Perfil elaborado por estudiantes del la UNPRG para el curso de caminos I
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Descripción: Clases de pólizas y sus componentes
clases de macro recopilación
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En este documento se describen los diferentes tipos de control interno además de su definición.Descripción completa
Clasifica las dominantes según su función, según sus extensiones y según el lugar dónde resuelvenDescripción completa
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clases de sistemasDescripción completa
Descripción: clases de geodesia satelital
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IE JUAN AURICH PASTOR”
II TRIM – Algebra –3RO. AÑO
DIVISIÒN ALGEBRAICA 1 MÉTODO DE DE RU RUFFINI Es un caso particular del Método de Horner. Se emplea para dividir un polinomio entre otro de primer grado.
Ejemplos: De polinomios de primer grado: 2x – 4 ; 7x + 5 ; x – 4 ; 3x + 5 ;
x+1
* ESQUEMA Coeficientes del Dividendo Variable del Divisor Despejada
El coeficiente principal es la parte constante del término de mayor grado.
+
•
Ejemplo:
2
4
P(x) = 2x – 5x + 3x – 2 + Resto
El Coeficiente Principal del Divisor
3
5x 4
3x + 5x 5x
Siempre un Espacio
3
+ 2x2 –
5x – 2 4 Donde : 3 x . Es el término Coeficiente Principal de mayor grado
Ejemplos :
Dividir: Paso aso
12x2 5x 4x 1
1 :
3
Igual ualamos amos el divi diviso sorr a cero cero.. 4x – 1 = 0
Paso aso
2 :
Despe spejamos amos la vari variab able le.. 4x – 1 = 0 1
EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN I.
1.
Efectuar las siguientes divisiones por el Método de Ruffini e indicar por respuesta el cociente:
3x2 3x
10x 5x
6x 4
12 2
a) 5 d) -3 b) x – 1 e) 2x + 1
7x
15x 5
Indicar el término independiente del cociente.
2x2 x 6 2x 1
a) x + 1 d) x + 3
2.
8.
c) x - 2 9.
12x5
b) -2 e) 1 24x 8x 4 2 3x
1
a) 8 d) -4 b) x + 3 e) x + 7
b) 4 e) -1
10 x 2 11 x 5x 2
10. En la siguiente división:
4.
4x
5.
9
b) 4x + 3 e) -4x + 4
19x x 3
c) 3x + 4
c) -7x + 2
x
x
x
x
5
1
Indicar la suma de coeficientes del cociente. a) 0 d) 3
7.
2x 4
b) 4 e) 2 3x x
2x3
c) -2
46
6x2
c) 3
4x 9x 3x 2
a) 0 d) 1
b) 3 e) -1
m
el resto es -4
5
1
b) 3 e) 4
c) 1
c) -10
14 x2 29x 7x 3
b
es
exacta. Hallar: “b” b) -35 e) -7
13. La siguiente división:
c) -15
6x 4
2x3 b 3x 1
15x
es
exacta. Hallar: “b” a) -5 d) -3
b) 5 e) -4
14. La siguiente división:
Dar por respuesta el mayor coeficiente del cociente. a) 2 d) -2
En la división:
a) 7 d) 14
II. Efectuar las siguientes divisiones por el método de Ruffini: 6.
Hallar: b
b) -5 e) -3
12. La siguiente división:
6
b) 2x + 7 e) 7x – 2
2
2
Hallar: m
a) -7x – 2 d) 2x – 7
3
a) 7 d) 5
c) 3x + 2
11.
a) 4x – 3 d) 3x – 4 7 x2
b
Se obtiene por resto: 3 b) 3x – 2 e) 2x + 5
9x x 3
3x x
1
a) 2x – 3 d) 2x + 3
c) 3
c) 2x - 1 x2
2
18
Señalar el menor coeficiente del cociente.
5
a) x – 2 d) 2x + 1
3.
c) -4
c) 3
10x3
2x2 5x
bx
2
1
tiene residuo 3. Hallar la suma de coeficientes del cociente. a) 3 d) 0
b) 2 e) 4
c) 1
Prof. JAIME PERLECHE PARRAGUEZ
IE JUAN AURICH PASTOR”
II TRIM – Algebra –3RO. AÑO
TEOREMA TEOREMADEL DELRESTO RESTO Teorema que permite hallar el resto en una división sin efectuarla. Es decir, en forma directa. Para aplicar este teorema es necesario que el polinomio divisor sea de primer grado. ( Puedes comprobar dividiendo por el Método de Horner o de Ruffini cada uno de los ejemplos y encontraras las mismas respuestas. )
NOTA: Para aplicar el Teorema del Resto no es necesario que el polinomio dividiendo sea completo y ordenado.
Paso 3 : El valor de la variable despejada se reemplaza en el dividendo: Como: D(x) = 2x 2 + x + 4
⇒
1
Paso 2 : 2x - 1 = 0
Paso 2 : Se despeja la variable: x–1=0
5
Paso 1 : 2x - 1 = 0
Paso 1 : El divisor se iguala a cero: x–1=0
⇒
6x2
13x
Hallar el resto en la siguiente división: 2x2
Halla el residuo en:
Resto = D(1) = 2(1) 2 + (1) + 4
⇒
Resto = 2 . 1 + 1 + 4 Resto = R(x) = 7
2x = 1
⇒
R(x) =
13 2
1 6( ) 4
13
6
2
4
R(x) =
x=
5
5
R(x) = 8 – 5 = 3
Ejemplo 2: Ψ
Hallar el resto en la siguiente división: 3x2
8x
Ejemplo 4:
7
x 1
Ψ
Paso 1 : El divisor se iguala a cero: x+1=0 Paso 2 : Se despeja la variable: x+1=0
⇒
Halla el residuo en: 3x2 3x
x
7
2
Paso 1 : 3x - 2 = 0
x = -1
Paso 3 : Reemplazamos en el dividendo: 2
Como: D(x) = 3x + 8x + 7 2
⇒
Resto = D(-1) = 3(-1) + 8(-1) + 7
⇒
Resto = D(-1) = 3 . 1 – 8 + 7
Resto = R(x) = 2
Paso 2 : x
2 3
2 2 Paso 3 : R(x) = 3( ) 3 ⇒
4 R(x) = 3( ) 9
R(x) =
4
2
3
3
2
7
3 2 3 7
7
=
=
R(x) = 9
47
Prof. JAIME PERLECHE PARRAGUEZ
IE JUAN AURICH PASTOR”
II TRIM – Algebra –3RO. AÑO
¡Ahora tu!
4)
4x2 4x
9
3x 1
En cada caso hallar el residuo: Paso 1 : 3x - 2 = 2 1) 5x
16x x 3
4
Paso 2 :
x=
Paso 1 : 3x - 2 = 0 Paso 2 :
x= Paso 3 : R(x) = 4(
Paso 3 : R(x) = 5( ⇒
2
) - 16(
10 x 2
R(x) =
11 x x 2
5) Hallar el resto en la siguiente división:
15
Paso 1 : 3x - 2 = 0
3)
2x
3x2 3x
4x2 x
3x
4
2
x=
Paso 3 : R(x) = 10( ⇒
)
R(x) =
2x3
Paso 2 :
+ 3(
)+4 ⇒
2)
)2 +
) 2 + 11(
)-
R(x) =
8
1
Paso 1 : 3x - 2 = Paso 2 :
x=
Paso 3 : R(x) = 2(
⇒
48
) + 3(
)2 –
R(x) =
Prof. JAIME PERLECHE PARRAGUEZ
EJERCICIOS EJERCICIOS DE DE APLICACIÓN APLICACIÓN I.
Utilizando el Teorema del Resto, en cada suma de las siguientes divisiones hallar el residuo respectivo: x2
1)
x
5
a) 5 d) 4
b) -1 e) 5
c) 7
Si el resto que se obtiene es 7. b) 7 e) 1
x 1 x 2
b) -1 e) 3
2x3
2x2
3x x
c) 5
3x
c) 3
b) 8 e) 3
x
x
c) 3 e) 4
a) 4 d) 3
x2 x
23 es 27. b
b) 2 e) 1
c) 5
13) Hallar el resto en la siguiente división: b) 5 e) -6
x
b) 2
c) -1
2x 4 x 2
3x
a) 1 d) -1
división:
a) 4 d) -5 6)
4
12) Hallar el valor de “b” si el resto de la siguiente
a) 9 d) 11
3
2x2 x 1
3x 11 x 1
4
c) -4
Si el resto es 3. b) 2 e) 9
x2
x2
tiene resto 5
11) Hallar el valor de “b” en la siguiente división:
2
1
a) 1 d) 5
5)
3
b) -1 e) -7
bx3
4)
3x2 bx x 2
10) La siguiente división:
a) -2 d) -5
a) -4 d) 2 3)
c) 6
Hallar: “b”
2
x
2x2 x b x 1
a) 5 d) 4
x 1
2)
9)Hallar “b” en la siguiente división:
4 x5
c) 6
x
a) 3 d) 0
8
8x4
3x
1
2
b) 2 e) 1
c) 7
1
14) Calcular el resto de: a) -1 d) 1 7)
b) -3 e) 3
2x2 2x
8)
3x
3x
a) 0 d) 4
(x
a) 1 d) 2003
1
b) 2 e) 0
1)2004
c) 3
1)2003
(2x x
x
a) 1 d) -1 2
c) 7
1
b) 2
c) 0 e) -1
15) Calcular el resto de: x4 x2
x2 1
2x 1
a) 0 d) 3 b) -1 e) 1
c) 3
b) 2 e) 4
c) 1
x
1
8) Hallar la suma de coeficientes del cociente de dividir:
TAREA TAREA DOMICILIARIA DOMICILIARIA 1)
2x
5
3x
4
3
Al efectuar la siguiente división: 4x 4
13x3 4x2
5x
25x
12
a) -2 d) 1
6
5x
3x
7
1
x
28x2
2
4x
2
b) 5 e) 4
c) 2
Indicar su cociente. a) x2 – 2x – 3
b) x2 + 2x + 3
d) x2 + 2x
e) x2 + x - 3
c) x2 - 1
8x5
2) Indicar la suma de coeficientes del cociente de dividir: 6x 4
7x3
3x2
3x2
2x 1
a) 2
b) -4
d) 0
e) -2
4x
6
x4
11x3
2x2
3x
n
1
b) 37
d) -12
e) -20
Es exacta:
3
b) -10
d) -52
e) 22
15x
6
c) -22
3x2 mx 2x 3
a) -2
b) -1
d) 1
e) 2
15
c) 0
11) Si el residuo de la división (3x6 – x2 + 3x - a)
c) -21
entre (x - 1) es 2. ¿Cuál debe ser el valor de “a”?
4) Calcular A + B si al dividir: 4
19x3 4x 3
a) -40
6x3
mx
a) 5
2x 4
10) Calcular “m” si la división es exacta:
c) 8
3) Calcular m + n si la división: 6x5
9) Indicar la suma de coeficientes del cociente de efectuar:
2
a) 0
b) 2
d) -1
e) -2
c) 3
2
(12x – 7x – 2x + Ax + B) entre (3x – x + 3) El residuo es 4x + 3.
12) Hallar el resto:
a) -4
b) 8
d) 4
e) 5
c) -6
x81
x
5) Hallar A/B si al dividir: 2x
4
x2
3
x
Ax
2x
2x21
B
a) 4
b) 5
d) 7
e) 10
4x13
9
1
c) 6
El residuo es 7x + 44
3
a) 4
b) 5
d) 12
e) 9
13) Hallar el resto en:
c) 6
3x
40
16 6x x
3x
2
13
x
4
3
1
6) Si la división es exacta en: mx 4
nx3
2x2
4 x2
x
3x
2
1
a) 18
b) 20
d) 25
e) 26
Determinar: m – n
a) 6x
b) 0
d) 2x
e) 3x + 7
14) Hallar el resto en:
c) 22
3x
60
5x
45
30
7) Luego de dividir, indicar el coeficiente del término independiente del coeficiente: 7x 4
8x3 x
a) -6
b) 8
c) 2
13x2
4x
7
3
d) 10
e) 23
a) 3 d) 6
15
3x x
2x5
c) 4x
5
b) 5 e) 19
2x
x
5
1
c) 2
7
PRODUCTOS PRODUCTOSNOTABLES NOTABLES Son los resultados de multiplicar dos o más polinomios,
=
25 9
en forma directa sin necesidad de efectuar la operación de la multiplicación.
5 6
xy +
1 16
y2
Observación: NOTA
I) CUADRADO DE LA SUMA DE DOS TÉRMINOS 1er término
2do término
( a + b )2
(x + y)2
x2 + y2 Siendo x, y no nulos.
IDENTIDADES DE LEGENDRE
a2 + 2ab + b2 (a + b) 2 + (a - b) 2 = 2(a2 + b2)
Trinomio Cuadrado Perfecto
(a + b2) – (a - b)2 = 4ab
“ El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término”
“El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término”
II) CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS 1er término
Ejemplos:
2do término
Ψ Efectuar
(a-b)
2
Diferencia de Cuadrados
2
a - 2ab + b
2
Trinomio Cuadrado Perfecto “ El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo término”
6) Escribe los dos factores cuyo producto es el que se da: (
) (
) = x 2 - 144
¡Ahora tu!
8) Efectuar: 7 + ( a) 10
5
- 1) ( 1 +
b) 12
5
)=
c) 11
d) 7
e) 5
Halla aplicando productos notables el resultado de: 1) ( 5x + 3y 2z4 ) 2 =
2) ( 6 – 4x) 2 = 9) Efectuar: E = ( a) 8
3) (x -
1 5
7
b) 9
−
6)(
6
+
7)–8
c) -7
d) -1
e) 10
)2=
10) Si la suma de dos números es 7 y su producto es 10. 4) (3x + 2) ( 3x – 2) =
Calcular la suma de sus cuadrados a) 29
b) 49
c) 39
d) 109
e) 69
5) (x3 – 0,1) ( x3 + 0,1) =
11) Escribe los dos factores cuyo producto es el que se le 6) (
2 3
a2 + n4 ) (
2 3
da: a) (
) (
) = 100 - y 4
b) (
) (
) = x 6 - 36
a2 – n4) =
c) x4 y2 - 1 = ( 7) (4x +
2 3
)2
) (
)
IV) PRODUCTOS DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN
(a + b + c) 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
Término común
(x + a)(x + b)
x2 + (a + b)x + ab
“El producto de dos binomios que tienen un término común, es igual al cuadrado del término común, más el producto de la suma de los términos no comunes por el término común, más el producto de los términos no comunes”.
producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo con el tercer termino”.
Ejemplos: Efectuar cada una de los siguientes casos: 1) (x + y + 3) 2 = (x)2 + (y)2 + (3)2 + 2 (x)(y) + 2 (x)(3) + 2 (y)(3)
Ejemplos: 1) (x
“El cuadrado de un trinomio es igual al cuadrado del
primer término, más el cuadrado del segundo término, más el cuadrado del tercer término; más el doble
