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SISTEMAS INCOMPATIBLES Son aquellos que no admiten solución alguna. Generalmente en estos sistemas el número de ecuaciones es mayor que el número de incógnitas. Luego entonces para un sistema: Ax + By = C Dx + Ey = F
SISTEMAS LINEALES Se llama sistema de ecuaciones, o, sistema de ecuaciones simultáneas al conjunto de dos o más ecuaciones que se verifican para un mismo valor de la, o, las incógnitas. Ejemplo: El sistema:
A B C D E F
Material de Clase
5x + 2y = 7 5x – y = 3
Costa de 2 ecuaciones: 3x + 2y = 7 ............................ (I) 5x – y = 3 ............................ (II)
1.
Resolver: a. 2x + y = 8 x–y=7 b.
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS LINEALES
2.
SISTEMAS COMPATIBLES Es aquel sistema de ecuaciones que si admite soluciones. Estas a su vez podrán ser: 1)
Sistema Compatible Determinado. Si presenta un número finito de soluciones. Puede observarse que en estos sistemas existen igual número de ecuaciones que de incógnitas.
2)
calcule: (x + y) 3.
2
Del sistema: x y =1 a b x y =1 b a
, ab
Calcular x + y. 4.
Sistema Compatible Indeterminado. Si presenta un número infinito de soluciones. Un sistema de este tipo se reconoce cuando existen más incógnitas que ecuaciones.
En el siguiente sistema: ax + 2y = 12 6x – 5ay = –12 Determine el valor de a, de modo que x é y tengan el mismo valor.
5. Luego entonces para un sistema: Ax + By = C Dx + Ey = F A B C D E F
Dado el sistema de ecuaciones:
x 4y 12 5x 3y 26
Luego entonces para un sistema: Ax + By = C Dx + Ey = F A B C D E F
x + 4y = 29 7x – 2y = 8
Dado el sistema de ecuaciones determinar el valor de “x.y” 1 1 1 x y 12 1 1 1 y z 20 1 1 1 z x 15
Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730
6.
Sea (3; –1) la solución de:
14. En el sistema de ecuaciones: x 2x z x z = y ; 2 = 2 (4) , x + y + z =16 La diferencia entre la mayor y menor de las soluciones enteras.
(a b)x (a b)y 10 (2a b)x (2a 3b)y 12 calcule: a – b
15. Si a, b, c son distintos de ceros: 7.
Sea (a; b) la solución de:
x.z x.y y.z b ; a ; c xz xy zy
x 2y y 3 3 2 ; x 2 y x 7 3 2 calcule a 8.
el valor de “x”
b
Se tiene:
3 x 2y 1 0 7y z 4 0 2x 4z 3 0
Resolver los siguientes sistemas: 1.
x + y = 12 ; x–y = 4 Dar como respuesta el producto de las soluciones. A) 24 B) 36 C) 32 D) 30 E) 28
( x y ) 2 ( y z) 2 ( x z) 2 z x y
2.
10x + 9y = 8 ; 8x – 15y = –1 Dar como respuesta la suma de las soluciones. A) 1 B) 1/6 C) –5/6 D) –1/6 E) 5/6
Resolver y dar el conjunto solución de
3.
3x – (4y + 6) = 2y – (x + 18) 2x – 3 = x – y + 4 Dar como respuesta la diferencia de las soluciones. A) 1/2 B) –1 C) 2 D) –3 E) 4
Si: (x, y, z) es solución del sistema. Calcule el valor de:
9.
3 x y 7 2 x y 4 13 2 x y7
10. Hallar
x y 4 4
x.y
4.
x – y = 20
xy xy
A) x = –5, B) x = 3, C) x = 2,
x y 10 11. Dado el sistema 3x – 4y = 14 –2x – ay =16 Hallar el valor de “a” que hace que el sistema sea Incompatible.
5.
6.
12. Resolver y dar como respuesta x.y 2 3 7 3 x 2y 2 x 4 y 1 24
2 7
y=9 y=9 y = –9 2
8x y 1 =2 xy2
;
D) x = 3, E) N.A.
2
ax + by = a + b ; bx + ay = 2ab Dar como respuesta la suma de las soluciones. A) a – b C) a + 2b E) 3a – 2b B) a + b D) 2a – b 1 2 x y
7 6
2 1 x y
;
Dar como respuesta x/y A) –3/4 C) 3/4 B) 5/2 D) 1/3
1 2 7 3 x 2y 2 x 4 y 1 12
7. 13. Hallar x + y + z x.y = 12 y.z = 20 x.z = 15
-2-
y=2
x + 4y – z = 6 2x + 5y – 7z = –9 3x – 2y + z = 2 A) x = 1 , y = –2 , B) x = –1 , y=2,
4 3
E) 2/3
z=3 z=3
Sistema de Ecuaciones
C) x = 1 , D) x = 1 , E) x = 1 , 8.
9.
y=3, y = –2 , y=2,
x+y = 5 y+z = 8 z+u = 9 Hallar el valor de u. A) –2 B) 2 5 x –3 y =3 A) x = 9, B) x = 9, C) x = 4,
x
u + v = 11 v+x = 9
17. Si: 2
D) –4
C) 3
E) 4 a > 0, entonces (x + y) (x – y) = ? A) ab/3 C) (a – b)/3 B) (a + b)/3 D) (a + b)/4
25x – 9y = 81. Si x, y R
+
;
D) x = 9, E) N.A.
x
y =8,
y = 36
3x 2z
xz 8
........ (II)
yz ........ (III) 6 para luego indicar el valor de y: A) 48 B) 80 C) 60
r s rs x a y b ba
A) b
D) 18
xy xy
8 15
;
yz yz
11 . 30
Hallar x + y + z.
B) 9
20 10 x 3 y 1
=9
Hallar 2x + 3y. A) 12 B) 13
xz xz
C) 10
1 2
10 2 x 3 y 1
;
C) 18
D) 17
B) a
C) ab
21. Luego de resolver el sistema: x – 2y = –13 ........ (I) 2z + 3y = 19 ........ (II) 3x – z + 4y = 9 ........ (III) indicar el valor de: x + y + z A) 4 B) 2 C) 6
E) 11
D) 12
E) 120
........ (II)
20. Resolver el siguiente sistema: 2x + 3y – 5z = 8 ........ (I) 5x – 2y + z = 9 ........ (II) 3x – y + 2z = 9 ........ (III) A) {(3 ; 1 ; 4)} C) {(1 ; 2 ; 3)} B) {(2 ; 4 ; 3)} D) {(3 ; 4 ; 2)}
y = 36
;
C) 16
D) 36
19. Encontrar el valor de “x” del sistema: m n mn ........ (I) x a yb ba
xy + 9y = 81.
Hallar el valor de y. A) 8 B) 10
15.
........ (I)
3 y 5z
5 x 1 + 2 y 2 = 23
A) 8
xy 6
= 39
Hallar el valor de x e y. A) x = 16 , y = 25 D) x = 25, B) x = 25, y = 16 E) N.A. C) x = 36, y = 25
14.
5x 4y
y
11. (a + b) x + (a – b) y = 15 (2a – 3b) x + (2a – 5b) y = a + 2b Si el sistema anterior admite como solución x = 3, y = –7 , hallar el valor de a. A) 30 B) –30 C) –60 D) 60 E)–45/2
13. 2 x 1 – 3 y 2 = –6
E) (a – b)/4
18. Resolver el sistema:
Dar como respuesta la diferencia de las soluciones. A) 36 B) 32 C) 34 D) 30 E) 28
16x – 24
2
xy – 8 = 0
12. 4 x + 3 y
2
2x – 4y = a 2 2 x + y = b,
y = 25 y = 16 y = 25
10. 0,5 (x + y) –
2
16. b (a – b) x – az = –b (a + b ) 2 (a + b) x – 2z = (a – b) . Hallar x. A) a + b C) 2ab E) a B) a – b D) –2ab
z=2 z = –3 z=3
D) a–b
E) a+b
E) {(2 ; 5 ; 4)}
D) 1
E) 8
D) 6
E) N.A.
22. Al resolver el sistema: 1 3 5 ........ (I) x y 1 4
E) 14
4 7 1 x y 1 4
=1
hallar xy. A) 2
E) 15 -3-
B) 1
........ (II)
C) 3
Sistema de Ecuaciones
29. Determinar el valor “m” para que el sistema propuesto presente infinitas soluciones: mx + y = 3 .... (1) 6x + (m – 1) y = 2m .... (2) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
23. x + y + z = a 2 2 2 (x + y) – z = b 2 2 2 (x + z) – y = c Dar como respuesta el valor de x. 2 2 2 2 A) a + b D) b – c 2 2 2 2 B) (b + c ) / 2a E) (b + c ) / 2a 2 2 C) (a – c ) / 2b
30. Determinar el valor de “k” para que el sistema: 2x – 5y + 3z = 0 ........ (I) x–y+z=0 ........ (II) 3x + ky + z = 0 ........ (III) sea indeterminado. A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
24. bz + cy = a cx + az = b ay + bx = c Dar como respuesta el valor de y. 2 2 2 A) (a + c + b ) / 2 2 2 2 B) (a + c – b ) / 2ac 2 2 2 C) (b + c – a ) / 2 2 2 D) (a + b ) / 2 E) a + b
31. Resolver: (a + b) x – (a – b) y = 4 ab 2 2 (a – b) x + (a + b) y = 2a – 2b Indicar el valor de: y A) a B) b C) a – b
25. Si: y + z + w – x = a z+w+x–y = b x+w+y–z = c x+y+z–w = d Entonces x vale: A) (b + c + d – 2a) / 2 B) (b + c + d – a) / 2 C) (b + c + d – a) / 4 D) (b + c + d – 2a) / 4 E) N.A.
14 16 B) 3a
2y 3 x + 2y = 3x + 4 3 A) 4 B) 30 C) 45
(x2 y2 ) z
E) N.A.
D) 4
E) 5
x y z 2 3 4 2z – x + y = 45 xz Hallar el valor de: y
A) 1
B) 2
C) 3
.......... (2) C) 3b
D) 2b
34. Resolver el sistema: 2x + y + z = 8 5x – 3y + 2z = 3 7x + y + 3z = 20 2 2 Señalar (x + y ) A) 10 B) 13 C) 4 D) 5
E) 6a
x y ax + by – z = c =z; a b 2 2 donde a, b y c son constantes tales que: a + b = 2c, 2 2 2 entonces: x + y + z es igual a:
B)
D) 56
33. Resolver:
27. Si:
x2 y2 A) 2z
E) 2a
32. Resolver y dar como respuesta x.y: x2 yx = 2x – 8 7 4
26. Resolver y dar el valor de “y” x y 1 .......... (1) 4a 9b 6 x y 6a 5b A) 2a
D) a + b
x2 y2 C) z D)
2
35. Resolver el sistema: xy a ; xy bc
2
E) x + y
(x2 y2 ) 2z
xc ab yb ac
Señalar el valor de: (y – b – a) A) c B) c – 2b C) 0 36. Resolver el sistema: 3x + 2y – z = 3 –2x + y + 3z = 5 4x – y – 2z = –1 e indicar el valor de “y” A) 2 B) –2 C) 1
28. ¿Qué valor debe tener “a” para que x sea igual a y en el siguiente sistema? ax + 4y = 119 5x – ay = 54 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
-4-
E) 36
D) a
E) 2c
D) –1
E) 0
Sistema de Ecuaciones
