Álgebra(Teoria y Practica) ELITE X 4 Prod. Not 2

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

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Material de Clase Continuando con los productos notables tenemos lo siguiente, recordando que está implícita la propiedad distributiva de la multiplicación.

1.

Simplificar: 2 2 2 2 2 2 C = (x + xy + y ) (x – xy + y ) + x y

2.

Si:

PRINCIPALES IDENTIDADES: Desarrollo de un trinomio al cuadrado: 2

2

2

Desarrollo de un trinomio al cubo: 3

3

y=

2 3

z=

3 5

calcular el valor de:

4.

Si: ab + bc + ac = 0

Identidad trinómica (Argan´d):

hallar: 4

5.

IGUALDADES CONDICIONALES: Si: a + b + c = 0 , se cumple: 3 3 3 I. a + b + c = 3abc 2 2 2 II. a + b + c = –2(ab + ac + bc) III.

2

6.

2

(ab + bc + ac) = (ab) + (bc) + (ac)

7.

Sean: a; b; c   y m; n  N 2n

2m

+b 2

3

3

2

2

2

S=

2

(a  b  c )3  2(a3  b3  c3 ) 12abc

2

Si: a + b + c = 3(ab + bc + ac), hallar el equivalente de: a3  b3  c3  3abc (a  b  c )(ab  bc  ac )

2

8.

EQUIVALENCIA DE GAUSS:

3

2

Dado:

Halle: 2

2

2

a + b + c – 3abc = (a + b + c)[ a + b + c – (ab + bc + ac )]

9.

es:

Si: a + b + c = 0

=0  a=b=0

a + b + c = ab + bc + ac  a = b = c 2

(a  b  c )3

(3x  y)3  (3y  z)3  (3z  x)3 (3x  y) (3y  z) (3z  x)

Reducir:

2

Nota:

a

a3  b3  c3  3abc

Si: x + y + z = 0 el equivalente de: S=

2

P=

2

(x + x + 1) (x - x + 1) = x + x + 1 2 2 2 2 4 2 2 4 (x + xy + y ) (x - xy + y ) = x + x y + y

x 3  y 3  z3 xy z

a+b+c=0 abc = 5 hallar el valor de: 4 4 4 E = ab (a + b) + bc (b + c) + ac (a + c)

3

2

P

3.

(a+b+c) = a + b + c + 3(a+b) (b+c) (a+c) 3 3 3 3 (a+b+c) = a + b + c + 3(a+b+c) (ab+bc+ac) – 3abc 3 2 2 2 3 3 3 (a+b+c) = 3(a+b+c) (a +b +c ) – 2(a + b + c ) + 6abc

2

5 2

2

(a + b + c) = a + b + c + 2(ab + bc + ac)

3

x=

a+b+c = 1 ab + bc + ac = 0

(ab)2  (bc )2  (ac )2 abc

Si x; y  , cumple la igualdad: 2 2 2x – 4x + 4 + y – 2xy = 0 Dar el valor de:

x

y3  4

Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730

–1

10. Si: a + b Hallar:

a

11. Si:

2

–1

a

2

–1

+c

= 0 y abc  0

6.

  b b  2c   c c (a  b  c )  a 2  b 2  c 2 

 2b

2

2

2

2

2

2

 2a

2



P=

7.

ab ac  c b b

8.

12. Dadas las condiciones: 3 3 3 a + b + c = 2 (a + b) (b + c) (a + c) a+b+c = 1, calcular el valor de:

M

(a  b)3  (a  c )3  (b  c )3 (a  b) (a  c ) (b  c )

A) 1

1 1 4 ; a  b, c  b, a+c  2b   a  b c  b a  c  2b

halle:

Si: a + b + c = 0, calcular:

B) 3

13. Si: 2p = a + b + c; el equivalente de: 3 3 3 k = (p – a) + (p – b) + (p – c) + 3abc es:

E) 1/9

E) 4

Si: Sabiendo que: a + ac = b + bc ; a  b 2

B) 3

2

2

a3  b3  c 3 abc

A) 0 9.

D) 9

Si: a + b + c = 2 ; abc = 4 3 3 3 calcule: a + b + c + 6(ab + bc + ac) A) 6 B) 8 C) 20 D) 12

E=

1  5abc ab  ac  bc

C) 1/3

2

C) 2

D) 4

E) 1

2

Si: a + b + c = 49, calcular: 2 2 2 2 C = (a + b) + (a + c) + (b + c) – (a + b + c) A) 5 B) 6 C) 7 D) 36 E) 49 2

2

2

10. Si: x + y + z = 6 xy + xz + yz = –3 z2  x 2  y 2 ; xy  0 xy

Calcule: A) 2 1.

Si a + b + c = 0, hallar el valor de: E

2

B) 2

E) –4

A) 3

m 2n 2p 2 B) 6

C) 27

2

D) 9

2

4

Calcular: A) 1/3

E) n.a.

13. Si: (a – b)

2

Efectuar: (a + a + 1 ) (a – a + 1 ) (a – a + 1 ) 8 4 8 4 8 4 A) a + 3a + 1 C) a + a – 1 E) a + a + 1 4 2 8 4 B) a + 3a + 1 D) a – a + 1

5.

Si: a + b + c = 4 2 2 2 a +b +c =2 calcular: ab + bc + ac A) 6 B) 2 C) 7 Si se cumple: calcular:

E) 10

x ( x  y)  y( y  z) z (z  x)

A) 1

B) –1

C) 2

A) 4

D) –2

3

3

3

+ (b – c)

–1

2

2

E) 6

3

E) N.A. -2-

+ (c – a)

–1

D) 1

E) 1/6

=0

2

a b c ab  bc  ac

B) 2

C) –2

D) 1/2

E) –1

D) 0

E) 2

y2 x2 = 3(x – y)  y x

Hallar:

2

(x + y + z) = xy + xz + yz

P

–1

Calcular: P =

14. Si: D) 4

3

D) 9

a +b +c = 30 a+b+c = 3 abc = 4 –1 –1 –1 a +b +c B) 1/4 C) 1/12

(m3  n3  p 3 )2

A) 1 4.

3

12. Siendo:

Si: m + n + p = 0 Hallar:

3.

D) –2

C) 3

C) 3

11. ¿A qué equivale: a + b + c – 6abc? Si se cumple: a (a – b) + b (b – c) + c (c – a) = 0 3 A) –3abc C) (a + b + c) E) abc 3 3 3 B) a + b + c D) 0

2

a b c ab  ac  bc

A) 1 2.

2

B) 7

K= B) 6

3 (x 8  y 8 ) ( x 2 y 2 )2 C) 1

15. Si se cumple que: 2 2 (x + y + 2z) + (x + y – 2z) = 8z (x + y) Hallar: 7

9

22. Reducir: ( x  y ) 3  ( y  z) 3  ( z  x ) 3 9 ( x  y ) ( y  z) ( z  x )

8

x  z z  x x  y    E =      z  y 2 z z  y      

A) 3

C) –1

B) 1

A) 1

D) 0

3

N=



B) 1

ab a b

Calcule:



( x  y  z)3  2



A) 1/9





C) –1



6

D) 2

c ; a, b  

+

6

calcular:

E) abc

y

b>c

C) 1

E) –2

D) 2

M=

n

 a2  1

B) a 2n  a 2n 1  1 n

n1

C) a2  a2

n 1

D) a 2n  a 2

x 3  y3  z3 C) 9/2

D) 9

E) N.A.

a2  b2  c 2 abc

B) 3/2 2

C) 3 2

D) 2

E) 9

2

26. Si se cumple: 4x + 9y + z = 6xy + 2xz + 3yz Donde: x, y, z  

1

Calcule:

2

E) an  an  1 A) 1

12x  4z 4x  9y

B) 2

C) 3

D) 1/3

E) N.A.

1

27. Siendo: E=

20. Sean a, b, c números reales / a = b + 1 = c + 2  b  0  a1

A) –1

Halle el valor de: A) 3

x 3 y 3  y 3 z3  x 3 z3

B) 3

R=

19. Efectuar: 2 2 4 2 8 4 (a +a+1) (a –a+1) (a –a +1) (a –a +1) ... “n” factores n 1

E) 1/4

25. Si se cumple: 3 2 (x + a) (x + b) (x + c) = x + 3x + 3x + 2 Calcular el valor de:

A) 2/3

A) a 2

D) 1/3

6

bc

B) –1

C) 2

x + y + z = 36

bc a

A) 0

3 (x  y)(y  z)(z  x)

B) 1/8

A) 3/2 18. Si:

E) 1/3

24. Si se cumple: x+y+z=0 xyz = 4

E  abc 2 a2  bc b2  ac c 2  ab A) –2

D) 1/4

3

9  x 3  y 3  z3

a b c    0 b c a

calcular el valor de:

3

C) 1/2

23. Con x + y + z = 3, reducir:

E) N.A.

16. Reducir: 2 2 4 2 4 1/6 J = [(x – x + 1) (x + x + 1) (x – x + 1) (x – 1) + 1] 3 2 A) x B) x C) x + 1 D) x E) N.A.

17. Si:

B) 2

B) –3

a + b + c = 0 obtener el valor de: (2a  b)2  (2b  c )2  (2c  a)2 3(ab  bc  ac )

B) –2

C) –3

D) –4

E) N.A.

(a  1)3  b3  8(c  1)3 b(a  1)2 C) –6

21. Si: x + y + z = 5 2 2 2 x +y +z =3 (x + 1) (y + 1) (z + 1) = 17 Calcular el valor de xyz. A) 1 B) 5 C) 5

D) 6

28. Reducir: 2 2 2 R = (a + 2b + 3c) + (a – 2b + 3c) + (a+ 2b – 3c) – 2 3(–a + 2b + 3c ) A) Cero

E) 1

B) C) D) E) D) 7

E) 0

-3-

2ab – 6bc + 3ac 2 2 2 a + 4b + 9c 16ab – 48bc + 24ac 14ab + 12bc + 6ac

29. Reducir: "n" factores  

x 2  xy  y 2 x 2  xy  y 2 x 4  x 2 y 2  y 4   x 2n1y 2n1 n 1

x2

n 1

si: n = 5; resulta: 4 2 2 4 A) x + x y + y 32 16 16 32 B) x + x y + y 5 5 C) x + y

2

2

C) a +b +c D) ab+ac+bc

E) N.A.

37. Si: x, y, z son tres números reales que verifican la

y2



2

A) a + b + c B) abc

16

4 4

igualdad: 2 2 2 x + y + z + 14 = 2 (x + 2y + 3z)

16

D) x + x y + y 16 16 E) x + y

xy z

proporcionar el valor de: A) 1/6

B) 1

3

x  y3  z3

C) 2

D) 1/3

E) N.A.

30. Simplificar: 38. Sabiendo que: a+b+c=x ……………. (1) 2 ab + bc + ca = x ……………. (2) Expresar a: 3 3 3 T = (x+a) + (x+b) + (x+c) – 3abc en términos de x 2 3 4 A) x B) x C) x D) x E) N.A.

(a  b)3  (b  c )3  (c  a)3  3 ( x  y) ( y  z) (z  x) ( x  y)3  ( y  z)3  (z  x)3  3 (a  b) (b  c ) (c  a) A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

31. Determina el valor de: 3 2 2 2 3 3 3 P = (x+y+z) – 3(x+y+z) (x + y + z ) + 2(x + y + z ) Siendo:

x=

A) 150

6 , y=

B) 160

10 , z =

C) 180 3

3

39. Al cumplirse que:

15

D) 210

E) 240

9 a

b2

3

32. Si se cumple que: a + b + c = 3abc, simplificar: a8  b8  c 8 P= 7 (a  b  c )8

A) 1

B) 2

2

9

a 9 b2  =0 c c2 a b    b   c 

Determinar el valor de: C) 3

D) 1/2

E) 1/3 A) 1

B) 2

C) 1/2

9

D) 1/3

E) N.A.

33. Con a + 2b + 3c = 1,5x, simplificar: 40. Si se cumple que:

( x  a)2  ( x  2b)2  ( x  3c )2



2 a2  4b2  9c 2 A) 1

B) 1/2



C) 1/3

D) 1/5

Calcule:

E) N.A.

A) 3 (a 2  b 2  c 2  ab  ac  bc )2  (a  b  c)2 (a 2  b 2  c 2 ) 2

2

2

C) a +b +c D) ab+ac+bc

E) N.A.

35. Con abc = 0  a + b + c = 1 halle el valor de: K=

a 2  b 2  c 2 a3  b3  c 3  2 3

A) 1/3

B) 1/2 3

3

C) 1/6

D) 1

E) 0

3

36. Con a + b + c = 0 reducir:

2

Donde: y; z  

34. Simplificar:

A) a + b + c B) abc

2

5y + 9z + 1 = 12yz + 2y

3abc a(b  a)  b(c  b)  c(a  c )

-4-

y +z 3

B) 2

C) 4

D) 6

E) 1