APUNTES FINANZAS

PontiÞcia Universidad Católica de Chile, Escuela de Administración Apuntes de Clases Finanzas II (EAA-321A), Sección 21

Sebastián Cerda N.2 Agosto de 2006

1 Este

es un borrador preliminar, por lo tanto agradeceré notiÞcar toda clase de

errores. 2 e-mail de contacto: [email protected]

Contents Preface

ix

1 Retornos en Finanzas 1.1 DeÞniciones Básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Retornos Compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Retornos Continuamente Compuestos . . . . . . . . . . . . . . 2 La 2.1 2.2 2.3

Importancia del Arbitraje en Finanzas El Concepto de Arbitraje . . . . . . . . . . ¿Por Qué Importa el Arbitraje? . . . . . . Los Teoremas Básicos de Arbitraje . . . . 2.3.1 La Ley de Un Sólo Precio . . . . . 2.3.2 El Principio de No Arbitraje . . . . 2.4 Ejemplos de Arbitraje . . . . . . . . . . . 2.4.1 Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal 2.4.2 Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados 2.5 Estrategias de Arbitraje . . . . . . . . . .

3 Renta Fija 3.1 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . 3.2 Notación . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Precios de Bonos Vía Valor Presente 3.4 Tasa Interna de Retorno (TIR) . . . 3.5 Tasas de Interés Forward . . . . . . . 3.6 Retornos de Inversión en Bonos . . . 3.7 La Curva de Rendimientos . . . . . . 3.8 La Curva de Tasas Forward . . . . . 3.9 No Arbitraje en Retornos de Bonos . v

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1 1 3 3

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7 7 7 8 8 8 9 9 10 10

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13 13 14 14 15 16 18 19 20 21

vi

CONTENTS 3.10 Duración y Convexidad . . . . . . . 3.10.1 Duración . . . . . . . . . . . 3.10.2 Convexidad . . . . . . . . . 3.11 Inmunización . . . . . . . . . . . . 3.12 Estrategias de Arbitraje con Bonos

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4 Decisiones de Inversión Bajo Incertidumbre 4.1 El Enfoque de la Utilidad Esperada . . . . . . . 4.2 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . 4.2.1 Equivalente Cierto . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Premio Por Riesgo . . . . . . . . . . . . 4.3 Grados de Aversión al Riesgo . . . . . . . . . . 4.4 Preferencias en el Espacio de Media y Varianza 5 Combinaciones de Activos 5.1 El Caso de 2 Activos Financieros . 5.1.1 Sin Venta Corta de Activos 5.1.2 Con Venta Corta de Activos 5.2 Extensión a N Activos . . . . . . . 6 La 6.1 6.2 6.3

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22 24 26 27 27

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29 31 34 34 35 35 36

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41 41 42 47 49

Frontera Eficiente 53 El Concepto de DiversiÞcación de Activos . . . . . . . . . . . 53 Caracterización GráÞca de la Frontera EÞciente . . . . . . . . 55 Propiedades de la Frontera EÞciente . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Equilibrio de Mercado 7.1 La DeÞnición de Equilibrio de Mercado . . . . . . . . 7.2 El Portafolio de Mercado y el Equilibrio de Mercado . 7.3 El CAPM como Equilibrio de Mercado . . . . . . . . 7.4 El CAPM cuando Existe un Activo Libre de Riesgo .

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8 Limitaciones del CAPM 8.1 La Crítica de Roll . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Set de Posibilidades de Inversión No es Estable en el Tiempo 8.3 Los Resultados de Fama y French . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 El APT como Explicación Alternativa a los Resultados de Fama-French . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Un Ejemplo de APT . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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63 64 65 68 69

71 . 71 . 72 . 74 . 76 . 78

CONTENTS

vii

9 Eficiencia del Mercado de Capitales 9.1 Algunas DeÞniciones de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 EÞciencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Hipótesis de Formación de Expectativas . . . . . . . . . . . . 9.3.1 Retornos Esperados son Positivos . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Retornos Esperados son Constantes . . . . . . . . . . . 9.3.3 Retornos Esperados se Mueven en una Relación RiesgoRetorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Categorías de EÞciencia de Mercado . . . . . . . . . . . . . . .

81 81 82 83 83 84 84 85

10 Derivados Financieros (1): Forwards y Futuro 87 10.1 DeÞniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 10.2 El PerÞl de Riesgo de un Contrato Forward . . . . . . . . . . 88 10.3 El Precio de un Contrato Forward . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.4 El Precio Forward con Costos Alternativos ("Convenience Yield") Para el Activo Subyacente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 10.5 Contratos Forward de Monedas . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 10.6 Contratos Forward como Estrategias Especulativas . . . . . . 92 10.7 Contratos Forward como Estrategia de Cobertura . . . . . . . 93 10.7.1 Venta Corta de Activos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 11 Derivados Financieros (2): Opciones Financieras 95 11.1 DeÞniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 11.2 El PerÞl de Riesgo de Las Opciones . . . . . . . . . . . . . . . 95 11.3 Algunas Consideraciones Sobre Opciones Financieras . . . . . 98 11.4 Estrategias de Inversión Especulativas con Opciones . . . . . . 99 11.5 Spreads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.5.1 Bull Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 11.5.2 Bear Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.5.3 Butterßy Spread . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11.6 Combinaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.7 El Concepto de Arbitraje y 2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . 103 11.8 La Paridad Put-Call . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 11.9 Límites de Arbitraje y Ejercicio de Opciones antes del Vencimiento104 11.10Valoración de Opciones por Método de Arboles Binomiales: 1 período al vencimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 11.11Método de Arboles Binomiales: 2 períodos al vencimiento . . . 108 11.12La Formula de Black y Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

viii

CONTENTS

12 Finanzas Corporativas (1): Estructura de Capital 113 12.1 La Irrelevancia de la Estructura de Capital: El Teorema de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 12.1.1 Alguna Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 12.1.2 Supuestos de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . . . 114 12.1.3 Proposicion I de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 115 12.1.4 Proposicion II de Modigliani y Miller . . . . . . . . . . 116 12.1.5 La importancia de Modigliani y Miller . . . . . . . . . 116 12.2 Impuestos a las Empresas y Estructura de Capital . . . . . . . 117 12.2.1 BeneÞcio Tributario de la Deuda . . . . . . . . . . . . 117 12.3 Impuestos Personales y Estructura de Capital . . . . . . . . . 118 12.3.1 Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Impuestos Personales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 12.4 La Deuda Como Fuente de Destrucción de Valor . . . . . . . . 123 12.4.1 Existencia de Costos Reales por Problemas Financieros 124 12.4.2 Problemas de Agencia: La Deuda Como Incentivo a Elegir Malos Proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 13 Finanzas Corporativas (2): Política de Dividendos 129 13.1 La Irrelevancia de la Política de Dividendos: Modigliani-Miller 129 13.2 Los Inversionistas Tienen Preferencia por Firmas que Pagan Dividendos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 13.3 La Desventaja Tributaria de los Dividendos . . . . . . . . . . 132 13.3.1 El Modelo de Elton y Gruber . . . . . . . . . . . . . . 132 13.4 La Existencia de Costos de Transacción . . . . . . . . . . . . . 133 13.5 La Teoría de Clientelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 13.6 La Teoría de Información de la Politica de Dividendos . . . . . 134 13.7 Existencia de Problemas de Agencia . . . . . . . . . . . . . . . 134 13.8 Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

Preface El objetivo de estas notas de clases son exponer conceptos básicos en Þnanzas desde una perspectiva que sea consistente con el esquema docente deÞnido en el programa del curso. En estas notas no se pretende ser creativo en la presentación de los tópicos de estudio. Por el contrario, las demostraciones y ejemplos númericos aquí contenidos son estándares para cualquier buen libro en Þnanzas. De esta forma, la idea es que se complementen estas notas de estudios con un buen libro de texto para lograr una mejor comprensión del plan de estudios para este semestre.

ix

Chapter 1 Retornos en Finanzas Lo relevante en este curso es entender conceptos. No es necesario que memorice estas fórmulas. Si no entiende algún concepto durante este curso, siempre puede inventar su propia notación. Eso no lo pejudicará en terminos de nota. No obstante, por claridad de presentación de estas notas de clases me parece importante partir deÞniendo cierta notación que utilizaré durante todo el transcurso del semestre. El retorno de un activo es un concepto intertemporal en el sentido que computa la diferencia entre lo invertido y lo recibido en dos períodos distintos de tiempo. Por eso muchas veces es necesario, explícitamente, introducir el tiempo en nuestras deÞniciones. Utilizaré los subíndices para referirme al tiempo. Por ejemplo, el precio de un activo al cierre de 2005 es P2005 . El precio del activo en el período t es Pt , mientras que la tasa de interés en ese mismo período es Rt . El período corriente (hoy) será deÞnido por t = 0.

1.1

Definiciones Básicas

Definition 1 El Retorno Bruto de un activo es: Rt+1 =

valor en $ recibidost+1 . valor en $ pagados t

En el caso de una acción que paga dividendos, el retorno bruto es, Rt+1 =

Pt+1 +Dt+1 . Pt

R es un número alrededor de 1 (por ejemplo 1,10).

Definition 2 El Retorno Neto de un activo es: rt+1 = Rt+1 − 1. Definition 3 El Retorno Porcentual de un activo es: 100 × rt+1 . 1

2

CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS

Definition 4 El Retorno Continuo de un activo es: rt = ln Rt . Por ejemplo, ln (1.10) = 0.09531 = 9.531%. real Definition 5 El Retorno Real de un activo es: Rt+1 =

cantidad de bienes recibidos t+1 . cantidad de bienes pagadost

Definition 6 El Indice de Precios al Consumidor (IPC) es IP Ct ≡ Definition 7 La Tasa de Inflación Bruta es Πt+1 ≡

valor en $ de los bienest . cantidad de bienes t

IP Ct+1 . IP Ct

De tal forma, es posible deÞnir el retorno real como:

=

valor en $ de los bienest+1 ·

real Rt+1 =

valor en $ de los bienest+1 ·

real Rt+1

real Rt+1 real Rt+1

valor en $ de los bienest ·

valor en $ de los bienest · IP Ct nominal = Rt+1 · IP Ct+1 nominal R = t+1 Πt+1

bienes recibidost+1 valor en $ de los bienest+1 bienes pagadost valor en $ de los bienest 1 IP Ct+1 1 IP Ct

(1.1) (1.2) (1.3) (1.4)

En otras palabras, el retorno real bruto es el retorno nominal bruto divido por la tasa de inßación bruta. En términos de retornos continuos, tenemos que: ¡ nominal ¢ ¡ real ¢ = ln Rt+1 − ln (Πt+1 ) (1.5) ln Rt+1

Para bajas tasas de inßación neta, la siguiente es una buena aproximación a la tasa de retorno real bruta: ¢ ¡ nominal nominal 1 + rt+1 Rt+1 nominal = ≈ 1 + rt+1 − πt+1 (1.6) Πt+1 1 + π t+1 Es posible utilizar exactamente la misma idea para computar los retornos brutos en pesos de inversiones en otras monedas. DeÞna el retorno bruto en bienes en USD t+1 U SD dólares (USD) de una inversión como Rt+1 = valor . El tipo valor bienes en USD t

3

1.2 RETORNOS COMPUESTOS $/U SD

valor bienes en $t de cambio pesos por dólar se deÞne como et = valor . Por lo bienes en USD t tanto, el retorno en bruto en pesos de tal inversión es $ Rt+1

valor bienes en $t+1 valor bienes en USDt+1 = = · valor bienes en $t valor bienes en USDt

valor bienes en $t+1 valor bienes en USD t+1 valor bienes en $ t valor bienes en USD t

(1.7) $/U SD

$ U SD Rt+1 = Rt+1 ·

1.2

et+1

$/U SD

et

(1.8)

Retornos Compuestos

¿Cuál es el pago total de una inversión de $1 por 10 períodos en un instrumento que promete pagar 10% por período? La respuesta es más que $2. En la medida que es necesario computar los intereses sobre los intereses ya capitalizados, la respuesta correcta es el retorno compuesto. DeÞna Vt como el valor de la inversión en el periodo t. Por lo tanto, tenemos que: V1 = R · V0 = (1 + r) V0 V 2 = R 2 · V0 V T = R T · V0

(1.9) (1.10) (1.11)

RT es lo que tradicionalmente se conoce como el Retorno Compuesto.

1.3

Retornos Continuamente Compuestos

Hay ciertas propiedades de los retornos continuamente compuestos que hacen agradable trabajar con ellos. • El retorno continuamente compuesto a T períodos plazo es T veces el retorno continuamente compuesto de un período. ln V1 = ln R + ln V0 ln VT = T ln R + ln V0

(1.12) (1.13)

• Si las tasas de retornos no son constantes, entonces el retorno bruto a T períodos plazo es R1 R2 . . . RT tal que ln (R1 R2 . . . RT ) = ln (R1 ) + ln (R2 ) + . . . + ln (RT )

(1.14)

4

CHAPTER 1 RETORNOS EN FINANZAS • Los retornos continuamente compuestos son convenientes también porque permiten computar de manera más simple retornos reales o retornos convertidos desde otras monedas: ¡ ¢ ¡ ¢ Rnominal Rreal = ⇒ ln Rreal = ln Rnominal − ln Π (1.15) Π

En este punto, resulta clariÞcador una ilustración de la intuición detrás de los retornos continuamente compuestos. Suponga la existencia de un bono que paga 10% y capitaliza sus intereses semestralmente. Cada 6 meses se realiza un pago de interés por 5%. El retorno bruto anual de tal bono es: compuesto semestral: (1.05) (1.05) = 1.1025 = 10.25%

(1.16)

¿Qué ocurre ahora si la capitalización es trimestral? compuesto trimestral: (1.025)4 = 1.1038 = 10.38%

(1.17)

Es posible generalizar esta idea, tal que ³ r Ń (1.18) 1+ N Incluso es posible llevar este argumento al extremo para un instrumento que capitaliza intereses inÞnitas veces por período. Esa es la tasa de retorno continuamente compuesta: ³ 1 1 3 r Ń lim 1 + = 1 + r + r2 + r + . . . = er (1.19) N→∞ N 2 2×3 Por lo tanto, si R = er es la tasa de retorno bruta por período, entonces podemos computar la tasa de retorno continuamente compuesta como: compuesto N veces:

r = ln R

(1.20)

A modo de ejemplo, un retorno de 10% anual continuamente compuesto es exactamente equivalente a una tasa de retorno bruto compuesto anual de e0.10 = 1.1051709. O lo que es lo mismo una tasa de retorno neto compuesta anual por 10.51709% es equivalente a un retorno anual continuamente compuesta por 10%. A CADA TASA DE RETORNO COMPUESTA N VECES POR PERIODO LE CORRESPONDE EXACTAMENTE UNA TASA DE RETORNO CONTINUAMENTE COMPUESTA. Un pequeño ejemplo númerico puede llevar a clariÞcar esto un poco más.

1.3 RETORNOS CONTINUAMENTE COMPUESTOS

5

1. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que paga la tasa bruta de R compuesta semestralmente? ¡ ¢2×3 DeÞniendo r = R − 1, tenemos que el retorno en 3 años es 1 + 2r .

2. ¿Cuál es el retorno de tres años para un instrumento que promete pagar una tasa de retorno anual continuamente compuesto por rcc ? cc

Ese retorno es simplemente e3×r . Si la tasa de retorno fuera deÞnida como semestral continuamente compuesta, entonces la respuesta sería cc e2×3×r .

Chapter 2 La Importancia del Arbitraje en Finanzas 2.1

El Concepto de Arbitraje

El concepto de arbitraje es un concepto muy vago al cual se hace recurrente referencia entre aquellos que observan el mercado Þnanciero. No obstante, cuesta encontrar una deÞnición precisa de este concepto. ¿Qué son las oportunidades de arbitraje en Þnanzas? Es una idea muy simple, pero muy potente. Siempre que el precio de un activo Þnanciero esté mal colocado por el mercado, surge una oportunidad de arbitraje con respecto al activo que tiene el precio errado. Una oportunidad de arbitraje es siempre libre de riesgo. Eso quiere decir que la ganancia se puede hacer por completo en el período corriente. Si la estrategia de inversión tiene riesgo, eso ya no es arbitraje es simplemente especulación.

2.2

¿Por Qué Importa el Arbitraje?

Si usted es un operador de mercado, obviamente toda oportunidad de arbitraje le interesa porque es una forma de ganar dinero sin riesgo. En nuestro caso, el arbitraje nos interesa por un interés netamente académico. El asumir que no existen oportunidades de arbitraje en el mercado signiÞca que todos los activos Þnancieros están valorizados correctamente. Los activos Þnancieros son paquetes de promesas de pago. Una acción promete pagar un ßujo de dividendos. Un bono promete pagar un ßujo de intereses y capital. 7

8CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS Los derivados Þnancieros son formas más complejas de armar paquetes de ßujos de caja sobre acciones, bonos, tipo de cambio, etc. En cualquier caso, si no existen oportunidades de arbitraje y el costo de armar paquetes de activos Þnancieros es cero1 , entonces el asumir no arbitraje es una manera muy simple de valorizar cualquier activo Þnanciero.

2.3

Los Teoremas Básicos de Arbitraje

Dado que como veremos más adelante, el arbitraje es un concepto tanto intertemporal (en el tiempo) como entre distintas realizaciones posibles de los estados de la naturaleza, conviene ser un poco más riguroso en la deÞnición del arbitraje. Existen dos teoremas fundamentales en Þnanzas acerca del arbitraje.

2.3.1

La Ley de Un Sólo Precio

Si dos activos prometen los mismos ßujos de caja (en cada estado de la naturaleza) deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, signiÞca a todo evento y no en valor esperado. Una violación de la ley de un solo precio equivale a la existencia de una oportunidad de arbitraje. ¿Por qué razon se podría violar este teorema? Hay variadas razones para ello, por ejemplo que los inversionistas sean irracionales, esto es que pongan mal los precios de los activos que compran. Una segunda razón que se me viene a la cabeza es que el costo marginal de armar activos Þnancieros sea distinto de cero. Una de las razones que se aduce para explicar la "burbuja" especulativa del Nasdaq en el año 2001 es que, a pesar de que el mercado intuía que esas acciones no valían su precio, no era posible (por razones regulatorias) armar paquetes de activos que apuntaran a la caída de precio de esas acciones, y que por tanto arbitraran precios claramente sobrevalorados.

2.3.2

El Principio de No Arbitraje

Si el pago (a todo evento) del activo A es mayor o igual al pago (a todo evento) del activo B (esto es, en todos los períodos y estados posibles de la naturaleza, el activo A paga lo mismo que B pero en al menos un estado o 1

Este no es un mal supuesto. Piense, cual es el costo marginal de producir una unidad Þsica de un bono, una accion? Solo el valor del papel utilizado para tal Þn.

9

2.4 EJEMPLOS DE ARBITRAJE

período paga más), entonces de manera cierta el precio del activo A debe ser mayor al precio del activo B.

2.4

Ejemplos de Arbitraje

La noción de arbitraje resulta más didáctica por la vía de un par de ejemplos. Como estándar de notacion, deÞniremos t = 0 . . . T como los períodos futuros en el tiempo y s = 0 . . . S como los posibles estados de la naturaleza. De esta forma, nos referiremos a Xst como el pago prometido por el activo X en el estado s durante el período t.

2.4.1

Ejemplo 1: Arbitraje Intertemporal

Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0 . . . 2. El activo X paga X1 en t = 1, el activo Y paga Y2 en t = 2 y el activo Z paga X1 en t = 1 e Y2 en t = 2. p (.) es el precio del activo en t = 0.

Activo

t=0

t=1

t=2

X

p (X)

+X1

0

Y

p (Y )

0

+Y2

Z

p (Z)

+X1

+Y2

Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z)

p (X) + p (Y ) − p (Z) > 0

X1 − X1 = 0

0

Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z)

p (Z) − p (X) − p (Y ) > 0

0

0

Por ley de un sólo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X) + p (Y ) = p (Z). Ahora bien, ¿qué ocurre si la ley de un sólo precio no se cumple, p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puede ejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia de arbitraje sería comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Corresponde la estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).

10CHAPTER 2 LA IMPORTANCIA DEL ARBITRAJE EN FINANZAS

2.4.2

Ejemplo 2: Arbitraje Entre Estados de la Naturaleza

Suponga la existencia de 3 activos, X, Y y Z y t = 0, 1 y s = 1, 2. El activo X paga X11 en t = 1 y s = 1, el activo Y paga Y21 en t = 1 y s = 2 y el activo Z paga X11 en t = 1 y s = 1 y Y21 en t = 1 y s = 2. Activo

t=0

t=1 s=1

s=2

X

p (X)

+X1

0

Y

p (Y )

0

+Y2

Z

p (Z)

+X1

+Y2

Arbitraje si p (X) + p (Y ) > p (Z)

p (X) + p (Y ) − p (Z) > 0

X1 − X1 = 0

0

0

0

Arbitraje si p (X) + p (Y ) < p (Z) p (Z) − p (X) − p (Y ) > 0

Por ley de un solo precio, la siguiente condicion es cierta: p (X) + p (Y ) = p (Z). Ahora bien, que ocurre si la ley de un solo precio no se cumple, p (X) + p (Y ) 6= p (Z)? Existe una oportunidad de arbitraje que se puede ejercer a cero costo y cero riesgo. Si p (X) + p (Y ) > p (Z), la estrategia de arbitraje seria comprar el activo Z y vender los activos X e Y . Corresponde la estrategia inversa en caso que p (X) + p (Y ) < p (Z).

2.5

Estrategias de Arbitraje

Independiente de los ßujos de caja de los activos (o paquetes de activos), las estrategias de arbitraje siempre se construyen iguales: (1) corresponde ver si se viola la ley de un sólo precio para combinaciones de activos, (2) si se viola la ley de un sólo precio corresponde arbitrarla, (3) la estrategia de arbitraje equivale a, de acuerdo a la ley de un sólo precio, vender el activo caro y comprar el activo barato, (4) la cantidad de activo que se compre o venda corresponde a la combinación de activos que haga todos los ßujos de caja en t = 1 . . . T y s = 1 . . . S sea igual a cero excepto por el ßujo de caja corriente (en t = 0) que debe ser siempre positivo. Aquí está la clave para hacerse rico invirtiendo en activos Þnancieros: COMPRAR BARATO Y VENDER CARO. Hasta ahora no se ha encontrado

2.5 ESTRATEGIAS DE ARBITRAJE

11

otra forma para ganar sin riesgo. Cualquier otro tipo de estrategia es pura y exclusiva especulación Þnanciera.

Chapter 3 Renta Fija Por renta Þja nos referiremos al caso de instrumentos Þnancieros que prometen el pago de ßujos futuros no aleatorios. Esto no quiere decir que el precio de esos activos no tenga riesgo. Las tasas de descuento de tales ßujos pueden ser variables, asi como la probabilidad de pago de los ßujos prometidos. Lo estándar es denominar Renta Fija a toda inversión en Bonos.

3.1

Algunas Definiciones de Utilidad

En general, los Bonos se clasiÞcan de acuerdo a su estructura de pagos. Existen 3 grandes categorías de bonos:

1. Bono Cero Cupón. Estos bonos efectuan un único pago a su vencimiento que incluye tanto principal como intereses. 2. Bono "Bullet". Estos bonos pagan cupones periódicos que incluyen solo el pago de intereses. El principal de un bono "bullet" se paga por completo al vencimiento del instrumento. 3. Anualidades. Bono con Cupones. Estos bonos pagan cupones periódicos por montos iguales que incluyen tanto el pago de intereses como la amortización de parte del principal. 13

14

CHAPTER 3 RENTA FIJA

3.2

Notación

Necesitamos distinguir bonos de distinta madurez. Para esto, utilizaremos la siguiente notación: P (3) es el precio de un bono cero cupón que vence en 3 años. Las variables en minúsculas (ejemplo, p(3) ) corresponden al logaritmo natural de la variable en mayúscula.

3.3

Precios de Bonos Vía Valor Presente

Comenzaremos este capitulo ignorando cualquier fuente de incertidumbre. De esta forma, asumiremos que tanto los ßujos futuros de caja como las tasas de interés son conocidos ex-ante. Introducir incertidumbre hace el análisis un poco más complejo pero las conclusiones relevantes no cambian dramáticamente. El truco para valorizar bonos está en entender que cualquier tipo de bono puede ser generado como una combinación de otros bonos. El resto es trivial: La Ley de un Sólo Precio. Un conjunto de bonos cero cupón, bonos "bullet" y bonos con cupones es lo mismo que una secuencia de tasas de interés futuras. Para encontrar el precio de cualquier categoría de bono basta en saber como empaquetar ese bono en función de bonos de los cuales usted ya conozca su precio. Un bono otorga un derecho a recibir una secuencia de ßujos de caja {F1 , F2 , . . . , FN }. Como cualquier activo Þnanciero, un bono debe valorizarse por valor presente, N X Fj (3.1) P = R1 R2 R3 · · · Rj j=1 donde R1 es la tasa de interés entre 0 y 1, R2 es la tasa de interés entre 1 y 2, etc. Obviamente, entendemos R = 1 + r, donde r es la tasa de interés tal como la observamos normalmente. El problema con valorizar bonos vía valor presente es donde encontrar las tasas de interés relevantes. Hay 3 opciones para esto último: 1. Utilizar las tasas de interés de los bancos. El problema es ¿cuál es esa tasa?, ¿la de depósitos o de créditos, ¿de qué banco? Esto, en realidad, sólo ocurre en los libros de texto.

3.4 TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

15

2. Utilizar el precio de mercado de los bonos cero cupón para encontrar esas tasas de interés. Suponga, por ejemplo, que usted tiene el precio de bonos cero cupón a 2 períodos plazo. P (1) = R11 y P (2) = R11R2 . Basta con conocer P (1) y P (2) para encontrar R1 y R2 . Hay una propiedad interesante acerca de los bonos cero cupón: todo bono puede ser valorizado como una combinacion de bonos cero cupón. El precio de un bono cero cupón a N períodos plazo. P (N) =

1 R1 R2 R3 · · · RN

(3.2)

Combinando las ecuaciones (3.1) y (3.2), se obtiene la siguiente expresión para el valor de un bono: P =

N X j=1

P (j) · Fj

(3.3)

3. Utilizar el precio de mercado de bonos con cupones para encontrar esas tasas de interés. Suponga que usted conoce el precio de 2 bonos con cupones (P 0 y P 00 ) con la siguiente estructura de pago: bono 1 {F10 , F20 } F0 F0 F 00 F 00 y bono 2 {F100 , F200 }, tal que P 0 = R11 + R1 R2 2 y P 00 = R11 + R12R2 . Estas son 2 ecuaciones y 2 incógnitas que usted puede resolver rápidamente para encontrar R1 y R2 .

3.4

Tasa Interna de Retorno (TIR)

Definition 8 Tasa Interna de Retorno (TIR) es la tasa de interés ANUAL, FICTICIA, CONSTANTE Y, CONOCIDA que, dado el precio de mercado del bono en cuestión, resuelve la ecuacion de valor presente neto (VPN=0). Esta definición asume que el bono se paga a todo evento, i.e. no existe la cesación de pagos. A partir de esta deÞnición, podemos ver que la TIR de un bono cero cupón es el número Y (N ) que satisface P (N) =

1 N

[Y (N) ]

(3.4)

16

CHAPTER 3 RENTA FIJA Por lo tanto, Y (N ) = ln Y (N ) y (N )

1 1

[P (N ) ] N 1 = − ln P (N) N 1 = − p(N) N

(3.5) (3.6) (3.7)

Por su parte, la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisface la siguiente ecuación: N X Fj (3.8) P = j Y j=1 En general, dado el precio (P ) y el ßujo de caja (Fj ), usted tiene que encontrar el valor de Y que resuelve esta ecuación. En la medida que todos los ßujos de caja sean positivos, Fj ≥ 0, la solución a este problema es relativamente simple. Lo importante es que rentenga lo siguiente: • La TIR es sólo una forma muy simple de presentar los precios de distintos bonos. • Al utilizar TIR no hemos ningún tipo de supuestos, tales como que las tasas de interés sean conocidas, constantes o que los ßujos de caja estén libres de riesgo de no pago. • EXCEPTO PARA EL CASO DE UN BONO CERO CUPON A UN PERIODO PLAZO, LA YIELD DE UN BONO NO ES LA TASA DE INTERES EFECTIVA DE MERCADO.

3.5

Tasas de Interés Forward

Otra particularidad del precio de los bonos cero cupón es que permiten identiÞcar expectativas implícitas de tasas de interes futuras. La deÞnición del precio de un bono cero cupón a N períodos plazo es P (N) =

1 R1 R2 R3 · · · RN

(3.9)

17

3.5 TASAS DE INTERÉS FORWARD

De lo cual se deriva la siguiente deÞnición de una tasa de interés forward RN+1 =

P (N) P (N+1)

(3.10)

Definition 9 Tasa de Interés Forward es la tasa de interés a la cual es posible contratar hoy un depósito (crédito) que se hará efectivo a comienzos del periodo N y será liquidado durante el período N + 1. La intuición es muy simple. Usted siempre puede sintetizar un contrato forward a partir de la gama completa de bonos cero cupón. Suponga que usted compra una unidad de bono cero cupón a N períodos plazo y simultáneamente vende una cantidad x de bonos cero cupón a N + 1 períodos plazo al vencimiento. La siguiente tabla muestra los ßujos netos de tal operación: Operación

t=0

t=N

t=N +1

Compra 1 unidad de Cero a N

−P (N)

+1

0

Venta de x unidades de Cero a N + 1

+xP (N+1)

0

−x

Flujo de Caja Neto

xP (N+1) − P (N)

1

−x

Seleccione un valor x tal que el ßujo de caja en t = 0 sea igual a cero: x=

P (N) P (N+1)

(3.11)

Piense en los resultado de esta operación: los ßujos en t = 0 fueron nulos, en t = N se obtuvieron ßujos positivos por 1, y Þnalmente en t = N + 1 se (N) debera realizar un egreso de caja por PP(N +1) . En otras palabras, acabamos de sintetizar un contrato (Þrmado hoy en t = 0) para conseguir un crédito en t = N que se pagará en t = N + 1. Eso es exactamente una operación forward, donde la tasa forward en tal contrato entre N y N + 1 es P (N) P (N+1) = ln P (N) − ln P (N+1) = p(N) − p(N+1)

FN →N+1 = ln FN →N+1 fN →N+1

(3.12) (3.13) (3.14)

Algunas aclaraciones importantes sobre las tasas de interés forward:

18

CHAPTER 3 RENTA FIJA 1. Las tasas de interés forward son importantes porque permiten endeudarse en el futuro. Si usted tiene un proyecto pero la inversión no la efectuará hasta dentro de varios períodos quizás le interese tomar un contrato forward para endeudarse en el futuro cuando requiere los recursos para invertir. 2. LAS TASAS DE INTERES FORWARD NO SON LAS TASAS DE INTERES FUTURAS. SON LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LA INFORMACION DISPONIBLE. EN EL FUTURO PUEDEN PASAR MUCHAS COSAS (COMO QUE POR EJEMPLO EL BANCO CENTRAL SUBA LAS TASAS DE INTERES). 3. Dado lo anterior si usted tiene una visión distinta del mercado acerca de la evolución futura de las tasas de interés, entonces usted puede especular contra las tasas de interés forward para ganarle al mercado. Pero esta es una apuesta con riesgo, porque en principio no hay ninguna razón para creer que usted sabe más que el mercado.

3.6

Retornos de Inversión en Bonos

En el caso de bonos cero cupón, el retorno de inversión antes de vencimiento es muy simple. Si usted compra un bono cero cupón con N al vencimiento y lo vende en N + 1 cuando a este bono sólo le quedan N − 1 períodos al vencimiento, la rentabilidad es: 1+

(N) rbt+1 (N)

rbt+1

=

(N−1) Pt+1

Pt(N) ´ ³ (N) (N−1) (N) ≈ ln 1 + rbt+1 = ln Pt+1 − ln Pt

(3.15) (3.16)

Excepto para el caso de los bonos cero cupón con un período al vencimiento, este retorno no es un valor conocido ex-ante. En el caso de los bonos cero cupón a un período plazo, tenemos que estos cumplen una muy interesante propiedad: (1)

(1)

1 + rbt+1 = R0,t = Yt

=

1 (1)

Pt

(3.17)

19

3.7 LA CURVA DE RENDIMIENTOS

Para el resto de los bonos con cupones, la rentabilidad de la inversión en bonos es un poco más complicada. Pt+1 Pt ≈ ln (1 + rbt+1 ) = ln Yt + ln Pt+1 − ln Pt ≈ yt + pt+1 − pt

1 + rbt+1 = Yt rbt+1 rbt+1

3.7

(3.18) (3.19) (3.20)

La Curva de Rendimientos

La curva de rendimientos es un gráÞco que vincula la TIR de bonos cero cupón y su plazo N al vencimiento. 6% 5%

TIR

4% 3% 2% 1% 0% 0

2

4

6

8

10

N

Suponga que usted conoce la evolución futura de las tasas de interés a un período plazo (o de lo que es lo mismo, las TIR de los futuros cero cupón a un período plazo). La fórmula del valor presente para un cero cupón con N períodos al vencimiento es ! µ ¶ Ã 1 1 1 1 1 1 P0(N) = (3.21) ··· = · · · (1) (1) (1) R1 R2 RN Y1 Y2 YN Sustuyendo la deÞnición de TIR para un bono cero cupón, P (N) =

1 N

[Y (N ) ]

,

20


en la ecuación (3.21) se obtiene Y0(N)

=

³

Y1(1) Y2(1) Y3(1)

. . . YN(1)

´ N1

(3.22)

De acuerdo a (3.22), la TIR de un bono cero cupón con N períodos al vencimiento es el promedio geométrico de todas las futuras tasas de interés a un período plazo desde hoy hasta el período N. Aplicando logaritmos sobre la expresión (3.22), se obtiene que (N )

y0

=

´ 1 ³ (1) (1) (1) (1) y1 + y2 + y3 · · · + yN N

(3.23)

El logaritmo natural de la TIR de un bono cero cupón con N períodos al vencimiento es el promedio aritmético del logaritmo natural de todas las futuras tasas de interés a un período plazo desde hoy hasta el período N . Las relaciones (3.22) y (3.23) son formas alternativas de entender la ley de un sólo precio. El lado izquierdo y derecho de ambas expresiones presentan dos formas distintas de obtener un peso en N períodos mas. El lado izquierdo se obtiene de adquirir un bono cero cupón a N períodos, mientras que el lado derecho viene de invertir en bonos cero cupón de un período plazo durante los próximos N períodos. La ley de un sólo precio nos indica que para evitar la existencia de oportunidades de arbitraje, ambas alternativas deben costar exactamente lo mismo.

3.8

La Curva de Tasas Forward

La curva de tasas forward es un gráÞco que vincula las tasas forward y el período N en que se espera esta tasa. Suponga que efectivamente conocieramos la evolución futura de las tasas de interés. En términos de arbitraje, esto implica que Tasa de Interés Forward = Tasa de Interés Spot Futura F (N) = RN→N+1

(3.24) (3.25)

¿Cuál es la intuición de esto? Simple y puro arbitraje. Si la tasa de interés forward fuera más baja que la tasa de interés spot futura, entonces los inversionistas se endeudarían hoy a la tasa forward y prestarían en el futuro a tasa spot, generando una ganancia libre de riesgo.

21

3.9 NO ARBITRAJE EN RETORNOS DE BONOS

Una particularidad relevante de las tasas de interés forward es que estas se encuentran implícitas dentro de la curva de rendimientos. Para entender esto, es necesario volver a la ecuación (3.25) F (1) = R1→2

(3.26)

Utilizando la deÞnición de tasas de interés forward en la ecuación (3.12), (1) F = PP (2) , se obtiene que (1)

P (1) = R1→2 P (2)

(3.27)

Sustituyendo las siguientes deÞniciones, R0→1 = la ecuación (3.27), se obtiene £

Y (2)

¤2

1 P (1)

y Y (2) =

√1 , P (2)

(3.28)

= R0→1 R1→2

Y (2) = [R0→1 R1→2 ]

en

1 2

(3.29)

que es exactamente la expresión para la curva de rendimientos para el caso de 2 períodos en la ecuación (3.22). Esto no es para nada sorpresivo cuando piensa en lo siguiente. Si usted necesita llevar dinero desde hoy hasta el período N, existen 3 formas alternativas de realizar esto. Ir renovando tasas spot cada período, contratar tasas forward hasta N o comprar un bono cero cupón con vencimiento en N (la curva de rendimiento). Como todas las alternativas cumplen con el mismo objetivo, éstas deben ser equivalentes entre sí.

3.9

No Arbitraje en Retornos de Bonos

Considere dos formas alternativas de transferir dinero desde el actual período hacia el siguiente: (1) Comprar un bono cero cupón con N períodos al vencimiento y venderlo como un bono con N − 1 períodos al vencimiento durante el próximo período o (2) Comprar un bono cero cupón con un único período al vencimiento. De nuevo, por un asunto de arbitraje ambas estrate-

22


gias deberan rentar lo mismo, tal que ³

(2)

1 + rb1

´

=

(1)

P1

(2) P0 h i2 (2) Y0 (1) Y1

(2)

Y0

=

³

(1)

1 + rb1 1

´

(1)

P0

(1)

(3.30) (3.31)

= Y0

(3.32)

h i1 (1) (1) 2 = Y0 Y1

(3.33)

Por una nueva vía hemos llegado al mismo resultado: una representación de la curva de rendimientos.

3.10

Duración y Convexidad

Recuerde que la TIR de un bono con cupones es el número Y que satisface la siguiente ecuación: N X Fj P = Yj j=1

(3.34)

Esta expresión nos indica que existe una relación no lineal entre precios de bonos y su TIR.

Precio

3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD

23

Y0

TIR

Nos gustaría conocer cómo cambia P ante cambios en la TIR del bono (Y ), sin embargo ésta es una relación compleja (porque no es lineal). Existe una relación no lineal entre P e Y , P = P (Y ). Esta relación puede ser aproximada por lo que se conoce como la Aproximación de Taylor :

P X 1 di P (Y0 ) i P (Y ) ≈ P (Y0 ) + i (Y − Y0 ) i! d (Y0 ) i=1

(3.35)

donde Y0 es un arbitrario punto de expansión. La expansión de primer orden de Taylor es

∂P (Y0 ) (Y − Y0 ) ∂Y0 ∂P (Y0 ) ∂P (Y0 ) P (Y ) ≈ P (Y0 ) − Y0 + Y ∂Y0 ∂Y0 | {z } P (Y ) ≈ P (Y0 ) +

constante

(3.36) (3.37)

24

CHAPTER 3 RENTA FIJA Diferenciando esta última expresión1 , se obtiene ∂P dY ∂Y ∂P dY Y dP ≈ P ∂Y· Y P ¸ dP Y ∂P (Y0 ) dY ≈ − − P P ∂Y0 Y | {z } dP ≈

(3.38) (3.39) (3.40)

Duración de un Bono

3.10.1

Duración

La duración de un bono es la elasticidad de la relación entre precios y TIR alrededor del punto asociado a la TIR vigente. Por lo tanto, la duración es una primera aproximación a la sensibilidad del precio ante cambios en la TIR de un bono. Y dP d ln P =− (3.41) D=− P dY d ln Y Esto ultimo implica que, dada la duración, es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIR del bono: dP dY ≈ −D · (3.42) P Y Duración de un Bono Cero Cupón La deÞnición del precio de un bono cero cupón es 1 YN Y dP Y 1 = N N+1 = N − P dY P Y P (N) =

(3.43) (3.44)

Para bonos cero cupón, tenemos que DURACION=MADUREZ DEL BONO. 1

Obviamente, la primera diferencia de una constante es cero.

25

3.10 DURACIÓN Y CONVEXIDAD Duración de Otros Bonos El precio de bonos con cupones es P =

N X Fj Yj j=1

(3.45)

N N N X Y X Fj Y dP 1 X Fj Fj /Y j − = j j+1 = j j = j PN (3.46) j P dY P j=1 Y P j=1 Y j=1 Fj /Y j=1 X valor del ßujo D = duración de cada ßujo × (3.47) valor total del bono ßujos

Por lo tanto, para el caso de bonos con cupones, la duración es el promedio ponderado (por el valor de cada ßujo) de la duración de los ßujos individuales. Una implicancia relevante de lo anterior es que la duración de un bono es siempre menor que su madurez. Duración de Una Perpetuidad El precio de una perpetuidad con cupón C es P = Y C−1 . Dada la deÞnición de duración en la ecuación (3.46), tenemos que la duración de una perpetuidad por C es ∞ ∞ CX 1 1 X C D= j = j P j=1 Y j P j=1 Y j

P j Reemplazando la propiedad que ∞ j=1 jz = se obtiene la duración de una perpetuidad

z (1−z)2

C (1/Y ) P (1 − 1/Y )2 Y Y D = (Y − 1) 2 = Y −1 (Y − 1) D =

(3.48) en la ecuación (3.48),

(3.49) (3.50)

Duración Modificada Muchas veces resulta más conveniente computar lo que se conoce como la duración modiÞcada. Esto es el cambio porcentual en el precio que se origina

26


por un cambio absoluto en la TIR del bono (en vez del cambio porcentual en la TIR que suena algo extraño porque es el cambio porcentual sobre algo que ya está en porcentaje). 1 dP 1 DM ≡ − = P dY Y

µ ¶ Y dP 1 − = ×D P dY Y

(3.51)

Esto último implica que, dada la duración modiÞcada, es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIR del bono: dP = −DM · dY (3.52) P

3.10.2

Convexidad

Precio

En el siguiente gráÞco es posible apreciar dos bonos con igual duración para un nivel de TIR de Y0 . Sin embargo, ambos bonos tienen distinta curvatura alrededor de ese punto. Eso indica que en la medida que existan cambios muy grandes en el nivel de TIR, entonces la duración sera una muy mala aproximación al verdadero cambio en precios ante cambios en TIR.

Y0

bono 1 bono 2 TIR

Esto hace necesario tener una mejor aproximación a tal cambio. La forma de hacer esto es ocupar la convexidad de cada instrumento (el segundo término asociado a una expansión de Taylor). La convexidad del bono es el

3.11 INMUNIZACIÓN

27

cuociente entre la segunda derivada del precio del bono con respecto a su TIR y el precio del bono: ¸ N · ¢ ∂2P 1 X Fj ¡ 2 = 2 j +j (3.53) ∂Y 2 Y j=1 Y j

1 ∂ 2P (3.54) P ∂Y 2 Esto último implica que, dada la duracion modiÞcada y la convexidad, es posible construir una aproximación al cambio porcentual en el precio del bono cuando cambia la TIR del bono: dP 1 = −DM · dY + · Convexidad · (dY )2 (3.55) P 2 Convexidad =

3.11

Inmunización

Sabemos que el precio de los bonos cambia cuando cambian las TIR de estos bonos. Si tenemos estos bonos en cartera, nuestra riqueza Þnanciera ßuctuará con cambios en TIR. Se conoce como inmunización al ejercicio de construir un portafolio de renta Þja que sea inmune a cambios en TIR. Existen dos formas de construir portafolios inmunizados: 1. Portafolios Dedicados: Para cada ßujo de caja de activos o pasivos, se puede comprar o vender el correspondiente bono cero cupón. No importa qué ocurra con las TIR, los ßujos de caja estarán completamente cubiertos por bonos cero cupón de madurez equivalente. El valor del portafolio será completamente inmune a cambios en TIR. 2. Calzar la Duración del Portafolio: Compre (o venda) un bono que cuadre exactamente la duración de un pasivo (o activo) de renta Þja. De esta forma, cumplirá con dos condiciones (1) valor presente de los activos = valor presente de los pasivos y (2) duración de activos = duración de pasivos. La posición neta del portafolio sera insensible a los cambios en TIR.

3.12

Estrategias de Arbitraje con Bonos

La conclusión del capitulo pasado (sobre arbitraje) es que en la medida que haya un precio mal puesto siempre es posible arbitrar tal precio. En esta

28


oportunidad veremos una pequeña aplicación al caso de renta Þja (bonos). Suponga que existen 3 bonos: (1) el bono A es un cero cupón a 1 período plazo con TIR por 4%, (2) el bono B es un cero cupón con madurez de 2 períodos y TIR de 5%, y (3) el bono C es un bono con 2 cupones en cada período por $1 y TIR por 4,25%. Los precios de estos bonos son: 1 = 0.96154 1.04 1 = = 0.90703 1.052 1 1 = = 1.8727 + 1.045 1.0452

P (1) =

(3.56)

P (2)

(3.57)

PC

(3.58)

Dado que la suma del pago de los bonos A y B es igual al pago del bono C, por ley de un sólo precio PC = P (1) + P (2)

(3.59)

Lo cual es falso: 1.8727 > 0.96154 + 0.90703 = 1.8686. Esto implica la existencia de una oportunidad de arbitraje. ¿Cuál? Todas las oportunidades de arbitraje son iguales: hay que vender el activo caro y comprar el activo barato. ¿En qué proporciones? En las que hagan cero todos los ßujos en t = 1 . . . N . En este caso, esto es trivial, basta con comprar 1 unidad del bono A y 1 unidad del bono B y vender 1 unidad del bono C. Operación

t=0

Compra 1 unidad de bono A

−P (1)

t=1 t=2 1

0

Compra 1 unidad de bono B

−P (2)

0

1

Venta de 1 unidad de bono C

+PC

-1

-1

Flujo de Caja Neto

PC − P (1) − P (2) = 0.0041

0

0

Chapter 4

Decisiones de Inversión Bajo Incertidumbre

Hasta ahora nos dedicado a explicar como valorizar activos vía arbitraje. Esto es, basta con conocer el precio de un activo, para valorizar otros activos cuyos ßujos de caja sean combinaciones de activos con precios conocidos. No obstante, nada hemos dicho acerca de la causa por la cual cierto inversionista pudiera demandar cierto activo Þnanciero. Una característica de los activos Þnancieros es que el valor de sus ßujos depende de la realización de estados de la naturaleza caracterizados por distribuciones de probabilidades.

En los cursos tradicionales de microeconomía, vimos como las preferencias de los consumidores sobre un conjunto de bienes, {c1 , c2 . . . cN }, pueden ser descritas por curvas de indiferencias., u (c1 , c2 . . . cN ). 29

C2

30CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE

C1

U(C)

Estas funciones de utilidad cumplen con propiedades estándares, utilidad marginal del consumo es positiva, U 0 (·) > 0 y decreciente U 00 (·) < 0.

C

El tema con los activos Þnancieros es que los pagos ofrecidos no son en bienes sino en realizaciones de estados de la naturaleza. Estos estados de la naturaleza tienen probabilidades asociadas a ellos, esto quiere decir que las preferencias asociadas a activos Þnancieros deben ser funciones de realiza-

4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA

31

ciones de la naturaleza así como de sus respectivas probablidades. Suponga que existen N posibles estados de la naturaleza {s1 . . . sN } con probabilidades asociadas {p1 . . . pN }. Un activo Þnanciero pagará bienes por {c1 . . . cN } en caso de realización de alguno de los estados de la naturaleza. De esta forma, las preferencias de los agentes pueden ser descritas indistintamente como preferencias sobre pago de bienes en cada estado de la naturaleza, V (c1 . . . cN ) o como preferencias sobre probabilidades de los estados U (p1 . . . pN ). La intuición es muy simple. Suponga que a usted le gusta mucho el consumo en el estado 1 (c1 ), esto es equivalente a decir que le gusta mucho cierta distribución de probabilidad que asigna mucho peso al estado 1. Esto indica que existen dos enfoques alternativos para representar preferencias sobre pagos inciertos: • Sobre el conjunto de pagos posibles en cada estado de la naturaleza, V (c1 . . . cN ). • Sobre el conjunto de distribuciones de probabilidad de los estados, U (p1 . . . pN ).

4.1

El Enfoque de la Utilidad Esperada

El enfoque de la utilidad esperada viene de suponer que existe independencia de las preferencias sobre distribuciones de probabilidad. Esto es que la probabilidad de un estado de la naturaleza no afecta mis preferencias sobre las probabilidades del resto de los estados de la naturaleza. Bajo el supuesto de independencia, las preferencias de los agentes pueden ser representadas por:

V (c1 . . . cN ) = U (p1 . . . pN ) =

N X i=1

pi ·u (ci ) ⇐⇒ Indice de Utilidad Esperada

(4.1) donde u (·) cumple con todas las propiedades estándares en una funcion de utilidad. Los primeros en notar el supuesto de independencia como condicion necesaria para la existencia de una representacion de utilidad esperada como (4.1) fueron los economistas John Von Neumann y Oscar Morgenstern (1944). Por lo tanto, muchas veces se suele hacer referencia al índice de utilidad esperada como la representación de Von Neumann - Morgenstern.

32CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE Una importante implicancia del enfoque de la utilidad esperada es que nos permite deÞnir la actitud de los agentes hacia el riesgo (i.e. incertidumbre). Para efectos simpliÞcatorios, suponga que existen sólo 2 posibles estados de la naturaleza, tal que la utilidad esperada es: E [U ] = p · u (c1 ) + (1 − p) · u (c2 ). Existen 3 casos posibles para deÞnir la actitud hacia el riesgo: • Agente es averso al riesgo: E [U] = p · u (c1 ) + (1 − p) · u (c2 ) < U [E] = u (p · c1 + (1 − p) · c2 ) (4.2) Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la aversión al riesgo es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal decreciente, u00 (·) < 0. La intuición es que un agente averso al riesgo siempre preÞere el valor seguro de una apuesta, U [E], al valor esperado de tal apuesta, E [U ].

U[E]

U(C)

E[U]

C1

p*C1+(1-p)*C2

C2

• Agente es preferente al riesgo: E [U] = p · u (c1 ) + (1 − p) · u (c2 ) > U [E] = u (p · c1 + (1 − p) · c2 ) (4.3) Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la preferencia al riesgo es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal

4.1 EL ENFOQUE DE LA UTILIDAD ESPERADA

33

creciente, u00 (·) > 0. La intuición es que un agente preferente al riesgo siempre preÞere el valor esperado de una apuesta, E [U ], al valor seguro de tal apuesta, U [E].

E[U]

U[E]

C1

p*C1+(1-p)*C2

C2

• Agente es neutral al riesgo: E [U ] = p · u (c1 ) + (1 − p) · u (c2 ) = U [E] = u (p · c1 + (1 − p) · c2 ) (4.4) Como es posible observar en el gráÞco siguiente, la neutralidad al riesgo es una propiedad que se deriva directamente de una utilidad marginal constante, u00 (·) = 0. La intuición es que un agente neutral al riesgo siempre está indiferente entre el valor esperado de una apuesta, E [U ] y al valor seguro de tal apuesta, U [E].

34CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE

E[U]=U[

C1

p*C1+(1-p)*C2

C2

EN GENERAL, PRACTICAMENTE TODAS LAS APLICACIONES FINANCIERAS ASUMEN QUE LOS AGENTES SON AVERSOS AL RIESGO1 .

4.2 4.2.1

Algunas Definiciones de Utilidad Equivalente Cierto

Considere 2 posibles inversiones Þnancieras. La primera es una inversión f, La segunda es una inversión riesgosa que promete pagar un ßujo riesgoso, W libre de riesgo que promete pagar un valor Þjo, W , a todo evento. f, si y sólo si un inversionista Definition 10 W es el equivalente cierto de W averso al riesgo está indiferente entre ambos tipos de activos. h ³ í ¡ ¢ f U W =E U W

(4.5)

Esto, gráÞcamente, equivale a lo siguiente: 1

Salvo que se explícite lo contrario, asumiremos que los agentes son aversos al riesgo.

4.3 GRADOS DE AVERSIÓN AL RIESGO

35

U(W)

E[U]=U[E

premio por riesgo

W-

4.2.2

E[W~]

Premio Por Riesgo

Definition 11 El premio por riesgo (π) es el monto que un agente averso al riesgo estaría dispuesto a pagar para evitar una inversión riesgosa. ³ h i ´ h ³ í f f U E W −π = E U W (4.6)

h i f como π son valores ciertos, por tanto es trivial notar que el Tanto E W premio por riesgo se encuentra vinculado al concepto de equivalente cierto. h i h i f f −W W =E W −π ⇔π =E W (4.7)

4.3

Grados de Aversión al Riesgo

La distincion entre aversión, preferencia o neutralidad al riesgo puede resultar muy restrictiva si lo que, por ejemplo, nos interesa hacer es una comparación entre el grado de aversión al riesgo del subconjunto de agentes aversos al riesgo. En otras palabras, requerimos deÞnir una medida más precisa de la curvatura del índice de utilidad esperada (más curvatura equivale a mayor aversión al riesgo).

36CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE Si el índice de utilidad esperada es estrictamente creciente y dos veces continuamente diferenciable, entonces es posible deÞnir el siguiente par de medidas de aversión al riesgo. Definition 12 Grado de Aversión Absoluta al Riesgo es el grado de aversión de un agente a jugar un monto fijo absoluto en una lotería de precio justo. u00 (W ) AAR (W ) = − 0 u (W )

(4.8)

Definition 13 Grado de Aversión Relativa al Riesgo es el grado de aversión de un agente a jugar una proporción fija de su riqueza en una lotería de precio justo. u00 (W ) (4.9) ARR (W ) = −W · 0 u (W ) Por deÞnición, tenemos que u00 (·) < 0. De tal forma que      > 0 si el agente es averso al riesgo      grado de aversión al riesgo = = 0 si el agente es neutral al tiesgo       < 0 si el agente es preferente al riesgo  

(4.10)

4.4

Preferencias en el Espacio de Media y Varianza

Como veremos más adelante, en muchas aplicaciones resulta particularmente útil suponer que la utilidad esperada se puede representar en un espacio de media y varianza de las distribuciones de probabilidad sobre los estados de la naturaleza. Existen dos formas de llegar a este resultado: 1. Suponer que las distribuciones de probabilidad de los retornos de los activos Þnancieros pueden ser representados completamente por los 2 primeros momentos de su distribución. La única función de distribución (estable) que cumple con tal propiedad es la distribución Normal. Lamentablemente, la distribución efectiva de retornos de activos generalmente tiende a no parecerse mucho a una distribución Normal.

4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA37 2. Una segunda alternativa consiste en no imponer ninguna restricción sobre la distribución de probabilidades sino que sobre la forma de la función de utilidad esperada. Suponga que la función de utilidad es cuadrática (4.11) u (W ) = αW 2 + W Por deÞnición, tenemos que E (W ) = µW

(4.12)

Mientras que la utilidad esperada es E (u (W )) =

N X

£ ¤ ¡ ¢ pi · Wi + αWi2 = E (W ) + αE W 2 (4.13)

i=1 ¡ ¢ E (u (W )) = µW + αE W 2

(4.14)

Por su parte, la deÞnición de la varianza de W es2 V ar (W ) = σ 2W =

N X i=1

2

¡ ¢ pi · [Wi − µW ]2 = E W 2 − µ2W

(4.15)

Parta de la deÞnición de la varianza V ar (W ) = E [W − µW ]2 ¢ ¡ = E W 2 − 2E (W · µW ) + µ2W

La deÞnición de la covarianza de W y µW es

Cov (W, µW ) = E [(W − E (W )) (µW − E (µW ))] = E (W · µW ) − µ2W Como la covarianza entre una variable aleatoria (W ) y una constante (µW ) es siempre cero E (W · µW ) − µ2W = 0 E (W · µW ) = µ2W Reemplazando esto último en la deÞnición de la varianza de W ¢ ¡ V ar (W ) = E W 2 − 2µ2W + µ2W ¢ ¡ V ar (W ) = E W 2 − µ2W

38CHAPTER 4 DECISIONES DE INVERSIÓN BAJO INCERTIDUMBRE Reemplazando la expresión (4.15) en la deÞnición de la utilidad esperada (ecuacion (4.14)), se obtiene que ¡ ¢ E (u (W )) = µW + α σ 2W + µ2W

(4.16)

Las preferencias se encuentran perfectamente especiÞcadas por los primeros dos momentos de una distribución aleatoria (la media y la varianza). El problema con la función de utilidad cuadrática es que viola el supuesto de no saciedad de una función de utilidad, u0 (·) > 0. Cuando α < 0, u (W ) es decreciente para todo el rango de valores W > − 12 α.

Media de W

La simple intuición nos indica que a un agente averso al riesgo no le gustará la varianza de riqueza tal que sus curvas de indiferencia en el espacio de media y varianza tomarán la siguiente forma.

Var(W)

Por su parte, al agente preferente al riesgo le gustará tener mucha varianza en su riqueza, tal que sus curvas de indiferencia en el espacio de media y varianza tomarán la siguiente forma.

Media de W

4.4 PREFERENCIAS EN EL ESPACIO DE MEDIA Y VARIANZA39

Var(W)

Media de W

Finalmente, aquellos agentes con neutralidad al riesgo verán representadas sus preferencias en el espacio de media y varianza por el siguiente tipo de curvas de indiferencia.

Var(W)

Chapter 5 Combinaciones de Activos Durante el capítulo previo de este este curso nos dedicamos a demostrar que de acuerdo a un grupo importante de supuestos1 es posible caracterizar las preferencias de los consumidores en un espacio deÞnido por los dos primeros momentos de una distribución aleatoria: la media y la varianza. Más aún, con algún trabajo adicional, es posible demostrar que estas preferencias en media y varianza son convexas2 . Ahora bien, como es cierto en cualquier problema de optimización bajo restricciones (como en que el por ejemplo un agente intenta maximizar su función de utilidad sujeto a restricciones), es necesario identiÞcar el set de posibilidades de inversión. Esto es lo que se conoce como la Frontera de Posibilidades de Inversión, y cuyas propiedades son las que, a continuación, se intentará caracterizar en más detalle.

5.1

El Caso de 2 Activos Financieros

DeÞnamos A y B como los dos únicos activos Þnancieros disponibles para inversión. La media y varianza de ambos tipos de activos se expresará como E (RA ), E (RB ) y σ 2 (RA ), σ 2 (RB ) respectivamente. Ademas, la proporción de la riqueza invertida en el activo A se denotará α tal que (1 − α) es la proporción invertida en el activo B. De esta forma, el retorno esperado y 1

Por ejemplo, que los retornos de los activos provengan de una distribución Normal multivariada o que la función de utilidad de los inversionistas sea cuadrática. 2 Por convexidad, nos referimos a que la combinación lineal entre dos canastas de consumo indiferentes para el inversionista (A y B), es siempre preferida a A o B. Convexidad: A ∼ B ⇒ αA + (1 − α) B Â A y B

41

42

CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS

la desviacion estándar del portafolio P constituido por la combinación de ambos activos puede ser expresado como E (RP ) = αE (RA ) + (1 − α) E (RB ) (5.1) q σ (RP ) = α2 σ 2 (RA ) + (1 − α)2 σ 2 (RB ) + 2α (1 − α) cov (RA , RB()5.2)

Sin embargo, como la covarianza entre RA y RB es por deÞnición: cov (RA , RB ) = σ (RA ) σ (RB ) ρA,B

(5.3)

donde ρA,B es el coeÞciente de correlación entre los retornos de A y B. Por deÞnición, tenemos que −1 < ρA,B < 1, donde ρA,B = −1 implica que ambos activos están (perfectamente) negativamente correlacionados y ρA,B = 1 implica que ambos activos están (perfectamente) positivamente correlacionados. Reemplazando (5.3) en (5.2) obtenemos q σ (RP ) = α2 σ 2 (RA ) + (1 − α)2 σ 2 (RB ) + 2α (1 − α) σ (RA ) σ (RB ) ρA,B (5.4)

5.1.1

Sin Venta Corta de Activos

Supongamos por ahora que no existe venta corta de activos3 tal que 0 < α < 1 y analicemos entonces las propiedades de los portafolios contruídos como combinación de los activos A y B. En primer lugar, note de la ecuación (5.1) que la media del portafolio es una combinación lineal de la medias de cada activo y no depende en ninguna forma de la correlación entre ambas clases de activos. Por lo tanto, simplemente nos centraremos en lo que ocurre con la desviación estándar del portafolio bajo distintos escenarios de correlación de retornos entre activos. ¡ ¢ • Caso 1: Activos perfectamente (positivamente) correlacionados ρA,B = 1 Si ρA,B = 1, la ecuación (5.4) es simplemente

σ (RP ) = |ασ (RA ) + (1 − α) σ (RB )| 3

(5.5)

Se conoce como venta corta de activos, el caso en el cual un inversionista pide prestado un activo Þnanciero para venderlo hoy pero tiene la obligación de restituirlo en el futuro. En la practica, la venta corta permite mantener posiciones negativas en alguna clase de activos, i.e. α < 0.

43

5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS

donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución del problema cuadrático tome la raíz positiva del problema4 . El gráÞco 1 muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de ambos tipos de activos, cuando E (RA ) = 3%, σ (RA ) = 1%, E (RB ) = 10%, σ (RA ) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos de ambos tipos de activos sea uno implica que todos los portafolios compuestos por ambos activos estén sobre la linea recta que une ambos activos. 12.0% B

10.0%

Media

8.0% 6.0% 4.0% A 2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

ρA,B = 1.0 ¡ ¢ • Caso 2: Activos perfectamente (negativamente) correlacionados ρA,B = −1 Si ρA,B = −1, la ecuacion (5.4) es simplemente

σ (RP ) = |ασ (RA ) − (1 − α) σ (RB )|

(5.6)

donde el valor absoluto es necesario para asegurar que la solución del problema cuadrático tome la raíz positiva del problema. El gráÞco 2 muestra todas los portafolios posibles de alcanzar con combinaciones de 4

Por deÞnición, la desviación estándar es siempre positiva.

44

CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS ambos tipos de activos, cuando E (RA ) = 3%, σ (RA ) = 1%, E (RB ) = 10%, σ (RA ) = 6%. El hecho de que la correlación entre los retornos de ambos tipos de activos sea -1 implica que existe un portafolio que tiene la propiedad de tener una desviación estándar igual a 0. En el gráÞco 2, este portafolio es el que corresponde al punto C. Simple algebra nos permite determinar que el portafolio C es aquel que cumple con la siguiente composición α=

σ (RB ) 5 σ (RA ) + σ (RB )

(5.7)

12.0% B

10.0%

Media

8.0% 6.0% 4.0%

C A

2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

ρA,B = −1.0 • Ademas, por simple inspección geométrica del gráÞco 2 es posible determinar que cuando ρA,B = −1.0, toda la combinación posible de portafolios se reduce a dos segmentos lineales (A − C y C − B). El segmento A − C se describe por la siguiente recta σ (RP ) = ασ (RA ) − (1 − α) σ (RB ) si α > 5

Reemplace σ (R) = 0 en 5.6 y resuelva para α.

σ (RA ) σ (RA ) + σ (RB )

(5.8)

45

5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS

Mientras que el segmento C − B es simplemente la recta descrita por σ (RP ) = (1 − α) σ (RB ) − ασ (RA ) si α <

σ (RA ) σ (RA ) + σ (RB )

(5.9)

¡ ¢ • Caso 3: Activos imperfectamente correlacionados −1 < ρA,B < 1

En primer lugar, es importante resaltar el hecho de que independiente del coeÞciente de correlación entre ambos tipos de activos, si se invierte el 100% del riqueza en A (α = 1), tendremos que las ecuaciones (5.1) y (5.2) se transforman en E (RP ) = E (RA ) y σ (RP ) = σ (RA ). De la misma forma, si el 100% de la riqueza es invertida en el activo B (α = 0), las ecuaciones (5.1) y (5.2) se transforman en E (RP ) = E (RB ) y σ (RP ) = σ (RB ). En este sentido, independiente de la composición del portafolio su representación gráÞca en el espacio de media y desviación estándar debe pasar por los puntos A y B. Dado que −1 < ρA,B < 1, podemos decir lo siguiente acerca de la ecuación (5.2):

σ (RP ) < ασ (RA ) + (1 − α) σ (RB ) si ρA,B < 1 σ (RP ) > ασ (RA ) − (1 − α) σ (RB ) si ρA,B > −1

(5.10) (5.11)

En términos gráÞcos, esto implica que en el gráÞco 2, el portafolio que combina los activos A y B, debe estar a la izquierda del segmento A−B (ecuación (5.10)) y a la derecha del segmento A−C −B (ecuacion (5.11)). En el siguiente graÞco, es posible apreciar los portafolios que combinan A y B cuando −1 < ρA,B < 16 . 6

El gráÞco está construído con un valor ρA,B = −0.8.

46

CHAPTER 5 COMBINACIONES DE ACTIVOS 12.0% 10.0%

B

Media

8.0% 6.0% 4.0%

C A

2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

ρA,B = −0.8

• Ahora bien cabe preguntarse porque la representación gráÞca de los portafolios formados por A y B en el espacio de media y desviacion estándar tienen una forma suavemente concava. Para clariÞcar el punto, suponga que tuvieran una forma convexa como la línea punteada en el siguiente gráÞco.

47

5.1 EL CASO DE 2 ACTIVOS FINANCIEROS 12.0% 10.0%

B

Media

8.0% 6.0% v

4.0%

C

u

A 2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

• Como u y v se encuentran sobre la línea roja, estos portafolios deben ser una combinacion de A y B. De esta forma, cualquier combinación de A y B puede ser expresada como una combinación de los portafolios u y v. Por lo tanto, aplica lo siguiente para el segmento de portafolios entre u y v: σ (RP ) < αu σ (Ru ) + (1 − αu ) σ (Rv ) si ρA,B < 1 σ (RP ) > αu σ (Ru ) − (1 − αu ) σ (Rv ) si ρA,B > −1

(5.12) (5.13)

Esto implica que el segmento de portafolios ubicados entre u y v debe estar necesariamente a la izquierda de la línea recta trazada entre u y v, lo cual es contradictorio con una forma convexa para la combinación de media y desviación estándar de los portafolios compuestos por A y B.

5.1.2

Con Venta Corta de Activos

La venta corta de activos es una simple operación Þnanciera que consiste básicamente en lo siguiente: pedir prestado un activo Þnanciero, el cual se

48


devolverá en algún punto en el futuro. En la práctica, esto es como ir a solicitar un crédito en el banco. Siempre se puede ir a un banco y solicitar un crédito a plazo que se devolverá como dinero más un cierto pago de interés prepactado. La venta corta es lo mismo, se puede acudir al tenedor de un activo, pedírselo prestado, venderlo, recaudar recursos para invertirlos o consumirlos, comprarlo nuevamente en algún punto del futuro y devolverlo a quien originalemente lo prestó. Suponga como hasta ahora que existen dos activos Þnancieros: A y B. Usted podría acudir hasta donde un tenedor del activo A, pedirle prestado su activo, vender A y con ese dinero comprar B. En este sentido, su posición neta en el activo A sería negativa (α < 0) y su posición neta en B sería mayor al 100%. De esta forma, y tal como se aprecia en el siguiente gráÞco, el alzamiento de la restricción a la venta corta de activos permite desplazar la combinación de alternativas alcanzables de media y desviación estándar a la derecha de los puntos A y B.

14.0% 12.0% 10.0%

B

8.0%

Media

6.0% 4.0% 2.0%

A

0.0% -2.0% -4.0% -6.0% -8.0% 0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

Desviacion Estandar

Combinación de Activos A y B con Venta Corta de Activos

49

5.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS

5.2

Extensión a N Activos

En la medida que un portafolio compuesto por A y B es trivialmente implementable, este portafolio también puede ser combinado con un tercer activo D para obtener nuevos portafolios que son combinación de A, B y D. Por lo tanto, todo lo señalado en la sección anterior es trivialmente aplicable a una situación con una cantidad N > 2 de activos Þnancieros7 . Suponga la existencia de un número Þnito N de activos Þnancieros y deÞna αiP , αjP y σ ij como la proporción del portafolio P invertida en el activo i, la proporción del portafolio P invertida en el activo j y la covarianza entre activos i y j respectivamente. De esta forma, la media y la varianza de un portafolio P puede ser descrita por el siguiente par de ecuaciones: E (RP ) = σ 2 (RP ) =

N X

αiP E i=1 N N X X

(5.14)

(Ri )

αiP αjP σ ij

(5.15)

i=1 j=1

Sabemos que la contribución del activo i a la media (retorno) del portafolio es simplemente E (Ri ), ahora nos gustaría establecer la contribución de ese mismo activo a la varianza (riesgo) del portafolio. Para eso, reescribamos la ecuacion (5.15) como ÃN ! N X X σ 2 (RP ) = αiP αjP σ ij (5.16) i=1

j=1

PN

De manera obvia, el término j=1 αjP σ ij es la contribución del activo i a la varianza (riesgo) del portafolio P . Es importante notar que este término es la contribución de i al riesgo de un único portafolio, P . La contribución al riesgo de cualquier otro portafolio dependerá de la composición de tal portafolio. Analícemos un poco más en detalle la contribución de i al riesgo del portafolio P . Este puede fácilmente ser descompuesto en dos partes. N X j=1

7

αjP σ ij = αiP σ 2 (Ri ) +

N X

αjP σ ij

(5.17)

j=1 j6=i

Siempre puedo agrupar una cantidad grande de activos en dos portafolios distintos y construir combinaciones de dos portafolios.

50


El primer término a la derecha de la ecuación (5.17) es el porcentaje de P invertido en i multiplicado por la varianza de i. Este término es completamente idiosincrático al activo i debido a que no depende de otro activo j. Ahora bien el segundo término a la derecha de la ecuación (5.17) si depende del resto de los activos en P . Si la covarianza entre el activo i y el activo j (que P ) es negativa, entonces el término PN tambien forma parte del portafolio 8 j=1 αjP σ ij es obviamente negativo . Por lo tanto, a pesar de que la varj6=i

ianza de cualquier activo es, por deÞnición, siempre positiva, no es posible determinar a priori si la contribución de un activo al riesgo del portafolio será positiva (y de qué magnitud) en la medida que es necesario conocer su covarianza con el resto de activos. Su covarianza con el resto de los componentes del portafolios (los activos j) puede ser negativa y contribuir a reducir el riesgo (varianza del portafolio).

En este punto, ya conocemos la contribución de un activo a la media y la varianza de un portafolio. No obstante, surge la pregunta obvia: ¿a qué portafolio nos referimos? Supongamos de nuevo que se poseen tres alternativas de inversión: A, B y D. En el siguiente gráÞco, se muestran tres combinaciones posibles de activos: la combinación de A y B, la combinación de B y D y la combinación de A y D.

8

Obviamente, asumiendo que αjP > 0, esto es que existe prohibición a la venta corta de activos.

51

5.2 EXTENSIÓN A N ACTIVOS 12.0% B

10.0% 8.0%

Media

6.0% 4.0%

D A

2.0% 0.0% -2.0% -4.0% 0.0%

2.0%

4.0%

6.0%

8.0%

10.0%

12.0%

Desviacion Estandar

Un portafolio como P puede estar en cualquiera de esas combinaciones o en alguna adicional que incluya a los tres activos (esas combinaciones no se graÞcan aquí). En el siguiente capítulo, nos referiremos a las combinaciones eÞcientes entre N activos y que son los únicos portafolios en los cuales un inversionista tipo estará interesado en invertir.

Chapter 6 La Frontera Eficiente 6.1

El Concepto de Diversificación de Activos

En Þnanzas resulta habitual escuchar analistas recomendar estrategias de inversión basadas en la diversiÞcación de activos. En tal contexto, el concepto de diversiÞcación no se reduce más que a una estrategia del tipo de no colocar todos los "huevos" en la misma canasta. No obstante, este concepto es un poco más profundo que la simple idea de no colocar todos los "huevos" en la misma canasta. De acuerdo a la ecuación (5.17) en el pasado capítulo, es posible cuantiÞcar la contribución de un activo al riesgo (varianza) del portafolio. Como ya se señaló, existe un riesgo idiosincrático a cada activo que es su propia varianza. Pero cada activo se mueve también en algún grado con el resto de los activos de ese portafolio (la covarianza). Un par de activos con covarianza negativa, en los cuales se invierte en montos positivos1 , tendrá una contribución negativa al riesgo (varianza) del portafolio. No obstante, tal estrategia no implica necesariamente una diversiÞcación eÞciente de los riesgos de mercado. Suponga el siguiente ejemplo donde existen tres alternativas de inversión (A, B y D) cuyas medias, varianzas y covarianzas se detallan en el siguiente cuadro.

1

Esto es sin venta corta.

53

54

CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE Media Varianza-Covarianza

A

B

D

A

3%

A

0.25% -0.01%

0.01%

B

10%

B

0.36%

-0.02%

D

4%

D

0.16%

Uno podría decir entonces que, dado que existen pares de covarianzas negativas entre activos, podriamos formar portafolios que reducen el riesgo (varianza) de los activos individuales. Seleccionemos un portafolio E con proporciones arbitrariamente Þjas en un tercio de la riqueza para cada activo. Aplicando las ecuaciones (5.14) y (5.15), podemos representar este portafolio E en el espacio de media y desviacion estándar (siguiente gráÞco). 12.0% 10.0%

B

Media

8.0% 6.0%

F

E

4.0%

D A

2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

Este portafolio E tiene la menor desviación estándar al compararlo con los activos individuales (fruto de covarianzas negativas). No obstante, es posible también construir un portafolio F de igual media y menor desviación estándar que E. Este portafolio F se compone de 24% invertido en A, 32% invertido en B y 44% invertido en D, de tal forma que cuesta lo mismo que el portafolio E. Resulta obvio que F domina a E en la medida que ofrece igual retorno (media) con menor riesgo (desviación estándar). Por lo tanto, ningún inversionista racional podría diversiÞcar su portafolio de acuerdo a

6.2 CARACTERIZACIÓN GRÁFICA DE LA FRONTERA EFICIENTE55 E si lo puede hacer mejor diversiÞcando como en F. Esto es la base de una diversiÞcación eÞciente, tengo que buscar combinaciones eÞcientes que me reduzcan al mínimo la desviación estándar de un portafolio. Cualquier otro portafolio que a pesar de reducir la varianza de los activos individuales no reduzca al máximo el riesgo diversificable no puede ser considerado un portafolio eÞciente.

6.2

Caracterización Gráfica de la Frontera Eficiente

Tal como es posible encontrar un portafolio de menor desviación estándar que E pero con igual retorno esperado (media). Este ejercicio es también posible de implementar para todo el espacio de retornos esperados. En el siguiente gráÞco, la línea punteada muestra los puntos de menor desviación estándar para cada nivel de retorno generados como la combinación lineal de los activos individuales A, B y D. 12.0% 10.0%

B

Media

8.0% 6.0%

F

E

4.0%

D A

2.0% 0.0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

La linea punteada es lo que se conoce como la Frontera Eficiente, y corresponde a todos los portafolios de mínima desviación estándar para cada nivel de retorno. Todos los activos contenidos en tal frontera son también

56

CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE

conocidos como Portafolios de Mínima Varianza. En la siguiente sección nos referiremos a las propiedades únicas que comparten todos los Portafolios de Mínima Varianza.

6.3

Propiedades de la Frontera Eficiente

En la sección previa hemos delineado la base de la diversiÞcación. Esto puede ser formalizado algebraicamente con algo más de cuidado. Suponga que existen N activos disponibles. Lo que buscamos son portafolios eÞcientes, es decir combinaciones de N activos que reduzcan al mínimo la varianza de un portafolio para cada nivel de P media PN(retorno). DeÞnamos la varianza de un portafolio como σ 2 (RP ) = N i=1 j=1 αiP αjP σ ij , entonces los portafolios de mínima varianza (MV) son la solucion al siguiente problema de optimización. min σ 2 (RP )

(6.1)

{αiP }N

sujeto al siguiente par de restricciones N X

(6.2)

αiP E (Ri ) = E (RMV )

i=1

N X

(6.3)

αiP = 1

i=1

donde E (RM V ) se reÞere al nivel de retorno esperado (media) para el cual se pretende minimizar la varianza del portafolio. Tal como es estándar en cualquier problema de optimización con restricciones, su solución requiere en primer lugar la implementación de un lagrangeano. "

L = σ 2 (RP ) + 2λM V E (RM V ) −

N X i=1

#

"

αiP E (Ri ) + 2φM V 1 −

N X i=1

αiP

#

(6.4) donde 2λM V y 2φM V corresponden a los multiplicadores lagrangeanos de las restricciones (6.2) y (6.3). Ahora bien, la solución al problema de los portafolios de mínima varianza corresponde a N condiciones de primer orden

57

6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE del siguiente tipo,

∂L ∂αiP

= 0,

N X

αjM V σ ij − λM V E (Ri ) − φM V = 0

j=1

(6.5)

donde αjMV son las proporciones de cada activo invertidas en el portafolio de mínima varianza (MV) con retorno esperado E (RM V ). Como la ecuación (6.5) se satisface para todo activo i es cierto entonces que se satisface para un activo k N X αjM V σ kj − λM V E (Rk ) − φMV = 0 (6.6) j=1

Igualando el lado derecho de las ecuaciones (6.5) y (6.6) obtenemos N X j=1

N X

αjM V σ kj − λM V E (Rk ) =

j=1

αjM V σ ij − λM V E (Ri )

(6.7)

Multiplicando ambos lados de la expresion 6.7 por αkM V obtenemos N X j=1

αkM V αjM V σ kj −λM V αkM V E (Rk ) =

N X j=1

αjM V σ ij αkM V −λM V E (Ri ) αkM V (6.8)

Sumando la expresión previa para todo k, se tiene que N X N X k=1 j=1

αkM V αjM V σ kj −λM V

N X

αkM V E (Rk ) =

N X j=1

k=1

αjM V σ ij

N X k=1

αkM V −λM V E (Ri ) (6.9)

Reordenado términos σ 2 (RMV ) − λM V E (RMV ) = E (Ri ) − E (RMV ) =

N X j=1

αjM V σ ij − λM V E (Ri )

1 λMV

"N X j=1

αjMV σ ij − σ 2 (RM V )

(6.10) #

(6.11)

La ecuación (6.11) es particularmente relevante porque nos indica que la diferencia de retorno esperado entre cualquier activo i y un portafolio de

N X k=1

αkM V

58

CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE

mínima varianza es una relación lineal entre la diferencia entre contribución Pla N al riesgo del activo i en el portafolio de mínima varianza ( j=1 αjM V σ ij ) y el riesgo total del portafolio de mínima varianza (σ 2 (RM V )). Más aún, la pendiente de esa relación lineal es la inversa de un medio del multiplicador de lagrange de la restricción (6.2). Cuesta interpretar intuitivamente la pendiente de la relación (6.11), ya que depende de un multiplicador de lagrange que no es observable. Sin embargo, de acuerdo al TEOREMA DE LA ENVOLVENTE, sabemos por deÞnición que un multiplicador lagrangeano es la tasa de cambio del objetivo ya minimizado (σ 2 (RMV )) cuando se cambia el valor de la restricción (6.2). 2λM V =

dσ 2 (RM V ) ⇐⇒ Teorema de la Envolvente dE (RM V )

(6.12)

DeÞnamos γ M V como la pendiente de la frontera eÞciente en cualquier portafolio de mínima varianza, tal que dE (RMV ) dσ (RM V ) dσ (RM V ) = dE (RMV )

γMV = 1 γMV

(6.13) (6.14)

Podemos aplicar la regla de diferenciación de la cadena sobre la expresión anterior para obtener lo siguiente dσ (RM V ) dσ 2 (RM V ) dσ (RM V ) = dE (RM V ) dσ 2 (RM V ) dE (RM V ) dσ (RM V ) 1 dσ 2 (RM V ) = dE (RM V ) 2σ (RM V ) dE (RMV ) | {z }

(6.15) (6.16)

2λM V , ec. 6.12

dσ (RM V ) λM V 1 = = dE (RM V ) σ (RMV ) γ MV 1 γMV = λM V σ (RMV )

(6.17) (6.18)

Por lo tanto, la pendiente de la relación lineal entre retorno esperado y contribución al riesgo del portafolio de míninima varianza (ecuacion (6.11)) es el cuociente entre la pendiente de la frontera eÞciente en cualquier portafolio

6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE

59

de mínima varianza y la desviación estándar de ese portafolio de mínima varianza. Reemplazando la expresión (6.18) en la ecuación (6.11), se obtiene

# "N X γ MV 2 E (Ri ) − E (RM V ) = αjM V σ ij − σ (RM V ) σ (RMV ) j=1

E (Ri ) = E (RM V ) − γ M V σ (RMV ) +

N γMV X αjM V σ ij σ (RM V ) j=1 | {z }

(6.19)

(6.20)

cov(Ri, RM V )

E (Ri ) = E (RM V ) − γ M V σ (RMV ) + γ M V

cov (Ri, RMV ) σ (RM V )

(6.21)

La pregunta relevante en este punto es, ¿qué cosa es la pendiente de la frontera eÞciente? El siguiente gráÞco se muestra la pendiente de la frontera eÞciente para un portafolio de mínima varianza (MV)2 . Se detalla también ahí un portafolio (0,MV) que pertenece a la pendiente de la frontera eÞciente en el portafolio MV, pero que corta el eje de las Y en el punto cero de desviación estandar. Ese portafolio 0,MV es lo que se conoce como el portafolio de beta cero.

2

O lo que es lo mismo, sobre la frontera eÞciente.

60

CHAPTER 6 LA FRONTERA EFICIENTE 12% 10%

Media

8% MV

6% 4% 2% 0,MV

0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

Por construcción geométrica, la pendiente de la frontera eÞciente en el punto MV es E (RM V ) − E (R0,M V ) (6.22) γMV = σ (RM V ) Reemplazando (6.22) en (6.21), se obtiene la siguiente expresión E (Ri ) = E (RM V )−

E (RM V ) − E (R0,M V ) E (RM V ) − E (R0,M V ) cov (Ri, RM V ) σ (RM V )+ σ (RM V ) σ (RM V ) σ (RM V ) (6.23)

E (Ri ) = E (R0,M V ) + [E (RMV ) − E (R0,M V )]

cov (Ri, RMV ) σ 2 (RM V ) {z } |

(6.24)

β i,M V

La ecuación (6.24) nos presenta una simple relación lineal que vincula el retorno esperado (media) de un activo i con su contribución al riesgo del portafolio de mínima varianza MV. β i,M V es la contribución del activo i al riesgo del portafolio de mínima varianza MV como porcentaje del riesgo (varianza) total del portafolio MV. De esta forma, el término

6.3 PROPIEDADES DE LA FRONTERA EFICIENTE

61

[E (RM V ) − E (R0,M V )] β i,M V puede ser interpretado como el premio por riesgo sobre el retorno de MV en la relación entre el retorno esperado del activo i y su contribución al riesgo del portafolio MV. Si el activo i, no contribuye al riesgo del portafolio MV, tenemos que β i,M V = 0, y por tanto el activo i no tiene riesgo en relación al portafolio MV. En este sentido, la ecuacion (6.24) indica que el retorno esperado en cualquier activo i es igual al retorno esperado en un activo que no tiene riesgo en relación al portafolio MV más un premio por riesgo que es la diferencia entre el retorno esperado en el portafolio MV y el portafolio 0,MV multplicado por β i,M V .

Chapter 7

Equilibrio de Mercado

Al momento de analizar las propiedades de los portafolios de mínima varianza (la frontera eÞciente) no nos hemos referido en ninguna forma a las preferencias de los consumidores. En este punto sólo sabemos que ellos tienen preferencias sobre los dos primeros momentos (media y varianza) de ditribuciones aleatorias de retornos. Cabe la pregunta, ¿cuáles son los puntos que seleccionan estos inversionistas? Lo poco que sabemos hasta ahora es que elegirán portafolios sobre el segmento superior de la frontera eÞciente. Esto es relativamente obvio en la medida que ubicarse en el segmento inferior de la frontera siempre permite una estrategia en puntos de mayor retorno para el mismo desvío estandar. Sin embargo, resulta bastante obvio que distintos inversionistas, con distintas preferencias, invertirán en portafolios distintos tal cual como, a continuación, se graÞca. 63

64

CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO 12% 10%

Media

8% 6% 4% 2% 0,MV

0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

Dado que conocemos interesantes propiedades de los puntos en la frontera1 , nos gustaría saber si es que portafolios que si observamos2 se ubican sobre la frontera eÞciente y por lo tanto comparten las propiedades de los portafolios que se ubican sobre la frontera. Esta pregunta es en extremo relevante porque envuelve una pregunta aún más importante, existe equilibrio en el mercado tal que los portafolios agregados que observamos son parte de la frontera eÞciente.

7.1

La Definición de Equilibrio de Mercado

¿Por qué nos interesa el equilibrio de mercado? ReÞérase a sus notas de clases de Microeconomia I, la existencia de un equilibrio de mercado implica la existencia de un único set de precios que vacía los mercados. Por lo tanto, la existencia de un equilibrio nos asegura que existe un set de precios únicos al cual los inversionistas transan activos. 1

Por ejemplo, que existe una relación lineal entre el retorno esperado de cualquier activo y su contribución al riesgo de un portafolio en la frontera. 2 Por ejemplo, índices accionarios locales como el IPSA o el IGPA o índices accionarios internacionales como el S&P-500 o el Dow Jones.

7.2 EL PORTAFOLIO DE MERCADO Y EL EQUILIBRIO DE MERCADO65 León Walras nos ha proveído de una manera formal de deÞnir un equilibrio (el equilibrio competitivo o walrasiano) que aquí utilizaremos para deÞnir un equilibrio en una economia de dotación y con activos Þnancieros. Definition 14 Un equilibrio competitivo es un set de retornos esperados (R), una matriz de covarianza de retornos (Ω), dotaciones de riquezas por indij=1...J viduo j {W j } y proporciones de esa riqueza invertidas en el activo i i=1...N por el individuo j {αij }j=1...J , tal que: • Dado el vector de retornos esperados y la matriz de covarianza, cada inversionista j resuelve su propio problema de maximización en el espacio de media y desviación estándar, tal que E (Ri ) = E (R0,M V j ) + [E (RM V j ) − E (R0,MV j )] β i,MV j

(7.1)

donde M V j se refiere al portafolio de mínima varianza (sobre la frontera eficiente) que selecciona el inversionista j. Este portafolio mantiene proporciones αij invertidas en cada activo i. • El mercado de activos financieros se vacía J X

W j αij = 0, para todo activo i

(7.2)

j=1

La implicancia de la condición de mercado es simplemente que todo activo Þnanciero emitido por un inversionista debe ser mantenido por algún otro inversionista, tal que su oferta neta es cero.

7.2

El Portafolio de Mercado y el Equilibrio de Mercado

La deÞnición del portafolio de mercado es particularmente obvia, pero también en extremo relevante. El portafolio de mercado es por construcción la suma ponderada de todos los activos que mantienen los j inversionistas. De la misma forma, si lo vemos como porcentaje de la riqueza total en la economía, el portafolio de mercado es el promedio ponderado de cada uno de los portafolios que mantienen los j inversionistas. De la deÞnición del

66

CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO

equilibrio competitivo, sabemos de una característica única de cada uno de los portafolios en manos de los j inversionistas, estos portafolios deben ser eÞcientes para resolver el problema de maximización del inversionista. Por lo tanto, estos portafolios deben ubicarse sobre la frontera eÞciente, i.e. son todos portafolios de mínima varianza (MV). La relevancia de esto último está dada por lo siguiente. Un equilibrio de mercado requiere que la demanda en cada activo sea igual a la oferta por este (el vaciado de mercado). Como el portafolio de mercado es el promedio ponderado de todos los portafolio de todos los inversionistas j, entonces para demostrar la existencia de un equilibrio competitivo basta con demostrar que el portafolio de mercado es eÞciente (mínima varianza). Para demostrar esto, es necesario introducir el Teorema de F. Black. Theorem 15 Teorema de Separación de 2 Fondos (Fisher Black). La Frontera Eficiente siempre puede ser generada como una combinación lineal de dos puntos cualquiera sobre la Frontera Eficiente. Proof. Reescribiendo en notación matricial, las N condiciones de primer orden del problema de optimización de portafolio (ecuación (6.5)), se obtiene que A XMV = λM V E (R) + φM V [1] (7.3) (N×N) (N×1)

(N ×1)

(N×1)

DeÞniendo D = A−1 , la expresión anterior se transforma en (7.4) XMV = λM V DE (R) + φMV D [1] # " N "N # X X dij E (Rj ) + φM V dij , para i = 1 . . . N (7.5) αiMV = λM V j=1

j=1

Expandiendo la expresión (7.5), " PN # " PN # N X N N N X X X d E (R ) d ij j ij j=1 j=1 dij E (Rj ) PN PN dij PN PN αiM V = λM V +φM V i=1 j=1 dij E (Rj ) i=1 j=1 dij i=1 j=1 i=1 j=1 PN PN PN PN(7.6) DeÞniendo yM V u = λM V i=1 j=1 dij E (Rj ), yM V v = φM V i=1 j=1 dij ,

αiu = en

!N

j=1 dij E(Rj ) !N !N i=1 j=1 dij E(Rj )

, αiv =

!N

j=1 dij !N !N i=1

j=1

dij

, la expresión anterior se convierte

αiMV = yM V u αiu + yM V v αiv

(7.7)

7.2 EL PORTAFOLIO DE MERCADO Y EL EQUILIBRIO DE MERCADO67 Dado que

PN

i=1

αiM V = 1, tenemos que

N X

αiM V = yMV u

i=1

yM V u + yM V v = 1

N X

αiu + yM V v

|i=1{z } 1

N X

αiv = 1

|i=1{z }

(7.8)

1

(7.9)

Por lo tanto, de acuerdo a las expresiones (7.7) y (7.9), cualquier portafolio de mínima varianza (MV) es un promedio ponderado de los portafolios u y v. Para completar la prueba del Teorema de Black nos falta demostrar que los portafolios u y v son portafolios de mínima varianza (MV) y se encuentran sobre la frontera eÞciente. Las proporciones invertidas en cada activo que deÞnen los portafolios u y v están dadas por PN j=1 dij E (Rj ) αiu = PN PN (7.10) i=1 j=1 dij E (Rj ) PN j=1 dij αiv = PN PN (7.11) i=1 j=1 dij

Por simple inspección de la expresión (7.6), es posible apreciar que el ³P P ´−1 N N portafolio u es de mínima varianza cuando φM V = 0 y λM V = d E (R ) . j i=1 j=1 ij Por su ³parte, el portafolio ´−1 v es de mínima varianza cuando λM V = 0 y PN PN φM V = . i=1 j=1 dij Por lo tanto, todo portafolio de minima varianza (MV) es una combinación lineal de dos portafolios u y v sobre la frontera eÞciente. Toda combinación de portafolios u y v sobre la frontera eÞciente que satisfacen la condición (7.9) es también un portafolio eÞciente. Una consecuencia directa del Teorema de Separación de 2 Fondos es que el portafolio de mercado debe ser eÞciente (y de mínima varianza). En la medida que todos los inversionistas eligen sólo portafolios eÞcientes3 , y dado que el portafolio de mercado es un promedio ponderado de esos portafolios eÞcientes se concluye que el portafolio de mercado (M) debe también ser eÞciente, tal como se muestra en el siguiente gráÞco. 3

Esto es en el segmento superior de la frontera eÞciente.

68

CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO 12% 10%

Media

8% M

6% 4% 2% 0,M

0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

7.3

El CAPM como Equilibrio de Mercado

La implicancia más relevante de la eÞciencia del portafolio de mercado (M) es que este debe compartir todas las propiedades de los portafolio sobre la frontera eÞciente. En particular, sabemos a partir de la relación (6.24) que todos los portafolios sobre la frontera eÞciente satisfacen la propiedad de que el exceso de retorno de cualquier activo i sobre el retorno esperado del activo en la frontera se relaciona linealmente con el porcentaje de la contribución al riesgo de ese activo i en el portafolio sobre la frontera. En la medida, que el portafolio de mercado (M) es eÞciente debe satisfacer la siguiente expresión E (Ri ) = E (R0,M ) + [E (RM ) − E (R0,M )] β i,M

(7.12)

La expresión (7.12) es lo que se conoce como el CAPM de Fisher Black e indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al retorno esperado de un activo no correlacionado con el portafolio de mercado4 más un premio por riesgo que es igual a la diferencia de retorno esperado 4

Es decir un activo con β iM = 0.

7.4 EL CAPM CUANDO EXISTE UN ACTIVO LIBRE DE RIESGO69 entre el mercado y el portafolio de beta cero multiplicado por la contribución proporcional del activo i al riesgo total del portafolio de mercado (M).

7.4

El CAPM cuando Existe un Activo Libre de Riesgo

Supongamos ahora que se encuentra disponible un nuevo activo Þnanciero libre de riesgo (Rf ) que por deÞnición tiene varianza cero y covarianza cero con el resto de los activos. Tal como se aprecia en el siguiente gráÞco, la aparición de este nuevo activo al combinarse con el portafolio de la frontera eÞciente que tangente a la línea que nace en Rf amplía las posibilidades de inversión de todos los inversionistas. De esta forma, cada uno de estos ya no invertirá en portafolios sobre la frontera eÞciente sino que en combinaciones entre Rf y el portafolio de tangencia (M) sobre la frontera eÞciente. 12% 10%

Media

8% M

6% 4% 2% Rf

0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

Sin embargo, note lo siguiente: el activo libre de riesgo Rf tiene covarianza cero con el portafolio en la tangencia (M) y ademas el portafolio M todavía pertenece a la frontera eÞciente, por lo tanto comparte todas sus propiedades (por ejemplo, la relación (6.24)). En ese sentido, si M es el portafolio de mercado la relación (7.12) se satisface pero con la única diferencia que el

70

CHAPTER 7 EQUILIBRIO DE MERCADO

portafolio de beta cero es el activo libre de riesgo(Rf ). Por lo tanto, la nueva expresión para el CAPM es directamente E (Ri ) = Rf + [E (RM ) − Rf ] β i,M

(7.13)

La expresión (7.13) es lo que se conoce como el CAPM de Sharpe y Litner e indica que el retorno esperado de cualquier activo i debe ser igual al retorno del activo libre de riesgo más un premio por riesgo que es igual a la diferencia de retorno esperado entre el mercado y el activo libre de riesgo multiplicado por la contribución proporcional del activo i al riesgo total del portafolio de mercado (M).

Chapter 8 Limitaciones del CAPM En este capítulo, nos referiremos brevemente a las objeciones más habituales que se le realizan a un modelo de equilibrio de mercado como el CAPM. Estas generalmente, se pueden dividir en dos clases de objeciones: teóricas y empíricas. En la práctica, ambas están fuertemente relacionados porque en general limitaciones teóricas al CAPM son las que generan sus problemas empíricos.

8.1

La Crítica de Roll

Se conoce como "crítica de Roll" a la siguiente observación sobre el CAPM realizada por el economista Richard Roll. De acuerdo a Roll, el portafolio de mercado (M) no es observable y por lo tanto, el CAPM es imposible de testear. El punto de Roll es que con algun éxito somos capaces de encontrar buenos datos para la parte del portafolio de mercado invertido en acciones o bonos. Sin embargo, la mayor parte de la riqueza de las personas está invertida en activos con escasos datos de calidad (como los activos inmobiliarios) o en activos directamente no observables (como el capital humano que cada persona invierte en sí mismo). El CAPM puede todavía ser cierto como modelo de equilibrio, pero de qué nos sirve si no somos capaces de testearlo empíricamente dado que el portafolio de mercado no es observable. 71

72

CHAPTER 8 LIMITACIONES DEL CAPM

8.2

Set de Posibilidades de Inversión No es Estable en el Tiempo

Hasta ahora hemos supuesto que tanto los retornos esperados como la covarianza de estos retornos es estable en el tiempo. El retorno esperado en el activo i es siempre E (Ri ) y la matriz de covarianza es siempre Ω. En este esquema, las posibilidades de inversión de un inversionista pueden ser especiÞcadas en un espacio deÞnido por media y varianza de los retornos (i.e. la frontera eÞciente). Sin embargo, piense en lo siguiente: suponga que la rentabilidad de los proyectos de inversión es cíclica1 . Si los proyectos de inversión son muy rentables hoy lo más probable es que no sean tan rentables en el futuro, por lo tanto en períodos de alta rentabilidad de proyectos el retorno esperado futuro puede caer. En términos gráÞcos, esto signiÞca que toda la frontera de posibilidades de inversión se mueve completa hacia abajo cuando la rentabilidad actual de los proyectos es muy alta. 12% 10% Desplazamiento de la frontera eficiente cuando la rentabilidad actual de los proyectos es alta

Media

8% 6% 4% 2% 0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

El argumento inverso es cierto cuando la rentabilidad actual de los proyectos es baja. 1

Por ejemplo, piense en el crecimiento del PIB. El PIB crece con ciclos, hay ciclos de alto crecimiento, seguidos por ciclos de menor crecimiento.

8.2 SET DE POSIBILIDADES DE INVERSIÓN NO ES ESTABLE EN EL TIEMPO73 12% 10% Desplazamiento de la frontera eficiente cuando la rentabilidad actual de los proyectos es baja

Media

8% 6% 4% 2% 0% 0.0%

1.0%

2.0%

3.0%

4.0%

5.0%

6.0%

7.0%

Desviacion Estandar

El desplazamiento de la frontera eÞciente sugiere entonces la necesidad de controlar el CAPM por todos los factores que mueven la frontera de posibilidades de inversión (por ejemplo, la rentabilidad de proyectos si creemos en su caracter cíclico). Esto es lo que se conoce como el ICAPM de Robert Merton. Su derivación es en la misma linea de la derivación del CAPM pero mucho mas compleja desde un punto de vista algebraico, así que se omitirá todo el desarrollo matemático. La siguiente ecuación muestra la relación de equilibrio que satisface el ICAPM de Merton. E (Ri ) = Rf + [E (RM ) − Rf ] β i,M +

F X k=1

[E (Rk ) − Rf ] β i,k

(8.1)

donde {Rk }k=1...F es el set de retornos de portafolios que se mueven como los factores que desplazan el set de posibilidades de inversión. El ICAPM no se reÞere en ninguna forma a cuales son esas variables que mueven la frontera eÞciente. La determinación de cuales son esas variables quedan al absoluto arbitrio del analista2 . El ICAPM ha dado espacio a un amplio ámbito de investigación empírica buscando cuales son los factores que debieran utilizarse 2

Fama dice que el ICAPM es como una licencia para buscar variables que sean capaces de explicar el retorno de mercado.

74


en el testeo empírico del ICAPM. Estos son los que se conocen como los modelos multifactoriales, cuyo ejemplo más famoso es el modelo de tres factores de Fama y French.

8.3

Los Resultados de Fama y French

El trabajo de Fama y French surge como la consecuencia de un hecho empírico de suma relevancia: el sonoro rechazo empírico a la hipótesis de equilibrio de mercado en el CAPM. El siguiente gráÞco muestra los retornos efectivos versus los retornos predichos por el CAPM para los 25 portafolios de Fama y French3 .

Frente a este fracaso empírico y basándose en la idea del ICAPM de Merton, Fama y French buscaron determinar variables empíricas que fueran capaces de explicar el movimiento en el set de posibilidades de inversión. El 3

Los 25 portafolios de Fama y French son portafolios creados en base a un Þltro de dos dimensiones que separa todas las acciones que se transan en el NYSE de acuerdo a un ranking de tamaño bursátil de las empresas y del ratio valor bolsa sobre valor libro. Estos portafolios se reagrupan en base anual.

8.3 LOS RESULTADOS DE FAMA Y FRENCH

75

modelo de tres factores de Fama y French es el que a continuación se detalla:

E (Ri ) = Rf +[E (RM ) − Rf ] β i,M +[E (RSM B ) − Rf ] β i,SM B +[E (RV M G ) − Rf ] β i,V M G (8.2) donde RSM B es el retorno de un portafolio compuesto por la mitad de compañías con mayor tamaño bursátil menos la mitad con menor tamaño bursátil y RV M G es el retorno de un portafolio compuesto por la mitad de compañías con mayor ratio valor bolsa sobre valor libro menos la mitad con menor ratio valor bolsa sobre valor libro. Por su parte, β i,SM B (β i,V M G ) es la covarianza del retorno del activo i con el portafolio SMB (VMG) sobre la varianza del portafolio SMB (VMG). El siguiente gráÞco muestra los resultados obtenidos por Fama y French para su modelo de tres factores.

Tal como se aprecia en el gráÞco precedente, el modelo de 3 factores de Fama y French tiene un poder explicativo ampliamente superior al CAPM original (en version de Black o Sharpe y Litner). Esto ha llevado a una vasta gama de académicos en el ámbito de las Þnanzas a tratar de explicar cuáles son los factores económicos subyacentes tras los factores de Fama y French. Las explicaciones van desde la irracionalidad de mercado hasta aversión al riesgo que se mueve de manera inversa con el ciclo económico.

76


8.4

El APT como Explicación Alternativa a los Resultados de Fama-French

El APT de Ross nace de una característica propia de los retornos accionarios: cuando sube una acción, en general suben todas las acciones. En otras palabaras, existe un fuerte componente común en los movimientos de los retornos accionarios. De esta forma, es posible separar los movimientos de los retornos de acciones o portafolios en dos componentes: una parte común a todas los activos y una parte ortogonal idiosincrática a cada activo. La intuición detras del APT es muy sencilla. La parte idiosincrática del retorno de cada activo no puede ser premiada por mayor retorno en la medida que cualquier inversionista racional podría diversiÞcar ese riesgo diversiÞcable vía la inversión en activos completamente diversiÞcados. Por lo tanto, los retornos esperados en un activo i deben estar relacionados sólo a la covarianza del retorno de i con el componente común a cada activo (i.e. los factores). La idea es que, sí por ejemplo no existiera riesgo idiosincrático, todos los activos se podrían valorizar exclusivamente por arbitraje (en otras palabras, el APT es una aplicación directa de la ley de un sólo precio). Incluso resulta atractivo suponer que si los riesgos diversiÞcables son pequeños, el precio de este riesgo4 debe ser reducido en relación al precio del componente común a todos los retornos. Esto es un gran avance en relacion al CAPM o al ICAPM porque no requiere de ninguna justiÞcación teórica. Partamos de una simple descomposición factorial de los retornos de un activo i: M X Ri = ai + β ij fj + εi (8.3) j=1

donde ai es una constante especíÞca a cada retorno de activo, β ij es la covarianza del retorno del activo i con el factor fj y dividido por la varianza del factor fj y εi es el riesgo idiosincrático a cada activo i5 . Podemos reescribir la ecuación (8.3) en términos de variables con media cero. Ri − E (Ri ) = 4 5

M X j=1

β ij [fj − E (fj )] + εi

En el margen, ojalá despreciable. En este sentido, este componente proviene de una distribución aleatoria.

(8.4)

8.4 EL APT COMO EXPLICACIÓN ALTERNATIVA A LOS RESULTADOS DE FAMA-F Si εi proviene de una distribución Normal, siempre podemos correr regresiones MICO para identiÞcar los parámetros β ij . En ese caso, por construcción, el componente εi cumple con las siguientes propiedades: E (εi ) = 0 y E (εiij [fj − E (fj )]) = 0. El APT impone las siguientes 2 condiciones de no arbitraje: 1. Si β ij = 0, para todo i, j, este portafolio de beta cero renta la tasa libre de riesgo, Rf . 2. La parte idiosincrática de cada activo (el riesgo no diversiÞcable) no esté correlacionado entre activos: E (εi εk ) = 0. Bajo estas 2 restricciones podemos deÞnir el APT como: E (Ri ) = Rf +

M X j=1

β ij E [fj − Rf ] , E (εi εk ) = 0 ⇐⇒ APT

(8.5)

La restrición (2) del APT impone también una restricción sobre la matriz de covarianza de los retornos. Suponga que existe un único factor f , entonces cov (Ri, Rk ) = E [(β i [f − Rf ] + εi ) (β k [f − Rf ] + εk )] ½ 2 ¾ σ ε si i 6= j 2 = β i β j σ (f) + 0 si i = j

(8.6) (8.7)

Por lo tanto, se entiende que, a partir del APT, la matriz de covarianzas de los retornos es una matriz singular (o una suma de matrices singulares con más de un factor) y una matriz diagonal. Si conocemos los factores a priori (por ejemplo, en el caso de los 3 factores de Fama-French6 ) podemos trivialmente correr regresiones para identiÞcar las restricciones a la matriz de covarianzas que identiÞcan los movimientos comunes a todos los activos y que por tanto son premiados por el mercado. Existe otra vertiente del APT que no utiliza factores conocidos ex-ante, sino que trata de identiÞcarlos en base a las propiedades de la matriz de covarianzas. Esto es lo que se conoce como el análisis factorial. Un ejemplo clásico de esto consiste en descomponer en los valores propios de la matriz de covarianza y Þjar arbitrariamente en cero todos los factores con valores propios muy pequeños. 6

Es por esto que algunos académicos llaman al modelo de 3 factores de Fama y French como una simple aplicación del APT, a pesar de que sus autores señalan basarse en el ICAPM de Merton.

78


La principal crítica al APT de Ross es una crítica a la restricción (2) que impone. Para que el APT funcione es necesario que tal condición se cumpla, es decir que el riesgo idiosincrático (después de controlar por los factores comunes) no puede estar en ninguna forma correlacionado entre activos. Esto es cierto sólo para portafolios perfectamente diversiÞcados. Si eso no es cierto, y a pesar de que esta correlación sea pequeña, entonces E (εi εk ) 6= 0 y todas las implicancias del APT ya no son ciertas, quitándole así todo sentido a un modelo como este que funciona sólo por arbitraje.

8.4.1

Un Ejemplo de APT

Un ejemplo de un modelo APT que NO cumple con la restricción (2) puede llevar a clariÞcar la intuición detrás de este modelo. Suponga que los retornos de activos se comportan de acuerdo a la siguiente relación de 2 factores f1 y f2 : Ri = Rf + β 1,i [f1 − Rf ] + β 2,i [f2 − Rf ] + εi

(8.8)

El APT respectivo es: E (Ri ) = Rf + β 1,i E [f1 − Rf ] + β 2,i E [f2 − Rf ]

(8.9)

Existen 2 activos riesgosos, A y B representados por las siguientes características: A

B

β1

0.5

1.75

β2

0.33

1

Cov (εA , εB )

A

B

A

0.3

-0.1

B

-0.1

0.2

Por su parte, Rf = 3%, E (f1 ) = 5%, E (f2 ) = 7%, σ 2f1 = V ar (f1 ) = 12%, σ 2f2 = V ar (f2 ) = 15% y Cov (f1 , f2 ) = 0. ¿Cuál es el retorno de un portafolio compuesto a partes iguales por los

8.4 EL APT COMO EXPLICACIÓN ALTERNATIVA A LOS RESULTADOS DE FAMA-F activos A y B? 1 1 RA + RB (8.10) 2 2 β 1,A + β 1,B β 2,A + β 2,B εA + εB [f1 − Rf ] + [f2 − Rf ] + (8.11) = Rf + 2 2 2

RP = RP

Aplicando expectativas sobre la ecuación (8.11), se obtiene el retorno esperado del portafolio: β 1,A + β 1,B β 2,A + β 2,B 1 E [f1 − Rf ]+ E [f2 − Rf ]+ E [εA + εB ] 2 2 2 (8.12) El APT en la ecuación (8.9) nos diría que el retorno esperado del portafolio debiera ser: E (RP ) = Rf +

β 1,A + β 1,B β 2,A + β 2,B E [f1 − Rf ] + E [f2 − Rf ](8.13) 2 2 0.5 + 1.75 0.33 + 1 E (RP ) = 3% + × 2% + × 7% (8.14) 2 2 E (RP ) = Rf +

De comparar las expresiones (8.12) y (8.13) resulta obvio que el APT será cierto si y sólo si E [εA + εB ] = 0. Chequeemos si eso es cierto, E [εA + εB ] =

E [ε ] | {zA}

+

=0 por construcción

E [ε ] | {zB}

=0

(8.15)

=0 por construcción

Por lo tanto, el APT es correcto en términos de retornos esperados, chequeemoslo ahora para las varianzas del portafolio. La varianza del portafolio es: µ ¶ µ ¶ β 1,A + β 1,B 2 β 2,A + β 2,B 2 1 V ar (RP ) = V ar (f1 )+ V ar (f2 )+ V ar (εA + εB ) 2 2 4 (8.16) El APT en la ecuacion (8.9) nos diría que la varianza del retorno esperado del portafolio debiera ser: V ar (RP ) =

µ

β 1,A + β 1,B 2

¶2

µ

β 2,A + β 2,B V ar (f1 )+ 2

¶2

1 V ar (f2 )+ [V ar (εA ) + V ar (εB )] 4 (8.17)

80

V ar (RP ) =


µ

0.5 + 1.75 2

¶2

12% +

µ

0.33 + 1 2

¶2

15% +

1 [0.3 + 0.2] (8.18) 4

De comparar las expresiones (8.16) y (8.17) resulta obvio que el APT será cierto si y sólo si V ar [εA + εB ] = V ar (εA ) + V ar (εB ). Chequeemos si eso es cierto, V ar [εA + εB ] = V ar [εA ]+V ar [εB ]+2Cov (εA , εB ) = 0.3+0.2−0, 2 = 0.3 6= 0.5 (8.19) Por lo tanto, en este caso el APT es falso. La varianza del portafolio es menor que la predicha por el APT. Esto quiere decir que si el mercado efectivamente valorizara utilizando el APT en la ecuación (8.9), usted lo podría arbitrar vendiendo un portafolio generado por usted con partes iguales de los activos A y B. Ese activo tendría igual retorno esperado que el predicho por el APT, pero menor varianza. ¿Cuál es la matriz de covarianza de los retornos? Por deÞnición, la matriz de covarianzas es: cov (RA, RB ) = E [(β i [f − Rf ] + εi ) (β k [f − Rf ] + εk )] , para todo i, k = A, B (8.20) 

cov (RA, RB ) = σ 2f1 

β 21,A

β 1,A β 1,B

β 1,A β 1,B



cov (RA, RB ) = 12% 

0.52 0.5 × 1.75

β 21,B





+σ 2f 

0.5 × 1.75 2

1.75

2



 

σ 2εA

σ εA ,εB

σ εA ,εB (8.21)

σ 2εB

0.33 × 1

 

β 22,A

β 2,A β 2,B

β 2,A β 2,B

β 22,B



+15% 

0.332 0.33 × 1

+

2

1

 +

(8.22) De nuevo, debido a la existencia de un término de covarianzas distinto de cero entre los riesgos idiosincráticos de los activos, podemos decir que el modelo presentado en este ejemplo NO satisface el APT.

 

0.3 −0.1 −0.1 0.2

 

Chapter 9 Eficiencia del Mercado de Capitales En el capítulo tres introdujimos el concepto de equilibrio del mercado de capitales en una economía de dotación. La existencia de tal equilibrio relacionaba, por ejemplo, el retorno esperado en cada activo i con la contribución al riesgo del portafolio eÞciente elegido por cada inversionista1 . Sin embargo, en la deÞnición de tal equilibrio no hacíamos referencia al proceso por el el cual los inversionistas forman sus expectativas sobre retornos esperados y contribución al riesgo2 . En este capítulo, introduciremos una discusión formal acerca del proceso de formación de expectativas acerca de retornos esperados.

9.1

Algunas Definiciones de Utilidad

Definition 16 φt−1 = set de información disponible en el periodo t − 1 relevante para los precios de los activos en t − 1. Definition 17 φm t−1 = set de información utilizada por el mercado para valorizar activos en t − 1. Por definición φm t−1 es un conjunto contenido dentro de φt−1 . 1

Aquí asumimos como en el CAPM de Black que no existe un activo libre de riesgo. En general, asumiremos que la covarianza de activos i es una constante que no varía con el set de información de los inversionistas. En otras palabras, los betas son constantes. 2

81

82CHAPTER 9 EFICIENCIA DEL MERCADO DE CAPITALES ¡ ¢ Definition 18 fm p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φm t−1 = la distribución de probabilidad utilizada por el mercado para valorizar activos en el período t + τ (τ > 0) dado el set de información φm t−1 . ¡ ¢ Definition 19 f p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φm t−1 = la verdadera distribución de probabilidad utilizada para valorizar activos en el período t + τ (τ > 0) si se utilizara todo el set de información disponible φt−1 .

9.2

Eficiencia de Mercado

La siguiente deÞnición de eÞciencia se debe a Eugene Fama y es la base de lo que se conoce como la Hipótesis de Mercados EÞcientes. Definition 20 La Hipótesis de Mercados Eficientes. Los mercados financieros son eficientes si y sólo si el set de información utilizado por el mercado para valorizar activos es igual a todo el set de información disponible. φm t−1 = φt−1

(9.1)

Si los mercados no utilizan toda la información disponible, entonces los mercados no pueden ser eÞcientes. La hipótesis de mercados eÞcientes implica lo siguiente acerca de la distribución de probabilidades de los precios de activos ¡ ¢ ¡ ¢ m fm p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φm (9.2) t−1 = f p1,t+τ , . . . , p1,t+τ | φt−1

Para ponerlo en lenguaje sencilllo, la hipótesis de mercados eÞcientes implica lo siguiente: No existe tal cosa como que los activos financieros (acciones, bonos, tipo de cambio, etc.) estén caros o baratos. Si lo anterior es falso, estamos en abierta contradicción con la hipótesis de mercados eÞcientes. Si los mercados son eÞcientes, todos los precios son justos al momento de valorizar cualquier activo. El decir que la acción de la compañía A está barata (cara) en relación a la acción de la compañía B es equivalente a decir que los mercados dejaron una oportunidad de arbitraje libre de riesgo entre A y B. Ahora bien, el párrafo anterior parece tan verdadero como abstracto: para deÞnir si una activo es barato o caro necesitamos conocer el precio justo de tal activo, el cual no conocemos a menos de que hagamos algún

9.3 HIPÓTESIS DE FORMACIÓN DE EXPECTATIVAS

83

supuesto sobre el proceso de formación de precios de un activo que paga ßujos aleatorios3 . La única forma de testear la hipótesis de mercados eÞcientes es realizar algún supuesto (esa es entonces una medida concreta de la hipótesis de mercados eÞcientes) sobre el proceso de formación de precios y luego testearlo con datos. Lo que aquí aceptemos o rechacemos es el supuesto asociado a la hipótesis de mercados eÞcientes y no la noción vaga de mercados eÞcientes. Por triste que suene, no hay un test único de la hipótesis de mercados eÞcientes. Solo existen test sobre procesos de formación de precios que, a nuestro juicio, nos parezcan consistentes con la hipótesis de mercados eÞcientes.

9.3

Hipótesis de Formación de Expectativas

Hasta ahora hemos formalizado una deÞnición precisa de que se entiende por eÞciencia de mercado. No obstante, tal deÞnición es un poco vaga en la medida que no nos referimos al proceso por el cual la información disponible se transforma en retornos esperados. Esto es lo que detallamos a continuación.

9.3.1

Retornos Esperados son Positivos p −p

jt−1 DeÞniendo el retorno de un activo como Rjt = jtpj,t−1 , esto implica que en términos de retornos esperados la hipótesis de mercados eÞcientes es simplemente ¡ ¢ m ¡ ¢ E p | φ m jt t−1 − pjt−1 Em Rjt | φm >0 (9.3) t−1 = pj,t−1

Sin embargo, el asumir un proceso de formación de expectativas de tal tipo puede tener serias limitaciones. Por ejemplo, piense en un hecho tan objetivo como que existen empresas que muchos piensan que tienen escaso futuro y por tanto su precio debe caer. Por otro lado, existen operadores Þnancieros que operan de acuerdo a reglas (analisis técnico) del siguiente tipo: cuando una acción sube (baja) durante un período prolongado seguirá subiendo (bajando) durante algún tiempo. Esto implica que acciones con caída generan expectativas de retorno negativas contradictorias con la hipótesis de retornos esperados siempre positivos. 3

Este es un proceso de formación de expectativas porque valoriza ßujos inciertos con tasas de descuentos que también son inciertas.

84CHAPTER 9 EFICIENCIA DEL MERCADO DE CAPITALES

9.3.2

Retornos Esperados son Constantes

En este caso, la hipótesis de mercados eÞcientes se traduce en retornos esperados de acuerdo a la siguiente relación: ¢ ¡ E Rjt | φm t−1 = Em (Rjt )

(9.4)

Ahora bien, este proceso de formación de expectativas también puede tener serios problemas desde un punto de vista empírico. Piense en lo siguiente: si los retornos se encuentran durante un período prolongado por sobre su media histórica, usted rápidamente podría inferir que la hipótesis en la ecuación (9.4) es falsa. Bueno, esto es lo que efectivamente tiende a ocurrir con los retornos accionarios. Los períodos de grandes alzas (baja) muestran alta persistencia y se alejan de la idea que los retornos esperados son constantes. Sin embargo, lo relevante de esto es que a partir de tal hecho empírico no es posible rechazar la hipotesis de mercados eÞcientes sino que el proceso de formación de expectativas supuesto en (9.4).

9.3.3

Retornos Esperados se Mueven en una Relación Riesgo-Retorno

Un par de capítulos atrás nos dedicamos a establecer ciertas relaciones de equilibrios (CAPM e ICAPM) en economías pobladas por inversionistas con preferencias convexas sobre media y varianza. Establecimos que en tales modelos existe una relación lineal entre retornos esperados y la contribución al riesgo del portafolio de mercado y algunas otras variables de control. Este es una tercera hipótesis de formación de expectativas sobre retornos que también es consistente con la hipótesis de mercados eÞcientes. Repasamos los problemas empíricos de un modelo como el CAPM y del mayor suceso de un modelo alternativo como el de 3 factores de Fama y French. Tambien es cierto que tales modelos requieren también ciertos supuestos acerca de los retornos esperados en el portafolio de mercado (por ejemplo, si serán positivos, constantes o variables en el tiempo). La discusion académica hoy en el mundo de las Þnanzas se concentra en exactamente ese punto. ¿Cuál es el proceso de formación de expectativas de retornos que es consistente con la hipótesis de mercados eÞcientes?

9.4 CATEGORíAS DE EFICIENCIA DE MERCADO

9.4

85

Categorías de Eficiencia de Mercado

En general, los académicos tienden a clasiÞcar el grado de eÞciencia de mercado en alguna de las categorías que, a continuación, pasaré a detallar: 1. Mercados son Eficientes en su Forma Débil: Los mercados utilizan información pasada (en particular, los retornos históricos) para valorizar los activos. En otras palabras, los retornos pasados ayudan a predecir los retornos futuros. 2. Mercados son Eficientes en su Forma Semi Fuerte: Los mercados utilizan toda la información pública relevante para valorizar los activos Þnancieros. 3. Mercados son Eficientes en su Forma Fuerte: Los mercados utilizan toda la información privada relevante para valorizar los activos Þnancieros. Esto quiere decir que el precio de los activos no permiten oportunidades de arbitraje para aquellos que manejan información privada (privilegiada).

Chapter 10 Derivados Financieros (1): Forwards y Futuro 10.1

Definiciones

Definition 21 Un derivado financiero es un activo financiero cuyo valor depende del valor de otros activos (subyacentes). Definition 22 Un contrato forward es un acuerdo entre dos partes para transar un activo financiero en un período (cierto y exacto) en el futuro a un precio (cierto) pre definido. La parte que se compromete a comprar en el futuro se conoce como la posición larga. Su contraparte, el que se compromete a vender, se conoce como la posición corta. Definition 23 Un contrato a futuro es un acuerdo entre dos partes para transar un activo financiero en el futuro (a diferencia del contrato forward en el futuro, la fecha de entrega fisica no es una fecha exacta, sino que un rango de fechas) a un precio (cierto) pre definido. La gran diferencia entre el contrato forward y el contrato a futuro es que en el caso del segundo existe un mercado.secundario profundo que permite transar este instrumento a valor presente en cualquier momento antes de su vencimiento. En general (salvo que se especíÞque lo contrario), durante este capítulo nos referiremos exclusivamente al caso de los contratos forward1 . 1

Si quiere conocer más acerca de la forma de valorizar contratos a futuro sugiero que tome el curso de Opciones y Futuros.

87

88CHAPTER 10 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO

10.2

El Perfil de Riesgo de un Contrato Forward

Dado que el contrato forward no requiere de desembolso de caja en el período actual, el único períoodo que nos interesa es el período al vencimiento del contrato (la fecha especiÞcada para la transacción), t = T . DeÞnamos F como el precio del contrato forward para compra y venta de un activo subyacente cuyo precio spot (el precio de mercado en cada momento del tiempo) en t = T es ST . El perÞl de riesgo del contrato forward es el ßujo de caja que genera al vencimiento del contrato. La tabla siguiente presenta los ßujos para ambas partes en el contrato.

t=0

t=T ST < F

ST > F

Compra Forward (posición larga)

0

ST − F < 0

ST − F > 0

Venta Forward (posición corta)

0

F − ST > 0

F − ST < 0

El que compra el contrato forward a un precio F se hará del activo S en t = T y lo podrá vender al precio spot en tal fecha tal que su ganancia será ST − F . Note que esta es una operación riesgosa, porque si el precio spot en t = T cae por debajo del precio del contrato, la posición larga tendrá una utilidad negativa. En el caso de la posición corta (el que se compromete a vender), este tiene que entregar el activo en t = T . Esto quiere decir que tiene que comprarlo a precio spot y su ingreso será el especiÞcado en el contrato forward. Esto mismo es fácilmente trasladable a un gráÞco entre la utilidad y el precio spot al vencimiento del contrato.

10.3 EL PRECIO DE UN CONTRATO FORWARD

89

Utilidad al Vencimiento

Posicion Larga: S(T)-F

0 F

Posicion Corta: F-S(T)

S(T)

10.3

El Precio de un Contrato Forward

La determinación del precio de un contrato forward es un excelente ejemplo del principio de valoración por arbitraje. El contrato forward es la promesa de entrega de un activo S a un precio F en t = T . Existe una forma alternativa de generar la misma operación:

• Endeudarse hoy a la tasa de interés r para comprar el activo al precio spot S0 . • Pagar la deuda en t = T . Esta operación genera un ßujo de caja nulo en t = 0 y entrega una unidad de S en t = T . Esto implica que replica perfectamente los ßujos de caja del contrato forward. Por ley de un sólo precio, ambas operaciones deben costar lo mismo.

90CHAPTER 10 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO t=0

t=T ST < F

ST > F

Compra Forward

0

ST − F

ST − F

Compra Activo

−S0

ST

ST

Deuda

S0

− (1 + r)T S0

− (1 + r)T S0

Compra Activo con Deuda 0 ST − (1 + r)T S0 ST − (1 + r)T S0 De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que: ST − F = ST − (1 + r)T S0 F = (1 + r)T S0 ⇐⇒ Precio Forward

(10.1) (10.2)

El precio de un contrato forward es el valor futuro del precio spot del activo subyacente.

10.4

El Precio Forward con Costos Alternativos ("Convenience Yield") Para el Activo Subyacente

Suponga que el activo subyacente es una acción que paga un dividendo por D en el momento previo al vencimiento del contrato forward. Al considerar el dividendo, la tabla anterior se convierte en: t=0

t=T ST < F

ST > F

Compra Forward

0

ST − F

ST − F

Compra Activo

−S0

ST + D

ST + D

Deuda

S0

− (1 + r)T S0

− (1 + r)T S0

Compra Activo con Deuda 0 ST + D − (1 + r)T S0 ST + D − (1 + r)T S0 De tal forma que el precio del contrato forward cuando el activo subyacente paga dividendo es: F = (1 + r)T S0 − D. Obviamente, la forma en que el dividendo afecta el valor del forward depende crucialmente del momento

91

10.5 CONTRATOS FORWARD DE MONEDAS en que el dividendo es pagado. Generalizando lo anterior tenemos que: F = (1 + r)T S0 − V F (D)

(10.3)

El precio de un contrato forward es el valor futuro del precio spot del activo subyacente menos el valor futuro de todo el ßujo de dividendos pagado durante la vigencia del contrato. Para simpliÞcar lo anterior, muchas veces se supone que el "dividend yield" (la tasa de dividendos como % del precio de la acción) que paga una acción es una proporción Þja: d = D . Si este es P el caso, la ecuación (10.3) se convierte en: ·

1+r F = 1+d

¸T

S0

(10.4)

El pago de dividendos es el clásico costo altenativo de una acción. En el caso de otros activos subyacentes, éstos pueden presentar otro tipo de costos alternativos. En el caso de los "commodities" (e.g. cobre, petróleo, etc.), su costo alternativo es la suma de los costos de transporte de estos bienes más el uso alternativo en aplicaciones productivas que estos bienes tienen (el cobre sirve para construir cañerías y el petróleo sirve la para combustión de motores). En general, se asume que los commodities tienen cierto costo alternativo ("convenience yield") que se asume una proporcion Þja (c) del £ ¤T S0 . precio spot, tal que el precio forward de un commodity es, F = 1+r 1+c

10.5

Contratos Forward de Monedas

Suponga que usted necesita moneda extranjera (por ejemplo, dólares) en t = T . ¿Cuáles son las alternativas a su disposición? (1) Comprar dólares (USD) a futuro vía contrato forward o (2) Comprar USD hoy Þnanciándolos con deuda en pesos ($) a tasa de interés, r$ , y depositándolos en el banco devengando la tasa de interés en dólares, rU SD . Por ley de un sólo precio, ambas operaciones deben costar lo mismo.

92CHAPTER 10 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO t=0

Compra Forward Compra y Deposito USD Deuda $

t=T

0 − (1+rS0

U SD )

F (1+r$ )T

T

ST < F

ST > F

ST − F

ST − F

ST

ST

−F

−F

F Flujo Neto − (1+rS0 )T ST − F (1+r$ )T U SD De esta forma, por ley de un sólo precio, tenemos que:

S0 F − = 0 T (1 + r$ ) (1 + rU SD )T µ ¶T 1 + r$ F = S0 1 + rU SD

ST − F (10.5) (10.6)

El precio de un contrato forward es el precio spot de la moneda extranjera por el diferencial de tasas de interés entre el país local y el extranjero.

10.6

Contratos Forward como Estrategias Especulativas

Una razón por la cual un inversionista quisiera invertir en contratos forward es por simple especulación. Suponga que su expectativa de precio para el activo subyacente al vencimiento del contrato es más alta que el precio forward, entonces su utilidad esperada por comprar forward es positiva, Et [ST ] − F > 0. Esta es una utilidad esperada, por tanto nada asegura que esta apuesta genere ganancias. Por el contrario, si usted espera que el precio del activo subyacente al vencimiento del contrato sea más bajo que el precio forward, entonces su utilidad esperada por vender forward es positiva, F −Et [ST ] > 0. El razonamiento anterior me permite hacer un par de consideraciones importantes acerca de los precios forward: 1. EL PRECIO FORWARD NO ES EL PRECIO FUTURO DEL ACTIVO SUBYACENTE. ES LA MEJOR EXPECTATIVA DADA LA INFORMACION DISPONIBLE. POR LO TANTO, INVERTIR EN CONTRATOS FORWARD TIENE RIESGO.

10.7 CONTRATOS FORWARD COMO ESTRATEGIA DE COBERTURA93 2. EL PRECIO FORWARD ES EL PRECIO DE UNA OPERACION A FUTURO SOBRE UN ACTIVO SUBYACENTE QUE, DADO EL PRECIO SPOT DE ESE ACTIVO SUBYACENTE, NO ADMITE ARBITRAJE.

10.7

Contratos Forward como Estrategia de Cobertura

Una segunda razón por la cual se quisiera invertir en contratos forward es para cubrir otra posición riesgosa. Suponga que Ud. adquirió el activo subyacente al precio S0 . Su perÞl de riesgo al período t = T , es ST − S0 y puede ser cubierto a través de la venta de un contrato forward con vencimiento en t = T. ST < F

ST > F

Activo

ST − S0

ST − S0

Venta Forward

F − ST

F − ST

Flujo Neto

F − S0

F − S0

El ßujo neto de tener una posición larga en el activo y una posición corta en forward es F − S0 que no depende de ST el precio spot al vencimiento. Por lo tanto, por la vía de vender forwrad se eliminó el riesgo en t = T . GráÞcamente, esto equivale a:

94CHAPTER 10 DERIVADOS FINANCIEROS (1): FORWARDS Y FUTURO

Utilidad al Vencimiento

Flujo Neto

F-S0

F 0 S0

S(T)

10.7.1

Venta Corta de Activos

Definition 24 La venta corta de activos es una operación financiera en la cual se vende en t = 0 un activo que no pertenece al vendedor y que se devolvera al dueño de tal activo en el período t = T . La venta corta de activos es una operación que obliga a comprar un activo en t = T un activo que se adquirió a precio S0 a un precio ST . De esta forma, el perÞl de riesgo de una venta corta es el ßujo de caja al vencimiento por S0 − ST , y puede ser cubierto a través de la compra de un contrato forward con vencimiento en t = T . ST < F ST > F Venta Corta

S0 − ST

S0 − ST

Compra Forward

ST − F

ST − F

Flujo Neto

S0 − F

S0 − F

Chapter 11 Derivados Financieros (2): Opciones Financieras 11.1

Definiciones

Definition 25 Una opción de compra ("call") es un contrato que le otorga al tenedor de ese contrato el derecho a comprar un activo subyacente en una fecha y precio pre fijados. El contrato de una "call" debe especificar los siguientes términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de la opción de compra, K. Definition 26 Una opción de venta ("put") es un contrato que le otorga al tenedor de ese contrato el derecho a vender un activo subyacente en una fecha y precio pre fijados. El contrato de una "put" debe especificar los siguientes términos, el plazo de vencimiento t = T y el precio de ejercicio de la opción de venta, K. Definition 27 Las Opciones Americanas son aquellas que pueden ejercerse en cualquier momento previo a su vencimiento. Definition 28 Las Opciones Europeas son aquellas que pueden ejercerse sólo al momento de su vencimiento.

11.2

El Perfil de Riesgo de Las Opciones

El perÞl de riesgo de una opción es el ßujo de caja que genera al vencimiento del contrato. La tabla siguiente presenta los ßujos para los tenedores de 95

96CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS opciones de compra ("call") y opciones de venta ("put). t=0

t=T ST < K

ST > K

Largo en "Call"

−c

0

ST − K > 0

Largo en "Put"

−p

K − ST > 0

0

Al tenedor de una "call" le convendrá ejercerla si y sólo si ST > K, de otra forma perdería dinero y no la ejercería. Al tenedor de una "put" le convendrá ejercerla si y sólo si ST < K, de otra forma perdería dinero y no la ejercería. En resumen, al vencimiento los ßujos de tenedores de opciones son:

Call ⇐⇒ max (ST − K, 0) Put ⇐⇒ max (K − ST , 0)

GráÞcamente, esto se puede representar de la siguiente forma:

Flujo al Vencimiento

Largo en "Call"

0

K

S(T)

(11.1) (11.2)

97

11.2 EL PERFIL DE RIESGO DE LAS OPCIONES


Largo en "Put"

0

K

S(T)

En el caso de los vendedores de opciones, tenemos que simplemente:

Call ⇐⇒ − max (ST − K, 0) Put ⇐⇒ − max (K − ST , 0)


GráÞcamente, esto se puede representar de la siguiente forma:

0

K

Corto en "Call"

S(T)

(11.3) (11.4)


98CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS

0

K

Corto en "Put"

S(T)

11.3

Algunas Consideraciones Sobre Opciones Financieras

• A pesar de que gráÞcamente parezca que estrategias como comprar "calls" y "puts" son ganancias seguras (en el peor de los casos se gana cero), esto no es así. Para acceder a ese perÞl de riesgo es necesario pagar un precio. Las "calls" y "puts" no son gratis.

• En algunos libros de texto gustan de restar (o sumar según sea el caso) el precio de las opciones en los gráÞcos de ßujos de caja de las opciones. Yo no lo hago, pero hacer eso es absolutamente trivial, consiste en desplazar verticalmente (en el valor de la opción) los gráÞcos aquí presentados.

• Las opciones pueden ser utilizadas para coberturas de riesgo. Por ejemplo, si usted está largo en el activo subyacente, el comprar una "put" sobre el activo subyacente le podría acotar el riesgo de pérdidas en su posición sobre el activo subyacente.

11.4 ESTRATEGIAS DE INVERSIÓN ESPECULATIVAS CON OPCIONES99

11.4

Estrategias de Inversión Especulativas con Opciones

Estas estrategias de inversión comprenden la transacción de múltiples opciones Þnancieras. Aquí haremos un pequeño resumen de las más populares estrategias especulativas con opciones.

11.5

Spreads

11.5.1

Bull Spread

Definition 29 Una estrategia bull spread consiste en comprar una "call" ("put") con precio de ejercicio K1 (con vencimiento en t = T ) y vender una "call" ("put") con precio de ejercicio K2 (e igual vencimiento), tal que K2 > K1 .

Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son: t=T

ST < K1

K1 < ST < K2

ST > K2

Compra "Call"

0

ST − K1

ST − K1

Venta "Call"

0

0

− (ST − K2 )

Flujo Neto

0

ST − K1

K2 − K1

GráÞcamente,



0

K1

K2

S(T)

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bull spread con opciones de venta.

11.5.2

Bear Spread

Definition 30 Una estrategia bear spread consiste en comprar una "call" ("put") con precio de ejercicio K2 (con vencimiento en t = T ) y vender una "call" ("put") con precio de ejercicio K1 (e igual vencimiento), tal que K2 > K1 .

Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son: t=T

ST < K1

K1 < ST < K2

ST > K2

Compra "Call"

0

0

ST − K2

Venta "Call"

0

− (ST − K1 )

− (ST − K1 )

Flujo Neto

0

− (ST − K1 )

K1 − K2

GráÞcamente,

101


11.5 SPREADS

0

K1

K2

S(T)

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opciones de venta.

11.5.3

Butterfly Spread

Definition 31 Una estrategia butterfly spread consiste en comprar una "call" ("put") con precio de ejercicio K1 y una "call" ("put") con precio de ejercicio K3 y vender 2 "calls" ("puts") con precio de ejercicio K2 , tal que K1 < K2 < K3 . Todas las opciones tienen igual fecha de vencimiento. Los ßujos de caja de tal estrategia utilizando "calls" son: t=T

ST < K1

K1 < ST < K2

K2 < ST < K3

ST > K3

Compra Call 1

0

ST − K1

ST − K1

ST − K1

Compra Call 3

0

0

0

ST − K3

Venta 2 Puts

0

0

−2 (ST − K2 )

−2 (ST − K2 )

Flujo Neto

0

ST − K1

2K2 − K1 − ST | {z }

2K2 − K1 − K3 | {z }

GráÞcamente,

=K1 −ST si K2 =0.5(K1 +K3 )

=0 si K2 =0.5(K1 +K3 )



0

K1

K2

K3

S(T)

Dejo para usted el desarrollo de una estrategia bear spread con opciones de venta.

11.6

Combinaciones

Definition 32 Una estrategia Straddle consiste en comprar una "call" y una "put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 33 Una estrategia Strip consiste en comprar una "call" y dos "puts" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 34 Una estrategia Strap consiste en comprar dos "calls" y una "put" con igual precio de ejercicio e igual plazo al vencimiento.

Definition 35 Una estrategia Strangle consiste en comprar una "call" con precio de ejercicio K2 y una "put" con precio de ejercicio K1 e igual plazo al vencimiento, tal que K1 < K2 .

11.7 EL CONCEPTO DE ARBITRAJE Y 2 APLICACIONES 103

11.7

El Concepto de Arbitraje y 2 Aplicaciones

Las opciones Þnancieras son siempre valorizadas por arbitraje. Esto es particularmente útil porque, en vez de estudiar los fundamentos detrás del valor de las opciones, podemos valorizar estas como una simple combinación del valor de otros activos que sí observamos. El ßujo de caja de un activo es simplemente el valor de un activo (o una parte de éste) en algún momento futuro en el tiempo. Este ßujo de caja es (hoy) desconocido y puede tomar distintos valores de acuerdo a los distintos estados de la naturaleza que se maniÞesten. El precio o valor de un activo es cuanto valgan (hoy) los ßujos prometidos. Existen dos conceptos fundamentales de arbitraje en Þnanzas: 1. La Ley de un Sólo Precio: Si dos activos prometen los mismos ßujos de caja deben valer lo mismo. Prometer, en este caso, signiÞca a todo evento y no en valor esperado. 2. El Principio de No Arbitraje: Si el pago (a todo evento) del activo A es mayor (o igual) al pago (a todo evento) del activo B, entonces de manera cierta el precio del activo A debe ser mayor al precio del activo B.

11.8

La Paridad Put-Call

Suponga que Ud. compra una call y simultáneamente vende una put con mismo precio de ejercicio y mismo plazo al vencimiento. El ßujo de caja obtenido al vencimiento es exactamente el mismo de mantener el activo subyacente y endeudarse a futuro por el precio de ejercicio K1 . Aplicando la ley de un sólo precio, podemos determinar que si los ßujos de caja al vencimiento son iguales, los precios también deben serlos. implica que

1

Flujos: CT − PT = ST − K

(11.5)

Precios : C − P = S − V P (K) K Paridad Put-Call : C − P = S − R

(11.6) (11.7)

Recuerde simplemente las tablas y gráÞcos de ßujos al vencimiento vistos en clases.

104CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS La paridad put-call es importante por 2 razones: 1. Ilustra el principio fundamental de como se valorizan las opciones antes de su vencimiento. 2. Ilustra como determinar el precio de una put (call) cuando se conoce el precio de una call (put). En otras palabras, para valorizar put (call) basta con conocer como se valoriza una call (put) y luego se aplica la paridad put-call2 .

11.9

Límites de Arbitraje y Ejercicio de Opciones antes del Vencimiento

Ahora bien, ¿qué nos indica el principio de no arbitraje acerca del precio de una call? 1. C ≥ 0. El precio de un ßujo de caja igual a cero debe ser cero. Como el ßujo de una call al vencimiento es siempre mayor que cero, su precio es siempre no negativo. 2. C ≤ S. El ßujo de una call al vencimiento es siempre menor al valor del activo subyacente al vencimiento, por lo tanto el precio de una call antes del vencimiento es siempre menor al valor del activo. 3. C ≥ S −V P (D)−V P (K), donde D = dividendo pagado. El ßujo de la call al vencimiento es CT = max (ST − K, 0) ≥ ST − K = ST + D − D − K. Como el precio de ST + D es S, si aplicamos el operador de precios sobre la expresión anterior obtenemos que C ≥ S − V P (D) − V P (K). Estas 3 condiciones pueden ser resumidas en el siguiente gráÞco: 2

En realidad esto es sólo cierto para el caso de opciones europeas que no pagan dividendos. En cualquier caso, el principio es fácilmente extendible a otros casos.

11.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P

Precio Call

C=S

Precio "Call" debe estar en algun punto de esta area

S-VP(D)-VP(K) S(T)

La última de las desigualdades tiene una importante implicancia. Si las tasas de interés son mayores que cero, no vale la pena ejercer una opción que no paga dividendos antes de su vencimiento. ¿Por qué? Si no existen dividendos, la siguiente desigualdad es cierta C ≥ S − V P (K) > S − K

(11.8)

El extremo derecho de la desigualdad es el valor obtenido por ejercer la call antes del vencimiento. MORALEJA: compre opciones, nunca las ejerza antes de que venzan.

11.10

Valoración de Opciones por Método de Arboles Binomiales: 1 período al vencimiento

El objetivo de esta sección es ir en detalle a la forma en que se valorizan las opciones. Por simplicidad, analizaremos el caso de una call europea sin dividendos. El valor de tal "call" al vencimiento es: CT = max (ST − K, 0)

(11.9)

Lo que queremos encontrar es el valor de la call 1 período antes del vencimiento.

106CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS El precio del activo subyacente es S. Suponga que existen dos estados de la naturaleza al vencimiento: el precio del activo crece a ST = u · S o cae a ST = d · S. De esta forma, la call puede tomar uno de 2 valores: CT = Cu = max (u · S − K, 0) o CT = Cd = max (d · S − K, 0). El árbol de estados de la naturaleza puede ser representado por el siguiente esquema:

Conocemos u, d, S, K y queremos encontrar C. Considere un portafolio compuesto por valor H de acciones y valor B de bonos. El pago de este portafolio al vencimiento es H · u · S + B si la acción sube y H · d · S + B si la acción cae. Siempre es posible encontrar valores de H y B tales que los ßujos de caja de este portafolio sean iguales al ßujo de caja de la call. Esto signiÞca que es necesario encontrar valores de H y B tal que H · u · S + B = Cu H · d · S + B = Cd

(11.10) (11.11)

2 ecuaciones y 2 incógnitas que tienen las siguientes soluciones: Cu − Cd (11.12) u·S −d·S u · S · Cd − d · S · Cu B = (11.13) u·S −d·S H es lo que se conoce como la razón de cobertura. Es el número de acciones necesarias para replicar exactamente los ßujos al vencimiento de la call. Es también el cambio en el valor de la opción ante cambios en el precio del activo subyacente (si el valor del activo cambia desde d · S hasta u · S, el valor de la call cambia desde H · d · S hasta H · u · S). Si se graÞca el valor de la opción en función del precio del activo subyacente, la pendiente de tal gráÞco debe ser H. Tenemos dos portafolios con exactamente los mismos pagos. Por ley de un sólo precio, ambos portafolios deben tener el mismo precio. H =

C = HS +

B R

(11.14)

11.10 VALORACIÓN DE OPCIONES POR MÉTODO DE ARBOLES BINOMIALES: 1 P Reemplazando por los valores de H y B uC −dCu

d Cu − Cd u−d C = S+ u·S −d·S R uCd −dCu Cu − Cd + u−d C = u−d R

(11.15) (11.16)

Esta fórmula no es muy atrayente, así que deÞnamos p=

R−d u−R ⇔1−p = u−d u−d

En términos de p, la formula de C se transforma en µ ¶ µ ¶ Cu Cd uCd dCu − + C = /R + /R u−d u−d u−d u−d µ µ µ ¶¶ ´¶ 1 ³u 1 d 1− Cu + − 1 Cd C = u−d R u−d R ·µ ¶ µ ¶ ¸ 1 R−d u−R C = Cu + Cd R u−d u−d 1 [pCu + (1 − p) Cd ] C = R

(11.17)

(11.18) (11.19) (11.20) (11.21)

donde Cu = max (u · S − K, 0) y Cd = max (d · S − K, 0). Hay 3 hechos interesantes acerca de esta última formula: 1. Las probabilidades de los estados (u, d) no entran en ninguna parte de la fórmula. Todo el argumento de valorización de opciones proviene de la ley de un sólo precio. Si esto no fuera cierto, existe una oportunidad de arbitraje libre de riesgo: compre el portafolio HS + B y vaya corto en la call (o viceversa). La clave es lo siguiente: toda la información acerca de hacia donde va el precio de la accion ya está incluído en su precio actual S. Si la probabilidad del estado u crece, el precio S se ajusta automáticamente al alza. 2. Aversión al riesgo, premio por riesgo, etc. no juegan ningun rol en la valorizacion de opciones. El argumento es el mismo que en (1): todo eso ya está incluído en el precio de S.

108CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS 3. p parece una probabilidad: su valor está entre 0 y 1. p es lo que se conoce como la probabilidad neutral al riesgo. Suponga que los agentes son neutrales al riesgo, tal que la probabilidad asignada a u · S es p. En ese caso, el precio de la opción es simplemente el valor esperado descontado de los ßujos al vencimiento: 1 [pCu + (1 − p) Cd ] R 1 = E (CT ) R

C =

(11.22) (11.23)

Es importante que no confunda probabilidades neutrales al riesgo con probabilidades efectivas. Las probabilidades efectivas no importan para la valorización de opciones. ¿Por qué? Porque todo lo que se necesita conocer acerca de los escenarios futuros de ST está capturado en el precio actual de S. Por tanto, si usted quisiera valorizar una opción sin conocer el precio actual de S, entonces recién sería necesario volver a pensar en betas, premio por riesgo, probabilidades efectivas, etc. Si se conoce el precio actual de S, el resto es sólo un argumento de arbitraje.

11.11

Método de Arboles Binomiales: 2 períodos al vencimiento

Suponga que el precio del activo subyacente puede subir o bajar (u, d) en cada período. DeÞna Cu,u , Cu,d y Cd,d como los pagos de la call al vencimiento de acuerdo al siguiente esquema:

11.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES

109

Igual que en la sección pasada, la opción debe valorizarse desde el vencimiento hacia atrás. 1 [pCu,u + (1 − p) Cu,d ] R 1 Cd = [pCu,d + (1 − p) Cd,d ] R 1 [pCu + (1 − p) Cd ] C = R

Cu =

(11.24) (11.25) (11.26)

Sustituyendo el valor de Cu y Cd en C, obtenemos: C=

¤ 1 £ 2 p Cu,u + 2p (1 − p) Cu,d + (1 − p)2 Cdd 2 R

(11.27)

Hechos interesantes acerca de esta última fórmula: 1. El precio de la opción sólo depende de los siguientes factores: el precio S, el precio de ejercicio K, la volatilidad (u, d) , la tasa de interés R y el número de períodos al vencimiento. 2. Esta es una forma práctica y realista de valorizar opciones. Si las probabilidad de u crece en un 1/6 y la de d cae en un 1/6, las probabilidades al vencimiento subieron 1/8 (Cu,u ), no cambiaron (Cu,d ) o se redujeron en un 1/8 (Cd,d ). Aún más, con muchos más períodos, puede pasar cualquier cosa con el precio.

11.12

La Formula de Black y Scholes

Suponga que se incrementan los períodos al vencimiento en el modelo binomial. Más aún, suponga que estos periodos son muy cortos (en el límite convergen a cero). Cuando se toma computa el límite de tal modelo emerge una famosa fórmula, la de Black y Scholes: C = SN (d1 ) − Ke−rT N (d2 )

(11.28)

110CHAPTER 11 DERIVADOS FINANCIEROS (2): OPCIONES FINANCIERAS donde ³ ´ σ2 + r + T K 2 √ (11.29) σ T √ d1 − σ T (11.30) área debajo de la distribución Normal hasta el punto x tasa de interés continuamente compuesta desviación estándar de los retornos del activo subyacente ln

d1 ≡ d2 N (x) r σ

≡ = = =

¡S¢

Esta fórmula se determina de igual forma que la fórmula binomial y tiene importantes implicancias: 1. Si el precio del activo subyacente está muy por encima del precio de ejercicio, S À K, N (∞) = 1 tal que C → S − Ke−rT . 2. Si el precio del activo subyacente está muy por debajo del precio de ejercicio, S ¿ K, N (−∞) = 0 tal que C → 0. 3. El precio de la opción es una función determinística del precio actual de la acción (S). Los parámetros de esta función son: r, T, σ, K. 4. La volatilidad del activo subyacente (σ) no es observable. Esta es una volatilidad condicional: la volatilidad que los agentes piensan que el activo debiera tener (en el modelo binomial, esta volatilidad está dada por la diferencia entre u y d). De esta forma, la volatilidad implícita es el σ que satisface la fórmula de Black y Scholes para los precios de mercado de la opción. Por esta razón, muchas veces resulta estándar en el mercado referirse al valor de una opción por su volatilidad implícita y no por su precio efectivo. 5. Intuición de Black y Scholes. Por simple inspección, la fórmula de Black y Scholes se descompone en 2 partes: • SN (d1 ), el valor presente de la acción multiplicado por la probabilidad de que este precio sea igual al precio de ejercicio. • −Ke−rT N (d2 ), el valor presente del precio de ejercicio multiplicado por la probabilidad de ejercer la opción. De nuevo, estas

11.12 LA FORMULA DE BLACK Y SCHOLES

111

probabilidades son neutrales al riesgo y son distintas a las probabilidades efectivas. Por lo tanto, al igual que con la fórmula binomial, Black y Scholes puede ser interpretada como una fórmula neutral al riesgo. 6. La razon de cobertura H es la pendiente del precio de la opción. Por lo tanto, es la derivada de la formula de Black y Scholes. H=

∂C = N (d1 ) ∂S

(11.31)

Es interesante hacer notar el siguiente hecho, esta pendiente sólo cambia con el precio del activo y con el horizonte de tiempo. La razón de cobertura es particularmente importante en el siguiente caso real: suponga que por alguna razón usted debe mantener un gran stock de acciones, la razón de cobertura le dice cuantas opciones debe mantener para eliminar el riesgo del activo subyacente (las acciones) a un período plazo (no al vencimiento, ya que en ese caso basta con cubrir una acción con una opción).

Chapter 12 Finanzas Corporativas (1): Estructura de Capital Por estructura de capital se entiende la composición de pasivos y patrimonio de una empresa (i.e. cuánto capital y cuánta deuda tiene una empresa). ¿Por qué nos importa la estructura de capital? Por dos razones, (1) para entender porque existen personas, empresas y países más endeudados que otros y (2) para descubrir si es que existe valor agregado asociado a una estructura de capital por sobre otras (en otras palabras, conviene Þnanciarse vía capital o vía deuda). Previo a Modigliani y Miller (1958) se solía pensar la estructura de capital como la solución al siguiente par de problemas: 1. Un problema de clientelas, algunos inversionistas (preferentes al riesgo) preÞeren acciones y están dispuestos a pagar más por ellos, por lo tanto hay que proveer acciones para ellos, por su parte otros inversionistas (aversos al riesgo) preÞeren bonos y están dispuestos a pagar más por ellos. 2. Un problema de minimización del costo de capital promedio ponderado D P + rP · D+P . El costo de la deuda es de las empresas: CCP P = rD · D+P D menor al de las acciones, rD < rP , tal que el incrementar D+P reduce el CCP P , no obstante en algún punto la deuda empieza a ser riesgosa y CCP P comienza a crecer. La estructura de capital óptima sería la que resuelve el problema de minimización de CCP P . 113

114CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT El teorema de Modigliani y Miller (1958) vino a revolucionar las Þnanzas corporativas al demostrar la falacia de ambos argumentos. El punto de Modigliani y Miller (M&M) es que las Þrmas son tomadoras de precios en el mercado Þnanciero y que el CCP P = E(X) es una función de los ßujos de V caja esperado (X) y del valor de la empresa (V ). rD y rP son funciones de CCP P y de la estructura de capital, por lo tanto el argumento 2 resulta ser una tautología.

12.1

La Irrelevancia de la Estructura de Capital: El Teorema de Modigliani y Miller

12.1.1

Alguna Notación

• Di es el valor de mercado de la deuda emitida por la Þrma i. • Pi es el valor de mercado del patrimonio emitido por la Þrma i. • Vi es el valor total de la Þrma i. Vi = Di + Pi . • Xi es el ßujo de caja opereacional (antes de impuestos y pago de intereses) asociado a los activos productivos de la Þrma i. • La tasa de retorno exigida a Þrmas en categoria de riesgo k es ρk . Esta tasa de retorno es también el costo de capital promedio ponderado. • La deuda no tiene riesgo y paga una tasa de retorno de rD . La tasa de retorno exigida al patrimonio es rP .

12.1.2

Supuestos de Modigliani y Miller

• No existen Impuestos. • No existe quiebra ni costos de transaccion. • Los ßujos de caja operacionales son ßujos Þjos y exógenos al modelo. • Toda la información es simétrica, conocida por todas las partes. • No existen oportunidades de arbitraje. • Los mercados son completos.

12.1 LA IRRELEVANCIA DE LA ESTRUCTURA DE CAPITAL: EL TEOREMA DE MO

12.1.3

Proposicion I de Modigliani y Miller

Definition 36 PROPOSICION I DE MODIGLIANI-MILLER. Bajo los supuestos de Modigliani y Miller, la estructura de capital es completamente irrelevante y el valor de una empresa se encuentra determinado por el valor descontado i de sus flujos operacionales, Vi = X . ρ k

Proof. La prueba original de Modigliani y Miller. Asuma que existen dos Þrmas 1 y 2 en la misma categoría de riesgo con mismos ßujos operacionales X. La Þrma 1 no tiene deuda, mientras que la Þrma 2 sí la tiene. El valor de las Þrmas 1 y 2 es V1 y V2 . Asuma que V1 > V2 . Considere un inversionista que es dueño de una proporción α del patrimonio de la Þrma 1. El valor de esa inversión es αV1 . Los ßujos de caja de este portafolio son αX. Usted puede vender esa inversión y comprar un portafolio de αP2 VV12 acciones y αD2 VV12 bonos emitidas por la Þrma 2. Los ßujos de caja de este portafolio son V1 V1 α (X − rD D2 ) + α rD D2 = αX (12.1) V2 V2 Ambos portafolios cuestan lo mismo tal que α

V1 X = αX V2

(12.2)

Lo cual es cierto si y sólo si V1 = V2 . Queda para Ud. la segunda parte de la prueba en la cual forma un portafolio de acciones de la Þrma 1 y deuda libre de riesgo con una inversión en acciones de la Þrma 2. La intuición de la proposición I de M&M es muy simple: si los ßujos de caja están Þjos, la forma en que divida el valor de los activos (deuda y capital) es absolutamente irrelevante para el valor de los activos. ¿Cuán importante son los supuestos de M&M para el resultado Þnal? • Patrimonio Riesgoso Vs. Deuda Libre de Riesgo. NO RELEVANTE. M&M puede ser demostrado para cualquier activo que sea función de los ßujos operacionales, por ejemplo para deuda riesgosa tal que D (X) = min (V C, X), donde V C es el valor de carátula de la deuda.

116CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT • La existencia de Þrmas gemelas. NO RELEVANTE. Lo importante es que los mercados sean efectivamente completos, es decir que todos los riesgos relevantes sean transables a un precio correcto en el mercado Þnanciero. • LO RELEVANTE. El valor X de los ßujos operacionales debe ser independiente del tamaño de la deuda de la empresa.

12.1.4

Proposicion II de Modigliani y Miller

Una consecuencia directa de la proposición I de M&M es que es posible encontrar una relación lineal entre el retorno exigido al patrimonio y la relación deuda sobre capital. Definition 37 PROPOSICION II DE MODIGLIANI Y MILLER. El retorno exigido al patrimonio es una función lineal de la estructura de capital: rP = ρk + (ρk − rD ) ×

Di Pi

(12.3)

Proof. El retorno del patrimonio es rP =

Xk − rD Di Pi

(12.4)

De acuerdo a M&M I, tenemos que Xk ρk Xk = ρk Vi = ρk (Di + Pi ) Vi =

(12.5) (12.6)

Reemplazando la ecuación (12.6) en la ecuación (12.4) se obtiene la relación (12.3).

12.1.5

La importancia de Modigliani y Miller

La relevancia de M&M no está en que sea una buena descripción de la realidad (probablemente no lo sea porque muchos de sus supuestos no son ciertos), sino en que nos da gran intuición para entender como funcionan las cosas en la práctica. M&M nos dice que para que la estructura de capital importe tiene que pasar alguna de las siguientes cosas:

12.2 IMPUESTOS A LAS EMPRESAS Y ESTRUCTURA DE CAPITAL117 1. Que la estructura de capital afecte el pago de impuestos u otro costo de transacción. 2. Que la estructura de capital afecte los ßujos de caja operacionales. 3. Que la estructura de capital afecte la completitud de mercados (i.e. que las Þrmas no sean tomadoras de precios en los mercados Þnancieros). Nos concentraremos en 1 y 2.

12.2

Impuestos a las Empresas y Estructura de Capital

La intuición es que la estructura de capital es relevante porque la deuda y las acciones tienen distinto tratamiento tributario (i.e. distintas tasas de impuestos).

12.2.1

Beneficio Tributario de la Deuda

A nivel de las empresas, el pago de intereses se deduce de la base tributaria sobre la cual se paga el impuesto a las utilidades. Esto no ocurre para el caso del pago de dividendos y utilidades retenidas. DeÞniendo τ e como la tasa de impuestos a las empresas, tenemos que el valor de la Þrma es (1 − τ e ) (Xk − rD D) + rD D ρk (1 − τ e ) Xk Vi = + τ eD |{z} ρk | {z } beneÞcio tributario de la deuda

Vi =

(12.7) (12.8)

valor Þrma sin deuda

El valor de una Þrma con deuda es igual al valor de una Þrma equivalente sin deuda más el beneÞcio tributario de la deuda que es creciente con el nivel de deuda D. La estructura de capital no es irrelevante, al contrario conviene tener mucha deuda para aprovechar el beneÞcio tributario de la deuda.

118CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT

12.3

Impuestos Personales y Estructura de Capital

Existe un famoso trabajo de Miller (1977) que demuestra que bajo el supuesto de tasas progresivas de impuestos personales es posible concebir una multitud de estructuras óptimas de capital. El modelo de Miller con impuestos personales funciona de la siguiente forma: • τ e es la tasa de impuestos a las empresas. • τ pD es la tasa de impuestos personales a los ingresos por intereses de bonos. • τ pP es la tasa de impuestos personales a los ingresos por pago de dividendos y ganancias de capital accionarias. • Cada período los ßujos de caja después de impuestos para los inversionistas son (1 − τ pP ) (1 − τ e ) (X − rD D) + (1 − τ pD ) rD D

(12.9)

Asumiendo que tanto X como rD D son perpetuidades, entonces tenemos que el valor presente ßujo de caja recibido por los inversionistas es (ojo: la tasa de descuento para la perpetuidad de la deuda es rD (1 − τ pD )): ¸ · (1 − τ pP ) (1 − τ e ) D V P (Firma) = V P (Firma sin Deuda) + 1 − (1 − τ pD ) {z } | T

(12.10)

• Note que si τ pP = τ pD , la ecuacion (12.10) se transforma trivialmente en la ecuación (12.8).

• El beneÞcio tributario de la deuda a nivel de las personas puede ser incluso negativo. • La estructura de capital óptima a nivel agregada se encuentra determinada por el inversionista marginal para el cual en el margen es cierto que τ pP = τ e . ¿Cuál es la intuición de esto último?

12.3 IMPUESTOS PERSONALES Y ESTRUCTURA DE CAPITAL119 — Si τ pP < τ e , las empresas emitirían deuda hasta el punto en que los inversionistas en el rango alto del impuesto progresivo absorban todos estos bonos, pagando más impuestos y se igualen ambas tasas marginales τ pP = τ e . — Un poco más formalmente asuma que los inversionistas exigen una tasa de retorno sobre los bonos de r0 después de impuestos. Por simplicidad tambien asumiré que τ pP = 0. — Demanda por Bonos: ∗ Si rD < r0 , nadie demanda bonos. ∗ Si rD = r0 , las personas exentas de impuestos (o en un tramo bajo del impuesto progresivo) comenzarán a demandar bonos. ∗ En la medida que se incrementa rD inversionistas de tramos más altos de impuesto progresivo empiezan a demandar bonos. Un inversionista individual estará dispuesto a demandar bonos en la medida que rD ≥ 1−τr0p . ( D,i ) — Oferta de Bonos: Las Þrmas toman rD como una tasa de interés dada. ∗ Si rD (1 − τ e ) > r0 , las empresas no emitirían deuda. ∗ Si rD (1 − τ e ) < r0 , las empresas no emitirían acciones. ∗ Si rD (1 − τ e ) = r0 , las empresas se encuentran indiferentes entre emitir deuda o acciones. ∗ Por lo tanto, la oferta de bonos sería perfectamente elástica a r0 la tasa rD = (1−τ . e) — El equilibrio de Miller (1977). Para el inversionista marginal (m), la demanda agregada se iguala con la oferta agregada de bonos: ¡

r0 r0 ¢ = p (1 − τ e ) 1 − τ D,m p τ D,m = τ e

(12.11) (12.12)

— Por lo tanto, en el equilibrio de Miller existe una estructura de capital óptima a nivel agregado. Esa estructura de capital es la que hace que el inversionista marginal esté indiferente entre demandar o no más bonos: rD = 1−τr0p . ( D,m )

120CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT Demanda Agregada de Bonos

r0/(1-te) Oferta Agregada de Bonos

rd

Aqui se acumula demanda hasta el inversionista marginal (m) Aqui empiezan a demandar (ademas) bonos individuos con tasas de impuestos mas altas

r0 Aqui demandan bonos aquellos individuos con bajas tasas de impuestos

B*

Cantidad de Bonos

•

— Sin embargo, note lo siguiente en la medida que el equilibrio de Miller se sastisface con τ pD,m = τ e , entonces debe ser cierto que 



 1 −    T = 1 −   

lo asumimos cero aunque esto no es relevante

z}|{ τ pP

(1 − τ pD )





 (1 − τ e )     =0   

(12.13) A nivel de las empresas individuales, la estructura de capital todavía sigue siendo irrelevante.

— LA CONCLUSION DEL MODELO DE MILLER CON IMPUESTOS PERSONALES ES QUE LA EXISTENCIA DE IMPUESTOS PERSONALES PROGRESIVOS HACE RELEVANTE LA ESTRUCTURA DE CAPITAL A NIVEL AGREGADO, PERO TODAVIA CONTINUA SIENDO IRRELEVANTE PARA LAS EMPRESAS INDIVIDUALES QUE EN EQUILIBRIO NO TIENEN BENEFICIO TRIBUTARIO ALGUNO POR EMITIR MAS DEUDA.

12.3 IMPUESTOS PERSONALES Y ESTRUCTURA DE CAPITAL121

12.3.1

Dos Ejemplos del Modelo de Miller con Impuestos Personales

El modelo de Miller (1977) tiene importantes conclusiones acerca de la estructura de capital cuando existe una estructura de impuestos más compleja (y, por lo tanto, más realista). La clave detrás del modelo de Miller (1977) es el asumir una estructura de impuestos personales progresivos para el devengo de los bonos y el reparto de utilidades. La existencia de impuestos personales progresivos puede ser la causa de la existencia de una estructura de capital óptima para cada empresa, industria o país. En esta pequeña nota se pretende ponerle números concretos a esta idea. El supuesto clave es la existencia de impuestos progresivos sobre el pago de la deuda o sobre las utilidades devengadas. El modelo de Miller (1977) es consistente con la existencia de impuestos personales progresivos sobre cualquiera sea el caso: pago de deuda, devengo de utilidades o ambos al mismo tiempo. Para efectos simpliÞcatorios, en estas notas veremos cada caso individualmente. Ejemplo 1: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de la Deuda Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda (D = 10) y acciones (S = 50) . La tasa de impuestos a las utilidades (τ e ) es del 15%, la tasa de impuestos a las utilidades devengadas (τ pP ) es del 20% y la tasa de impuestos al devengo de la deuda es una tasa progresiva (τ pD ) de 10% si el ingreso de la deuda (rD D) es menor a 1,5 y del 32% si el ingreso de la deuda es superior a 1,5. La tasa de interés es rD = 10%. ¿Cuál es el beneÞcio tributario de la deuda? ¸ · (1 − τ pD ) − (1 − τ e ) (1 − τ pP ) D (12.14) T ·D = (1 − τ pD ) τ pD

Dado que el ingreso de la deuda es r × D = 10% × 10 = 1 < 1, 5, entonces = 10%, tal que: ·

¸ (1 − 10%) − (1 − 15%) (1 − 20%) T ·D = · 10 (1 − 10%) T · D = 2, 44 ¿Cuánto vale la compañía sin deuda?

(12.15) (12.16)

122CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT

V L = VU + T · D 60 = VU + 2, 44 ⇐⇒ VU = 57, 56

(12.17) (12.18)

No obstante, el beneÞcio tributario se incrementaría de aumentar la deuda. Dado T = 0, 244, el beneÞcio tributario de la deuda se incrementa hasta 3,66 si la deuda sube hasta D = 15. Sin embargo, en ese punto el ingreso de la deuda pasa a ser r × D = 10% × 15 = 1, 5, entonces τ pD = 32%, tal que: T ·D =

·

T ·D = 0

¸ (1 − 32%) − (1 − 15%) (1 − 20%) · 15 (1 − 32%)

(12.19) (12.20)

Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es D 15 = = 35, 2% P 42, 56

(12.21)

Ejemplo 2: Impuestos Progresivos sobre el Devengo de Utilidades Suponga una empresa con valor económico por V = 60, dividido en deuda (D = 10) y acciones (S = 50). La tasa de impuestos a las utilidades (τ e ) es del 15%, la tasa de impuestos al devengo de la deuda es (τ pD ) de 40% y la tasa de impuestos personales a las utilidades devengadas (τ pP ) es una tasa progresiva de 10% si las utilidades devengadas por el accionista son menores a 1,5 y 29,5% si las utilidades devengadas por el accionista son superiores a 1,5. La tasa de interés es rD = 10% y el ßujo de caja operacional es una perpetuidad de X = 2, 5. ¿Cuál es el beneÞcio tributario de la deuda? ·

¸ (1 − τ pD ) − (1 − τ e ) (1 − τ pP ) T ·D = D (1 − τ pD )

(12.22)

Dado que el ingreso al accionista es (1−τ e )(X −rD D) = 0, 85×(2, 5−1) = 1, 275 < 1, 5, entonces τ pP = 10%, tal que:

12.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR123

·

¸ (1 − 40%) − (1 − 15%) (1 − 10%) T ·D = · 10 (1 − 40%) T · D = −1, 65

(12.23) (12.24)

¿Cuánto vale la compañía sin deuda? VL = V U + T · D 60 = VU − 1, 65 ⇐⇒ VU = 61, 65

(12.25) (12.26)

No obstante, el beneÞcio tributario se incrementaría de reducir la deuda. Dado T = −0, 165, el beneÞcio tributario (negativo) de la deuda se reduce hasta -1,21 si la deuda cae hasta D = 7, 35. Sin embargo, en ese punto el ingreso devengado al accionista pasa a ser (1 − τ e ) × (X − rD D) = 0, 85 × (2, 5 − 0, 735) = 1, 5, entonces τ pP = 29, 5%, tal que:

T ·D =

·

T ·D = 0

¸ (1 − 40%) − (1 − 15%) (1 − 29, 5%) · 7, 35 (1 − 40%)

(12.27) (12.28)

Se concluye que en equilibrio, T = 0 y la estructura de capital óptima es D 7, 35 = = 13, 54% P 54, 3

12.4

(12.29)

La Deuda Como Fuente de Destrucción de Valor

Uno de los supuestos fundamentales de Modigliani y Miller es que la estructura de capital no afecta los ßujos de caja operacionales. Estos son Þjos y exógenos al modelo. Esto, en la práctica, puede ser un supuesto poco realista. ¿Por qué? DeÞna quiebra como la circunstancia en la cual una Þrma no es capaz de cubrir los costos Þnancieros de su deuda con sus ßujos operacionales. X < rD D ⇐⇒ quiebra

(12.30)

124CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT La quiebra es un concepto importante porque: (1) implica costos reales (ejemplo, remunerar al síndico de quiebra) y (2) implica el concepto de responsabilidad limitada de los accionistas: los accionistas no responden con patrimonio propio si es que la Þrma quiebra. En otras palabras, si los accionistas no son capaces de pagar la deuda Þnanciera, éstos no cubren la diferencia entre X y rD D sino que entregan la Þrma a los acreedores. Tanto (1) como (2) violan el supuesto de M&M de que la estructura de capital no afecta los ßujos operacionales. ¿Por qué? Porque la probabilidad de quiebra crece con el tamaño de la deuda. Con mucha deuda es mas probable irse a la quiebra y tener que afrontar costos reales de quiebra o tener que entregar la empresa por un valor menor a la deuda comprometida. EjempliÞcaremos tales ideas a traves del siguiente par de ejemplos númericos.

12.4.1

Existencia de Costos Reales por Problemas Financieros

Suponga que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual se divide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puede ocurrir cualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza: • Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5. • Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5. Si la empresa no es capaz de cumplir con el valor total de la deuda contraída, esta deberá declararse en quiebra, para lo cual deberá incurrir en un costo de quiebra equivalente al 10% del valor de V en caso de quiebra. Asuma por simplicidad que la tasa de interés es cero. ¿Cuánto vale esta compañía con esa estructura de capital? En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100 En el estado 2, V < D, de tal forma que existe quiebra y debe incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20 − 10% × 20 = 0, 9 × 20 = 18 De tal forma que el valor económico de esta compañía es: V E = 100 × 0, 5 + 18 × 0, 5 = 59 Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. El resto de los supuestos es el mismo que antes.

12.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR125 ¿Cuánto vale esta compañía con esa nueva estructura de capital? En el estado 1, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado1) = 100 En el estado 2, V > D, de tal forma que no existe quiebra y no debe incurrirse en el costo de quiebra. V (Estado2) = 20 De tal forma que el valor económico de esta compañía es: V E = 100 × 0, 5 + 20 × 0, 5 = 60 Resulta obvio que en este ejemplo en el que existe un costo de quiebra, la estructura de capital importa. En particular, la probabilidad de que en algún estado de la naturaleza haya que incurrir en un costo de quiebra destruye parte del valor de la empresa. En este sentido, la estructura de capital ya no es irrelevante para el valor de una compañía.

12.4.2

Problemas de Agencia: La Deuda Como Incentivo a Elegir Malos Proyectos

En economía se entiende un problema de agencia como un problema en el cual dos agentes económicos tienen distintos objetivos para el mismo instrumento económico. En nuestro caso particular, accionistas y acreedores tendrán distintas estructuras de capital óptimas (para la misma Þrma) que maximizan el valor de su riqueza. Asuma como antes que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual se divide en D = 50 de deuda y S = 10 de acciones. Mañana puede ocurrir cualquiera de los siguientes dos estados de la naturaleza: • Estado 1: V = 100 con probabilidad 0,5. • Estado 2: V = 20 con probabilidad 0,5. No existen costos de quiebra y la tasa de interés es cero. Asuma también que existe un segundo proyecto con inversión inicial por 10 y que paga 18 en el estado 1 y 0 en el estado 2. El valor presente neto de este proyecto es: V P N = 0, 5 × 18 − 10 = 9 − 10 = −1. Por lo tanto, la empresa no debería invertir en tal proyecto ya que destruye valor. Suponga que la empresa cuenta entre sus activos con 10 de caja. ¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en el proyecto?

126CHAPTER 12 FINANZAS CORPORATIVAS (1): ESTRUCTURA DE CAPIT • Estado 1:

V = 100 + 18 − 10 = 108, D = 50, S = 58

• Estado 2:

V = 20 + 0 − 10 = 10, D = 10, S = 0

A valor presente hoy, esto implica que: V = 0, 5 × 108 + 0, 5 × 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujo en 1. D = 0, 5 × 50 + 0, 5 × 10 = 30 < 0, 5 × 50 + 0, 5 × 20 = 35, el valor de la deuda se redujo en 5. S = 58 × 0, 5 = 29 > 50 × 0, 5 = 25, el valor de las acciones se incrementó en 4. Lo relevante aquí es que al dueño de las acciones le conviene que la empresa invierta en un proyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque los dueños de la deuda le están haciendo una transferencia de riqueza superior al V P N < 0 del proyecto. Suponga ahora que el valor contable de una compañía es hoy V = 60, el cual se divide en D = 10 de deuda y S = 50 de acciones. Suponga que la empresa cuenta entre sus activos con 10 de caja. El resto de los supuestos sobre el proyecto son exactamente los mismos que antes. ¿Cuál es el valor de esta compañía si decide utilizar caja para invertir en el proyecto? • Estado 1:

V = 100 + 18 − 10 = 108, D = 10, S = 98

• Estado 2:

V = 20 + 0 − 10 = 10, D = 10, S = 0

A valor presente hoy, esto implica que: V = 0, 5 × 108 + 0, 5 × 10 = 59 < 60, el valor de la empresa de redujo en 1. D = 0, 5 × 10 + 0, 5 × 10 = 10, el valor de la deuda no cambia si se invierte en el proyecto. S = 98 × 0, 5 = 49 < 90 × 0, 5 + 10 × 0, 5 = 50, el valor de las acciones se redujo en 1.

12.4 LA DEUDA COMO FUENTE DE DESTRUCCIÓN DE VALOR127 Lo relevante aquí es que, con una estructura de capital con menos deuda, al dueño de las acciones ya no le conviene que la empresa invierta en un proyecto que destruye valor. ¿Por qué? Porque ya no existe una transferencia de riqueza superior desde la deuda al capital. GRAN CONCLUSIÓN: A MAYOR RELACIÓN DEUDA SOBRE CAPITAL, SE INCREMENTA LA PROBABILIDAD DE QUE HAYA UNA TRANSFERENCIA DE RIQUEZA DESDE TENEDORES DE DEUDA HACIA LOS ACCIONISTAS. EN EMPRESAS MUY ENDEUDADAS CONVIENE INVERTIR EN PROYECTOS MÁS RIESGOSOS (AUNQUE DESTRUYAN VALOR) PARA AUMENTAR LA PROBABILIDAD DE EXPROPIAR A LOS TENEDORES DE BONOS. Analogía con las Opciones Financieras El argumento previo tiene una analogía perfecta con las opciones Þnancieras. El valor de las acciones es como una opción de compra: S = max(V − D, 0)

(12.31)

Mientras que la deuda es como el valor de un activo libre de riesgo más la venta de una opción de venta con precio de ejercicio igual al valor de carátula (V C) de la deuda: D = V C − max(V C − V, 0)

(12.32)

Como ya vimos durante el transcurso de este curso, el valor de una opción se incrementa con la volatilidad del activo subyacente (en este caso, V ). De esta forma, se concluye que en presencia de deuda el valor de las acciones se incrementa al invertir en proyectos más riesgosos, mientras que el valor de la deuda cae al invertir en proyectos más riesgosos.

Chapter 13 Finanzas Corporativas (2): Política de Dividendos 13.1

La Irrelevancia de la Política de Dividendos: Modigliani-Miller

Supuestos: • No existen impuestos. • No existen costos de transacción. • La información es común a todas las partes. • La política de dividendos es independiente de las decisiones de inversión. • No existen problemas de agencia. El Concepto de M-M: • $100 en el bolsillo izquierdo es lo mismo que $20 en el bolsillo derecho y $80 en el izquierdo. • Ningún inversionista pagará por algo (efectivo vía dividendos) que se puede crear sin costos (vender acciones). 129

130CHAPTER 13 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO • El retorno del capital es una función del riesgo operacional y el riesgo Þnanciero (leverage), y ambos son independientes del pago de dividendos. • Implicancia Directa: LA POLITICA DE DIVIDENDOS ES COMPLETAMENTE IRRELEVANTE. • Incrementar o reducir el pago de dividendos no puede afectar la riqueza de los accionistas, en la medida que las deciones de inversión no se ven afectadas por la política de dividendos. • La política de dividendos es un "tradeoff" entre retener utilidades para futuras inversiones (no hay pago de dividendos) versus emitir nuevas acciones para pagar dividendos y todavía tener el dinero necesario para invertir.

Usos de Fundos = Fuentes de Fondos

(13.1)

Dividendos+Gasto Inversión = Flujo Operacional+Financiamiento Externo (13.2) • Si Gasto Inversión=Flujo Operacional, la Þrma no podrá repartir dividendos sin la ayuda de Þnanciamiento externo (nueva emisión). • En el caso de que la Þrma decidiera emitir nuevas acciones y utilizar esos fondos para pagar dividendos, tanto el valor de la Þrma como la riqueza de los accionistas serían exactamente los mismos que si nunca se hubieran emitido nuevas acciones. • En lo fundamental, nada cambia. Los ßujos y el riesgo operacional son los mismos, por lo tanto el valor de las acciones no puede haber cambiado. • No obstante, todo el análisis anterior se basa en 3 supuestos fundamentales: 1. No existen tasas de impuestos personales distintas para los ingresos por repartos de dividendos y por las ganancias de capital.

13.2 LOS INVERSIONISTAS TIENEN PREFERENCIA POR FIRMAS QUE PAGAN DIV 2. Si las Þrmas deciden emitir pagar dividendos superiores a sus excesos de caja, la emisión de nuevas acciones para cubrir esta necesidad de caja no tiene ni costos reales ni tampoco envía señales al mercado acerca de las perspectivas de ßujos operacionales futuros. 3. Si las Þrmas deciden emitir para pagar dividendos inferiores a sus excesos de caja, esta caja no será utilizada en Þnanciar proyectos con VPN<0.

13.2

Los Inversionistas Tienen Preferencia por Firmas que Pagan Dividendos

• De alguna forma, este nuevo supuesto viola el supuesto 3 en la sección pasada. Los inversionistas, al demandar acciones que pagan más dividendos, están dispuestos a sacriÞcar VPN positivo por pago de dividendos. • La idea es la siguiente: D1 + P1 P0 D1 + gg = Po

RS =

(13.3) (13.4)

1 , y de acuerdo • Al aumentar el pago de dividendos, se incrementa D Po a M-M esto debería ser compensado por una caída equivalente en gg. No obstante, como los inversionistas tienen por acciones ¯ ³preferencias ´¯ ¯ ¯ 1 con mayor pago de dividendos, |∆gg| > ¯∆ D , tal que el retorno Po ¯ exigido a las acciones (en neto) se reduce.

• La conclusión general es que es bueno pagar dividendos porque reduce el riesgo asociado al pago de dividendos en relación al riesgo de las ganancias de capital.

• El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayor pago de dividendo deberían valer más que sus pares con menor pago de dividendos.

132CHAPTER 13 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO

13.3

La Desventaja Tributaria de los Dividendos

¿Cuál es la idea? • Como la tasa de impuestos personales sobre el pago de dividendos es superior a la tasa de impuestos personales sobre las ganancias de capital (porque estos impuestos pueden ser diferidos), los inversionistas castigarán a aquellas acciones que pagan muchos dividendos. • El corolario es que (todo lo demás constante), las empresas con mayor pago de dividendo deberían valer menos que sus pares con menor pago de dividendos, i.e. el reparto de dividendos destruye valor.

13.3.1

El Modelo de Elton y Gruber

La proposición III de M-M implica que la política de dividendos es irrelevante para el valor de la empresa y para la riqueza del accionista. Una implicancia directa de lo anterior es que al momento exacto de repartir dividendos, el precio de la accion debería caer exactamente en el mismo monto que el reparto de dividendo por acción. La evidencia empírica indica que eso, en general, no es así. El modelo de Elton y Gruber (1980) intenta explicar tal hecho en el contexto de economías con impuestos a las personas. DeÞna Pa = precio en el instante antes del anuncio de dividendos Pd = precio en el instante posterior al anuncio de dividendos D = dividendo declarado t = tasa de impuesto a la renta tgg = tasa impuesto a las ganancias de capital Los ßujos de caja por vender la acción antes del anuncio de dividendos son Pa − (Pa − P ) tgg (13.5)

Mientras que los ßujos de caja por vender la acción después del anuncio de dividendos son: (13.6) Pd − (Pd − P ) tgg + D (1 − t) En la medida que el inversionista marginal debiera estar indiferente entre vender antes o después del anuncio de dividendos, entonces Pa − (Pa − P ) tgg = Pd − (Pd − P ) tgg + D (1 − t)

(13.7)

13.4 LA EXISTENCIA DE COSTOS DE TRANSACCIÓN

133

Ordenando, lo anterior se convierte en: Pa − Pd 1−t = D 1 − tgg

(13.8)

Tal que • si t = tgg , entonces Pa − Pd = D • si t > tgg , entonces Pa − Pd < D • si t < tgg , entonces Pa − Pd > D

13.4

La Existencia de Costos de Transacción

¿Cuál es la idea? • Como acceder al mercado de capitales tiene costos reales de transacción, el recurrir en altos montos al mercado de capitales para pagar altos dividendos tiene altos costos reales que se traducen en menor valor para la Þrma. • El corolario es que (todo lo demás constante), existe un incentivo a evitar grandes pagos de dividendos ya que si la Þrma no cuenta con caja suÞciente deberá recurrir al mercado de capitales pagando costos reales que destruyen el valor de la Þrma.

13.5

La Teoría de Clientelas

¿Cuál es la idea? • Existen distintos tipos de inversionistas con distinto grado de aversión al riesgo de liquidez y distintas tasas de impuestos personales. • Los inversionistas con mayor grado de aversión al riesgo de liquidez demandarán acciones con mayor pago de dividendos, mientras que aquellos con menor aversión al riesgo de liquidez demandarán las acciones que pagan menores dividendos.

134CHAPTER 13 FINANZAS CORPORATIVAS (2): POLíTICA DE DIVIDENDO • Los dividendos tienen una desventaja tributaria, por tanto su uso debe estar justiÞcado por alguna clase de beneÞcios reales en su uso (por ejemplo, las necesidades de liquidez). • El corolario es que, incluso con grandes diferencias entre inversionistas en materia de aversión al riesgo de liquidez e impuestos personales, la política de dividendos a nivel de la Þrma todavia puede ser irrelevante a pesar de que no lo sea a nivel de los inversionistas individuales. • La clave es que el riesgo de liquidez es intuitivamente un riesgo completamente diversiÞcable.

13.6

La Teoría de Información de la Politica de Dividendos

¿Cuál es la idea? • Para evitar futuras reducciones en el pago de ¡ D ¢dividendos, las Þrmas seleccionan bajos niveles de "dividend yield" P y los incrementa si y sólo si la administración se encuentra convencida que los ßujos operacionales futuros serán capaces de pagar dividendos más altos. • La conclusión es que los dividendos son una señal ruidosa de la asimetría de información superior que maneja la administración con respecto a los inversionistas externos. • Caídas en dividendos reducen el valor de la Þrma, mientras que mayores dividendos incrementan el valor de la empresa. • Lo relevante es que esto no es una implicancia de los dividendos en sí, sino que por el contrario de la señal informativa que genera acerca de las perspectivas futuras de utilidades (que es lo que realmente importa en términos del valor actual de las Þrmas).

13.7

Existencia de Problemas de Agencia

• Un problema de agencia surge cuando distintos agentes económicos tienen distintos objetivos para un mismo instrumento. En este caso,

13.8 CONCLUSIÓN

135

administración y accionistas tienen objetivos distintos para los remanentes de caja por sobre el gasto en inversión. • Los costos reales de agencia son una función de la magnitud de los remanentes de caja operacional por sobre el gasto en inversión. • Incrementos en dividendos reducen estos remanentes de caja, tal que reduce los costos de agencia y por tanto incrementa el valor de la Þrma. Por su parte, caídas en dividendos hace crecer los remanentes de caja tal que suben los costos de agencia y se reduce el valor de la Þrma. • Alternativamente, los costos de agencia también se reducen cuando las Þrmas acuden con mayor frecuencia al mercado de capitales al inducir un monitoreo más exigente sobre la administracion. De esta forma, Þrmas que pagan dividendos más altos deben recurrir al mercado de capitales con nuevas emisiones de capital, tal que empresas con altas tasas de pagos de dividendos tendrán menores costos de agencia. • La conclusión de esto último es que los dividendos constituyen un muy buen mecanismo para reducir los costos de agencia y por lo tanto su pago tiende a incrementar (todo lo demás constante) el valor de la Þrma.

13.8

Conclusión

• Para comprender los efectos de la política de dividendos sobre el valor de las Þrmas es necesario entender los costos y beneÞcios asociados al pago de dividendos. • Altos niveles de dividendos implican mayores pagos de impuestos (malo) y visitas muy frecuentes al mercado de capitales que generan mayores costos de transacción (malo) pero que también reducen los costos de agencia (bueno). • Cambios en dividendos proveen una señal al mercado de la mejor información que maneja la administración acerca de las perspectivas de ßujos operacionales futuros, tal que un mayor (menor) reparto de dividendos incrementa (reduce) el valor de la empresa.

APUNTES FINANZAS

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