ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA
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INECUACIONES EXPONENCIALES Son de la forma: a
f(x)
>a
1° caso:
Método DE LOS PUNTOS CRÍTICOS Es utilizado para analizar la variación de los signos de los factores lineales (de coeficientes reales) en una multiplicación indicada (polinomio factorizado).
2° caso:
Para un polinomio P(x) = ax + bx + c 0 y ( 0 ) este método es el más indicado 2
g(x)
a
f(x)
a1
g(x)
Si: a > 1 , entonces se cumple: a
f(x)
>a
g(x)
f(x) > g(x)
a
f(x)
g(x)
f(x) < g(x)
Si: 0 < a < 1 , entonces se cumple: a
f(x)
a
f(x)
>a
g(x)
f(x) < g(x)
g(x)
f(x) > g(x)
Ejemplo: Sea P(x) = (x – 3) (x + 1) (x – 6), las raíces son: –1, 3, 6. Ubiquemos estos valores en la recta real. Las raíces del polinomio particiona a la recta en 4 zonas (intervalos). Analicemos las variaciones. Factor x – 3 x+1 Zona x < –1 –1 < x < 3 36
x–6
1.
P(x) 2.
–1
3
6
4.
5.
Si el polinomio P(x) = ax + bx + c; {a, b, c} 2
(a 0) P(x) 0; x 6.
(a 0) P(x) 0; x
D) ]–, 0[ ]3/2, + [ E) N.A.
x6 0 x( x 4)
Resolver:
D) E) N.A.
x8 x2 x3 x 1
A) ]–1, –1/2] B) [–1, –1/2] C) –3, –1 [–1/2, +[
tiene discriminante: ( 0 )
B.
Resolver:
D) E) N.A.
3 <2 x
A) ]–6, 0[ B) ]–, –6] ]–4, 0[ C) [–6, –4[ ]0, +[
Nota. Cuando formamos la inecuación polinomial los valores de las raíces del polinomio toman el nombre de puntos críticos.
Teoremas del trinomio (+/–)
Resolver:
E) N.A.
(2x 12)(3x 15)(7 x ) 0 ( x 2)
A) ]0, 3/2[ B) ]0, 3/2] C) ]–, 0[ [3/2, + [
+
Si tratará de resolver P(x) > 0, tendríamos que el C.S. =
A.
Resolver:
A) [–5,2[ [6, 7] B) ] –, –5] ]–2, 6] [7, +[ C) [–5,6] – {2}
3. –
La solución de la inecuación: 2 – x + 8x – 7 > 0 A) C) 0 < x < 7 B) –1 < x < 7 D) 1 < x < 7
D) [–3, –1] [–1/2, +[ E) ]–3, –1[
Resolver: (x + 4) (x + 2) > 0. Dar como respuesta un intervalo A) –, –4 C) [4, + [ E) N.A. B) D)
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
7.
8.
9.
Resolver:
(x + 2) (x + 2) > 0
A) ]–2, + ]
C) [2, + [
B)
D) – {–2}
Resolver:
(x – 1) (x – 1) < 0
A) ]–1, + ]
C) ]1, + [
B)
D)
Resolver:
C) {–6}
B)
D)
B)
D)
Resolver: (x – 1) (x – 4) (x + 7) > 0 A) –7, 1 [4, + B) –1, 0] [4, + C) –7, 1 4, + D) –1, 4 [7, + E) N.A.
3.
Resolver: (x + 2) (x – 1) (x – 3) (x + 5) 0 A) –5, –2 1, 3 B) –, –5] –2, 1 C) –, –5 –2, 1 1, + D) [–5, –2] [1, 3] E) N.A.
4.
Resolver:
E) ]–, –1]
2
C) {–3}
B)
D)
E) N.A.
2
x + 2x + 2 < 0
A) [–2, + [
C) {–2}
B)
D)
E) ]–, –2]
13. Resolver: x
2.
E) ]–, –6]
x + 6x + 12 0
A) [–3, + [
x2 4
Resolver: (x + 3) (x – 5) (x – 1) < 0 A) –, –3 1, 5 B) –, –3] [1, 5 C) –, 1 3, 5 D) –, 1 [3, 5 E) N.A.
x +1>0 C) {–1}
12. Resolver:
1.
2
A) [–1, + [
11. Resolver:
E) N.A.
(x + 6) (x + 6) 0
A) [–6, + [
10. Resolver:
E) ]2, + [
x3 x2 x 4
A) 2,
C) 3, 10
B) 3,
D)
A) B) C) D) E)
E)
14. Resolver:
–2, –1] 2, 3 [5, + –, –2] [–1, 2] [ 3, 5 ] –, –2 [–1, 2 [ 3, 5 ] [–2, –1] [2, 3] N.A.
x 1
9 x 1 5( x 2 3)
x2 64 3
x 1
A)
x –, 1] 3, +
B)
x –, 1 3, +
3
x3
5.
x2 3 1024 9 x
Resolver:
x – 7x + 10 0 2
A)
x –, 2 5, +
B)
x [2, 5]
C) x [5, + D) x , 2 E) N.A.
C) x [1, 3]
6.
D) x [–1, 3 E) N.A. x –2, 3, además: 2 a < x + 10x – 3 < b hallar b – a A) 55 B) –55 C) 36
(3 x) ( x 1) ( x 5) 0 ( x 2) ( x 2)
Resolver:
2
x + 4x – 45 > 0
A)
x –, –9 5, +
B)
x –, –15 3, +
C) x [–9, 5]
15. Si
D) x [–15, 3 E) N.A. D) 19
E) N.A. 7.
-2-
Resolver: A) 2, 15 B) 3, 12
2
x – 13x + 30 < 0 C) 3, 10 D) 2, 7
E) 7, 10
8.
Resolver: A) –, 1 B) 2, +
x – 3x + 2 0 C) [2, + E) 3, + D) –, 1] [2, +
9.
Resolver: A) 1, 3 B)
x + 4x + 11 < 0 C) –, 1 D) 2, +
x2 2 x 1
2
16. Resolver:
A) ]4, + [ B) ]–, 1[
2
E)
x 1 1 x 5 x2 5
17. Resolver:
2
10. Resolver: 2x + x – 1 < 0 1 1 A) –1, C) –2, 2 2 B) –1, 5
C) ]1, + [ E) ]–, 4[ D) ]–, 1[ ]4, + [
D) –1,
A) ]–2, 3[ B) ]–, –2[ C) ]–, 3[
E) 1, 7
1 3
D) ]3, +[ E) ]–, –2[ ]3, +[
18. Resolver: 3x – 10x – 3 A) 1/3, 3 C) B) [1/3, 3] D) –, 3 2
11. Resolver:
( 4 2x ) ( x 1) 0 x
A) [–1, 0] [2, +[ B) ]–1, 0[ ]2, +[
12. Resolver:
C) ]–1, 0] [2, +[ D)
E) N.A. 19. Resolver: x (6x + 17) > 3 A) –, –3 1/6, + B) –, –3] [1/6, + C) –, –1/6 3, + D) –, 1/6 [3, + E) N.A.
x8 <0 x2
A)
x –3, 4]
B)
x –2, 8
C) x –, 2 8, + D) x –, 3 5, + E) N.A.
13. Resolver:
20. Resolver: A) [–2, 4] B) [–2, 4[
x9 0 x 1
A)
x –, 6] 1, +
B)
x –, –6 2, +
E) N.A.
8 + 2x – x 0 C) ] –2, 4[ D) ] –2, 4] 2
E) N.A.
2
21. Resolver: x + 4x + 4 < 0 A) ]–, –2[ C) ]–, 2[ B) ]–, –2] D) ]–2, +[
E)
C) x –, –9] 1, + D) x –9, 1 E) N.A.
14. Resolver: A) B) C) D) E)
2
x +x+1>0 B) C) –1
D) +1
E) N.A.
2
23. Resolver: x – 4x > 12 y dar como respuesta un intervalo A) ]– , –2[ C) ] –, 6[ E) N.A. B) [2, +] D) [–6, +]
( x 3) ( x 5) 0* x ( x 2)
]–, –3] [5, +[ ]–, –3] ]–2, 0[ ]5, +[ ]–, –3[ ]–2, 0[ ]5, +[ ]–, –3] ]–2, 0[ [5, +[ ]–2, 0[ ]5, +[
15. Resolver: A) B) C) D) E)
22. Resolver: A)
24. Resolver: x (x + 5) – 4 A) –, –4 C) –1, + B) –4, + D)
x ( x 2) >0 ( x 1) ( x 3)
25. Resolver:
]–, –1[ ]0, 2[ ]3, +[ ]–, –1] [0, 2] [3, +[ ]–, –1[ ]0, 2[ [3, +[ ]–, –1[ ]3, +[ N.A.
A) 0, –1 B) –1, 0]
-3-
E) [–4, –1]
(2 x ) ( x 1) <0 (2 x ) x
C) –1, 0 D) [–1, 0]
E) N.A.
(5 x ) ( 2 x )
0 x 2 4x 5 A) –, –2] –1, + B) –, –2] –1, + – {5} C) [–2,– 1] D) [–1, + – {5} E) –, –2 –1, + – {5}
26. Resolver:
27. Resolver:
x9 x 1 x3 x 1
A) [–3, –1] [3, + B) [–3, –1] 3, + C) – {3, 1} 28. Resolver:
x2
0
x x6 A) –3, –2 2, + B) 2, + C) 3, +
29. Resolver:
x2 1
A) –7, –1 B) 1, 2 C)
0
2
x –, 2 5, +
D) E)
x 5, 7 N.A.
2
x –, 1
B)
x –, –1 5, 12
C)
x 0, 1 3, +
D) E)
x –1, 0 1, 3 N.A.
A)
x –, –3 2, +
B)
x –, 3 5, +
C)
x 3, 4 5, + 10 +
2 4x 3 x x7 x7 x7 C) 7, 12 E) 7, 14 D) 7, 13
x2
(0,0016) x 3 >
(0,2) 4x 1
62 , 2 5, + 17
A)
x
B)
x –62, –3 4, +
x 5
C) x –15, –6 3, + D) x
5
E)
3 5
A)
x 1 x < 2x 3x
37. Resolver:
(x – 3) (x – 1) (x – 1) x > 0
2,
x [–4, –1
C)
36. Se tiene que: –1 < x – 1 < 1, entonces se cumple que: 2 a < x – 1 < b donde: A) a + b = 2 C) a + b = –7 E) a + b = –9 B) a + b = 12 D) a + b = 8
30. ¿Entre qué limites debe estar comprendido “n” para 2 que la inecuación: x + 2n x + n > 3/16, se verifique para todo valor real de “x”? A) 4 < n < 5 D) 1/4 < n < 5/4 B) 1/4 < n < 1/2 E) –1/4 < n < 3/4 C) 1/4 < n < 3/4 31. Resolver:
B)
A) 7, 10 B) 7, 11
D) –7, –1 1, 2 E) [–7, –1 1, 2]
3
x –, 3 4, +
35. Resolver:
D) –, –1 E)
x 2 5x 14
A)
34. Resolver: D) E) N.A.
2
3x 6 2 x 1
33. Resolver:
1 , 3 5, + 5
N.A.
38. Resolver la siguiente inecuación exponencial: 5
x+6
< 5x
2
A) – , –2 3 ,
D) 2 , 3
B) – , –3 2 ,
E) –3 , –2
C) – , 3 6 , 32. Resolver:
x3 x x4 x6
A)
x 5, 6 8, +
B)
x –, 4 6, +
C)
x –, 3 7, 9]
D)
18 x –, –6 ,4 7
E)
N.A.
39. Resolver: (0,1) A) – , –3/8 B) [3/8 ,
(0,01) C) 3/8 , 2]
2x–1
5x+1
E)
D) – , –3/8]
40. Resolver: 3
5
x 2 ( x2 x 1)2 (2 x) 1 x 0 A) 1 , – {2} D) 2 ,
B) [1 , C) 1 , -4-
E) –2 ,
