APUNTES DE FISICA II
DIRECTORIO JOSE ENRIQUE VILLA RIVERA Director General EFREN PARADA ARIAS Secretario General YOLOXOCHITL BUSTAMANTE DIEZ Secretaria Academica JOSE MADRID FLORES Secretario de Extension e Integracion Social LUIS HUMBERTO FABILA CASTILLO Secretario de investigacion y Posgrado HECTOR MARTINEZ CASTUERA Secretario de Servicios Educativos MARIO ALBERTO RODRIGUEZ CASAS Secretario de Administracion LUIS ANTONIO RioS CARDENAS Secretario Tecnico LUIS EDUARDO ZEDILLO PONCE DE LEON Secretario Ejecutivo de la Comision de Operacion y Fomento de Actividades Academicas JESUS ORTIZ GUTIERREZ Secretario Ejecutivo del Patronato de Obras e InstaIaciones JULIO DI-BELLA ROLDAN Director de XE-IPN TV Canal 11 LUIS ALBERTO CORTES ORTIZ Abogado General ARTURO SALCIDO BELTRAN Director de Publicaciones
APUNTES DE FISICA II ARNOLDO KOHLER C. LUIS OLIVARES Q.
INSTITUTO POLITECNICO N ACION A L -MEXICO-
Apuntes de Fisica II Primera ediciori: 2004 Segunda edici6n: 2007 D.R. 2007 © INSTITUTO POLlTttCNICO NACIONAL Direccion de Publicaciones Tresguerras 27,06040 Mexico, DF ISBN 978-970-36-0473-9 Impreso en Mexico I Printed in Mexico
CONTENIDO
UNIDAD
1
Pag.
1.1.Introduccion a la Dincimica 1.1.2. Leyes de Newton 1.1.3. Fuerza de friccion 1.1.4. Leyes de Kepler del movimiento planetario 1.1.5. Ley de Newton de la Gravitacion Universal
15 16 23 29 31
1.2. Leyes de conservacion de la Dinamica 1.2.1. Trabajo mecanico 1.2.2. Potencia mecanica 1.2.3. Relacion del trabajo y la energia cinetica 1.2.4. Impulso y cantidad de movimiento 1.2.5 Conservacion de la cantid ad de movimiento
35 35 37 40 44 46
UNIDAD
2
2.1. Estatica de los fluidos 2.1.1. Caracteristicas basicas 2.1.2 Propiedades espedficas de los solidos 2.1.3 Propiedades espedficas de los liquid os 2.1.4. Presion 2.1.5. Hidrostatica
53 53 54 56 58 59
2.2. Dinamica de fluid os 2.2.1. Caracteristicas basicas 2.2.2. Ecuacion de Continuidad 2.2.3. Principio de Bernoulli 2.2.4. Teorema de Torricelli
73 73 75 76 78
2.3. Elasticidad 2.3.1. Importancia del estudio de la elasticidad 2.3.2. Ley de Hooke
79 79 81
UNIDAD
3
3.1. Termodinamica 3.1.1. Importancia del estudio de la Termodinamica 3.1.2. Termometria 3.1.3. Dilataci6n
85 85 86 90
3.2.Calorimetria 3.2.1. Calor 3.2.2. Cambios de estado de agregaci6n 3.2.3. Transmisi6rt de calor
95 96 98 100
3.3. Leyes de la Termodinamica 3.3.1. Ley Cera de la Termodinamica 3.3.2. Primera Ley de la Termodinamica 3.3.3. Segunda Ley de la Termodinamica
101 102 104 105
PROBLEMAS RESUELTOS
109
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
155
CUESTIONARIO
167
BmUOGRAFfA
181
PR6LOGO
La presente obra ha sido posible de elaborar gracias al ejercicio profesional de varios mos y al apoyo de los compafieros de area. Se ajusto al programa completo vigente de la asignatura de Fisiea General II que se imparte a los cuartos semestres del nivel medio superior. Se buseo ante todo dade un enfoque eminentemente didactico, con un lenguaje que sin sacrifiear el rigor ni la exactitud evite los tecnicismos, de manera que el estudiante 10 comprenda claramente. Para reforzar el aprendizaje, el alumno resolvera los problemas didaeticos que se eneuentran al final de la obra, en todos elios se ha dado realce al sentido fisico, por 10 eual se han reducido las matematieas involueradas. La motivacion que origina la realizaei6n de este trabajo ha sido el contribuir de alguna manera al exito de la juventud estudiosa. jEsperamos poder lograrlo!
INTRoDuccr6N La publicacion dellibro de F1sica General II busca propordonar las mejores oportunidades para la enseiianzaaprendizaje, con la intencion de dar a conocer los principios y conceptos fundamentales de la Dinamica, que constituye una de las ramas de ]a Meainica. liLa experiencia indica que los curs os deben ser sinteticos y sencillos." Es sabido que para quien estudia Fisica la etapa mas ardua es el comienzo, por 10 que el estudiante debe elevarse a un plano de alto razonamiento para desarrollar modelos y conceptos que 10 invo1ucren en e1 mundo de esta ciencia. Algunos de los rasgos mas notables de este texto son: la cIaridad y precision con la que se exponen los conceptos fundamentales de la Fisica; es una enorme ventaja para el alumno adquirir desde un principio conocimientos claros y razonamientos de los temas. Al final del texto se presenta una serie de problemas que el alumno podra resolver por S1 mismo y as! demostrar el dominio de los temas tratados en el. Si es correcto 0 no nuestro criterio, el tiempo 10 dira; 10
que nosotros esperamos es que los profesores nos digan que Ie falta 0 que Ie sobra a este modesto texto de Fisica para cumplir con los objetivos que persigue e1 estudio de esta cien.. cia en e1 nivel medio superior.
UNIDAD
1
1.1. INTRODUCCION A LA DINAMICA
La Dimimica es la parte de la mecaruca que estudia el movimiento de los cuerpos analizando las causas que 10 producen. Se basa en tres leyes fundamentales y dos principios: • Las tres Leyes de Newton • El Principio de Conservaci6n de la Energia y la Materia • El Principio de Conservacion de la Cantidad de Movimiento Antes de Galileo la mayoria de los filosofos pensaban que para conservar el movimiento de los cuerpos se necesitaba una influencia 0 fuerza. Creian que un cuerpo se encontraba en su estado natural ruando se hallaba en reposo; por ejemplo, creian que para mantener un cuerpo moviendose en linea recta con rapidez constante se requeria un agente externo que 10 impulsara continuamente; de no ser asi, se detendria "naturalmente". Si queremos comprobar esa idea experimentalmente tendremos que comenzar por encontrar la forma de liberar a un cuerpo de todas las influencias de su medio ambiente, 0 sea, de todas las fuerzas. Si estudiamos los movimientos, conforme vamos haciendo estas fuerzas mas y mas pequenas, tendremos una idea de 10 que sena el movimiento si las fuerzas externas fueran realmente nulas. Un cuerpo de prueba seria por ejemplo un bloque en un plano horizontal rigido; si hacemos que este se deslice en ese plano notaremos que su movimiento se va haciendo cada vez mas lento hasta que se detiene. De hecho, esta observacion era la base para sostener la idea de que el movimiento tenia que terminarse cuando la fuerza exterior dejara de actuar.
16
ARNOLDOKoHLERC. yLUISOUVARESQ.
Sin embargo, Galileo argumento en contra de esa idea razonando como sigue: Repitamos nuestro experimento empleando ahara un bloque y una superficie mas pulida y notaremos que la velocidad disminuye mas lentamente que antes. Usemos bloques y superficies todavia mas pulidos y vamos a encontrar que el bloque disminuye su velocidad cada vez mas lentamente y que por 10 tanto avanza cada vez mas antes de detenerse. Si pudieramos ahora explotar nuestras ideas y hacer posible eliminar el rozamiento, el cuerpo se moveria indefinidamente en linea recta y con rapidez constante. Esta fue la conclusion de Galileo. Este afirmo que se requeria cierta fuerza extema para cambiar la velocidad de un cuerpo, pero que no se necesitaba ninguna fuerza extema para conservarla.
1.1.2. Leyes de Newton Primera Ley de Newton. "Todo cuerpo conserva su estado de reposo 0 movimiento rectilineo a menos que sea obligado por una fuerza no balanceada a salir de dicho estado." La Primera Ley de Newton es en realidad un enunciado relativo a marcos de referencia, porque en general la aceleracion de un cuerpo depende del marco de referencia con relacion al cual se mide. Esta ley nos dice que si no hay objetos cercanos (y con ella entendemos que no hay fuerzas, porque toda fuerza debe estar asociada con alglin cuerpo), entonces es posible encontrar una familia de marcos de referencia en los cuales una particula no tenga aceleracion. El hecho de que los cuerpos permanezcan en reposo 0 conserven su movimiento rectilineo unifarme cuando no hay fuerzas sobre ellos se describe fundamentalmente asignando a la materia una propiedad llamada inercia.
ApUNTES DE FtsICA
II
17
Por 10 anterior, a la Primera Ley de Newton se Ie llama a menudo principio de inercia, y los marcos de referencia para los .cuales es aplicable se denominan marcos de referenda inerciales.
Inercia. Es la propiedad que tiene lm cuerpo de oponerse a cambiar su estado de reposo 0 movimiento. De 10 anterior podemos decir que: a. Si un cuerpo esta en reposo debe seguir en reposo (por inercia). b. Si esta en reposo y se Ie aplica una fuerza pequefta posiblemente no se pueda veneer su inercia. c. Si esta en reposo y con una fuerza vencemos su inercia, entonces se Ie ha provocado una aceleracion, ya que Vo = o.
d. Mientras acme la fuerza habra aceleracion; cuando deje de actuar, el cuerpo ira con movimiento rectilineo y velocidad constante en ausencia de friecion. e. Seguira con movimiento rectilineo uniforme (por inercia), a menos que una fuerza intervenga sobre eL f. Cuando una fuerza intervenga Ie puede provocar aumento de velocidad, disminucion 0 cambio de direcciOn. g. La inercia es una propiedad de la masa. h. A mayor mas a, mayor inercia y a mayor inercia, mayor masa.
Segunda Ley de Newton. "Toda fuerza aplicada a un cuerpo tiende a provocarle una aceleraci6n, cuya magnitud es directamente proporcional al valor de la fuerza e inversamente proporcional al valor de la masa."
18
ARNOLOOKoHLERC. yLUISOLNARESQ.
Para comprender por que la aceleraci6n es directamente proporcional al valor de la fuerza, consideramos el caso en que a un cuerpo se Ie aplican diferentes fuerzas en tiempos diferentes:
Si la fuerza F
a=2 m
... I
F=_2~_~~
= 1, provoca una aceleraci6n
Al aumentar la fuerza al doble, aumenta la aceleraci6n.
Y sia una te:rre:ra parte se :reduce
]a
fuerza F,
la aceleraci6n se reduce a la tercera parte. Lo anterior nos indica que al aumentar 0 disminuir la fuerza, la aceleraci6n provocada aumenta 0 disminuye en la misma proporci6n, de tal forma que la relaci6n fuerza y aceleraci6n permanece constante:
F/a= constante En el ejemplo que hemos analizado 10 Urrlco que permanece constante es la masa del cuerpo, por 10 tanto se puede expresar: m=F/a
Esta ecuaci6n representa la expresi6n matematica de la Segunda Ley de Newton, aun cuando se acostumbre representarla de la siguiente manera: F= rna
ApUNTES DE FfsICA II
19
Si tomamos en cuenta que sabre un cuerpo pueden estar actuando simultaneamente varias fuerzas, y que la direcci6n -y el sentido son iguales que los de la fuerza, la ecuaci6n anterior se debe escribir de la siguiente forma:
'LFx = max 'LFy = may
Las ecuaciones anteriores representan la forma general en que se debe analizar la Segunda Ley de Newton. Hagamos un analisis similar para comprender por que la aceleraci6n es inversamente proporcional al valor de la masa: Si aplicamos una fuerza canstante sobre cuerpos de diferentes masas se tendra:
a= 1 ------+
~F-l ___J~= 1 I-=-~
La fuerza F = I, aplicada a la mas a m provocarci una aceleraci6n a = 1.
-----.
a=lh
~
1
11l
=2! F=\..
Al aumentar la masa al doble, la aceleraci6n disminuye a Ia mitad.
a=2
Al disminuir la masa a Ia mitad, la aceleraci6n aumenta al doble.
20
ARNOLDO KOHLER
C.
y LUIS OLNARES
Q.
Tercera Ley de Newton (Ley de acdon y reacdon). liEn la interaccion entre dos cuerpos, a toda fuerza de accion Ie corresponde una reacdan de igual magnitud y de igual direccion, pero de sentido contrario." Es importante resaltar el hecho de que Ia fuerza de accion ejerce su efecto sobre un cuerpo, y la reacdon, sobre e1 otro cuerpo. Para comprender el significado de esta ley, analicemos que sucede cuando una persona golpea con su puno su escritorio; existen dos cuerpos que interacruan; el puno de la persona y la superficie del escritorio. La fuerza se aplica sobre el escritorio (fuerza de acdon) y la fuerza de reacdon achia sobre el puno de 1a persona que siente el dolor debido a 1a aplicacion de esa reacdon. Las tres 1eyes de Newton mencionan la palabra juerza, por 10 que es conveniente definir este termino.
Fuerza. Es todo aquello que aplicado a un cuerpo tiende a modificar el estado de reposo 0 de movimiento recti1ineo uniforme del mismo, es dedr, es 1a causa de que exista e1 movimiento.
Sistemas de unidades En el curso de Flsica I se hizo mendon del Sistema Internaciona1 de Unidades, que define las principa1es unidades que se pueden manejar, sin embargo, para e1 estudio de mecaruca es suficiente tomar unas cuantas de las unidades fundamentales del Sistema Internadona1, y de estas derivan todas las demas. Esto da origen a varios sistemas que se muestran a continuacion:
APUNfES DE FfsICA II
MKS GRAVITACIONAL
SISTEMA INTERNACIONAL o MKS (ABSOLUTO) MAGNlTUD
NOMBRE DE LA UNIDAD
21
OTECNICO
SfMBOLO MAGNITUD
NOMBRE DE LA UNIDAD
SfMBOLO
Metro
m
Longitud
Metro
m
Kilogramo
kg
Fuerza
Kilogramo fuerza
kgf
Tiempo
Segundo
s
Tiempo
Segundo
s
Fuerza
Newton
N
Masa
Unidad tecnica de masa
Unidad
Longitud Masa
Este sistema recibe el nombre de Internacional 0 Absoluto debido a que considera magnitudes que pueden ser medidas en cualquier sitio, sin variacion importante. La unidad de fuerza se obtiene de la Segunda Ley de Newton:
Este sistema recibe el nombre de Tecnico 0 Gravitacional debido a que considera como una unidad fundamental al peso (fuerza) y no a la masa, se obtiene de 1a Segunda Ley de Newton:
m=F/a
F=ma Newton = (kg)(m/s2)
VIM
UTM
= (kg)/m/s2 = kg2/m
Se observa que la diferencia primordial entre el sistema absoluto y el sistema internacional estriba en que en el absoluto la masa se considera fundamental, mientras que en el tE~cnico se entiende como derivada. La unidad de fuerza es el newton, y este se define como Ia fuerza que aplicada a una mas a de 1 kg, Ie produce una aceleraci6n de 1 m / seg2 De las definiciones anteriores se puede deducir que la equivalencia entre ambas unidades es:
22
ARl,OLDO KOHLER C. y LUIS
Ouv ARES Q.
1 kg
= 9.8 N
(unidades de fuerza)
y amllogamente UTM
= 9.8 kg (unidades de masa)
Existen ademas otros sistemas de unidades, como son: eGS
Magrutud
(ABSOLUTO)
Nombre de
eGS
Simbolo
Magnitud
la unidad
(GRAVITACIONAL)
Nombre de
Simbolo
la unidad
Longitud
Centimetro
ern
Longitud
Centimetro
ern
Masa
Gramo
g
Fuerza
Grarno Fuerza
gf
Tiempo
Segundo
s
Tiempo
Segundo
s
Fuerza
Dina
Dina
Masa
g s2/em
g s2/em
INGLES (ABSOLUTO)
INGLES (GRAVITACIONAL)
Magnitud
Nombre de launidad
Simbolo
Magnitud
Nombre de la unidad
Longitud
Pie
ft
Longitud
Pie
Simbolo ft
Masa
Libra
Ib
Fuerza
Libra Fuerza
lbf
Tiempo
Segundo Poundal (lbft/s2)
S
Tiempo Masa
Segundo
s slug
Fuerza
Pd
Slug (lbs2 jft)
Puesto que 1a diferencia entre los sistemas absolutos y los sistemas b:~cnicos se encuentra entre la masa y el peso de un mismo cuerpo conviene indicar 1a relaci6n existente entre ambos conceptos. Ya que e1 peso es la fuerza con 1a que la Tierra atrae los cuerpos, se puede deducir mediante 1a Segunda Ley de Newton que:
ApUNTES DE FlsrcA II
23
De donde: W = peso del cuerpo m = mas a del cuerpo g = aceleraci6n debida a la gravedad
1.1.3. Fuerza de fricci6n (rozamiento) Siempre que un cuerpo se desliza sobre otro, existen fuerzas de fricd6n opuestas al movirniento que se desarrollan entre elIos. Esto 10 podemos analizar de Ia siguiente manera: Al empujar un objeto con una pequefta fuerza muchas veces no se mueve, esto suele suceder con frecuenda y no esta de acuerdo con Ia Segunda Ley de Newton, puesto que aparentemente nuestra fuerza es la linica que acrua sobre el cuerpo, por 10 que deberia provocarle una acelerad6n.
8
F~
iNo hay movirniento! lFalla Ia Segunda Ley de Newton?
Fig. 1.1
Como se ha demostrado que la Segunda Ley de Newton se curnple para estos casos podemos pensar que 10 que sucede es que la resultante total que acrua sobre el cuerpo debe ser cero. Pero lcual es la otra fuerza que anula a la que nosotros ejercemos? La respuesta es la fuerza de fricci6n. Si analizamos el problema desde otro punto de vista en el eual eonsideremos el area de eontacto de los dos cuerpos debemos encontrar cuM es esa fuerza.
24
ARNOLOO KOHLER C. Y LUIS OLIVARES Q.
En la figura siguiente (fig. 1.2), vemos que las partes en contacto de los cuerpos no son realmente tan finas como nosotros las observamos a simple vista, ya que existen muchas areas pequenas que chocan entre 51 al tratar de mover el cuerpo, esto produce 10 que nosotros llamamos fuerzas de friccion entre otras cosas.
AREA DE CONTACTO
Fig. 1.2
Tales fuerzas se deb en, en gran parte, a las fuerzas de atraecion atomiea y molecular en las pequenas areas de eontaeto, y a los choques entre ellas. La resultante total es la fuerza de friedon que se opone al movimiento y a la fuerza que trata de producirlo. Por 10 que el cuerpo de la figura 1 debe quedar, en base a un diagrama de euerpo libre, de la siguiente manera:
Por otra parte:
w ....... Ff N
Si aumentamos el valor de F lQue sucede con el cuer o?
ApUNTES DE FfsICA II
25
Ahora bien, podriamos aumentar nuestra fuerza y aun asi el cuerpo podria continuar sin moverse.lQue sucede?, que la fuerza de rozamiento crece y el objeto permanece quieto. Esto nos hace deducir una propiedad muy importante de la fuerza de fricci6n: La fuerza de fricci6n estatica es variable, y cuando el objeto esta quieto, es igual a la fuerza ejercida por nosotros. Dando valores para entender esto: • Primeramente ejercemos una fuerza de 1 newton y el objeto no se mueve, por 10 que deducimos que la fuerza de fricci6n es de 1 newton.
• Podemos aumentar la fuerza, por ejemplo a 3 newton y el cuerpo sigue sin moverse, esto nos indica que la fuerza de fricci6n, tambien es de 3 newton.
F ~~---~~--.-.-.~ 3 N
• Finalmente, aplicamos una fuerza de 10 newton y el objeto comienza a moverse.
F=~.-,-_ _ _----'~_F-= 10 N Concluimos entonces que: la fricci6n crece hasta un valor maximo.
26
ARNOLDO KOHLER C. y LUIS
Duv ARES Q.
La fuerza de fricci6n que actua sobre el cuerpo que esta en reposo se llama fuerza de fricci6n estatica (Ffs). La mayor fuerza de fricci6n estatica 0 fricci6n estatica maxima es aquella que acma en el instante en que el movimiento esta a punta de iniciarse (movimiento inminente). Para dos superficies cualesquiera, se demuestra experimentalmente que la fuerza de rozamiento estatica maxima entre ellas es parcialmente independiente del area de contacto y es proporcional a la fuerza normal que tiende a juntar los cuerpos, es decir:
F{ ocN )5
t
Proporcional Por 10 tanto:
De donde: FJs = fuerza de fricci6n estatica 11s = coeficiente de fricci6n estatico, que depende de los materiales que se hallan en contacto N = fuerza normal De 10 anterior podemos tener para la fuerza de fricci6n estatica los siguientes casos: 1. El cuerpo esta en reposo: la fuerza de fricci6n se debe calcu-
lar par condiciones de equilibrio; puesto que no podemos aplicar la f6rmula Ffg = ttsN debido a que no es la fuerza de fricci6n maxima. 2. El cuerpo esta a punto de iniciar el movimiento FJs = ttsN puesto que en ese caso tenemos el valor maximo de Ffs.
ApUNfES DE FlslCA II
27
Fuerzas de fricci6n dinamica En el ejemplo anterior, si eliminamos nuestra fuerza el objeto vuelve al reposo, 10 que nos muestra que la fuerza de rozamiento es opuesta, ya que si no fuera as! el cuerpo continua ria moviendose con una velocidad constante. La fuerza de rozamiento constante presente durante el movimiento se llama fuerza de friccion dincimica 0 cinetica (FA). Analogamente:
De donde:
FA
= fuerza
de friccion dinamica }lk = coeficiente de friccion dincimico N = fuerza normal
La Ffs siempre es mayor que la FA y por 10 tanto: ~s
> ~k
Pata la fuerza de fricci6n dincimica tenemos que considerar que el cuerpo se puede mover can velocidad constante o bien aceleradamente por 10 que tendremos que para la solucion de los problemas: Si se mueve a velocidad constante 'LF = 0 Si se rnueve aceleradamente IT = ma
Caso especial Un bloque se caloca sobre una tabla horizontal que se va inclinando gradualmente. Cuando la tabla forma un angulo con la horizontal el bloque estci a punto de iniciar su movimiento (movimiento inminente); entonces tendremos 10 siguiente:
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ARNOLDO
KOHLER C. yLUISOLIVARESQ.
Posicion de movimiento inminente ---~
A~~~-~ 8 = Angulo de la posicion de movimiento inminente
Dibujando el D.C.L. correspondiente, tenemos que:
Analizando el diagrama de cuerpo libre: 'LFy = 0 LFx = 0
Ffs - WsenS = 0
N - WcosS=O
Como: Ffs = m!J; tambien N = Wcos8, nos queda:
•• s t":
= WsenS N
......
'-s
= ~ens cosS
IFinalmente:!l. = tanS I
ApUNTES DE FfslCA II
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Lo mismo podemos apliear cuando el bloque se mueve y tenemos a llk quedando entonces:
donde:
e = Es el angulo que logra que el cuerpo baje a velocidad constante despues de darle un pequeno impulso hacia abajo. Velocidad constan~\ \ \
~~.
.
\
~ \
\
\
\
\
\
\e
1.1.4. Leyes de Kepler del mavimienta planetaria En el siglo II de nuestra era, Claudio Ptolomeo, astr6nomo de Alejandria, estructur6 un modele planetario que tuvo gran aceptaci6n. Este modelo suponia que los planetas se movian en clrculos cuyos centros giraban alrededor de la Tierra (Teona geocentric a, fig. 1.3.) Nicolas Copernico comienza una de las mayores polemicas al decir que el Sol pennaneda fijo y que los planetas, inclusive la Tierra, giraban en tome a el en 6rbitas circulares (Teona heliocentriea.) Tycho Brahe, astr6nomo danes, propuso un modele intennedio entre Ptolomeo y Copernico, en el eual deda que la Tierra pennaneda en reposo y en el centro del universo y que el Sol giraba alrededor de esta arrastrando a todos los planetas que giraban en tome a el (fig. 1.4).
30
ARNOLDO KOHLER
C.
y LUIS
GuvARES Q.
•
TIERRA
Fig. 1.3 Fig. 1.4
Johanes Kepler, quien consideraba aceptable la teoria heliocentrica, en base a los datos de su maestro Tycho Brahe, demostr6 que la teoria de Copernico era verdadera y que s6lo habia que modificar las trayectorias de los planetas. Kepler, finalmente, consigue descubrir que las trayectorias son eHpticas; este hecho se conoce como la Ira. Ley de Kepler, que dice: "Un planeta cualquiera gira en tomo al Sol describiendo una 6rbita eHptica de la eual el Sol ocupa uno de sus focos." -'T'
PLANETA
Kepler, interesado en las velocidades de los planetas, eomprob6 que se mueven mas rapido euando estan mas aproximados al Sol (perihelio) que euando estan mas alejados de este (afelio) y descubre que estas variaciones de velocidad obedecen a la 2da. Ley de Kepler (Ley de las areas), que dice:
ApUNTES DE
FlsICA II
31
liLa recta que une un planeta al Sol barre areas iguales
en tiempos iguales."
5i el tiempo que el planeta demora para ir de A hasta B fuera igual al tiempo para ir de B hasta C, las areas Al y A2 seran iguales. Finalmente con las tab las de Tycho Brahe, Kepler trato de describir si habra alguna relacion entre las orbitas de los divers os planetas. Despues de varios intentos, al cabo de 9 aftos descubrio su 3ra. Ley que dice: liLa relacion entre los cuadrados de los periodos orbitales de los planetas y el cubo del radio medio de sus orbitas es una constante para el sistema planetario."
1} =-1} =I} =~= CON5TANTE rl r2 rJ r
1.1.5. Ley de Newton de la Gravitaci6n Universal Newton, al analizar el movimiento de los planetas (considerando su orbita circular), intuyo que una fuerza centripeta deberia estar actuando sobre el planeta, pues de 10 contrario no estaria describiendo una trayectoria circular. Newton admitio que el Sol estaria atrayendo al planeta por la fuerza centripeta.
32
ARNOLOO KOHLER
C. y LUIS aLlV ARES Q.
Tratando de encontrar una expresi6n matematica la desarro1l6 de la siguiente forma: 2
2
2
F=ma(l) pero,nc=wr ycomow =2n IT
Sustituyendo en (1) tenemos: 2
...
[2nY F = mCTJr
F
= 4n mr
----yr
(A)
Esta es la fuerza de atracci6n que ejerce el Sol sobre el planeta y 10 obliga a girar en movimiento circular (fuerza centripeta). Haciendo uso de la Tercera Ley de Kepler:
~K
entonces
r
2
'f = Kr3 esto 10 sustituimos en (A):
2
_ 4n m F -- 4n mr 32 Kr Kr
2
0
0
•
F _ 4n [m~ 2 K r -
Observamos que el factor encerrado es constante, por 10 que Newton concluyo que la fuerza del Sol sobre la Tierra es directamente proporcional a su masa m e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al Sol, esto quiere decir: Foem y Foe~
r
Por ultimo, se sustituye a la constante G:
= masa de un cuerpo m2 = masa del otro cuerpo ml
r = distancia entre los cuerpos G
= constante de 1a gravitaci6n universal
Posteriormente, analizando el movimiento de la Luna en torno a la Tierra, Newton dedujo que esta era atraida por la Tierra con una fuerza del mismo tipo que la fuerza del Sol sobre el planeta y al observar la caida de la manzana al des-
APUNTES DE FiSICA II
33
prenderse del arbol conduyo que si el Sol atrae a los planetas, la Tierra atrae a la Luna y a la vez a la manzana. Dedujo que esta atraccion deberia ser universal, ya que deberia manifestarse entre dos cuerpos cualesquiera y de esta forma enuncio su Ley de la Gravitacion Universal, que dice: "Dos cuerpos cualesquiera se atraen mutuamente con una fuerza proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa." La constante universal G no debe confundirse con g que es la aceleracion de un cuerpo producida por la atraccion gravitacional de la Tierra sobre este. La constante G tiene como dimensiones (13 M-l T-2) Y es una escalar; g tiene como dimensiones (L MO r-2) y es un vector, no es universal ni es constante. Los val ores de G son: MKS G=6.67xlO- 1l (m3 /kg seg2)(N . m2) kg2
INGLES
G=6.67xlO-S(ft3 / slug· seg2)
Variaci6n de la g La aceleraci6n de ~a gravedad es la aceleraci6n que comunica a un cuerpo su propio peso. De acuerdo con la Ley de la Gravitaci6n Universal el peso puede escribirse:
F= G!!!..l!J? (A) r
siendo mIla masa del cuerpo, m2la masa de la Tierra y r la distancia al centro de la Tierra.
34
ARNOLDO KOHLER C. y LUIS aLiv ARES Q.
Pero sabemos que w = mg Si sustituimos en A tenemos:
Por 10 tanto:
... Como vemos, GyM son constantes, por 10 que se puede ver que la gravedad disminuye al aumentar la distancia al centro de la Tierra, pero sin embargo, es tambien cierto que un cuerpo cae hacia la Tierra con aceleraci6n constante. Por ejemplo: Denver 1 638 m (SNM) 9.7909 m/s2 Madrid 655 m (SNM) 9.79981 m/ s2 SNM:
Altura sobre el nivel del mar.
1.2. LEYES DE CONSERVACION DE LA DINAMICA 1.2.1. Trabajo mecanico
En la vida diaria es comlin escuchar que alguien expresa: • "Me costa trabajo aprender la leccion de ingles." • "Me costo mucho trabajo terminar la carrera de ingenieria./I En Fisica la palabra trabaja se emplea en un sentido muy diferente y mucho mas restringido; diremos que una fuerza F efecrna un trabajo ~ cuando al actuar sobre un cuerpo Ie produce un desplazamiento d en su misma direccion. F
F
8
~---~
d
Fx
I------r<: I
[-~--~
Fx
---~I
EI trabaja se define como el producto de la componente de la fuerza aplicada en la direccion del desplazamiento por el desplazamiento que el cuerpo realiza. La ecuacion general del trabajo es la siguiente:
I~ = Fd cossl Siendo el trabajo una magnitud escalar, de la ecuacion anterior del trabajo observamos las situaciones siguientes:
36
ARNOLDO KOHLER C. y
LUIS OuvARES Q.
Si la direccion de la fuerza es en el mismo sentido al desplazamiento, tenemos que: • Si el cingulo e = 0°, el cos 0° = 1. Por 10 tanto: ~= Fd (trabajo positiv~) Si la direccion de 1a fuerza es perpendicular al desplazamiento, tenemos que: • Si el cingulo e = 90° el cos 90° = O. Por 10 tanto: ~ = 0 (no se realiza trabajo) Si la fuerza y el desplazamiento son de la misma direccion pero de sentido contrario tendremos 10 siguiente: • Si el cingulo e = 180°, el cos 180° = -1. Por 10 tanto: ~= Fd (trabajo negativo) Por ejemplo, el trabajo efectuado por 1a fuerza de friccion que se disipa en forma de calor.
Unidades de trabajo Como e1 trabajo se obtiene mu1tip1icando la fuerza por la distancia las unidades del trabajo se obtendran de la manera siguiente: Unidades de fuerza x unidades de longitud trabajo
= unidades de
Las unidades de trabajo para los sistemas conocidos seran respectivamente las siguientes: SISTEMA
UNIDADES DEFUERZA
UNIDADESDE WNGITUD
UNIDADES DETRABAJO
MI
Newton (N) Dina (dyn)
Metro (m) Centimetro (em)
Joule Ergio (erg)
Kg Fuerza (kgf)
Metro (m)
Kilogrametro (kgfm)
CGs(ABS)
TECNICO GRAVITACIONAL
m
ApUNTES DE FfsrcA
II
37
De 10 anterior podemos definir la unidad de trabajo de la siguiente fonna: Un joule se define como el trabajo que efecrua una fuerza de un newton, cuando aplicada a un cuerpo Ie provoca un desplazamiento de un metro en la direcci6n de la fuerza. Como consecuencia, la definici6n sera similar para los otros sistemas. EQUIVALENCIAS 1 joule 1 ergio 1 dina 1 newton lkgm 1 joule
= = =
= = =
107 ergios 10-7 joules 10-5 newton 105 dinas
9.8 Nm = 9.8 joules 0.112 kgfm
1.2.2. Potencia mecanica Al efectuar un trabajo es importante considerar el tiempo empleado en su realizaci6n, ya que una maquina se puede tardar cinco minutos 0 dos horas en hacer el mismo trabajo, esto ha originado Ia necesidad de definir la potencia como el cociente del trabajo realizado entre el tiempo empleado en efectuarlo, es decir, la potencia es la rapidez 0 velocidad con que se efecrua un trabajo. Su expresi6n matematica es:
Ip= ~ I De donde: p = potencia t = tiempo ~ = trabajo Caso especial: Cuando Ia velocidad es unifonne y Ia direcci6n de la fuerza es la misma que la del desplazamiento,la potencia la podemos expresar de la siguiente forma:
38
A&'\'OLOO KOHLER C. y LUlS OLIVARES Q.
Esto es debido a 10 siguiente: Sabemos que P = ? / t Pero el ~ = F. d Sustituyendo tendremos:
Y como d/t = v (velocidad constante) Finalmente se tendra:
Ip=Fvl De donde: p:;::: potencia F = fuerza v :;::: velocidad Por otra parte, la potencia de una maquina es igual al producto de fuerza aplicada par la velocidad que desarrolla.
Unidades de patencia La unidad de potencia en el sistema MKS absoluto es el watt 0 vatio, que se define como el trabajo de un joule efectuado en la unidad de tiempo (s). Esta unidad en la pnictica ha resultado ser pequefia, por 10 que se prefiere usar el kilowatt (1 kw = 103 watt). En la industria electric a la energia se mide en kilowatt por hora (kwh), que es la energia consumida en una hara cuando la potencia es de 1 kilowatt (~ = Pt).
APUNTES DE FfsrCA
II
39
Las unidades, de potencia en los sistemas conocidos seran entonces las siguientes:
SISTEMA
MKS
eGS
UNIDADES DETRABAJO
UNIDADES DETIEMPO
UNIDADES DEPOTENCIA
(abs)
Nm (joule)
Segundos (5)
Watt 0 vatio
(abs)
Ergio (erg)
Segundos (s)
10-7 watts
Kilogrametro (kgfm)
Segundos (s)
9.8 watts
TECNICO GRAVITACIONAL
Otras unidades que son muy utilizadas en Ingenieria son las siguientes: En el sistema ingles: (Horse Power) == 76 kg mls = 746 watts HP
1
HP
En el sistema metrico decimal: cv (Caballo de Vapor) 1 cv = 75 kg mls = 736 watts
Energia EI trabajo y 1a energia son conceptos intimamente relacionados entre S1. Podemos definir la energia como: "Un cuerpo 0 sistema cualquiera tendria energia cuando pudiera realizar un trabajo." La energia se presenta en diversas formas, por ejemplo: energia quimica, electrica, atomica, cinetica, potencial, etc. Puede pasar de una forma a otra, 0 sea transformarse; pero respetando su principio de conservacion. En los presentes apuntes analizaremos por el momento ooicamente 1a energia mecanica.
40
ARNOLDO KOHLER
C
y LUIS OLIVARES
Q.
Energia mecanica. Es la cap acid ad que tiene un cuerpo para producir un trabajo, ya sea debido a su estado de reposo 0 de movimiento. Esta energia se clasifica en dos formas:
energia cinetica Energia mecanica {
energia potencial
Energia cinetica. Es la capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en virtud de su movimiento. Su expresion matematica es:
De donde: Ec = energia cinetica m = masa v = velocidad
1.2.3. Relaci6n del trabajo y la energia cinetica Consideremos a un cuerpo que es puesto en movimiento mediante la aplicacion de una fuerza. Vo
m
I·
vI
...
I d
m
II-
L-J
"'1
Analizando el trabajo desarrollado por la fuerza, para encontrar la relacion entre el trabajo efectuado y el movimiento genera do tenemos 10 siguiente:
APUNTES DE FfslCA II
41
E1 trabajo esta dado por: ? = Fd Ademas sabemos que: F = rna Sustituyendo tendremos: 'l> = (ma)d de la f6rmula vj = vo2 + 2d podemos despejar la aceleraci6n: 2
_ v f - Va
a-
2
2d
Sustituyendo tendremos:
Eliminando la distancia (d) y los parentesis, tendremos finalmente:
llamando energia final = 1/2 rn vj y energia cinetica inicial = 1/2 rn vo2 Por 10 tanto:
I ? ::: M.c I (Teorema trabajo-energfa cinetica) Esta f6rmula nos indica que: En ausencia de fried6n, el trabajo 'l>, desarrollado sobre un cuerpo es igual a la variaci6n f).Ec de energia cinetica que experimenta el mismo.
Unidades de energfa De la f6rmula'l> = f).Ec se observa claramente que la energfa se da en las mismas unidades que el trabajo, ya que el signo nos 10 denota. La energia tambien (como el trabajo) es una cantidad escalar.
42
ARNOLOOKcHLERC.
yLUISOLIVARESQ.
Energia potencial. Es la capacidad que tiene un cuerpo para producir un trabajo en virtud de su posicion (altura). Su expresion matem,ltica es:
I Ep = mgh J De donde: = energia potencial m = masa g = aceleracion debido a la gravedad h = altura del cuerpo medida a un nivel de referencia
Ep
Nuestra definicion original nos dice que el trabajo es igual al producto de la fuerza por el desplazamiento cuando estos van con un mismo sentido. Observando la siguiente figura analicemos que sucede cuando levantamos a un cuerpo cuyo peso es W desde cierto nivel hasta h con velocidad constante, mediante la aplicacion de una fuerza F.
_0 __________________ _ h
cP.
--~---,
La fuerza que es necesaria aplicar al cuerpo para que suba a velocidad constante debe ser del mismo valor al peso del cuerpo, esto es:
IFy = 0 ; F=W
F=mg
por 10 tanto, yentonces;
ApUNTES DE FfsICA
II
43
el trabajo realizado sera: ~=
F. h
~=mgh
De la figura anterior y quitando hB - hA = h sustituyendo y quitando parentesis tenemos que:
llamando energfa potencial final = mghB y energia potencial inicial = mghA Por 10 tanto:
De la eeuacion anterior se eoncluye: El trabajo realizado por un cuerpo, al subirlo 0 elevarlo, es igual ala variacion 6.Ep de la energia potencial que este sufre. Energfa total. La energia total de un cuerpo es igual a la surna de su energfa einetiea y su energia potencial, siempre y cuando no existan fuerzas disipativas. Entonces: EMT
= energfa einetica + energia potencial
La representacion matematica de la energia total es la siguiente:
Conservaci6n de la energia mecamca Sabemos que la energfa no se erea ni se destruye, solo se transforma, por 10 tanto 1a ecuacion anterior (energia total meeaniea) nos muestra que la energia total se eonserva durante el movimiento de una partieula eompenscindose la ganancia 0 perdida de energfa einetiea con la perdida 0 ganancia de
44
ARNOLIx) KOHLER
C. y LUIS OLNARES Q.
energia potencial, de tal manera que este principio se enuncia de la siguiente manera: "La energia total de un cuerpo permanece constante en cualquier punto de la trayeetoria del cuerpo."
1.2.4. Impulso y cantidad de movimiento Un tema importante en la Fisica es el estudio del comportamiento de dos 0 mas partieulas que choean entre sl. Para el amilisis de este tipo de choque es necesario definir primeramente los conceptos de: 1. Cantidad de movimiento (impetu 2. Impulso (impulsion)
0
momentum)
Cantidad de movimiento (p). La cantidad de movimiento que posee un euerpo es una cantidad vectorial que se define como el producto de su masa por su velocidad. ASI entonces:
I p=mvl De donde: p == eantidad de movimiento (impetu m == masa del cuerpo v == velocidad del cuerpo
0
momentum)
Sus unidades seran respeetivamente las siguientes: Sistema
MKS
UNIDADES
Absoluto kgm/ s
eGS
Absoluto gm/s
Gravitacional 0 Tecnico UTMm/s
La formula anterior nos da la cantidad de movimiento de un cuerpo; su direecion y sentido seran las mismas que tenga el vector velocidad.
ApUNTES DE FfsICA II
45
Impulso 0 impulsion (I). El impulso que recibe un cuerpo 80metido a una fuerza determinada es un vector cuya magnitud se define como el producto de 1a fuerza, por e1 tiempo durante el cual actUa, es decir:
De donde: I = impulsion F = fuerza aplicada t = tiempo en que actUa F Sus unidades senm respectivamente las siguientes: M.K.S. Absoluto
Sistema
N.s
UNIDADES
e.G.S. Absoluto
Gravitacional
dina.s
kgf. s
Relaci6n impulso-cantidad de movimiento Existe una estrecha relacion entre el impulso de un cuerpo, con su cantidad de movimiento. Para analizar esta relacion consideremos el caso en el que un cuerpo con una determinada velocidad inicial VI recibe el efecto de una fuerza constante F, y por 10 tanto varia su velocidad hasta un valor final V2'
Como sabemos de lecciones anteriores:
F=mai
46
ARNOLDO KOHLER
C. y LUIS Ouv ARES Q.
Entonces: F --
m(\ V 2 -t v1/
F.t
= m( V 2 -
Pasando t al primer miembro:
Vj)i
eliminando el parentesis:
F . t = m V 2 - m V 1; como F· t = I Y mv = P
Finalmente:
La f6rmula anterior expresa la relaci6n impulso-cantidad de movimiento, e indica: "El impulso que recibe un cuerpo es igual a la variaci6n que sufren en su cantidad de movimiento. II
1.2.5. Conservaci6n de la cantidad de movimiento Se denomina impetu 0 cantidad de movimiento a la propiedad que tienen los cuerpos por el solo hecho de moverse. Consideremos ahora un choque entre dos particulas de masa ml Y mZ, como se muestra en la figura siguiente, durante el breve choque estas particulas ejercen grandes fuerzas una sobre la otra, y de acuerdo ala Tercera Ley de Newton estas fuerzas son en cualquier instante de igual magnitud, pero de sentido contrario. Par 10 que podemos decir que dos cuerpos que chocan reciben ambos el mismo impulso, pero de sentido contrario.
ApUNfES DE FlSICA II
47
El impulso para las particulas es el rnismo, por 10 tanto:
Para la particula (1) tenemos: Para la particula (2) tenemos:
Pl
=- (ml Vf l -
m1vo l ) .......... (1)
P 2 = (m2vh - m2vo2) .......... (2)
19ualando las ecuaciones (1) y (2) tenemos:
Finalmente ordenando terminos:
La ecuacion anterior nos permite representar que la cantidad de movimiento total de los cuerpos que chocan no se modifica durante el choque; este hecho se denomina Principio de Conservacion de la Cantidad de Movirniento, y se define de la siguiente forma: liEn ausencia de fuerzas extemas el fmpetu 0 cantidad de movimiento de un sistema de cuerpos se conserva."
48
ARNOLOO KOHLER C. y LUIS OLNARES Q.
Choques elastic os e inelasticos
0
plasticos
Durante los choques, todos los cuerpos sufren una pequena deforrnaci6n, por 10 que se generan pequenas cantidades de calor; la rapidez con que un cuerpo recobra su forma original despues de sufrir una deforrnaci6n es una medida de su elasticidad (tambien Hamada restituci6n). Si despues de chocar, los cuerpos Se separan recobrando perfectamente su forma original, se dice que el choque es perfectamente eliistico. Aqui, ademas de la cantidad de movimiento, tambien la energia cine tic a se conserva. En realidad, los choques elasticos se presentan por ejemplo entre las moleculas de un gas. En los choques microsc6picos siempre una parte de la energia cinetica se transforma en calor, aunque para muchos fines consideramos como elasticos a los que ocurren entre bolas de acero, billar, canicas, etcetera. Si al chocar los cuerpos quedan unidos (pegados), se dice que el choque es inelastico. Si bien la cantidad de movimiento se conserva, la energia cinetica no. Obviamente la velocidad final de los cuerpos es la misma, ya que se mueven como uno solo. Para el caso general en que consideramos dos cuerpos de masa ml Y m2 que chocan elasticamente, los cuales tienen una velocidad VOl y V02 antes del choque y quedan con velocidades vIl Y vI2 despues del choque, la energia cinetica se conserva durante el choque, y estaremos aplicando el Principio de Conservaci6n de la Energia:
Multiplicando por 2 y factorizando nos queda:
AplThI'TES DE FfsICA
II
49
El Principio de Conservacion de la Cantidad de Movimien to nos dice:
factorizando
dividiendo la ecuaci6n (1) entre la ecuacion (2)
en el nurnerador se tiene un binomio conjugado, entonces desarrollado
nos queda:
ordenando
dividiendo entre
(VOl - V02)
tenernos:
1 = vh -Vh vOl - v02
es decir
e = vh - Vh VOl - V0 2
e = coeficiente de restitucion
50
ARNOLDO KOHLER C. y LUIS OLNARES Q.
El coeficiente de restitucion se define como el valor que expres a la relaci6n de velocidades con la cual dos cuerpos se separan despues de chocar, entre las velocidades antes de chocar. Con relaci6n a este coeficiente de restituci6n se ha determinado los siguientes tipos de choques:
Choques totalmente elclsticos. Aquellos en los que se conserva la cantidad de movimiento, ademas como hay transferencia de energia en forma de calor, la energia cinetica del sistema se conserva constante. En este tipo de choque, el coeficiente de restituci6n vale la unidad:
Choques totalmente ineldsticos (pldsticos). En este tipo de choques existe intercambio de energia, mas no en la cantidad de movimiento; para este caso el coeficiente de restituci6n vale cero.
Todos los demas tipos de choques que pueden efectuarse estan comprendidos entre los choques inelastic os y elasticos, y como consecuencia los valores del coeficiente de restituci6n se encuentran entre cero y uno.
UNIDAD
2
2.1
ESTATICA DE LOS FLUIDOS
2.1.1. Caracteristicas Basicas Todos los cuerpos se encuentran en la naturaleza en forma de solid os y fluidos. Los fluidos se dividen a su vez en liquidos y gases.
Solidos
Estados en que se encuentra la materia en la naturaleza
LiquidOS Fluidos
{
Gases
La teoria atomica de la materia supone que toda la materia en el universo esta formada par cuerpos ultramicroscopicos llamados atomos y que estos todo el tiempo estan en un estado de movirniento y su actividad depende de la temperatura. Una de las mas importantes propiedades de los .itomos es su capacidad de actuar sobre otros que se encuentran a cierta distancia de separacion. Algunos atomos se atraen y otros se repelen, y cuando varios atomos se atraen y se combinan dan lugar a la formacion de una molecula. Dichas moleculas pueden contener varias cantidades de Momos. A partir de las fuerzas ejercidas entre las moleculas de los cuerpos pueden establecerse las caracteristicas de cada uno de los estados en que se presenta la materia. A continuacion se presentan los modelos de estructuras para materiales solidos, liquidos y gaseosos.
54
AR.'\iOLOO KOHLER C. y LUIS aLlVARES Q.
* En el estado solido las fuerzas entre las moleculas son muy fuertes, de manera que determinan estructuras perfectamente definidas. * En los liquidos las fuerzas moleculares son mas debiles que en los solidos, esto permite que se deslicen unas sabre otras, 10 que Ie da fluidez.
* En los gases las fuerzas moleculares son muy pequenas y tienden a ocupar todo el volumen del recipiente debido a la movilidad de sus moleculas.
00 S6lidos
Liquidos
o
0
o o o 0 o o 0 Gases
2.1.2. Prapiedades espedficas de los s6lidos Entre las diversas propiedades de los cuerpos solidos se encuentran algunas muy importantes, como son: a. Los solidos tienen una forma determinada y se oponen a ser modificados de su forma original par la accion de fuerzas existentes. Ahora bien, siempre que una fuerza ejerce su accion sobre un cuerpo, este se acelera, pero si acruan otras fuerzas que eviten que se muevan, entonces el cuerpo puede deformarse. b. Elasticidad. Es la propiedad que tienen todos los cuerpos de ser modificados y que al deformarse bajo la accion de fuerzas, recuperan su forma original una vez que estas dejan de actuar sobre ellos. Este fenomeno de elasticidad se puede explicar considerando que cuando un cuerpo se deforma, alguna parte de este experimenta movimientos can respecto a una parte cercana y
ApUNTES DE FIsICA II
55
como resultado de estos, las fuerzas atomic as de atraccion (fuerzas de cohesion) se convierten en fuerzas restauradas, las cuales resisten la alteracion y tienden a restaurar al cuerpo a su forma original. Cuando las fuerzas de deformacion son mucho mayores que las de cohesion, el cuerpo ya no recupera su forma original y se dice que ha sufrido una deformacion permanente 0 p1.istica. c. Cuerpos rfgidos. Dentro de los solidos hay los que se conocen como cuerpos rigidos, entendiendose por estos aquellos que no se deforman. En realidad no existe este tipo de cuerpos; es un ideal, puesto que todos los cuerpos se deforman en mayor 0 menor grado segUn el tipo de carga a que esten sometidos y de acuerdo a su estructura atomica. d. Dureza. La dureza de un material se define como la resistencia que este presenta a ser rayado por otro. e. Maleabilidad. Es la propiedad que tienen los solid os de poder ser laminados hasta dimensiones pequenas. f. Ductibilidad. Es la propiedad que tienen los solidos de poder ser reducidos a formas de hilos muy finos 0 delgados. g. Tenacidad. Es la resistencia a la ruptura que presentan ciertos solidos. h. Fragilidad. Es la poca resistencia que tienen algunos solidos para soportar la aplicacion brusca de fuerzas de imp acto, sin romperse. i. Divisibilidad. Es la propiedad que tienen los solidos de poder ser reducidos a fracciones pequefias, por medios mecanicos 0 energeticos. Nota: Todas estas propiedades dependen de las fuerzas de cohesion de los cuerpos, y por 10 tanto, varian dependiendo del tipo de material que se este analizando.
56
AR;"OLDO KOHLER
C. y
LUIS GLIV ARES
Q.
2.1.3. Propiedades especificas de los liquidos a. Los liquidos tienen la forma del recipiente que los contiene y ofrecen poca resistencia a los cambios de forma. b. Son practicamente incompresibles (no se pueden comprimir). c. Viscosidad. Es la propiedad que determina la cantidad de resistencia que aparece en los fluidos a las fuerzas cortantes. d. Tension superficial. Es la fuerza que acma tangencialmente a la superficie de un liquido, por cada unidad de longitud. La superficie libre de un liquido se comporta como una membrana elastica cuya tension es la fuerza de cohesion de las moleculas por cada unidad de longitud. Existen varias propiedades que son generales para toda clase de materias, y son:
Densidad (p). La unidad de masa de una sustancia contenida por una unidad de volumen recibe el nombre de densidad.
Donde: p = densidad 0 densidad absoluta m = masa (kg) V = volumen (m3)
Peso especifico (Pe). Se define como el peso de la unidad de volumen de una sustancia.
Donde: Pe = peso especifico W = peso (N) V = volumen (m3)
ApUNTES DE FfslCA
II
57
Relacion entre el peso especifico y la densidad. De la formula del peso especifico se tiene:
Pe= mg
El_ P V -
pero,
V
Por 10 tanto: (Relacion peso cspecifico-densidad)
Densidad relativa (Pr). La densidad relativa de una sustancia es la relacion entre la densidad de la sustancia y la densidad de otra sustancia que se toma como patron. Normalmente se toma como patron la densidad del agua a 4 oc, que tiene el mismo valor que la densidad absoluta en el sistema eGS (absoluto).
De donde: Pr = densidad relativa Ps = densidad de la sustancia La densidad relativa tambien se puede expresar de la siguiente manera: Ws
p = Pes .~ r
=
Peagua:..g'"
----;;r;r- =~ Wagua
Wagua
..v p r
=
Peso
0
Peso 0 masa de la sustancia masa de un volumen igual de agua
La densidad relativa de una sustancia expresa cWlntas veces es mayor 0 menor su densidad con respecto a la del agua. Los valores de la densidad del agua son: _ 1 g _ 1 000 kg _ 102
P---3 cm
3
3
m
Pe = 1 000, kgf ill
UTM
-
ill
= 9 80~ N
m
58
ARNOLOO KOHLER
C. y
LUIS
Ouv ARES Q.
2.1.4. Presion Recibe el nombre de presion, la razon de una fuerza aplicada entre el area sobre la cual se distribuye dicha fuerza. La presion matematicamente se expresa como la fuerza aplicada dividida por el area en que acrua la fuerza.
Ip= 11 De donde: P = presion F = fuerza (N) A = area (m2) Sus unidades son: (N/m2
= Pascal; kgf/m2 y dyn/cm2)
Para comprender mejor el concepto de presion cons ideremos el siguiente ejemplo: Se tiene un bloque que pesa 150 N Y que tiene las siguientes dimensiones; en este caso la presion en la base seni:
t I
100 crn
~
11/-+-+-+-i--tI
~~-, RE-A-D-E-C-O-N~TA==----CT-O---'I ~ ~
La fuerza F en este caso es el peso del bloque, 0 sea 150 N EI area sera: A = 10 cm x 10 cm = 100 cm2 Sustituyendo los datos correspondientes tenemos: P
=
150 N = 1.5 N/cm 2 100 cm
2
ApUNTES DE FtSICA II
59
Si el mismo bloque estuviera apoyado sobre la otra cara, o sea:
l,CuaI es Ia presion ejercida por eI bloque? p=
IS0N 2 1000 em
0.15 N/em
2
Podemos observar que a mayor area, menor presion. Notese que al resolver este problema no es 10 mismo fuerza (150 N) que presion (0.15 N/cm2), ya que en los dos casos la fuerza fue la misma, pero el area fue diferente y en consecuencia la presion.
2.1.5. Hidrostatica Se Ie llama Hidrostatica a Ia parte de la Ffsica que estudia las propiedades de los fluidos en reposo. De 10 anterior podemos definir:
Presion hidrostatica. Es la presion ejercida por los fluidos que se encuentran en reposo. Todo fluido ejerce presiones sobre las paredes del recipiente que 10 contiene y cuando se trata de Hquidos en reposa esta presion es producida par elliquido.
60
ARNOLDO KOHLER
C. y LeIS GLlVARES Q.
Consideremos el siguiente ejemplo: Se tiene un recipiente de forma cualesquiera como el de la figura siguiente y se llena con cierto liquido. Para conocer la presion que ejerce este sobre la pared inferior del mismo hacemos uso de la formula: F P=-
[-- - - -
A
h
i=---
c
-1
Pero sabemos que en este caso la fuerza aplicada es el peso del liquido, y para conocer este necesitamos saber el peso especifico delliquido, que podemos conocer mediante tablas.
A.REA=A
De 10 anterior: Pe= W
V
Despejando: W=PeV
Pero como W = F tenemos que: F = Pe V Ahora bien el volumen del recipiente es: V = A • h (volumen = area x altura) Por 10 que: F = Pe(A • h) sustituyendo nos queda: P =Pe:/(· h
A
Entonces: (Presion debida a un liquido en reposo) (Presion manometric a ) De donde: Pr = presion hidrostatica Pe = peso especifico h = altura delliquido La presion puede expresarse en funcion de la densidad de la manera siguiente: P = pglz
ApUNfES DE FISICA
II
61
Observe que en la f6rmula de presi6n de un Hquido en reposo, s6lo influye el peso especilico Pe delliquido y la altura h. Esto nos indica que no depende en nada de la superfide en contacto, como en el caso anterior del bloque. Consideremos los recipientes que se muestran, lcual tendra mayor presi6n en el fondo?
T h
J'--------------~
» » » »
»
Misma altura Mismo peso esped£ico Diferente area de contacto 19ual presi6n lPor que?
En base a 10 anterior, tendran la misma presi6n en el fondo porque ambos recipientes estan Henos con un mismo liquido y tienen la misma altura de este.
Presion atmosferica Todos sabemos que la ahn6sfera terrestre ejerce una cierta presi6n sobre todos los objetos 0 cuerpos, la cual puede pasar inadvertida para nosotros puesto que siempre nos desenvolvemos en este ambiente ahnosferico. Fue Torriceli, fisico italiano, quien pudo comprobar la existenda de la presi6n atmosferica y medirla, realizando el siguiente experimento: tom6 un tubo de vidrio abierto en un extremo y 10 nen6 completamente de mercuric (Hg), Iuego, tapando con un dedo el extremo abierto invirti6 el tubo y 10 sumergi6 en un recipiente tambien Heno de mercurio. Se esperaba que al destapar el extremo inferior del tubo, el mercurio descendiera totalmente y se nivelara con el del recipiente, pero eso no sucedi6; el mercurio descendi6 por el tubo, pero se detuvo a una altura de 76 em (760 mm) mas arriba del nivel del mercuric del recipiente.
62
LUIS OLIVARES Q.
ARNOLOO KOHLER C. y
i-
I-
_ _:-----L.-'--'--"--+----t-----'-c...L--L.-.L----.--1-
Mercurio
J::m mm) (760
------------111 _____
IEsquema de un barometro rUdimentarID] Torriceli conc1uyo que eso se debia a la presion atmosferica Pa que al actuar sobre la superficie del mercurio Hg del recipiente equilibraba a la columna de mercurio de 76 cm. De esa forma quedo comprobada la existencia p,e la presion atmosferica, cuyo valor fue equivalente a una columna de mercurio de 76 cm. Es dedr, la presion que ejerce la capa de aire atmosferico de decenas de kilometros de altura es igual a la presion que ejerce una columna de Hg de 76 cm, y esta es la presion atmosferica. PAIM
= 76 cm Hg = 760 mm Hg = 760 Torr (al nivel del
mar) Esta presion es medida a nivel del mar, puesto que si este mismo experimento se realizara en una montana se encontraria que el valor de la presion atmosferica sena menor que la me did a a nivel del mar. Esto se puede explicar considerando que cuanto mayor es la altura, mas rarificado esta el aire y menor ~s el espesor de la atmosfera que aetna sobre la superficie de mercurio.
Otros val ores de la presion Si en el experimento que se aplico para medir la presion atmosferica se hubiese empleado agua en vez de mercurio, la
ApUNfES DE FfsICA
II
63
altura de la columna del agua seria 13.6 veces mayor que la del mercurio, es decir, aproximadamente igual a 10.3 m. PATM = 1 atmosfera
= 760 mm Hg = 10.3 metros de columna de agua
Demostrando que si la densidad del mercuric = 13.6 g/ cm3 Entonces 1 atmosfera
= 101 300 pascal
Comprobadon de la existencia de la presion atmosferica Otra forma de observar el efecto de la presion atmosferica es juntar dos hemisferios y luego hacer un vado en ellos; los hemisferios no podrian separarse facilmente debido a la presion atmosferica, como en el experimento de los hemisferios de Magdeburgo, en el que necesitaron 16 caballos de tiro (8 caballos por lado) para separar ados semiesferas de 37 cm de diametro. El aire ejerce una presion aproximada de 1 kgf por cada cm2 • La superficie del circuito tiene 1 060 cm2, por 10 tanto la presion sobre cada hemisferio sera mayor de 1 000 kgf (1 tonelada).
Asi que cada tiro de 8 caballos tuvo que tirar con una fuerza de una tonelada para poder contrarrestarse a la presion del aire exterior.
SINVACfo
CONVACfo
La aplicaci6n de las fuerzas F separa facilmente los hemisferios
La aplicaci6n de las fuerzas F NO puede separar a los hemisferios debido a la presi6n atmosferica
64
AI{''\;OLDO KOHLER
C. y LUIS GLlY ARES Q.
Presion absoluta Ya hem os vis to que un liquido en reposo provoca una cierta presion (hidrostatica) y ademas de esta, existe una presion atmosferica que depende de la altura sobre el nivel del mar; dellugar en que se mide. Por 10 anteriormente expuesto, podemos conduir que en un punto cualesquiera de un liquido tendremos una presion absoluta, es decir: Consideramos un liquido que se encuentra dentro de un recipiente, como se muestra en la figura siguiente. Estamos interesados en conocer la presion que se tiene en el punto B, que se encuentra a una distancia h del nivel delliquido. La presion delliquido seria: P == pgh (presion hidrostatica), pero a esa presion hay que sumarle la presion atmosferica Pa del lugar, que acrna sobre la superficie delliquido. Por 10 que tendremos para el punto B:
rl
PATM
l
I [ I ! III
I~~"~h.
~
T
-
-- --
h
e-"
-- B --- -
-=--
-
't'_
La presion absoluta en el punto B, es:
IPH == P
ATM
+ pglzl
De donde: P B == presion absoluta sobre el punto B PATM == presion atmosferica dellugar pgh == presion debida alliquido (hidrostatica)
APUNfES DE FfsrCA II
65
o sea que: Presion absoluta
= presion delliquido + presion atmosferica
De esto se puede conduir que para diferentes niveles se tendra que:
Ecuaci6n fundamental de la HidroshHica
- c - - .. T ----·---. - - - -- :h -
.--,.....~
-D~-
Postulados generales de la Hidrostatica Los siguientes postulados generales se aplican a los liquidos en reposo: 1. La superficie de un Ifquido en reposo es plana y horizontal.
2. Existe presi6n en todos los puntos dentro dellfquido. 3. La presi6n es la misma en todos los puntos que esten a igual nivel dentro de un mismo Hquido.
-I
66
ARNOLOO KOHLER C. y LUIS OLNARES
Q.
4. La fuerza debida a la presion es siempre perpendicular a las paredes del recipiente que contiene alliquido.
5. Columnas de alturas desiguales pueden producir presiones iguales. Sustancia 1
En el tuba en forma de U que se muestra en la figura, las alturas son desiguales, debido a que las densidades de los liquidos son desiguales tambien. Como la presion en el punto donde se unen las sustancias es igual, tenemos:
Entonces:
Sustancia 2 Esto significa que las alturas estan en relacion inversa de sus densidades. 6. En un sistema de vasos comunicantes, si se llena con un mismo liquido, este alcanza la misma altura en los diversos recipientes, independientemente de su forma.
ApUNTES DE FfsICA
II
67
-_-=-_--__-_-__==---====::J
.:.::.---=-__
Nota: Un sistema de vasos comunicantes son dos pientes comunicados por la parte inferior.
0
mas red-
Principio de Pascal EI Principio de Pascal se puede enunciar de la manera siguiente: "EI aumento de presi6n en un punto cualesquiera de un liquido que esta en equilibrio, se transmite igualmente a todos los puntos delliquido." Este principio se puede comprobar experimentalmente con la jeringa de Pascal, que es una esfera que tiene una serie de perforaciones y un embolo que sirve para aplicar la presi6n alliquido.
Al aplicar la presi6n sobre la superfide delliquido mediante el embolo, se observa que por todos los orifidos sale e1liquido con la misma presi6n.
Este Principio de Pascal se utiliza principalmente en la construcd6n de maquinas hidraulicas (prellsa hidraulica, frenos para autom6vil hidraulicos, etc.). Para comprender mejor este principia, consideramos una prensa hidraulica que consiste en dos recipientes cilindricos comunicados y llenados con un cierto liquido (aceite, por ejemplo).
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ARNOLDO KOHLER C. y
LUIS OLIVARES Q.
Si a esta area Ie aplicamos una fuerza Fl en el embolo menor de area Al provocaremos una presion:
I_----=---que segUn el principio de Pascal se transmitira a todos y a cada uno de los puntos delliquido, hasta llegar al embolo de area A 2 • Como la presion debe ser la misma en este punto, y ademas el area A2 es mayor que All para que se conserve el valor de la presion la fuerza F2 debera ser mayor. Dicho de otra manera, la presion en el punto 1 se transmite hasta el punto 2, 0 sea PI = P2' Ahora bien:
Podemos igualar:
Entonees la fuerza F2 que obtendriamos sena, despejando:
Para ver cuantitativamente el aumento que se puede 10grar por medio de la prensa hidrauliea, dando valores a FI , Al YAz, tendremos: Si Al = 1 em2; A2 = 100 em2 y la Fl = 10 N obtendremos que:
F2
=
10 N(100 em 2
lem
2 )
= 1 OOON
APUNTES DE FfsICA II
69
De este ejemplo podemos ver que con solo una fuerza de 10 N, aplicada en el embolo menor, podriamos levantar un cuerpo que pesara 1 000 N, colocada en el embolo mayor.
Principia de Arqufmedes Cuando sumergimos un cuerpo en un liquido, este experimenta una fuerza ascendente (empuje). Esto se puede comprobar, por ejemplo, cuando se sumerge un pedazo de madera en agua, pues se siente inmediatamente que el agua 10 empuja hacia arriba. Arquimedes estableci6: "EI valor del empuje ascendente que acma sobre un cuerpo sumergido en un fluido, es igual al peso del liquido que el cuerpo desplaza./I A este enunciado se Ie conoce como Principio de Arquimedes.
l -=-t
-~-+ --
i~-I
-
Trataremos de entender la razon por la cual un cuerpo experimenta este empuje. Para esto consideremos un cuerpo sumergido en un liquido.
Elliquido ejerce fuerzas debido a la presion que se distribuye en la superficie del cuerpo, como se observa en la figura anterior. Ahora bien, ya sabemos que la presion aumenta con la profundidad, esto nos permite conduir que las fuerzas que acman sobre la parte inferior del cuerpo son mayores que las ejercidas en la parte superior. Como existe una diferencia en cuanto al valor de las fuerzas, debe existir
70
ARNOLDO KOHLER
C. y
LUIS OLNARES
Q.
una resultante que empuje el cuerpo hacia arriba y esa resultante es precisamente el empuje. Observese que la causa del empuje es el hecho de que la presion aumenta con la profundidad. Analicemos ahara que es 10 que sucede cuando un cuerpo es sumergido totalmente en un liquido 0 cuando es sumergido parcialmente. Supongase que un cuerpo se introduce parcialmente en agua. Este desplazaria cierto volumen de agua y recibiria un empuje (E) de valor igual al peso del agua desp1azada. Por ejemplo, si se desplazan dos 1itros de agua que pesan 2 kgf e1 empuje sobre el cuerpo valdria E = 2 kgf. Si hundieramos mas el cuerpo, el volumen desplazado sena mayor, y entonces el empuje seria mayor. Asi podriamos continuar con el cuerpo hasta sumergirlo completamente, con 10 eual el volumen desplazado de agua sena el maximo, puesto que sena igual al volumen de todo el cuerpo. Esto nos permite ver que cuando el cuerpo esta sumergido totalmente, aunque 10 sumerjamos mas, el valor del empuje no aumenta, pues el volumen desplazado delliquido permanece eonstante (en las figuras observamos el valor del empuje).
t
t
D t
Cuando el cuerpo es sumergido totalmente en elliquido se pueden presentar los siguientes casos: Sabre el cuerpo achlan las siguientes fuerzas: el peso del cuerpo y el empuje. Entonces:
APUNTES DE FlsICA II
71
• Si Wes mayor que E, el cuerpo se hunde. • Si W = E, el cuerpo se equilibra y permanece en la posicion que se haya dejado. • Si Wes menor que E, el cuerpo sub ira buscando la superficie. Analizando matemciticamente estas tres situaciones obtendremos una conclusion importante. Sabemos que: Pe = WIV, entonces W = Pe. V Como Pe = pg, nos queda:
De donde: We = peso del cuerpo
Pe
= densidad del euerpo
E = empuje
= volumen del cuerpo g = aceleracion debida ala gravedad PL = densidad delliquido Ve
V L = volumen delliquido
Entonces:
Pero cuando el cuerpo esta sumergido totalmente por 10 que tendriamos que E = W Y nos queda: P~VL = PcgVc ·
VL
= V c,
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ARNOLOO KOHLER C. y LUIS Ouv ARES
Q.
Comparandose estas dos expresiones, se observa que solo difieren en las densidades del cuerpo y delliquido, entonces: • Si PL = Pc tendremos que en el primer caso (E = W) el cuerpo queda suspenso. • Si PL < Pc tendremos que en el segundo caso (E < W) el cuerpo se hunde. • Si PL > Pc tendremos que en el tercer caso (E > W) el cuerpo flota. De esa manera, con la ayuda de una tabla de densidades, podemos saber si un solido flota 0 no en un liquido.
SUSTANCIA Hidrogeno Aire Corcho Gasolina Hielo Agua Agua de mar Aluminio Hierro Cobre Plomo Mercurio Plata Oro Platino
DENSIDAD (g/ cm3) 0.00009 0.0013 0.24 0.66 a 0.69 0.92 1.0 1.03 2.70 7.20 8.90 11.30 13.60 10.50 19.30 21.40
2.2.
DINAMICA DE FLUIDOS
2.2.1 Caracteristicas basicas En el tema de estatica de fluidos se han considerado ilnicamente los fluid os en reposo, y tomando en consideraci6n el peso espedfico y la columna hidrostatica del mismo. Ahora veremos otro tema impartante relacionado con los fluidos, que es la hidrodinamica.
Hidrodimimica. Es la parte de la Fisica que estudia el comportamiento de los fluidos en movimiento. Con objeto de facilitar el estudio del flujo de los fluidos consideraremos primero las siguientes suposiciones: L El flujo de los fluidos puede ser compresible 0 ineompresible.
Por 10 general puede considerarse que los liquid os fluyen incompresiblemen te. 2. El flujo de los fluidos puede ser viseoso. La visco sid ad en el movimiento de los fluidos es e1 analogo de la fricci6n en el movimiento de los solidos. Considerando que los liquidos son ide ales, es posible despreciar la perdida de la energia cinetica. 3. Por Ultimo, se considera que el flujo de los liquid os es estacionario 0 permanente. Cuando la velocidad del fluido en cualquier punto no varia con el tiempo, se dice que es estacionario. En la figura se representa una parcion de un tuba en el eual un fluido se mueve de izquierda a dereeha. Si e1 movimiento es de tipo estacionario, cada particula que pasa por el punto A sigue exactamente la misma trayectoria de las particulas que pasaron antes por este punto. Estas trayectorias se denominan lineas de flujo 0 lineas de corriente.
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ARNOLDO KOHLER
C. yLursOLwARESQ.
Be •
---C-=i.......... ·----~---
------------------
---------------~ Si la seccion transversal del tubo varia de un punto a otro, la velocidad de cada particula variani a 10 largo de la linea de flujo, pero en los puntos A, B 0 CIa velocidad de cada particula sera la misma que la primera. En los fluidos reales se pueden encontrar dos tipos de flujos estacionarios que son: flujo laminar y flujo turbulento.
Flujo laminar. En el flujo laminar las particulas fluidas se mueven seglin trayectorias paralelas, formando el conjunto de elIas placas 0 laminas.
Flujo turbulento. En el flujo turbulento las particulas se mueven en forma desordenada en todas direcciones. Existe un flujo de tipo intermedio entre ellaminar y el turbulento, que recibe el nombre de fLujo de transici6n.
Por ahora solo estudiaremos a los fluid os de regimen laminar, que son incompresibles y las fuerzas de rozamiento son despreciables.
ApUNTES DE FfsICA
II
75
2.2.2. Ecuaci6n de Continuidad Casto 0 caudal. Es el volumen de un liquido que pasa por el area transversal del conductor, en la unidad de tiempo. Su expresion matematica es:
De donde: Q = gasto 0 caudal (m3/s) V = volumen (m3) T = tiempo Considerando que el fluido lleva una velocidad, se puede obtener una segunda ecuacion. En la figura siguiente tenemos un dlindro de area transversal A y de longitud d. El volumen del cilindro es V = Ad Sustituyendo:
i - - - - - - -----_./l-----~---.-~
14-----
d -----*1
Q = Ad/t pero d/t =velocidad de fluido, ya que se puede considerar constante.
Por 10 tanto, nuestra ecuadon sera:
I Q=
v.AI
De donde: Q = gasto (m3 /s) A = area transversal (m2) v = velocidad de fluido (m/s) Otra ecuacion muy importante en hidrodinamica es la Hamada Ecuacion de Continuidad. Esta nos dice que en cualquier sec don de un conductor por donde circula un fluido incompresible, el gasto sera el mismo. Supongamos que tenemos un tuba que tiene dos secciones diferentes y por el
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ARNaLDa KOHLER C. y
LUIS GLlV ARES Q.
cual circula un fluido, como se muestra en la siguiente figura.
CD Esto es: el gasto Q que pasa por la seccion 1 es igual al gasto que pasa por la seccion 2, podemos escribir entonces:
siendo esta la Ecuacion de Continuidad. Resulta evidente que donde el tubo tiene mayor secci6n transversal Alt lleva una menor velocidad vI' 1a que a1 pasar a la seccion 2 aumentara a V2 debido a la reduccion del tubo. Por 10 tanto: . Si
A2
< Al en consecuencia
v2
>
vI'
2.2.3. Principia de Bernoulli Cuando la rapidez de un fluido aumenta, su presion disminuye.
Ecuaci6n de Bernoulli La rapidez de flujo en un tubo se relaciona con la presion. Tambien se vena afectada si en el tubo elliquido alcanzara una mayor altura. En terminos de energia el fluido tendria una mayor energia potencial y menos energia cinetica. La densidad del fluido sena importante, pues la energia potencial de un volumen de fluido elevado a una altura h es:
ApUNTES DE
FlsIcA II
77
La relaci6n matematica que inc1uye estos parametros fue ideada por Daniel Bernoulli (1799-1782), matematico suizo; de ahi que se Ie conozca con el nombre de Ecuaci6n de Bernoulli, y dice:
o tambien
IP + pgh + ~pV2 = constante I Donde:
p
Notese que pgh es Ia energia potencial por unidad de volumen, es decir, mgh/V. De manera anaioga, 1/2pv2 es la energia cinetica por unidad de volumen y la presion tiene unidades de trabajo por unidad de volumen. joule _ N m
3 -
m
2
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ARNOLDO KOHLER C. y LUIS OLwARES Q.
2.2.4. Teorema de Torricelli Este teorema es consecuencia del Teorema de Bernoulli. Supongamos que se tiene un recipiente como el de la figura que contiene un liquido determinado. Puede encontrarse la velocidad a la cual salen las particulas del fluido por el orificio 1.
De acuerdo con el Teorema de Bernoulli tenemos: 2 2 P1 + pghl + lhpV1 ::; P2+ pgh2 + lhpV 2 Pero como v2 = a Y PI = P2 porque es la presi6n atmosferica, nos queda:
pghl + ~PV12 = pghz Despejamos a la velocidad VI = 2g(h2 - hI) Y como h = h2 - hI
Resulta que:
Esta ecuaci6n nos permite calcular la velocidad de salida del fluido por el orificio. Como se puede observar es la misma ecuaci6n de la velocidad en caida libre al llegar el cuerpo al suelo. Entonces el gasto de fluido que escapara sera:
2.3.
ELASTICIDAD
2.3.1. Importancia del estudio de la elasticidad Con el fin de simplificar el estudio de los cuerpos, introduciremos el eoneepto de cuerpo rigido, conscientes de que es una idealizacion. Los cuerpos bajo la accion de las fuerzas experimentan deformaciones. Para acercamos a la realidad iniciaremos el estudio de la elasticidad.
Elasticidad. Es la propiedad que manifiestan los cuerpos al reeobrar su forma original despues de desapareeer las fuerzas que 10 han deformado. Sabemos que cuando sobre un cuerpo acrua una fuerza de gran intensidad este puede quedar totalmente deformado o bien romperse, por 10 eual definiremos:
Limite de elasticidad. Es el maximo esfuerzo al que puede ser sometido un cuerpo, sin que pierda su elasticidad. EsJuerzo. Se Ie llama as! a la fuerza aplicada sobre un cuerpo, medida por una unidad de area. Si, por ejemplo, sobre un area de un cuerpo acrua una fuerza F el esfuerzo se determina por:
De donde: p F A
= esfuerzo a la tension = fuerza 0 carga aplicada al cuerpo = area de la seccion
80
ARNOLDO KOHLER C. y LUIS OuvARES Q.
Sus unidades seran respectivamente las siguientes: SISTEMA
MKSABS
CGsABS
UNIDADES N/m2 0 dina/cm2 Pascal
TEe. GRAVIT ACIONAL kgf/m2
El esfuerzo se considera como una cantid ad vectorial, por 10 que no se debe confundir con la presion, aunque tengan las mismas unidades y ecuaciOn.
Deformaci6n lineal. Es aquella a la que se encuentra sometido un alambre y/ 0 probeta bajo la accion de una fuerza, provocandole un alargamiento, como se muestra:
/~
F
»l----------" 14----
~I
10
/
/:
/
1).1 ---1 I
k-------------~--_J
If
~I
De donde: I).l = deformacion lineal lo = longitud inicial ~ = longitud final
Deformaci6n unitaria. Nos indica la deformaci6n que sufre un cuerpo por unidad de longitud inicial, es decir:
De donde: E = deformacion unitaria M = deformacion lineal 10 = longitud inicial . Nota: La deformacion unitaria no tiene unidades.
APUNfES DE FlsIcA II
81
2.3.2. Ley de Hooke Modulo elastica Entre los esfuerzos y las deformaciones existe una rei acion denominada Ley de Hooke, que enuncia 10 siguiente: "Los esfuerzos son proporcionales a las de formaciones mientras no se alcance ellimite elastica del material." Puesto que se trata de esfuerzos unitarios se tendran tambien deformaciones unitarias, quedando expresada la Ley de Hooke de la siguiente forma:
De don de: a = esfuerzo a la tension E = deformacion unitaria K = constante de proporcionalidad
0
constante elastica
A la canstante de proporcionalidad K se Ie conoce como Modulo de Young del material y se expresa en las mismas unidades que el esfuerzo, de la siguiente manera: De la formula anterior: 0' = KE Y como K es el Modulo de Young Y:
IY=~I De donde: Y = Modulo de Young Las unidades para el Modulo de Young en los sistemas ya conocidos seran respectivamente las siguientes:
SISTEMA
MKSABS
CGsABS
UNIDADES N/m2 0 dina/cm2 Pascal
TEe. GRAVITACIONAL
kgf/m2
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ARNOLDO KOHLER C.
y LUIS auvARES Q.
Por 10 anterior, la Ley de Hooke tambien se enuncia de la siguiente forma: La relacion 0 cociente entre el esfuerzo aplicado y la deformacion unitaria producida en un cuerpo es constante, siempre que no sobrepase ellimite elastica carrespondiente. Teniendo:
Sustituyendo en la consta.'1.te del Modulo de Young obtendremos la ecuacion: F
Y ==
tz
par 10 tanto
Iy == :~I I
lo Todo esfuerzo es de caracter experimental, su validez se mantiene siempre que no se aplique una fuerza que de origen a un esfuerzo que sobrepase el valor Hamada limite de elasticidad.
UNIDAD
3
3.1.
TERMODINAMICA
3.1.1. Importancia del estudio de la Termodinamica La Termodimimica, como su nombre 10 indica, estudia el calor y el movimiento, y las relaciones entre calor y energia 0 trabajo mecanico, electrico 0 de otras formas. La Termodinamica clasica solo es estrictamente valida cuando se aplica a sistemas en equilibrio termico. Por cons iguiente, al analizar los efectos de las variaciones de temperatura 0 presion sobre el sistema se debe suponer que estos cambios se llevan a cabo muy lentamente. En el mundo real, los acontecimientos suceden con una velocidad finita, a menudo muy rapidamente y el estado idealizado de equilibrio no se puede mantener durante este proceso. Nuestro estudio va a estar dirigido a una pequefia parte del universo a la que llamaremos sistema; ejemplo: el liquido que se encuentra en un vase al fuego, el gas que esta dentro de un globo, un trozo de fierro incandescente, etc. Por 10 que un sistema termodinamico sera la cantidad de materia dentro de una frontera determinada. Una frontera por 10 general vienen a ser las paredes del deposito que contiene al sistema, limitandolo de los alrededores; es la porcion del universo inmediata al sistema con la que se puede intercambiar energia (termica 0 de trabajo). Las fronteras de mas interes son paredes: a. Diatermicas. Si permiten flujo de calor, ejemplo: una lamina de aluminio. b. Adiabaticas. Si no permite el flujo de calor, ejemplo: una placa de asbesto 0 fibra de vidrio.
86
Al,""'OLDO KOHLER C. y LUIS OLNARES
Q.
c. M6viles. Si permiten realizar trabajo, por ejemplo: un piston
o embolo de cilindro. El estado de un sistema se determina en terminos de variables microscopicas que se miden experimentalmente, por ejemplo: el volumen, la presion y la temperatura; esta Ultima es una magnitud fundamental con la cual tendremos oportunidad de trabajar.
3.1.2. Termometria Escalas termometricas. Las escalas termometricas se utilizan para grabar los termometros, que a su vez nos sirven para medir la temperahrra de los cuerpos. Temperatura. Es la medida de la capacidad que tienen los cuerpos de ceder 0 absorber calor. Term6metros. Existe una gran varied ad de termometros que utilizan diferentes principios para medir la temperatura de un cuerpo. Nosotros solo analizaremos el termometro mas comlin, que es el que usa como propiedad termometrica la longitud de una columna liquid a en el interior de un tuba capHar de vidrio.
En este termometro, la elevacion de la temperatura produce dilatacion en el volumen delliquido y del vidrio, pero debido a la mayor dilatacion del liquido se produce un aumento de la longitud de la columna liquida que servira para medir la temperatura.
Para construir una escala termometrica se hace uso de determinadas convenciones, que no son otra cos a que un conjunto de reglas arbitrarias que indican como calibrar un terrnometro.
ApUNTES DE
FfsrCA II
87
En la actualidad se usan rnayormente las esc alas termometricas propuestas por los fisicos Celsius, Fahrenheit y Kelvin.
Escala Celsius (antes centigrada). Para construir esta escala se escogen dos puntos fijos, que son: el punto de fusion del hielo (punto en el que el hielo y el agua estan en equilibrio termico) y el punto de ebullicion del agua (punto en el que el vapor y el agua estan en equilibrio termico), ambos a la presion de la atmosfera. A estos puntos se les atribuye arbitrariamente las temperaturas de a °C y 100 °C, respectivamente. Enseguida, se divide a los intervalos entre los dos puntos en 100 partes iguales, por 10 que cada division representa un intervalo de 1 0c. Escala Fahrenheit. En esta escala los puntos fijos fueron determinados por el punto de fusion de una mezcla de doruro de sodio (NaCl), cloruro de amonio (NRCl) y el hielo fundente; y por la temperatura normal del cuerpo humano, a los cuales se les atribuyola temperatura de a of y 100 of respectivamente. En esta escala, el term6metro marca 32 OF en la fusi6n del hielo y 212 of en la del agua hirviendo, intervalo que contiene 180 partes iguales.
Escala Kelvin (escala absaluta). Aun cuando no existe un limite superior termico para la temperatura de un cuerpo, S1 existe limite inferior. Estudios termicos basados en la Segunda Ley de la Termodinamica muestran que la menor temperatura que puede alcanzar un cuerpo es de -273°C. Metodos modernos de la Fisica han logrado bajar la temperatura de un cuerpo hasta casi los -273°C pero no se ha logrado llegar a esa temperatura. A esa temperatura de -273°C se Ie conoce como cera absoluto.
88
ARNOLOOKClHLERC. yLU!SOUVARESQ.
La escala Kelvin toma el cera absoluto como el cera de su escala y las divisiones hechas, hacen que los intervalos de 1 oK sean iguales a los intervalos de 1 0c.
Relaci6n entre las escalas Celsius, Fahrenheit y Kelvin Segtin las construcciones de estas escalas, quedanin de la siguiente forma:
OF
oK
°C
--212° 32° ---
---
-459°
---
373° 273°
---
-273°
0°
Para encontrar la relacion que existe entre las escalas termicas definidas anteriormente, graficaremos en un siste-
ma de coordenadas cartesianas los puntos que correspon· den al punto de fusi6n del hielo y punto de ebullici6n del agua.
OF (1) I
I I I
CD
: I
--------------1I
~----------------~~oC
0°
100°
1. Es el punto de fusion del hielo. 2. Es el punto de ebullici6n del agua.
Al unir los puntos 1 y 2 obtendremos una linea recta que debe cumplir con la ecuacion general:
MUNTIS DE FfSICA
II
89
En nuestros ejes tenemos que Y = OF Y que x = °C, analizando la grafica se observa que: rn = 1.8 Y b = 32, por 10 que al sustituir en la ecuacion Y = rnx + b obtendremos: 1of = 1.8 °C + 321 Formula para obtener of
De esta formula se puede despejar °C y nos queda:
1°c = (OF - 32)/1.81 Formula para obtener
°c
Procedimiento en forma similar para encontrar la relacion entre °c y oK, se tendra:
OK
3730t --------------~ ,, , I
I
----------,I 00
Y = oK; x
~------------------I--~~oC
= DC; rn = 1 Y b = 273
Al sustituir en Y = rnx + b obtendremos despejando:
OK = (0C) + 273 DC = °K-273
90
ARNOLDO KOHLER
C. y
LUIS OuvARES
Q.
3.1.3. Dila taci6n Dilataci6n de s6lidos De todos es conocido que las dimensiones de un cuerpo aumentan cuando se incrementa su temperatura. Esto se puede observar claramente con el siguiente experimento: A la temperatura ambiente, una esfera metcilica puede pasar con facilidad a traves de un anillo, pero si la esfera se calienta se dilata y no pasa a traves del anillo.
b) Calentada, la esfera ya no pasa por el ani-
a) A la temperatura ambiente la esfera pasa por el anillo
110
Dila taci6n lineal Consideremos la dilatacion de una barra, Unicamente en una direccion, ya sea su longitud, anchura, etcetera. Cuando tenemos una temperatura inicial To, la barra tiene una Iongitud inicial 10 • Al momenta que elevamos Ia temperatura hasta Tf su Iongitud se incrementa hasta If' como se puede observar en Ia figura. A una temperatura To
I
I
14-1"'--- lo----.!...I A Lilla temperahrra T
f
--+1
81
f.--
'1----------,1-_- _-j ~
~
~
...1
81
= incremento de Iongitud
ApUNTIS DE FfsICA II
91
Experimentalmente se ha observado que el incremento de la longitud til es directamente proporcional a 10 y a tiT. Por 10 que tila 10.tiT multiplicandolo por una constante ex (aHa) se tiene:
De donde: til = incremento de longitud (m, cm) ex = coeficiente de dilataci6n lineal (11°C 10 = longitud inicial (m, em) tiT = incremento de temperatura (0C)
C-l)
0
Los valores de ex dependen del material que se este trabajando, son medidas experimentales y se encuentran en tablas de constantes fisicas (el valor de ex es muy pequeno, del orden de millonesimas). Recordando que til
= ~ - 10 de la formula anterior se tie-
ne:
De donde: ~ = longitud final 10 = longitud inicial ex = coeficiente de dilataci6n lineal tiT = variaci6n de temperatura
Dilataci6n superficial. Considerando ahora la dilatacion superficial de un cuerpo, 0 sea el aumento que experimenta en su area, con relaeion al aumento de temperatura, cuando se tiene una temperatura inicial To el area es AD y al elevar la temperatura hasta Tf incrementa el area hasta Af es decir:
Af L,------- ____
'ta f J+ I
92
ARNOLIXJ KOHLER
C. y
LUIS Ouv ARES
Q.
Considerando el aumento de la base: = bo{l + allT)
bf
Y el aumento de altura: af = ao(1 + allT)
Para obtener Af =hI" af, por 10 tanto: Af
Af
=[b o(l
+ allT)][ao(l + allT)]
Efectuando operaciones: Af = bo • ao(l + allT)2 Pero como: bo • ao = Ao Af = Ao(l + 2allT + a 2KI2) El Ultimo termino a 211'f2 es despreciable, puesto que el valor de a es pequeno y al elevarlo al cuadrado, se hace todavia mas pequeno y puede ser despreciado entonces: Af = Ao(1 + 2allT) haciendo 2a
=~
Se tiene:
De donde: = area final = area inicial ~ = coeficiente de dilatacion llT = variacion de temperatura
Af Ao
De 10 anterior conc1uimos que el coeficiente de dilatacion lineal superficial ~ es e1 doble del coeficiente de dilatacion lineal para un mismo material. Nota: Esta propiedad de que ~ = 2a es casi general, aunque existen materiales que no 10 cumplen; a dichos materiales se les conoce como sustancias anisotropas. Pero a men os que se indique 10 contrario, nosotros podemos considerar que ~ =2a.
ApUNTES DE FtslCA
II
93
Dilataci6n volumetrica. En forma amiloga a como se encontro la dilatacion superficial, se obtiene la dilatacion volumetrica.
De donde: Vf = volumen final Vo = volumen inicial ~ = coeficiente de dilatacion volumetric a l!T = variacion de temperatura
(~
= 3a)
Dilataci6n de los liquidos. Los gases y Hquidos obedecen las mismas leyes que ya vimos para los solidos, pero como los liquid os ocupan todo el volumen del recipiente que los contiene no se puede hablar de dilatacion lineal ni de dilatacion superficial, sino Unicamente de dilatacion volumetrica.
3.2.
CALORIMETRlA
3.2.1. Calor Cuando dos cuerpos de diferentes temperaturas se ponen en contacto, se observa que despues de cierto tiempo, estos se encuentran en equilibro termico, esto es: los dos cuerpos estan a la misma temperatura. Al tratar con el calor, se pensaba en el como el fluido de una sustancia desconocida que se encontraba latente dentro de los cuerpos. A esto se Ie denomina Calorimetria, que es algo asi como la idea que ahora tenemos de la transmision de la electricidad mediante el flujo de electrones. Benjamin Thompson "El conde de Rumford", productor de canones, introdujo el concepto de calor como energia. Cuando Rumford supervisaba la perforacion de canones observo que el agua que se utilizaba en el alma de estos para evitar el sobrecalentamiento, se evaporaba y tenia que ser sustituida frecuentemente. Finalmente, advirtio que al taladrar el hierro de uno de los canones, el calor que salfa era inagotable, 0 sea, el calor se generaba a partir del movimiento del taladro. De 10 anterior vemos que el calor es una forma de energia, por 10 que podemos definirlo como:
Calor. Es una forma de energia que pasa de un cuerpo a otro en virtud unicamente de su diferencia de temperatura. Esta energia se debe en gran parte a la energfa cinetica de las moleculas.
96
ARNOLOOKoHLERC. yLUlSOLlVARESQ.
Como el calor es una forma de energia, sus unidades seran: SISTEMA
MKSABS
CGsABS
GRAVITACIONAL
OTERRESTRE UNIDADES
joule
ergio
kgf .m
Se usa tambien otTa unidad para medir el calor, que es la caloria. Calaria. Se define como la cantidad de calor que es nece-
saria comunicar a 1 gramo de agua para que esta eleve su temperatura en 1 °C (de 14.5 °C a 15.5 0c). En el sistema ingles la cantidad de calor es la BTU (British Tennal Unit) que se define como: La cantidad de calor que es necesaria aplicar a una libra de agua para elevar su temperatura en 1 of (de 63 of a 64 OF). BTU:
OtTas equivalencias son las siguientes: 1 kilocaloria = 1 000 calorias 1 000 calorias = 3.968 BTU 3.968 BTU = 4.186 joule = 252 calodas 1 BTU 1 caloria = 4.186 joule (equivalente mecanico de calor)
Calor esped£ico de una sustancia Supongamos que un cuerpo recibe un incremento de calor ~Q que hace que su temperatura se incremente ~T, entonces la capacidad tennica 0 calorimetria C se define como:
APUNTES DE FfsrCA
II
97
De donde: C = capacidad termica 0 calorifica ~Q = variaci6n de calor (calorias) ~T = variacion de temperatura (DC) Esta capacidad termica es una propiedad de cada material. La masa influye en la variacion de temperatura, puesto que si aplicamos calor a dos cuerpos del mismo material, pero en diferentes mas as, el de menor masa se calentara mas rapido que el otro. Para considerar la masa, basta dividir la capacidad termica entre esta y nos dara el calor especifico.
Calor especifico. El calor especifico de una sustancia es igual al mlrnero de calorias necesarias para elevar en 1 °C la temperatura de la unidad de masa de la sustancia. El calor especifico se representa matematicamente par: C ~Q Ce = - ; recordando C =-T m ~ ~Q
~T Ce=-.!!i
~Q [cal J,de aqm:'
=:; - -
nz~T
--
g °C
1 [~Q
m . Ce . ~T [ Esta ecuaci6n nos da la cantidad de calor cedida sorbida por un cuerpo donde: =
0
ab-
= variacion de calor (cal) Ce = calor especifico (call g DC)
~Q
m ~T
= masa (g) = variacion de
temperatura (DC)
De la definicion de caloria se puede conduir que el valor del calor especifico para el agua es:
Ce
- 1 cal _ 1 kcal g DC - kg DC
H,Q -
98
AR'\;I JI I XJ KOhLER
C.
y
Lus 0' IV ARES Q.
3.2.2. Cambio de estado de agregaci6n Sabemos que las sustancias se presentan en tres Eases 0 estados de agrcgacion de la materia: solido, liquido 0 gaseoso, tambien llamados estados fisicos de 1a materia, los que se suceden unos U otros en funcion de la presion y la temperatura; de esta ultima en £uncion determinante. La adicion continua de calor a un solido 0 liquido 10 llevara al fin a un cambio de estado. El comportamiento general de muchas sustancias puede ser ilustrado pur lma descripcion detallada de los cambios que oeUfren con el mas comlin de todos los liguidos: el agua. Si un bloque de hielo a 1a t~mperatura de -50 °C se co10ea en lID recipiente y se pone C'l calentar, su temperatura se elevara lentamente hasta alcanzar los 0 dc. A a °C la temperatura cesa de elevarse y el hielo comienza a derretirse. Cuanto mas calor se agregue, mas hielo derretira; la temperatura s6lo empezara a elevarse cuando todo el hielo se haya vuelto agua. Cuando el agua se calienta mas, llega con el tiempo a 100 DC, donde tiene lugar la evaporacion. Aqui la temperatura, otra vez, detiene su ascenso y a medida que se agrega calor, mas agua hirviente se convierte en vapor. Todos estos cambios de temperatura y de estado se ilustran en la grafica siguiente, resumiendo las de£iniciones de los mismos:
100 50
o 25
80 100
540
Calorias
Calor latent? de fusion. Hemos visto que cuando el hielo se derrite, se agrega continuamente calor, sin dar Iugar a aumento de ter:.l.peratura.
ApUNTES DE FfsICA
II
99
"EI calor latente de fusion se define como la cantidad de calor necesaria para cambiar un gramo de solido a liquido sin variaci6n de temperatura." EI reverso de la fusion es la solidificacion, que es un proceso en el cual se libera calor por lll1a sustancia. La cantidad de calor liberada por la materia al solidificarse es igual a la cantidad de calor tomada para fundirse. Si L representa el calor latente de fusion y m la masa de una sustancia dada que se flll1de 0 solidifica, la cantidad de calor requerida 0 liberada, segUn el caso, estara dada por la ecuacion:
De donde: m = mas a (g) Lf = calor latente (cal! g) H = cantidad de calor requerido (calonas)
Calor de vaporizacion. Cuando el agua esta hirviendo se Ie agrega calor continuamente sin que aumente la temperatura. Este calor anadido no se retiene por elliquido, sino que se va con el vapor a traves del proceso de ebullici6n. "El calor latente de vaporizacion es el mimero de calorias requeridas para transformar un gramo de liquido en vapor a la misma temperatura./I La misma ecuacion que se usa para las cantidades de calor durante la fusion se puede usar para determinar las cantidades de calor durante la evaporizacion.
IH= m.Lvl
Este es tambien el calor liberado por la misma cantidad de vapor cuando se condensa al pasar al estado liquido.
De donde: m = masa (g) Lv = calor de vaporizacion (cal! g) H = cantidad de calor requerido (calonas)
100
ARNOLOOKoHLERC. yLUISOUVARESQ.
3.2.3. Transmisi6n de calor El calor se propaga por: a. Conduccion b. Conveccion c. Radiacion
Conducci6n. Es el proceso de transferencia de calor debido a la intensa agitacion h~rmica de las moleculas .de las regiones calientes que se va propagando hasta las lentas moleculas de las regiones frias a traves del movimiento resultante de la materia. Esta transferencia es propia de los solidos; como ejemplo, una cuchara metalica fria dentro de una taza con cafe caliente. Convecci6n. Esta transferencia de calor tiene lugar en los 11quidos y gases. A medida que un fIuido se calienta, disminuye su densidad y sube, permitiendo bajar al fIuido frio que estaba encima de el, dando lugar a un movimiento de conveccion: como por ejemplo, cuando un recipiente con agua se calienta.
.I " \ T j \.1
I" \
T
t
\.1
+DENSA
r~
-DENSA
Radiaci6n. Hay cas os en los que la transferencia de calor no se hace por conduccion 0 convecci6n, sino por radiacion; como ejemplo, el calor que quema el rostra de una persona que esta frente de una hoguera, es decir,la transmision de la energia calorifica en forma de ondas que se propaga en el vado 0 a traves de medios transparentes.
3.3. LEYES DE LA TERMODINAMICA Estamos ahora en condiciones de estudiar que relacion guardan la energia interna y el trabajo en un proceso termodinamico; para ella veamos un cilindro con un gas dentro. Una de las tapas del cilindro es diatermica, la otra es un embolo. Esto es semejante a los cilindros de los motores de combustion intema de los autos. p
PREsr6N CONSTANTE
I I
o La presion P del gas al actuar sobre el area a del embolo Ie produce una fuerza F = PA Y cuando se expande una distancia /).X el gas realiza un trabajo ~ = F • X, teniendo: ~ = P • volumen = P . /). V ya que A • /).X es: /).V el volumen expandido y ~ = p . /). V
Es el trabajo efectuado por el gas al sufrir la expansion del volumen VI a V 2 manteniendo constante la presion.
102
AR,,\OLOO KOHLER
C. y
LUlS aLlV ARES Q.
3.3.1. Ley Cero de la Termodinamica El sistema puede ser tan simple como un recipiente bien aislade (adiabatico) que contenga un gas monoatomico, como por ejemplo un complicado arreglo de pis tones, calderas, turbinas, celdas fotoelectricas, etc.; pera cualquier cosa que se inc1uya en el sistema debe estar a la misma temperatura, es decir, en equilibrio termico; perfectamente aislado del resto del mundo, sin poder ceder energias 0 recibirlas de alguna fuente extema de calor.
Ley Cero de la Termodinamica. "Esta ley afirma que dos sistemas en equilibrio termico con un tercer sistema, estan en equilibrio termico entre si." Por ejemplo, los dos sistemas podrian ser agua y hielo, y el tercero un termometro que rnida la temperatura del agua. La Ley Cera dice que si el agua y el hielo estan en equilibrio termico y el termometro esta en equilibrio con el agua, el termometro tambien registra la temperatura hielo.
M,iquinas termicas (Ciclo de Camot) Las maquinas termicas trabajan con procesos ciclicos, cxpanden un gas para producir trabajo y despues 10 comprimen para volver a las condiciones iniciales. Para lograr esto ultimo, hay que darle energia (calor) a1 sistema. Las maquinas termicas se fundamentan en un cielo teorico ideado por el ingeniero frances Sadi Camot (1796 - 1823), conocido como Ciclo de Camot, el eual consta de cuatro procesos: dos son isotermicos, es decir, se realizan a temperahlras constantes, y dos adiabaticos, 0 sea, sin que se permita el flujo de calor. El trabajo ~ realizado por un sistema es igua1 a 1a diferencia entre el calor surninistrado Qs y el calor perdido Qp.
APL'l\.'TES DE
FfsICA II
103
?> = QS - Qp Y si recordamos que la eficiencia se define como mos:
~'abajo
realizado entre energia suministrada, tendre-
n-~ - Qs -
Qs - Qp = 1 - Qjz Qs Qs
El calor suministrado y el perdido son proporcionales a las temperaturas altas y bajas, respectivamente, por 10 que la eficiencia tambien puede escribirse aS1:
Cualquier maquina real tiene un rendimiento menor: p
- - Ta
J..
Qp
C
---T
b
~----------------------------------~v
(1) A una temperatura alta Ta (de la caldera) el sistema reci-
be calor Qs (calor suministrado) y realiza trabajo de a----'" b. (2) Despues de b ----"'c, el sistema realiza trabajo adiabatico (sin flujo de calor)"por 10 que se enfria hasta una temperatura baja Tb . (3) Ahora de c----... del sistema se comprime, pero para que la temperatura no aumente, del sistema sale calor Qp (calor perdido). (4) Finalmente de d----... a por un proceso adiabatico se comprime alin mas, por 10 que la temperatura aumenta hasta alcanzar 1a temperatura alta Ta Y el cicIo se puede reiniciar. Las temperaturas se deben medir a la escala absoluta (Kelvin.)
104
ARNOLIXJ KOHLER
C. y LUIS Guv ARES Q.
3.3.2. Primera Ley de la Termodinamica Para realizar trabajo mecaruco el gas tiene que dilatarse, y para es to requiere calor. Asi que la energia termica se transforma en trabajo, pero no completamente, ya que el gas se calienta, es decir, aumenta su energia interna en cantidad L'lU = U2 - UI, en donde UI es la energia interna inicial y U2 la energia final. Por 10 tanto, el calor Q suministrado se transforma en trabajo y en un incremento de la energia intern a del sistema:
De donde: Q = calor suministrado al sistema l> = trabajo efectuado por el sistema ~U = cambio de energia intema del sistema A Ia reIaci6n anterior se Ie conoce como:
Primera Ley de la Termodinamica. "El calor suministrado Qs a un sistema termodinamico es igual al trabajo l> que el sistema realiza en contra del medio ambiente, mas el ambiente, mas el incremento de la energia interna L'lU del sistema." Esta ley se corresponde con el Principio de Conservacion de la Energia. Resulta evidente que las unidades de Q, l> y ~U deben ser energia, por ejemplo joules.
Entalpia. Funcion termodinamica de estado que equivale al contenido de 1 caloria presion constante; es la surna de energia intema y del producto de la presi6n por el volumen.
ApUNTES DE FfSICA
II
105
3.3.3. Segunda Ley de la Termodinamica La Segunda Ley de la Termodinamica tiene dos enundados que son equivalentes. El primero es conoddo como de KelvinPlank y dice: "No es posible construir un maquina termica que trabajando en un delo, convierta en trabajo to do el calor suministrado." Este enundado dice que en un delo, por ejemplo el de Camot, no es posible que el calor perdido sea cero. Para esto, se requeriria que la temperatura baja fuera de cero grado Kelvin y esta temperatura no puede alcanzarse. La eficiencia sena uno, 0 sea el100%. El otro enunciado es de Clausius y dice: "No es posible construir una maquina que trabajando en un cicIo pueda llevar calor de un cuerpo frio a uno caliente, sin recibir trabajo (energia)." Este enunciado sostiene que para que a un vaso de agua a 100 DC pueda sacarsele calor (enfriiindolo en un refrigerador), y ese calor mandarlo al medio ambiente que se encuentra a 20 DC, hay que proporcionar trabajo al sistema. Par ejemplo, con un motor alimentado por corriente electrica. Estos dos enunciados son completamente equivalentes, y son restrictivos porque en el fondo 10 que dicen es que en forma espontanea, a una temperatura constante, el gas que esta dentro de un cilindro no va a comprimirse, y tambien que espontaneamente el calor no £luye de los cuerpos frios a los calientes. 0 sea, que esta segunda ley nos dice en que direcci6n se van a realizar los procesos en la naturaleza. Entropfa. La entropia es una funci6n termodinamica del es-
tado. En un proceso reversible, el cambio en la entropia de un sistema 10 determina Clausius Emanuel con su ecuaci6n:
106
ARL'\TOLDO
KOHLER C. y LUIS GLlV ARES Q.
De donde: ~Q= calor suministrado al sistema (joules) ~s = cambio de entropia T = temperatura (OK) "La entropia de un sistema cerrado no puede disminuir nunca. La entropia puede permanecer constante 'proceso reversible' 0 aumentar 'proceso irreversible'." La entropia de un estado se relaciona con W (nu.mero de micro estados que abarca un macro estado particular), y tambien la irreversibilidad de un proceso por medio de la expresi6n deducida por Boltzamann Luwing, siendo esta:
De donde: K =constante de Boltzamann (teoria cintHica de los gases) W == nu.mero de micro estados que abarca un macro estado de la entropia 5 = en tropia
PROBLEMAS RESUELTOS
Segunda Ley de Newton (sin fricci6n) - Una canasta de 20 kg cuelga del extremo de una cuerda. Encuentrese su aceleracion cuando la tension en la cuerda es: a) 250 N
b) 150 N
d)196 N
c) cera
2
_ (250 N) - (20 kg)(9.8 m/ s ) a) a 20 kg 2
a= 2.7m/s _ (150 N) - (20 kg)(9.8m/sl b) a 20 kg 2
LFx=O
rFy = rna T- W=rna T-W rn
a=--
a = -2.3 m/s 2 _ 0 - (20 kg)(9.8m/s ) ) c a20 kg a
= -9.8 m/s
2 2
_ (196 N) - (20 kg)(9.8m/ s ) d) a 20 kg a= 0
- Una mas a de 5 kg cuelga del extremo de una cuerda. Encuentre5e la tension en la cuerda si la aceleracion del objeto es: a) 1.5 m/ s2 hacia arriba
b) 1.5 m/ seg2 hacia abajo
c) 9.8 m/ s2 hacia abajo
·T
5kg
Ux = 0 LFy = rna T- W= rna T = rna + W = rna + mg T = mea + g) a) T = 5 kg(1.5 m/52 + 9.8 m/ s2) T= 56.5 N b) T T
l
W
= 5 kg (-1. 5 m/s2 + 9.8 m/s2) = 41.5 N
c) T = 5 kg(-9.8 m/s2 + 9.8 m/5 2) T=O
110
ARNOLDO KOHLER
C. y
LUIS Ouv ARES
Q.
- Un elevador parte del reposo en una aceleracion constante hacia arriba. Se mueve 2 metros en los primeros 0.6 s. Dentro del elevador, un pasajero sostiene un paquete de 3 kg, por medio de una cuerda vertical. l Cmil es la tension en la cuerda durante el proceso de aceleracion?
t I
I
Datos
T
I
Va:;:::
la
0
d =2m t = 0.6 s rn =3kg :. a:;;: 2d/t2 = 2(2 m)/(0.6 s)2 = 11.11 m/s2 "f..Fy = t - W = rna T = rna + W =rna + rng = rn(a + g) T:= 3 kg(ll.11 m/s2 + 9.8 m/s2) = 62.3 N
d = vat + 1/2at2
W
- Un hombre de 700 N se encuentra de pie sobre una bascula, en el piso de un elevador. ~a bascula registra la fuerza ejercida en ella por cualquier objeto que se Ie coloque. Calcula la lectura de la bascula si el elevador tiene una aceleracion de: a) 1.8 m/ s2 hacia arriba b) 1.8 m/s2 hacia abajo c) 9.8 m/s2 hacia abajo
I
1 I
2
a) L= 700(1.8 m/s :2 + 1)
L=
9.8m/s 828.6N
:2 b)l.o= 700N[1.8m/S:2 +lJ 9.8m/s 'L = 571 N
rFy:;:: rna L- W= rna L= rna + W L :;:: Wa + W:= W(a + 1)
c) L
=
2
700 N(-9.8m/~ + 1)
9.8m/s
L == 0
ApUNfES DE FlsICA II
111
- En la figura, el sistema cornienza desde el reposo. lCu.H debera ser la mas a m2 para que la masa de 8 kg caiga 0.98 m exaetamente en 1 segundo? Datos Para ml T- WI = -mia va = 0 T= WI-mla d ;:::: 0.98 m t =ls
a~G atl~~_ !
1
2(0.98 m) (1 s 2) 2 =1.96m/s
m2 WIt W2T 8kg Para 1112 T - W2 = 11l2a T= W2 - m2a Como las tensiones son iguales, tenemos: WI - m1a = m2a + W2 mIg - mia = rn2a + m2g rn2(a + g) = rnl(g - a) 2
2d t
a=-2=
2
m2 = ml(g-a) = 8 kg(9.8 m~s -1.96 m/s) = 5.33 kg a+g 1.96 m/s + 9.8 m/s -Un plano inclinado forma un angulo de 30° con la horizontal. Eneuentre la fuerza eonstante aplicada en la direccion paralela al plano, que requiere para que una caja de 15 kg se deslice: a) Hacia arriba del plano con una aeeleraci6n de 1.2 m/ s2 b) Deseendiendo por el plano inclinado con una aeelerad6n de 1.2 m/5 2 (desprecie el rozarniento)
I.Fx = ma I.Fy = 0 a) F - Wsen 30° = 0 N - Weos 30° = 0 N = Weos 30°
F = rna + Wsen 3C1' = (15 kg)(1.2 m/s2)+(15 kg)(9.8 m/s2)(sen 3C1') F = 18 + 73.5 = 91.5 N b) F - Wsen 30° = -rna F = Wsen 30° -rna ;:::: 73.5 - 18 = 55.5 N
112
ARNOLDO KOHLER C. Y LillS OLIVARES Q.
- Repita el problema anterior, suponiendo que la caja se deja deslizar libremente des de la parte superior del plano inclinado y calcule la aceleracion que tendra aillegar al final del plano inclinado.
I.Fx
= rna
-Wsen aT = -rna
a = -Wsen aT -rn a = gsen aT a = 9.8sen 30°
= mgsen aT m
= 4.9 m/s2
- En la figura de este ejercicio tenemos: rna = 10 kg, rnb = 7 kg Y a = 30°. La fuerza de roce y el peso de la polea y cuerda son despreciables. a) Si los dos bloques eshin inicialrnente en reposo cuando se abandonan, LeI bloque A subini 0 descendera en el plano? b) 'Deterrnina la aceleracion con que los dos cuerpos se moveran. c) leual deberia ser el valor del angulo para que el sistema quede en equilibrio? a) WA = m~sen a = «10 kg)(9.8 m/s2)sen 30°)
a
WA =49N WB = m~ = (7 kg)(9.8 m/s2) WB = 68.6 N
Por 10 tanto, el bloque sub ira por el plano.
ApUNTES DE FisICA
II
113
b) D.CL.
· '\ P
t' ..".
/"
~se~\}
LFy
= )11rl
WAsen 8 = mArl 'FA = WAsen 8 + mArl
TA -
1nASscn G mArl = 711BS" - mBrl 711Msen 8 711~ = -mArl - mBa a = (mAsen 8 - mB)g (-111 A - mIl)
a = (10 kg sen 30° - 7) 9.8 m/s
2
(-7 - 10)
a = -19.6 -17
= 1.15
m/s2
= T B1 a Condicion de equilibrio
c) T A
B A T A - WAsen 8 = 0 T B - WB = 0 TA = WAsen 8 T B = WB WAsen 8 = WBmASsen 8 = mBg sen 0
=~ = 2.lg =
0.7
10 kg arc sen 0.7 = 45° lilA
- Un cuerpo de 1 kg de masa se encuentra en un extrema de un tab16n lisa horizontal de 1.3 m de largo, si cl tablon se eleva par el extremo hasta una alhua de 0.5 m, y el cuerpo se desliza, lcon que velocidad llega el (uerpo al otro extrema del tabl6n?
0.5 m I
I
e..r-.....
I !~_ _ _ _."..-J'-- "-,. ---'--
114
Afu'lOLOO KOHLER C.
YLUrsOuvARESQ.
= max
Cinematica
rEx
vf2 = V02 + 2ad Vf = (2(3.76(1.3)))1/2 vf = 3.12 m/s
Wsen e = ma; mgcos e = ma :. a = gsen e = 9.8(0.5/1.3) a = 3.76 m/s2
Frieden - Una vasija de 20 kg descansa en una superficie horizontal. El coeficiente de fricci6n estatica entre la vasija y la superficie es 0.6, se fija una cuerda a la vasija como se ve en la figura. lQUe tan grande debe ser la fuerza que se aplique a la cuerda para que la vasija comience a moverse?, si el cingulo e es de: a) 0° b) 30° a) rEx = 0 EFy = 0 F - Ffs = 0 N - W= 0 F = Ffs = ~sN N - W= 196 N F = (0.6)(196) = 117.6 N b) 1:Fx = 0 rEy=O N - W + Fsen e = 0 Feos e - J.lsN = 0 Fcos e - J.ls(W - Fsen e) = 0 N= W-Fsene e F~sW /cos e + ~ssen e = 117.6/1.166 = 100.8 N
-- -------x
- Un bloque se arrastra sobre un piso horizontal con velocidad eonstante, mediante una fuerza de 40 N que actua paralelamente al piso. Si el eoeficiente de rozamiento entre las superficies es de 0.35, lCUa! es el peso del bloque? W
,
..
F .. Ff
1:Fx = 0 F-FfK = 0 F - J.lKN = 0 F - J.lKW = 0
1:Fy = 0 N-W=O N==W
W == F/~K = 40 N/0.35 == 114.2 N
ApUNfES DE FfslCA II
115
- Suponiendo que la masa del trineo es de 3.5 kg, la del nifio de 25 kg Y la tension en la euerda que jala el trineo a velocidad eonstante es de 180 N, lemil es entonces el eoeficiente de rozamiento del terreno y el trineo? Datos F rn
= 180 N = 28.5 kg
"LFx
=0
Fcos 30° FfK = 0 Feos 30° - /-l (W - Fsen 30°) = 0 Jl = Feos 30° /Wsen 30° = 0.82 LFy = 0 Fsen 30° - W + N = a N = W - F sen 30° - Una masa de 4 kg resbala hacia abajo por un plano inclinado que forma un angulo de 37° con la horizontal. La masa parte del reposo. Despues de haber resbalado una distancia de 5 metros, su velocidad es de 4 m/ s. l eual es el eoeficiente de friccion cinetica? Datos =4kg =5m Vo = 0 V f =4m/s
rn
d
a = Vt - Vo2/2d = (4 m/s)2/2(5 m) = 1.6 m/s2 "LFy = 0 Wsen 37° FfK = rna N - Weos 37° = 0 Wsen 37° - l..lxN = rna N = Weos 37° Wsen 37° - 11K Weos 37° = rna 11K = Wsen 3r - rna/Weos 37° = 39.2sen 37° - [( 4 kg)(1.6 m/s2)]/(39.2eos 37°) 11K = 17.19/31.3 = 0.549
"LFx
= rna
116
ARNOLDO KOHLER
C. y LUIS Ouv ARES Q.
- Un disco de hockey que pesa 1.5 N resbala sobre hielo 15.2 metros y se detiene. Si su velocidad inicial era de 6.1 m/s a) lCual es la fuerza de rozamiento entre el disco y el hielo? b) lCual es el coeficiente de rozamiento cinetico? Datos
~ V.~_~=Vf=O
"---
~ Ff --=---~~~~--~---15.2 m til
W =l.5N d = 15.2 m va = 6.1 m/s vf
Cinematic a: v f2 = v 02+ 2ad a = -v//2ad a = (6.1f /2(15.2) a = -1.22 m/s2
=0
Dinamica: a) 2:.Fx = rn xa
-Ff=-ma !lrng = rna !l = alg = 1.22/9.8
= 0.124
b) Ff= JlKN Ff = (0.124)(1.5) = 0.186 N
- En la figura se tiene el siguiente sistema de fuerzas. Determine el peso rruiximo de A para que el sistema quede en equilibrio. B
Datos
Datos
WB = 712N ~s = 0.25
'LFx = 0 T-Ff= 0 T= ~NB T = 0.25 T = 178 N
D.C.L.
'LFx = T1cos 45° - T = 0 Tl = T/eos 45° = 178/0.707 Tl = 251 N 'LFy = T1sen 45° - W A = 0 :. W A = Tdsen 45° WA = T / sen 45° W A = T = 178 N
ApUNTES DE FfsICA II
117
- En 1a figura siguiente se tiene un bloque de masa m1 = 20 kg Y el coeficiente de rozamiento estatico es de 0.8 entre el bloque y el plano. Si la po1ea y la cuerda tienen rozamiento despreciable, determine la masa m2 para que el bloque m1 quede en equilibria. D.C.L. Datos
u 'G]L ,
I
I
1112
_ _ _ _I
-+ 20 kg WI == (20)(9.8)(196 N) f.!s == 0.8 L =30°
m1 ==
T - m-g
=0
T=m-g
D.C.L.
Wscn3't-Y
m2 ==
T/g
m2 ==
233.8/9.8
m2
= 23.85 kg
Suponiendo el deslizamiento sobre el plano: J.:,Fx
=
T - FfWsen 30° == 0 T == Ff + Wsen 30° == 0 T == fiN + Wsen 30° == 0 T = 0.8(196cos 30°) + 196sen 30° T = 233.8 N
=0
- En la siguiente figura el bloque A pesa 44.5 N Yel bloque B 22.2 N, determine el minimo peso del bloque C que debe colocar sobre A para evitar que resbale, si f.!s = 0.20
D~
Datos
Al , I CJ i
B,
:B
1
WA = 44.5 N WB == 22.2 N f.!s = 0.20
D.C.L.A
~-~TFr
!
.1 .... -
~WA
.
J.:,Fx == 0; T - Fis = 0 T = Fls ---------- 1 J.:,Fy == 0; N - WT = 0 N == WT ---------- 2
J.:,Fy
= 0; T -
WB == 0 T == WB ---------- 3
118
ARNOLOOKOHLERC. yLurSOUVARESQ.
Sustituyendo 1 en 3 Ff=W ~sN = WB De la eeuacion 2 tenemos: N= WT :.
~s(WA
~sWA
We
+ We) = WB + ~sWe = WB
= WB -
~sWA/~s
= 22.2 - 44.5(0.2)/0.2 We = 66.5 N
- Un bloque es arrastrado hacia 1a dereeha a velocidad eonstante por una fuerza de 10 N, que aerua formando un cingulo de 30° encima de 1a horizontaL E1 eoeficiente dincimieo de rozamiento es de 0.5. Determine emil es el peso del bloque. w Datos F
N
= 10N
e = 30° ~K=
0.5
ITx = max ya que v = eonstante ~Fx = Feos 30° - Ff= 0 FfK =lOcos 30° = 8.66 N Pero reeordando: FfK =~KN :. N = F!K/~K = 8.66/0.5 ~Fy = 0; N - W + Fsen 30° = 0 W = N + Fsen 30° W = 17.32 + 10 sen 30° W = 22.32 N
= 17.32 N
- El bloque mostrado en 1a figura se desliza eon rapidez eonstante bajo 1a acdon de la fuerza indicada. a) lQue valor tiene 1a fuerza de friccion que se opone a su movimiento? b) leual es el valor del coeficiente de friccion einetica entre el bloque y el piso? a) ITx = 0 Feos 55° - Ff = 0 Ff= Feos 55° Ff = 20eos 55° = 11.5 N 50N ~Fy= 0 N + f'sen 55° - W = 0 N = W - f'sen 55° N = 50 N - 20sen 55° = 33.6 N
ApUNTES DE FfsrCA II
119
D.C.L.
Y
N!FY .... Ff
I
Ft
b) IlKN = 11.5 N ilK = 11.5 N/N ilK = 0.34
= 11.5 N/33.6 N
...IW Campo gravitacional - Determine la aceleraci6n de la gravedad g con los siguientes datos: Masa de la Tierra: 5.98 x 1024 kg Radio de la Tierra: 6.378 x 106 m Constante de gravitaci6n: G = 6.67 x 10-11 m 3 /kgs 2 F = ma; F = GMm/R2 :. a = GM/R2 = (6.67 x 10-11 )(5.98 x 1024)(6.378 x 106)2 a = g = 9.8 m/s 2 constante de la aceleraci6n de la gravedad - Un cuerpo sobre la Tierra pesa 100 N. Determine su peso si se aleja de la Tierra a una distancia igual al radio de esta.
_ _ _ _••
F M
= fuerza de la Tierra
= masa de la Tierra
m 1 = masa del cuerpo R
= radio de la Tierra
Aplicando la ecuaci6n de la Ley de la Gravitaci6n Universal
F = GMml/(2R)2 = GMml/4R2 F = 1/4GMmdR2
= 1/4(6.67 x
10-11 )(5.98 x 1024) (10.204)(6.378 x 106)2
F= W=25N (Se reduce el peso a la cuarta parte.)
120
AR:-':OLDO KOIILER
C.
Y LUIS OLIVARES
Q.
Trabajo - Sobre tm euerpo que pesa 50 N acnla tilla fuerza horizontal que 10 desliza sobre till plano tarnbien horizontal. La fuerza de rozamiento es 1/10 de peso y cl trabajo total efectuado por el cuerpo en 5 metros de recorrido con velocidad eonstante es 300 joules. Calcular: a) El trabajo efeetuado por la fucrza aplieada b) La magnitud de la fuerza bF = trabajo de la fuerza DFf= trabajo de la fuerza de fricci6n bT = trabajo total
'r~ --!~
Datos W = 50 l'~ Ff = 1/10 d =5m DT = 300 J DF
=?
= OF + OFf OF/= (5 N)(5 m)eos 180 = - 25 jollies OF = 0Total + OFf = (300 J) + (25 J) OF = 325 joules OF =F· d ~ F =oF/d =32Sjoules/5m F= 65N DTotaI
0
- Por media de una fuerza de SO N a 30° se tira de un euerpo que pesa 20 N sabre una superficie horizontal, la fuerza de fricci6n es 1/5 del peso del cuerpo. Cuando el desplazamiento es 3 m, calcular: a) EI trabajo desarrollado por las fuerzas extemas b) La energia transformada en calor Datos F =SON
L = 30° W=20N
OF = F· deos 8 OF = (50 N)(3 m)eos 30° = 129.9 jollies t1fj= (4 N)(3 m) = -12 joules
Ff = W/5 d =3m OT =? E =?
a) 0Total = 129.9
J-
12 J = 117.9 joules
b) La energia transformada en calor es -12 joules
Arui\.lFs DE F1SICA II
121
Trabajo y energfa - Un cohete de 2 000 kg disparado desde su plataforma de lanzamiento adquiere una velocidad de 70 m/ s y una altitud de 1 800 metros. Calcular: a) Su energia potencial b) Su energia cinetica c) Su energia total Datos In 2 000 kg va = 0 vf = 70 m/s H = 1800 m Ep =? Ec =? ET =?
= nzgh = (2000 kg)(9.8 m/s)(l 800 m) Ep = 35 280 000 joules
a) Ep
= 1/2Inv2 = 1/2(2 000)(70)2 = 4 900 000 joules
b) Ec
c) ET = Ec + Ep = 35 280 000 J + 4 900 000 J = 40 180 000 J
- Sobre un cuerpo cuya masa es 10 kg acma una fuerza de 60 N durante 12 s. Si la velocidad inicial del cuerpo era de 60 In/5, calcular: a) El trabajo efectuado por la fuerza
b) La potencia desarrollada c) La energia cinetica final d) El aumento de energia cinetica Datos In = 10 kg F = 60 N va = 60 m/s t:::: 12 s
F = Inn =? n = F /m = 60 NI10 kg = 6 m/s2 d = (60 m/s)(12) + 1/2(6)(12 s)2 = 1 152 m vf:::: va + nt :::: 60 m/s + (6 m/s2)(12 s) :::: 132 m/s
a) 8= ~Ec = 1/2711(Vf2- va 2 ) :::: 1/2(10 kg)[(132 m/s)2 - (60 m/s)]; <5
b) p:::: 8/t:::: 69120 J/12 s:::: 5760 watts
= 69 120 joules
122
ARNOLDO KOm.ER C. y LUIS OLIVARES Q.
c)
= 1/2(10 kg)(132)2 = 87 120 joules Eco = 1/2(10 kg)(60 m/s)2 = 18 000 joules
ECf
d) 6.Ec = 87 120} - 18 000
J = 69
120 joules
Conservaci6n de la energfa - Considerese un objeto de 32 kg a una altura de 9 metros sobre un piso de concreto. Si se considera la energia, calcular la velocidad del impacto despues de haber caido de esa altura. Et} Etl
= Et2
= ECI + Epl W + EpI = EC2 +fiP2 mgh
9m
m = 32 kg Et2 = EC 2 + EP2
= 1/2mv2
v
=~2mgh
v
=~ 2gh = \l2(9.8)(9) = 13.28 mls
m
- Se tiene un plano inclinado cuya longitud es 13 m y cuya base es 12 metros. l Con que velocidad y con que energia cinetica llegara a su extremo inferior un cuerpo de 80 kg que partia del extremo superior con una velocidad de 1 m/ s?
h =V(13)2 - (12)2 = 5 m h 12m
Et}
= Et2
ECI
+ EpI
1/2J;m1f2
= EC2 + H2 = prgn + 1/2,m1fo2
Vf=V2(gh+lhv02) =V2gh+v02 =9.95m/s
Ec = 1/2mv2 = 1/2(80 kg)(9.95 m/s)2 = 3 960 joules - Un cuerpo can una mas a de 0.10 kg cae de una altura de 3 m sobre una pila de arena. Si el cuerpo penetra una distancia de 3 cm antes de detenerse, lque fuerza constante ejerce la arena sabre el cuerpo? (Utilice para resolverlo el Pun to de Conservacian de la Energia.)
Apilll.'TES DE FfsICA II
Etl
vo = 0
= Etz
P1 + EpI = EC2 + J.p2
Datos
mgh
m
123
= 0.1 kg
h=3m d= 3 em F=?
IS = trabajo
= 1/2mv2
V =V2gh = 7.7 mls D.Ec = 1/2mvf2 = 1/2(0.1)(77)2 = 2.94 joules IS = D.Ec F· d = ECf- Eco => F = -Ecoid F = -2.94 J/0.03 m = -98 N
- Un bloque de 10 kg se suelta desde el reposo en la parte superior de una via sin fricci6n, como se aprecia en la figura. a) lCmll es la rapidez del bloque en los puntos A Y B ? b) Si el bloque se desplaza en una superficie uniforme en el punto C, con un eoeficiente de fricci6n einetiea de 0.5 La que distancia del punto C se detendra?
E!J,= Eta -Eel + EpI =,EC a + EPa_ ,/" /"...--mghl = 1/2mVa2 + mgha VA
= ~2g(hl -
ha)
= ~r-2-(9-.8-)(-10--2) = 12.52 m/s
VB
= ~ 2g(hl -
hb )
=
Etl
,J 2(9.8)(10-
6 )
= 8.85 m/s
= Etc
mg1z1
= 1/2mvc2; Vc =~2glz1 = ~ 2(9.8)(10)
vc=14m/s -FJ= ma a = -FJlm = IlN/m = Ilmglm = Ilg = 4.9 m/s2 d = -(14 m/s)2/2(4.9 m/s2 ) = 20 m
124
ARNOLDO KOHLER C.
y Lins aLlV ARES Q.
Impulso y cantidad de movimiento - Durante una batalla con bolas de nieve, una bola de 0.15 kg lanzada a una velocidad horizontal de 10 mis, golpea a un eshtdiante en la parte posterior del craneo. a) lCual es el impulso de la colision? b) Si el tiempo de contacto de la colision es 0.10 s ;.cuaI cs la fuerza promedio en su cabeza? Datos
m
= 0.15 kg
va = 10 m/s vf = 0
b) F . t
a) 1= L'lp = m(vf - va) = 0.15 kg (-10 m/s) 1= -1.5 kgm/s
= L'lp; F = L'lplt = (-1.5 kg . m/s)/0.10 s = -15 N
- Un automovil de 1 000 kg que va a 25 m/ s es detenido en 5 segundos. LCuaI es la fuerza promedio de frenado? Datos Va vf
= 25 m/s =0
t =5s va) F =-mv/t =-1000 kg(25 m/s)/5 s F =-5 OOON
1= F • t = !s.p
= m(v f -
- Un jugador de tenis golpea una pelota de 0.10 kg con un impulso horizontal de 1 Ns.
a) lCual es el cambio de cantidad de movimienta de la pelata? b) Si la rapidez de llegada de la pelata es 30 mis, LcmH es la rapidez de salida? Datos m = 0.1 kg I =IN.s va = 30 m/s
APIJNTES DE FfsICA
a) I
= .6.p = 1 N
II
125
.s
b) .6.p = m[Vf -(-vo)] = mVf + mvo vf = (.6.p - mva) 1m vf = (.6.plm) - Vo = (1 N . s/O.l kg) - 30 m/s vf= -20 m/s
Conservaci6n de la cantidad de movimiento - Dos masas en una superficie horizontal sin friccion, con un resorte en medio de eUas, se separan con un impulso y se les ata una cuerda para mantenerlas unidas. Si se rompe la cuerda y la mas a 3 M se mueve hacia la derecha con una rapidez de 2 mis, tcual es la velocidad de la otra masa?
~
MVI
VI
+
n~=
mI VfI + m2vf2
= -3Mv2
= -3jt(v 2 tM = -6 ml s
- Un astronauta de 80 kg queda varado en cl espacio a 10 m de su nave. A fin de retomar a ella, arroja equipo de 2 kg con una rapidez de 0.5 ml s respecto a la nave espacial. lCuanto tardara en llegar a eUa? Datos
Vf
=0 = 0.0125 m/s
d
= 10 m
Va
~
+ ~2 =
ml vf 1
+ m2vf2
mIvh = Vfl = -m2vf2lml = -2 kg(O.5 m/s)/80 kg = 0.0125 m/s t = 2dl(Vf + va) = 2(10 m)/0.0125 m/s = 1 600 s = 26 min -m2vf2
126
ARNOLDO KOHLER C. y
LUlS aLlVARES Q.
Choques - Un vag6n cargado cuya masa es de 16 000 kg rueda a 10 largo de una via horizontal con una velocidad de 1.5 m/ s hacia un vag6n vado estacionado. Los dos se enganchan y siguen con una velocidad de 1 m/ s; determine la masa del vag6n vado y calcule las energias cineticas inicial y final.
Datos m1 = 16 000 kg Val = 1.5 m/s V0 2 = a V f = 1 m/s m2 =? m1 Val + m2 V02 = Vf(m1 + m2) = V f m1 + V f m2 m2 = m1 Val - m1 V£lVf = (m1 VodVf ) - m1 = »11[(VodVf) - 1] »12
= 16 000 kg[«1.5 m/s)/l) - 1] = 8 000 kg
ECinicial ECfinal
=1/2m1 Val =1/2(16 000 kg)(1.5 m/s)2 =18 000 joules
= 1/2(m1
+ m2)Vf = 1/2(24 000)(1)2 = 12 000 joules
ApUNfES DE FfsICA II
127
- Una masa de 0.6 kg choca de frente can otra de 0.4 kg en una colisi6n perfectamente elastica. La masa de 0.4 kg estaba en reposo. Despues del choque, la masa de 0.6 kg se mueve can una velocidad de 2 ml s. Indique la velocidad inicial de la masa de 0.6 kg Y la velocidad final de la mas a de 0.4 kg.
Datos ml
= 0.6 kg
m2 = 0.4 kg V0 2 = 0 Vfl = 2 m/s VOl = ? Vf2 =? ml VOl
+ )X2 Vo 2= ml Vfl + m2 Vf2
Vf2 - Vfl/VOl - % = 1 Vf2 - 2/Vo l = I=> Vf2 == Val + 2
------------- 1
------------- 2
Sustituyendo la ecuaci6n 2 en 1 nos queda: ml Val = m2(Vo I + 2) + ml Vfl ml Val = m2 Vo l + m2(2) + ml Vfl ml Val - m2 VOl = m2(2) + ml Vfl Val (ml - m2) = m2(2) + ml Vfl Val = m2(2) + ml Vodml - m2 Val = (0.4 kg)(2 m/s) + (0.6 kg)(2 m/s)/0.6 kg - 0.4 kg
Val Vf2
= 10 mls
= 10 mls + 2 m/s = 12 m/s
128
AR."JOLOO
KOI ItER C. Y LW5 Guv liliES Q.
- Dos b10ques de masas de 300 g Y 200 g sc mueven uno hacia e1 otro sobre una superficie horizontal lisa, con una velocidad de 50 cm/s y 100 cm/s respectivamente. a) Si los bloques chocan y permanecen unidos, calcular su velocidad final. b) Determinar 1a perdida de energia cinetica durante e1 choque. c) Calcu1ar la ve10cidad final de cada bloque si e1 choque es perfectamente elastico.
Datos ml
=
300 g
1n2 = 200 g VOl = 50 cm/s a) 1nl VOl + 7112 V0 2 = nIl Vfl + nI2 Vf2 V0 2 = 100 cm/s Vf = 1111 Val + 11l2(-V0 2) Iml + m2 Vf= (300)(50) - (200)(100)/500 =: -10 cm/s
b) 1/211l1 VO l 2 + 1/2m2V0 22 = 1/2m1 Vfl2 + 1/2m2 Vf22 1/2(300)(50)2 + 1/2(200)(100)2 = 1/2(3 000 + 200)(10)2 375 000 + 1 000 000 =: 25 000 ECperdida = 1 375 000 - 25 000 = 1 350 000 ergs ECperdida =: 0.13 joules c) e = Vf2 - VfdVo l - V02~ V£2 - V£dVo l - V0 2 = 1 V£2 - V£d 50 - (-100) = V£2 - V£t/150 V£2 =: Vfl + 150 ---------------------------------------- 1
Sustituyendo en la cc. 1: 1nl Val + m2 V0 2 =: nIl Vfl + 1n2(V£l + 150) 1n1 VOl + nI2(-V02) = ml Vfl + nI2 Vfl + (150)m2 Vfl = 1n1 VOl - nI2 V0 2 - (150)m2/ ml + nI2
ArUNTES DE FfSICA
Vfl
II
129
= 300(50) - 200(100) - 200(150)/500 15 000 - 20 000 - 30 000 I 500 = -35 000 I 500
Vfl = Vfl Vf2
= -70 em/s = (-70 cm/s) + 150 em/s
=
80 em/s
- Una bola de metal con una masa de 4 kg moviendose a una velocidad de 6 eml s eolisiona con otra bola de metal de masa de 6 kg desplazandose en la misma direeci6n con una velocidad de 2 ml s. Si el coeficiente de restituci6n es de 0.85, hallar la velocidad de cada bola despues del irnpacto.
Datos ml = 4 kg VOl = 6 mls m2 = 6 kg V0 2 =2m/s
e
Vf2 - Vfr/VOI - V0 2 = 0.85 Vf2 - Vfr/6 mls - 2 mls = 0.85 Vf2 - Vfr!(4 m/s) = 0.85; Vf2 = 3.4 + Vfl
= 0.85
De la conservaci6n de 1a cantidad de movimiento
SUStihlirnOS:
= ml VfJ + 171 2(3:4 + Vfl) 4 kg(6) + 6 kg(2 m/s) = ml3.4) + Inl Vfl + m2 Vfl ml VOl + m2 V0 2
36 Vi}
VfJ
= 20.4 + (ml
+ 1n2)Vh
= [(36 - 20.4)kgm/sJ/IO kg = 1.56 m/s = 3.4 mls + 1.56 mls = 4.96 mls
130
ARNOLDO KOHLER C. y LUIS OLNARES
Q.
- Una bola de metal se deja caer sobre un suelo horizontal y alcanza una altura de 144 cm despues del primer rebote, en el segundo rebote llega a 81 cm de altura. Calcular: a) El coeficiente de restituci6n entre el suelo y la bola. b) La altura que alcanza en el tercer rebote. eml
Como caida libre en el primer rebote VfI
:::Xol + 2gh
V f = - ~2ghl
-------------- 1
En el segundo rebote se considera un tiro vertical %£2::: V0 2 + 2gh Vo::: -~2gh2
-------------- 2
Considerando que Vf es la velocidad antes del choque (Vo 2) y que Vf es la velocidad despues del choque (Vf2) y que mi es la masa de la bola y m2 la de la Tierra, entonces la (VOl) la velocidad de la Tierra antes y despues (Vfl) del choque es cero. Entonees tenemos: e::: Vf2 -
JYt/J.'rl - Vo 2 ::: Vf2/-V02
Sustituimos 1 Y 2 nos queda: e::: - ~ 2gh2 / - ~ 2ghl => e = ~h2/hl
a) e ::: J81 em/144 em ::: 0.75
b) e ::: ~ h:/h z => h3 h3::: 45.56 em
= e2h2=
(0.75)2(81 em)
ApUNI'ES DE FIsICA II
131
- Un proyectil de 200 g se dispara con una velocidad horizontal de 500 m/ s contra un bloque de madera de 30 kg. El bloque esta suspendido de una cuerda larga que se encuentra originalmente en reposo. a) leual es la velocidad del bloque y del proyectil despues del irnpacto? b) Suponiendose que la colisi6n es perfectamente inelastica, lque tan alto se levantara el bloque despues de la colisi6n?
V01 = 500 m / s
)ri
ETI
-
-
,---_
--'--- ! ---,
t-----l
= ET2
+ EPI = EC2 + EP2 1/2(ml + m2)V2 = (ml + m2)gh ECI
V
=- 0 2gh
---------------------- 1
ml VOl + m2 V0 2 = ml Vfl + m2 Vf2 ml VOl = Vf(ml + m2)
a) V
= ml Vodml + m2 = (5 000 m/s)(O.2 kg)/30.2 kg = 3.33 m/s
b) De la ecuaci6n 1 tenemos que: h = V2/2g = (3.33 m/s)2/2(9.8 m/s2) = 0.565 m
132
ARt'\1OLOO KOHLER C. y LUIS GuvARES
Q.
- Dos automoviles se acercan a un cruce en un cingulo recto. El automovil A tiene una masa de 1 000 kg Y viaja a 8 m/s hacia el Norte; el automovil B tiene una masa de 600 kg Y viaja a 10 m/s hacia el Este. Inmediatamente despues del choque el automovil B se mueve con una velocidad de 6 m/ s a 60° hacia el Noroeste. Indique la velocidad del automovi1 A inmediatamente despues de la colision. N Ay
J
o
_[gj---}_
I
! x
A
I
S
En x tenemos: mB VO B :::: mB VIBx
+
mA VfAx
VfAx:::: mBVo B - mBVIBx/mA VfAx:::: 600 kg(10 m/s - 6cos VfAx::::
60°)/1 000 kg
4.2 m/s
En y tenemos: mA VO A :::: mB VIBy
+
mA VfAy
VfAy:::: mAVoA - mB VIBy/mA VfAy:::: VfAy::::
(1 000 kg)(8) - (600 kg)(6sen 60°)/1 000 kg 4.88 mls
~(4.2)2 + (4.88)2 :::: 6.43 m/s tan e : : 4.88/4.2 :::: 1.16 e:::: 49.3° NE VfAy::::
ApUNTES DE
FtsrcA II
133
Densidad y presion - El aire tiene una densidad de 1.29 kg/cm3 en condiciones normales. l emil es la masa del aire en un cuarto con dimensiones de 10 m x 8 m x 3 m? Datos ( = 1.29 g/ cm3 V = 10 x 8 x 3 = 240 m 3 m =?
( = m/V => m = (V
m = (1.29 kg/m)(240 m 3) = 309.6 kg
- leual es la densidad de la materia contenida en el nucleo de atomo de hidr6geno? Puede suponerse que el nucleo es una esfera de radio 1.2 x lo-15 m y su masa de 1.67 x 10-27 kg. Datos m = 1.67 x 10-27 kg r = 1.2 x 10-15 m
V = 4m3 /3 = 4n(1.2 x 10-15 m)3 /3 V = 7.23 x 10-45 m 3 (= m/V == 1.67 x 10-27 kg/7.23 x 10-45 m 3 = 2.3 x 1017 kg/m3
- Una pieza de oro puro, con su volumen de 1.5 cm3 se coloca sobre una bascula de doble platillo. lQue volumen de pesas de laton se necesita para equilibrar la pieza? «(laton == 8.7 g/cm3j (oro == 19.3 g/cm3) La masa del oro es : (== m/V j m = (V = (19.3 g/cm3 (1.5 cm3) ~ ~ =29g ~ Volumen del laton = 29 g/8.7 g/cm3 ~-------'" == 3.3 cm3 La masa del oro = La masa del lat6n (oro Voro = (laton Vlaton
£
= (oro V oro / (laton g/cm3)(1.5 cm3)/8.7 g/cm3
:. Vlaton
= (19.3
= 3.3 cm3
134
A&"OLDO KOHLER C. y LUIS OLNARES Q.
- leual es la presion hidrostatica a una profundidad de 1 200 m bajo el agua? l Cual es la fuerza ejercida sobre una superficie de 4 em2 situada a esa profundidad? Datos h ::: 1200 m A ::: 4 cm3 ::: 4
X
10-4 m 3
p::: (gh::: (1 000 kg/m3)(9.8 m/s3)(1 200 m) ::: 11.76 MPa P =F / A::::} F = PA = (11.76 Mpa)(4 x 10-4 m 2) = 4 704 N
- Una probeta de 80 em de altura esta llena de: a) aceite, b) agua, c) mercurio. Calcular la presion hidrostatica en el fondo y la fuerza sobre el rnismo si la probeta tiene un radio interior igual a 1.5 em. ( (aceite ::: 910 kg/m3; (Hg::: 13600 kg/m3) Datos 11 ::: 80 em r ::: 1.5 em A = 7.068 X 10-4 m 2
a) P = (gh::: (910 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.8 m) ::: 7134.4 Pa F = PA ::: (7134.4 Pa)(7.068 x 10-4 m 2) = 5.043 N b) p::: (1 000 kg/m3)(9.8 m/s2)(0.8 m) ::: 7 840 Pa F ::: (7 840 Pa)(7.068 x 10-4 m 2) = 5.541 N c) p::: (13600 kg/m3)(9.8 m/s2)(O.8 m) ::: 106 624 Pa F ::: (106 624 Pa)(7.068 x 10-4 m 2) ::: 75.36 N
APUNIES DE FfsICA II
135
- Un hombre de masa igual a 75 kg esta parado sobre una platafozma que tiene 900 cm2 de area, colocada sobre un tuba con agua como se indica en la figura. a) lA que altura subira el agua en el tuba vertical? b) lA que altura sub ira si el area de la plataforma se reduce a la mitad? Datos
m A
= 75 kg = 900 cm2 = 0.09 m 2
= (gh => h = P / (g = 8 166.6 Pa/(l 000 kg/m3)(9.8 m/s2) h = 0.833 m = 83.3 em
a) P
b) P = 735 N/0.045 m 2 = 16 333. 33 Pa h = 16333.33 Pa/9 800 N/m3 = 1.666 m - E1 experimento il.ustrado en la figura fue efectuado por primera vez por Blaise Pascal. Un tuba delgado y largo se conectaba a un barril y se vertia agua a traves de este. Cuando el barril se llenaba, se afiadia mas agua en el tubo hasta que explotaba la tapa del barril. Si el diametro de la tapa era de 50 cm y se rompia al vaciar 1.2 1 de agua en el tubo, de ditimetro interior 1 cm, lcual era la fuerza en la tapa exactamente antes de romperse? 5 - . n1~m Ocmil
U
-
\,.,
1.1 lJ
V = 1.2 1 = 1 200 cm3 = 0.0012 m 3 V=Ah => h = VIA = 0.0012 m3/0.785(0.01)2 = 15.28 m P = (gh = (1 000 kg/m3)(9.8 m/s2)(15.28 m) = 149 744 Pa F = PA = (149 744 Pa)(0.0000785 m 2) = 11.75 N
136
ARNOLDO KOHLER
C. y Lws OLlY ARES Q.
- La presion absoluta sobre un objeto sumergido en ghcerol ((== 1.56) es de 1.113 x 105 Pa. LeuaJ es la profundidad a la que se encuentra el objeto?
o Pabs == (gh + P ahn => h == Pabs - Pahn/g ( == 1.113 x 105 Pa - 101 300 Pa/(l 560 kg/m 3)(9.8 m/s2) == 0.654 m
- Si la presion atmosferica al nivel del mar es de lOSN/m2, Lcwil es la presion atmosferica a una altura de 350 m (Lincoln, Nebraska), a 750 m (Jerusalcn) y a 2 250 m (Mexico)? ( (aire == 1.29 kg/m2) Nota: Restando la altura en cada caso. Datos p:::: 105 N/m2 P == (gh => h == (105 N/m2)/(1.29 kg/m3)(9.8 m/s2) == 7910 m kg/m2)(9.8 m/s2)(7 560 m) == 95 573.5 N/m2
a) P
= (1.29
b) P
= (1.29 kg/m2)(9.8 m/s2)(7 160 m) = 90 516 N/m2
c) P == (1.29 kg/m2)(9.8 m/s2)(5 660 m) == 71 553 N/m2
Apcl'.'TES DE FfsICA
II
137
Pascal (prensa hidraulica) - El diametro del piston grande de una prensa hidrauliea es de 60 em, y Ia seecion recta del piston pequeno de 5 em. Se aplica a este ultimo una fuerza de 50 kgf. Determine la fuerza ejercida sabre el piston grande y las presiones que se ejereen sabre eada piston en kg/ em2. Datos
'I~jd
I "', I ...
I 1
[ 1I 1-
• 1
"----------
d l = 60 em d2 = 5 em F2 = 50 kgf AI= 0.785(0.60)2= 0.282 m 2 A 2 = 5 x 10-4 m 2
FIAI = F2/ A 2 ; FdO.282 = 50/5 x 10-4 m :. F I = 50(0.282)/5 X 10-4 m = 28 200 kgf PI
= FIi Al = 28 200/0.282 = 100000 kgf/m2 (1 m)2/(100 cm)2
= 10 kgf/em2 P2 = F2/ A2 = 50/5
X
10-4 = 100 000 kgf/m2
= 10 kgf/cm2
- Un gato hidnlulieo funciona por medio de una bomba que puede proparcionar una presion manometrica de 8 x 105 Paseales, el tubo de salida de la bomba tiene un diametro de 3 em. leual es el menor diametro del piston para que pueda levantar la plataforma soportando un automovil, si la masa combinada de plataforma y automovil es de 3 000 kg? Datos
= 8 x 105 Pa DI = 0.03 m m = 3 000 kg F = 29 400 N PI
Sustituyendo 8 x 105 Pa = 29 400 N/A2 :. A2 = 29 400/8 x 105 = 0.03675 m 2 A = 0.785D2 :. D = -V 0.03675/0.785 = 0.216 m D = 21.6 em
138
ARNOLDO KOHLER
C. y
LUIS OLN ARES Q.
- Se apliea una fuerza de 400 N al pequeno embolo de una prensa hidnluliea euyo diametro es de 4 em. ,eual tendra que ser el diametro del embolo grande si se desea levantar una earga de 200 kg? Datos Fl = 400 N DI = 4 em = 0.04 m F2 = 200 kg A2 = 0.785 D z2 AI/FI = Az/Fz A2 = F2(Ar/F I )
= (200)(9.8)(0.785)(0.04)2/400
A z = 2.461/400 :::: 6.15 X 10-3 m 2 Al = 0.785 D 2Z D2 =-./6.15 x 10-3 /0.785 = -V7.837 = 0.0885 m
= 8.85 em
- Con referenda a la siguiente figura, las areas del pist6n A y del cilindro B son respectivamente 40 cm2 y 4 000 cmz y B pesa 4 000 kgf. Los depositos de eonexion estan llenos de aceite de densidad relativa 0.750. Leual es la fuerza P neeesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A? Debido a que XL y X R estan al mismo nivel, tendremos: P L
~ 0
Datos 4 000 kgf
D
Ism
•
XL
+-
XR
~
t
Al = 40 cm2 A2 = 4 000 em2
F2
= 4 000 kgf
fr = 0.750
PH = Peh
Presion en X R = Presion en XL Como eolumna de fluido tenemos: 4 (XX) kgf/4 000 cm2 x l04P/40 cm2 x 104 + (0.750 x 1 000 kg/m3)5 m 10000 kgf/m2 = P/4 x 10-3 + 3 750 kgf/m2 :. P = (10 000 - 3 750)4 X 10-3 = 25 kgf
ApU?>.lES DE FfsICA
II
139
Principia de Arquimedes - Un bloque de metal de 2 kg de mas a se sumerge en un vasa de precipitados con agua que esta suspendido de una bascula de resorte. Antes'de sumergirlo la bascula indica 30 N, cuando esta completamente sumergido, pero sin llegar al fondo de la bascula, indica 37.5 N. Calcular la densidad del bloque y la tension del alambre que 10 sostiene cuando esta sumergido. Datos WB = 19.6 N = peso del bloque Wv = 30 N = peso del vasa Ws = 37.5 N = peso del cuerpo sumergido ( = densidad WA = 37.5 N - 30 N = 7.5 N
E = WR - WA = 19.6 N -7.5 N = 12.1 N = (gV==>V = E / (g = 12.1 N/9 BOO Nm3 = 0.00123 m 3
E
a) W == (cgVc ==> rc == W/gV == 19.6 N/9.B(O.00123) == 1 626 kg/m3 b) 'f.Fy
=0
T- W
= 0 ==> T = W = 37.5 N
- Un bloque de 1 kilogramo de cobre esta suspendido de una bascula de resorte. Cuando el bloque se encuentra completamente sumergido en un liquido, la bascula registra 7.3 N. lCua! es la densidad delliquido? Datos
m = 1 kg WA = 7.3 N WR =9.8N
WR == WA + E ==> E = WR - WA == 9.B N - 7.3 N = 2.5 N pero tambien: We = (~Ve ==> Ve = 9.B N/8 930(9.8) = 0.000111 m 3 E = (r.gVL ==> (L = 2.5 N/9.8(0.000111) = 2 280 kg/m3
140
Afu,OLDO KOHLER C. y
LUIS aLlVARES Q.
- Un globo se llena de helio a presion atmosferica, Ia masa del globo es de 3 kg Y el volumen cuando esta lleno es de 15 m 3. Leual es el peso maximo que puede Ievantar este globo? ( del helio = 0.18 kg/m3; de aire = 1.3 kg/m3)
r
r
Datos m=3kg W= 29.4 N V= 15 m 3
r
E = rgVL = 1.3(9.8)(15) = 191 N WH = ffiV H = 0.18(9.8)(15) = 26.46 N Wtotal = W helio + Wglobo = 26.46 N + 29.4 N 'i.Fy = 0 ~ E - Wtotal - W = 0 W = E - Wtotal = 191 N - 55.92 N = 135 N
r
= 55.92 N
Nota: W es la carga maxima. - Un bloque de piedra cuya densidad es 2 600 kg/m3 pesa 4.8 N en el agua. Hallar su peso en el aire. Datos
r
= 2 600 kg/m3
r
r
WA = 4.8 N WR = WA +E
cgVc = 4.7 N + rgVL ~ 2 600(9.8)V = 4.8 N + 9 800 V 25 4S0 V - 9 SOO V = 4.S N V(15 6S0) = 4.8 V = 4.8/15 680 = 0.000306 m 3 WR = 2 600(9.8)(0.000306) = 7.8 N
ApUNTES DE FfSICA
II
141
- Un bloque de madera tiene un volumen de 150 em3 para mantenerlo sumergido en agua haee falta ejercer sobre el una fuerza hacia abajo de 0.6 N. Hallar su densidad. Datos
v = 150 cm3 = 0.00015 m 3 F= 0.6 N ~Fy=
0 E-F-W=O r.gVL - 0.6 -
r
rcgVC= 0 r
1 000 kg/m3(9.8 m/ s2)(0.00015 m 3) - 0.6 N c(9.8 m/ s2)(0.00015) 1.47 N - 0.6 N = (1.47 x 10-3 m 4 /s 2) = 0.87 N/1.47 x 10-3 = 592 kg/m3
rc
Hidrodinamica - A traves del tuba de la figura £luye agua alma tasa de 80 litros/ s. Si la presion en el punto 1 es de 180 KPa, determrne:
a) La velocidad en el punto 1 b) La velocidad en el punto 2 e) La presion en el punto 2 8 em -i-' I !
/~2t ~ 12m
10 . . . . . . . .~tV:l
Datos Q
= 80 1/s = 0.08 m3 /s
Pl=
180 KPa
16 em
1 a) VI = Q/ Al = (0.08 m3/s)/(n(0.16 m)2) = 0.99 m/s
142
ARNOLOOKcHLERC. yLUISOUVARESQ.
b) A1V1 =A 2V 2 Al VI 1t(0.16)2(0.99 m/s) V2 A2 1t(0.05 m?
/ 3.96 m s
e) PI + (gh 1 + 1/2 (V12 = P 2 + (gh2 + 1/2 (V22 P2 =PI + 1/2 (V12_1/2 (Vl- (gh2 =P1 + 1/2 (V12- Vl)- (gh2 P2 = 180 000 Pa - 7 350.75 Pa - 19 600 Pa = 153 049.25 Pa
- lQue fuerza se requiere para estirar en 0.1 % una barra de acero de 1.5 em de diametro? Modulo de Young del aeero 20 x 1011 dinas/ cm2 Datos
Y = 20
X
1011 dinas/ em2
= 1.5 em
Area
= 0.785
(<1»2
A = 0.785 (1.5 cm)2 A = 1.76 em2 10 = long. inicial = 100% :. DeformacionJ == 0.001 10
Aplieando la expresion matematiea:
) = F 10/ AY :. F = ) FY /10 F = (0.001 10)(1.76 em2)(20 x 1011 dinas/em2)/10 F = 0.0352 X 1011 dinas = 35 200 N - El limite de elasticidad de un acero para cable de elees de 3 200 kgf/ cm2 . Calcular la aeeleracion maxima que puede darse al ascensor que pesa 2 000 kgf, sostenido por el cable de 3.2 cm2 de seccion transversal. El esfuerzo (tension) no debe exceder 1/4 de limite de elasticidad.
vad~r
Datos TL
W A
= 3 200 kgf/cm2
= 2 000 kgf = 3.2 cm2
T A = 1/4TL
= 3 200/4 = 800 kgf/ em2 esfuerzo admisible
APUNrES DE FfsICA II
143
2a Ley de Newton "L.Fy::: may T - W ::: ma ------ 1
Esfuerzo T T ::: F I A => condician F ::: T :.
I
I
TT:::TIA:.T:::TA
T ::: T A
a
r
:::
(800)(3.2) ::: 2 560 kgf
Sustituyendo en ----- 1
a = T - W::: 2 560 kgf - 2 OOOkgf m 2000 kg - 560(9.8) _ 2 7 I 2 a - 2000 - . m s
Elasticidad - Un elevador de 2 000 kg esta sostenido por un cable de acero cuya seccian transversal efectiva es 1.2 cm2, cuando el elevador se detiene en el segundo piso, la longitud del cable es de 40 m. a) l eual sera la longitud del cable si no estuviera bajo tensi6n? b) lQue longitud tiene el cable cuando el elevador esta acelerado hacia arriba a raz6n de 4 m/s2 ? ("Y" para el acero 20 x 1010 N 1m2)
i
Datos
I
r
A ::: 1.2 cm2 10 ::: 40 cm
:::
O. 00012 m 2
W ::: (2 000)(9.8) ::: 19 600 N
144
ARNOLDO KOHLER
C. Y LL1S OLN ARES Q.
(19600) (40) ( ___ FlO =10 Ay (0.00012) (20 x 10 )
0.03266 m
a) Entances, sin carga, su langitud es: 10 == 40 m - 0.326 m == 39.967 m b) I.Fy == rna T - W == rna => T T = 27 600 N
= rna + W = (2000)(4) + 19 600
(== (27600 N)(39.967)== 1103089.2 == 0.0459 m 10
(0.00012)(20 x 10 ) ( == If -10 => If == d + 10 If = 40.0129 m
=
6
10 39.976 m + 0.459 m 24
X
- Leual es el diametro minima de una barra de laton si se requiere que saportc una carga de 400 N sin que exccda su limite elastica? Datas F = 400 N Limite elastica para cllaton == 379 Mpa
F 3==jf F A==-
3
A ==
400 ~ :::: 1.055 x 10- m 379 x 10 Pa 6
J
2
D =\ A_ == \ lr-l-.Q-5~-_X-_1-0--6-m 2= 1.159 X 10-3 m == 1.159 mm " 0.785 '. 0.785
ApUNTES DE FtSICA II
145
Dilataci6n - Con una regIa de aIuminio, la eual mide eorreetamente a 5°C, se mide una distancia de 88.42 em a 35°c' a) Determine el error de medici6n de la distancia debido ala dilataci6n de Ia regia. b) Si con esta regIa de aluminio se mide la longitud de una barra de aeero y se eneuentra que es de 88.42 em a 35°C lemll sera Ia Iongitud eorreeta de la barra de aeero a 35°C? (a del aluminio = 22 x 10-6 DC-I)
Datos To= 5 DC Tf = 35 DC 10 = 88.42 em
Eeuaci6n III = aloflT
a) If = III + 10 = 88.42 em + 0.058 em (Leetura correcta es) If = 88.478 em b) Al Al
= (22
x 10-6 DC-I)(88.42 cm)(30 DC)
= 0.058 em (este es el error de medici6n)
- Cuando la temperatura de una barra de eobre pasa de -8°C a 52 DC se dilata 0.8 mm. CalcUlese su longitud inicial (acu = 16.6 x 10-6 °C-I)
Datos
To=-8°C Tf = 52°C III = 0.8 mm
10
= IlI/aIlT = 0.0008 m/(16.6 x 10-6 °C-l)(52 °C -
= 0.803 m = 80.3 em
(-8°C»
146
ARNOLDO KOHLER C. y LUIS OuvARES Q.
- Una barra de hierro tiene una longitud de 3 my esta a 10 0c. ~Cual sera la variacion de temperatura y cualla temperatura final, si se dilata 22 mm? (ahierro = 11.7 x 10-6°C-l) Datos
~
fll = 22 nun
lo = 3 m To= 10°C fll = 22 mm
flT = fll/a1o = 0.022 m/(11.7 x 10-6 °C-l)(3 m) = 626.78 °C Tf = flT + To = 626.78 °C + 10°C = 636.78 °C
- Se tiene un aro de acero de 4 m de circunferencia a 200°C. lCual sera su circunferencia si la temperatura desciende a 20°C? Datos 10
= 4m
To Tf
= 200°C
= 20°C
aacero= 10 x 10-6°C-l
fll = (10 x 10-6 °C-l)(4 m)(20 °C - 200°C) = -0.0072 m fll = it - 10; it = 10 + flT = 4 m + (-0.0072 m) = 3. 9928 m
- Una barra de cobre y una barra de aluminio, cada una de 50 em de longitud a 25°C se colocan entre postes de concreto, como se ve en la figura. La separacion entre los postes es de 1.004 m. Exactamente la que temperatura se pondran en contacto las dos barras? (Supongase que la separacion entre los postes es independiente de la temperatura.) (aAl = 4 x 10-6 °C-l; Ucu = 17 x 10-6 °C-l) ,1.1Cu + MAl = 0.004 m aCu10flT + aAl1o,1.T = 0.004 m lo,1.T(acu+ aAl) = 0.004 m llT = 0.004 m/lo(acu+ aAl)
ApUNTES DE FfsICA II
147
1.004 m 50 em
50 em
= 0.004 m/0.5(0.000043 °e-l) = 0.004 m/0.0000205 m °e-l = 195°C Tf = flT + To = 195°C + 25°C = 220°C
flT
- Una plaea rectangular de aluminio mide 6 metros par 8 metros a 23 DC. leual es su area a 0 DC? (aAl = 2.4 x 10-5 °e-l) Datos 6m 8m M
Ao = 48 em2 p = 2a = 4.8 x 10-5 De-1 flT = -23°C
= KOAoflT= (4.8 x.10-s °C-l)(48 cm2)(-23
DC)
= -0.052 em Af = Ao + M = 48 em2 + (-0.052 em) = 47.94 em M
- EI eoeficiente de dilataci6n lineal del vidrlo es 9 x 10-6°e-I , Si un recipiente que se utiliza para determinar gravedades espeeificas contiene 50.000 em3 a 15 DC, encm!ntrese su capacidad a 25°C. Datos Vo To Tf ~
fl V fl V
= 50 em3 = 15°C
= 25°C
= 3a = 27 x 10-6 °e-1
= I3VoflT = (27 x 10-6 De-1)(50 cm3)(10 °e) = 0.0135 em3 = Vf -
Vo ~ V f
= fl V
+ Vo
= 50 + 0.0135 = 50.0135 cm3
148
ARNOlOO KOHLER C. yLUTS OlNARESQ.
- Un recipiente de vidrio se llena exactamente con 1 litro de trementina a 20 DC. ~Que volumen de liquido se derrama si la temperatura se eleva a 86 DC? El coeficiente de la dilatacion lineal del recipiente de vidrio es 9 x 10-6 DC-I; el coeficiente de la dilatacion cubica de la trementina es 97 x 10-5 DC-I. Datos Vo = llitro = 1 000 cm3 IlT = 86 DC - 20 DC == 66 DC ~vidrio
= 3a = 27 x
10-6 DC-I ~trementina = 97 x 10-5 DC-l Volumen que se derrama = Il V T - Ilvidrio Vderramado = (97 x 10-5 DC-I)(l 000 cm3)(66 DC) - (27 x lQ-6 DC-I) (1 000 cm3)(66 DC) Vderramado = 64.02 cm3 - 1.782 cm3 = 62.238 cm3
- La densidad del oro es 19.3 g/cm3 a 20 DC Y el coeficiente de dilatacion lineal es 14.3 x 1()-6 DC-I. CalcUlese la densidad del oro a 90 DC. Masa inicial = masa final de oro como sabemos (== m/V => m == (V Sustituyendo nos queda: (oVo
=
(fVf
despejando la (f nos queda: = 3a = 4.29 x 10-5 DC-I (f = (o(VO/Vf ) = ro(Vo/ IlT + yo) IlT = 70 DC ~
= ~VoIlT sustituyendo: rf = ro(Vo/~VoIlT + V o) = ro/~IlT + 1
Como IlV
rf = 19.3 g/cm3/(4.29 x 10-5 DCl)(70 DC) + 1 rf == 19.24 g/cm3
ApUNrES DE FiSICA II
149
CALORIMETRlA • A una barra de laton de 4 m de longitud y 1 kg de masa que se encuentra a una temperatura de 30°C se Ie suministran 8 500 calorias, calcular: a) La temperatura final de la barra. b) La longitud final de la barra.
I· ~
= 20 x
10-6 DC-I; Celaton = 0.094 kcal/kg DC) 10 =4m m = 1 kg To = 30 DC Q = 8 500 cal (Ulaton
AQ = mCe,1.T &T:: AQ/mCe &T = (8.5 kcal/1 kg)(0.94 kcal/kgDC) = 90.42 DC Tf = &T + To == 90.42 DC + 30 DC = 120.4 DC M = aloAT 10-6 DC-I)(4 m)(90.42 DC) = 0.00723 m N + 10 = .00723 m + 4 m = 4.00723 m
t}/ ==
If c
(20
X
- ,Cuanto calor debe agregarse para elevar la temperatura de 6 litros de agua desde 20 DC hasta 60 DC? Datos
m =6kg To= 20 DC Tf= 60 DC
Q::
mCe~T
= (6 kg)(l
kcal/kgDC)(60 DC - 20 DC)
= 240 kcal
150
ARNOLDO KOHLER
C.
y LUIS GLIVARES
Q.
- Un calorimetro de 50 g de aluminio contiene agua a una temperatura de 30 DC. Cuando se introduce 80 g de cobre a 70 DC, la temperatura final de equilibrio que se alcanza es 37 DC. LQue cantidad de agua habra en el recipiente del calorimetro ? Datos nlt,L = 50 g TO agua = TOt,L = nlCu ToCu
=
30 DC
80 g
= 70 DC
37 DC Ce L'.L = 0.22 call g DC Cecu = 0.93 cal/g DC Tf
=
nl agua
=?
Calor cedido = calor absorbido -mcu Ce cu L1T = lnL'.LCeL'.LL1T + lnaguaCeaguaL1T (80 g)(0.093 call gDC)(37 DC - 70 DC) :::: (50 g)(0.22 call g DC) (37 DC - 30 DC) + ln agua (1 call g DC)(37 DC - 30 DC) 245 cal = 77 cal + nl agua (7 call g) n1 agua = 245 cal - 77 eal/7 call g = 24 g - 5e suministra 35 keal de calor a 8 litros de etanol. 5i la temperahua delliquido es de 45 DC despues de haberse alcanzado el equilibrio, Leual era la temperatura inicial? Datos
Q :::: 335 kcal Tf
= 45
DC
r = 800 kg/m3
Ceetanol =
0.58 kcal/kg DC
r = IIllv => m = rv:::: (800 kg/m3)(8 x 10-3 m 3) = 6.4 kg
t1.T = Q/mCe = 35 kcal(6.4 kg)(0.58 kcal/kg DC) L1T = Tf - To => To = Tf - t1.T To = 45 DC - 9.42 DC = 35.57 DC
= 9.42
DC
ApUNTES DE
FfsICA II
151
- Se mezclan 10 kg de agua a 5°C con 100 kg de agua a 80°C. Eneontrar la temperatura final de la mezc1a.
Datos ml
= 10 kg
TO l
=5°C
m2
= 100 kg
T0 2
= 80°C CeH20 = keallkgOC
Calor absorbido = calor eedido mCeL1.T = - mCeL1.T
(10 kg)(l kcal/kg °C)(T - 5 0C) = - (100 kg)(l kcal/kg °C)(T - 80 0C) 10 Tkeal;oC - 50 keal = - 100 T(kcal;oC) + 8 000 kcal T(10 + 110 kcal;oC) = 8000 keal + 50 kcal T = 8050 keal/ll0 kcal/l °C = 73.18 °C
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
TEMA 1.1. 1. Una fuerza aplicada a un cuerpo de 2 kg de masa Ie comunica una aceleracion de 3 m/s 2. Calcular la aceleracion que comunicaria si actuara sobre un cuerpo de masa. a) 1 kg
b) 4 kg
Soludon: a) 6 m/ s2
b) 1.5 m/s 2
2. Un cuerpo de 100 newtons pende del extremo de una cuerda. Calcular su aceleracion cuando la tension de la cuerda es: a) 125 N
b) 80 N
c) 100 N
Solucion: a) 2.45 m/ S2 b) 1.96 m! s2 c)
a m/ s2
3. De los eXtremos de una cuerda que pasa par una polea fija, sin rozamiento, penden dos cuerpos cuyas masas son 7 y 9 kg. Calcular la aceleracion y la tension en la cucrda.
Soludon: a = 1.22 m/ S2
T = 77.1 N
4. Un automovil de 2000 kg, se mueve a una velocidad de 12 m/s. LQue fuerza constante, aplicada durante el periodo de 8 5, aumentara su velocidad a 40 m ! s? Soludon: 7 000 N 5. Una mujer estaba sobre la bascula que se encuentra dentro de un elevador. Cuando el elevador esta en reposo marca 556 N. LCual sera la lectura de la bascula cuando la aceleracion del elevador sea de 1.2 m/s 2 hacia abajo? Soludon: FR
= 487.9 N
156
AR.,\;OLOO KOHLER C. y LUIS OLIVARES Q.
6. GCu;il es la aceleraci6n de un bloque que resbala sobre un plano inclinado liso (sin fricci6n) que forma un angulo de 40 0 con la horizontal? Soluci6n: a = 6.3 m/ S2 7. El conductor de un carro se mueve a 80 km/h, aplica los frenos y se detiene a 60 metros. Determine el coeficiente de rozamiento cinetico. Soluci6n: 0.419 8. Un bloque de 5 kg de masa es apretado contra una pared vertical mediante una fuerza perpendicular a la misma. l Que valor ha de tener esa fuerza para que el cuerpo no caiga si el coeficiente de fricci6n es 0.5? Soluci6n: F
= 98 N
9. Un bloque es arrastrado hacia la derecha con velocidad constante por una fuerza de 10 N, que actua formando un angulo de 30 0 encima de la horizontal. El coeficiente de rozamiento dinamico entre el bloque y la superficie es de 0.5. l Cual es el peso del bloque? Soluci6n: W = 22.3 N 10. Calcular la fuerza paralela a un plano inclinado de 30 metros de altura y 40 metros de base que es necesaria aplicar a un bloque de 100 kg de peso para que no se desplace sobre el, sabiendo que el coeficiente de rozamiento es de 0.25. Soluci6n: F = 39.9 kgf
ArID.TIs DE FisICA II
157
11: Calcular la aceleracion de la gravedad de la Tierra de acuerdo a la siguiente informacion: G = 6.67 x 10-11 m 3 /kg s2
= 5.98
Masa de la Tierra Radio de la Tierra
x 1024 kg RT = 6.378 x 106 m
MT
Soludon: g
= 9.8 m/s2
TEMA 1.2. 1. Calcula el trabajo en (joules y ergios) realizado al elevar un cuerpo de 4 kg de masa a una altura de 1.5 metros. Soludon: 58.8
J = 58.8 x 10-7 erg
2. Un bulbo de 400 N se eleva hasta una plataforma a una altura de 1.5 metros par medio de un plano inclinado de 6 metros de longitud. Calcular: a) La fuerza paralela al plano que es necesaria aplicar. b) EI trabajo realizado suponiendo que la friccion es despreciada. Soludon: a) 100 N
b) 601
J
3. Un caballo jala una carreta de 300 kg Y se desplaza con una veloddad constante de 10 km/h. Si la fuerza que un caballo ejerce sobre la carreta es de 1 000 N Y forma un angulo de 30° con la horizontal, calcular la potencia desarrollada por el caballo al jalar la carreta una distancia de 400 metros. Soludon: P
= 2 407 watts
158
ARKOLDO KOHLER C. Y LL15 GLlVAiJ:S
Q.
4. Desde que altura tendria que caer un autom6vil para ganar la misma cantidad de energfa cinetica que si corriera a 90km/h. Soluci6n: h = 31.88 m 5. El trabajo que se realiza sobre un trineo con una fuerza F que forma un angulo de 30° con la horizontal es de 65 000 joules cuando se traslada una distancia de 100 metros. Determine la magnitud de la fuerza F aplicada al trineo. Soluci6n: F = 750 N 6. Se requiere una bomba para elevar 250 litros de agua por un minuto desde un pozo de 8 metros de profundidad y lanzada con una velocidad de 7 m/ s. LC ual debe ser la potencia del motor en watts? Soluci6n: P = 428.75 watts 7. Un cuerpo de 30 kg lanzado verticalmente hacia arriba tarda 1.5 s en llegar a su altura maxima si no existe rozamiento con el aire. Calcular la energfa potencial del cuerpo en el instante en que llega a su altura maxima. Soluci6n: Ep
=3241 J
8. Un cohete de 2000 kg de masa disparado desde una plataforma de lanzamiento adquiere una velocidad de 70 m/ s. A una altitud de 1 800 metros, calcular: a) Su energfa potencial b) Su energia cinetica c) Su energia total Soluci6n: a) Ep = 35 X 106 J c) ET = 40 x 106 J
b) Ec::= 4.9 x 106 J
ApUNTES DE
FfsICA II
159
9. lQue impulso debe recibir un ciclista para aumentar su velocidad de 5 mis, si la mas a del ciclista y su bicic1eta es de 90 kg?
Soluci6n: I
=495 kgm/s 6 I = 495 N . s
10. Una pelota de beisbol de 150 g de masa con una velocidad de 20 m/s es golpeada por el bate y sale en la misma direccion pero con sentido contrario con una velocidad de 25 m/ s. Sabiendo que la dura cion del golpe es de 0.01 s, hallar la fuerza media ejercida por el jugador sobre la pelota. Solucion: F
= 75 N
11. Un canon ligero de masa 480 kg, dispara una bala con una masa de 5 kg Y una velocidad de 265 m/ s. Calcule la velocidad con la que retrocede el canon. Soluci6n: Vc
= -2.76 m/ s
12. Dos cuerpos A y B que se mueven en sentidos contrarios chocan de frente quedando unidos. Detennine la velocidad final del conjunto si las masas y velocidades de los cuerpos son: rnA= 300 g rnB= 500 g
V A =5 cm/s VB = 3 cm/s Solucion:
vf
=0
13. Una bola de boliche de 8 kg de masa se mueve a razon de 10 m/ s chocando con un pino que esta en reposo de masa 1.2 kg. Determine las velocidades de la bola de boliche y el pino despues del choque, si este es perfectamente elastico. Solucion:
VB
= 7.4 mis, Vp = 17.4 m/s
160
AR.""OLOO KOHLER C. y L UIS OLIVARES
Q.
TEMA 2.1. 1. La masa de un cuerpo de 500 kg, cuelga de un cable de acero de 1.7 metros de longitud y 1.2 cm2 de area ("Y" del cable 20 x IOloN /m 2 ), determine:
a) El esfuerzo de tension b) La deformacion unitaria Solucion: a) 4.083 x 107 N/m2
b) 2.041 x 10-4
2. LCuantos kilogramos penden de tm dinamometro, si su resorte se alarga 3 em y su constante es de 1 200 N/m?
Solucion: m = 3.76 kg 3. Un alambre de 5 metros de largo y 4 mm de diametro soporta una carga de 80 kgf, si se estira 2.6 mm. Encuentre el valor del Modulo de Young para el material del alambre.
Solucion: Y
=
1.28 x 1010 kgf/m2
4. Un alambre de acero puede resistir tm esfuerzo a la tension de 5 x 108 N/m2. Si el alambre se utiliza para sostener una masa de 600 kg, lcual es el diametro minimo del alambre que se puede usar? (Modulo de Elasticidad del Acero = 2 x 1011 N/m2).
Solucion: D
= 3.87 x 10-3 m = 3.87 mm
TEMA 2.2. 1. Se tiene un volumen de 145.6 x 10-3 m 3 de agua de mar, si su masa es de 150 kg, determine su: a) Densidad b) Densidad relativa Solucion: a) 1 030 kg/m3
b) 1.03
APL':'
II
161
2. Considerando que la masa de la Tierra es de 5.98 x 1024 kg Y su radio 6.37 x 106 m. Determine su densidad.
Solucion: 5.5 x 10 3 kg/m3 3. Determine el peso espedfico en el 51 y en el eGS de una sustancia, si 800 kg de ella ocupan un volumen de 0.25 m 3.
Solucion: Pe
= 31
360 N/m 3; Pe
= 3 136 dinas/cm3
4.lQUe fuerza debera apliearse en un piston de 3 cm de diametro de un dispositivo hidraulico, para obtener una fuerza de 12 000 N Y para otro de 14 em de diametro?
Solucion: F
= 551 N
5. Calcular el diametro que se debe tener en el embolo mayor de una prensa hidrauliea para obtener una fuerza de 2000 N, cuando en el embolo menor hay un diametro de 10 ern y se apliea una fuerza de 100 N.
Solucion: D
= 44.72 ern = 0.4472 m
6. Un cuba de acero de 10 ern de lade esta en el aire suspendido de un dinamometro que indica un peso de 75 N. lCual sera la lectura del dinamometro si el cuba se introduce en alcohol? (densidad del alcohol = 800 kg/m3 ).
Solucion: F
= 67.16 N
7. Un cuerpo pesa en el aire 600 N Ysumergido completamente en agua pesa 360 N. Calcular:
a) El empuje b) El volumen del cuerpo e) 51..0 densidad Solucion: a) E = 240 N c) 2498.35 kg/m3
b) Vc
= 0.0245 m 3
162
AR:"OLDll KOHLER
C. y LUIS Ouv ARES Q.
8.- Un pedazo de metal pesa 45 N en el aire y 28.3 N cuando esta sumergido completamente en agua. Calcule la densidad del metal.
= 2 710.8 kg/m3
Solucion: m
9. Un cuerpo cuyo volumen es de 900 cm3 tiene un peso aparente de 1.8 N cuando se Ie sumerge en alcohol. CalcuIar:
a) Su peso en el aire b) Su densidad Soluci6n: a) 8.8 N
b) 997.7 kg/m3
10. Una pepita de oro con volumen de 1.5 cm3 se coloca sobre una bascula de doble platillo. i. Que volumen de pesas de laton se necesita para equilibrar la pepita de oro? Lat6n
= 8.7 g/cm3; oro = 19.3 g/cm3
11. Hallar el peso del agua en una piscina de 6 metros de largo, 3 metros de ancho y 1.8 metros de profundidad (H 20 = 1 000 kg/m3.) Soluci6n: W
= 317 520 N
12. Se bombea agua con una presion de 25 x 104 N / m 2 . i.Cual sera la altura maxima a la que se puede subir el agua por la tuberia, despreciando las perdidas de friccion? Solucion: h
= 25.5 m
APl ~TFS DE
FlsICA II
163
TEMA 2.3.
1. Por una turbina de 5 em de diametro cireula agua a una velocidad de 6 ml s. Determine: a) lCual es el gasto? b) lEn euanto tiempo se llena un deposito de 500 litros? Soluci6n: a) Q = 0.0117 m 3 / s
b) t
= 42.7 s
2. Se tiene una manguera de 5 em de diametro conectada a otra de 3 em de diametro. Si la velocidad del agua en la primera es de 50 eml s, determine eual sera la veloeidad en la seecion mas angosta. Soluci6n: V 2
= 138.9 em/s
3. Calcular el diametro neeesario que debe tener una hlberfa para que salga el agua con una velocidad de 2.5 ml s si esta conectado a otro que tiene un gasto de 0.5 m 3 I s. Soluci6n: D2 = 0.50 m
0
50 em
4. En un recipiente (tanque) que contiene agua se perfora un orificio circular de 0.8 em de radio a una profundidad de 5 metros. Determine la eantidad de agua que sale par el orificio en 3 minutos. Solucion: Q
= 0.358 m 3
5. Un deposito de agua se eneuentra a 6 em por arriba de una llave de salida. Determine: a) lCon que velocidad sale el agua? b) Si el diametro interior de la llave es de 1.2 em, lque volumen de agua en litros saldra en 2 minutos? Solucion: a) 1.08 m/s
b) 14.6 litros
164
AR.'.:OLOO KOH LER
C. y
L UIS O LIVARES
Q.
TEMA 3.1.
1. La temperatura media en el Polo Sur es de -40° en la escala de un termometro Fahrenheit. Calcular: a) La temperatura equivalente en grad os Celsius b) La temperatura equivalente en grados Kelvin Solucion: a) 40°C
b) 233 oK
2. lA que temperatura las lecturas de dos termometros, uno de ellos en escala centigrada y el otro en Fahrenheit, indican la misma lectura?
Solucion: T
= -40°
3. Un riel de acero tiene 20 m de longitud cuando la temperatura es de _2°. lCual sera la dilatacion lineal que tendra el riel cuando su temperahlra aumente a 30 DC? (Coeficiente de dilatacion del acero = 12 x 10-6 °C-l.)
Solucion: tli
= 0.00768 m
4. Una barra de hierro tiene una longitud de 3 m y esta a una temperatura de 10°C. Determine su temperatura final si la dila ta 22 mm. (Coeficiente de dilatacion del hierro =11.7 x 10-6°C-I.) Solucion: Tf
= 6.36.18 °C
5. Una varilla de 3 m de longitud se alarga 3 mm al elevar su temperatura en 100°C. Determine el coeficiente correspondiente. Solucion: 10-SlrC
APLNfES DE FfSICA
II
165
6. Un eje de acera tiene un diametro de 10 cm a 30 DC. Ca1cule Ia temperatura que debera existir para que encaje perfectamente en un agujera de 9.997 cm de diametro. (Coeficiente de dilatacion del acero = 12 x 10-6 DC-l.) Solucion: Tf
= 2.7 DC
7. Encontrar el coeficiente de dilatadon volumetrica y el coeficiente de dilatadon lineal del aluminio si un cuba de 8 cm de lado experimenta un incremento en su volumen de 5.7 x 106 m 3 cuando se calienta de 18 DC a 172 DC.
Soludon: 7.2 x 10-5 DC-1; 2.4 x 10-5 DC-l TEMA 3.3. 1. Calcule la cantidad de calor que se debe suministrar a 10 g de aluminio para elevar su temperatura de 12 DC a 30 DC, si su calor especifico es de 0.22 cal! g DC.
Soludon: Q
= 39.6 cal
2. Un calorimetra de 55 g de cobre contiene 250 g de agua a 18 DC, se introduce en 75 g de una aleacion a una temperatura de 100 DC Y la temperatura resultante es de 20.4 DC. Hallar el calor espedfico de la aleadon. (Calor espedfico del cobre = 0.093 cal! g DC.) Soludon: Ce
= 0.01025
cal! g DC
3. Calcular el mimero de calorias que se deben extraer para enfriar desde 85 DC hasta 15 DC:
a) 1 kg de agua b) 3 kg de asbesto Soludon: a) 70 x 103 cal
b) 42 x 103 cal
166
AR;-';Ol DO KOmER
C.
y LL1S OLIVARES Q.
4. Se smninistran 700 kcl a Lilla estatua de marmol de 100 kg que inidalmente se encuentra a 18°C. Determine la temperatura final (Ce del marmol = 0.21 kcal/kg 0C.) Solucion: T f
=
51.3 °C
5. Se mezclan 10 kg de agua a 5 °C con 100 kg de agua a 80°C. Calcule la temperatura final de la mezcla (Ce del agua = 1 kcal/kg 0C.) Solucion: Tf
= 73.18
°C
6. Se vier ten 2 kg de sopa a 60°C en una sopera de 2 kg a 21°C. Determine la temperatura final de la sopa (Ce de la sopera 0.2 kcal/kg DC; Ce de la sopa 0.9 kcal/kg 0C.) Solucion: Tf
= 52.9
°C
7. l Que cantidad de calor debe suministrarse a 100 kg de plomo que se encuentran a 21 DC, para fundirlos?, teniendo como datos: Ce plomo 0.03 keal/kgOC Temperatura de fusion Calor de fusion 5.9 kcal/kg Saludon: Q
= 15
175 keal
Cuestionario primera evaluaci6n Unidad 1.1 a 1.1.5 Instrucciones: coloca dentro del parentesis la letra de la opcion que satisfaga al enunciado.
1- ( ) El marco de referenda donde se cumplen las leyes de newton se llama: a) Absoluto
b) Gravitacional
c) Inercial
d) Tecnico
2- ( ) "EI radio vector que va del sol al planeta barre areas iguales en tiempos iguales". Es el enunciado de:
b) Segunda ley de newton d) Primera ley de newton
a) Ley de kepler c) Segunda ley de kepler
3- ( ) La ecuaci6n dimensional correspondiente al coeficiente de roza miento es: c) LM'P
d)LFT
4- ( ) EI coeficiente de rozamiento se mide en: a) no tiene unidades
b) newtons
c) slugs d) Kgf
5- ( ) Es un vector de magnitud variable: a) Fuerza de fricci6n estatica c) Rozamiento dinamico
b) Masa d) Energia
6- ( ) Parte de la fisica que estudia las causas del movimiento de los cuerpos: a) Dinamica c) Hidrosta tica
b) Cinematic a d) Estatica
168
AR;\;OLOO KOHLER
C.
Y LL1S OLIVARES
Q.
7- ( ) Todo cuerpo permanece en su estado inicial de reposo 0 de mientras no actue una fuerza sobre el, segun 10 establece la: a) Tercera ley de Newtcm c) Primera ley de Newton
i») Primera ley de kepler d) Segunda ley de kepler
8- ( ) Es la unidad de fuerza en el sistema
a) slug
b) dina
M.R.L'.
C.G.S.
c) newton
absoluto: d) Kgf
9- ( ) Que fuerza se necesita para acelerar una carreta de 440kg a Sm/ S2 a) 2.2xlO"N b) 5.0N
c) 3.3x103N
d) 4.4xlO'N
10- ( ) Se pesa un objeto primera en el polo norte y despues en el ecuador, si en ambos casos utilizamos la misma bascula de resortes lcual de las siguientes afirmaciones es correda? a) El objeto pesa mas en el ecuador que en el polo norte b) El objeto pesa mas en el polo norte que en el ecuador c) Los valores obtenidos son ligeramente diferentes debido a la falta de precision del instrumento d) El peso del objeto es exadamente el mismo en ambos lugares
11- ( ) lCual sera la lectura de la bascula que se encuentra dentro de un elevador que desciende con velocidad constante, si sobre ella se encuentra una persona de 98 newtons de peso? a) 9.8N
b) cera
c) 98N
d) ION
12- ( ) Todos los planetas giran en trayectorias elipticas en uno de cuyos focos esta el sol este enunciado corresponde a:
a) 2 a ley de kepler c) 1a ley de kepler
b) 3a ley de kepler c) Ley de la gravitacion universal
13- ( ) Un objeto que pesa 100 n esta colocado sobre un tabl6n que se encuentra inclinado con un angulo de 20 grados l Cual es la magnitud de la componente del peso que es perpendicular al tablon?
ApUJ\'TES DE FlsICA
a) 34N
b) 36.4N
c) 94N
II
169
d) lOON
14- ( ) La prapiedad que tienen los cuerpos para mantener su estado inicial de reposo 0 M.R.U. se llama: a) peso
b) impulso
c) inercia
d) aceleraci6n
15- ( ) Si el peso de un cuerpo es de 29.41 N, la masa en el sistema internacionales de: a) 3Kg
b) 29.41N
c) 29.41Kg
d) 3 U1M
16- ( ) El peso es la fuerza de atracci6n que ejerce la tierra sobre todos los cuerpos que estan en su superficie y se obtiene:
a) mig
b)m a
c)m·g
d) m/a
17- ( ) Si un cuerpo cambia su velocidad en magnitud, en una direcci6n o en ambas, se dice que: a) Esta en equilibrio b) Esta bajo la acdon de una fuerza no equilibrada c) La suma de las fuerzas que actuan como un cuerpo en igual a 0 d) La resultante es igual a cero 18- ( ) La fuerza centripeta originada en el movimiento circular se obtiene por la siguiente expresi6n: d) f=m'v 19- ( ) Si sobre cuerpos diferentes se aplican fuerzas iguales, aquel en que la aceleraci6n es mayor tendra: a) Velocidad cera c) Masa inercial mayor
b) Masa inercial menor d) Peso menor
20- ( ) El peso de un cuerpo en la tierra es de 1kg. Si en la luna la aceleraci6n de su gravedad apraximadamente es de 1.6 m/ 52. El peso del cuerpo en la luna es de:
a) 9.81 Kg
b) 9.81N
c) 1.6N
d) 1.6 Kg
170
ARNOLOO
KOHLER C. y LUIS OLIVARES Q.
Instrucciones: completa correctamente los siguientes enunciados 1- El tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta eompleta sobre su 6rbita se llama: 2- La 2a ley de de kepler estipula que los planetas girando alrededor del sol recorren areas iguales en tiempos:
3- La fuerza de friedon estatiea tiene su valor maximo cuando el movirrriento es __________________________________________ 4- La propiedad que tienen los cuerpos de oponerse al cambia de su estado inidal de reposo 0 M .R.U. se llama: _____________________ 5- La primera ley de kepler estableee que todos los planetas giran en orbitas
elipticas en uno de cuyos foeos esta el: _______________________ 6- Un cuerpo cuya masa es de 60Kg se Ie apliea una fuerza de 540N adquiriendo una aeeleraci6n de ___________________________
ApUNTES DE FIsICA
II
171
Instrucciones: relaciona las siguientes columnas correctamente
1- ( ) Coeficiente de fried6n
a) f= m d
2- ( ) Ley de gravitaci6n universal
b) 9.8N
I 'm 2 3- ( ) Aeeleracion segu.n la 2a ley de Newton e) G m y2
4- ( ) Fuerza normal
d) t 2 /r 3 = K
5- ( ) 3a ley de kepler
e) F/N f)
6- ( ) Kilogramo fuerza
fuerza aceleraci6n
h) Ff/j..l i) VI = g t 7- ( ) 2a ley de Newton
j) r F/m
2
eonstante
172
ARNOLDO KOHLER
C. y Lms OUVARES Q.
Cuestionario segunda evaluaci6n Unidad 1.2 a 1.2.5 Instrucciones: coloca dentro del parentesis la letra de la opci6n que satisfaga al enunciado.
1- ( ) La capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo se rnide en: a) Joule
b) Watt
c) Newton
d) Dina
2- ( ) Si la velocidad de un cuerpo disrninuye a la mitad, entonces su energia cinetica a) Disminuye a la mitad c) Aumenta cuatro veces
b) Disminuye a la cuarta parte d) Aumenta el doble
3- ( ) El kilowatt hora es una medida de: a) Potencia b) Rozamiento
c) Energfa d) Fuerza
4- ( ) El trabajo desarrollado para vencer a las fuerzas de rozamiento se transforma en energfa: a) Potencial b) Calorffica c) Cinetica
d) Mecanica
5- ( ) El cambio en la cantidad de movimiento de un cuerpo tambien se Ie conoce como: a) Inercia
b) Fuerza
c) Impulso
d) Momento
6- ( ) EI choque de dos particulas en el que se cumplen los principios de conservacion de la energia y la cantidad de movimiento, se llama: a) Elastico
b) Serniplastico
c) Disipativo
d) Plastico
7- ( ) Un movil de 104 kg. de masa lleva una velociad de 50 m/s lque cantidad de energia cinetica adquiere?
ApUNTES DE FlSICA II
a) 1.3xl03 J b) 130 J
c) 13xl04 J
173
d) 13000 J
8- ( ) Son las unida des de potencia en el sistema internacional a) wattlhora
b) c.v.! hora
c) Ergio-m
Seg
d)N· m
Seg
9- ( ) Una gimnasta pesa 700 n, sube por una cuerda a una altura de 8 metros en 5 segundos lque potencia desarrolla? a) 40w
b) 30w
c) 6.2x10w
d) 1.1x103 W
10- ( ) El cambio de energia potencial de subir un cuerpo de un peso de 9.81n de una altura de 2 m hasta otra altura de 6m.es de: a) 9.81n
b) 39.24 j
c) 40.05 j
d) 9.81 j
11- ( ) Si un objeto recorre 3m en 4 seg. al aplicarle una fuerza de 2n su potencia es de: a) 2.7 watt
b) 6watt
c) 4 watt
d) 1.5 watt
12- ( ) EI produdo de la fuerza por el tiempo en el que acrua sobre el objeto se llama: a) Impulso c) Potencia
b) Trabajo d) Impetu 0 cantidad de movimiento
13- ( )Cuando el angulo de la fuerza es de 90 0 con respecto al dezplazamiento, el trabajo mecanico adquiere un valor de: a)cero
b) maximo
c) 180 J
d) 9.8 J
14- ( )Usted baja de la azotea de su escuela hasta la planta baja. Por 10 tanto el trabajo es:
a) cero
b) positiv~
c) negativo
d) maximo
174
ARNOLDO K6HLER
C. y
LL1S OLIVARES
Q.
Instrucciones: completa correctamente los siguientes enunciados 1- Se dice que el impetu de un cuerpo es igual al producto de la ___________________ porla _______________________________ 2- La relaci6n de un joule entre un segundo, recibe el nombre de
3- La energia potencial es energfa de __________________________ 4- Se requiere una fuerza de 10 n para empujar un cuerpo de 150kg. Sobre el piso, lcuanto trabajo realiza si 10 empujamos 20m?
5- La rapidez con que se realiza un trabajo se llama______________ 6- La suma de las energias cinetica y potencial de un cuerpo se llama
7- La capacidad que tiene un cuerpo para realizar un trabajo en funci6n de su movimiento se llama _______________________________ 8- En un choque perfectamente elastico, el coeficiente de restitucion vale
ApUNTES DE FIsICA
II
Instrucciones: relaciona las siguientes columnas correctamente
1- ( ) Energia cinetica
a) f· d cos
2- ( ) Potencia
b)M/V
3- ( ) Expresi6n de trabajo
c)W · h
4- ( ) Energia potencial
d) M·V2 /2
5- ( ) Teorema impulso-cantidad
e) f·v
de movimiento
f)F/A
g)F·t=m(vt-vo )
175
176
ARNOLDO KOHLER
C. YLuIS OLNARES Q.
Cuestionario tercera evaluaci6n Unidad 2.1 a 3.2 Instrucciones: coloca dentro del satisfaga al enunciado.
par~ntesis
la letra de la opci6n que
1- ( ) La relaci6n entre el esfuerzo y la deformaci6n unitaria longitudinal se Ie conoce como: a) Elasticidad c) M6dulo de rigidez
b) M6dulo de young d) Presi6n
2- ( ) La cantidad de calor que se requiere suministrar para que un kilo gramo de agua incremente su temperatura 10 c se llama:
a) Caloria
b) B.T.U.
d) Kilocaloria
3- ( ) Al volumen de un fluido que fluye en la unidad de tiempo se Ie conoce como:
a) Caudal
b) Bernoulli
c) Flujo
d) Densidad
4- ( ) EI calor que no provoca cambio 0 variaci6n en la temperatura se Ie llama:
a) Espedfico
b) Sensible
c) Latente
d) Capacidad calorffica
5- ( ) La expresi6n de la presi6n hidrostatica es: a) pgh
b) pgv
c) pgbj
d)mgh
6- ( ) Cua! es la densidad de un aceite cuyo peso especifico es de 8967n/m3
a) 500 Kg 1m3 c) 915 Kg 1m3
b) 300 kg 1m3 d) 315 kg 1m3
ApUl'l.'TES DE FisICA II
177
7- ( ) Un cuerpo cuya mas a es de 10 kg. Se sumerge en agua y desplaza un volumen de 2lts. Su peso aparente es: a) 78.4 N
b) 70N
c) 20N
d) 10 N
8- ( ) Cual es el peso espedfico del oro cuya densidad es de 19300 Kg/ m 3
b) 189140 n / m3 d) 100000 n / m3
a) 1500n / m3 c) 2000 n / m3
9- ( ) Cada uno de los zapatos de una persona tienen un area de 0.02 m si la persona pesa 690 n entonces la presi6n que ejerce sobre el suelo sera de: b) 3.45x105 n/mz d) 34.5x103 n/m 2
a) 345 n/m2 c) 3.45 n/m2
10- ( ) A que altura se elevara un chorro de agua si la presi6n manometric a indica 8000 kgf / m2 a) 5 mts
b)
a mts
c) 7 mts
d) 8 mts
11- ( ) La temperatura en la que las moleculas tienen la minima energfa cinetica posible es aproximadamente: b) -273 OF
12- ( ) Las unidades n / m3 son unidades de: a) Peso espedfico c) Presi6n
b) Densidad d) Volumen
13- ( ) Es la cantidad de calor que aumenta en un grade centigrado la temperatura de un gramo de agua.
a)
B.T.U
b) Caloria
c) Kilocaloria
d) 418 Joules
14- ( ) Al volumen de un fluido que fluye en la unidad de tiempo se Ie conoce como: a) Pascal
b) Bernoulli
c) Gasto
d) Densidad
178
ARNOLDO KOHLER
C. y LUIS OuvARES Q.
lS- ( ) eual es la densidad de un aeeite cuyo peso espedfieo es de 7840 n/ m3 a) SOO kg/m3 e) 91S kg/m3
b) 300 kg/m3 d) 800 kg/m3
16- ( ) Si la densidad del aluminio es de 2.7 gr /cm3 leuaI es el volumen que oeupan 100 g? a) 37 em3
b) 27 cm3
e) 0.37 em3
•
d) 270 em3
17- ( ) Si la presion en el fondo de una alberea llena de agua es de SOOO kgf / m2 l emll es la profundidad de la alberea? a) 10mts
b) Smts
e) l.Smts
d) lSmts
18- ( ) La superficie del fondo de un tanque de almaeenamiento es de 1000cm2. Si el tanque eontiene 400 n de agua, la presion sobre el fondo sera de: b) 0.4N/cm2
a) 0.4 N/m2
c) 40 N/m2
d) 4 N/m2
19- ( ) El equivalente mecanico de una caloria es de: a) 9.8 kgm
b) 4.18 J
c) 418 J
d) 9.81
BTU
20- ( ) Las unidades del modulo de young son: e)N/m
a)m/s
d) N/ m 2
21- ( ) Si un objeto es menos dense que el fluido en el que esta inmerso este: a) flotara
b) se hundira c) se equilibra
d) explota
22- ( ) leomO se llama la propiedad por la que los cuerpos se recuperan de las deformaciones? a) Plasticidad c) Flexibilidad
b) Densidad d) Elasticidad
ApUNTES DE FfslCA II
179
23- ( ) Gasto 0 caudal en un fluido a)A'V
b)A/t
c) v·t
d)pgd
24- ( ) La densidad del hierro es de 7900 kgl m3. lCual es la densidad relativa del hierro?
a) 0.126
b) 7.9 Kg/m 3
c) 7900
d) 7.9
25- ( ) En un recipiente abierto hay un orificio a 1.84 m de profundidad. l Cual es la velocidad de la salida delliquido? a) 36 m/s
b) 0.61 m/s
c) no sale
d) 6 m/s
26- ( ) Es la parte de la fisica que estudia las trans formaciones de la energia termica a mecanica y viceversa. a) Mecanica
b) Quimica
c) Energetica
d) Termodinamica
27- ( ) La presion atmosferica se caIcula con la siguiente expresi6n: a) pgh
c) pg
d) pgV
28- ( ) Por un ducto fluye un liquido con un gasto constante; si se duplica la secd6n transversal del conducto,la veloddad del fluido: a) se duplica c) se cuadruplica
b) disminuye a la mitad c) disminuye a la cuarta parte
180
ARNOLDO K6HLER
C. y LUlS
OLIVARES
Q.
Instrucciones: completa correctamente los siguientes enunciados 1- Las dimensiones de la deformaci6n unitaria son:
2- A la unidad de presi6n hidrostatica en el sistema intemacional se Ie llama: 3- El punto fijo superior de la escala celsius corresponde al fenomeno de:
4- EI equivalente mecanico del calor es: 5- Una caloria es equivalente a ________ joules de energia 6- La dilataci6n lineal que sufre una barra de determinado material es directamente proporcional al incremento de ya la 7- La presi6n de un llquido en reposo es directamente proporcional a:
8- La unidad de presi6n N / m Z se Ie llama tambien: 9- Los bar6metros y los man6metros son instrumentos empleados para medir: 10- Dentro de los limites de elasticidad, si se divide el esfuerzo aplicado a un cuerpo entre su correspondiente deformaci6n unitaria se obtiene:
11- Los puntos fijos en un term6metro celcius corresponden a las temperaturas de:
12- lA cuantas calorias equivalen 4186 J?
____________
13- Las unidades correspondientes al calor espedfico son:
ApUNTES DE
FlsICA
II
181
14- La relacion de la mas a de un cuerpo entre su volumen recibe el nombre de: ___________________________________ 15- La parte de la ffsica que estudia los fluid as en reposo es la:
16- La relacion entre la densidad absoluta de una sustancia y la densidad absoluta del agua se llama ___________________ 17- A la cantidad de calor que requiere la unidad de masa de una sus tan cia para incrementar su temperatura un grade se llama:
18- La presion hidrostatica de un liquido en reposo depende del peso especffico delliquido y de su ____________________ 19- La presion absoluta se determina sumando ___________ 20- Toda presion que se ejerce sobre la superficie libre de un liquido confinando dentro de un recipiente, se transmite con la misma intensidad a todos los puntas delliquido. Esto 10 enuncia: 21-l Que unidades tiene el coeficiente de dilatacion? _ _ _ _ _ _ __
22- Estudia a los fluid os en movimiento _____________
23- El coeficiente de dilataci6n lineal depende del __________ 24- La razon de la cantidad de calor suministrada a un cuerpo entre el correspondiente incremento de temperatura, se denomina:
182
ARNOLDO KOHLER
C.
y
LUlS OLIVARES Q.
Instrucciones: reladona las siguientes columnas correctamente 01- ( ) Principio de pascal
a) A1 VI=A 2 V2
02- ( ) Principio de arquimedes
b)mCAT
03- ( ) Ecuacion de continuidad
c) E= pgv
04-( ) Cantidad de calor
d) a. La L'iT
05- ( ) Coeficiente de dilatacion
e) PI = P2
06- ( ) Presion hidrost
f)
07- ( ) Presion absoluta
g) L'iLI La
08- ( ) Peso espedfico
h)
09- ( ) Capacidad calorifica
i) Pe ' h
10- ( ) Densidad absoluta
j) Y'c
11- ( ) Expresion del esfuerzo
k)m/v
12- ( ) Calor espedfico
1) psi Pagua
13- ( ) Densidad relativa
m) Pman + Patm
14- ( ) Deformacion unitaria
n) presion
15- ( ) Dilatacion lineal
0) p g
16- ( ) Calor latente de fusion
P)m~t
17- ( ) Fuerza aplicada por unidad de area
~t AL Lo(M)
q) Q=m Lf r) E=Pe·A
AruNTES DE FlsICA II
183
BIBLIOGRAFfA
Robert Resnick, David Halliday, Keneth S. Krane. Ffsica, volumen 1. Comparua Editorial Continental, quinta edicion, 2002. Jerry D. Wilson. Ffsica. Edit. Prentice Hall, segunda edicion, 1996. Paul E. Tippens. Ffsica conceptos y aplicaciones. Edit. McGrawHill, sexta edicion, 2001. Harrison Benson. Ffsica universitaria, volumen I. Compania Editorial, primera edicion, 1996. Francis W. Sears, Mark W. Zemansky, Hugh D. Young, Roger A. Freedman. Ffsica universitaria, volumen 1. Edit. Pearson Educadon, novena edidon, 1999.
Impreso en los Talleres GrMicos de la Direccion de Publicaciones del INSTITUTO POLmcNICo NACIONAL,
Tresguerras 27, 06040 Mexico, DF Diciembre 2007. Edicion: 1000 ejemplares.
