas de inversión: A, B y D. En el siguiente gráfico, se muestran tres combinaciones posibles de activos: la combinación de A y B, la combinación de B y D y la combinación de A y D.

8

Obviamente, asumiendo que αjP > 0, esto es que existe prohibición a la venta corta de activos.

61

6.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 12.0% 10.0%

B

8.0%

Media

6.0% 4.0%

D A

2.0% 0.0% -2.0% -4.0% 0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

Desviacion Estandar

Un portafolio como P puede estar en cualquiera de esas combinaciones o en alguna adicional que incluya a los tres activos (esas combinaciones no se grafican aquí). En el siguiente capítulo, nos referiremos a las combinaciones eficientes entre N activos y que son los únicos portafolios en los cuales un inversionista tipo estará interesado en invertir.

Chapter 7 La Frontera Eficiente 7.1

El Concepto de Diversificación de Activos

En finanzas resulta habitual escuchar analistas recomendar estrategias de inversión basadas en la diversificación de activos. En tal contexto, el concepto de diversificación no se reduce más que a una estrategia del tipo de no colocar todos los "huevos" en la misma canasta. No obstante, este concepto es un poco más profundo que la simple idea de no colocar todos los "huevos" en la misma canasta. De acuerdo a la ecuación (6.17) en el pasado capítulo, es posible cuantificar la contribución de un activo al riesgo (varianza) del portafolio. Como ya se señaló, existe un riesgo idiosincrático a cada activo que es su propia varianza. Pero cada activo se mueve también en algún grado con el resto de los activos de ese portafolio (la covarianza). Un par de activos con covarianza negativa, en los cuales se invierte en montos positivos1 , tendrá una contribución negativa al riesgo (varianza) del portafolio. No obstante, tal estrategia no implica necesariamente una diversificación eficiente de los riesgos de mercado. Suponga el siguiente ejemplo donde existen tres alternativas de inversión (A, B y D) cuyas medias, varianzas y covarianzas se detallan en el siguiente cuadro.

1

Esto es sin venta corta.

63

64

CHAPTER 7 LA FRONTERA EFICIENTE Media Varianza-Covarianza

A

B

D

A

3%

A

0.25% -0.01%

0.01%

B

10%

B

0.36%

-0.02%

D

4%

D

0.16%

Uno podría decir entonces que, dado que existen pares de covarianzas negativas entre activos, podriamos formar portafolios que reducen el riesgo (varianza) de los activos individuales. Seleccionemos un portafolio E con proporciones arbitrariamente fijas en un tercio de la riqueza para cada activo. Aplicando las ecuaciones (6.14) y (6.15), podemos representar este portafolio E en el espacio de media y desviacion estándar (siguiente gráfico). 12.0% 10.0%

B

Media

8.0% 6.0%

F

E

4.0%

D A

2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

Este portafolio E tiene la menor desviación estándar al compararlo con los activos individuales (fruto de covarianzas negativas). No obstante, es posible también construir un portafolio F de igual media y menor desviación estándar que E. Este portafolio F se compone de 24% invertido en A, 32% invertido en B y 44% invertido en D, de tal forma que cuesta lo mismo que el portafolio E. Resulta obvio que F domina a E en la medida que ofrece igual retorno (media) con menor riesgo (desviación estándar). Por lo tanto, ningún inversionista racional podría diversificar su portafolio de acuerdo a

7.2 CARACTERIZACIÓN GRÁFICA DE LA FRONTERA EFICIENTE65 E si lo puede hacer mejor diversificando como en F. Esto es la base de una diversificación eficiente, tengo que buscar combinaciones eficientes que me reduzcan al mínimo la desviación estándar de un portafolio. Cualquier otro portafolio que a pesar de reducir la varianza de los activos individuales no reduzca al máximo el riesgo diversificable no puede ser considerado un portafolio eficiente.

7.2

Caracterización Gráfica de la Frontera Eficiente

Tal como es posible encontrar un portafolio de menor desviación estándar que E pero con igual retorno esperado (media). Este ejercicio es también posible de implementar para todo el espacio de retornos esperados. En el siguiente gráfico, la línea punteada muestra los puntos de menor desviación estándar para cada nivel de retorno generados como la combinación lineal de los activos individuales A, B y D. 12.0% 10.0%

B

Media

8.0% 6.0%

F

E D

4.0%

A 2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

La linea punteada es lo que se conoce como la Frontera Eficiente, y corresponde a todos los portafolios de mínima desviación estándar para cada nivel de retorno. Todos los activos contenidos en tal frontera son también

66

CHAPTER 7 LA FRONTERA EFICIENTE

conocidos como Portafolios de Mínima Varianza. En la siguiente sección nos referiremos a las propiedades únicas que comparten todos los Portafolios de Mínima Varianza.

7.3

Propiedades de la Frontera Eficiente

En la sección previa hemos delineado la base de la diversificación. Esto puede ser formalizado algebraicamente con algo más de cuidado. Suponga que existen N activos disponibles. Lo que buscamos son portafolios eficientes, es decir combinaciones de N activos que reduzcan al mínimo la varianza de un portafolio para cada nivel de P media PN(retorno). Definamos la varianza de un portafolio como σ2 (RP ) = N i=1 j=1 αiP αjP σ ij , entonces los portafolios de mínima varianza (MV) son la solucion al siguiente problema de optimización. min σ 2 (RP )

(7.1)

{αiP }N

sujeto al siguiente par de restricciones N X

(7.2)

αiP E (Ri ) = E (RMV )

i=1

N X

(7.3)

αiP = 1

i=1

donde E (RMV ) se refiere al nivel de retorno esperado (media) para el cual se pretende minimizar la varianza del portafolio. Tal como es estándar en cualquier problema de optimización con restricciones, su solución requiere en primer lugar la implementación de un lagrangeano. " " # # N N X X L = σ 2 (RP ) + 2λMV E (RMV ) − αiP E (Ri ) + 2φMV 1 − αiP i=1

i=1

(7.4) donde 2λMV y 2φMV corresponden a los multiplicadores lagrangeanos de las restricciones (7.2) y (7.3). Ahora bien, la solución al problema de los portafolios de mínima varianza corresponde a N condiciones de primer orden

67

7.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE del siguiente tipo,

∂L ∂αiP N X j=1

= 0, αjMV σ ij − λMV E (Ri ) − φMV = 0

(7.5)

donde αjMV son las proporciones de cada activo invertidas en el portafolio de mínima varianza (MV) con retorno esperado E (RMV ). Como la ecuación (7.5) se satisface para todo activo i es cierto entonces que se satisface para un activo k N X αjMV σ kj − λMV E (Rk ) − φMV = 0 (7.6) j=1

Igualando el lado derecho de las ecuaciones (7.5) y (7.6) obtenemos N X j=1

N X

αjMV σ kj − λMV E (Rk ) =

j=1

αjMV σ ij − λMV E (Ri )

(7.7)

Multiplicando ambos lados de la expresion 7.7 por αkMV obtenemos N X j=1

αkMV αjMV σ kj −λMV αkMV E (Rk ) =

N X j=1

αjMV σ ij αkMV −λMV E (Ri ) αkMV (7.8)

Sumando la expresión previa para todo k, se tiene que N X N X k=1 j=1

αkMV αjMV σ kj −λMV

N X

αkMV E (Rk ) =

N X j=1

k=1

αjMV σ ij

N X k=1

αkMV −λMV E (Ri ) (7.9)

Reordenado términos σ 2 (RMV ) − λMV E (RMV ) = E (Ri ) − E (RMV ) =

N X j=1

αjMV σ ij − λMV E (Ri )

1 λMV

"N X j=1

(7.10) #

αjMV σ ij − σ 2 (RMV )

(7.11)

La ecuación (7.11) es particularmente relevante porque nos indica que la diferencia de retorno esperado entre cualquier activo i y un portafolio de

N X k=1

αkMV

68


mínima varianza es una relación lineal entre la diferencia entre contribución Pla N al riesgo del activo i en el portafolio de mínima varianza ( j=1 αjMV σ ij ) y el riesgo total del portafolio de mínima varianza (σ 2 (RMV )). Más aún, la pendiente de esa relación lineal es la inversa de un medio del multiplicador de lagrange de la restricción (7.2). Cuesta interpretar intuitivamente la pendiente de la relación (7.11), ya que depende de un multiplicador de lagrange que no es observable. Sin embargo, de acuerdo al TEOREMA DE LA ENVOLVENTE, sabemos por definición que un multiplicador lagrangeano es la tasa de cambio del objetivo ya minimizado (σ 2 (RMV )) cuando se cambia el valor de la restricción (7.2). 2λMV =

dσ 2 (RMV ) ⇐⇒ Teorema de la Envolvente dE (RMV )

(7.12)

Definamos γ MV como la pendiente de la frontera eficiente en cualquier portafolio de mínima varianza, tal que dE (RMV ) dσ (RMV ) dσ (RMV ) = dE (RMV )

γ MV = 1 γ MV

(7.13) (7.14)

Podemos aplicar la regla de diferenciación de la cadena sobre la expresión anterior para obtener lo siguiente dσ (RMV ) dσ (RMV ) dσ 2 (RMV ) = dE (RMV ) dσ 2 (RMV ) dE (RMV ) dσ 2 (RMV ) dσ (RMV ) 1 = dE (RMV ) 2σ (RMV ) dE (RMV ) | {z }

(7.15) (7.16)

2λM V , ec. 7.12

dσ (RMV ) λMV 1 = = dE (RMV ) σ (RMV ) γ MV 1 γ MV = λMV σ (RMV )

(7.17) (7.18)

Por lo tanto, la pendiente de la relación lineal entre retorno esperado y contribución al riesgo del portafolio de míninima varianza (ecuacion (7.11)) es el cuociente entre la pendiente de la frontera eficiente en cualquier portafolio

7.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE

69

de mínima varianza y la desviación estándar de ese portafolio de mínima varianza. Reemplazando la expresión (7.18) en la ecuación (7.11), se obtiene

"N # X γ MV 2 E (Ri ) − E (RMV ) = αjMV σ ij − σ (RMV ) σ (RMV ) j=1

E (Ri ) = E (RMV ) − γ MV σ (RMV ) +

N γ MV X αjMV σ ij σ (RMV ) j=1 | {z }

(7.19)

(7.20)

cov(Ri, RMV )

E (Ri ) = E (RMV ) − γ MV σ (RMV ) + γ MV

cov (Ri, RMV ) σ (RMV )

(7.21)

La pregunta relevante en este punto es, ¿qué cosa es la pendiente de la frontera eficiente? El siguiente gráfico se muestra la pendiente de la frontera eficiente para un portafolio de mínima varianza (MV)2 . Se detalla también ahí un portafolio (0,MV) que pertenece a la pendiente de la frontera eficiente en el portafolio MV, pero que corta el eje de las Y en el punto cero de desviación estandar. Ese portafolio 0,MV es lo que se conoce como el portafolio de beta cero.

2

O lo que es lo mismo, sobre la frontera eficiente.

70

CHAPTER 7 LA FRONTERA EFICIENTE 12% 10%

Media

8% MV

6% 4% 2% 0,MV

0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

Por construcción geométrica, la pendiente de la frontera eficiente en el punto MV es E (RMV ) − E (R0,MV ) (7.22) γ MV = σ (RMV ) Reemplazando (7.22) en (7.21), se obtiene la siguiente expresión E (Ri ) = E (RMV )−

E (RMV ) − E (R0,MV ) E (RMV ) − E (R0,MV ) cov (Ri, RMV ) σ (RMV )+ σ (RMV ) σ (RMV ) σ (RMV ) (7.23)

E (Ri ) = E (R0,MV ) + [E (RMV ) − E (R0,MV )]

cov (Ri, RMV ) (7.24) σ 2 (RMV ) | {z } β i,M V

E (Ri ) = E (R0,MV ) + [E (RMV ) − E (R0,MV )] β i,MV

(7.25)

La ecuación (7.25) nos presenta una simple relación lineal que vincula el retorno esperado (media) de un activo i con su contribución al riesgo del portafolio de mínima varianza MV. β i,MV es la contribución del activo i al riesgo del portafolio de mínima varianza MV como porcentaje

7.4 UNA EXPLICACIÓN INTUITIVA A LAS PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFIC del riesgo (varianza) total del portafolio MV. De esta forma, el término [E (RMV ) − E (R0,MV )] β i,MV puede ser interpretado como el premio por riesgo sobre el retorno de MV en la relación entre el retorno esperado del activo i y su contribución al riesgo del portafolio MV. Si el activo i, no contribuye al riesgo del portafolio MV, tenemos que β i,MV = 0, y por tanto el activo i no tiene riesgo en relación al portafolio MV. En este sentido, la ecuacion (7.25) indica que el retorno esperado en cualquier activo i es igual al retorno esperado en un activo que no tiene riesgo en relación al portafolio MV más un premio por riesgo que es la diferencia entre el retorno esperado en el portafolio MV y el portafolio 0,MV multplicado por β i,MV . No obstante, lo más relevante que retenga en este punto es que por otra vía hemos llegado a una representación beta para el retorno esperado de culaquier activo i, Esta representación beta es igual a la obtenida en la expresión (5.13) en el capítulo 4 de estos apuntes.

7.4

Una Explicación Intuitiva a las Propiedades de la Frontera Eficiente

Queremos darle algo más de intuición al resultado en la ecuación (7.24). Suponga que partimos con un portafolio de mínima varianza, RMV , y ahora queremos cambiar la composición de tal portafolio comprando un monto ε de activo Ri y vendiendo un monto ε de activo de beta cero, R0,MV . La ganancia de tal cambio en composición es el mayor retorno esperado del nuevo portafolio: Ganancia en Retorno = E (RMV ) + ε · E (Ri − R0,MV )

(7.26)

Por su parte, el costo de tal cambio es el incremento de la varianza del portafolio: Costo en Varianza = σ2 (RMV + ε · (Ri − R0,MV )) = σ 2 (RMV )+2ε·cov (RMV , Ri )+ε2 ·var (Ri ) (7.27) ≈ σ 2 (RMV )+2ε·cov (RMV , Ri ) , para un ε arbitrariamente pequeño. (7.28) Esto, obviamente, también es cierto para el portafolio de mínima varianza (RMV ), de tal forma que si reemplazamos Ri por RMV se obtiene que Ganancia en Retorno = E (RMV ) + ε · E (RMV − R0,MV )

(7.29)

72


Costo en Varianza ≈ σ2 (RMV + ε · (RMV − R0,MV )) = σ 2 (RMV )+2ε·σ 2 (RMV ) (7.30) La idea intuitiva es la siguiente. Dado que el portafolio MV es de mínima varianza, entonces ya no queda nada más que diversificar, tal que la relación entre la ganancia marginal en retorno y el costo marginal en varianza por cambiar la composición del portafolio MV deben ser iguales independiente del activo que se agregue al portafolio: ε · E (Ri − R0,MV ) ε · E (RMV − R0,MV ) = 2ε · cov (RMV , Ri ) 2ε · σ 2 (RMV )

(7.31)

Simplificando términos, se obtiene que el "trade-off" entre ganancia de retorno y costo de varianza debe ser el mismo al momento de agregar cualquier activo a un portafolio perfectamente diversificado (por lo tanto, de mínima varianza) E (Ri − R0,MV ) E (RMV − R0,MV ) = cov (RMV , Ri ) σ 2 (RMV )

(7.32)

Reordenando términos, se llega nuevamente a la expresión (7.24): cov (RMV , Ri ) σ 2 (RMV ) (7.33) En definitiva, la expresión que acabamos de describir no es más que la consecuencia de que el "trade-off" entre retorno y riesgo debe ser igual para cualquier activo al ser combinado con un portafolio perfectamente diversificado. Una vez más hemos llegado a una representación beta para el retorno esperado de cualquier activo i. Tanto en esta sección, como en la precedente, hemos partido de un portafolio de mínima varianza RMV y hemos llegado a una representación beta como la de la ecuación (5.13) en el capítulo 4 de estos apuntes, la cual por su parte fue derivada de una representación de factor de descuento estocástico como 1 = E [mRi ]. E (Ri ) = E (R0,MV )+β i,MV ·[E (RMV ) − E (R0,MV )] , donde β i,MV =

7.5 PORTAFOLIOS DE MíNIMA VARIANZA Y REPRESENTACIÓN BETA73

7.5

Portafolios de Mínima Varianza y Representación Beta

Lo anterior me permite introducir un par de teoremas que nos será de gran utilidad de aquí en adelante: Theorem 14 Existe un factor de descuento estocático lineal en RMV (m = a + bRMV ) si y sólo si RMV es un portafolio sobre la frontera eficiente (i.e. es de mínima varianza). Proof. Cochrane (2001), Capítulo 6, Asset Pricing, Princeton University Press. Theorem 15 Dado un modelo lineal de factor de descuento estocástico, m = a + bf y 1 = E [mRi ], uno siempre puede encontrar parámetros γ y λ que satisfagan una representación beta como ¡ ¢ E Ri = γ+λβ i , donde β i es el coeficiente de la regresión de Ri en una constante y f (7.34) Proof. Partamos de la representación de factor de descuento estocástico £ ¤ 1 = E mRi (7.35) i ¡ ¢ cov (m, R ) 1 − (7.36) E Ri = E (m) E (m)

Podemos introducir la media del factor f en el parámetro a, tal que E (f ) = 0 y ¡ ¢ 1 E (f Ri ) b (7.37) E Ri = − a a −1

Dado que, por construcción, β i = E (f 2 ) la ecuación (7.37) como

E (fRi ), podemos reescribir

−1 ¡ i¢ 1 E (f 2 ) E (f 2 ) E (f Ri ) b E R = − a a ¡ i¢ E (f 2 ) b 1 − β E R = a | {za } i |{z} γ

λ

(7.38) (7.39)

74

CHAPTER 7 LA FRONTERA EFICIENTE Donde 1 a λ = −γE (f f b) = −γE (f (m − a)) λ = −γE (mf ) γ =

(7.40) (7.41) (7.42)

Donde el último paso viene dado por el hecho de que E (f ) = 0. Una última cosa a notar acerca de este último teorema. La ecuación (7.42) puede ser interpretada como el precio del factor f (recuerde que la ecuación E [mf ] valoriza el flujo f ). Por lo tanto, λ ≡ −γ · p [f ]

(7.43)

Donde p (·) es un operador de precios. Dado que f es un factor limpio de tendencias, el factor subyacente fe se relaciona con f de acuerdo a f = ³ ´ fe − E fe , tal que h ³ í e λ ≡ −γ · p f − E fe ³ ´  ³ ´ E fe  λ ≡ −γ · p fe − γ

(7.44)

(7.45)

³ ´ Donde el último paso viene dado por el hecho de que E fe es una constante y el precio de un pago constante (cierto) en el futuro es su valor descontado a la tasa libre³de´riesgo. Si el factor subyacente (fe) es un retorno con precio igual a uno, p fe = 1, entonces, podemos definir el premio por riesgo como ³ ´ λ ≡ E fe − γ (7.46)

¿Por qué razón son importantes estos teoremas? Porque basta con observar un portafolio sobre la frontera eficiente (cualquiera), para saber que existe un factor de descuento estocástico lineal en ese portafolio, y por lo tanto una representación beta del retorno esperado de caulquier activo i con respecto a tal portafolio de mínima varianza donde los betas se definan como los coeficientes de la regresión de Ri en una constante y f . En otras palabras, basta con un portafolio de mínima varianza para tener una representación beta, donde los betas se definan como en las ecuaciones

7.5 PORTAFOLIOS DE MíNIMA VARIANZA Y REPRESENTACIÓN BETA75 (7.25) y (7.33). ¡No se necesita nada más! En ese sentido, las dos secciones previas de este capítulo están, en alguna forma de más, ya que no se requiere de toda esa algebra para llegar a tal resultado. Toda esa algebra de minimización de varianza de un portafolio para cada nivel de media (retorno) es -si me permiten la libertad- finanzas prehistóricas.

Chapter 8

Equilibrio de Mercado

Al momento de analizar las propiedades de los portafolios de mínima varianza (la frontera eficiente) no nos hemos referido en ninguna forma a las preferencias de los consumidores. En este punto sólo sabemos que ellos tienen preferencias sobre los dos primeros momentos (media y varianza) de ditribuciones aleatorias de retornos. Cabe la pregunta, ¿cuáles son los puntos que seleccionan estos inversionistas? Lo poco que sabemos hasta ahora es que elegirán portafolios sobre el segmento superior de la frontera eficiente. Esto es relativamente obvio en la medida que ubicarse en el segmento inferior de la frontera siempre permite una estrategia en puntos de mayor retorno para el mismo desvío estandar. Sin embargo, resulta bastante obvio que distintos inversionistas, con distintas preferencias, invertirán en portafolios distintos tal cual como, a continuación, se grafica. 77

78

CHAPTER 8 EQUILIBRIO DE MERCADO 12% 10%

Media

8% 6% 4% 2% 0,MV

0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

Dado que conocemos interesantes propiedades de los puntos en la frontera1 , nos gustaría saber si es que portafolios que si observamos2 se ubican sobre la frontera eficiente y por lo tanto comparten las propiedades de los portafolios que se ubican sobre la frontera. Esta pregunta es en extremo relevante porque envuelve una pregunta aún más importante, existe equilibrio en el mercado tal que los portafolios agregados que observamos son parte de la frontera eficiente.

8.1

La Definición de Equilibrio de Mercado

¿Por qué nos interesa el equilibrio de mercado? Refiérase a sus notas de clases de Microeconomia I, la existencia de un equilibrio de mercado implica la existencia de un único set de precios que vacía los mercados. Por lo tanto, la existencia de un equilibrio nos asegura que existe un set de precios únicos al cual los inversionistas transan activos. 1

Por ejemplo, que existe una relación lineal entre el retorno esperado de cualquier activo y su contribución al riesgo de un portafolio en la frontera. 2 Por ejemplo, índices accionarios locales como el IPSA o el IGPA o índices accionarios internacionales como el S&P-500 o el Dow Jones.

8.2 EL PORTAFOLIO DE MERCADO Y EL EQUILIBRIO DE MERCADO79 León Walras nos ha proveído de una manera formal de definir un equilibrio (el equilibrio competitivo o walrasiano) que aquí utilizaremos para definir un equilibrio en una economia de dotación y con activos financieros. Definition 16 Un equilibrio competitivo es un set de precios (o retornos esperados) y cantidades de activos, tal que: • Cada inversionista i resuelve su problema de maximización. • Los mercados se vacían. Esto es la oferta agregada de cada activo j es igual a la demanda total por el activo j. La implicancia de la condición de mercado es simplemente que todo activo financiero emitido por un inversionista debe ser mantenido por algún otro inversionista, tal que su oferta neta es cero.

8.2

El Portafolio de Mercado y el Equilibrio de Mercado

La definición del portafolio de mercado es particularmente obvia, pero también en extremo relevante. El portafolio de mercado es por construcción la suma ponderada de todos los activos que mantienen los j inversionistas. De la misma forma, si lo vemos como porcentaje de la riqueza total en la economía, el portafolio de mercado es el promedio ponderado de cada uno de los portafolios que mantienen los j inversionistas. De la definición del equilibrio competitivo, sabemos de una característica única de cada uno de los portafolios en manos de los j inversionistas, estos portafolios deben ser eficientes para resolver el problema de maximización del inversionista. Por lo tanto, estos portafolios deben ubicarse sobre la frontera eficiente, i.e. son todos portafolios de mínima varianza (MV). La relevancia de esto último está dada por lo siguiente. Un equilibrio de mercado requiere que la demanda en cada activo sea igual a la oferta por este (el vaciado de mercado). Como el portafolio de mercado es el promedio ponderado de todos los portafolio de todos los inversionistas j, entonces para demostrar la existencia de un equilibrio competitivo basta con demostrar que el portafolio de mercado es eficiente (mínima varianza). Para demostrar esto, es necesario introducir el Teorema de F. Black.

80

CHAPTER 8 EQUILIBRIO DE MERCADO

Theorem 17 Teorema de Separación de 2 Fondos (Fisher Black). La Frontera Eficiente siempre puede ser generada como una combinación lineal de dos puntos cualquiera sobre la Frontera Eficiente. Proof. Reescribiendo en notación matricial, las N condiciones de primer orden del problema de optimización de portafolio (ecuación (7.5)), se obtiene que A XMV = λMV E (R) + φMV [1] (8.1) (N×N) (N×1)

(N×1)

(N×1)

Definiendo D = A−1 , la expresión anterior se transforma en (8.2) XMV = λMV DE (R) + φMV D [1] "N "N # # X X dij E (Rj ) + φMV dij , para i = 1 . . . N (8.3) αiMV = λMV j=1

j=1

Expandiendo la expresión (8.3), # " PN # " PN N X N X N N X X j=1 dij E (Rj ) j=1 dij +φMV dij E (Rj ) PN PN dij PN PN αiMV = λMV i=1 j=1 dij E (Rj ) i=1 j=1 dij i=1 j=1 i=1 j=1 P PN PN PN(8.4) Definiendo yMV u = λMV N d E (R ), y = φ j MV v MV i=1 j=1 ij i=1 j=1 dij ,

αiu = en

SN j=1 dij E(Rj ) SN SN , i=1 j=1 dij E(Rj )

Dado que

PN

i=1

αiv =

SN

SN

j=1 dij SN j=1 dij

, la expresión anterior se convierte

i=1

(8.5)

αiMV = yMV u αiu + yMV v αiv

αiMV = 1, tenemos que

N X

αiMV = yMV u

i=1

yMV u + yMV v = 1

N X

αiu + yMV v

|i=1{z } 1

N X

αiv = 1

|i=1{z }

(8.6)

1

(8.7)

Por lo tanto, de acuerdo a las expresiones (8.5) y (8.7), cualquier portafolio de mínima varianza (MV) es un promedio ponderado de los portafolios u y v. Para completar la prueba del Teorema de Black nos falta demostrar que los portafolios u y v son portafolios de mínima varianza (MV) y se encuentran

8.2 EL PORTAFOLIO DE MERCADO Y EL EQUILIBRIO DE MERCADO81 sobre la frontera eficiente. Las proporciones invertidas en cada activo que definen los portafolios u y v están dadas por

PN

j=1 dij E (Rj ) αiu = PN PN i=1 j=1 dij E (Rj ) PN j=1 dij αiv = PN PN i=1 j=1 dij

(8.8) (8.9)

Por simple inspección de la expresión (8.4), es posible apreciar que el ³P P ´−1 N N portafolio u es de mínima varianza cuando φMV = 0 y λMV = . i=1 j=1 dij E (Rj ) Por su ³parte, el portafolio ´−1 v es de mínima varianza cuando λMV = 0 y PN PN φMV = . i=1 j=1 dij

Por lo tanto, todo portafolio de minima varianza (MV) es una combinación lineal de dos portafolios u y v sobre la frontera eficiente. Toda combinación de portafolios u y v sobre la frontera eficiente que satisfacen la condición (8.7) es también un portafolio eficiente.

Una consecuencia directa del Teorema de Separación de 2 Fondos es que el portafolio de mercado debe ser eficiente (y de mínima varianza). En la medida que todos los inversionistas eligen sólo portafolios eficientes3 , y dado que el portafolio de mercado es un promedio ponderado de esos portafolios eficientes se concluye que el portafolio de mercado (M) debe también ser eficiente, tal como se muestra en el siguiente gráfico.

3

Esto es en el segmento superior de la frontera eficiente.

82

CHAPTER 8 EQUILIBRIO DE MERCADO 12% 10%

Media

8% M

6% 4% 2% 0,M

0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

8.3

El CAPM como Equilibrio de Mercado

La implicancia más relevante de la eficiencia del portafolio de mercado (M) es que este debe compartir todas las propiedades de los portafolio sobre la frontera eficiente. En particular, sabemos a partir de la relación (7.24) que todos los portafolios sobre la frontera eficiente satisfacen la propiedad de que el exceso de retorno de cualquier activo i sobre el retorno esperado del activo en la frontera se relaciona linealmente con el porcentaje de la contribución al riesgo de ese activo i en el portafolio sobre la frontera. En la medida, que el portafolio de mercado (M) es eficiente debe satisfacer la siguiente expresión E (Ri ) = E (R0,M ) + [E (RM ) − E (R0,M )] β i,M

(8.10)

La expresión (8.10) es lo que se conoce como el CAPM de Fisher Black e indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al retorno esperado de un activo no correlacionado con el portafolio de mercado4 más un premio por riesgo que es igual a la diferencia de retorno esperado 4

Es decir un activo con β iM = 0.

8.4 EL CAPM CUANDO EXISTE UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO83 entre el mercado y el portafolio de beta cero multiplicado por la contribución proporcional del activo i al riesgo total del portafolio de mercado (M).

8.4

El CAPM cuando Existe un Activo Libre de Riesgo

Supongamos ahora que se encuentra disponible un nuevo activo financiero libre de riesgo (Rf ) que por definición tiene varianza cero y covarianza cero con el resto de los activos. Tal como se aprecia en el siguiente gráfico, la aparición de este nuevo activo al combinarse con el portafolio de la frontera eficiente que tangente a la línea que nace en Rf amplía las posibilidades de inversión de todos los inversionistas. De esta forma, cada uno de estos ya no invertirá en portafolios sobre la frontera eficiente sino que en combinaciones entre Rf y el portafolio de tangencia (M) sobre la frontera eficiente. 12% 10%

Media

8% M

6% 4% 2% Rf

0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

Sin embargo, note lo siguiente: el activo libre de riesgo Rf tiene covarianza cero con el portafolio en la tangencia (M) y ademas el portafolio M todavía pertenece a la frontera eficiente, por lo tanto comparte todas sus propiedades (por ejemplo, la relación (7.24)). En ese sentido, si M es el portafolio de mercado la relación (8.10) se satisface pero con la única diferencia que el

84


portafolio de beta cero es el activo libre de riesgo(Rf ). Por lo tanto, la nueva expresión para el CAPM es directamente E (Ri ) = Rf + [E (RM ) − Rf ] × β i,M

(8.11)

La expresión (8.11) es lo que se conoce como el CAPM de Sharpe y Litner e indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al retorno del activo libre de riesgo más un premio por riesgo que es igual a la diferencia de retorno esperado entre el mercado y el activo libre de riesgo multiplicado por la contribución proporcional del activo i al riesgo total del portafolio de mercado (M).

8.5

El CAPM a Partir de Una Representación de Factor de Descuento Estocástico

Si el portafolio de mercado (M) se encuentra sobre la frontera eficiente, sabemos que existe -por un teorema en el pasado capítulo- un factor de descuento estocástico que es lineal en el portafolio de mercado, m = a + bRM . Finalmente, también sabemos por otro teorema en el capítulo pasado que si existe una representación lineal para el factor de descuento estocástico, entonces siempres es posible encontrar parámetros γ y λ que satisfagan una representación beta como ¡ ¢ E Ri = γ+λβ i , donde β i es el coeficiente de la regresión de Ri en una constante y RM (8.12) En presencia de un activo libre de riesgo, γ = Rf y λ = E (RM ) − Rf , tal que ¡ ¢ £ ¤ E Ri = Rf + E (RM ) − Rf β i (8.13) Una vez más, por vía de una representación de factor de descuento estocástico, hemos llegado al CAPM.

8.6

Una Aplicación del Equilibrio de Mercado

Una aplicación directa del concepto de equilibrio de mercado es que nos ayuda a entender un concepto particularmente relevante en finanzas: el precio de

8.6 UNA APLICACIÓN DEL EQUILIBRIO DE MERCADO

85

mercado del riesgo. Primero, partamos definiendo el concepto de precio de mercado del riesgo en una economía habitada por inversionistas que sólo les interesa la media y la desviación estándar de sus retornos. En dicho caso, definiremos precio de mercado del riesgo como el exceso de retorno del portafolio de mercado (sobre la tasa libre de riesgo) por unidad de riesgo (aquí definida por la desviación estándar de los retornos del portafolio de mercado). En otras palabras, en una economía de inversionistas a la Markowitz, el precio de mercado del riesgo (también conocido como la razón de Sharpe o Sharpre ratio) se define como: µ − Rf SR = π = M (8.14) σM donde µM y σ M representan el retorno y la desviación estándar del portafolio de mercado, respectivamente.

8.6.1

El Modelo

Sólo por simplicidad, asuma que existen sólo dos clases de activos: el activo libre de riesgo (F) y el activo riesgoso -acciones5 - (M). La decisión de nuestros inversionistas radica en definir cómo repartir su riqueza entre ambas clases de activos. Defina ω como el porcentaje de la riqueza invertido en el activo riesgoso (M), tal que 1 − ω es la proporción invertida en el activo libre de riesgo (F). Por lo tanto, el retono, la varianza y la desviación estándar del portafolio (P) elegido por un inversionista se encuentran dados por: (8.15) E [P ] = E [ω · M + (1 − ω) F ] = α · µM + (1 − α) · Rf V [P ] = V [ω · M + (1 − ω) F ] (8.16) 2 2 (8.17) ] = ω · V [M] + (1 − ω) · V [F ] + 2 · ω · (1 − ω) · Cov [M, F 2 2 (8.18) = ω · σM (8.19) DST [P ] = ω · σ M Es relevante hacer notar el hecho de que, dado que el activo libre de riesgo (F) tiene covarianza cero con cualquier otro activo, entonces el portafolio P debe estar necesariamente sobre la línea recta que une los portafolios F y M. 5

Existen muchos activos riesgosos, aquí sólo existe un único activo con riesgo. Piense en un gran fondo mutuo compuesto de todas los activos riesgosos. Estamos pensando en el portafolio de mercado.

86


Por la vía de permitir la venta corta del portafolio M es posible extender la línea de portafolios disponibles a la derecha de M. Note que, equivalentemente a cualquier problema estándar de maximización, aquí se nos presenta un set de posibilidades de inversión en el espacio de media y desviación estándar, representadas por la línea recta en el gráfico.

Línea del Mercado de Capitales Media

M

P

pendiente: razón de Sharpe

F

Desviación Estándar

De esta forma, definidas las preferencias de los inversionistas, es posible definir (tanto gráfica como algebraicamente) un equilibrio: la tangencia entre la mayor curva de indiferencia alcanzable y la restricción presupuestaria de riesgo-retorno. Por lo tanto, corresponde dar una definición más precisa de las preferencias.

8.6.2

Preferencias

Por simplicidad, definiremos las preferencias de los inversionistas de acuerdo a la siguiente clase de funciones de utilidad: U (µ, σ) = µ −

α 2 σ 2

(8.20)


87

donde µ, σ y α representan el retorno, la desviación estándar y el coeficiente de aversión al riesgo, respectivamente. Lo que dicha función de utilidad dice es que, ante un mayor coeficiente de aversión al riesgo, un incremento en el riesgo tiene un impacto (negativo) mayor sobre la utilidad del inversionista. Si α > 0, entonces el inverionista es averso al riesgo. Si α = 0, entonces el inverionista es neutral al riesgo. Si α < 0, entonces el inverionista es preferente al riesgo.

8.6.3

Equilibrio de Mercado

De acuerdo a la definición de equilibrio de mercado, se requiere especificar tres conceptos: 1. Precios. Aquí utilizaremos la siguiente¡ noción de¢ precios: el exceso de retorno sobre la tasa libre de riesgo µM − Rf por cada unidad de riesgo.Podríamos utilizar directamente los precios de los activos, en vez de los retornos, no obstante eso haría más complejo el análisis. Sólo retenga el siguiente concepto: una acción es el derecho a recibir un flujo de caja, si el precio de ese flujo de caja cae es porque subió el retorno exigido a esa inversión. 2. La demanda agregada por riesgo. La demanda por activos viene dada por la demanda individual de muchos inversionistas que compran bonos (F) y acciones (M). Para representar la demanda agregada utilizaremos un truco estándar en economía: asumir la existencia de un agente representativo (que representa a todos) y que tiene una única función de utilidad. Por lo tanto, en nuestro modelo, representaremos la demanda agregada por riesgo de acuerdo a la demanda por riesgo de un único agente. 3. La oferta agregada por riesgo. Para efectos de nuestro análisis, se asumirá que la oferta de riesgo es perfectamente inelástica, esto quiere decir que el riesgo de las acciones (M) es fijo e igual a σ M . De esta forma, si P es el portafolio elegido por el agente representativo, el riesgo total en el mercado es igual a σ P = ω · σ M . Esta oferta de riesgo es perfectamente inelástica porque no depende del retorno de las acciones. Finalmente, es también relevante especificar de qué hablamos cuando nos referimos a equilibrio. Asumiremos que el riesgo de las acciones σM y la tasa

88


de interés libre de riesgo Rf son ambas fijas6 . Por lo tanto, los mercados de activos se vacían exclusivamente por un cambio en los retornos esperados de las acciones. A eso es lo que nos referimos por equilibrio: los retornos esperados de acciones que hacen que se iguale la oferta con la demanda agregada de riesgo. Intuitivamente, la tasa de retorno esperada en equilibrio de las acciones es aquella que hace que el agente representativo quiera mantener exactamente la cantidad de activos existentes en el portafolio P.

8.6.4

El Equilibrio Gráfico

Asuma por un momento que el agente demanda menos riesgo que el total de riesgo disponible (el riesgo del portafolio P). Esto significa que se está fuera de equilibrio. ¿Cómo se llega al equilibrio de mercado? Como existe un exceso de oferta de riesgo, esto implica que el precio del riesgo (de las acciones) es muy alto, o visto de otra forma su retorno exigido es muy bajo. Por lo tanto, el retorno exigido a las acciones debe subir de manera tal de que el agente demande más riesgo (acciones). Gráficamente, cuando se incrementa el retorno de las acciones, el punto M se desplaza verticalmente, manteniendo constante σ M e incrementando µM . Por lo tanto, se incrementa la pendiente de la línea del mercado de capitales. El punto de tangencia de la curva de indiferencia del agente representativo con la línea del mercado de capitales se produce ahora más cerca de M’.

6

Este es un muy buen supuesto para el corto plazo.

89

Media


M'

P' M P

F

sigma P

8.6.5

sigma M


El Equilibrio Algebraico

La ecuación que representa la línea del mercado de capitales es: µ ¶ µM − Rf µ (σ) = · σ + Rf σM µ (σ) = π · σ + Rf

(8.21) (8.22)

Reemplazando la expresión (8.22) en la función de utilidad del agente representativo se llega a: α 2 ·σ 2 α U (µ (σ) , σ) = π · σ + Rf − · σ 2 2 U (µ, σ) = µ −

(8.23) (8.24)

Andamos detrás de σ que maximiza la utilidad del agente. Para esto, se requiere sacar primeras derivadas de la función de utilidad e igualarla a cero. π−α·σ =0

(8.25)

90

CHAPTER 8 EQUILIBRIO DE MERCADO Resolviendo σ, se obtiene la demanda por riesgo: σd =

π α

(8.26)

En equilibrio, la demanda y la oferta agregada por riesgo deben igualarse, tal que: π = σd = α µM −Rf σM

α

µM −Rf σM

= ω · σM

α

= σP = ω · σM

(8.27) (8.28)

Por lo tanto, el retorno esperado de las acciones en equilibrio se encuentra determinado por: 2 f (8.29) µeq M = α · ω · σM + R Esta última ecuación es particularmente interesante porque entre otras cosas nos dice que frente a un incremento en la oferta relativa de acciones (un incremento en ω) uno debiera esperar una caída en el precio de las acciones, o lo que es equivalente un incremento en su retorno exigido.

8.7

La Línea del Mercado de Capitales y la Línea de Mercado de los Activos

Para impedir confusiones odiosas es importante distinguir dos conceptos muy similares, pero distintos, en finanzas. La línea del mercado de capitales es la recta que une el portafolio libre de riesgo (F) y el portafolio de activos riesgosos (M)7 . Esta línea puede ser entendida como todo el conjunto de portafolios disponibles para los inversionistas. En ese sentido, es posible entender dicha línea como una restricción presupuestaria. Todo punto sobre la línea del mercado de capitales equivale a un portafolio compuesto por una proporción de F y el resto por M. Por lo tanto, es sólo válida para portafolios compuestos por F y M, no activos o portafolios distintos a éstos. En efecto, dicha recta existe incluso si no existe equilibrio de mercado. Gráficamente, la línea del mercado de capitales parte 7

Obviamente, al permitir venta corta de activos, la línea del mercado de capitales se extiende a la derecha de M.

8.7 LA LíNEA DEL MERCADO DE CAPITALES Y LA LíNEA DE MERCADO DE LOS A

Media

del punto F y continúa hacia la derecha con pendiente igual a la razón de Sharpe.

M

Línea del Mercado de Capitales (pdte = razón de Sharpe)

mu m mu p

P

F

sigma p


sigma m

Esto significa que, algebraicamente, cualquier portafolio P sobre la línea del mercado de capitales puede representarse de acuerdo a la siguiente relación: ¸ µM − Rf × σP µP = R + σM f

·

(8.30)

Por su parte, la línea de mercado de los activos es la recta que relaciona el retorno esperado de cualquier activo o portafolio individual con el beta de ese activo o portafolio con el portafolio M. Por lo tanto, la línea de mercado de los activos es válida para todos los activos (o portafolios) si es que se cumple el modelo de equilibrio, en este caso el CAPM. Gráficamente, la línea de mercado de los activos parte desde el portafolio F (con beta cero) y continúa hacia la derecha con pendiente ¡ igual a¢ la diferencia entre el retorno de mercado y la tasa libre de riesgo µM − Rf . En el punto M, la líena de mercado de los activos tiene un beta igual a uno.

92

Media


M mu m

Línea de mercado de los activos (pdte = mu m Rf)

i mu i

F

beta i

1

Beta de mercado

Algebraicamente, esto implica que el retorno exigido en equilibrio a cualquier activo o portafolio i debe ser representado por el CAPM: £ ¤ µi = Rf + µM − Rf × β i,M (8.31)

Chapter 9 El Modelo de Mercado, CAPM y Riesgos Financieros 9.1

El Modelo de Mercado

De manera muy simple, el modelo de mercado se define como ¡ ¢ Ri,t − Rf = αi + RM,t − Rf · β i + εi,t ,

(9.1)

donde αi y β i son parámetros elegidos de manera tal que E (εi,t ) = 0 y ρ (εi,t , RM,t ) = 0 Lo anterior puede ser fácilmente interpretable como una regresión lineal entre el exceso de retorno del activo i contra el exceso de retorno del portafolio de mercado M y una contante. ¿Por qué? Basta con pensar en lo siguiente. Suponga que observamos series de tiempo para el retorno de un activo i, Ri,1 , Ri,2 , Ri,3 , . . . , Ri,t y para el retorno del portafolio de mercado M, RM,1 , RM,2 , RM,3 , . . . , RM,t . Si en cada periodo t no se impone ninguna restricción sobre εi,t , entonces ¡siempre se ¢pueden elegir valores para αi y β i tal que Ri,t − Rf = αi + RM,t − Rf β i + εi,t . Luego, si ¡se impone la condición E (εi,t¢) = ¡ ¢ 0, entonces se puede elegir αi tal que E Ri,t − Rf − αi − RM,t − Rf β i = 0, esto es se elige el valor del intercepto αi de manera de que el residuo de la regresión sea en promedio igual a cero. La segunda restricción en el modelo de mercado es ρ (εi,t , RM,t ) = 0, lo que es cierto ¡si se elige un valor ¡ β i tal que ¢ cov (εi,t¢, RM,t ) = 0 o equivf f alentemente cov Ri,t − R − αi − RM,t − R β i , RM,t = 0. Resolviendo cov(Ri,t ,RM,t ) . De esta forma, el modelo de lo anterior se llega a que β i = var R ( M,t ) 93

94CHAPTER 9 EL MODELO DE MERCADO, CAPM Y RIESGOS FINANCIERO mercado es simplemente una regresión lineal. Algunas precisiones sobre el modelo de mercado: • A pesar de su gran parecido con el CAPM, el modelo de mercado NO es el CAPM. • El modelo de mercado es una simple regresión lineal que se puede definir con muy pocas restriciones. En particular, se necesitan sólo dos restricciones: E (εi,t ) = 0 y ρ (εi,t , RM,t ) = 0. El modelo de mercado es simplemente un caso especial de lo que se conoce como una descomposición factorial (esto es, correr regresiones lineales contra factores, en este caso un único factor: el retorno de mercado). • Por el contrario, el CAPM es un modelo de equilibrio económico que determina -en ese equilibrio- cuanto es el precio del riesgo, común a todos los activos. • Si el CAPM es cierto, entonces éste impone restricciones adicionales sobre el modelo de mercado y, por lo tanto, conclusiones adicionales.

9.2

CAPM y Modelo de Mercado

Las restricciones adicionales que impone el CAPM sobre el modelo de mercado son las siguientes: 1. αi = 0. El intercepto de la regresión entre el exceso de retorno del activo i contra el exceso de retorno del portafolio de mercado M debe ser igual a cero. Este parámetro αi es lo que tradicionalmente se conoce como el alpha de Jensen. La idea intuitiva de esta restricción es muy simple: una vez considerada la cantidad de riesgo de mercado en un activo, no puede haber ningún exceso de retorno extra porque o sino habría infinita demanda por este activo hasta reducir este exceso de retorno a cero. 2. cov (εi,t , εj,t ) = 0, para todo i 6= j. La idea intuitiva de esta restricción es que, en un modelo de equilibrio como el CAPM, una vez considerado el riesgo de mercado de activos o portafolios individuales no puede quedar ningún rol para la diversificación que reduzca el riesgo (la varianza) de esos activos o portafolios individuales.

9.3 RIESGOS FINANCIEROS

95

El modelo de mercado más las restricciones que impone el CAPM permite establecer las siguientes implicancias sobre la media, la varianza y la covarianza de activos o portafolios. £ ¤ E (Ri ) = Rf + β i E (RM ) − Rf (9.2) σ 2i = β 2i · σ 2M + σ 2εi cov (Ri , Rj ) = β i · β j · σ 2M , para todo i 6= j

9.3

(9.3) (9.4)

Riesgos Financieros

La expresión (9.3) es particularmente útil porque permite distinguir dos conceptos fundamentales de riesgo financiero. Definiendo la varianza total del retorno del activo i como el riesgo de ese activo, podemos apreciar como tal riesgo se descompone en dos partes: 1. β 2i · σ 2M es lo que se conoce como riesgo de mercado (o riesgo no diversificable) de un activo. Esta es la parte de la varianza del retorno de un activo que se relaciona con el retorno de mercado y que, por lo tanto, no puede ser diversificado. ¿Por qué? Recuerde que en el equilibrio del CAPM, el portafolio de mercado se encuentra completamente diversificado (está sobre la frontera eficiente) y no queda nada más que diversificar. 2. σ 2εi es lo que se conoce como riesgo idiosincrático (o riesgo diversificable).Esta es la parte de la varianza del retorno de un activo que no se relaciona con el retorno de mercado y que, por lo tanto, puede ser diversificado.Como puede ser diversificado, en equilibrio no puede ser remunerado, lo que implica que, en la ecuación (9.2) que caracteriza el retorno exigido a un activo o portafolio individual, este componente no puede aparecer. Lo único relevante desde el punto de vista del retorno es el riesgo remunerado, que es el que está asociado al mercado. De esta forma, el CAPM dice que, en términos de retornos esperados, todo lo que importa es la cantidad de riesgo de un activo (su beta) y el premio por riesgo de mercado (el que es común a todos los activos y portafolios. No obstante, eso no significa que los retorno de activos individuales no tengan un componente de riesgo idiosincrático (diversificable). Por el contrario, este componente puede ser muy importante dentro de la varianza

96CHAPTER 9 EL MODELO DE MERCADO, CAPM Y RIESGOS FINANCIERO total de un activo. Lo único que dice el CAPM es que tal componente no puede ser premiado con mayor retorno, porque siempre es posible eliminarlo (diversificarlo) a costo cero.

Chapter 10 Limitaciones del CAPM En este capítulo, nos referiremos brevemente a las objeciones más habituales que se le realizan a un modelo de equilibrio de mercado como el CAPM. Estas generalmente, se pueden dividir en dos clases de objeciones: teóricas y empíricas. En la práctica, ambas están fuertemente relacionadas porque en general limitaciones teóricas al CAPM son las que generan sus problemas empíricos.

10.1

La Crítica de Roll

Se conoce como "crítica de Roll" a la siguiente observación sobre el CAPM realizada por el economista Richard Roll. De acuerdo a Roll, el portafolio de mercado (M) no es observable y por lo tanto, el CAPM es imposible de testear. El punto de Roll es que con algun éxito somos capaces de encontrar buenos datos para la parte del portafolio de mercado invertido en acciones o bonos. Sin embargo, la mayor parte de la riqueza de las personas está invertida en activos con escasos datos de calidad (como los activos inmobiliarios) o en activos directamente no observables (como el capital humano que cada persona invierte en sí mismo). El CAPM puede todavía ser cierto como modelo de equilibrio, pero de qué nos sirve si no somos capaces de testearlo empíricamente dado que el portafolio de mercado no es observable. 97

98

CHAPTER 10 LIMITACIONES DEL CAPM

10.2

Set de Posibilidades de Inversión No es Estable en el Tiempo

Hasta ahora hemos supuesto que tanto los retornos esperados como la covarianza de estos retornos es estable en el tiempo. El retorno esperado en el activo i es siempre E (Ri ) y la matriz de covarianza es siempre Ω. En este esquema, las posibilidades de inversión de un inversionista pueden ser especificadas en un espacio definido por media y varianza de los retornos (i.e. la frontera eficiente). Sin embargo, piense en lo siguiente: suponga que la rentabilidad de los proyectos de inversión es cíclica1 . Si los proyectos de inversión son muy rentables hoy lo más probable es que no sean tan rentables en el futuro, por lo tanto en períodos de alta rentabilidad de proyectos el retorno esperado futuro puede caer. En términos gráficos, esto significa que toda la frontera de posibilidades de inversión se mueve completa hacia abajo cuando la rentabilidad actual de los proyectos es muy alta. 12% 10% Desplazamiento de la frontera eficiente cuando la rentabilidad actual de los proyectos es alta

Media

8% 6% 4% 2% 0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

El argumento inverso es cierto cuando la rentabilidad actual de los proyectos es baja. 1

Por ejemplo, piense en el crecimiento del PIB. El PIB crece con ciclos, hay ciclos de alto crecimiento, seguidos por ciclos de menor crecimiento.

10.2 SET DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN NO ES ESTABLE EN EL TIEMPO99 12% 10% Desplazamiento de la frontera eficiente cuando la rentabilidad actual de los proyectos es baja

Media

8% 6% 4% 2% 0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

10.2.1

El CAPM Intertemporal (ICAPM)

El desplazamiento de la frontera eficiente sugiere entonces la necesidad de controlar el CAPM por todos los factores que mueven la frontera de posibilidades de inversión (por ejemplo, la rentabilidad de proyectos si creemos en su caracter cíclico). Esto es lo que se conoce como el ICAPM de Robert Merton. Lo que me interesa en este punto es entender la intuición detrás del ICAPM. Una manera muy intuitiva de comprender la idea detrás del ICAPM de Merton es la desarrollada en el trabajo de Cochrane (1999), "Portfolio Advice in a Multifactor World", en el programa del curso. De esta forma, lo que a continuación trataré de desarrollar es el argumento de Cochrane. Lo que hace Cochrane es considerar la existencia un factor adicional que le importe a los inversionistas, por ejemplo, una recesión. A los inversionistas, entonces, les interesan tres atributos de los portafolios de activos: (1) mayores retornos esperados, (2) menores desviaciones estándares y (3) cómo les vaya a los activos en épocas recesivas. En otras palabras, (3) se traduce en que un inversionista tipo se encuentra dispuesto a aceptar menor retorno o mayor desviación estándar en un activo con tal de que a este activo no le vaya tan mal en una recesión. En términos de los inversionistas a la

100


Markowitz, a estos ya no sólo les importa media y desviación estándar, sino que también un factor adicional, la sensibilidad a la recesión. En este sentido, las curvas de indiferencia de esta clase de inversionistas en dos dimensiones (media y desviación estándar, se convierten en planos de indiferencia en tres dimensiones. Ya no se buscan portafolios de mínima varianza que minimizen la varianza para cada nivel de retorno esperado, sino que se buscan portafolios que minimizen varianza, sujetos también a buscar un nivel de retorno esperado, pero sujetos también a distintos niveles de sensibilidad al riesgo adicional (recesión). Estos portafolios son los que se conocen como de mínima varianza global. Por lo tanto, lo que importa desde el punto de vista del set de posibilidades de inversión no es más la frontera eficiente de media y desviación estándar, sino que un hipérbola eficiente como la que se muestra en el siguiente gráfico. Esa hipérbola eficiente es la nueva superficie eficiente que se conoce ahora la Frontera Eficiente Multifactorial.

Ahora bien, si existe un activo libre de riesgo con desviación estándar igual a cero, entonces, la hipérbola eficiente se transforma en un cono eficiente, como en el gráfico a continuación:

10.2 SET DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN NO ES ESTABLE EN EL TIEMPO101

Podemos utilizar una versión general del teorema de separación de 2 fondos para demostrar que el portafolio de mercado es mutifactorialmente eficiente. Theorem 18 Teorema de Separación de N Fondos . La Frontera Multifactorialmente Eficiente siempre puede ser generada como una combinación lineal de S+2 puntos cualquiera sobre la Frontera Multifactorialmente, donde S representa la cantidad de factores adicionales a la media y desviación estándar, valorizados por los inversionistas. En el caso particular del ejemplo aquí dado, la frontera mutlifactorialmente eficiente puede ser generada como una combinación lineal de tres activos: (1) el portafolio de mercado (M), (2) el activo libre de riesgo (Rf ) si éste existe y (3) un portafolio adicional que también sea multifactorialmente eficiente (RS ). Utilizando un álgebra similar a la de dos capítulos atrás en la cual se minimiza la varianza de un portafolio para cada posible retorno esperado y sensibilidad al factor adicional (recesión) es posible llegar a una representación beta del ICAPM. Su derivación es en la misma linea de la derivación del CAPM pero mucho mas compleja desde un punto de vista algebraico, así que se omitirá todo el desarrollo matemático2 .La siguiente ecuación muestra 2

El que esté interesado en ver cómo funciona el álgebra sugiero ir al siguiente trabajo,

102


la representación beta que satisface el ICAPM de Merton cuando existe un sólo factor de riesgo adicional. E (Ri ) = Rf + [E (RM ) − Rf ] β i,M + [E (RS ) − Rf ] β i,S

(10.1)

Esa representación beta del ICAPM puede fácilmente ser generalizada al caso de más factores de riesgo:

E (Ri ) = Rf + [E (RM ) − Rf ] β i,M +

S X k=1

[E (Rk ) − Rf ] β i,k

(10.2)

donde {Rk }k=1...S es el set de retornos de portafolios multifactorialmente eficientes. El ICAPM no se refiere en ninguna forma a cuales son esas variables que mueven la frontera eficiente. La determinación de cuales son esas variables quedan al absoluto arbitrio del analista3 . El ICAPM ha dado espacio a un amplio ámbito de investigación empírica buscando cuales son los factores que debieran utilizarse en el testeo empírico del ICAPM. Estos son los que se conocen como los modelos multifactoriales, cuyo ejemplo más famoso es el modelo de tres factores de Fama y French.

10.2.2

El ICAPM desde una representación de Factor de Descuento Estocástico

Es muy simple llegar a una representación beta del ICAPM a partir de una representación de factor de descuento estocástico, sin tener que pasar por toda el álgebra tediosa de minimizar un problema de varianza sujeto a distintos niveles de retornos eperados y sensibilidad a los factores de riesgo adicionales. Para eso, basta con generalizar dos teoremas que vimos dos capítulos atrás. Theorem 19 Existe un factor de descuento estocático lineal en RF (m = a+ b0 F ) si y sólo si F es un vector (S + 1) × 1 de portafolios multifactorialmente eficiente. Fama (1996), Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing". Journal of Financial and Qunatitative Analysis, Vol. 31, No 4. 3 Fama dice que el ICAPM es como una licencia para buscar variables que sean capaces de explicar el retorno de mercado.

10.2 SET DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN NO ES ESTABLE EN EL TIEMPO103 Theorem 20 Dado un modelo lineal de factor de descuento estocástico, m = a + b0 F y 1 = E [mRi ], uno siempre puede encontrar parámetros γ y λ que satisfagan una representación beta como ¡ ¢ E Ri = γ + λβ i (10.3) Donde β i es el coeficiente de la regresión de Ri en una constante y todos los factores F

Dado que, de acuerdo al teorema de separación de N fondos, el portafolio de mercado es un portafolio multifactorialmente eficiente, entonces los dos teoremas previos nos permiten determinar que existe una representación beta del siguiente tipo ¡ ¢ E Ri = γ + λ0 β i (10.4)

, donde β i es el coeficiente de la regresión de Ri en una constante y todos los factores F . El primer elemento (factor) en F es el retorno del portafolio de mercado (RM ). El resto de los factores son S portafolios multifactorialmente eficientes. Por su parte, γ = Rf y λ es un vector de (S + 1) × 1, tal que λ = E (F ) − Rf × 1 . (S+1)×1

10.2.3

La Frontera Eficiente de Media y Varianza Siempre Existe

A pesar de que los inversionistas puedan valorizar otros factores adicionales a la media y a la desviación estándar de un activo, eso no implica que no exista una frontera eficiente de media y varianza, ya que siempre esta pueda construirse como el resultado de un problema de minimización de varianza sujeto a combinaciones de activos que generan cada nivel de retorno esperado. Gráficamente, si tenemos un factor adicional de riesgo (sensibilidad a la recesión) valorizado por los inversionistas, entonces tendremos un cono eficiente, pero también tendremos una frontera eficiente de media y desviación estándar, que será la intersección entre el cono eficiente y el plano de media y desviación estándar. De esta forma, en el contexto de inversionistas que valoran más que sólo la media y la varianza,todavía podemos seguir aplicando los teoremas que señalan que para cualquier portafolio sobre la frontera eficiente de media y desviación estándar existe un factor de descuento estocástico lineal en ese

104


portafolio y que, por lo tanto, existe una representación beta definida sobre el retorno ese portafolio £ ¤ E (Ri ) = Rf + β i,MV · E (RMV ) − Rf

(10.5)

En otras palabras, no importa que los inversionistas valoren más que la media y la varianza, la representación beta sobre el retorno de un portafolio de mínima varianza (sobre la frontera eficiente de media y desviación estándar) todavía existe. El problema es el siguiente: ya no podemos aplicar el teorema de separación de dos fondos para demostrar que el portafolio de mercado (M) es un portafolio eficiente (de mínima varianza). En este caso, el teorema de separación de N fondos nos diría que el portafolio de mercado (M) es multifactorialmente eficiente (de mínima varianza global) y, por lo tanto, no es necesariamente cierto que se pueda reemplazar RMV por RM en la ecuación (10.5) para llegar a una expresión del CAPM.

10.3

Los Resultados de Fama y French

El trabajo de Fama y French surge como la consecuencia de un hecho empírico de suma relevancia: el sonoro rechazo empírico a la hipótesis de equilibrio de mercado en el CAPM. El siguiente gráfico muestra los retornos efectivos versus los retornos predichos por el CAPM para los 25 portafolios de Fama y French4 .

4

Los 25 portafolios de Fama y French son portafolios creados en base a un filtro de dos dimensiones que separa todas las acciones que se transan en el NYSE de acuerdo a un ranking de tamaño bursátil de las empresas y del ratio valor bolsa sobre valor libro. Estos portafolios se reagrupan en base anual.

10.3 LOS RESULTADOS DE FAMA Y FRENCH

105

Frente a este fracaso empírico y basándose en la idea del ICAPM de Merton, Fama y French buscaron determinar variables empíricas que fueran capaces de explicar el movimiento en el set de posibilidades de inversión. El modelo de tres factores de Fama y French es el que a continuación se detalla: E (Ri ) = Rf + λM β i,M + λSMB β i,SMB + λV MG β i,V MG

(10.6)

donde β i,M es el coeficiente de la regresión entre el retorno del portafolio de mercado, una constante y el retorno del portafolio de mercado. Por su parte, β i,SMB (β i,V MG ) es el coeficiente de la regresión entre el retorno del activo i con el retorno del portafolio SMB5 (VMG6 ) y una constante. La idea de Fama y Rrench es que, en línea con el ICAPM de Merton, los portafolios SMB y VMG son proxies para factores de riesgo -adicionales a la media y la desviación estándar- valorizados también por los inversionistas. El siguiente 5

El retorno del portafolio SMB se construye como el retorno del portafolio compuesto por el tercio inferior del universo de empresas con menor capitalización bursátil (Small) menos el retorno del tercio superior del universo de empresas con mayor capitalización bursátil (Big). El portafolio es reconsituído una vez al año. 6 El retorno del portafolio VMG se construye como el retorno del portafolio compuesto por el tercio inferior del universo de empresas con menor ratio precio/utilidad (Value) menos el retorno del tercio superior del universo de empresas con mayor ratio precio/utilidad (Growth). El portafolio es reconsituído una vez al año.

106


gráfico muestra los resultados obtenidos por Fama y French para su modelo de tres factores.

Tal como se aprecia en el gráfico precedente, el modelo de 3 factores de Fama y French tiene un poder explicativo ampliamente superior al CAPM original (en version de Black o Sharpe y Litner). Esto ha llevado a una vasta gama de académicos en el ámbito de las finanzas a tratar de explicar cuáles son los factores económicos subyacentes tras los factores de Fama y French. Las explicaciones van desde la irracionalidad de mercado hasta aversión al riesgo que se mueve de manera inversa con el ciclo económico.

10.4

El APT como Explicación Alternativa a los Resultados de Fama-French

El APT de Ross nace de una característica propia de los retornos accionarios: cuando sube una acción, en general suben todas las acciones. En otras palabaras, existe un fuerte componente común en los movimientos de los retornos accionarios. De esta forma, es posible separar los movimientos de los retornos de acciones o portafolios en dos componentes: una parte común a todas los activos y una parte ortogonal idiosincrática a cada activo. La intuición detras del APT es muy sencilla. La parte idiosincrática

10.4 EL APT COMO EXPLICACIÓN ALTERNATIVA A LOS RESULTADOS DE FAMAdel retorno de cada activo no puede ser premiada por mayor retorno en la medida que cualquier inversionista racional podría diversificar ese riesgo diversificable vía la inversión en activos completamente diversificados. Por lo tanto, los retornos esperados en un activo i deben estar relacionados sólo a la covarianza del retorno de i con el componente común a cada activo (i.e. los factores). La idea es que, sí por ejemplo no existiera riesgo idiosincrático, todos los activos se podrían valorizar exclusivamente por arbitraje (en otras palabras, el APT es una aplicación directa de la ley de un sólo precio). Incluso resulta atractivo suponer que si los riesgos diversificables son pequeños, el precio de este riesgo7 debe ser reducido en relación al precio del componente común a todos los retornos. Esto es un gran avance en relacion al CAPM o al ICAPM porque no requiere de ninguna justificación teórica. Partamos de una simple descomposición factorial de los excesos de retornos de un activo i (esto es una regresión lineal): f

Ri − R = ai +

M X j=1

¡ ¢ β ij · fj − Rf + εi

(10.7)

donde ai es una constante específica a cada retorno de activo, β ij es la covarianza del retorno del activo i con el factor fj y dividido por la varianza del factor fj y εi es el residuo de la regresión del exceso de retorno del activo i. El APT funciona por un argumento de puro arbitraje. Esto es, el APT es cierto si y sólo si al aplicar el operador de precios a la expresión (10.7), se concluye que el precio del residuo de la regresión es cero, p (εi ) = 0, o lo que es lo mismo, una vez controlado por los factores, la parte residual del retorno no tiene valor para el mercado. M X ¡ ¡ ¢ ¢ f β ij · p fj − Rf + p (εi ) p Ri − R = ai · p (1) +

(10.8)

j=1

Si el APT es cierto, entonces la expresión anterior se transforma en: X ¡ ¢ ai β ij · p fj − Rf 0= f + R j=1 M

(10.9)

¡ ¢ donde p Ri − Rf = 0 y p (1) = R1f porque el precio de un exceso de retorno y el de un pago seguro por uno son cero y Rf respectivamente (ver 7

En el margen, ojalá despreciable.

108


capítulo 4). En el caso en que los factores (fj ) del APT sean también retornos, entonces tendremos que ai 0 = f =⇒ ai = 0 (10.10) R De esta forma, si los factores son retornos, el APT impone las siguientes 2 condiciones de no arbitraje: 1. Si β ij = 0, para todo i, j, este portafolio de beta cero renta la tasa libre de riesgo, Rf . Esto es una consecuencia directa de la expresión (10.10). Ojo, ¡ esto fno ¢ es cierto si los factores del APT no son retornos, ya que p fj − R 6= 0.

2. La parte idiosincrática de cada activo (el riesgo diversificable) no esté correlacionado entre activos: E (εi εk ) = 0. La idea de esta condición es que los residuos de las regresiones de activos o portafolios individuales no son valorizados por el mercado, ya que si estuvieran correlacionados entre sí, entonces el mercado los podría utilizar para reducir el riesgo de un portafolio a costo cero y -por lo tanto- el mercado les debería dar algún precio positivo. Bajo estas 2 restricciones podemos definir el APT como: E (Ri ) = Rf +

M X j=1

β ij E [fj − Rf ] , E (εi εk ) = 0 ⇐⇒ APT

(10.11)

La restrición (2) del APT impone también una restricción sobre la matriz de covarianza de los retornos. Suponga que existe un único factor f , entonces cov (Ri, Rk ) = E [(β i [f − Rf ] + εi ) (β k [f − Rf ] + εk )] ¾ ½ 2 σ ε si i = j 2 = β i β j σ (f ) + 0 si i 6= j

(10.12) (10.13)

Por lo tanto, se entiende que, a partir del APT, la matriz de covarianzas de los retornos es una matriz singular (o una suma de matrices singulares con más de un factor) y una matriz diagonal. Si conocemos los factores a priori (por ejemplo, en el caso de los 3 factores de Fama-French8 ) podemos 8

Es por esto que algunos académicos llaman al modelo de 3 factores de Fama y French como una simple aplicación del APT, a pesar de que sus autores señalan basarse en el ICAPM de Merton.

10.5 CRíTICAS AL APT

109

trivialmente correr regresiones para identificar las restricciones a la matriz de covarianzas que identifican los movimientos comunes a todos los activos y que por tanto son premiados por el mercado. Existe otra vertiente del APT que no utiliza factores conocidos ex-ante, sino que trata de identificarlos en base a las propiedades de la matriz de covarianzas. Esto es lo que se conoce como el análisis factorial. Un ejemplo clásico de esto consiste en descomponer en los valores propios de la matriz de covarianza y fijar arbitrariamente en cero todos los factores con valores propios muy pequeños.

10.5

Críticas al APT

La principal crítica al APT de Ross es una crítica al hecho de que este modelo parte asumiendo que el precio de la parte residual de la regresión es cero. Para que el APT funcione es necesario que tal condición se cumpla, es decir que el riesgo idiosincrático (después de controlar por los factores comunes) no puede estar valorado por el mercado, o sino sería otro factor. Esto sólo se satisface para portafolios que tienen naturalmente R Cuadrados muy altos o para portafolios muy diversificados en mercados con muchos activos. ¿Por qué? Un pequeño ejemplo servirá para entender esto un poco mejor. Considere la siguiente regresión lineal (RteA y RteB son excesos de retornos sobre la tasa libre de riesgo). Rtei = ai + β Ai RteA + β Bi RteB + εi

(10.14)

Suponga que el APT (utilizando RteA y RteB como los dos factores del modelo) es cierto, entonces al aplicar el operador de precios sobre la ecuación (10.14), se llega a que ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢ p Rtei = ai · p (1) + β Ai · p RteA + β Bi · p RteB + p (εi ) (10.15) ai = 0 =⇒ ai = 0 (10.16) Rf Luego, dado (10.16), y aplicando el operador de esperanza en la expresión (10.14), se obtiene que ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ E Rtei = β Ai E RteA + β Bi E RteB (10.17)

Esta última expresión es, simplemente, el APT. Esto es lo atractivo del APT funciona (en el límite) sin utilizar ninguna teoría d-hoc más allá de un argumento de no arbitraje (la ley de un sólo precio).

110


No obstante, suponga ahora que el precio del residuo de la regresión es distinto de cero, p (εi ) 6= 0. Entonces, al aplicar el operador de precios sobre la ecuación (10.14), se llega a que ¡ ¡ ¢ ¢ ¡ ¢ p Rtei = ai · p (1) + β Ai · p RteA + β Bi · p RteB + p (εi ) (10.18) ai 0 = f + p (εi ) (10.19) R ai = −Rf · p (εi ) (10.20) Luego, dado (10.20), y aplicando el operador de esperanza en la expresión (10.14), se obtiene que ¡ ¢ ¡ ¡ ¢ ¢ E Rtei = −Rf · p (εi ) + β Ai E RteA + β Bi E RteB (10.21)

Luego, el APT tiene un error igual a −Rf · p (εi ). ¿Cómo asegurar que el APT sea correcto y no tenga ese error? Se requiere que p (εi ) = 0, pero no hay ninguna teoría en el APT que asegure esto. ¿Cómo hacer esto entonces? Parta aplicando el hecho de que, por construcción, sabemos que p (εi ) = E (mεi ) 6 σ (m) σ (εi )

(10.22)

Luego, por simple inspección de la expresión (10.22), es claro que basta con que σ (εi ) → 0 para que p (εi ) → 0. Por lo tanto, para que el APT funcione se requiere que el residuo de la regresión lineal entre el retorno de un activo o portafolio individual y los factores sea muy pequeño. Esto ocurre sólo en regresiones con R Cuacrados arbitrariamente cercanas a uno o para portafolios con un número arbitrariamente grande de activos9 . El APT se satisface aproximadamente como modelo (en el sentido de en el límite) para portafolios que tienen naturalmente R Cuadrados muy altos o para portafolios muy diversificados en mercados con muchos activos. El problema del APT es que como modelo funciona en el límite. Esto es, fijo él o los factores y tomo límites para N o ε y el APT funciona muy bien. Pero eso es, completamente arbitrario. Normalmente en las aplicaciones empíricas uno fija N o ε y luego busca factores. Eso puede llevar a resultados particularmente malos para el APT. 9

Esto es así, ya que para un portafolio con proporciones iguales en un número N de ¡ ¢2 PN activos individuales, tenemos que σ 2 (εP ) = N1 × k=1 σ 2 (εk ). Luego, en la medida que N → ∞, tenemos que σ 2 (εP ) → 0.

Chapter 11 Eficiencia del Mercado de Capitales En el capítulo tres introdujimos el concepto de equilibrio del mercado de capitales en una economía de dotación. La existencia de tal equilibrio relacionaba, por ejemplo, el retorno esperado en cada activo i con la contribución al riesgo del portafolio eficiente elegido por cada inversionista1 . Sin embargo, en la definición de tal equilibrio no hacíamos referencia al proceso por el el cual los inversionistas forman sus expectativas sobre retornos esperados y contribución al riesgo2 . En este capítulo, introduciremos una discusión formal acerca del proceso de formación de expectativas acerca de retornos esperados.

11.1

Algunas Definiciones de Utilidad

Definition 21 φt−1 = set de información disponible en el periodo t − 1 relevante para los precios de los activos en t − 1. Definition 22 φm t−1 = set de información utilizada por el mercado para valorizar activos en t − 1. Por definición φm t−1 es un conjunto contenido dentro de φt−1 . 1

Aquí asumimos como en el CAPM de Black que no existe un activo libre de riesgo. En general, asumiremos que la covarianza de activos i es una constante que no varía con el set de información de los inversionistas. En otras palabras, los betas son constantes. 2

111

112CHAPTER 11 EFICIENCIA DEL MERCADO DE CAPITALES ¡ ¢ Definition 23 fm p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φm t−1 = la distribución de probabilidad utilizada por el mercado para valorizar activos en el período t + τ (τ > 0) dado el set de información φm t−1 . ¡ ¢ Definition 24 f p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φm t−1 = la verdadera distribución de probabilidad utilizada para valorizar activos en el período t + τ (τ > 0) si se utilizara todo el set de información disponible φt−1 .

11.2

Eficiencia de Mercado

La siguiente definición de eficiencia se debe a Eugene Fama y es la base de lo que se conoce como la Hipótesis de Mercados Eficientes. Definition 25 La Hipótesis de Mercados Eficientes. Los mercados financieros son eficientes si y sólo si el set de información utilizado por el mercado para valorizar activos es igual a todo el set de información disponible. φm t−1 = φt−1

(11.1)

Si los mercados no utilizan toda la información disponible, entonces los mercados no pueden ser eficientes. La hipótesis de mercados eficientes implica lo siguiente acerca de la distribución de probabilidades de los precios de activos ¡ ¢ ¡ ¢ m (11.2) fm p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φm t−1 = f p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φt−1

Para ponerlo en lenguaje sencilllo, la hipótesis de mercados eficientes implica lo siguiente: No existe tal cosa como que los activos financieros (acciones, bonos, tipo de cambio, etc.) estén caros o baratos. Si lo anterior es falso, estamos en abierta contradicción con la hipótesis de mercados eficientes. Si los mercados son eficientes, todos los precios son justos al momento de valorizar cualquier activo. El decir que la acción de la compañía A está barata (cara) en relación a la acción de la compañía B es equivalente a decir que los mercados dejaron una oportunidad de arbitraje libre de riesgo entre A y B. Ahora bien, el párrafo anterior parece tan verdadero como abstracto: para definir si una activo es barato o caro necesitamos conocer el precio justo de tal activo, el cual no conocemos a menos de que hagamos algún

11.3 HIPÓTESIS DE FORMACIÓN DE EXPECTATIVAS

113

supuesto sobre el proceso de formación de precios de un activo que paga flujos aleatorios3 . La única forma de testear la hipótesis de mercados eficientes es realizar algún supuesto (esa es entonces una medida concreta de la hipótesis de mercados eficientes) sobre el proceso de formación de precios y luego testearlo con datos. Lo que aquí aceptemos o rechacemos es el supuesto asociado a la hipótesis de mercados eficientes y no la noción vaga de mercados eficientes. Por triste que suene, no hay un test único de la hipótesis de mercados eficientes. Solo existen test sobre procesos de formación de precios que, a nuestro juicio, nos parezcan consistentes con la hipótesis de mercados eficientes.

11.3

Hipótesis de Formación de Expectativas

Hasta ahora hemos formalizado una definición precisa de que se entiende por eficiencia de mercado. No obstante, tal definición es un poco vaga en la medida que no nos referimos al proceso por el cual la información disponible se transforma en retornos esperados. Esto es lo que detallamos a continuación.

11.3.1

Retornos Esperados son Positivos p −p

jt−1 Definiendo el retorno de un activo como Rjt = jtpj,t−1 , esto implica que en términos de retornos esperados la hipótesis de mercados eficientes es simplemente ¡ ¢ m ¡ ¢ | φ p E m jt t−1 − pjt−1 >0 (11.3) Em Rjt | φm t−1 = pj,t−1

Sin embargo, el asumir un proceso de formación de expectativas de tal tipo puede tener serias limitaciones. Por ejemplo, piense en un hecho tan objetivo como que existen empresas que muchos piensan que tienen escaso futuro y por tanto su precio debe caer. Por otro lado, existen operadores financieros que operan de acuerdo a reglas (analisis técnico) del siguiente tipo: cuando una acción sube (baja) durante un período prolongado seguirá subiendo (bajando) durante algún tiempo. Esto implica que acciones con caída generan expectativas de retorno negativas contradictorias con la hipótesis de retornos esperados siempre positivos. 3

Este es un proceso de formación de expectativas porque valoriza flujos inciertos con tasas de descuentos que también son inciertas.

114CHAPTER 11 EFICIENCIA DEL MERCADO DE CAPITALES

11.3.2

Retornos Esperados son Constantes

En este caso, la hipótesis de mercados eficientes se traduce en retornos esperados de acuerdo a la siguiente relación: ¢ ¡ E Rjt | φm t−1 = Em (Rjt )

(11.4)

Ahora bien, este proceso de formación de expectativas también puede tener serios problemas desde un punto de vista empírico. Piense en lo siguiente: si los retornos se encuentran durante un período prolongado por sobre su media histórica, usted rápidamente podría inferir que la hipótesis en la ecuación (11.4) es falsa. Bueno, esto es lo que efectivamente tiende a ocurrir con los retornos accionarios. Los períodos de grandes alzas (baja) muestran alta persistencia y se alejan de la idea que los retornos esperados son constantes. Sin embargo, lo relevante de esto es que a partir de tal hecho empírico no es posible rechazar la hipotesis de mercados eficientes sino que el proceso de formación de expectativas supuesto en (11.4).

11.3.3

Retornos Esperados se Mueven en una Relación Riesgo-Retorno

Un par de capítulos atrás nos dedicamos a establecer ciertas relaciones de equilibrios (CAPM e ICAPM) en economías pobladas por inversionistas con preferencias convexas sobre media y varianza. Establecimos que en tales modelos existe una relación lineal entre retornos esperados y la contribución al riesgo del portafolio de mercado y algunas otras variables de control. Este es una tercera hipótesis de formación de expectativas sobre retornos que también es consistente con la hipótesis de mercados eficientes. Repasamos los problemas empíricos de un modelo como el CAPM y del mayor suceso de un modelo alternativo como el de 3 factores de Fama y French. Tambien es cierto que tales modelos requieren también ciertos supuestos acerca de los retornos esperados en el portafolio de mercado (por ejemplo, si serán positivos, constantes o variables en el tiempo). La discusion académica hoy en el mundo de las finanzas se concentra en exactamente ese punto. ¿Cuál es el proceso de formación de expectativas de retornos que es consistente con la hipótesis de mercados eficientes?

11.4 CATEGORíAS DE EFICIENCIA DE MERCADO

11.4

115

Categorías de Eficiencia de Mercado

En general, los académicos tienden a clasificar el grado de eficiencia de mercado en alguna de las categorías que, a continuación, pasaré a detallar: 1. Mercados son Eficientes en su Forma Débil: Los mercados utilizan información pasada (en particular, los retornos históricos) para valorizar los activos. En otras palabras, los retornos pasados ayudan a predecir los retornos futuros. 2. Mercados son Eficientes en su Forma Semi Fuerte: Los mercados utilizan toda la información pública relevante para valorizar los activos financieros. 3. Mercados son Eficientes en su Forma Fuerte: Los mercados utilizan toda la información privada relevante para valorizar los activos financieros. Esto quiere decir que el precio de los activos no permiten oportunidades de arbitraje para aquellos que manejan información privada (privilegiada).

Chapter 12 Derivados Financieros (1): Forwards y Futuro 12.1

Definiciones

Definition 26 Un derivado financiero es un activo financiero cuyo valor depende del valor de otros activos (subyacentes). Definition 27 Un contrato forward es un acuerdo entre dos partes para transar un activo financiero en un período (cierto y exacto) en el futuro a un precio (cierto) pre definido. La parte que se compromete a comprar en el futuro se conoce como la posición larga. Su contraparte, el que se compromete a vender, se conoce como la posición corta. Definition 28 Un contrato a futuro es un acuerdo entre dos partes para transar un activo financiero en el futuro (a diferencia del contrato forward en el futuro, la fecha de entrega fisica no es una fecha exacta, sino que un rango de fechas) a un precio (cierto) pre definido. La gran diferencia entre el contrato forward y el contrato a futuro es que en el caso del segundo existe un mercado.secundario profundo que permite transar este instrumento a valor presente en cualquier momento antes de su vencimiento. En general (salvo que se específique lo contrario), durante este capítulo nos referiremos exclusivamente al caso de los contratos forward1 . 1

Si quiere conocer más acerca de la forma de valorizar contratos a futuro sugiero que tome el curso de Opciones y Futuros.

117

118CHAPTER 12 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO

12.2

El Perfil de Riesgo de un Contrato Forward

Dado que el contrato forward no requiere de desembolso de caja en el período actual, el único períoodo que nos interesa es el período al vencimiento del contrato (la fecha especificada para la transacción), t = T . Definamos F como el precio del contrato forward para compra y venta de un activo subyacente cuyo precio spot (el precio de mercado en cada momento del tiempo) en t = T es ST . El perfil de riesgo del contrato forward es el flujo de caja que genera al vencimiento del contrato. La tabla siguiente presenta los flujos para ambas partes en el contrato.

t=0

t=T ST < F

ST > F

Compra Forward (posición larga)

0

ST − F < 0 ST − F > 0

Venta Forward (posición corta)

0

F − ST > 0 F − ST < 0

El que compra el contrato forward a un precio F se hará del activo S en t = T y lo podrá vender al precio spot en tal fecha tal que su ganancia será ST − F . Note que esta es una operación riesgosa, porque si el precio spot en t = T cae por debajo del precio del contrato, la posición larga tendrá una utilidad negativa. En el caso de la posición corta (el que se compromete a vender), este tiene que entregar el activo en t = T . Esto quiere decir que tiene que comprarlo a precio spot y su ingreso será el especificado en el contrato forward. Esto mismo es fácilmente trasladable a un gráfico entre la utilidad y el precio spot al vencimiento del contrato.

12.3 EL PRECIO DE UN CONTRATO FORWARD

119

Utilidad al Vencimiento

Posicion Larga: S(T)-F

0 F

Posicion Corta: F-S(T)

S(T)

12.3

El Precio de un Contrato Forward

La determinación del precio de un contrato forward es un excelente ejemplo del principio de valoración por arbitraje. El contrato forward es la promesa de entrega de un activo S a un precio F en t = T . Existe una forma alternativa de generar la misma operación:

• Endeudarse hoy a la tasa de interés r para comprar el activo al precio spot S0 . • Pagar la deuda en t = T . Esta operación genera un flujo de caja nulo en t = 0 y entrega una unidad de S en t = T . Esto implica que replica perfectamente los flujos de caja del contrato forward. Por ley de un sólo precio, ambas operaciones deben costar lo mismo.

120CHAPTER 12 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO t=0

t=T ST < F

ST > F

Compra Forward

0

ST − F

ST − F

Compra Activo

−S0

ST

ST

Deuda

S0

− (1 + r)T S0

− (1 + r)T S0

Compra Activo con Deuda

0

ST − (1 + r)T S0

ST − (1 + r)T S0

De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que: ST − F = ST − (1 + r)T S0 F = (1 + r)T S0 ⇐⇒ Precio Forward

(12.1) (12.2)

El precio de un contrato forward es el valor futuro del precio spot del activo subyacente.

12.4

El Precio Forward con Costos Alternativos ("Convenience Yield") Para el Activo Subyacente

12.4.1

Precio Forward con un pago de dividendo antes del vencimiento

Suponga que usted necesita comprar un activo en t = T , sin embargo este activo paga dividendos antes de t = T . ¿Cuáles son las alternativas a su disposición? (1) Comprar el activo a futuro vía contrato forward o (2) Comprar cierta cantidad de activo hoy financiándolo con deuda a tasa de interés r por periodo. Por ley de un sólo precio, ambas operaciones deben costar lo mismo.

12.4 EL PRECIO FORWARD CON COSTOS ALTERNATIVOS ("CONVENIENCE YIEL t=0

t=T ST < F

ST > F

Compra Forward

0

ST − F

ST − F

Compra x cantidad de activo spot

−x · S0

ST

ST

−F

−F

Deuda $

F (1+r)T

F Flujo Neto −x · S0 + (1+r) ST − F ST − F T En la práctica, lo que yo quiero es comprar una cantidad de activo x en el mercado spot para tener exactamente una unidad del activo subyacente en t = T. ¿Cómo hago eso?

• Considere el caso de una acción que paga un dividendo Dt0 (por acción) proporcional al valor del dividendo en t = t0 , donde (0 < t0 < T ) , Dt0 = d · St0

(12.3)

• El costo en t = 0 de comprar la acción sin dividendos (esto es lo mismo que el costo de comprar una acción que vale ST en T ) es: x · S0 = S0 (1 − d) x = (1 − d)

(12.4) (12.5)

• ¿Por qué? En t = 0, compre (1 − d) cantidad de activo subyacente. • En t = t0 , se obtiene por dividendos un monto igual a (1 − d) Dt0 , lo que por construcción es igual a: Dt0 = d · St0 dividendo recibido= (1 − d) Dt0 = (1 − d) d · St0

(12.6) (12.7)

• Inmediatamente luego del pago de dividendo en t = t0 , el precio de la acción cae hasta (1 − d) St0 . Luego, Ud. puede tomar estos dividendos y comprar la siguiente cantidad de acciones con esos dividendos en t = t0 , (1 − d) d · St0 (1 − d) Dt0 = =d (12.8) (1 − d) St0 (1 − d) St0

122CHAPTER 12 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO • Por último, en t = T , Ud. será dueño de (1 − d)+d = 1 cantidad de acciones, que es exactamente lo que queríamos. Por lo tanto, x = (1 − d). Luego, el precio del forward con pago de dividendos del subyacente está dado por: F − (1 − d) · S0 + = 0 (12.9) (1 + r)T F = (1 − d) · (1 + r)T · S0

12.4.2

(12.10)

Precio Forward con dos pagos de dividendo antes del vencimiento

• Considere el caso de una acción que paga un dividendo Dt1 (por acción) proporcional al valor del dividendo en t = t1 ,y otro dividendo Dt2 (por acción) proporcional al valor del dividendo en t = t2 donde (0 < t1 < t2 < T ) y Dt1 = d1 · St1 Dt2 = d2 · St2

(12.11) (12.12)

• En t = 0, compre x = (1 − d1 ) (1 − d2 ) unidades del activo subyacente. • En t = t1 , se obtiene por dividendos un monto igual a (1 − d1 ) (1 − d2 ) Dt1 , lo que por construcción es igual a: Dt1 = d1 · St1 (12.13) d1 · St1 dividendo recibido= (1 − d1 ) (1 − d2 ) Dt1 = (1 − d1 ) (1 − d2 ) (12.14) • Inmediatamente luego del pago de dividendo en t = t1 , el precio de la acción cae hasta (1 − d1 ) St1 . Luego, Ud. puede tomar estos dividendos y comprar la siguiente cantidad de acciones con esos dividendos en t = t1 , (1 − d1 ) (1 − d2 ) Dt1 (1 − d1 ) (1 − d2 ) d1 · St1 = = (1 − d2 ) d1 (12.15) (1 − d1 ) St1 (1 − d1 ) St1 • En t = t2 , se obtiene por dividendos un monto igual a [(1 − d1 ) (1 − d2 ) + (1 − d2 ) d1 ] Dt2 , lo que por construcción es igual a: Dt2 = d2 · St2 (12.16) dividendo recibido = d2 · St2 [(1 − d1 ) (1 − d2 ) + (1 − d2 ) d1 ] Dt2 = [(1 − d1 ) (1 − d2 ) + (1 − d2 ) d1 ] (12.17)

12.4 EL PRECIO FORWARD CON COSTOS ALTERNATIVOS ("CONVENIENCE YIEL • Inmediatamente luego del pago de dividendo en t = t2 , el precio de la acción cae hasta (1 − d2 ) St2 . Luego, Ud. puede tomar estos dividendos y comprar la siguiente cantidad de acciones con esos dividendos en t = t2 , [(1 − d1 ) (1 − d2 ) + (1 − d2 ) d1 ] Dt2 [(1 − d1 ) (1 − d2 ) + (1 − d2 ) d1 ] d2 · St2 = = d2 (1 − d2 ) St2 (1 − d2 ) St2 (12.18) • Por último, en t = T , Ud. será dueño de (1 − d1 ) (1 − d2 )+(1 − d2 ) d1 + d2 = 1 cantidad de acciones, que es exactamente lo que queríamos. Por lo tanto, x = (1 − d1 ) (1 − d2 ). Luego, el precio del forward con pago de dividendos del subyacente está dado por: − (1 − d1 ) (1 − d2 ) · S0 +

F = 0 (1 + r)T

(12.19)

T F = (1 − d1 ) (1 − d2 ) · (1 + r)(12.20) · S0

• Si d1 = d2 = d, entonces, F = (1 − d)2 · (1 + r)T · S0 .

12.4.3

Precio Forward con un pago de dividendo por periodo antes del vencimiento

• Generalizando lo anterior, considere el caso en que el activo subyacente (acción) paga un dividendo por acción igual a {d1 , d2 , . . . , dn } en cada periodo 0 < t1 < t2 < · · · < tn < T . • Luego, utilizando el mismo razonamiento que en las secciones previas, para obtener una unidad de la acción en t = T , se deben comprar x = (1 − d1 ) (1 − d2 ) · · · (1 − dn ) unidades de la acción en t = 0. • Por lo tanto, el precio forward de la acción es F = (1 − d1 ) (1 − d2 ) · · · (1 − dn ) · (1 + r)T S0 • Si d1 = d2 = · · · = dn , entonces, F = (1 − d)T · (1 + r)T · S0 .

(12.21)

124CHAPTER 12 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO

12.4.4

Precio Forward con un continuo de dividendo pago de dividendo antes del vencimiento

• Alternativamente, considere el caso en que la acción paga un continuo de dividendos por acción, equivalente a una tasa continuamente compuesta de d por periodo. • Luego, la cantidad de acciones necesarias de comprar en t = 0 para obtener una unidad de la acción en t = T es igual a µ µ µ ¶N ¶N ¶N d d d x = lim 1 − lim 1 − · · · lim 1 − (12.22) N→∞ N →∞ N→∞ N N N | {z } T veces

−d −d

−d

x = |e e {z· · · e }

(12.23)

T veces

x = e−d·T

(12.24)

• Por lo tanto, el precio del forward es F er·T F · S0 + r·T e F F

−x · S0 + −e−d·T

= 0

(12.25)

= 0

(12.26)

= S0 · e−d·T · er·T = S0 · e(r−d)·T

(12.27) (12.28)

El pago de dividendos es el clásico costo altenativo de una acción. En el caso de otros activos subyacentes, éstos pueden presentar otro tipo de costos alternativos. En el caso de los "commodities" (e.g. cobre, petróleo, etc.), su costo alternativo es la suma de los costos de transporte de estos bienes más el uso alternativo en aplicaciones productivas que estos bienes tienen (el cobre sirve para construir cañerías y el petróleo sirve la para combustión de motores). En general, se asume que los commodities tienen cierto costo alternativo ("convenience yield") que se asume una proporcion fija (c) del precio spot, tal que el precio forward de un commodity es, F = S0 · e(r−c)·T .

125

12.5 CONTRATOS FORWARD DE MONEDAS

12.5

Contratos Forward de Monedas

Suponga que usted necesita moneda extranjera (por ejemplo, dólares) en t = T . ¿Cuáles son las alternativas a su disposición? (1) Comprar dólares (USD) a futuro vía contrato forward o (2) Comprar USD hoy financiándolos con deuda en pesos ($) a tasa de interés, r$ , y depositándolos en el banco devengando la tasa de interés en dólares, rU SD . Por ley de un sólo precio, ambas operaciones deben costar lo mismo. t=0

Compra Forward Compra y Deposito USD Deuda $

0 − (1+rS0

T U SD )

F (1+r$ )T

t=T ST < F

ST > F

ST − F

ST − F

ST

ST

−F

−F

F Flujo Neto − (1+rS0 )T ST − F (1+r$ )T U SD De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que:

F S0 − = 0 T (1 + r$ ) (1 + rU SD )T µ ¶T 1 + r$ F = S0 1 + rU SD

ST − F

(12.29) (12.30)

El precio de un contrato forward es el precio spot de la moneda extranjera por el diferencial de tasas de interés entre el país local y el extranjero.

12.6

Contratos Forward como Estrategias Especulativas

Una razón por la cual un inversionista quisiera invertir en contratos forward es por simple especulación. Suponga que su expectativa de precio para el activo subyacente al vencimiento del contrato es más alta que el precio forward, entonces su utilidad esperada por comprar forward es positiva, Et [ST ] − F > 0. Esta es una utilidad esperada, por tanto nada asegura que esta apuesta genere ganancias. Por el contrario, si usted espera que el precio del activo

126CHAPTER 12 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO subyacente al vencimiento del contrato sea más bajo que el precio forward, entonces su utilidad esperada por vender forward es positiva, F −Et [ST ] > 0. El razonamiento anterior me permite hacer un par de consideraciones importantes acerca de los precios forward:

1. EL PRECIO FORWARD NO ES EL PRECIO FUTURO DEL ACTIVO SUBYACENTE. ES LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LA INFORMACION DISPONIBLE. POR LO TANTO, INVERTIR EN CONTRATOS FORWARD TIENE RIESGO. 2. EL PRECIO FORWARD ES EL PRECIO DE UNA OPERACION A FUTURO SOBRE UN ACTIVO SUBYACENTE QUE, DADO EL PRECIO SPOT DE ESE ACTIVO SUBYACENTE, NO ADMITE ARBITRAJE.

12.7

Contratos Forward como Estrategia de Cobertura

Una segunda razón por la cual se quisiera invertir en contratos forward es para cubrir otra posición riesgosa. Suponga que Ud. adquirió el activo subyacente al precio S0 . Su perfil de riesgo al período t = T , es ST − S0 y puede ser cubierto a través de la venta de un contrato forward con vencimiento en t = T. ST < F

ST > F

Activo

ST − S0

ST − S0

Venta Forward

F − ST

F − ST

Flujo Neto

F − S0

F − S0

El flujo neto de tener una posición larga en el activo y una posición corta en forward es F − S0 que no depende de ST el precio spot al vencimiento. Por lo tanto, por la vía de vender forwrad se eliminó el riesgo en t = T . Gráficamente, esto equivale a:

12.7 CONTRATOS FORWARD COMO ESTRATEGIA DE COBERTURA127

Utilidad al Vencimiento

Flujo Neto

F-S0

F 0 S0

S(T)

12.7.1

Venta Corta de Activos

Definition 29 La venta corta de activos es una operación financiera en la cual se vende en t = 0 un activo que no pertenece al vendedor y que se devolvera al dueño de tal activo en el período t = T . La venta corta de activos es una operación que obliga a comprar un activo en t = T un activo que se adquirió a precio S0 a un precio ST . De esta forma, el perfil de riesgo de una venta corta es el flujo de caja al vencimiento por S0 − ST , y puede ser cubierto a través de la compra de un contrato forward con vencimiento en t = T . ST < F ST > F Venta Corta

S0 − ST

S0 − ST

Compra Forward

ST − F

ST − F

Flujo Neto

S0 − F

S0 − F

Chapter 13 Derivados Financieros (2): Opciones Financieras 13.1

Definiciones

Definition 30 Una opción de compra ("call") es un contrato que le otorga al tenedor de ese contrato el derecho a comprar un activo subyacente en una fecha y precio pre fijados. El contrato de una "call" debe especificar los siguientes términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de la opción de compra, K. Definition 31 Una opción de venta ("put") es un contrato que le otorga al tenedor de ese contrato el derecho a vender un activo subyacente en una fecha y precio pre fijados. El contrato de una "put" debe especificar los siguientes términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de la opción de venta, K. Definition 32 Las Opciones Americanas son aquellas que pueden ejercerse en cualquier momento previo a su vencimiento. Definition 33 Las Opciones Europeas son aquellas que pueden ejercerse sólo al momento de su vencimiento.

13.2

El Perfil de Riesgo de Las Opciones

El perfil de riesgo de una opción es el flujo de caja que genera al vencimiento del contrato. La tabla siguiente presenta los flujos para los tenedores de 129

130CHAPTER 13 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS opciones de compra ("call") y opciones de venta ("put). t=0

t=T ST < K

ST > K

Largo en "Call"

−c

0

ST − K > 0

Largo en "Put"

−p

K − ST > 0

0

Al tenedor de una "call" le convendrá ejercerla si y sólo si ST > K, de otra forma perdería dinero y no la ejercería. Al tenedor de una "put" le convendrá ejercerla si y sólo si ST < K, de otra forma perdería dinero y no la ejercería. En resumen, al vencimiento los flujos de tenedores de opciones son:

Call ⇐⇒ max (ST − K, 0) Put ⇐⇒ max (K − ST , 0)

Gráficamente, esto se puede representar de la siguiente forma:

Flujo al Vencimiento

Largo en "Call"

0

K

S(T)

(13.1) (13.2)

131

13.2 EL PERFIL DE RIESGO DE LAS OPCIONES


Largo en "Put"

0

K

S(T)

En el caso de los vendedores de opciones, tenemos que simplemente:

Call ⇐⇒ − max (ST − K, 0) Put ⇐⇒ − max (K − ST , 0)


Gráficamente, esto se puede representar de la siguiente forma:

0

K

Corto en "Call"

S(T)

(13.3) (13.4)


132CHAPTER 13 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS

0

K

Corto en "Put"

S(T)

13.3

Algunas Consideraciones Sobre Opciones Financieras

• A pesar de que gráficamente parezca que estrategias como comprar "calls" y "puts" son ganancias seguras (en el peor de los casos se gana cero), esto no es así. Para acceder a ese perfil de riesgo es necesario pagar un precio. Las "calls" y "puts" no son gratis.

• En algunos libros de texto gustan de restar (o sumar según sea el caso) el precio de las opciones en los gráficos de flujos de caja de las opciones. Yo no lo hago, pero hacer eso es absolutamente trivial, consiste en desplazar verticalmente (en el valor de la opción) los gráficos aquí presentados.

• Las opciones pueden ser utilizadas para coberturas de riesgo. Por ejemplo, si usted está largo en el activo subyacente, el comprar una "put" sobre el activo subyacente le podría acotar el riesgo de pérdidas en su posición sobre el activo subyacente.

13.4 ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN ESPECULATIVAS CON OPCIONES133

13.4

Estrategias de Inversión Especulativas con Opciones

Estas estrategias de inversión comprenden la transacción de múltiples opciones financieras. Aquí haremos un pequeño resumen de las más populares estrategias especulativas con opciones.

13.5

Spreads

13.5.1

Bull Spread

Definition 34 Una estrategia bull spread consiste en comprar una "call" ("put") con precio de ejercicio K1 (con vencimiento en t = T ) y vender una "call" ("put") con precio de ejercicio K2 (e igual vencimiento), tal que K2 > K1 .

Los flujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son: t=T

ST < K1

K1 < ST < K2

ST > K2

Compra "Call"

0

ST − K1

ST − K1

Venta "Call"

0

0

− (ST − K2 )

Flujo Neto

0

ST − K1

K2 − K1

Gráficamente,



0

K1

K2

S(T)

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bull spread con opciones de venta.

13.5.2

Bear Spread

Definition 35 Una estrategia bear spread consiste en comprar una "call" ("put") con precio de ejercicio K2 (con vencimiento en t = T ) y vender una "call" ("put") con precio de ejercicio K1 (e igual vencimiento), tal que K2 > K1 .

Los flujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son: t=T

ST < K1

K1 < ST < K2

ST > K2

Compra "Call"

0

0

ST − K2

Venta "Call"

0

− (ST − K1 )

− (ST − K1 )

Flujo Neto

0

− (ST − K1 )

K1 − K2

Gráficamente,

135


13.5 SPREADS

0

K1

K2

S(T)

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opciones de venta.

13.5.3

Butterfly Spread

Definition 36 Una estrategia butterfly spread consiste en comprar una "call" ("put") con precio de ejercicio K1 y una "call" ("put") con precio de ejercicio K3 y vender 2 "calls" ("puts") con precio de ejercicio K2 , tal que K1 < K2 < K3 . Todas las opciones tienen igual fecha de vencimiento. Los flujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son: t=T

ST < K1

K1 < ST < K2

K2 < ST < K3

ST > K3

Compra Call 1

0

ST − K1

ST − K1

ST − K1

Compra Call 3

0

0

0

ST − K3

Venta 2 Puts

0

0

−2 (ST − K2 )

−2 (ST − K2 )

Flujo Neto

0

ST − K1

2K2 − K1 − ST | {z }

2K2 − K1 − K3 | {z }

Gráficamente,

=K1 −ST si K2 =0.5(K1 +K3 )

=0 si K2 =0.5(K1 +K3 )



0

K1

K2

K3

S(T)

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opciones de venta.

13.6

Combinaciones

Definition 37 Una estrategia Straddle consiste en comprar una "call" y una "put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 38 Una estrategia Strip consiste en comprar una "call" y dos "puts" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 39 Una estrategia Strap consiste en comprar dos "calls" y una "put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 40 Una estrategia Strangle consiste en comprar una "call" con precio de ejercicio K2 y una "put" con precio de ejercicio K1 e igual plazo al vencimiento, tal que K1 < K2 .

13.7 EL CONCEPTO DE ARBITRAJE Y 2 APLICACIONES 137

13.7

El Concepto de Arbitraje y 2 Aplicaciones

Las opciones financieras son siempre valorizadas por arbitraje. Esto es particularmente útil porque, en vez de estudiar los fundamentos detrás del valor de las opciones, podemos valorizar estas como una simple combinación del valor de otros activos que sí observamos. El flujo de caja de un activo es simplemente el valor de un activo (o una parte de éste) en algún momento futuro en el tiempo. Este flujo de caja es (hoy) desconocido y puede tomar distintos valores de acuerdo a los distintos estados de la naturaleza que se manifiesten. El precio o valor de un activo es cuanto valgan (hoy) los flujos prometidos. Existen dos conceptos fundamentales de arbitraje en finanzas: 1. La Ley de un Sólo Precio: Si dos activos prometen los mismos flujos de caja deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, significa a todo evento y no en valor esperado. 2. El Principio de No Arbitraje: Si el pago (a todo evento) del activo A es mayor (o igual) al pago (a todo evento) del activo B, entonces de manera cierta el precio del activo A debe ser mayor al precio del activo B.

13.8

La Paridad Put-Call

Suponga que Ud. compra una call y simultáneamente vende una put con mismo precio de ejercicio y mismo plazo al vencimiento. El flujo de caja obtenido al vencimiento es exactamente el mismo de mantener el activo subyacente y endeudarse a futuro por el precio de ejercicio K1 . Aplicando la ley de un sólo precio, podemos determinar que si los flujos de caja al vencimiento son iguales, los precios también deben serlos. implica que

1

Flujos: CT − PT = ST − K

(13.5)

Precios : C − P = S − V P (K) K Paridad Put-Call : C − P = S − R

(13.6) (13.7)

Recuerde simplemente las tablas y gráficos de flujos al vencimiento vistos en clases.

138CHAPTER 13 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS La paridad put-call es importante por 2 razones: 1. Ilustra el principio fundamental de como se valorizan las opciones antes de su vencimiento. 2. Ilustra como determinar el precio de una put (call) cuando se conoce el precio de una call (put). En otras palabras, para valorizar put (call) basta con conocer como se valoriza una call (put) y luego se aplica la paridad put-call2 .

13.9

Límites de Arbitraje y Ejercicio de Opciones antes del Vencimiento

Ahora bien, ¿qué nos indica el principio de no arbitraje acerca del precio de una call? 1. C ≥ 0. El precio de un flujo de caja igual a cero debe ser cero. Como el flujo de una call al vencimiento es siempre mayor que cero, su precio es siempre no negativo. 2. C ≤ S. El flujo de una call al vencimiento es siempre menor al valor del activo subyacente al vencimiento, por lo tanto el precio de una call antes del vencimiento es siempre menor al valor del activo. 3. C ≥ S−V P (D)−V P (K), donde D = dividendo pagado. El flujo de la call al vencimiento es CT = max (ST − K, 0) ≥ ST −K = ST +D −D − K. Como el precio de ST + D es S, si aplicamos el operador de precios sobre la expresión anterior obtenemos que C ≥ S − V P (D) − V P (K). Estas 3 condiciones pueden ser resumidas en el siguiente gráfico: 2

En realidad esto es sólo cierto para el caso de opciones europeas que no pagan dividendos. En cualquier caso, el principio es fácilmente extendible a otros casos.

13.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P

Precio Call

C=S

Precio "Call" debe estar en algun punto de esta area

S-VP(D)-VP(K) S(T)

La última de las desigualdades tiene una importante implicancia. Si las tasas de interés son mayores que cero, no vale la pena ejercer una opción que no paga dividendos antes de su vencimiento. ¿Por qué? Si no existen dividendos, la siguiente desigualdad es cierta C ≥ S − V P (K) > S − K

(13.8)

El extremo derecho de la desigualdad es el valor obtenido por ejercer la call antes del vencimiento. MORALEJA: compre opciones, nunca las ejerza antes de que venzan.

13.10

Valoración de Opciones por Método de Arboles Binomiales: 1 período al vencimiento

El objetivo de esta sección es ir en detalle a la forma en que se valorizan las opciones. Por simplicidad, analizaremos el caso de una call europea sin dividendos. El valor de tal "call" al vencimiento es: CT = max (ST − K, 0)

(13.9)

Lo que queremos encontrar es el valor de la call 1 período antes del vencimiento.

140CHAPTER 13 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS El precio del activo subyacente es S. Suponga que existen dos estados de la naturaleza al vencimiento: el precio del activo crece a ST = u · S o cae a ST = d · S. De esta forma, la call puede tomar uno de 2 valores: CT = Cu = max (u · S − K, 0) o CT = Cd = max (d · S − K, 0). El árbol de estados de la naturaleza puede ser representado por el siguiente esquema:

Conocemos u, d, S, K y queremos encontrar C. Considere un portafolio compuesto por valor H de acciones y valor B de bonos. El pago de este portafolio al vencimiento es H · u · S + B si la acción sube y H · d · S + B si la acción cae. Siempre es posible encontrar valores de H y B tales que los flujos de caja de este portafolio sean iguales al flujo de caja de la call. Esto significa que es necesario encontrar valores de H y B tal que H · u · S + B = Cu H · d · S + B = Cd

(13.10) (13.11)

2 ecuaciones y 2 incógnitas que tienen las siguientes soluciones: Cu − Cd (13.12) u·S−d·S u · S · Cd − d · S · Cu B = (13.13) u·S−d·S H es lo que se conoce como la razón de cobertura. Es el número de acciones necesarias para replicar exactamente los flujos al vencimiento de la call. Es también el cambio en el valor de la opción ante cambios en el precio del activo subyacente (si el valor del activo cambia desde d · S hasta u · S, el valor de la call cambia desde H · d · S hasta H · u · S). Si se grafica el valor de la opción en función del precio del activo subyacente, la pendiente de tal gráfico debe ser H. Tenemos dos portafolios con exactamente los mismos pagos. Por ley de un sólo precio, ambos portafolios deben tener el mismo precio. H =

C = HS +

B R

(13.14)

13.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P Reemplazando por los valores de H y B uC −dCu

d Cu − Cd u−d C = S+ u·S−d·S R uCd −dCu Cu − Cd C = + u−d u−d R

(13.15) (13.16)

Esta fórmula no es muy atrayente, así que definamos p=

R−d u−R ⇔1−p= u−d u−d

En términos de p, la formula de C se transforma en µ ¶ µ ¶ Cu Cd uCd dCu C = − + /R + /R u−d u−d u−d u−d µ µ µ ¶¶ ´¶ 1 1 ³u d C = − 1 Cd 1− Cu + u−d R u−d R ·µ ¶ ¶ ¸ µ R−d u−R 1 Cu + Cd C = R u−d u−d 1 [pCu + (1 − p) Cd ] C = R

(13.17)

(13.18) (13.19) (13.20) (13.21)

donde Cu = max (u · S − K, 0) y Cd = max (d · S − K, 0). Hay 3 hechos interesantes acerca de esta última formula: 1. Las probabilidades de los estados (u, d) no entran en ninguna parte de la fórmula. Todo el argumento de valorización de opciones proviene de la ley de un sólo precio. Si esto no fuera cierto, existe una oportunidad de arbitraje libre de riesgo: compre el portafolio HS + B y vaya corto en la call (o viceversa). La clave es lo siguiente: toda la información acerca de hacia donde va el precio de la accion ya está incluído en su precio actual S. Si la probabilidad del estado u crece, el precio S se ajusta automáticamente al alza. 2. Aversión al riesgo, premio por riesgo, etc. no juegan ningun rol en la valorizacion de opciones. El argumento es el mismo que en (1): todo eso ya está incluído en el precio de S.

142CHAPTER 13 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS 3. p parece una probabilidad: su valor está entre 0 y 1. p es lo que se conoce como la probabilidad neutral al riesgo. Suponga que los agentes son neutrales al riesgo, tal que la probabilidad asignada a u · S es p. En ese caso, el precio de la opción es simplemente el valor esperado descontado de los flujos al vencimiento: 1 [pCu + (1 − p) Cd ] R 1 = E (CT ) R

C =

(13.22) (13.23)

Es importante que no confunda probabilidades neutrales al riesgo con probabilidades efectivas. Las probabilidades efectivas no importan para la valorización de opciones. ¿Por qué? Porque todo lo que se necesita conocer acerca de los escenarios futuros de ST está capturado en el precio actual de S. Por tanto, si usted quisiera valorizar una opción sin conocer el precio actual de S, entonces recién sería necesario volver a pensar en betas, premio por riesgo, probabilidades efectivas, etc. Si se conoce el precio actual de S, el resto es sólo un argumento de arbitraje.

13.11

Método de Arboles Binomiales: 2 períodos al vencimiento

Suponga que el precio del activo subyacente puede subir o bajar (u, d) en cada período. Defina Cu,u , Cu,d y Cd,d como los pagos de la call al vencimiento de acuerdo al siguiente esquema:

13.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES

143

Igual que en la sección pasada, la opción debe valorizarse desde el vencimiento hacia atrás. 1 [pCu,u + (1 − p) Cu,d ] R 1 Cd = [pCu,d + (1 − p) Cd,d ] R 1 C = [pCu + (1 − p) Cd ] R

Cu =

(13.24) (13.25) (13.26)

Sustituyendo el valor de Cu y Cd en C, obtenemos: C=

¤ 1 £ 2 p Cu,u + 2p (1 − p) Cu,d + (1 − p)2 Cdd 2 R

(13.27)

Hechos interesantes acerca de esta última fórmula: 1. El precio de la opción sólo depende de los siguientes factores: el precio S, el precio de ejercicio K, la volatilidad (u, d) , la tasa de interés R y el número de períodos al vencimiento. 2. Esta es una forma práctica y realista de valorizar opciones. Si las probabilidad de u crece en un 1/6 y la de d cae en un 1/6, las probabilidades al vencimiento subieron 1/8 (Cu,u ), no cambiaron (Cu,d ) o se redujeron en un 1/8 (Cd,d ). Aún más, con muchos más períodos, puede pasar cualquier cosa con el precio.

13.12

La Formula de Black y Scholes

Suponga que se incrementan los períodos al vencimiento en el modelo binomial. Más aún, suponga que estos periodos son muy cortos (en el límite convergen a cero). Cuando se toma computa el límite de tal modelo emerge una famosa fórmula, la de Black y Scholes: C = S · N (d1 ) − K · e−rT · N (d2 )

(13.28)

144CHAPTER 13 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS donde ´ ³ σ2 T + r + K 2 √ (13.29) σ T √ d1 − σ T (13.30) área debajo de la distribución Normal hasta el punto x tasa de interés continuamente compuesta desviación estándar de los retornos del activo subyacente ln

d1 ≡ d2 N (x) r σ

≡ = = =

¡S¢

Esta fórmula se determina de igual forma que la fórmula binomial y tiene importantes implicancias: 1. Si el precio del activo subyacente está muy por encima del precio de ejercicio, S À K, N (∞) = 1 tal que C → S − Ke−rT . 2. Si el precio del activo subyacente está muy por debajo del precio de ejercicio, S ¿ K, N (−∞) = 0 tal que C → 0. 3. El precio de la opción es una función determinística del precio actual de la acción (S). Los parámetros de esta función son: r, T, σ, K. 4. La volatilidad del activo subyacente (σ) no es observable. Esta es una volatilidad condicional: la volatilidad que los agentes piensan que el activo debiera tener (en el modelo binomial, esta volatilidad está dada por la diferencia entre u y d). De esta forma, la volatilidad implícita es el σ que satisface la fórmula de Black y Scholes para los precios de mercado de la opción. Por esta razón, muchas veces resulta estándar en el mercado referirse al valor de una opción por su volatilidad implícita y no por su precio efectivo. 5. Intuición de Black y Scholes. Por simple inspección, la fórmula de Black y Scholes se descompone en 2 partes: • SN (d1 ), el valor presente de la acción multiplicado por la probabilidad de que este precio sea igual al precio de ejercicio. • −Ke−rT N (d2 ), el valor presente del precio de ejercicio multiplicado por la probabilidad de ejercer la opción. De nuevo, estas

13.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES

145

probabilidades son neutrales al riesgo y son distintas a las probabilidades efectivas. Por lo tanto, al igual que con la fórmula binomial, Black y Scholes puede ser interpretada como una fórmula neutral al riesgo. 6. La razon de cobertura H es la pendiente del precio de la opción. Por lo tanto, es la derivada de la formula de Black y Scholes. H=

∂C = N (d1 ) ∂S

(13.31)

Es interesante hacer notar el siguiente hecho, esta pendiente sólo cambia con el precio del activo y con el horizonte de tiempo. La razón de cobertura es particularmente importante en el siguiente caso real: suponga que por alguna razón usted debe mantener un gran stock de acciones, la razón de cobertura le dice cuantas opciones debe mantener para eliminar el riesgo del activo subyacente (las acciones) a un período plazo (no al vencimiento, ya que en ese caso basta con cubrir una acción con una opción).

Chapter 14 Finanzas Corporativas (1): Estructura de Capital Por estructura de capital se entiende la composición de pasivos y patrimonio de una empresa (i.e. cuánto capital y cuánta deuda tiene una empresa). ¿Por qué nos importa la estructura de capital? Por dos razones, (1) para entender porque existen personas, empresas y países más endeudados que otros y (2) para descubrir si es que existe valor agregado asociado a una estructura de capital por sobre otras (en otras palabras, conviene financiarse vía capital o vía deuda). Previo a Modigliani y Miller (1958) se solía pensar la estructura de capital como la solución al siguiente par de problemas: 1. Un problema de clientelas, algunos inversionistas (preferentes al riesgo) prefieren acciones y están dispuestos a pagar más por ellos, por lo tanto hay que proveer acciones para ellos, por su parte otros inversionistas (aversos al riesgo) prefieren bonos y están dispuestos a pagar más por ellos. 2. Un problema de minimización del costo de capital promedio ponderado D P de las empresas: CCP P = rD · D+P + rP · D+P . El costo de la deuda es D menor al de las acciones, rD < rP , tal que el incrementar D+P reduce el CCP P , no obstante en algún punto la deuda empieza a ser riesgosa y CCP P comienza a crecer. La estructura de capital óptima sería la que resuelve el problema de minimización de CCP P . 147

148CHAPTER 14 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT El teorema de Modigliani y Miller (1958) vino a revolucionar las finanzas corporativas al demostrar la falacia de ambos argumentos. El punto de Modigliani y Miller (M&M) es que las firmas son tomadoras de precios en el mercado financiero y que el CCP P = E(X) es una función de los flujos de V caja esperado (X) y del valor de la empresa (V ). rD y rP son funciones de CCP P y de la estructura de capital, por lo tanto el argumento 2 resulta ser una tautología.

14.1

La Irrelevancia de la Estructura de Capital: El Teorema de Modigliani y Miller

14.1.1

Alguna Notación

• Di es el valor de mercado de la deuda emitida por la firma i. • Pi es el valor de mercado del patrimonio emitido por la firma i. • Vi es el valor total de la firma i. Vi = Di + Pi . • Xi es el flujo de caja opereacional (antes de impuestos y pago de intereses) asociado a los activos productivos de la firma i. • La tasa de retorno exigida a firmas en categoria de riesgo k es ρk . Esta tasa de retorno es también el costo de capital promedio ponderado. • La deuda no tiene riesgo y paga una tasa de retorno de rD . La tasa de retorno exigida al patrimonio es rP .

14.1.2

Supuestos de Modigliani y Miller

• No existen Impuestos. • No existe quiebra ni costos de transaccion. • Los flujos de caja operacionales son flujos fijos y exógenos al modelo. • Toda la información es simétrica, conocida por todas las partes. • No existen oportunidades de arbitraje. • Los mercados son completos.

14.1 LA IRRELEVANCIA DE LA ESTRUCTURA DE CAPITAL: EL TEOREMA DE MO

14.1.3

Proposicion I de Modigliani y Miller

Definition 41 PROPOSICION I DE MODIGLIANI-MILLER. Bajo los supuestos de Modigliani y Miller, la estructura de capital es completamente irrelevante y el valor de una empresa se encuentra determinado por el valor descontado i de sus flujos operacionales, Vi = X . ρ k

Proof. La prueba original de Modigliani y Miller. Asuma que existen dos firmas 1 y 2 en la misma categoría de riesgo con mismos flujos operacionales X. La firma 1 no tiene deuda, mientras que la firma 2 sí la tiene. El valor de las firmas 1 y 2 es V1 y V2 . Asuma que V1 > V2 . Considere un inversionista que es dueño de una proporción α del patrimonio de la firma 1. El valor de esa inversión es αV1 . Los flujos de caja de este portafolio son αX. Usted puede vender esa inversión y comprar un portafolio de αP2 VV12 acciones y αD2 VV12 bonos emitidas por la firma 2. Los flujos de caja de este portafolio son V1 V1 α (X − rD D2 ) + α rD D2 = αX (14.1) V2 V2 Ambos portafolios cuestan lo mismo tal que α

V1 X = αX V2

(14.2)

Lo cual es cierto si y sólo si V1 = V2 . Queda para Ud. la segunda parte de la prueba en la cual forma un portafolio de acciones de la firma 1 y deuda libre de riesgo con una inversión en acciones de la firma 2. La intuición de la proposición I de M&M es muy simple: si los flujos de caja están fijos, la forma en que divida el valor de los activos (deuda y capital) es absolutamente irrelevante para el valor de los activos. ¿Cuán importante son los supuestos de M&M para el resultado final? • Patrimonio Riesgoso Vs. Deuda Libre de Riesgo. NO RELEVANTE. M&M puede ser demostrado para cualquier activo que sea función de los flujos operacionales, por ejemplo para deuda riesgosa tal que D (X) = min (V C, X), donde V C es el valor de carátula de la deuda.

150CHAPTER 14 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT • La existencia de firmas gemelas. NO RELEVANTE. Lo importante es que los mercados sean efectivamente completos, es decir que todos los riesgos relevantes sean transables a un precio correcto en el mercado financiero. • LO RELEVANTE. El valor X de los flujos operacionales debe ser independiente del tamaño de la deuda de la empresa.

14.1.4

Proposicion II de Modigliani y Miller

Una consecuencia directa de la proposición I de M&M es que es posible encontrar una relación lineal entre el retorno exigido al patrimonio y la relación deuda sobre capital. Definition 42 PROPOSICION II DE MODIGLIANI Y MILLER. El retorno exigido al patrimonio es una función lineal de la estructura de capital: rP = ρk + (ρk − rD ) ×

Di Pi

(14.3)

Proof. El retorno del patrimonio es rP =

Xk − rD Di Pi

(14.4)

De acuerdo a M&M I, tenemos que Xk ρk Xk = ρk Vi = ρk (Di + Pi ) Vi =

(14.5) (14.6)

Reemplazando la ecuación (14.6) en la ecuación (14.4) se obtiene la relación (14.3).

14.1.5

La importancia de Modigliani y Miller

La relevancia de M&M no está en que sea una buena descripción de la realidad (probablemente no lo sea porque muchos de sus supuestos no son ciertos), sino en que nos da gran intuición para entender como funcionan las cosas en la práctica. M&M nos dice que para que la estructura de capital importe tiene que pasar alguna de las siguientes cosas:

14.2 IMPUESTOS A LAS EMPRESAS Y ESTRUCTURA DE CAPITAL151 1. Que la estructura de capital afecte el pago de impuestos u otro costo de transacción. 2. Que la estructura de capital afecte los flujos de caja operacionales. 3. Que la estructura de capital afecte la completitud de mercados (i.e. que las firmas no sean tomadoras de precios en los mercados financieros). Nos concentraremos en 1 y 2.

14.2

Impuestos a las Empresas y Estructura de Capital

La intuición es que la estructura de capital es relevante porque la deuda y las acciones tienen distinto tratamiento tributario (i.e. distintas tasas de impuestos).

14.2.1

Beneficio Tributario de la Deuda

A nivel de las empresas, el pago de intereses se deduce de la base tributaria sobre la cual se paga el impuesto a las utilidades. Esto no ocurre para el caso del pago de dividendos y utilidades retenidas. Definiendo τ e como la tasa de impuestos a las empresas, tenemos que el flujo de caja y valor de la firma se representan por F Ci = (1 − τ e ) (Xk − rD D) + rD D (1 − τ e ) Xk Vi = + τ eD |{z} ρk | {z } beneficio tributario de la deuda

(14.7) (14.8)

valor firma sin deuda

El valor de una firma con deuda es igual al valor de una firma equivalente sin deuda más el beneficio tributario de la deuda que es creciente con el nivel de deuda D. La estructura de capital no es irrelevante, al contrario conviene tener mucha deuda para aprovechar el beneficio tributario de la deuda.

152CHAPTER 14 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT

14.3

Impuestos Personales y Estructura de Capital

Existe un famoso trabajo de Miller (1977) que demuestra que bajo el supuesto de tasas progresivas de impuestos personales es posible concebir una multitud de estructuras óptimas de capital. El modelo de Miller con impuestos personales funciona de la siguiente forma: • τ e es la tasa de impuestos a las empresas. • τ pD es la tasa de impuestos personales a los ingresos por intereses de bonos. • τ pP es la tasa de impuestos personales a los ingresos por pago de dividendos y ganancias de capital accionarias. • Cada período los flujos de caja después de impuestos para los inversionistas son (1 − τ pP ) (1 − τ e ) (X − rD D) + (1 − τ pD ) rD D

(14.9)

Asumiendo que tanto X como rD D son perpetuidades, entonces tenemos que el valor presente flujo de caja recibido por los inversionistas es (ojo: la tasa de descuento para la perpetuidad de la deuda es rD (1 − τ pD )): ¸ · (1 − τ pP ) (1 − τ e ) D V P (Firma) = V P (Firma sin Deuda) + 1 − (1 − τ pD ) | {z } T

(14.10)

• Note que si τ pP = τ pD , la ecuacion (14.10) se transforma trivialmente en la ecuación (14.8). • El beneficio tributario de la deuda a nivel de las personas puede ser incluso negativo. • La estructura de capital óptima a nivel agregada se encuentra determinada por el inversionista marginal para el cual en el margen es cierto que τ pP = τ e . ¿Cuál es la intuición de esto último?

14.3 IMPUESTOS PERSONALES Y ESTRUCTURA DE CAPITAL153 — Si τ pP < τ e , las empresas emitirían deuda hasta el punto en que los inversionistas en el rango alto del impuesto progresivo absorban todos estos bonos, pagando más impuestos y se igualen ambas tasas marginales τ pP = τ e . — Un poco más formalmente asuma que los inversionistas exigen una tasa de retorno sobre los bonos de r0 después de impuestos. Por simplicidad tambien asumiré que τ pP = 0. — Demanda por Bonos: ∗ Si rD < r0 , nadie demanda bonos. ∗ Si rD = r0 , las personas exentas de impuestos (o en un tramo bajo del impuesto progresivo) comenzarán a demandar bonos. ∗ En la medida que se incrementa rD inversionistas de tramos más altos de impuesto progresivo empiezan a demandar bonos. Un inversionista individual estará dispuesto a demandar bonos en la medida que rD ≥ 1−τr0p . ( D,i ) — Oferta de Bonos: Las firmas toman rD como una tasa de interés dada. ∗ Si rD (1 − τ e ) > r0 , las empresas no emitirían deuda. ∗ Si rD (1 − τ e ) < r0 , las empresas no emitirían acciones. ∗ Si rD (1 − τ e ) = r0 , las empresas se encuentran indiferentes entre emitir deuda o acciones. ∗ Por lo tanto, la oferta de bonos sería perfectamente elástica a r0 la tasa rD = (1−τ . e) — El equilibrio de Miller (1977). Para el inversionista marginal (m), la demanda agregada se iguala con la oferta agregada de bonos: r0 r0 ¡ ¢ = p (1 − τ e ) 1 − τ D,m p τ D,m = τ e

(14.11) (14.12)

— Por lo tanto, en el equilibrio de Miller existe una estructura de capital óptima a nivel agregado. Esa estructura de capital es la que hace que el inversionista marginal esté indiferente entre demandar o no más bonos: rD = 1−τr0p . ( D,m )

154CHAPTER 14 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT Demanda Agregada de Bonos

r0/(1-te)

Oferta Agregada de Bonos

rd

Aqui se acumula demanda hasta el inversionista marginal (m) Aqui empiezan a demandar (ademas) bonos individuos con tasas de impuestos mas altas

r0

Aqui demandan bonos aquellos individuos con bajas tasas de impuestos

B*

•

Cantidad de Bonos

— Sin embargo, note lo siguiente en la medida que el equilibrio de Miller se sastisface con τ pD,m = τ e , entonces debe ser cierto que 



 1 −    T = 1 −   

lo asumimos cero aunque esto no es relevante

z}|{ τ pP

(1 − τ pD )





 (1 − τ e )     =0   

(14.13) A nivel de las empresas individuales, la estructura de capital todavía sigue siendo irrelevante.

— LA CONCLUSION DEL MODELO DE MILLER CON IMPUESTOS PERSONALES ES QUE LA EXISTENCIA DE IMPUESTOS PERSONALES PROGRESIVOS HACE RELEVANTE LA ESTRUCTURA DE CAPITAL A NIVEL AGREGADO, PERO TODAVIA CONTINUA SIENDO IRRELEVANTE PARA LAS EMPRESAS INDIVIDUALES QUE EN EQUILIBRIO NO TIENEN BENEFICIO TRIBUTARIO ALGUNO POR EMITIR MAS DEUDA.

14.3 IMPUESTOS PERSONALES Y ESTRUCTURA DE CAPITAL155

14.3.1

Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Impuestos Personales

El modelo de Miller (1977) tiene importantes conclusiones acerca de la estructura de capital cuando existe una estructura de impuestos más compleja (y, por lo tanto, más realista). La clave detrás del modelo de Miller (1977) es el asumir una estructura de impuestos personales progresivos para el devengo de los bonos y el reparto de utilidades. La existencia de impuestos personales progresivos puede ser la causa de la existencia de una estructura de capital óptima para cada empresa, industria o país. En esta pequeña nota se pretende ponerle números concretos a esta idea. El supuesto clave es la existencia de impuestos progresivos sobre el pago de la deuda o sobre las utilidades devengadas. El modelo de Miller (1977) es consistente con la existencia de impuestos personales progresivos sobre cualquiera sea el caso: pago de deuda, devengo de utilidades o ambos al mismo tiempo. Para efectos simplificatorios, en estas notas veremos cada caso individualmente. Ejemplo 1: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de la Deuda Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda (D = 10) y acciones (S = 50) . La tasa de impuestos a las utilidades (τ e ) es del 15%, la tasa de impuestos a las utilidades devengadas (τ pP ) es del 20% y la tasa de impuestos al devengo de la deuda es una tasa progresiva (τ pD ) de 10% si el ingreso de la deuda (rD D) es menor a 1,5 y del 32% si el ingreso de la deuda es superior a 1,5. La tasa de interés es rD = 10%. ¿Cuál es el beneficio tributario de la deuda? · ¸ (1 − τ pD ) − (1 − τ e ) (1 − τ pP ) T ·D = D (14.14) (1 − τ pD ) τ pD

Dado que el ingreso de la deuda es r × D = 10% × 10 = 1 < 1, 5, entonces = 10%, tal que: ·

¸ (1 − 10%) − (1 − 15%) (1 − 20%) T ·D = · 10 (1 − 10%) T · D = 2, 44 ¿Cuánto vale la compañía sin deuda?

(14.15) (14.16)

156CHAPTER 14 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT

VL = VU + T · D 60 = VU + 2, 44 ⇐⇒ VU = 57, 56

(14.17) (14.18)

No obstante, el beneficio tributario se incrementaría de aumentar la deuda. Dado T = 0, 244, el beneficio tributario de la deuda se incrementa hasta 3,66 si la deuda sube hasta D = 15. Sin embargo, en ese punto el ingreso de la deuda pasa a ser r × D = 10% × 15 = 1, 5, entonces τ pD = 32%, tal que: T ·D =

·

T ·D = 0

¸ (1 − 32%) − (1 − 15%) (1 − 20%) · 15 (1 − 32%)

(14.19) (14.20)

Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es D 15 = = 35, 2% P 42, 56

(14.21)

Ejemplo 2: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de Utilidades Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda (D = 10) y acciones (S = 50). La tasa de impuestos a las utilidades (τ e ) es del 15%, la tasa de impuestos al devengo de la deuda es (τ pD ) de 40% y la tasa de impuestos personales a las utilidades devengadas (τ pP ) es una tasa progresiva de 10% si las utilidades devengadas por el accionista son menores a 1,5 y 29,5% si las utilidades devengadas por el accionista son superiores a 1,5. La tasa de interés es rD = 10% y el flujo de caja operacional es una perpetuidad de X = 2, 5. ¿Cuál es el beneficio tributario de la deuda? ·

¸ (1 − τ pD ) − (1 − τ e ) (1 − τ pP ) T ·D = D (1 − τ pD )

(14.22)

Dado que el ingreso al accionista es (1−τ e )(X −rD D) = 0, 85×(2, 5−1) = 1, 275 < 1, 5, entonces τ pP = 10%, tal que:

14.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR157

¸ (1 − 40%) − (1 − 15%) (1 − 10%) · 10 T ·D = (1 − 40%) T · D = −1, 65 ·

(14.23) (14.24)

¿Cuánto vale la compañía sin deuda? VL = VU + T · D 60 = VU − 1, 65 ⇐⇒ VU = 61, 65

(14.25) (14.26)

No obstante, el beneficio tributario se incrementaría de reducir la deuda. Dado T = −0, 165, el beneficio tributario (negativo) de la deuda se reduce hasta -1,21 si la deuda cae hasta D = 7, 35. Sin embargo, en ese punto el ingreso devengado al accionista pasa a ser (1 − τ e ) × (X − rD D) = 0, 85 × (2, 5 − 0, 735) = 1, 5, entonces τ pP = 29, 5%, tal que:

T ·D =

·

T ·D = 0

¸ (1 − 40%) − (1 − 15%) (1 − 29, 5%) · 7, 35 (1 − 40%)

(14.27) (14.28)

Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es D 7, 35 = = 13, 54% P 54, 3

14.4

(14.29)

La Deuda Como Fuente de Destrucción de Valor

Uno de los supuestos fundamentales de Modigliani y Miller es que la estructura de capital no afecta los flujos de caja operacionales. Estos son fijos y exógenos al modelo. Esto, en la práctica, puede ser un supuesto poco realista. ¿Por qué? Defina quiebra como la circunstancia en la cual una firma no es capaz de cubrir los costos financieros de su deuda con sus flujos operacionales. X < rD D ⇐⇒ quiebra

(14.30)

158CHAPTER 14 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT La quiebra es un concepto importante porque: (1) implica costos reales (ejemplo, remunerar al síndico de quiebra) y (2) implica el concepto de responsabilidad limitada de los accionistas: los accionistas no responden con patrimonio propio si es que la firma quiebra. En otras palabras, si los accionistas no son capaces de pagar la deuda financiera, éstos no cubren la diferencia entre X y rD D sino que entregan la firma a los acreedores. Tanto (1) como (2) violan el supuesto de M&M de que la estructura de capital no afecta los flujos operacionales. ¿Por qué? Porque la probabilidad de quiebra crece con el tamaño de la deuda. Con mucha deuda es mas probable irse a la quiebra y tener que afrontar costos reales de quiebra o tener que entregar la empresa por un valor menor a la deuda comprometida. Ejemplificaremos tales ideas a traves del siguiente par de ejemplos númericos.

14.4.1

Existencia de Costos Reales por Problemas Financieros

Suponga que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual se divide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puede ocurrir cualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza: • Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5. • Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5. Si la empresa no es capaz de cumplir con el valor total de la deuda contraída, esta deberá declararse en quiebra, para lo cual deberá incurrir en un costo de quiebra equivalente al 10% del valor de V en caso de quiebra. Asuma por simplicidad que la tasa de interés es cero. ¿Cuánto vale esta compañía con esa estructura de capital? En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100 En el estado 2, V < D, de tal forma que existe quiebra y debe incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20 − 10% × 20 = 0, 9 × 20 = 18 De tal forma que el valor económico de esta compañía es: V E = 100 × 0, 5 + 18 × 0, 5 = 59 Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. El resto de los supuestos es el mismo que antes.

14.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR159 ¿Cuánto vale esta compañía con esa nueva estructura de capital? En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100 En el estado 2, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20 De tal forma que el valor económico de esta compañía es: V E = 100 × 0, 5 + 20 × 0, 5 = 60 Resulta obvio que en este ejemplo en el que existe un costo de quiebra, la estructura de capital importa. En particular, la probabilidad de que en algún estado de la naturaleza haya que incurrir en un costo de quiebra destruye parte del valor de la empresa. En este sentido, la estructura de capital ya no es irrelevante para el valor de una compañía.

14.4.2

Problemas de Agencia: La Deuda Como Incentivo a Elegir Malos Proyectos

En economía se entiende un problema de agencia como un problema en el cual dos agentes económicos tienen distintos objetivos para el mismo instrumento económico. En nuestro caso particular, accionistas y acreedores tendrán distintas estructuras de capital óptimas (para la misma firma) que maximizan el valor de su riqueza. Asuma como antes que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual se divide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puede ocurrir cualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza: • Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5. • Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5. No existen costos de quiebra y la tasa de interés es cero. Asuma también que existe un segundo proyecto con inversión inicial por 10 y que paga 18 en el estado 1 y 0 en el estado 2. El valor presente neto de este proyecto es: V P N = 0, 5 × 18 − 10 = 9 − 10 = −1. Por lo tanto, la empresa no debería invertir en tal proyecto ya que destruye valor. Suponga que la empresa cuenta entre sus activos con 10 de caja. ¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en el proyecto?

160CHAPTER 14 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT • Estado 1:

V = 100 + 18 − 10 = 108, D = 50, S = 58

• Estado 2:

V = 20 + 0 − 10 = 10, D = 10, S = 0

A valor presente hoy, esto implica que: V = 0, 5 × 108 + 0, 5 × 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujo en 1. D = 0, 5 × 50 + 0, 5 × 10 = 30 < 0, 5 × 50 + 0, 5 × 20 = 35, el valor de la deuda se redujo en 5. S = 58 × 0, 5 = 29 > 50 × 0, 5 = 25, el valor de las acciones se incrementó en 4. Lo relevante aquí es que al dueño de las acciones le conviene que la empresa invierta en un proyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque los dueños de la deuda le están haciendo una transferencia de riqueza superior al V P N < 0 del proyecto. Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. Suponga que la empresa cuenta entre sus activos con 10 de caja. El resto de los supuestos sobre el proyecto son exactamente los mismos que antes. ¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en el proyecto? • Estado 1:

V = 100 + 18 − 10 = 108, D = 10, S = 98

• Estado 2:

V = 20 + 0 − 10 = 10, D = 10, S = 0

A valor presente hoy, esto implica que: V = 0, 5 × 108 + 0, 5 × 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujo en 1. D = 0, 5 × 10 + 0, 5 × 10 = 10, el valor de la deuda no cambia si se invierte en el proyecto. S = 98 × 0, 5 = 49 < 90 × 0, 5 + 10 × 0, 5 = 50, el valor de las acciones se redujo en 1.

14.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR161 Lo relevante aquí es que, con una estructura de capital con menos deuda, al dueño de las acciones ya no le conviene que la empresa invierta en un proyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque ya no existe una transferencia de riqueza superior desde la deuda al capital. GRAN CONCLUSIÓN: A MAYOR RELACIÓN DEUDA SOBRE CAPITAL, SE INCREMENTA LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA UNA TRANSFERENCIA DE RIQUEZA DESDE TENEDORES DE DEUDA HACIA LOS ACCIONISTAS. EN EMPRESAS MUY ENDEUDADAS CONVIENE INVERTIR EN PROYECTOS MÁS RIESGOSOS (AUNQUE DESTRUYAN VALOR) PARA AUMENTAR LA PROBABILIDAD DE EXPROPIAR A LOS TENEDORES DE BONOS. Analogía con las Opciones Financieras El argumento previo tiene una analogía perfecta con las opciones financieras. El valor de las acciones es como una opción de compra: S = max(V − D, 0)

(14.31)

Mientras que la deuda es como el valor de un activo libre de riesgo más la venta de una opción de venta con precio de ejercicio igual al valor de carátula (V C) de la deuda: D = V C − max(V C − V, 0)

(14.32)

Como ya vimos durante el transcurso de este curso, el valor de una opción se incrementa con la volatilidad del activo subyacente (en este caso, V ). De esta forma, se concluye que en presencia de deuda el valor de las acciones se incrementa al invertir en proyectos más riesgosos, mientras que el valor de la deuda cae al invertir en proyectos más riesgosos.

Chapter 15 Finanzas Corporativas (2): Política de Dividendos 15.1

La Irrelevancia de la Política de Dividendos: Modigliani-Miller

Supuestos: • No existen impuestos. • No existen costos de transacción. • La información es común a todas las partes. • La política de dividendos es independiente de las decisiones de inversión. • No existen problemas de agencia. El Concepto de M-M: • $100 en el bolsillo izquierdo es lo mismo que $20 en el bolsillo derecho y $80 en el izquierdo. • Ningún inversionista pagará por algo (efectivo vía dividendos) que se puede crear sin costos (vender acciones). 163

164CHAPTER 15 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO • El retorno del capital es una función del riesgo operacional y el riesgo financiero (leverage), y ambos son independientes del pago de dividendos. • Implicancia Directa: LA POLITICA DE DIVIDENDOS ES COMPLETAMENTE IRRELEVANTE. • Incrementar o reducir el pago de dividendos no puede afectar la riqueza de los accionistas, en la medida que las deciones de inversión no se ven afectadas por la política de dividendos. • La política de dividendos es un "tradeoff" entre retener utilidades para futuras inversiones (no hay pago de dividendos) versus emitir nuevas acciones para pagar dividendos y todavía tener el dinero necesario para invertir.

Usos de Fundos = Fuentes de Fondos

(15.1)

Dividendos+Gasto Inversión = Flujo Operacional+Financiamiento Externo (15.2) • Si Gasto Inversión=Flujo Operacional, la firma no podrá repartir dividendos sin la ayuda de financiamiento externo (nueva emisión). • En el caso de que la firma decidiera emitir nuevas acciones y utilizar esos fondos para pagar dividendos, tanto el valor de la firma como la riqueza de los accionistas serían exactamente los mismos que si nunca se hubieran emitido nuevas acciones. • En lo fundamental, nada cambia. Los flujos y el riesgo operacional son los mismos, por lo tanto el valor de las acciones no puede haber cambiado. • No obstante, todo el análisis anterior se basa en 3 supuestos fundamentales: 1. No existen tasas de impuestos personales distintas para los ingresos por repartos de dividendos y por las ganancias de capital.

15.2 LOS INVERSIONISTAS TIENEN PREFERENCIA POR FIRMAS QUE PAGAN DIV 2. Si las firmas deciden emitir pagar dividendos superiores a sus excesos de caja, la emisión de nuevas acciones para cubrir esta necesidad de caja no tiene ni costos reales ni tampoco envía señales al mercado acerca de las perspectivas de flujos operacionales futuros. 3. Si las firmas deciden emitir para pagar dividendos inferiores a sus excesos de caja, esta caja no será utilizada en financiar proyectos con VPN<0.

15.2

Los Inversionistas Tienen Preferencia por Firmas que Pagan Dividendos

• De alguna forma, este nuevo supuesto viola el supuesto 3 en la sección pasada. Los inversionistas, al demandar acciones que pagan más dividendos, están dispuestos a sacrificar VPN positivo por pago de dividendos. • La idea es la siguiente: D1 + P1 P0 D1 + gg = Po

RS =

(15.3) (15.4)

1 • Al aumentar el pago de dividendos, se incrementa D , y de acuerdo Po a M-M esto debería ser compensado por una caída equivalente en gg. No obstante, como los inversionistas tienen por acciones ¯ ³preferencias ´¯ ¯ ¯ 1 con mayor pago de dividendos, |∆gg| > ¯∆ D , tal que el retorno Po ¯ exigido a las acciones (en neto) se reduce.

• La conclusión general es que es bueno pagar dividendos porque reduce el riesgo asociado al pago de dividendos en relación al riesgo de las ganancias de capital.

• El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayor pago de dividendo deberían valer más que sus pares con menor pago de dividendos.

166CHAPTER 15 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO

15.3

La Desventaja Tributaria de los Dividendos

¿Cuál es la idea? • Como la tasa de impuestos personales sobre el pago de dividendos es superior a la tasa de impuestos personales sobre las ganancias de capital (porque estos impuestos pueden ser diferidos), los inversionistas castigarán a aquellas acciones que pagan muchos dividendos. • El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayor pago de dividendo deberían valer menos que sus pares con menor pago de dividendos, i.e. el reparto de dividendos destruye valor.

15.3.1

El Modelo de Elton y Gruber

La proposición III de M-M implica que la política de dividendos es irrelevante para el valor de la empresa y para la riqueza del accionista. Una implicancia directa de lo anterior es que al momento exacto de repartir dividendos, el precio de la accion debería caer exactamente en el mismo monto que el reparto de dividendo por acción. La evidencia empírica indica que eso, en general, no es así. El modelo de Elton y Gruber (1980) intenta explicar tal hecho en el contexto de economías con impuestos a las personas. Defina Pa = precio en el instante antes del anuncio de dividendos Pd = precio en el instante posterior al anuncio de dividendos D = dividendo declarado t = tasa de impuesto a la renta tgg = tasa impuesto a las ganancias de capital Los flujos de caja por vender la acción antes del anuncio de dividendos son Pa − (Pa − P ) tgg (15.5) Mientras que los flujos de caja por vender la acción después del anuncio de dividendos son: Pd − (Pd − P ) tgg + D (1 − t) (15.6) En la medida que el inversionista marginal debiera estar indiferente entre vender antes o después del anuncio de dividendos, entonces Pa − (Pa − P ) tgg = Pd − (Pd − P ) tgg + D (1 − t)

(15.7)

15.4 LA EXISTENCIA DE COSTOS DE TRANSACCIÓN

167

Ordenando, lo anterior se convierte en: Pa − Pd 1−t = D 1 − tgg

(15.8)

Tal que • si t = tgg , entonces Pa − Pd = D • si t > tgg , entonces Pa − Pd < D • si t < tgg , entonces Pa − Pd > D

15.4

La Existencia de Costos de Transacción

¿Cuál es la idea? • Como acceder al mercado de capitales tiene costos reales de transacción, el recurrir en altos montos al mercado de capitales para pagar altos dividendos tiene altos costos reales que se traducen en menor valor para la firma. • El corolario es que (todo lo demás constante), existe un incentivo a evitar grandes pagos de dividendos ya que si la firma no cuenta con caja suficiente deberá recurrir al mercado de capitales pagando costos reales que destruyen el valor de la firma.

15.5

La Teoría de Clientelas

¿Cuál es la idea? • Existen distintos tipos de inversionistas con distinto grado de aversión al riesgo de liquidez y distintas tasas de impuestos personales. • Los inversionistas con mayor grado de aversión al riesgo de liquidez demandarán acciones con mayor pago de dividendos, mientras que aquellos con menor aversión al riesgo de liquidez demandarán las acciones que pagan menores dividendos.

168CHAPTER 15 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO • Los dividendos tienen una desventaja tributaria, por tanto su uso debe estar justificado por alguna clase de beneficios reales en su uso (por ejemplo, las necesidades de liquidez). • El corolario es que, incluso con grandes diferencias entre inversionistas en materia de aversión al riesgo de liquidez e impuestos personales, la política de dividendos a nivel de la firma todavia puede ser irrelevante a pesar de que no lo sea a nivel de los inversionistas individuales. • La clave es que el riesgo de liquidez es intuitivamente un riesgo completamente diversificable.

15.6

La Teoría de Información de la Politica de Dividendos

¿Cuál es la idea? • Para evitar futuras reducciones en el pago de ¡ D ¢dividendos, las firmas seleccionan bajos niveles de "dividend yield" P y los incrementa si y sólo si la administración se encuentra convencida que los flujos operacionales futuros serán capaces de pagar dividendos más altos. • La conclusión es que los dividendos son una señal ruidosa de la asimetría de información superior que maneja la administración con respecto a los inversionistas externos. • Caídas en dividendos reducen el valor de la firma, mientras que mayores dividendos incrementan el valor de la empresa. • Lo relevante es que esto no es una implicancia de los dividendos en sí, sino que por el contrario de la señal informativa que genera acerca de las perspectivas futuras de utilidades (que es lo que realmente importa en términos del valor actual de las firmas).

15.7

Existencia de Problemas de Agencia

• Un problema de agencia surge cuando distintos agentes económicos tienen distintos objetivos para un mismo instrumento. En este caso,

15.8 CONCLUSIÓN

169

administración y accionistas tienen objetivos distintos para los remanentes de caja por sobre el gasto en inversión. • Los costos reales de agencia son una función de la magnitud de los remanentes de caja operacional por sobre el gasto en inversión. • Incrementos en dividendos reducen estos remanentes de caja, tal que reduce los costos de agencia y por tanto incrementa el valor de la firma. Por su parte, caídas en dividendos hace crecer los remanentes de caja tal que suben los costos de agencia y se reduce el valor de la firma. • Alternativamente, los costos de agencia también se reducen cuando las firmas acuden con mayor frecuencia al mercado de capitales al inducir un monitoreo más exigente sobre la administracion. De esta forma, firmas que pagan dividendos más altos deben recurrir al mercado de capitales con nuevas emisiones de capital, tal que empresas con altas tasas de pagos de dividendos tendrán menores costos de agencia. • La conclusión de esto último es que los dividendos constituyen un muy buen mecanismo para reducir los costos de agencia y por lo tanto su pago tiende a incrementar (todo lo demás constante) el valor de la firma.

15.8

Conclusión

• Para comprender los efectos de la política de dividendos sobre el valor de las firmas es necesario entender los costos y beneficios asociados al pago de dividendos. • Altos niveles de dividendos implican mayores pagos de impuestos (malo) y visitas muy frecuentes al mercado de capitales que generan mayores costos de transacción (malo) pero que también reducen los costos de agencia (bueno). • Cambios en dividendos proveen una señal al mercado de la mejor información que maneja la administración acerca de las perspectivas de flujos operacionales futuros, tal que un mayor (menor) reparto de dividendos incrementa (reduce) el valor de la empresa.

Apuntes de Clases Finanzas II

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