Apuntes de Hº II

Proyecto de edificios en altura

Capítulo I : Proyecto estructural Capítulo II : Efectos del viento sobre las construcciones Capítulo III : Efecto de los sismos sobre las construcciones Capítulo IV : Estructura de edificios en altura

Cap´ıtulo 1

Proyecto estructural 1.1

Introducci´ on

En esta sección se tratar´ a de describir el comportamiento de las estructuras, lo que se requiere de ellas y las tareas del ingeniero estructuralista tendientes al proyecto de la estructura. Las estructuras surgen como necesidad de proveer vinculaciones a los diferentes elementos que forman parte de una construcci´ on. Por ejemplo ante la necesidad de proveer un techo (figura 1), se precisa que éste permanezca en el lugar asignado. Se deben limitar sus posibilidades de moverse. El movimiento de un cuerpo en un espacio de dos dimensiones, como el de esa figura, puede ser descripto a través de tres magnitudes escalares (por ejemplo un valor de un desplazamiento horizontal, otro de un desplazamiento vertical y un valor de una rotaci´ on en el plano). Se dice que este cuerpo posee tres grados de libertad (gdl). Un cuerpo en un espacio tridimensional posee 6 gdl.

Figura 1. Necesidad de estructura

Para inmovilizar el objeto en cuesti´ on se lo puede vincular al suelo, por ejemplo (en el supuesto de que el suelo permanezca inmovil). Para ello es que se utiliza la estructura (figura 2). Una ejercitación posible es dibujar distintas posibilidades de vinculaci´ on del techo de esa figura, de donde surgir´ an distintos sistemas estructurales. 1

CAPÍTULO 1. PROYECTO ESTRUCTURAL

2

Figure 2. Estructura ¿Cómo se comporta la estructura?. ¿Qué se requiere de ella?. ¿Cómo puede el ingeniero analizar la respuesta de la estructura o proceder a su proyecto?. Para responder a estas preguntas se considerará un caso muy sencillo (el más simple posible): el de un sistema con un solo gdl (figura 3). F x u

Cuerpo

S

F

Estructura S

S

Figura 3. Sistema de un grado de libertad En esa figura se ha esquematizado un cuerpo que se precisa vincular a la parte fija y para ello se utiliza una estructura. El cuerpo puede moverse solamente con un desplazamiento u seg´ un el eje x. Sobre el mismo puede actuar una fuerza F también en la misma dirección. La estructura sufrir´ a una deformaci´ on y se encontrará sometida a un estado de fuerza interna o solicitaci´ on S. De esta manera hay variables cinemáticas y mecánicas asociadas al cuerpo y a la estructura. (figura 4) Las fuerzas deben verificar equilibrio (en un sentido m´ as amplio se incorpora aqu´ı el equilibrio din´ amico, de D’Alambert) y las deformaciones compatibilidad. En este caso sencillo el equilibrio de fuerzas sobre el cuerpo requiere que F = S

equilibrio

es decir que la fuerza externa sobre el cuerpo es igual a la fuerza interna (o solicitaci´ on) desarrollada en la estructura.

´ 1.1. INTRODUCCION

3

La compatibiidad de deformaciones relaciona u con = (u)

compatibilidad

y depende del tipo estructural. Las relaciones entre las solicitaciones o fuerzas internas, y las deformaciones de la estructura S = S()

relac.constitutiva

dependen del tipo de estructura y del material que la compone. En algunos ejemplos se muestra, más abajo, la forma de estas relaciones.

En la estructura

Mecánicas

Desplazamientos

Fuerzas externas

Deformaciones

Fuerzas internas (solicitaciones)

Equilibrio

En los gdl

Compatibilidad

Cinemáticas

Relac. constitutivas

Figura 4. Variables del problema estructural El proyecto estructural es la tarea espec´ıfica medular del ingeniero estructuralista. Suele design´ arselo con diferentes términos. As´ı se habla de proyecto o de dise˜ no estructural; en el ejercicio profesional de habla de c´ alculo estructural (”el arquitecto realiza el proyecto, el ingeniero el cálculo”); o también se lo refiere en términos de dimensionamiento. Todos estos términos se refieren a la misma tarea que aqu´ı se denominar´ a proyecto estructural. Es necesario diferenciar el término proyecto del término an´ alisis, pues se har´ a referencia a ambos en lo que sigue. El an´ alisis estructural permite conocer el estado de tensiones (o fuerzas internas) y deformaciones en cada punto de la estructura, as´ı como los desplazamientos o vibraciones que ésta experimenta. Los datos del análisis estructural son: • la geometr´ıa de la estructura (trazado, dimensiones) • las caracter´ısticas geométricas de los elementos (espesores de losas, secciones de vigas, etc.) • el material constitutivo • las condiciones de vinculaci´ on • el estado de carga El an´ alisis estructural representa un problema directo y puede realizarse con bastante precisión. El estado del arte en ingenier´ıa permite dar respuesta en forma m´ as o menos simple a este requerimiento. El proyecto estructural, en contraposici´ on implica dar una respuesta global que permita construir la estructura verificando ciertos criterios (de seguridad, de serviciabilidad, de econom´ıa,


4

de durabilidad, etc.). En este caso la respuesta que se dar´ a será la geometr´ıa y dimensiones de la estructura y el material constitutivo, as´ı como detalles constructivos. El problema es conceptualmente más complejo que el anterior ya que involucra problemas inversos y, en rigor, problemas de optimización de formas y dimensiones sujeto a la satisfacci´ on de determinados criterios( por ejemplo que las tensiones permanezcan por debajo de un valor dado, o que los desplazamiento no superen cierto valor, etc.) El proyecto estructural en general – aunque no necesariamente en todos los casos – involucra las siguientes tareas: 1. Selección y distribuci´ on de la estructura 2. Adopci´ on de criterios de proyecto ( reglamentos, coeficientes de seguridad, etc.) 3. Predimensionamiento de los elementos estructurales 4. Definici´ on de estados de solicitación. Evaluaci´ on de las cargas 5. An´ alisis de tensiones y deformaciones para los estados de carga 6. Verificaci´ on de tensiones y deformaciones para los estados de carga y sus superposiciones 7. Dimensionamiento 8. Detallamiento constructivo 9. Verificaci´ on de la seguridad de la estructura 10. Elaboraci´ on de la documentaci´ on (planos de replanteo, de armado, etc.) En las secciones siguientes se considera el caso de estructuras bajo cargas estáticas o din´ amicas y con diferentes comportamientos materiales, a los efectos de ejemplificar los conceptos vertidos.

1.2

Estructuras solicitadas est´ aticamente

1.2.1

Estructuras el´ asticas

El comportamiento estructural m´ as sencillo es el el´ astico lineal. La relaci´ on entre solicitaciones y deformaciones sigue la ley de Hooke S = D donde D es una constante de rigidez . Haciendo uso de esa relación, y por consideraciones de equilibrio (fuerza interna S = fuerza externa F ) y de compatibilidad de deformaciones, puede escribirse la relaci´ on entre la fuerza externa F y el desplazamiento del cuerpo seg´ un el gdl: F = K u donde K es una constante de rigidez de la estructura (figura 5). Ejemplos:

(1.1)

´ 1.2. ESTRUCTURAS SOLICITADAS ESTATICAMENTE

5

F U

Fu

K

u

uu

Figura 5. Respuesta de una estructura el´ astica lineal

1) Barra sometida a solicitaciones axiales Una barra que se deforma en tracci´ on o compresi´ on puede ser la estructura de la figura 6. Las carater´ısticas geométricas de la misma son su longitud l y el área de su sección transversal A. La solicitaci´ on en la barra puede ser su esfuerzo axial N (también podr´ıa haberse tomado la tension normal σ como medida de la solicitación): S = N La definici´ on de deformaci´ on puede ser tomada como la deformaci´ on espec´ıfica u = l Si el material es elástico lineal, con m´ odulo de elasticidad E, la relaci´ on constitutiva es: σ =

S = E A

S = EA = D Teniendo en cuenta la ecuación de equilibrio F = S la constante de rigidez K de la f´ ormula (1.1) es K =

EA l


6

E

F

A

x u

l

Figura 6. Barra sometida a solicitaciones axiales

2) Viga en voladizo Una viga en voladizo con carga concentrada en su extremo (figura 7) puede ser estudiada como un sistema con un gdl. En este caso se pueden tomar como medidas de la solicitaci´ on y deformaci´ on, el momento flector M (x) y la curvatura χ(x), respectivamente. La ecuación constitutiva que vincula a ambos es: M = EI χ siendo E el módulo el´ astico del material e I el momento de inercia de la sección transversal. Integrando la curvatura a lo largo de la longitud l de la viga (y teniendo en cuenta las condiciones de vinculación) puede obtenerse las rotaciones, y una nueva integraci´ on permite obtener los desplazamientos. As´ı se llega a expresar la constante de rigidez de la viga con carga en la punta: 3EI K = l3

F u

Figura 7. Viga en voladizo con carga concentrada

´ 1.2. ESTRUCTURAS SOLICITADAS ESTATICAMENTE G

J

7 T

q

T

q

l

Figura 8. Viga sometida a torsi´ on 3) Viga a torsi´ on Una viga en voladizo (por ejemplo la viga de la figura 8) sometida a torsión, con una cupla torsora aplicada en su extremidad también se representa como un sistema con un gdl. En este caso la solicitación es el momento torsor MT y la deformaci´ on el ańgulo de rotaci´ on α. La ecuación constitutiva S = D se escribe: MT = G J α y la constante de rigidez: K =

GJ l

donde G es el módulo de elasticidad transversal del material, J es el módulo de torsi´ on de la sección transversal (si la sección es circular, J es el momento de inercia polar) y l la longitud de la viga . En este caso el momento torsor externo T aplicado en el extremo y el ańgulo de torsi´ on θ se relacionan con la misma ecuación 1.1 donde F = T y u = θ. An´ alisis est´ atico lineal El an´ alisis de este sistema elástico lineal de un gdl es muy sencillo. Los datos son: D y F . Se desea conocer el desplazamiento u, las deformaci´ on y la solicitaci´ on S. Por las relaciones indicadas: S = F S D y el desplazamiento se obtiene de la relación inversa de compatibilidad. Por ejemplo, para la barra traccionada: u = l. En sistemas estructurales complejos el análisis estructural se realiza por diversos procedimientos entre los cuales se destacan los métodos numéricos tales como el de elementos finitos. =

Proyecto estructural Tal como se ha indicado el proyecto debe decir cómo construir la estructura para que satisfaga ´ determinados requerimientos. Estos podr´ıan ser, por ejemplo, una limitaci´ on en los movimientos


8

del cuerpo y que, bajo las cargas posibles de actuar, la estructura no colapse. Si bien la estructura se coloca con el fin de impedir movimientos en el cuerpo. Aquella est´ a construida con materiales que se deforman y por lo tanto no puede proporcionar un v´ınculo rigido. Se trata entonces de limitar los desplazamientos especificando un valor máximo u ¯ del desplazamiento admisible. También, al estar construida por materiales reales la estructura no es ilimitadamente resistente. Hay un valor de la solicitaci´ on interna para el cual la estructura colapsa o falla. La forma de falla depende del material. Si éste es fr´ agil la curva constitutiva puede ser como la de la figura 5 con un valor Fu de rotura. Un procedimiento com´ un de dise˜ no es el de definir un valor de solicitacion admisible dividiendo la resistencia Su por un coeficiente de seguridad ν: Sadm =

Su ν

Los requisitos del dise˜ no son entonces:

S ≤ Sadm u ≤ u ¯

(1.2)

El lado izquierdo de la primera de las desigualdades 1.2 es una solicitaci´ on o fuerza interna en la estructura debido al estado de cargas. El lado derecho es el valor admisible de esa solicitaci´ on, que depende de la resistencia y de el coeficiente de seguridad adoptado. Sadm está determinado por los materiales utilizados y las dimensiones de la estructura (secciones, espesores, etc.). Analogamente el lado izquierdo de la segunda de las desigualdades 1.2 es un desplazamiento en el gdl, debido a las cargas actuantes. Mientras que el lado derecho u ¯ es el valor máximo admisible para su uso en la construcci´ on. u y l, y se desea calcular las dimensiones de Los datos para el proyecto pueden ser F , Sadm ,¯ la estructura (por ejemplo el a´rea de la sección transversal A en el caso de la barra traccionada). Con esas dimensiones se puede realizar un an´ alisis y verificar si se cumple que el desplazamiento no supere u ¯. La estructura debe poseer determinada rigidez (dada por K en la figura 5) y determinada resistencia (Fu ).

1.2.2

Estructuras elastopl´ asticas

Si el material tiene un comportamiento d´ uctil, la curva constitutiva ser´ a parecida a la figura 9. La respuesta inicial es elástica hasta alcanzar un valor de deformaci´ on f de fluencia, correspondiente al punto de plastificaci´ on P . A partir de all´ı sigue un comportamiento perfectamente pl´ astico donde se incrementan las deformaciones sin incremento en las fuerzas internas. Las deformaciones crecen hasta agotar la resistencia de la estructura en el punto de colapso U . An´ alisis est´ atico lineal El an´ alisis estático lineal, v´ alido mientras la respuesta se mantenga en el per´ıodo el´ astico, es igual al descripto para la estructura el´ astica. An´ alisis pl´ astico o c´ alculo l´ımite El objeto de este an´ alisis es el de determinar la carga de colapso de la estructura. En un caso isostático como el de la figura 6 el colapso se alcanzará cuando la carga externa alcance el valor Fu , para el cual las solicitaciones alcanzan el valor Sf = Su . En estructuras hiperest´ aticas la fluencia de algunos elementos no implica la falla del sistema, pero la respuesta deja de ser

´ 1.2. ESTRUCTURAS SOLICITADAS ESTATICAMENTE

9

S P

Sf = Su

U

D

e

e

f

u

e

Figura 9. Material elastopl´ astico lineal. Cuando se han desarrollado suficientes zonas plastificadas, puede sobrevenir el colapso al formarse un mecanismo pl´ astico. En la figura 10 se muestra una una estructura hiperest´ atica sencilla. Dos barras colineales 1 y 2 forman parte de la estructura. En la figura aparecen también las curvas constitutivas de ambas barras. Por compatibilidad los desplazamientos extremos de las barras son iguales al desplazamiento del cuerpo. A medida que la fuerza externa crece la respuesta estructural es 2 . Al alcanzar el desplazamiento uf = 1f l la barra 1 llega a lineal con una rigidez K = D1 +D l su punto de fluencia. Sin embargo el sistema puede tomar cargas adicionales, que incrementan la tensi´ on en la barra 2. La rigidez de este tramo es ahora K2 = Dl2 . Cuando se alcanza el desplazamiento up = 2 f , la barra 2 entra también en fluencia. A partir de all´ı la rigidez global se hace cero y se forma un mecanismo con un gdl que no permite sostener ning´ un incremento de carga. Se habla de un mecanismo pl´ astico pues hay una fuerza Fu que ese mecanismo puede resistir, pero para cualquier incremento adicional las deformaciones crecen indefinidamente. La carga de colapso es Fu = S1f A1 + S2f A2 Sin embargo para que se alcance esta carga es necesario que la barra 1 pueda deformarse pl´ asticamente sin romperse hasta alcanzar una deformación 1 = 2f . Vale decir, la deformaci´ on de rotura de la barra 1 debe ser 1 u ≥ 2 f . Una medida de las deformaciones pl´ asticas desarrolladas puede ser la ductilidad: µ =

max f

donde max es la máxima deformaci´ on alcanzada. Con esta definici´ on la ductilidad requerida para la barra 1 es, en este caso, µreq =

2f 1 f

y debe ser menor que la ductilidad disponible µdisp =

1u 1f


10

F

E1 A 1

1

E2 A 2

2

x

u

l

Estructura hiperestática (D1+D2)

F

S

P

Fu

D1 D2

1

S1f

l

Ff

D2

l

F

2

S2f

e

1f

e

2f

e

Curvas constitutivas

uf

up

u

Relación fuerza-desplazamiento

Figura 10. Respuesta elastopl´ astica de una estructura hiperest´ atica

´ 1.3. ESTRUCTURAS SOLICITADAS DINAMICAMENTE

11

para esa barra. A los requerimientos 1.2 hay que agregar µreq ≤ µdisp para cada uno de los elementos estructurales.

1.3

Estructuras solicitadas din´ amicamente

Si las estructuras están solicitadas por cargas (o movimientos de apoyo) que var´ıan en el tiempo con tal celeridad que las aceleraciones sobre el cuerpo puedan ser importantes, hay que considerar en las ecuaciones de equilibrio las fuerzas de inercia. Ellas derivan de la masa del cuerpo y la estructura. El sistema más simple es también en este caso uno con un gdl, en el que la masa se supone concentrada en ese grado de libertad (figura 11). El efecto de la estructura se ha esquematizado aqu´ı como el de un resorte de rigidez k F

k

x

u c

S(t)= k u(t)

F(t)

.

FD(t)= c u(t) FI(t)= m ü(t)

Figura 11. Sistema de un grado de libertad sometido a cargas din´ amicas Al plantear el equilibrio del cuerpo hay que incorporar la fuerza de inercia ¨(t) FI (t) = m u 2

donde u ¨(t) = ddt2u es la aceleración del cuerpo. Las fuerzas disipativas presentes en la construcción suelen incorporarse como fuerzas viscosas provenientes de un amortiguador con constante de amortiguamiento c. Si este es el caso las fuerzas disipativas son proporcionales a la velocidad del cuerpo u. ˙


12 La ecuación de equilibrio es:

F − FI − FD − S = 0 o bien mu ¨(t) + c u(t) ˙ + K u(t) = F (t) El sistema tiene una frecuencia de vibraci´ on libre no amortiguada

ω = y su per´ıodo natural de vibraci´ on es

k m

T = 2π

m K

El an´ alisis de respuesta din´ amica intenta conocer los valores de la respuesta (desplazamiento, velocidad y aceleraci´ on de la masa y deformaciones,y tensiones en la estructura) en cada instante de tiempo, o bien sus valores máximos a lo largo de la respuesta din´ amica. Nuevamente los datos para este an´ alisis son: k, m, c y F (t) y las incógnitas: u, u, ˙ u ¨, , S, etc.

1.4

Criterios de proyecto y estados l´ımites

Seg´ un las recomendaciones de CEB-FIP (1970) (Comité Euro-Internacional de Hormig´ on - Federación Internacional del Pretensado) todas las estructuras y los elementos estructurales deben ser proyectados de modo de poder garantizar: • Suficiente capacidad de carga, y estabilidad • Buena capacidad de utilizaci´ on, en relaci´ on con la finalidad prevista • Sufuciente durabilidad, compatible con la vida u ´til de la construcci´ on Una estructura, o parte de ella, se vuelve inservible o inadecuada para su uso cuando se alcanza un estado particular denominado estado l´ımite, en el cual cesa de cumplir los requerimientos de la funci´ on para la cual se proyect´ o. Estos estado l´ımites se pueden clasificar en: estados l´ımites u ´ltimos y estados l´ımites de utilizaci´ on.

1.4.1

Estados l´ımites u ´ltimos

También denominados estados l´ımites de rotura o de colapso. Son aquellos que involucran la máxima capacidad de carga de la estructura y generalmente est´ an asociados a solicitaciones que tienen una probabilidad muy baja de ocurrencia. Entre los estados l´ımites u ´ltimos pueden citarse: • Pérdida de equilibrio de la estructura (o parte de ella) cuando se la considera como un r´ıgido. • Ruptura de secciones cr´ıticas o partes de la estructura. Generalmente están asociadas a agotamiento de la capacidad frente a las solicitaciones, a fallas de estabilidad, o a pérdida de adherencia.

1.5.

´ ´ METODOS DE CALCULO

13

• Transformaci´ on de la estructura en un mecanismo. Formaci´ on de r´ otulas pl´ asticas. • Inestabilidad por deformaciones. Pandeo. • Deterioro como consecuencia de efectos de fatiga. Fatiga de alto ciclaje: temperatura, viento, vibraciones de m´ aquinas. Fatigas de bajo ciclaje: vientos fuertes o sismos. • Excesivas deformaciones pl´ asticas, fluenta lenta o fisuraci´ on, que llevan a un cambio en la geometr´ıa tal que sea necesario reemplazar la estructura. Además de éstos hay otros estados, asociados a fuego, explosiones, terremotos, etc.

1.4.2

Estados l´ımites de utilizaci´ on

También denominados estados l´ımites de serviciabilidad. Son aquellos que involucran criterios de uso normal o de durabilidad. Est´ an asociados a solicitaciones que tienen una probabilidad alta de ocurrencia. Entre los estados l´ımites de utilizaci´ on pueden citarse: • Deformaciones excesivas con respecto al normal uso de la estructura. • Fisuraci´ on prematura o excesiva (que aumenta la corrosión y disminuye la rigidez seccional a torsi´ on). • Deterioro y corrosi´ on. • Vibraciones excesivas, producidas por viento, maquinarias, terremotos, explosiones, etc. Los rangos admisibles dependen de la frecuencia y de la magnitud de las aceleraciones.

1.5

M´ etodos de c´ alculo

Las solicitaciones que se producen en la estructura debido a las cargas de servicio deben guardar suficiente margen de seguridad por debajo de los estados l´ımites. En general en los métodos de cálculo, o dimensionamiento, se realiza un evaluaci´ on de solicitaci´ on (S) y de resistencia (R). Ambas se refieren aqu´ı a alg´ un esfuerzo interno o a tensiones en la estructura. La solicitaci´ on es el valor de ese esfuerzo interno, requerido debido a las cargas actuantes. La resistencia es el valor de que se dispone, debido a las dimensiones y el material de la estructura. La inecuaci´ on general de proyecto es: S≤R

(1.3)

Siguiendo su desarrollo hist´ orico los métodos de cálculo pueden clasificarse en:

1.5.1

M´ etodo de las tensiones admisibles o c´ alculo el´ astico

Para las cargas de servicio, en la sección más solicitada de la estructura debe verificarse: σmax ≤ σadm

(1.4)

on o requerimiento de tensiones debido a las cargas actuantes. La σmax es una solicitaci´ tensión admisible σadm se determina dividiendo la resistencia del material σu por un adecuado coeficiente de seguridad ν:


14

σu ν Este método fue muy utilizado, pero presenta ciertas limitaciones: σadm =

(1.5)

• El an´ alisis tensional se hace mediante un método elástico. Esto es sencillo de realizar, pero ofrece dudas con respecto a su validez para casos particulares (ej. el hormigón armado). • La seguridad queda relacionada con la resistencia del material y no con la capacidad del elemento estructural. • El coeficiente de seguridad no mide la real seguridad de la estructura ya que el resultado de un an´ alisis elástico no puede ser escalado linealmente hasta el punto de colapso. • No pueden verificarse todos los criterios de estado l´ımite.

1.5.2

M´ etodos de resistencia o de estados l´ımites o c´ alculo a rotura

En este caso la inecuación de dise˜ no puede escribirse: carga de servicio × ν ≤ capacidad de carga

(1.6)

El miembro izquierdo de esta inecuaci´ on eval´ ua la solicitaci´ on de la estructura y el derecho la resistencia de la misma. ν es un coeficiente de seguridad. Este método ofrece ya mayor flexibilidad que el anterior. La resistencia (y la solicitaci´ on) puede evaluarse para secciones cr´ıticas, o bien para la estructura globalmente. Permite satisfacer criterios de estados l´ımites u ´ltimo y de servicio. Puede utilizarse un coeficiente de amplificación de las cargas y otro diferente para la reducci´ on de resistencia del material.

1.5.3

M´ etodos probabil´ısticos

Los par´ ametros que se manejan en el proyecto son variables aleatorias: lo son las cargas, las propiedades del material, las dimensiones, etc. Un an´ alisis que considere la caracter´ıstica aleatoria de las variables es muy complejo para ser utilizado en la pr´ actica. En su lugar suele utilizarse una aproximaci´ on semiprobabil´ıstica. Esto consiste en considerar las caracter´ısticas aleatorias de las variables y realizar con ellas un c´ alculo determin´ıstico.. Para comparar la solicitaci´ on S con la resistencia R pueden definirse las siguientes variables (Fig. 1.5.3), si se considera la frecuencia de aparici´ on de los valores de S o de R: • solicitación media (Sm ): promedio de los valores esperados de la solicitaci´ on • solicitación caracter´ıstica (Sk ): valor de la solicitaci´ on que está por encima del 95% de los casos • resistencia media (Rm ): promedio de los valores de resistencia • resistencia caracter´ıstica (Rk ): valor de resistencia que es superado por el 95% de los casos Los valores caracter´ısticos definidos corresponden a un cuantil del 5% y 95%, respectivamente, y pueden calcularse como: Sk Sm (1 + kS δS ) (1.7) Rk Rm (1 − kR δR )

(1.8)

1.5.

´ ´ METODOS DE CALCULO

15

Figura 12. Distribuci´ on probabil´ıstica de resistencia y solicitación En estas expresiones kS y kR valen 1,65 para un cuantil del 5%, y δS y δR son los coeficientes de variaci´ on de la solicitaci´ on y la resistencia, respectivamente. Para el proyecto se requiere que la resistencia se ubique por encime de la solicitaci´ on. Si se comparan los valores medios, puede hablarse de un coeficiente de seguridad medio o central: γm =

Rm Sm

(1.9)

Un coeficiente de seguridad nominal o caracter´ıstico se obtiene del cociente entre los valores caracter´ısticos: Rk γk = (1.10) Sk El método semiprobabil´ıstico adoptado por el CEB-FIP se basa en: 1. Tomar en cuenta valores caracter´ısticos de resistencia y solicitación, fij´ andose de antemano la probabilidad de excedencia. 2. Cubrir las otras incertidumbres transformando los valores caracter´ısticos en valores de c´ alculo, mediante ciertos coeficientes: Rc = γR Rk

(1.11)

Sc = γS Sk

(1.12)

on de las solicsiendo γR y γS coeficientes de reducción de la resistencia y de amplificaci´ itaciones, respectivamente. 3. Verificar que Sc ≤ R c

(1.13)


16

La norma DIN 1045, y por ende el CIRSOC 201, utilizan un coeficiente global γ (a veces se denomina también ν) que engloba los dos coeficientes anteriores γR y γS . Este coeficiente γ cubre además una cantidad de incertidumbres, entre las que puede mencionarse: 1. Imprecisiones en las hip´ otesis de carga 2. Limitaciones en las hip´ otesis de cálculo 3. Desv´ıo de las caracter´ısticas reales de los materiales frente al modelo matemático 4. Estados 3D en lugar de 2D, como generalmente se calcula 5. Imprecisiones y errores en el cálculo 6. Evaluaci´ on err´ onea de las secciones cr´ıticas para dimensionamiento 7. Efectos omitidos o despreciados en el cálculo (temperatura, retracción, etc.) 8. Imprecisiones o error en la construcci´ on 9. Deficiencias en la resistencia de los materiales 10. Posici´ on incorrecta de las armaduras 11. Corrosi´ on en el acero y en el hormigón 12. etc. Los coeficientes de seguridad que adopta la norma DIN 1045 son: • Para el caso de ruptura con aviso previo γ = ν = 1, 75 • Para el caso de ruptura sin aviso previo γ = ν = 2, 10 Ruptura con aviso previo se considera al caso en el cual hay deformaciones pl´ asticas grandes y/o fisuraciones que pueden anticipar el colapso de la pieza estructural. Un caso t´ıpico es el de una viga a flexi´ on que falle por agotamiento de su capacidad frente al momento flector. Si la armadura de la secci´ on no está sobredimensionada, la plastificaci´ on de la misma comenzará en la armadura. El acero tiene posibilidad de experimentar grandes deformaciones en fluencia, soportando la misma tensi´ on de tracción. Este proceso se acompa˜ na con la apertura de fisuras del hormig´ on traccionado que se hacen visibles, junto a una excesiva rotaci´ on de la sección. El caso de ruptura sin aviso previo es t´ıpico de la falla por corte. Aqu´ı no hay comportamiento d´ uctil, como en el caso anterior, sino por el contrario un comportamiento fr´ agil que produce el colapso de la pieza sin haber mostrado previamente signos de que tal colapso pudiese producirse. La Recomendación CIRSOC 106 Dimensionamiento del coeficiente de seguridad define un ´ındice de seguridad : ln γm (1.14) β = 2 + δ2 δR S A partir de éste puede calcularse la probabilidad de falla de la estructura, esto es la probabilidad de que la solicitaci´ on sea mayor que la resistencia, con la fórmula: Pf = P (S ≥ R) = c1 e−c2 β

(1.15)

1.6.

ACCIONES SOBRE LAS ESTRUCTURAS

17

El coeficiente de variación de la resistencia puede calcularse como: 2 2 2 2 δR = δM + δE + δD

(1.16)

on de la resistencia del material; δE la variaci´ on en las condiciones de siendo δM la variaci´ ejecuci´ on; y δD la variaci´ on en las del dimensionamiento. El coeficiente de variación de la solicitaci´ on, por su parte, puede calcularse como: 2 2 + δA δS2 = δC

(1.17)

alisis estructural. donde δC es la variación de las cargas y δA aquellas provenientes del an´ Estas dos u ´ltimas expresiones tiene la importancia conceptual de mostrar cual es la fuente de incertidumbres que confluyen en el c´ alculo de la resistencia y de la solicitaci´ on, y cual es la participaci´ on en ellas del ingeniero calculista o constructor.

1.6

Acciones sobre las estructuras

Las estructuras se hallan sometidas a una serie de acciones que producen estados de solicitación interna. Estas acciones son de diversa naturaleza. Las hay provenientes de estados de carga, donde hay fuerzas aplicadas sobre la estructura (cargas gravitacionales, sobrecargas, empujes, viento, etc.); otras provienen de aceleraciones impuestas (sismos, vibración de maquinarias); otras son debidas a desplazamientos relativos impuestos (descenso de apoyos); otros debido a deformaciones internas (temperatura, retracci´ on, etc). Estos estados de solicitacion pueden coexistir en el tiempo y entonces habr´ a que verificar que la estructura resista la combinaci´ on de los mismos. En lo que sigue se hará referencia al Reglamento CIRSOC 105 Superposici´ on de acciones y en base al mismo se ha hecho la siguiente clasificación de la acciones.

1.6.1

Clasificaci´ on de acciones sobre las construcciones

Las acciones sobre las construcciones pueden clasificarse en tres tipos, seg´ un su variaci´ on o permanencia a lo largo del tiempo: Acciones permanentes Tienen un tiempo de aplicaci´ on muy prolongado. En general su valor suele permanecer aproximadamente constante. Entre ellas puede mencionarse: • peso propio de la estructura • peso de los elementos constructivos no estructurales • empuje de suelos • empuje (continuado) de l´ıquidos • fuerzas de pretensado • deformaciones impuestas durante la construcci´ on


18 Acciones variables

Presentan variaciones frecuentes y cont´ınuas. Tienen una alta probabilidad de ocurrencia. Las variaciones de su valor son importantes. Entre estas acciones puede mencionarse: • cargas de uso y sobrecargas • cargas móviles • acciones del viento • acciones de la nieve • acciones de la temperatura • acciones del hielo • acciones de granos y materiales sueltos • acciones de maquinarias y equipos • acciones de sismos frecuentes Acciones accidentales Estas acciones tienen una probabilidad muy peque˜ na de actuaci´ on, pero con valores muy significativos. En realidad la magnitud que alcanzan hace que se las considere en el c´ alculo a pesar de su escasa probabilidad de ocurrencia. Entre estas puede mencionarse: • impacto de veh´ıculos • explosiones • sismos excepcionales • tornados En la figura 1.6.1 se muestra un esquema que ejemplifica la variaci´ on temporal de estos tres tipos de acciones.

1.6.2

Combinaci´ on de estados de carga

La recomendación CIRSOC 105 indica la siguientes f´ ormulas para evaluar la acci´ on combinada de los distintos estados de carga, ya sea durante una verificaci´ on frente a un estado l´ımite u ´ltimo, o frente a un estado l´ımite de utilizaci´ on. Para ciertos casos hay f´ ormulas espec´ıficas, ver por ejemplo el Reglamento CIRSOC 103 Acci´ on del sismo sobre las construcciones.

1.6.

ACCIONES SOBRE LAS ESTRUCTURAS

19

Tiempo

Cargas Permanentes

Tiempo

Cargas Variables

Tiempo

Cargas Accidentales

Figura 12. Actuaci´ on en el tiempo de cargas permanentes, variables y accidentales Para un estado l´ımite u ´ ltimo Como solicitación u ´ltima, en cada sección de la estructura, debe tomarse: Su = γ [SP + SV +

n

ψ0,i Ski ]

(1.18)

i=1

La letra S hace referencia a una solicitaci´ on dada en alguna secci´ on de la estructura. S puede representar por ejemplo el momento flector M , el esfuerzo normal N , o cortante Q, el momento torsor T , la tensi´ on normal σ, etc. Seg´ un el sub´ındice que la acompa˜ na S adopta los siguientes significados: on l´ımite u ´ltima a considerar para el c´ alculo Su : solicitaci´ SP : solicitaci´ on debida a cargas permanentes on debida a la carga variable considerada principal para esta combinaci´ on de SV : solicitaci´ cargas (por ej: viento) on debida a otras causas variables Ski : solicitaci´ ψ0,i : coeficiente de probabilidad de ocurrencia simult´ anea, con determinada intensidad, de las acciones variables. Su valor está dado en la Tabla 1 de la la Recomendaci´ on CIRSOC 105, siendo un valor t´ıpico ψ0 = 0, 6 γ: coeficiente de seguridad. Vale γ = 1, 75 para casos de falla con aviso previo (falla de flexi´ on) y γ = 2, 10 para casos de falla sin aviso previo (falla por corte o compresi´ on). La estructura debe ser dimensionada de modo que la resistencia sea por lo menos igual a la solicitación u ´ltima calculada: (1.19) Su = Ru

20


Si existen cargas accidentales (sismo severo, impacto de veh´ıculos, explosiones, etc.), se tomar´ a adem´ as la siguiente solicitación u ´ltima: Su = SACC + SP + ψ1,1 SV +

n

ψ2,i Ski

(1.20)

i=1

on debida a las acciones accidentales. El resto de las solicitaciones Siendo SACC la solicitaci´ tiene el significado indicado anteriormente. Debe observarse que en este caso no se multiplica por el coeficiente de seguridad γ pues la acción accidental ya considera un valor del tipo u ´ltimo. Para un estado l´ımite de servicio o utilizaci´ on La solicitaci´ on de servicio puede calcularse con la fórmula: Ss = SP + SV +

n

ψ1,i Ski

(1.21)

i=1

donde las variables tienen el mismo significado que anteriormente y ψ1,i se obtiene de la Tabla 1 de la Recomendación CIRSOC 105. on, las Con la solicitaci´ on de servicio Ss deben verificarse los desplazamientos, la fisuraci´ vibraciones, etc., as´ı como los elementos no estructurales: paredes, vidrios, revestimientos, etc.

Cap´ıtulo 2

Efectos del viento sobre las construcciones 2.1 2.1.1

Caracter´ısticas del viento Velocidad

La acción del viento sobre las construcciones corresponde a la clasificación de cargas variables discutida en el cap´ıtulo precedente. La direcci´ on del viento puede considerarse horizontal, a los efectos del cálculo de sus efectos sobre las edificaciones. La velocidad del viento en un punto dado, siendo una magnitud vectorial, puede representarse a través de sus componentes seg´ un un sistema cartesiano de referencia. Si se designa con x1 al eje orientado seg´ un la direcci´ on de escurrimiento del viento, y con x2 y x3 a las otras dos direcciones ortogonales, la variaci´ on en el tiempo de la velocidad del viento puede representarse como en la figura 2.1. Si se toma un intervalo de tiempo T y se calcula la velocidad media en ese intervalo, se tendrá para la componente seg´ un x1 : 1 V¯1 = T

T 0

V1 dt

(2.1)

un x1 y V¯1 su valor medio a lo largo del intervalo T . donde se designa con V1 la velocidad seg´ Debido a la particular adopci´ on de los ejes cartesianos, para las otras dos componentes la media es nula: T 1 V2 dt = 0 (2.2) V¯2 = T 0 1 V¯3 = T

T 0

V3 dt = 0

(2.3)

La velocidad puede descomponerse en un valor medio V¯ , constante, y una parte que varia con el tiempo v : V1 = V¯1 + v1 (2.4) Para las componentes 2 y 3, debido a su valor medio nulo: V 2 = v2

(2.5)

V 3 = v3

(2.6)

21

CAPÍTULO 2. EFECTOS DEL VIENTO SOBRE LAS CONSTRUCCIONES

22 V1

_ V1

v3

v1

t 0

T

v2 _ V1

V2 t 0

x3 x1

T

x2 V3 t T

0

(b)

(a)

Figura 2.1: Velocidad del viento on estática del viento depende de La parte estacionaria V¯1 es el flujo medio del viento y la acci´ este valor. La parte variable con el tiempo (v1 , v2 , v3 ) se denomina turbulencia, es de carácter aleatorio, y responsable de la acci´ on din´ amica del viento sobre las edificaciones. La velocidad del viento var´ıa con la altura con respecto al nivel del suelo y su forma de variaci´ on depende de la rugosidad del terreno. En la figura 2.2 se muestra el perfil t´ıpico para tres casos de rugosidad distintas: uno de gran rugosidad (por ejemplo con grandes edificios), otro con rugosidad media (construciones bajas) y uno con baja rugosidad (suelo liso). El perfil de velocidades se trata de ajustar mediante fórmulas emp´ıricas. Algunas de estas f´ ormulas propuestas son: z V (z) = ( )α (2.7) V (z0 ) z0 ó:

z V (z) = K ln( ) V (z0 ) z0

(2.8)

siendo z la altura del punto donde se evalua la velocidad y z0 una altura de referencia. Muchas veces las normas proporcionan no la variaci´ on de velocidades sino de presiones con la altura. Ambas magnitudes están relacionadas, como se verá más adelante. La velocidad del viento es una magnitud aleatoria. La funci´ on temporal de la velocidad, cuyos valores son aleatorios, se denomina proceso estoc´ astico. A continuaci´ on se transcriben dos definiciones utilizadas por el reglamento CIRSOC 102: Velocidad de referencia: es la velocidad correspondiente al promedio de velocidades instant´ aneas (picos de ráfaga), medidas sobre intervalos T = 3s, en exposici´ on abierta, a la altura de referencia z0 = 10m, que tiene un per´ıodo de recurrencia de 1 a˜ no. Velocidad b´ asica de dise˜ no: es la velocidad correspondiente al promedio de velocidades instant´ aneas (picos de ráfaga), medidas sobre intervalos T = 3s, en exposici´ on abierta, a la altura nos. de referencia z0 = 10m, que tiene una probabilidad Pm de ser excedida una vez en m a˜

2.1. CARACTERÍSTICAS DEL VIENTO

23

Figura 2.2: Variacion de la velocidad del viento con la altura. a) Rugosidad alta; b) Rugosidad media; c) Rugosidad baja

2.1.2

Presi´ on

Para describir la presi´ on del viento, se har´ a referencia al Teorema de Bernouilli, que vincula presiones y velocidades de un fluido en movimiento: 1 ρ V 2 + p + ρgz = constante 2

(2.9)

En esta expresi´ on ρ designa la masa espec´ıfica del fluido, V su velocidad, g la aceleración de la gravedad, z la altura y p la presi´ on estática. Si se consideran dos puntos sobre una l´ınea de escurrimiento de un fluido (Figura 2.3), la suma de los tres términos del miembro izquierdo permanece constante. Esto representa un balance de energ´ıa: el primer término representa una energ´ıa cinética, el segundo una energ´ıa debido a la presi´ on y el tercer término una energ´ıa potencial debido a la posici´ on. Este u ´ltimo término puede despreciarse para calcular la presión del viento sobre las construcciones ya que la variaci´ on de alturas no ser´ a tan importante como para que la diferencia en la presi´ on hidrost´ atica adquiera significaci´ on. El primer término se denomina presi´ on din´ amica: q =

1 2 ρV 2

(2.10)

Los otros dos forman la presi´ on est´ atica y la suma todos es la presi´ on total que, conforme al teorema de Bernouilli, es constante a lo largo de una l´ınea de flujo. En la figura 2.3 se ha dibujado un obst´ aculo en el flujo del viento. En un punto suficientemente alejado del obstáculo se tendr´ an los valores V∞ y p∞ . Considerando una trayectoria particular del fluido, puede llegarse al punto denominado de estancamiento, que es aquel en el cual una part´ıcula del aire se detiene (punto e de la figura 2.3). La presi´ on total en el punto ∞ es: 1 2 pT∞ot = ρV∞ + p∞ (2.11) 2


24

Figura 2.3: Presi´ on del viento sobre un objeto y aquella en el punto de estancamiento: pTe ot = 0 + pe

(2.12)

La diferencia entre la presi´ on estática en el punto e y la presi´ on atmosférica (p∞ ), teniendo en cuenta que (2.13) pTe ot = pT∞ot es igual a la presi´ on din´ amica: ∆pe = pe − p∞ = q

(2.14)

Para el caso del viento, siendo la masa espec´ıfica del aire en condiciones normales ρaire 0, 125

kgf s2 m4

(2.15)

la presi´ on din´ amica puede calcularse con la fórmula: q = estando all´ı q expresada en

2.2

kgf m2

y V en

V2 16

(2.16)

m s.

Acciones del viento

Antes de considerar la acción del viento sobre una construcci´ on se introducir´ an algunas definiciones. Se define como superficie a barlovento aquella de la construcci´ on que mira hacia la direcci´ on desde donde viene el viento. Superficie a sotavento es aquella que mira hacia donde va el viento. Las normas usan el siguente s´ımil: si se ilumina la construccion con un haz luminoso paralelo a la direcci´ on del viento, la superficie iluminada es la superficie a barlovento. La que queda en sombras es la superficie a sotavento. Se define también como superficie maestra aquella que resulta de proyectar la construcci´ on sobre un plano perpendicular a la direcci´ on del viento. La acción que ejerce el viento sobre una pared de la construcci´ on depende de: • la velocidad del viento

2.2. ACCIONES DEL VIENTO

25

• la forma de la construcci´ on y sus proporciones • el emplazamiento del elemento (altura, protecci´ on,etc.) y su orientaci´ on • dimensiones del elemento (escala)

2.2.1

Coeficientes de presi´ on

Coeficiente de presión externa (ce ) Si se considera un punto de la superficie exterior de un cuerpo sometido al viento, tal como el punto n de la figura 2.3, puede escribirse la expresi´ on del teorema de Bernouilli como: 1 2 1 ρV∞ + p∞ = ρVn2 + pn 2 2

(2.17)

El incremento de presi´ on, por encima de la presi´ on atmosférica, es: ∆p = pn − p∞

1 2 = ρV∞ 2

1−

Vn V∞

2

(2.18)

que, con la definici´ on de presi´ on din´ amica, puede escribirse: ∆pext = ce q

(2.19)

introduciéndose la definici´ on del coeficiente de presi´ on externa:

ce =

1−

Vn V∞

2

(2.20)

A partir de esta definici´ on surgen los siguientes casos particulares: • si Vn = 0, ce = 1, (punto de estancamiento) • si Vn = V∞ , ce = 0 • si Vn > V∞ , ce < 0 y se produce succi´ on on (o sobrepresi´ on) • si Vn < V∞ , ce > 0 y se produce presi´ Coeficiente de presión interna (ci ) Si el cuerpo considerado no es macizo, pueden producirse presiones debidas al viento en la cara interior de las paredes. El valor de esta presi´ on se define, an´ alogamente a la anterior,como: ∆pint = ci q

(2.21)

siendo ci el coeficiente de presi´ on interna. Este coeficiente depende de la permeabilidad de la construcción (porcentaje de aberturas de una pared) y de la orientaci´ on de las aberturas en relación a la direcci´ on del viento. Puede ser positivo (sobrepresi´ on) o negativo (succi´ on). Coeficiente de presion sobre una pared (c) La presi´ on del viento sobre una pared ser´ a la suma de las presiones ejercidas sobre las caras exterior e interior de la misma. De acuerdo a las definiciones introducidas, puede escribirse: c = ce − ci

(2.22)

26

CAPÍTULO 2. EFECTOS DEL VIENTO SOBRE LAS CONSTRUCCIONES ∆p = c q

(2.23)

Al evaluar la presi´ on sobre una pared debe considerarse el signo del coeficiente de presión interna que resulte en una combinaci´ on más desfavorable con el coeficiente de presión externa. Acción total sobre una pared La acción total sobre una pared se obtiene integrando las presiones unitarias y puede definirse como ∆p dA = c qm A (2.24) F = A

siendo c = ce − ci el coeficiente de presión, qm la presi´ on media, y A el área de la pared. Acciones de conjunto En algunos casos puede definirse la acci´ on global sobre un cuerpo, esto es la resultante de las acciones sobre todas las caras del mismo. La acción total tendr´ a una direcci´ on que, en general no coincide con la del viento, y puede ser descompuesta en tres componentes. Una horizontal en la direcci´ on del viento: empuje (E); otra horizontal perpendicular a la direcci´ on del viento: deriva (D); y la tercera vertical: levantamiento (L). Pueden calcularse como: E = cE q m A

(2.25)

D = cD q m A

(2.26)

L = cL q m A

(2.27)

donde cE es el coeficiente de empuje, cD el coeficiente de deriva y cL el coeficiente de levanon sobre la construcci´ on, y A es un área de referencia tamiento. qm es el valor medio de la presi´ que se especifica en cada caso. As´ı para calcular el empuje, A puede ser el área de la superficie maestra, para el levantamiento puede ser el área en planta, etc. La distribuci´ on de presiones sobre la construcción puede originar momentos de torsi´ on (esto es con respecto a un eje vertical), a´ un en construcciones de planta regular. Ese momento de torsi´ on puede también especificarse como: MT = cT qm A L

(2.28)

siendo cT un coeficiente de torsión, A una superficie de referencia y L una longitud caracter´ıstica. Coeficientes de presiones locales Las presiones en proximidades de bordes, aristas, ángulos de cubiertas, aleros, etc., son mayores que las presiones medias. Pueden definirse coeficientes de presi´ on externa locales ce para verificar localmente esas zonas.

2.2.2

Efecto de las proporciones

Además de la influencia de la altura, y del a´rea de la construcción sobre las fuerzas del viento, las proporciones de las construcciones influyen en los coeficientes de acciones del viento. A continuaci´ on se ejemplifica esta influencia para algunas construcciones paralelepipédicas, con datos experimentales obtenidos por J. Blessmann. Altura relativa La relaci´ on entre la altura y el ancho de la cara expuesta al viento (barlovento) influye sobre el coeficiente de empuje. Esto se muestra en la figura 2.4 donde se indican los coeficientes de empuje para un paralelep´ıpedo de base cuadrada y diferentes alturas. Es de hacer notar que


27

esa influencia es sobre el coeficiente de empuje, vale decir que no se refiere a la variaci´ on de las presiones del viento con la altura, ni el a´rea de la superficie maestra, que también variar´ıan al aumentar la altura del edificio. Profundidad relativa En la figura 2.5 se muestra el efecto de la profundidad relativa, esto es la relaci´ on profundidadancho, de un edificio paralelepipédico, sobre el coeficiente de empuje global. Profundidad se refiere a la dimensión del edificio en la direcci´ on del viento, y el ancho puede ser la menor dimensi´ on de la cara a barlovento.

2.2.3

Efecto de la forma

La forma del cuerpo influye en el coeficiente de empuje. En la figura 2.6 se dan algunos valores de coeficiente de empuje y del empuje relativo para perfiles con distintas formas.

2.2.4

Interacci´ on entre construcciones

Los coeficientes de presión sobre un edificio var´ıan con la presencia de otro edificio vecino. A veces los coeficientes aumentan y otras veces disminuyen. Por ejemplo, si la presencia del segundo edificio es tal que el viento resulta “encajonado” entre ambos, la succi´ on en las paredes aumenta, como se muestra en la figura 2.7. Hay una separaci´ on cr´ıtica para la cual se dan las mayores succiones. En ensayos realizados en la Universidad Federal do Rio Grande do Sul, Brasil, se obtuvieron resultados que se indican en la figuras 2.8 y 2.9, para dos edificios prism´ aticos de base cuadrada y altura 6 veces el lado de la base. Los ensayos se realizaron para viento suave y para viento turbulento. En el caso en que los dos edificios están alineados con la direcci´ on del viento (figura 2.8) se dan los resultados para el coeficiente de empuje del edificio a sotavento. Puede observarse que la fuerza de empuje es negativa (es decir opuesta a la dirección del viento) para las separaciones indicadas en la figura.

28


Figura 2.4: Efecto de la altura relativa sobre el coeficiente de empuje global


Figura 2.5: Efecto de la profundidad relativa sobre el coeficiente de empuje global

Figura 2.6: Efecto de la forma sobre el coeficiente de empuje global

29

30


Figura 2.7: Efecto de la presencia de otro edificio. Coeficiente de presi´ on externa cpe en las caras enfrentadas cerca del borde a barlovento

E

viento

a

sx sx / a CE

0,10

0,25

0,50

1,00

2,00

modelo solo

-0,19 -0,20 -0,34 -0,14 -0,16 +1,46

Figura 2.8: Efecto de la presencia un edificio a barlovento sobre el coeficiente de empuje global


Figura 2.9: Efecto de la presencia de otro edificio sobre el coeficiente de empuje global

31


32

Figura 2.10: V´ ortices de Karman

2.3

Acci´ on din´ amica del viento

La turbulencia del viento produce excitaciones din´ amicas sobre la construcción. Algunas de ellas son más sensibles a esta acción din´ amica y es necesario en esos casos tenerla en cuenta en el proyecto estructural. La respuesta de la construcci´ on depender´ a de su forma, de los materiales, de su frecuencia fundamental de vibraci´ on y del amortiguamiento. En general la acci´ on din´ amica del viento puede ser originada por una de las siguientes causas: 1) Vórtices de Karman: En construcciones cil´ındricas, tales como chimeneas, etc., seg´ un la velocidad del viento, puede haber un desprendimiento alternado de v´ ortices (Figura 2.10). Estos provocan fuerzas peri´ odicas que pueden originar vibraciones transversales del edificio. La frecuencia de desprendimiento de los v´ ortices es funci´ on de la forma y de las dimensiones de la construcción, de la velocidad del viento y del n´ umero de Reynolds, y puede estimarse con la f´ ormula V (2.29) f = S L siendo V la velocidad del viento, L una longitud caracter´ıstica del problema, que en este caso puede ser el di´ ametro de la construcción cil´ındrica, y S el denominado n´ umero de Strouhal. Este n´ umero depende de la forma de la construcci´ on, del n´ umero de Reynolds, de las caracter´ısticas de turbulencia del flujo y del movimiento de oscilaci´ on de la construcci´ on. Para un cilindro empotrado en su base, S = 0.20 independientemente del n´ umero de Reynolds. Hay una velocidad cr´ıtica que provoca resonancia: Vcrit =

fn L S

(2.30)

donde fn es la frecuencia natural de la construcci´ on. Observaci´ on: El n´ umero de Reynolds (si bien no se requiere expl´ıcitamente en las expresiones anteriores) puede calcularse como Re =

V d = 7 × 104 V d νc

siendo V la velocidad del viento en m/s, d el di´ ametro del cilindro en m y νc la viscosidad 2 cinemática del aire (νc ∼ 14.5 × 10−6 ms ).

2.3.

´ DINAMICA ´ ACCION DEL VIENTO

33

2) Vibraciones autoinducidas: ´ ´ Este es el efecto de vórtices que se desprenden en resonancia con la estructura. Esto puede amplificar el efecto que producir´ıa simplemente el desprendimiento de vórtices. Un caso de estas oscilaciones se dió en el puente de Tacoma, en los Estados Unidos que colaps´ o, en noviembre de 1940,para un viento de 68 km/h cuando hab´ıa sido calculado para resistir esfuerzos estáticos de vientos de 160 km/h. En ese caso las deformaciones se produjeron principalmente en un modo de torsi´ on. 3) Golpe o martilleo (buffeting): ´ Esto es la excitación de una construcci´ on por la turbulencia en la estela de otra construcci´ on. Ello provoca no s´ olo excitaciones din´ amicas sino también modifica sustancialmente las presiones estáticas sobre la construcción. 4) Galope: Ciertas formas de sección transversal tales como secciones cuadradas, rectangulares, triangulares o semicirculares, son suceptibles de oscilaciones por inestabilidad aerodinámica. Este efecto se observó en l´ıneas de transmisión eléctrica cubiertas con una capa de hielo. No pueden iniciarse estas oscilaciones desde el reposo sino que precisan ser iniciadas por otro efecto (por ej. r´ afagas de viento, o v´ ortices alternados). Al vibrar perpendicularmente a la direcci´ on del viento aparecen fuerzas de presi´ on perpendiculares al viento que pueden amplificar la vibraci´ on. Son propensas a este fenómeno estructuras livianas y flexibles, con formas simples. 5) “Agitación” (flutter): Es un tipo de inestabilidad que involucra el acoplamiento entre dos modos de vibraci´ on, por ej. flexi´ on y torsi´ on. Es un fen´ omeno t´ıpico de estructuras largas y esbeltas, tales como puentes colgantes. 6) Oscilación por la energ´ıa contenida en las r´ afagas: Las ráfagas de viento pueden influir en los fen´ omenos descriptos anteriormente, pero también pueden producir directamente vibraciones en las construcciones. Un procedimiento simplificado para su consideraci´ on fue introducido por Davenport (1966) adoptando un factor de r´ afaga F y calculando la presi´ on de cálculo p como p = F p¯

(2.31)

siendo p¯ la presi´ on estática de cálculo. Las acciones dinámicas del viento están consideradas en la Recomendación CIRSOC 102-1. All´ı se divide a las acciones en paralelas y perpendiculares al viento. Solamente precisan ser verificadas dinámicamente las construcciones que tienen un per´ıodo fundamental de vibraci´ on mayor que 1 segundo y un amortiguamiento menor que 1% del amortiguamiento cr´ıtico . En ese caso hay dos posibilidades: • Si el per´ıodo fundamental est´ a comprendido entre 1 y 2 segundos, y la altura del edificio no es mayor que 100 metros. En ese caso basta con calcular el factor de ráfaga √ h + 0, 68 ≥ 1, 0 (2.32) F = 20 y mayorar la presi´ on estática como se indicó arriba.


34

• Si el per´ıodo es superior a 2 segundos deben aplicarse procedimientos como aquellos contenidos en la Recomendación CIRSOC 102-1. El c´ alculo del per´ıodo fundamental para edificios puede realizarse mediante f´ ormulas emp´ıricas como las siguientes: • Para edificios con estructura constituida por tabiques de mamposter´ıa h T = 0, 06 √ L

h 2L + h

(2.33)

donde T es el per´ıodo en segundos, L es la longitud del edificio en planta en la direcci´ on del viento, expresada en metros, y h es la altura del mismo, en metros. • Para edificios con estructura constituida por tabiques de hormig´ on armado h T = 0, 08 √ L

h L+h

(2.34)

• Para edificios con estructura constituida por p´ orticos de hormig´ on armado h T = 0, 09 √ L

2.4

(2.35)

Determinaci´ on de cargas reglamentarias

El c´ alculo de las presiones estáticas del viento en las construcciones, mediante el Reglamento CIRSOC 102, se realiza en los siguientes pasos: 1) Velocidad b´ asica de dise˜ no (V0 ):

V 0 = cp β

(2.36)

donde: • β: velocidad de referencia Depende de la ubicaci´ on geogr´ afica de la construcción (figura 2.11). Est´ a dada en la Tabla 1 del Reglamento CIRSOC 102. Por ejemplo, para Santa Fe es 30m/s • cp : coeficiente de velocidad probable. Tiene en cuenta la importancia de la obra y el per´ıodo de vida de la misma. cp

Grupo 1 2 3 4

edificios de importancia p´ ublica edificios comunes silos, galpones, etc. construcciones precarias

2,13 1,65 1,45 1,16

2) Presión din´ amica básica (q0 ): q0 =

V02 16

Per´ıodo de vida (a˜ nos) 50 25 10 2

Probabilidad de excedencia 0,20 0,50 0,50 0,50

(2.37)

´ DE CARGAS REGLAMENTARIAS 2.4. DETERMINACION

Figura 2.11: Velocidad de referencia

35


36

donde V0 está expresada en m/s y q0 en kgf /m2 ; o bien q0 = 0, 000613V02

(2.38)

donde V0 está expresada en m/s y q0 en kN/m2 . 3) Presión din´ amica de cálculo (qz ): q z = cz cd q 0

(2.39)

donde: • q0 : es la presión din´ amica básica • cz : es un coeficiente de variación con la altura. Además de la altura tiene en cuenta la rugosidad del terreno. 

cz = 

ln ln

z z0,i 10 z0,1

2



z0,i z0,1

0,1412

(2.40)

ametro que depende siendo aqu´ı z la altura en m sobre el nivel de referencia, y z0,i un par´ del tipo de rugosidad del terreno y est´ a dado en la siguiente tabla: Rugosidad I II III IV

Zonas planas, sin obst´ aculos Zonas llanas con a´rboles o cercas Zona ondulada,urbana.Barrios Centro grandes ciudades

Altura de los obstáculos (m) < 1, 5 1, 5 a 10 < 10 > 25

z0,i 0,005 0,050 0,200 0,500

En el CIRSOC 102 (Tabla 4) se dan los valores de cz que corresponden a la f´ ormula (2.40) y se ejemplifican además con fotograf´ıas los casos correspondientes a cada tipo de rugosidad. Se indica también cómo considerar los casos de transición de rugosidades. • cd : es un coeficiente de reducción por dimensiones. Si alguna de las dimensiones de la cosntrucci´ on excede los 20m se puede reducir la presi´ on de cálculo por un coeficiente cd (0, 65 < cd < 1) cuyos valores se dan en la Tabla 5 del Reglamento CIRSOC 102. 4) Carga sobre la construcción: La carga por unidad de superficie (wz ) sobre una de las caras de una pared, a la altura z se calcula como: wz = cqz (2.41) donde: amica de cálculo • qz : es la presión din´ • c: es un coeficiente de presión.

´ DE CARGAS REGLAMENTARIAS 2.4. DETERMINACION

37

La carga unitaria sobre una pared se obtiene con la expresi´ on: wr,z = (ce − ci )qz

(2.42)

donde ce es el coeficiente de presión de la cara externa, y ci el coeficiente de presión de la cara interna de la pared. La f´ ormula da entonces la carga resultante teniendo en cuenta las presiones sobre las dos caras de la pared. Las acciones de conjunto se calculan como: E = cE q m A

(2.43)

L = cL qm As

(2.44)

donde qm es un valor uniforme medio de la presi´ on qz , A es el área de la superficie maestra, As es el área en proyecci´ on horizontal, cE es el coeficiente de empuje y cL el coeficiente de levantamiento. Los valores de los coeficientes c, ce , ci , cE y cL dependen de: • forma y proporciones de la construcci´ on • rugosidad y permeabilidad de las paredes • orientaci´ on en relaci´ on a la direcci´ on del viento • ubicaci´ on con respecto al piso o a otras construcciones y están dados en los cap´ıtulos 6 a 10 del Reglamento CIRSOC 102: • Cap.6: Construcciones prism´ aticas de base rectangular • Cap.7: Construcciones prism´ aticas de base poligonal y cil´ındrica • Cap.8: Paneles llenos y cubiertas aisladas • Cap.9: Construcciones con aberturas y reticulados • Cap.10: Construcciones varias. 5) Acciones locales En zonas particulares tales como bordes de techo, aristas, cumbreras, etc., las presiones pueden ser mayores que las presiones medias y deben verificarse con acciones locales calculadas con un on exterior media. coeficiente ce que debe adicionarse al coeficiente ce de presi´

38


Cap´ıtulo 3

Efectos de los sismos sobre las construcciones 3.1

Caracter´ısticas de los terremotos

Los terremotos son movimientos que se producen en la corteza terrestre y, en el contexto del presente estudio, interesan por las acciones que inducen sobre las construcciones. El movimiento s´ısmico puede deberse a diversos fenómenos: explosiones, actividad volcánica, derrumbe de cavernas, etc. Sin embargo los sismos de importancia en ingenier´ıa están generalmente asociados a la actividad tect´ onica. Si se observa un mapa de la ocurrencia de terremotos durante un cierto per´ıodo, se puede ver que los mismos se sit´ uan preferentemente en l´ıneas que demarcan placas tectónicas (La figura 3.1 indica los sismos registrados en el per´ıodo 1961-1967). El trazado de esas l´ıneas resulta consistente con la teor´ıa de deriva de los continentes. Las principales zonas de actividad s´ısmica son: • El Cintur´ on de Fuego del Océano Pac´ıfico: que se extiende a lo largo de las costas americanas y asi´ aticas; • El Cintur´ on Trans-Asi´ atico y Alpino: que se extiende desde el Himalaya, pasando por el Asia Menor hasta el Océano Mediterr´ aneo. • Una l´ınea de norte a sur por el medio del Océano Atl´ antico. Si bien no se conoce el mecanismo preciso por el cual se originan los terremotos, una teor´ıa aceptada es que durante los movimientos de las placas tectónicas se producen deformaciones de las mismas en las fallas geológicas. Se acumula as´ı una gran cantidad de energ´ıa bajo la forma de una energ´ıa de deformaci´ on elástica. Cuando las tensiones superan la resistencia del material se produce una ruptura y una s´ ubita liberaci´ on de energ´ıa. El lugar donde esto se produce se denomina foco, centro o hipocentro. La proyección vertical de foco sobre la superficie de la tierra se denomina epicentro. La distancia desde un lugar donde se percibe el terremoto hasta el epicentro se conoce como distancia epicentral. La perturbaci´ on producida en el foco del terremoto se propaga en forma de diversas ondas por la roca y el suelo. Las ondas que viajan m´ as rápido corresponden a un mecanismo de deformaci´ on de compresión (tracci´ on) y se denominan ondas P (por Primarias). Este tipo de ondas puede visualizarse si se golpea axialmente el extremo de un resorte: las ondas producidas 39

40

CAPÍTULO 3. EFECTOS DE LOS SISMOS SOBRE LAS CONSTRUCCIONES

Figura 3.1: Zonas de actividad s´ısmica en el mundo son ondas P. La velocidad de propagaci´ on de las ondas P en un medio el´ astico homogéneo es

vP =

(λ + 2G) ρ

(3.1)

siendo λ y G las constantes elásticas de Lamé y ρ la densidad del medio. Otro tipo importante de ondas son las ondas S (por Secundarias). Estas son ondas de deformaci´ on de corte (como las que se observan cuando se toma una cuerda y se la hace vibrar transversalmente). La velocidad de propagaci´ on de estas ondas es:

vS =

G ρ

(3.2)

Las ondas S viajan m´ as despacio que las ondas primarias, pero llegan con amplitudes mayores y son las que producen los mayores da˜ nos a las construcciones. Finalmente hay otros tipos de ondas como las ondas superficiales (ondas de Rayleigh y ondas de Love). Para cuantificar el poder destructivo de los sismos se utilizan diversas medidas. La magnitud es una medida de la energ´ıa del sismo. Hay varias escalas para medirla. La m´ as utilizada es la escala de Richter, donde la magnitud M es el logar´ıtmo de la energıa liberada por el terremoto. La magnitud por s´ı sola no sirve para representar la severidad de los da˜ nos producidos por un terremoto en un lugar determinado. Otras medidas tales como la intensidad se utilizan para ello. También hay varias escalas de intensidad y est´ an basadas en cuantificaciones subjetivas de los efectos del sismo. La más extendida en nuestro medio es la intensidad de Mercalli Modificada. En esta escala se representan con grados de I a XII la severidad del sismo en un lugar determinado. La figura 3.2, tomada de una publicaci´ on del INPRES (Instituto Nacional de Prevenci´ on S´ısmica)

3.1. CARACTERÍSTICAS DE LOS TERREMOTOS

41

resume la escala de Mercalli Modificada. En esa figura se han clasificado las construcciones en 4 tipos: • Tipo A: Construcciones antis´ısmicas buenas; • Tipo B: Construcciones convencionales (no antis´ısmicas) de buena calidad; • Tipo C: Construcciones convencionales (no antis´ısmicas) de calidad ordinaria; • Tipo D: Construcciones sin estructura y muy débiles para resistir cargas horizontales (como construcciones de adobe). Hay varios fen´ omenos que pueden estar asociados al sismo. Entre ellos se pueden citar: 1. Movimientos en la superficie terrestre: Estos son los movimientos que interesan a las construcciones a través de aceleraciones en su base. Serán discutidos en este cap´ıtulo; 2. Desplazamientos relativos del suelo: En las zonas de falla geol´ ogica se producen desplazamientos relativos del suelo a ambos lados de la falla. Este fen´ omeno es t´ıpico en la regi´ on oeste de los Estados Unidos, en la falla de San Andreas, con quiebres de v´ıas férreas, de alambrados, etc. 3. Deslizamientos y derrumbes 4. Rodados de rocas 5. Aludes de nieve, barro y agua: Este caso, como los dos anteriores, de importancia en regiones monta˜ nosas; 6. Seiches y Tsunamis: Son los nombres con que se conoce internacionalmente a los maremotos. Tsunami es una palabra japonesa formada por tsu=bah´ıa y nami=ola. Seiches se denomina este fenómeno cuando se produce en lagos. 7. Incendios: Este es un desastre que suele estar ligado a los terremotos en áreas urbanas. Puede adquirir gran importancia superando en v´ıctimas y da˜ nos económicos a los del terremoto propiamente dicho. Se produce generalmente debido a la rotura de ca˜ ner´ıas de gas, dep´ ositos de combustible, cables, etc. Al terremoto de San Francisco, en 1906, siguieron 3 d´ıas de incendios. En Tokio, en 1923, hubo 38.000 muertos por asfixia y quemaduras. 8. Asentamiento de suelos: Se pueden producir en terrenos de alta compresibilidad, en terrenos sueltos, o en terrenos de relleno; 9. Liq¨ uefacción de arenas saturadas: En suelos arenosos saturados, al llegar la onda s´ısmica, la ´ presi´ on de poros aumenta hasta separar los granos de sólido. Este u ´ltimo pierde capacidad portante al desaparecer las fuerzas de fricción y se transforma en “arenas movedizas”. Este fen´ omeno se manifestó en San Juan durante el sismo de Caucete, en 1977. En los que sigue se estudiar´ a el primero de los fen´ omenos enumerados, ya que la ingenier´ıa antis´ısmica trata de dotar a la construcci´ on de capacidad para resistir los movimientos din´ amicos inducidos en ella por el sismo.

42


Figura 3.2: Escala de Intensidades de Mercalli Modificada

´ SOBRE UNA ESTRUCTURA 3.2. ACCION

43

Acelerograma 0.2

Aceleraciones del registro

0.15

0.1

0.05

0

−0.05

−0.1

−0.15 0

10

20

30 Tiempo

40

50

60

Figura 3.3: Acelerograma del terremoto de Taft (EEUU,1952)

3.2

Acci´ on sobre una estructura

El movimiento que llega a la fundaci´ on de una construcci´ on debido al sismo es un movimiento transitorio, que forma parte de un proceso estoc´ astico (es decir que no puede ser descripto en forma determin´ıstica) y tiene las seis componentes del movimiento en el espacio. En general se consideran las tres componentes de traslación: una vertical y dos horizontales. Las tres tienen importancia ingenieril, si bien para edificios en altura la componente vertical no induce solicitaciones de peligro, y s´ı lo hacen las componentes horizontales. Por este motivo las normas antis´ısmicas consideran un movimiento horizontal del sismo para el dise˜ no. No obstante, para determinadas construcciones o partes de una construcci´ on debe considerarse en el cálculo el movimiento vertical. Las aceleraciones del suelo durante un terremoto pueden registrarse por medio de un aparato llamado acelerógrafo. Este consiste en una masa conectada con un resorte muy flexible a la base del aparato. La masa posee una pluma que registra sobre una cinta los movimientos relativos masa-base. El gráfico obtenido se denomina acelerograma y su eje horizontal representa el tiempo mientras que el eje vertical representa las aceleraciones del suelo. La figura 3.3 muestra un acelerograma t´ıpico. En este caso particular se trata del registro del sismo de Taft, ocurrido en Kern County, California (EEUU), el 21 de julio de 1952.

44


Las ondas predominantes del registro como el de la figura 3.3 son ondas S. En todo acelerograma se reconocen tres zonas: • Una zona de crecimiento; • Una zona de movimiento fuerte; y • Una zona de decrecimiento. La aceleración media es nula. La duraci´ on del movimiento es muy variable: desde pocos segundos hasta casi un minuto. La amplitud de las aceleraciones es también muy variable. En general los sismos fuertes tomados para elaborar las normas de construcción tienen duraciones entre 10 y 60 segundos y amplitudes del orden de 0, 3G a 1, 0G (G es la aceleración de la gravedad). La forma de los acelerogramas es muy variable. En lo que hace a su peligrosidad para las estructuras los sismos pueden clasificarse en dos grupos: • Sismos de tipo vibratorio: Estos son los sismos más habituales. El acelerograma de ellos es como el de la figura 3.3 y su peligrosidad para las construcciones depende de las amplitudes de aceleración y de las frecuencias predominantes en el mismo. La duraci´ on también tiene importancia en este aspecto. El peligro de estos sismos para las construcciones es que se produzca una suerte de resonancia entre las frecuencias del sismo y las frecuencias propias de la construcción. • Sismos de tipo impulsivo: Estos sismos presentan un pulso largo de aceleración (o m´ as de uno), como el de la figura 3.4. Esto quiere decir que durante un lapso la construcci´ on estará empujada por una “fuerza din´ amica” en un mismo sentido. Evidentemente esto puede producir el colapso de la estructura, o al menos la ocurrencia de grandes deformaciones pl´ asticas irrecuperables. La respuesta de una estructura frente a un sismo determinado depender´ a de las caracter´ısticas din´ amicas de la misma. Estas son básicamente sus frecuencias propias de vibración y su amortiguamiento. Para comprender mejor esto puede analizarse un sistema con un grado de libertad. Este oscilador simple puede representarse como una masa unida a la base a través de un resorte y un amortiguador (figura 3.5). Las propiedades del oscilador son su masa m, su rigidez el´ astica k y su constante de amortiguamiento c (que en este caso se considera de tipo viscoso). La frecuencia propia del oscilador es: k 1 (3.3) f= 2π m expresada en ciclos por unidad de tiempo. La inversa de la frecuencia es el per´ıodo propio: T =

1 = 2π f

m k

(3.4)

expresado en unidades de tiempo. Si este oscilador se somete a un acelerograma el valor máximo de aceleración (o de velocidad, o de desplazamiento) que sufrir´ a la masa depende de su frecuencia y de su amortiguamiento. Variando estas caracter´ısticas del oscilador, var´ıa la respuesta. Si se grafica el valor m´ aximo de la respuesta obtenida, en funci´ on de la frecuencia del oscilador, se obtiene lo que se denomina espectro de respuestas. Las ordenadas del espectro de respuesta pueden ser aceleraciones, velocidaes o desplazamientos de la masa. Las abcisas serán frecuencias, o bien su inversa: per´ıodos,

´ SOBRE UNA ESTRUCTURA 3.2. ACCION

45

Acelerograma 0.8

0.6

Aceleraciones del registro

0.4

0.2

0

−0.2

−0.4

−0.6

−0.8 0

5

10

15

20

25

Tiempo

Figura 3.4: Terremoto de tipo impulsivo: acelerograma del Loma Prieta (EEUU,1989)

Figura 3.5: Oscilador simple


46

Figura 3.6: Espectro de respuesta en desplazamientos de un oscilador simple, para el acelerograma de la figura 3.3

del oscilador. En la figura 3.6 se muestra el espectro de respuestas de un oscilador lineal simple con un 5% del amortiguamiento cr´ıtico1 , para el movimiento de la figura 3.3.

La respuesta de una construcci´ on, puede estimarse a partir de espectros simples como el de la figura 3.6. Para ello se considera que cada modo natural de vibraci´ on de la estructura se comporta como un oscilador simple, con su frecuencia propia. Combinando las respuestas de cada modo, puede estimarse la respuesta global. Este es uno de los procedimientos que se utilizan para evaluar la respuesta s´ısmica estructural y se lo denomina an´ alisis modal espectral. Otros tipos de an´ alisis se basan en utilizar directamente el acelerograma en vez del espectro de respuestas. Con la historia de aceleraciones de la base (que representa el acelerograma), se calcula paso a paso la respuesta de la estructura. Este procedimiento denominado an´ alisis paso a paso es más general que el anterior permitiendo el estudio de respuestas nolineales. Finalmente hay procedimientos pr´ acticos simplificados que se utilizan para el cálculo, seg´ un las normas antis´ısmicas, y que se basan en aplicar a la construcción un estado de fuerzas s´ısmicas estáticas que producen en la estructura deformaciones equivalentes a las del movimiento s´ısmico. Este procedimiento, de fuerza est´ atica equivalente, puede ser aplicado solamente a casos muy particulares que – no obstante – contemplan el caso de edificaciones comunes. √ c El amortiguamiento cr´ıtico se define como ccr = 2 mk y la relaci´ on ccr se usa para cuantificar el amortiguamiento estructural. Para construcciones esta relaci´ on suele estar en el orden del 1 al 5 % 1

˜ ANTISÍSMICO 3.3. DISENO

3.3

47

Dise˜ no antis´ısmico

En esta sección se har´ a referencia al dise˜ no de una construcci´ on antis´ısmica en forma global, incluyendo las etapas de dise˜ no arquitect´ onico, c´ alculo estructural y construcci´ on. Esto es as´ı pues el comportamiento s´ısmico del edificio depende de todas ellas. En efecto, un edificio con un buen dise˜ no arquitect´ onico para ser antis´ısmico, resultará más fácil de calcular, m´ as barato para construir, y m´ as seguro. Inversamente, un edificio mal concebido arquitectonicamente para ser antis´ısmico será dificil para calcular su estructura, caro para construir e inseguro. Decisiones iniciales tales como la forma o materiales del edificio serán determinanes de su condici´ on antis´ısmica. Un resumen de los principios b´ asicos a observar en el dise˜ no antis´ısmico (tomados del Prof. V.V. Bertero) se brinda a continuaci´ on. 1. El edificio y su estructura deben ser livianos. Esta es la regla n´ umero uno, pues las fuerzas solicitantes serán proporcionales a la masa del edificio (y a la aceleraci´ on que experimenta). Son numerosos los ejemplos (o contraejemplos) observados. Uno de ellos: en el Hospital Olive View, en California, durante el terremoto de San Fernando en 1971, las cocheras de ambulancias estaban formadas por una losa pesada de hormig´ on sostenida por columnas. Su derrumbe anul´ o la flota de ambulancias. 2. El edificio debe ser simple, simétrico y regular tanto en planta como en altura. Estas caracter´ısticas ayudan a reducir los efectos indeseables de torsión global en el edificio. 3. La estructura debe tener suficiente rigidez inicial y suficiente tenacidad. Aqu´ı se plantea ya la necesidad de verificar el comportamiento del edificio para diferentes niveles de solicitaci´ on. Para sismos débiles (pero frecuentes), la estabilidad del mismo no se verá comprometida, pero debe reducirse los da˜ nos a los elementos no estructurales (revestimientos, vidrios, etc.). Esto se logra si la estructura posee suficiente rigidez para reducir las deformaciones que pueden da˜ nar (fisurar) los elementos no estructurales. Para simos moderados o fuertes, debe garantizarse la estabilidad de la construcci´ on a´ un cuando se produzcan da˜ nos que precisen reparaciones posteriores. En este estado u ´ ltimo, la estructura incurrir´ a en deformaciones pl´ asticas y all´ı se pide tenacidad a la misma. Esto es, que pueda soportar algunos ciclos de deformaci´ on sin que se degrade demasiado su resistencia y rigidez. 4. La estructura debe tener una distribuci´ on continua y uniforme de: resistencia, rigidez y ductilidad. La discontinuidad en estas propiedades de la estructura, conllevan a la concentración de deformaciones y de da˜ nos. La uniformidad debe ser tanto en planta como en altura. Un excelente trabajo del Ing. L. Decanini (Jornadas de Ingenier´ıa Estructural, 1982) ilustra sobre estos aspectos el dise˜ no antis´ısmico. Algunas patolog´ıas del dise˜ no tienen nombre en la jerga de la ingenier´ıa s´ısmica. Tal son los casos de “piso flexible” o de “columna corta” (figura 3.7). El primero se da cuando en un piso cambia bruscamente la rigidez y resistencia del edificio. Este caso se presentó, por ejemplo, en la ENET de San Juan durante el terremoto de Caucete en 1977. La planta baja conten´ıa unicamente columnas, mientras que las restantes eran rellenas com mamposter´ıa. Esto atrae las deformaciones inel´ asticas al piso flexible, produciendo da˜ nos y grandes deformaciones permanentes. El caso de columna corta se produce cuando una columna de hormig´ on armado es rigidizada parcialmente por un relleno de mamposter´ıa. La longitud


48

Figura 3.7: Defectos del dise˜ no antis´ısmico: a) Piso flexible; b) Columna corta deformable queda as´ı reducida y aparecen esfuerzos de corte muy importantes que provocan rotura por corte en las columnas. Este caso también fue observado en una escuela de Caucete durante el mismo terremoto. 5. La estructura debe tener la mayor cantidad posible de l´ıneas de defensa. Por ejemplo varios subsistemas d´ uctiles conectados entre s´ı por elementos muy d´ uctiles. Estos u ´ltimos act´ uan como “fusibles” estructurales, concentrando all´ı las deformaciones y los da˜ nos, evitando que estén repartidos en la estructura. Un ejemplo de ésto podr´ıa ser el caso de tabiques acoplados, donde los dinteles se ven sometidos a altas deformaciones pl´ asticas. 6. Debe detallarse el armado de modo tal que las deformaciones se produzan en los lugares deseados. Un caso como éste es el del concepto de “columna fuerte-viga débil” que utilizan las normas antis´ısmicas. La formación de r´ otulas pl´ asticas durante un terremoto moderado o fuerte es admisible siempre que no conduzca a la formaci´ on de un mecanismo que colapse. En ese sentido las rótulas se permiten en las vigas, pero no en columnas. Para forzar ésto el dimensionamiento refuerza la resistencia de las columnas en un nudo, debilitando la de las vigas que concurren a ese nudo. 7. La resistencia y la rigidez deben estar equilibradas entre elementos estructurales, uniones y v´ınculos.

3.4

Reglamentos antis´ısmicos argentinos

Los reglamentos de construcciones antis´ısmicas en la Argentina, al igual que en el mundo, han evolucionado en la medida en que se produjeron avances en el conocimiento te´ orico de la ingenier´ıa estructural antis´ısmica y en que se pon´ıa a prueba el estado del arte en cada desastre producido por terremotos. Esto es as´ı pues la cantidad de sismos fuertes que han podido ser registrados y estudiados en el corto tiempo de vida de la ingenier´ıa antis´ısmica es peque˜ no (cuanto

´ ´ ´ EL INPRES-CIRSOC 103 3.5. CALCULO ESTATICO EQUIVALENTE SEGUN

49

más fuerte es el sismo, mayor es su per´ıodo de recurrencia). Un hito importante en Argentina fue el terremoto de San Juan, de 1944. Sobre la Comisi´ on de Reconstrucción de San Juan se creó el Instituto Nacional de Prevenci´ on S´ısmica (INPRES), con sede en esa misma ciudad. Las normas de construcciones antis´ısmicas estaban limitadas a códigos municipales (como el c´ odigo de la Ciudad de Mendoza). En 1970 el INPRES elabora el CONCAR 70, reglamento nacional de construcciones antis´ısmicas. Ese reglamento fue actualizado convirtiéndose en las NAA-80 (Normas Argentinas Antis´ısmicas) en los a˜ nos 80. En esa década el comite CIRSOC del INTI elabor´ o una serie de reglamentos de construcciones, entre los cuales está el Reglamento INPRESCIRSOC 103 (de redacción conjunta entre ambos organismos). Este reglamento es de aplicaci´ on nacional. Existen otros reglamentos, tales como nuevas versiones del codigo de construcciones de la ciudad de Mendoza, y normativas en elaboraci´ on en el marco del Mercosur.

3.5

C´ alculo est´ atico equivalente seg´ un el INPRES-CIRSOC 103

El método estático equivalente, ya mencionado, puede ser aplicado solamente para construcciones corrientes y que presenten las siguientes caracter´ısticas: • Edificios de vivienda, oficinas, comercios, etc. cuya altura no supere un valor m´ aximo definido seg´ un la zona s´ısmica y la importancia de la obra. Para la zona de mayor riesgo y edificios corrientes es del orden de 40 m. • Que el per´ıodo propio del edificio sea menor que 3T2 donde T2 es un per´ıodo caracter´ıstico del suelo y de la zona (ver m´ as adelante). • Que la estructura sea simétrica en planta (para evitar torsi´ on), o bien que los centros de masa y rigidez se encuentren alineados verticalmente, con excentricidades limitadas (ver Reglamento). • Que tenga regularidad en la distribuci´ on de masas y rigideces, tanto en planta como en altura.

Observaci´ on: En la Zona 0 definida por el reglamento, que es aquella de menor riesgo s´ısmico, el procedimiento reglamentario de cálculo debe aplicarse para obras vitales o cuya falla resulte catastrófica (centrales nucleares, depósitos de materiales tóxicos, etc.). Para las construcciones comunes basta con dotarlas de una estructura resistente a cargas horizontales, en dos direcciones ortogonales, que sea capaz de resistir fuerzas horizontales iguales al 1, 5% del peso de la construcción, aplicadas en su centro de gravedad. El c´ alculo de las fuerzas s´ısmicas equivalentes seg´ un el Reglamento INPRES-CIRSOC 103 se realiza en los siguientes pasos: 1) Coeficiente s´ısmico de dise˜ no (C): Se calcula con la f´ ormula C = donde:

Sa γd R

(3.5)

50


Figura 3.8: Zonas s´ısmicas seg´ un el INPRES-CIRSOC 103


51

Figura 3.9: Espectro de seudoaceleraciones para dise˜ no, seg´ un INPRES-CIRSOC 103. a) Forma del espectro; b) Espectro para la Zona 4

52

CAPÍTULO 3. EFECTOS DE LOS SISMOS SOBRE LAS CONSTRUCCIONES • Sa : es el espectro de seudoaceleraciones. El valor espectro de seudoaceleraciones depende de la ubicación geogr´ afica de la construcción; del tipo de suelo de fundaci´ on; y de las caracter´ısticas din´ amicas de la construcción. Estas u ´ltimas son: su per´ıodo propio y su amortiguamiento. El per´ıodo a considerar para una edificaci´ on es el per´ıodo fundamental del edificio, es decir el mayor de los per´ıodos propios de vibraci´ on (o bien el de menor frecuencia). Si se realiza un an´ alisis modal, para cada per´ıodo propio se obtiene una ordenada espectral. Las curvas dadas por el Reglamento son para 5% de amortiguamiento cr´ıtico, pero proporciona f´ ormulas para modificar el espectro para otros valores de amortiguamiento. – Ubicación geogr´ afica: El pa´ıs está dividido en 5 zonas numeradas de 0 a 4 (figura 3.8). – Tipo de suelo: El reglamento considera tres tipos de suelo: ∗ Suelos tipo I: son suelos muy firmes y compactos: rocas, gravas y arenas muy duras con poca profundidad de manto (< 50 m), suelos cohesivos muy densos. ∗ Suelos tipo II: son suelos intermedios: gravas y arenas compactas con profundidad de manto > 50 m sobre roca, o suelos intermedios con profundidades de manto > 8 m. Tensiones admisibles σs adm > 0, 1M N/m2 . ∗ Suelos tipo III: son suelos blandos: suelos granulares poco densos, suelos cohesivos blandos o semiduros. Tensiones admisibles σs adm < 0, 1M N/m2 . Para cada zona y para cada tipo de suelo el reglamento da una curva de seudoaceleraciones. En la figura 3.9 se muestra la forma genérica de las curvas, as´ı como el espectro de seudoaceleraciones para la zona 4 y los tres tipos de suelo. All´ı están indicado los par´ ametros as , b, T1 y T2 que identifican las curvas. as es la aceleración del suelo: para per´ıodos muy peque˜ nos (frecuencias muy altas) las aceleraciones de la masa del oscilador son pr´ acticamente iguales a las del suelo. Para per´ıodos intermedios hay una amplificaci´ on de las aceleraciones, siendo máximas para per´ıodos entre T1 y T2 . Para per´ıodos muy altos la aceleración decrece. – Per´ıodo fundamental de la construcci´ on: El per´ıodo propio de vibraci´ on de una construcción puede calcularse mediante: f´ ormulas aproximadas; métodos din´ amicos; o f´ ormulas emp´ıricas. Estas u ´ltimas pueden ser adecuadas en el caso de edificios donde hay una serie de elementos no estructurales (muros,etc.) que influyen en el per´ıodo. Una f´ ormula emp´ırica propuesta por la norma es: T0

H = 100

2 30 + L 1 + 30∆

(3.6)

en esta expresión H es la altura total del edificio; L es su dimensión en planta en la direcci´ on del movimiento s´ısmico; y ∆ es la relación entre el a´rea de muros (en esa direcci´ on) y el a´rea total en planta. La f´ ormula no es adimensional: H y L deben estar en metros y T0 resulta en segundos. Hay diversas f´ ormulas aproximadas propuestas para estimar el per´ıodo de la construcción, una muy sencilla (no es dada por el Reglamento INPRES-CIRSOC 103) es: T = αN (3.7)


53

donde N es la cantidad de pisos del edificio y α un coeficiente seg´ un el tipo de construcción: para estructura de muros de mamposter´ıa α = 0.05, para p´ orticos de hormig´ on armado α = 0.064, para p´ orticos de acero α = 0.08, etc. • γd : es un factor de riesgo, que vale para: – Construcciones esenciales o cuyo colapso ser´ıa catastr´ ofico: γd = 1.4; – Construcciones de interés p´ ublico o donde puede conglomerarse personas: γd = 1.3; – Construcciones corrientes (viviendas, oficinas, etc.): γd = 1.0; • R: es un factor de reducci´ on de las fuerzas s´ısmicas, por capacidad de disipaci´ on de energ´ıa a través de deformaciones plásticas. Se calcula como:

R =

1 + (µ − 1) µ

T T1

para T ≤ T1 para T ≥ T1

(3.8)

µ es la ductilidad global de la estructura y T1 un per´ıodo propio de la zona y del suelo (figura 3.9). La ductilidad global µ depende del tipo estructural y su detallamiento constructivo: El Reglamento propone: – Para p´ orticos de acero d´ uctil o tabiques acoplados de hormig´ on armado sismorresistente: µ = 6; – Para p´ orticos de hormig´ on armado sismorresistentes: µ = 5; – Para p´ orticos de hormig´ on armado junto con tabiques : µ = 5; – Para p´ orticos de acero convencional o tabiques de hormig´ on armado: µ = 4; – Para sistemas pórtico-tabique de hormig´ on armado, tabiques o muros de mamposter´ıa armada o reforzada: µ = 3.5; – Para muros de mamposter´ıa de ladrillos macizos encadenada o estructuras tipo péndulo invertido con especial dise˜ no del soporte: µ = 3; – Para muros de mamposter´ıa de ladrillos huecos o estructuras tipo péndulo invertido en general, o estructuras colgantes, o columnas de hormig´ on armado sin vinculaci´ on: µ = 2; – Para estructuras que deban permanecer el´ asticas: µ = 1; 2) Esfuerzo de corte en la base (Q0 ): Se calcula con la f´ ormula Q0 = C W

(3.9)

donde: on considerada • Q0 es la fuerza de corte horizontal en la base del edificio, paralela a la direcci´ del movimiento; • C es el coeficiente s´ısmico de dise˜ no, calculado en el paso anterior;

54


Figura 3.10: Distribuci´ on de fuerzas s´ısmicas con la altura • W es la fuerza gravitatoria total: W = G + ηL

(3.10)

en esta expresión G son las cargas permanentes y L la sobrecarga. η es un factor de simultaneidad que para el caso de viviendas u oficinas toma el valor η = 0.25; para cines,escuelas, etc. η = 0.50, para dep´ ositos η = 0.75; y para tanques η = 1.0. 3) Distribuci´ on en altura de la fuerza s´ısmica: Habiendo calculado la fuerza de corte en la base, se calcula la distribuci´ on de las fuerzas s´ısmicas equivalentes mediante la expresión: Fn =

Wn Hn N

Q0

(3.11)

Wi Hi

i=1

Fn es la fuerza s´ısmica en el piso n; Wn la carga vertical de ese piso; y N la cantidad de pisos del edificio. Puede verse que esta fórmula produce un estado de cargas variables linealmente con la altura (figura 3.10). on de fuerzas es diferente, agregándose Si el per´ıodo del edificio es T > T2 entonces la distribuci´ a la distribuci´ on triangular invertida una fuerza concentrada en el u ´ltimo nivel. 4) An´ alisis de la estructura con las cargas s´ısmicas: El tema del an´ alisis estructural del edificio ser´ a tratado en el pr´ oximos cap´ıtulos. Baste ahora considerar que el mismo se comporta globalmente como un voladizo y en cada piso puede calcularse: El esfuerzo de corte: Qn =

N

i=n

Fi

(3.12)

3.6. DIMENSIONAMIENTO Y DETALLES CONSTRUCTIVOS El momento flector: Mn =

N

55

Fi (Hi − Hn−1 )

(3.13)

i=n

El momento torsor: Mt

n

=

(1.5e + βB)Qn (e − βB)Qn

(3.14)

aqu´ı B es la dimensión en planta perpendicular al movimiento y β depende de las condiciones de simetr´ıa y regularidad de la estructura, un valor t´ıpico es β = 0.10. 5) Fuerza equivalente sobre componentes de la construcción: Aquellas componentes de la construcción que no forman parte de la estructura principal deben ser calculadas con una fuerza dada por: Fp = cpn Wp

(3.15)

donde • Fp es la fuerza estática aplicada en el baricentro de la componente considerada; • Wp es el peso de la componente considerada; • cpn un coeficiente dado por;

cpn = γp γr as

• as es la ordenada al origen del espectro de seudo aceleraciones (figura 3.9); un el tipo de componente. Por ejemplo vale para: • γp es un coeficiente seg´ – muros o tabiques (perpendicularmente a su plano) – cornisas o balcones

γp = 1;

γp = 3;

– tanques, antenas, etc., cuyo per´ıodo sea T < 0.4T0 ó bien T > 1.6T0 – tanques, antenas, etc., cuyo per´ıodo sea 0.4T0 < T < 1.6T0

γp = 1.5;

γp = 3;

un la ubicaci´ on: depende también del tipo de componente y tiene • γr es un coeficiente seg´ distintos valores ya sea que implique riesgo para las personas o no. Por ejemplo: para balcones: – si implica riesgos para personas γr = 1.5; – si no implica riesgos para personas γr = 1.0;

3.6

Dimensionamiento y detalles constructivos

Las solicitaciones s´ısmicas en la estructura, calculadas con las fuerzas estáticas equivalentes deben ser agregadas a las solicitaciones provenientes de las cargas permanentes. Ello se hace considerando la combinaci´ on más desfavorable de las dos siguientes:

Su = 1.3 SG ± SS Su = 0.85 SG ± SS

(3.16)

En esa expresión SG son las solicitaciones debidas a las cargas gravitacionales, definidas como en la expresi´ on 3.10, y SS son las solicitaciones debidas al sismo. Las solicitaciones combinadas

56


Su son solicitaciones u ´ltimas, vale decir deben utilizarse para comprobar la estructura frente a estados l´ımites u ´ltimos. Los sismos de dise˜ no dados por el Reglamento corresponden a valores u ´ltimos, por ese motivo no están afectados por coeficientes de seguridad en la expresión anterior. Esto corresponde a un caso particular de combinaci´ on de estados de carga, como los discutidos en el capitulo I. El dimensionamiento de estructuras antis´ısmicas debe seguir reglas espec´ıficas. Por este motivo las partes II y III del Reglamento INPRES-CIRSOC 103 tratan el dimensionamiento de estructuras sismorresistentes de hormigón armado y pretensado, y de mamposter´ıa, respectivamente. Estas partes del Reglamento complementan las normativas generales del Reglamento CIRSOC 201. En construcciones sismorresistentes resulta crucial poder dotar a las estructuras de suficiente ductilidad. Para ello hay una serie de directivas de dimensionamiento de hormig´ on armado que tienden a aumentar el estribado en los extremos de vigas y columnas, que concurren a un nudo. Los conceptos de “columna fuerte-viga débil”, ya mencionados, son también introducidos en el dimensionamiento. Los muros poseen encadenado a nivel de fundaci´ on, a nivel de losa superior y a nivel de dintel, por dar algunos ejemplos. No se discutir´ a en detalle aqu´ı el dimensionamiento sismorresistente, sino que se referir´ aa las respectivas partes de la norma INPRES-CIRSOC 103.

Cap´ıtulo 4

Estructura de edificios en altura 4.1

Introducci´ on

La caracter´ıstica distintiva de edificios en altura es, desde el punto de vista estructural, la necesidad de resistir cargas horizontales. As´ı es que entre los estados de carga postulados para el dise˜ no de la estuctura, tendr´ an especial importancia aquellos debidos a cargas variables o accidentales. Las cargas horizontales pueden ser debidas al viento o a sismos. Excepcionalmente puede reconocer otras causas, como podr´ıa ser el caso de explosiones. Las presiones del viento que inciden lateralmente en el edificio son, en el litoral argentino, la principal fuente de fuerzas horizontales para el c´ alculo estructural de edificios. La determinaci´ on de estas presiones está normalizada en el Reglamento CIRSOC 102. En general en edificios que no sean demasiado esbeltos o demasiado flexibles (más precisamente, cuyo per´ıodo natural de vibraci´ on se sit´ ua por debajo de 1 segundo), la acci´ on del viento se traduce en una presión lateral que puede aceptarse actuando estáticamente. Las presiones del viento var´ıan con la altura pero, conservativamente, pueden tomarse con valor constante resultando as´ı, para edificios prism´ aticos, en un conjunto de fuerzas laterales uniformemente distribuidas con la altura. Esta aproximaci´ on es frecuentemente utilizada para describir la acción del viento (figura 4.1.a). La actividad s´ısmica en nuestro pa´ıs var´ıa seg´ un la regi´ on y en las zonas de mediano o alto riesgo este estado de solicitación pasa a ser determinante para el proyecto de la estructura. La acción del sismo es sustancialmente distinta de la anterior y se manifiesta como un movimiento de la base de la construcción. Sin embargo, para el c´ alculo antis´ısmico de edificios corrientes, un procedimiento reglamentario simplificado se basa en reemplazar la acci´ on s´ısmica por un conjunto de fuerzas estáticas horizontales equivalentes. De modo que puede pensarse en la acción s´ısmica como la de un conjunto de cargas horizontales, al igual que en el caso del viento. La variaci´ on de esas fuerzas con la altura es diferente a la del viento y una aproximaci´ on usual consiste en suponer una distribuci´ on variable linealmente con la altura (figura 4.1.b). En algunos casos a este diagrama triangular de cargas suele agregarse una carga concentrada en el extremo superior a fin de mejorar la representaci´ on de las fuerzas equivalentes. El Reglamento INPRES-CIRSOC 103 contiene directivas para el c´ alculo antis´ısmico de edificios. La estructura de un edificio debe poseer resistencia y rigidez. Resistencia para poder garantizar la seguridad m´ınima requerida frente a las posibilidades de colapso de la construci´ on. Rigidez para evitar desplazamientos o deformaciones excesivas, controlar las vibraciones y contribuir a la estabilidad del edificio. Las deformaciones excesivas, además de los problemas que podr´ıan ocasionar por el uso habitual de la construcci´ on, conducen generalmente a fallas en materiales o elementos no estructurales (vidrios, revoques, revestimientos, etc.). Las vibraciones excesivas 57

CAPÍTULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA

58

Figura 4.1: Cargas de viento y sismo sobre un edificio: (a) Cargas de viento; (b) Fuerzas s´ısmicas equivalentes tienen incidencia en el confort de las personas o en la utilizaci´ on de m´ aquinas o equipos sensibles. En niveles excesivos pueden hacer intolerable la presencia de las personas y a´ un producir problemas en elementos o maquinarias all´ı dispuestos. La estabilidad del edificio, en su conjunto, exige una determinada rigidez m´ınima del mismo. En vista de lo indicado puede inferirse que la estructura debe ser suficientemente resistente y suficientemente r´ıgida. A estas dos condiciones se agrega, en el caso particular de estructuras antis´ısmicas, el requerimiento de ductilidad. Esto es, la estructura debe en este caso ser capaz de sufrir suficientes deformaciones plásticas antes de alcanzar alguna forma de colapso. Existen diversos sistemas estructurales con los que puede construirse el esqueleto de un edificio y en las secciones siguientes se mencionan aquellos más utilizados. Un sistema resultar´ a eficiente si las condiciones de rigidez no hacen aumentar las secciones de los elementos estructurales más all´ a de los valores que poseen para cumplir las condiciones de resistencia. Existen rangos de altura para los cuales cada uno de los sistemas resulta adecuado. Finalmente puede observarse que un edificio es, globalmente, un voladizo sujeto en su base y solicitado por cargas (axiales, laterales y momentos) a lo largo de toda su altura. Este simple esquema es fundamental para entender su funcionamiento.

4.2 4.2.1

Tipolog´ıa estructural Elementos constituyentes de la estructura

Los elementos que conforman la estructura de un edificio en altura pueden agruparse en elementos principales y elementos de distribuci´ on. Elementos principales: Son cada uno de los “voladizos” que forman la estructura principal del edificio. Se considerar´ a aqu´ı tres elementos básicos: pórtico, tabique y tubo. Los dos primeros son elementos planos y el tercero, espacial. a) P´ ortico: También se lo llama marco (figura 4.2). Es un p´ ortico plano formado por vigas y columnas unidas r´ıgidamente. Es un elemento estructural flexible. La deformaci´ on, para el caso de cargas

4.2. TIPOLOGÍA ESTRUCTURAL

59

Figura 4.2: P´ ortico. (a) Deformada; (b) Modo de deformaci´ on de corte laterales, está dada principalmente por la flexi´ on de columnas y vigas y, globalmente, se deforma en un modo de corte (figura 4.2.b). Las distorsiones de piso dependen del esfuerzo de corte global en cada piso: son mayores en los pisos inferiores. b) Tabique: También denominado pared, muro de corte o pantalla (figura 4.3). Es un voladizo de alma llena. Su deformaci´ on, frente a cargas horizontales, se produce en un modo de flexi´ on (figura 4.3.b). La curvatura en cada secci´ on depende del valor del momento flector y es m´ axima en la base. c) Tubo: Esta estructura consiste en un conjunto de vigas y columnas dispuestas sobre la periferia formando una especie de tubo perforado (figura 4.4). La distribuci´ on de tensiones entre sus elementos se aparta de la correspondiente a una viga de alma llena (figura 4.4.b). La deformación de este elemento es intermedia a las deformaciones de flexión y de corte mencionadas anteriormente. Elementos de distribuci´ on: Son elementos que vinculan a los elementos principales. El caso t´ıpico es el de las losas de un edificio. Estas trabajan solicitadas por fuerzas en su plano y establecen una vinculaci´ on entre los desplazamientos de los diferentes elementos principales. Deben poseer adecuada resistencia y rigidez. La rigidez de estos elementos es fundamental para efectuar la distribuci´ on de fuerzas en la estructura principal. Si la losa es infinitamente r´ıgida en su plano, con tres grados de libertad puede describirse el movimiento del piso correspondiente en ese plano. Esto simplifica el planteo de las ecuaciones de compatibilidad de deformaciones entre los distintos elementos estructurales. Una losa maciza de hormig´ on armado puede considerarse como suficientemente r´ıgida en su plano. También puede serlo una losa alivianada siempre que la capa de compresi´ on sea no inferior a un valor l´ımite (generalmente 5 cm) y posea adecuada armadura de repartici´ on. En general en lo que sigue se

60


Figura 4.3: Tabique. (a) Deformada; (b) Modo de deformaci´ on de flexi´ on

supondr´ a que las losas son suficientemente r´ıgidas para caer dentro de este caso descripto. El caso de losas o diafragmas flexibles en su plano requiere que se considere su flexibilidad y el n´ umero de grados de libertad se incrementa. En el caso l´ımite, en que la r´ıgidez del diafragma sea despreciable, cada elemento estructural se comportará independientemente del resto y cargándolo con las fuerzas que act´ uan en su zona tributaria puede estudiarse por separado. El problema as´ı se simplifica. Un método simplificado de c´ alculo para tratar el caso de diafragmas flexibles consiste en interpretarlo como un caso intermedio al de los diafragmas infinitamente r´ıgidos y aquellos de rigidez nula. La soluci´ on de cada uno de éstos, como se ha indicado, es fácil de hallar y combin´ andolos puede estimarse la soluci´ on para el caso de diafragmas flexibles. Un criterio para tener en cuenta esta flexibilidad indica, para losas de hormig´ on armado, combinar un 90% de las solicitaciones para losa infinitamente con un 10% de las solicitaciones para la losa con rigidez nula. Para entrepisos pretensados esos coeficientes son 60% y 40% respectivamente, y para entrepisos de madera, 10% y 90% (Polyakov, 1974).

4.2.2

Sistemas estructurales:

Los elementos estructurales descriptos en el punto anterior se agrupan dando lugar a distintos sistemas estructurales. Cada uno de estos sistemas puede resultar adecuado para determinados rangos de alturas del edificio. Como se indic´ o anteriormente, al aumentar la altura del edificio se llega a un punto en el cual la rigidez (esto es la limitaci´ on de deformaciones) y no la resistencia pasa a ser limitante. Para alturas mayores las secciones estar´ıan trabajando a tensiones inferiores a las admisibles, es decir se encontrar´ıan sobredimensionados para poder cumplir los requerimientos de deformaciones m´ aximas. Ese punto establece el l´ımite económico de ese sistema estructural. Un edificio puede tener distintos sistemas estructurales seg´ un las distintas direcciones de análisis. Debe recordarse que en general basta con estudiar el comportamiento del edificio para acciones que lo solicitan seg´ un dos direcciones principales de su planta. A continuaci´ on se describen las principales sistemas estructurales.


61

Distribución de fuerzas axiales en el tubo perforado

Repartición de fuerzas axiales en la ménsula

Lado a barlovento

Viento

Figura 4.4: Tubo estructural. (a) Estructura del edificio; (b) Distribuci´ on de fuerzas normales en columnas


62

Figura 4.5: Sistema de p´ orticos

Figura 4.6: Sistemas de tabiques y tabiques acoplados Sistemas de p´ orticos: Este sistema está estructurado exclusivamente con p´ orticos (figura 4.5). Es un sistema flexible. Si se desa incrementar la rigidez debe incrementarse la sección (el momento de inercia a flexión) de las vigas o columnas, o disminuir la longitud de las vigas (por interposici´ on de m´ as columnas). Este sistema es eficiente para alturas no mayores de 15-20 pisos. Sistema de tabiques y de tabiques acoplados: En este sistema la resistencia a cargas horizontales está confiada exclusivamente a tabiques (figura 4.6). El caso de tabiques acoplados se da cuando dos (o m´ as) tabiques coplanares son conectados entre s´ı por medio de vigas (dinteles) a nivel de cada losa. Esto se presenta, por ejemplo, cuando un tabique debe ser perforado en cada piso para permitir el paso de una puerta. El acoplamiento de los tabiques confiere a éstos una mayor rigidez y mejora su comportamiento. En la figura 4.7.a se ha representado el caso de dos tabiques coplanares unidos solamente por las losas. Como éstas poseen poca rigidez a flexión (fuera de su plano) se las ha representado con bielas, despreciando el momento que puedan transmitir. En ese caso, siendo dos tabiques


f1 f

63

f2

1

f

f3

2

f

3

q(x)

M1

M2 = M0

M1

M1

M0

s

M2

M1

s

1

(a)

N 3l

s

2

(b)

2M3

M0

s

M

l

M3 N3

3 N

M3 N3

s

3

3

(c)

Figura 4.7: Tabiques acoplados

iguales, cada uno por flexi´ on resiste la mitad del momento flector que act´ ua sobre el conjunto. El diagrama de momentos flectores debido a cargas externas se representa con l´ınea llena. En esa figura corresponde al caso de un estado de cargas variables linealmente con la altura y su valor en la base es M0 . Cada tabique toma un momento M1 = M20 y las tensiones máximas son σ1 . En la figura 4.7.b se ha representado el caso l´ımite opuesto: las vigas de conexi´ on se suponen infinitamente r´ıgidas. En este caso el conjunto se comporta como un solo voladizo y el momento flector en la base del mismo es M2 = M0 . Las tensiones σ2 son ahora menores que en el caso anterior. La situaci´ on real de los tabiques acoplados es intermedia entre ambos. Los dinteles tienen una rigidez finita y la deformaci´ on correspondiente será como se muestra en la figura 4.7.c. Los dinteles trabajan al corte y sus reacciones producen esfuerzos normales en los tabiques. El momento total es absorbido en parte por flexi´ on en cada uno y en parte por la cupla resultante de fuerzas axiales: M0 = 2M3 + N3

(4.1)

En general el segundo término es mayor que el primero y las tensiones máximas σ3 , de flexocompresión (o flexotracción), son menores que las que se tendr´ıan en el caso de la figura 4.7.a, aunque mayores que las del caso 4.7.b. Un punto crucial en esta estructura lo constituyen sus dinteles. Est´ an solicitados a grandes esfuerzos de corte y en estructuras antis´ısmicas se requiere de ellos una gran ductilidad. Los sistemas en base a tabiques y tabiques acoplados son eficientes para alturas de edificios da hasta 20-30 pisos.

64


Sistema de p´ orticos y tabiques: Es un sistema de buen comportamiento. En él coexisten pórticos y tabiques actuando en la misma dirección. Cada uno de ellos contribuye a suplir las falencias del otro. La deformaci´ on del p´ ortico es del tipo de corte y la del tabique, de flexi´ on (figura 4.8). Bajo la suposici´ on de diafragmas r´ıgidos en cada piso, las deformaciones de ambos tipos de estructuras est´ an obligados a igualarse y as´ı la deformada ser´ a en un modo intermedio (figura 4.8). En los pisos inferiores el pórtico se deforma mucho y el tabique muy poco. Este u ´ltimo absorber´ a la mayor parte del esfuerzo cortante de las cargas externas en esos pisos y el pórtico se “apoya” en el tabique. En los pisos superiores, por el contrario, la deformaci´ on relativa del p´ ortico es peque˜ na y la del tabique, grande. En este caso el esfuerzo cortante externo es soportado por el p´ ortico y el tabique se “cuelga” de él. En la figura 4.8.a se indican las fuerzas de interacci´ on entre ambos y en la figura 4.8.b los diagramas de esfuerzos de corte total sobre el conjunto y la parte que toma cada uno de estos elementos. Como se indicó, este sistema es bastante eficiente y se ha llegado a construir edificios de hasta 40 pisos. Sistema de viga-pared escalonada: Este es un sistema relativamente nuevo, de utilización en caso de construcciones prismáticas alargadas como pueden ser edificios p´ ublicos, monoblocks, etc. La estructura transversal est´ a esquematizada en la figura 4.9. En cada piso hay tabiques que se van alternando tanto en planta como en altura. En la figura 4.9.b se muestra un esquema en alzada de dos planos resistentes sucesivos. En la misma figura se ha indicado la deformada que adoptar´ıa cada uno de esos planos resistentes individualmente. Nuevamente la deformaci´ on de ellos está limitada por su conexión a través de diafragmas r´ıgidos. Por ejemplo en la planta baja el plano resistente k es muy flexible al tener solamente dos columnas trabajando a flexi´ on, pero el plano k + 1 es muy r´ıgido pues está lleno con un tabique. Como resultado ese piso se deformar´ a muy poco. Para el resto de los pisos vale un an´ alisis similar. El edificio finalmente tendr´ a deformaciones como las mostradas en la figura 4.9.c. Debe destacarse que este sistema precisa diafragmas r´ıgidos y que el trabajo de éstos en la transmisión de esfuerzos entre los diferentes planos resistentes es crucial para el funcionamiento del sistema. Los diafragmas horizontales deben por lo tanto ser adecuadamente dimensionados para trabajar bajo cargas en su plano. La ventaja de este sistema es la posibilidad de obtener grandes luces libres (del orden de 7 a 20 m). Se han construido edificios de hasta 40 pisos con este tipo de estructuras. Sistemas de tubos estructurales: Este sistema, que utiliza el elemento de la figura 4.4 tiene la ventaja de poder disponer de columnas más pr´ oximas entre s´ı y tener mayor sección en vigas y columnas que en el caso de p´ orticos. La separaci´ on entre columnas es del orden de 1,5 a 3 m y la altura de vigas puede ser de 0,60 a 1,50 m. Entre las ventajas de este sistema puede mencionarse: • Presenta mejor distribuci´ on de la estructura, al ubicarla en el per´ımetro (mayor momento de inercia de la sección global); a la vez que confiere una buena resistencia y rigidez a la torsi´ on del edificio. • Las columnas y vigas interiores son solamente para resistir las cargas gravitacionales. Esto posibilita una tipificaci´ on de la construcci´ on.


65

(a)

(b) Figura 4.8: Sistema p´ ortico-tabique


66

(a)

Plano resistente k

Plano resistente k+1

(b)

Figura 4.9: Sistema de viga-pared escalonada

4.3. SOLICITACIONES EN LA ESTRUCTURA

67

Figura 4.10: Sistemas de tubos incluidos y tubos combinados • Puede darse mejor aprovechamiento al espacio interior. Con este sistema, y sus variantes: tubos incluidos (tube-in-tube), tubos combinados o tubos con diagonales en fachada (figura 4.10), se han construido los edificios m´ as altos en las décadas de 1970-1980: con alturas entre 50 y 100 pisos. Sistemas de tabiques centrales con vigas de transferencia a columnas: Los edificios más altos que se han proyectado, poseen una estructura que consiste en un gran tabique (usualmente un tubo estructural) ubicado en el centro de la planta del edificio, y una cantidad de megacolumnas ubicadas en la periferia. Hay una cantidad peque˜ na de grandes vigas de transferencia (usualmente 3 o 4 para un edificio de m´ as de 100 pisos) que conectan el tabique con las columnas. De esta forma éstas u ´ltimas colaboran con el tabique en la absorci´ on del momento flector global, y el tabique se encarga de resistir el esfuerzo de corte global. Con este sistema se han proyectado edificios del orden de 125 pisos.

4.3 4.3.1

Solicitaciones en la estructura Solicitaciones globales

Se ha indicado que un edificio bajo fuerzas de viento o sismo puede mirarse globalmente como un voladizo con cargas transversales. De las definiciones introducidas en la sección 4.2 puede desprenderse que la estructura principal del edificio ser´ a interpretada como un conjunto de planos resistentes, o elementos estructurales, cada uno de ellos trabajando como voladizos y conectados entre s´ı por losas o diafragmas en cada piso. Puede haber elementos estructurales coplanares, como en el caso de los pórticos P7 y P8 de la figura 4.5, o cada elemento pertenecer a un plano distinto. Por facilidad del dibujo, esta u ´ltima situaci´ on se ha representado en la figura 4.12. All´ı se indica también la nomenclatura a seguir. Los pisos se numeran desde abajo hacia arriba, N es la cantidad de pisos y n un piso genérico. La altura total desde la base ser´ a Hn para el piso n y se designará con hn a la altura relativa de ese piso. En la planta hay K elementos estructurales, siendo k un elemento genérico. Cada uno de estos elementos estructurales puede ser un pórtico, un tabique, porticos y tabiques, tabiques acoplados, etc.

68

CAPÍTULO 4. ESTRUCTURA DE EDIFICIOS EN ALTURA Tabique

Vigas de transferencia

Columnas exteriores

Tracción Compresión

Figura 4.11: Sistemas de tabiques con vigas de transferencia Un voladizo con carga distribuida uniformemente posee un diagrama de esfuerzos de corte lineal y uno de momentos flectores parab´ olico, ya que resultan de integrar una y dos veces, respectivamente, el diagrama de cargas. Si la carga var´ıa linealmente con la altura, el diagrama de corte es ahora de segundo grado mientras que el del momento flector es de tercer grado. A los efectos del análisis estructural las acciones sobre el edificio se considerar´ an concentradas a nivel de cada piso. En el caso de la acción del viento las presiones laterales multiplicadas por el ancho del edificio B dan un diagrama de cargas distribuidas q variables, en general, con la altura z. Las fuerzas concentradas en cada piso se obtienen multiplicando q por el a´rea tributaria de cada losa. Suponiendo que la carga es constante, la fuerza concentrada en el piso n será: Fn = q

hn + hn+1 2

(4.2)

En el caso de acciones s´ısmicas, los reglamentos proporcionan un estado de fuerzas estáticas equivalentes Fn en cada piso. En posesi´ on de este conjunto de fuerzas pueden calcularse fácilmente para cada piso los valores de esfuerzo cortante y momento flector globales sobre el edificio. Este cálculo no ofrece dificultad ya que el esquema es isostático: una viga en voladizo. As´ı puede escribirse: Qn =

N

Fi

(4.3)

Fi (Hi − Hn−i )

(4.4)

i=n

y Mn =

N i=n

o bien Mn =

N i=n

∆Mi =

N i=n

Qi hi

(4.5)


Figura 4.12: Estructura del edificio

69

70


Figura 4.13: Diagramas de solicitaciones para fuerzas de viento

Figura 4.14: Diagramas de solicitaciones para fuerzas de sismo siendo Fi , Qi y Mi los valores de fuerza concentrada, esfuerzo cortante y momento flector en el piso i. Si se considera la presión del viento constante con la altura, por el hecho de trabajar con fuerzas concentradas en cada piso los diagramas de esfuerzo de corte y momento flector son los indicados en la figura 4.13. Las fuerzas s´ısmicas, concentradas en cada piso, variables linealmente con la altura, conducen a diagramas como el de la figura 4.14.

4.3.2

Solicitaciones en los elementos estructurales:

Para dimensionar la estructura se precisa calcular las solicitaciones en cada uno de los elementos estructurales. En la sección anterior se deline´ o la determinaci´ on de solicitaciones para el edificio completo, visto como un voladizo y por tanto isost´ atico. El c´ alculo de las solicitaciones en cada elemento estructural enfrenta al ingeniero con un problema hiperest´ atico, generalmente con un n´ umero grande de inc´ ognitas hiperest´ aticas. Cabe aqu´ı recordar lo que se entiende por solicitaciones. Se trata de fuerzas internas o esfuerzos internos y como tales deben diferenciarse de las fuerzas externas o cargas, dado que


71

Figura 4.15: Fuerzas sobre los planos resistentes son de naturaleza diferente. Las cargas externas que act´ uan sobre una estructura pueden ser fuerzas concentradas, distribuidas (sobre l´ıneas o sobre superficies), momentos concentrados o distribuidos, etc. Las solicitaciones o esfuerzos internos son ejercidos por una parte de la estructura sobre otra y as´ı pueden ser representados por tensiones normales o tangenciales, o resultantes de dichas tensiones: esfuerzos normales, esfuerzos cortantes, momentos flectores o momentos torsores. No debe pues confundirse solicitaciones con cargas. Imaginando que las cargas exteriores se transmiten a los diafragmas o losas, y de éstas a cada elemento estructural, se puede identificar la fuerza que a nivel de cada piso ejerce la losa sobre cada elemento. Estas fuerzas externas a los elementos principales surjen ahora de las fuerzas de interacci´ on que las losa ejercen sobre ellos y están indicadas en la figura 4.15, design´ andose como Fkn , haciendo referencia con el primer ´ındice k al elemento estructural y con el segundo n al nivel. Puede verse en esa figura que para llegar a determinar las fuerzas sobre cada elemento es necesario calcular N xK fuerzas ing´ ognitas. Como es habitual en estructuras hiperestáticas para resolver el sistema de ecuaciones debe plantearse, además de las ecuaciones de equilibrio, cantidad suficiente de ecuaciones de compatibilidad de deformaciones. La fuerza externa total sobre el nivel n se obtiene sumando las fuerzas de cada elemento estructural en ese nivel: Fn =

K

Fkn

(4.6)

k=1

Esa ecuación representa las ecuaciones de equilibrio. Las relaciones fuerza-desplazamiento pueden escribirse de la siguiente forma. El desplazamiento del elemento k en el piso n es: δkn =

N

k fnj Fkj

n = 1, 2...N

(4.7)

j=1 k son coeficientes de flexibilidad que representan para el elemento k el desplazamiento donde los fnj en el nivel n cuando actua solamente una fuerza unitaria en el nivel j. Una relaci´ on inversa a esta puede escribirse:

Fkn =

N j=1

k Knj δkj

(4.8)


72

k se denominan coeficientes de rigidez. Estos pueden agruparse en una matriz Los coeficientes Knj de N filas por N columnas Kk . Los coeficientes de flexibilidad también pueden agruparse en una matriz f k de N xN . Estas dos matrices son cada una inversa de la otra

Kk = (f k )−1

(4.9)

Como el sistema es hiperestático es necesario escribir las condiciones de compatibilidad de deformaciones. Si las losas pueden ser consideradas diafragmas r´ıgidos en su plano, los desplazamientos horizontales de todos los elementos estructurales , en un nivel dado n, están vinculados entre s´ı por la condici´ on de movimiento r´ıgido del piso en su plano. Ese desplazamiento tiene a lo sumo 3 grados de libertad: dos componentes de traslaci´ on horizontal y una rotaci´ on en su plano. El caso más simple se da cuando no hay rotaci´ on de la planta (torsi´ on del edificio). Si los elementos están dispuestos seg´ un la direcci´ on en que se produce el movimiento, la condici´ on de compatibilidad a cumplir por el piso n será: δkn = δn

para k = 1, 2, ...K

(4.10)

donde δn es el corrimiento horizontal del piso n, com´ un a todos los elementos k. El sistema de ecuaciones a resolver está formado por las ecuaciones de equilibrio 4.6, de relación fuerza-desplazamiento 4.8 y de compatibilidad 4.10. Reemplazando 4.10 en 4.8 y a su vez ésta en 4.6 se obtiene: N

Fkn =

k Knj δj

j=1

Fn =

N K

k Knj δj

=

k=1 j=1

N

K

j=1

k=1

(4.11)

k Knj

δj =

N

Knj δj

(4.12)

j=1

Knj son los términos de la matriz de rigidez de la estructura y se obtienen por suma de las matrices respectivas de cada uno de los planos resistentes k: Knj =

K

k Knj

(4.13)

k=1

o bien en notaci´ on matricial K =

K

Kk

(4.14)

k=1

Entre las fuerzas totales del edificio Fn y los desplazamientos de cada losa δn puede escribirse la relación inversa a 4.12: δn =

N

fnj Fj

(4.15)

j=1

haciendo uso de la matriz de flexibilidad f de la estructura completa. Reemplazando 4.10 y 4.15 en 4.8 Fkn =

N r=1

k Knr

N

fnj Fj

(4.16)

j=1

Esta f´ ormula nos permite, una vez calculados los coeficientes de flexibilidad global y los coeficientes de rigidez de cada elemento estructural, evaluar las fuerzas Fkn en cada elemento y en


73

Figura 4.16: Solicitaciones en los planos resistentes cada piso, a partir de las fuerzas globales de piso Fn . Vale decir, con 4.16 puede distribuirse las fuerzas de un piso entre sus elementos estructurales. En notaci´ on matricial las ecuaciones 4.8, 4.12 y 4.15 se escriben: F k = K kδ k

(4.17)

F = Kδ

(4.18)

δ = fF

(4.19)

siendo Fk y δ k vectores que contienen fuerzas y desplazamientos, respectivamente, del plano k, y F y δ aquellos para la estructura global. La ecuaci´ on 4.16 de distribuciones de fuerzas se escribe: (4.20) F k = K kf F

4.3.3

Distribuci´ on del corte en cada piso

En lugar de intentar resolver directamente el sistema hiperestático, se seguirá a continuaci´ on un procedimiento que permite reducir la complejidad de los c´ alculos. Este procedimiento se basa en evaluar las solicitaciones globales en cada piso de edificio: Qn , Mn y Nn debido a cargas horizontales. Se supondr´ a que las losas del edificio son infinitamente r´ıgidas en su plano y de rigidez despreciable para acciones perpendiculares a ellas. Bajo estas hip´ otesis, el momento flector Mn produce solicitaciones normales y momentos flectores en cada uno de los elementos estructurales que se transmiten de los pisos superiores hacia los pisos inferiores en ese mismo elemento estructural. Algo similar sucede con los esfuerzos normales en los elementos, debidos on de deformaci´ on del diafragma en su a Nn . Pero el esfuerzo cortante Qn , sujeto a la limitaci´ plano, se transmite a cada elemento estructural en funci´ on de la rigidez del mismo. Es decir el esfuerzo de corte en una columna, por ejemplo, no se transmite de un piso a otro sino que en cada piso los esfuerzos de corte entran en una “bolsa com´ un” que será distribuido entre los diferentes planos estructurales de modo de mantener la compatibilidad de deformaciones (figura 4.16.


74

Figura 4.17: Definiciones de rigidez Concepto de rigidez Existen diversas definiciones de rigidez para un elemento estructural. En general tiene la forma de una acción (fuerza) que produce una desplazamiento unitario. A continuaci´ on se introducir´ an dos definiciones para un elemento en voladizo. Una de ellas est´ a dada por la expresi´ on R =

P δ

(4.21)

siendo P la fuerza transversal que act´ ua en el extremo del voladizo y δ el desplazamiento producido en la direcci´ on de la fuerza (figura 4.17.a). Otra es la rigidez de piso dada por: Rp =

Q ∆

(4.22)

con el mismo sentido que la definición anterior, siendo ahora Q la fuerza de corte en un piso y ∆ el desplazamiento relativo del mismo (figura 4.17.b). En ambos casos la rigidez es un escalar con unidades de fuerza dividida por longitud (kgf/cm, N/m, t/cm, etc.). En la sección anterior se introdujo el concepto de matriz de rigidez, donde cada término de la matriz representa una fuerza seg´ un un grado de libertad determinado que corresponde a un desplazamiento unitario en otro grado de libertad. En la figura 4.18 se dan dos ejemplos de rigideces para: una columna en voladizo y un p´ ortico simple con viga infinitamente r´ıgida, ambos ejemplos con columnas que se deforman solamente por flexi´ on. Como se verá más adelante, para distribuir las solicitaciones entre los elementos resistentes se precisan valores relativos de rigidez. Por tanto es habitual calcular rigideces relativas y en ese caso alg´ un factor com´ un, tal como 12EIr /h3 , puede omitirse. Ir en esta expresión es un momento de inercia de referencia. Ejemplos: 1) Para una columna simple (figura 4.19.a) de hormig´ on armado (E = 210000 kg/cm2 ) de altura h = 4, 00 m, y sección cuadrada de 50 cm de lado, la rigidez vale R=

3EI = 5128, 59 Kg/cm h3


Figura 4.18: Rigidez de una columna deformada por flexi´ on y de un p´ ortico simple

75

76


Figura 4.19: Ejemplos de rigidez de columnas de hormig´ on armado y muros de mamposter´ıa


77

2) Un p´ ortico simple (figura 4.19.b) de hormig´ on armado, con los mismos valores de E y h que el ejemplo anterior, con luz entre columnas l = 6, 00 m, y con secciones de 50x50 cm para las columnas y de 30x60 cm para las vigas, tiene una rigidez que puede evaluarse con la expresión: 0, 5 + 3r 12EI1 R= 2 + 3r h3 Esta expresión se discutirá más adelante al tratar las rigideces de p´ orticos,pero aqu´ı significan: r=

kc = 1, 03 kv

Ic h Iv kv = l kc =

de donde R = 14.200 kg/cm 3) Si el mismo pórtico anterior se rellena con un muro de mamposter´ıa de 15 cm de espesor, considerando las deformaciones por flexi´ on y corte, resulta (figura 4.19.c) R = 1.340.000 kg/cm .

Planta con elementos resistentes seg´ un dos planos ortogonales Se considera aqu´ı el caso de una planta de un edificio para la cual los elementos resistentes están orientados seg´ un dos direcciones principales de inercia (direcciones ortogonales) (figura 4.20). El an´ alisis es válido para otras situaciones m´ as generales, pero con este caso se podrá ejemplificar más sencillamente los conceptos. a) Centro de rigidez Se denomina con Rxi la rigidez de piso de un elemento i, seg´ un la direcci´ on x, y con Ryj la rigidez de un elemento j seg´ un la direcci´ on y. Un elemento puede tener rigideces en ambas direcciones, como un tabique o caja de circulaciones verticales, o bien una columna, pero también puede ser que alguna de las rigideces Rx o Ry sea despreciable, como es el caso de la rigidez de tabiques o p´ orticos planos, en direcci´ on perpendicular a su plano. Considérese un sistema de referencias (x , y ), la ubicaci´ on del elemento i puede expresarse por sus coordenadas (xi , yi ). La rigidez total de la planta en direcci´ on x puede obtenerse sumando las contribuciones de cada elemento (esto puede corroborarse por lo indicado en la subsección siguiente, o en la figura 4.24-a) : RxT = Rxi (4.23) y an´ alogamente para la direcci´ on y:

Ry T =

Ryj

(4.24)

calculando los momentos estáticos, de primer orden, de las rigideces pueden determinarse las coordenadas de Centro de Rigidez (CR) de la planta:

xR

=

Ryj xj Ry T

(4.25)


78

Figura 4.20: Planta con elementos resistentes seg´ un dos direcciones ortogonales yR

=

Rxi yi Rx T

(4.26)

alogamente a lo que sucede Y en ese punto ubicar un sistema de ejes (x, y) paralelos a x e y . An´ en la estática de superficies, puede calcularse “momento de inercia” de rigideces:

Jx = Jy =

Rxi yi2 = Ryj x2j =

2 Rxi yi2 − Rx T yR

(4.27)

2 Ryj x2 j − Ry T xR

(4.28)

y una suerte de “momento polar” JR = Jx + Jy

(4.29)

El c´ alculo manual de estas cantidades puede organizarse en una tabla como la siguiente: i 1 2 ...

Rxi

Rx T

yi

Rxi yi

Rxi yi

yi2

Rxi yi2

Rxi yi2

y otra an´ aloga para las rigideces Ryj . b) Movimiento plano: Si el edificio está sometido a la acción del viento la resultante de fuerzas externas estar´ a centrada en la pared exterior del mismo. Si est´ a sometido a la acción del sismo, la resultante estará en el centro de masas. En ambos casos si la resultante de cargas externas pasa por el centro de rigidez de la planta se producir´ a una traslaci´ on de la misma seg´ un la direcci´ on de las fuerzas externas. Si la resultante de cargas no pasa por el centro de rigidez se producir´ a una traslaci´ on y una rotaci´ on de la planta.


79

Figura 4.21: Ubicaci´ on de los elementos estructurales en relación al centro de rigidez En el caso más general las fuerzas horizontales provocan en esa planta dos componentes de esfuerzo de corte y un momento torsor (figura 4.22). Sean δx y δy los corrimientos de la planta seg´ un x e y, respectivamente, y θ la rotaci´ on de la misma. Analizando el movimiento de la planta por separado para cada una de esas componentes, se puede escribir: 1o ) Corrimiento δy: En un elemento orientado seg´ un la direcci´ on y ( el elemento i de la figura 4.21) se produce δy un esfuerzo de corte Qi proporcional a la rigidez de ese elemento Ryi δ

Qi y = δy Ryi

(4.30)

mientras que en un elemento seg´ un x no se producen esfuerzos: δ

Qjy = 0

(4.31)

La ecuación de equilibrio de fuerzas seg´ un y establece que el corte total debe es igual a la suma de los cortes en cada elemento, y de acuerdo a las expresiones arriba: Qy = de donde

Qi = δy

Qy δy = Ryi

Ryi

(4.32)

(4.33)

δ

y reemplazando en la expresi´ on para Qi y : Qy δ Qi y = Ryi Ryi 2o ) Corrimiento δx:

(4.34)


80

Figura 4.22: Movimiento plano de la planta En un elemento orientado seg´ un la direcci´ on x ( el elemento j de la figura 4.21) se produce δx un esfuerzo de corte Qj proporcional a la rigidez de ese elemento Rxj Qδjx = δx Rxj

(4.35)

mientras que en un elemento seg´ un y no se producen esfuerzos: Qδi x = 0 El corte total seg´ un x será:

Qx = de donde

(4.36)

Qj = δx

Rxj

Qx δx = Rxj

(4.37)

(4.38)

y reemplazando en la expresi´ on para Qδjx : Qx Qδjx = Rxj Rxj

(4.39)

Qθj = θ yj Rxj

(4.40)

Qθi = θ xi Ryi

(4.41)

on θ: 3o ) Rotaci´ En el elemento j se tiene: y en el elemento i El momento torsor en la planta es: MT =

Qθi xi +

Qθj yj

(4.42)

´ PRACTICA ´ 4.4. DETERMINACION DE RIGIDEZ 

MT = θ 

Ryi x2i

+

i

81 

Rxj yj2 

= θJR

(4.43)

j

A esta expresión habr´ıa que sumar los momentos torsores sobre cada elemento, o sea los momentos torsores en cada columna o tabique, pero estos pueden despreciarse frente a los términos de rigidez por la distancia al centro de rigidez, que figuran en la expresi´ on. De all´ı : θ =

MT JR

(4.44)

y reemplazando este valor en las f´ ormulas de Qi y Qj : Qθi =

MT xi Ryi JR

(4.45)

Qθj =

MT yj Rxj JR

(4.46)

Resumiendo, si act´ ua una fuerza seg´ un el eje y que produce un esfuerzo de corte Qy con una excentricidad e con respecto al centro de rigidez, se tendrá como acciones globales en el piso:  

Qy M = Qy e  T Qx = 0 ormulas arriba: as´ı siendo, δx = 0 y de las f´ δ

(4.47)

δ

(4.48)

Qi = Qi y + Qθi Qj = Qjy + Qθj o bien reemplazando sus valores:

Qy MT Ryi + Ryi xi (4.49) RT JR MT Qj = Rxj yj (4.50) JR Estas dos f´ ormulas permiten calcular los cortes en cada elemento i o j de la planta, para una fuerza de corte Qy actuando excéntricamente. Qi =

4.4

Determinaci´ on pr´ actica de la rigidez para los diferentes elementos estructurales

En esta sección se proporcionan algunas f´ ormulas pr´ acticas para estimar la rigidez de piso de diferentes elementos estructurales, de modo de poder aplicar las expresiones de la sección anterior para distribuir las fuerzas de corte del piso.

4.4.1

P´ orticos

Para estimar la rigidez de piso de un p´ ortico, se comenzará haciendo una estimaci´ on de la rigidez de una columna de ese piso.

´ PRACTICA ´ 4.4. DETERMINACION DE RIGIDEZ

82 Rigidez de una columna

Al respecto se recordará que la rigidez Rc de una columna empotrada en sus dos extremidades (entiéndase con esto: impedimento de rotación en ambos extremos, pero con posibilidad de desplazamiento transversal) es: 12EIc P Rc = = (4.51) δ h3 y la de una columna empotrada en su base y libre en su extremo superior: Rc =

3EIc h3

(4.52)

siendo en estas expresiones P y δ respectivamente la fuerza transversal aplicada en su extremo superior y el desplazamiento producido en el mismo; E el módulo de elasticidad; Ic el momento de inercia de la sección transversal y h la altura de la columna. Ahora bien la situaci´ on de una columna del p´ ortico (figura 4.23-a) es intermedia a estos dos casos. Hay un empotramiento elástico en los extremos que depende de las rigideces de las columnas superior e inferior, y de las vigas que concurren a los extremos de la columna considerada. Hay diversos métodos para estimar ese grado de empotramiento y evaluar un coeficiente numérico que reemplace a los coeficientes 12 o 3 de las fórmulas anteriores. A continuaci´ on se mencionan algunos de estos métodos. 1) La forma m´ as simple es considerar Rc relativas, puede escribirse:

∝ Ic y, como en general interesan las rigideces Rc = Ic

(4.53)

En efecto, si se considera que todas las columnas de un piso tienen la misma altura, son del mismo material y poseeen el mismo grado de empotramiento, la rigidez dependerá solamente de a diferente para cada columna. Un Ic . Salvo casos muy puntuales, el grado de empotramiento ser´ forma primaria de tener en cuenta esto es disminuir la rigidez de columnas extremas (figura 4.23b) y para ellas calcular: Rc = 0, 80Ic (4.54) Este procedimiento es admitido por algunos reglamentos siempre que se verifiquen ciertas hip´ otesis, como la de igual altura para todas las columnas del piso y la condici´ on para las rigideces relativas de vigas: Iv /l > 15 Ic /h (ref. Fuentes). 2) Un método muy utilizado es el desarrollado por K. Muto (ref. Muto). La rigidez de piso de la columna se escribe como la de la columna empotrada en sus extremos, pero afectada por un coeficiente numérico a < 1: Rc = a

12EIc 12E = akc 2 3 h h

(4.55)

donde kc es un factor de rigidez de la columna calculado como kc =

Ic h

(4.56)

El coeficiente a depende del grado de empotramiento y se calcula con las siguientes expresiones en funci´ on de la relaci´ on de rigideces r:


Figura 4.23: Coeficientes de rigidez del método de Muto

83


84

a) caso general (figura 4.23-a o 4.23-b): r 2+r

(4.57)

k1 + k2 + k3 + k4 2kc

(4.58)

a = r =

b) columna de base empotrada (figura 4.23-c): a =

0, 5 + r 2+r

(4.59)

r =

k1 + k2 kc

(4.60)

c) columna de base articulada (figura 4.23-d): a =

0, 5 r 1 + 2r

(4.61)

r =

k1 + k2 kc

(4.62)

es el factor de rigidez de la viga 1, y analogamente para las restantes vigas. All´ı k1 = Ilv1 1 Las fórmulas de Muto han sido derivadas para p´ orticos regulares bajo cargas uniformes, y donde los puntos de inflexi´ on se sit´ uan a mitad de la altura de columnas o a mitad de las luces de las vigas. En la medida en que la estructura se aproxime a estas hip´ otesis serán de aplicaci´ on las f´ ormulas. Observaci´ on Si el módulo E es com´ un para todos los elementos resistentes, tanto éste como el coeficiente 12 pueden omitirse en la f´ ormula ya que, como se ha dicho, interesar´ a un valor relativo de rigideces. Asimismo puede introducirse alg´ un factor numérico, potencia de 10, que facilite los cálculos, y que depender´ a de las unidades que se usen. En ese caso podr´ıa re-escribirse la rigidez de la columna como kc (4.63) Rc = a 2 fR h un a todas las columnas. En ese caso no es preciso calsiendo fR el factor que será com´ on de esfuerzos. Solamente se precisar´ıa si se desea calcular el cular fR para la distribuci´ desplazamiento transversal.

3) Heidebrecht propuso calcular las rigideces individuales de columnas con la expresi´ on: Rc =

12EIc h2 1 +

1 2Ic I I h( lv1 + lv2 ) 1 2

(4.64)

Esta f´ ormula se basa en suponer que los puntos de inflexi´ on se sit´ uan a mitad de cada viga o columna (ref. Heidebrecht). As´ı como se han mencionado estos tres procedimientos, existen otros, que no se discutirán aqu´ı pero que pueden encontrarse en la literatura.


85

Figura 4.24: Rigidez de columnas conectadas en paralelo y en serie Rigidez del piso Una vez calculadas la rigideces de piso de las columnas, la rigidez de piso de toda la planta para el pórtico puede obtenerse por suma de los valores de cada columna. En efecto, considérese dos o más columnas impedidas de girar en las extremidades, que están conectadas en paralelo (figura 4.24-a). Un corrimiento lateral unitario del conjunto (vigas axialmente r´ıgidas) produce en cada columna una fuerza de corte igual a su rigidez, y un corte total igual a la suma de ellas. Luego la rigidez del conjunto es la suma de la rigideces individuales. Si las columnas están conectadas en serie (figura 4.24-b), para una fuerza lateral en el extremo se sumar´ an en este caso los desplazamientos de cada columna. Inversamente al caso anterior, para columnas en serie se suman las flexibilidades (flexibilidad = inversa de la rigidez) de cada columna. Por lo dicho anteriormente, la rigidez de piso del p´ ortico puede calcularse sumando las rigideces de cada columna en ese piso. Esto mismo se realizará cuando coexistan p´ orticos y tabiques en la misma planta, o bien tabiques solamente. La suma de flexibilidades, indicada en el caso de columnas en serie, puede utilizarse para estimar la rigidez del p´ ortico completo para una carga concentrada en su extremo superior.

4.4.2

Tabiques

Deformaci´ on total del tabique cargado en su punta El corrimiento lateral de un tabique resultar´ a de sus deformaciones por flexión y por corte, y del corrimiento y rotaci´ on de la base (figura 4.25). Los desplazamientos debido a cada una de estas causas se estudiará por separado y luego se sumar´ an para obtener el desplazamiento total. Se despreciará aqu´ı la parte del desplazamiento debido al corrimiento horizontal de la base. FLEXION: El corrimiento lateral de una viga cargada en su extremo es: δF =

P h3 3Em Im

(4.65)


86

Figura 4.25: Componentes del desplazamiento lateral de un tabique siendo h la altura del tabique, Im el momento de inercia de la sección del tabique y Em su módulo de elasticidad. CORTE: El corrimiento debido al corte es: δQ = κ

Ph Gm Am

(4.66)

donde Gm es el módulo de elasticidad transversal, Am el área de la sección del tabique, y κ un coeficiente de forma de la sección. Para una sección rectangular κ = 1, 2. Para una secci´ on doble-T o cajón, puede tomarse κ = 1 si se considera como Am el área del alma, exclusivamente. Para una sección anular, κ = 1, 2.

ROTACION DE LA BASE: Una rotaci´ on de la base produce un giro como r´ıgido de todo el tabique y puede dar lugar a desplazamientos importantes en el mismo. Puede evaluarse como: δ φ = φ(h + hF )

(4.67)

siendo φ la rotaci´ on de la base, h la altura del tabique y hF la altura de la fundaci´ on (figura 4.26). La relaci´ on entre el momento en la fundaci´ on MF y la rotaci´ on puede escribirse φ =

MF cφ IF

(4.68)

siendo IF el momento de inercia de la sección de apoyo de la fundaci´ on con respecto a su eje de rotaci´ on y cφ el coeficiente de Winckler, que mide la deformaci´ on del suelo. Dado que el momento vale (4.69) MF = P (h + hF )


87

Figura 4.26: Rotaci´ on de la base puede escribirse: δφ =

P (h + hF )2 cφ IF

(4.70)

Los coeficientes cφ pueden tomarse (conservativamente a los efectos de un dise˜ no preliminar) de los siguientes valores (ref. Baikov): suelos blandos medios duros muy duros

2

cφ [ kg/cm cm ] 1a3 3a7 7 a 15 15 a 30

Los valores de la izquierda corresponden al caso de rotaci´ on alrededor del eje que corresponde a la mayor inercia de la sección, y los de la derecha a la rotaci´ on alrededor del eje de menor inercia.

El desplazamiento del tabique resulta de la suma de estos tres efectos: δ = δF + δQ + δφ

(4.71)

κh (h + hF )2 h3 + + δ = P 3Em Im Gm Am cφ IF

(4.72)

y la rigidez del tabique R =

P = δ

1 h3

3Em Im

+

κh Gm Am

+

(h+hF )2 cφ IF

(4.73)


88 Rigidez de piso del tabique

Para evaluar el desplazamiento relativo de piso del tabique deben considerarse los tres efectos ya descriptos: flexión, corte y rotaci´ on de la base. El desplazamiento horizontal de la fundaci´ on, que ha sido despreciado en el punto anterior, no tiene efecto en este caso pues es el mismo para todos los pisos. FLEXION: El desplazamiento relativo debido a flexi´ on es ahora más dificil de evaluar pues tiene una gran importancia la rotaci´ on acumulada hasta esa planta, que a su vez depende de la flexi´ on en todos los pisos inferiores (figura 4.27). El desplazamiento relativo por flexi´ on es para el piso n: ∆Fn = d1 + d2 = θn hn +

hn

M dz EI

(4.74)

El primer término (d1 ) se debe a la rotación θn acumulada hasta el piso inferior y es una rotaci´ on, como r´ıgido, del piso n. El segundo término (d2 ) es el de deformación por la flexi´ on del piso n. Una simplificaci´ on, debida a Muto, es reemplazar el diagrama de momentos, lineal por trozos (figura 4.27-a), por uno escalonado (figura 4.27-b). Con esta hip´ otesis de momento flector ¯ on constante en cada piso, la curvatura en un piso i será también constante: EMi Iii . La rotaci´ ¯

i hi relativa de ese piso se obtiene integrando la curvatura, lo que da: θi = M Ei Ii . Sumando las rotaciones relativas desde la base hasta el piso n − 1 se tiene la rotación acumulada hasta la base del piso n: n−1 ¯ i hi M (4.75) θn = Ei Ii i=1

La deformaci´ on propia por flexi´ on en el piso n se obtendr´ a integrando dos veces la curvatura ¯n M (constante) en ese piso En In , es decir: d2 =

¯ n h2n M 2En In

(4.76)

Sustituyente 4.75 y 4.76 en 4.74: ∆Fn

=

n−1 ¯ i hi M i=1

Ei Ii

hn +

¯ n h2n M 2En In

(4.77)

CORTE: El corrimiento relativo del piso n debido al corte es: ∆Q n = κ

Qn hn Gn An

(4.78)

ROTACION DE LA BASE: La rotaci´ on de la base produce el desplazamiento relativo: ∆φn = φ hn =

MF hn cφ IF

(4.79)

Como antes el desplazamiento del tabique resulta de la suma de esos tres efectos: φ ∆n = ∆Fn + ∆Q n + ∆n

(4.80)


Figura 4.27: Corrimiento relativo de piso debido a la flexi´ on del tabique

89


90

∆n =

n−1 Mi hi i=1

En In

Mn h2n κQn hn MF hn hn + + + 2En In Gn An cφ IF

y la rigidez del tabique

Qn ∆n

Rp n =

(4.81)

(4.82)

En las expresiones arriba, las variables con sub´ındice n se refieren a los valores para el piso n y el significado de los s´ımbolos es el mismo que en la subsección anterior. El c´ alculo de la rigidez de piso Rp n depende de Qn , Mn , Mi ( para i = 1, n − 1) y MF . Es decir depende de la parte del corte total que tomar´ a el tabique. Ahora bien, esta rigidez se precisa para distribuir el corte y por lo tanto esta dependencia es no lineal. Se puede hacer un proceso iterativo: con una estimación inicial de los Rpn , distribuir los cortes, y con éstos calcular alculo manual, éste puede organizarse los Rpn , para luego recalcular los cortes. Si se realiza un c´ en una planilla como la mostrada en la figura 4.28.

4.4.3

Tabiques con peque˜ nas aberturas

En el caso en que los tabiques tengan aberturas (ventanas,etc.), siendo l y hn las dimensiones del tabique, y Ao el área de la abertura, puede definirse un par´ ametro

p =

Ao l hn

(4.83)

si p < 0, 4 el tabique puede considerarse de abertura peque˜ na. En este caso la deformación por flexi´ on puede calcularse como en el caso de tabiques sin aberturas, pero con un momento de inercia correspondiente a la sección neta del tabique (descontada la abertura). La deformaci´ on por corte se calcula como la del tabique sin aberturas, pero con un a´rea A = Atotal (1 − 1, 25 p)

(4.84)

siendo p el par´ ametro definido m´ as arriba. Esta f´ ormula tiene sustento emp´ırico (ref Muto). Finalmente, el desplazamiento por rotaci´ on de la base no sufre ninguna modificaci´ on respecto al caso del tabique sin aberturas.

4.4.4

Tabiques con grandes aberturas. Tabiques acoplados

Se considera el tabique como de gran abertura si el par´ ametro p definido en la secci´ on anterior es p > 0, 4. Entran aqu´ı también los tabiques acoplados, es decir los tabiques unidos por medio de vigas o dinteles. En este caso la estructura puede tratarse como un p´ ortico con columnas o vigas de gran espesor (figura 4.29). Las columnas y vigas se sit´ uan en los ejes de los tabiques y vigas, pero es necesario considerar la rigidez de los nudos, as´ı como también las deformaciones por corte de los elementos. La zona r´ıgida se considera desde el nodo hasta una distancia x del borde de viga o columna. A partir de estudios con elementos finitos se ha determinado un valor de x = d/4 (figura 4.29) para la viga y an´ alogamente para la columna. Para evaluar la rigidez de piso de tabiques acoplados pueden utilizarse las f´ ormulas de Muto para p´ orticos, modificando los coeficientes de rigidez kc y kv para tener en cuenta las zonas r´ıgidas de nudos y la deformaci´ on debida al corte de columnas y vigas. Para la columna se calcula c + c kce = kc (4.85) 2


91

Observaciones: Col(1) N´ umero del piso Col(2) Corte en este tabique, en cada piso (estimación inicial) Col(3) Incremento de momento: ∆Mn = Qn hn Col(4) Momento flector en la base del piso: Mn = Mn+1 + ∆Mn (*) ¯ n = 2 (Mn +Mn+1 ) Col(5) Doble del momento promedio sobre el piso: 2M Col(6) Doble de la rotaci´ on relativa de piso: 2θn = Col(7)

4 F hn ∆ n

=4

n−1 M ¯ i hi ¯ n hn M i=1 Ei Ii + 2 En In

Col(8) ∆Fn : multiplica la col. (7) por Qn hn Col(9) ∆Q n = κ En In

Col(10) ∆φn = φhn =

MF cΦ If

¯ n hn 2M En In

2

(*)

(*) hn 4

hn

φ Col(11) Desplazamiento relativo del piso, total: ∆n = ∆Fn + ∆Q n + ∆n

Col(12) Rigidez de piso del tabique: Rpn =

Qn ∆n

(*) (Las flechas indican los términos que se suman) Figura 4.28: Planilla para organizar el c´ alculo iterativo de la rigidez de piso del tabique

92


Figura 4.29: Tabiques con grandes aberturas


93

Figura 4.30: P´ ortico arriostrado con diagonales y para las vigas kve = ckv

(4.86)

Los coeficientes c y c dependen de las longitudes de las zonas r´ıgidas en ambos extremos, y de la relación dl . K. Muto (ref. Muto) presenta gr´ aficos para el cálculo de estos coeficientes. En una aproximaci´ on grosera, si se ignora la deformación por corte, y se supone que las columnas no sufren rotaci´ on en sus extremos, la rigideces de la columna con y sin zonas r´ıgidas 3 estarán en la relaci´ on hh3 donde h es la longitud de la zona deformable de la columna y h la longitud total entre nodos. Y esa misma proporci´ on corresponder´ a al coeficiente de la fórmula 4.85. La rigidez de columna se calcula como en el caso de columnas estándar: Rc = akce

12E h2

(4.87)

y a con las mismas fórmulas inicadas en esa oportunidad, que ahora dependen de kce y kve , en lugar de kc y kv .

4.4.5

P´ orticos arriostrados

Una forma de rigidizar p´ orticos es utilizar diagonales (figura 4.30). Este procedimiento es habitual en estructuras met´ alicas aunque también se ha utilizado en hormig´ on armado. on en la diagonal S de la Una fuerza cortante Qn en el piso produce una fuerza de tracci´ figura 4.30 (o de compresi´ on si la diagonal est´ a dispuesta en sentido inverso) S=

Qn cos α

(4.88)

y un corrimiento relativo del piso ∆n =

Qn Ld cos2 αEd Ad

(4.89)

94


y la rigidez de piso Rpn =

Ed Ad cos2 α Ld

(4.90)

Ed , Ad y Ld son el módulo de elasticidad, el a´rea de la sección transversal y la longitud de la diagonal, respectivamente. Si hay diagonales cruzadas, la rigidez es el doble. Un p´ ortico arriostrado es del orden de 10 veces m´ as r´ıgido que un p´ ortico no arriostrado que resista la misma fuerza de corte.

Apuntes de Hº II

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