Álgebra(Teoria y Practica) ELITE X 5 Factorización

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ME CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA 5 ÉLITE ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

Ejemplos: 1. Factorizar: 2 2 P(x,y) = 2x y + 3xy + xy

FACTOR ALGEBRAICO Un polinomio “F” no constante será factor algebraico de “P” si y sólo si “P” es divisible por “F.

2.

Factorizar: A(x,y) = (x + 2) y + (x + 2) x + (x + 2)

AGRUPACIÓN

Ejemplos: 3 2  P(x) = (x + 2) (x + 1)

Consiste en agrupar términos convenientemente tratando que aparezca algún factor común.

Son factores algebraicos de P(x):

Ejemplos: 1. Factorizar: 2 x + x + xy + y – xz – z 2.

Factorizar: 2 x + ax + x + xy + ay + y

ASPA SIMPLE Forma general de polinomio a factorizar:

FACTOR PRIMO

2n

P(x,y) = Ax

Un polinomio “F” será primo de otro polinomio “P” si “F” es factor algebraico de “P” y primo a la vez.

n



6

2

P(x) = (x) (x + 2) (x – 1) Son factores primos de P(x):

FACTORIZACIÓN Es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplicación indicada de sus factores primos o sus potencias. Multiplicación

P(x) = Ax

1.

Factorizar: 2 2 2x + 7xy + 6y

2.

Factorizar: 2 (x + y) – 2 (x + y) + 1

TEOREMA Sean f(x) y g(x) polinomios primos y primos entre sí, tal que: P(x) = f(nx ) . g(px )

2

CRITERIOS PARA FACTORIZAR POLINOMIOS

n

+ Bx + C

Ejemplos:

P(x) = x + 3x + 2  (x + 1) (x + 2) Factorización

2m

m, n  N 2n

Ejemplos: 3 2 6  P(x) = (x + 2) (x + 1) (x + 5) Son factores primos de P(x):

m

+ Bx y + Cy

i) ii)

Números factores primos = 2 Números factores algebraicos = (n + 1) (p + 1) – 1

Ejemplo: 3

FACTOR COMÚN

Sea P(x) = (x + 2) (x + 4)

Consiste en buscar factores comunes a todos los términos de un polinomio para luego extraerlos a su menor exponente.

i) ii)

Números factores primos = Números factores algebraicos =

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4

Ejercicios 1.

Factorizar: 3 2 A) 2bx – 3abx + 2cx – 3ac 2 2 B) ax + a x + bx + ab – a – x 8 10 C) 25y – 49a 2

13. Factorizar: 2m+3 m+1 2 –2 –15 14. Luego de efectuar la factorización de: y+1 x+1 2x 2 2 x y x 4 x + y + (x + y) (x – 2xy + y ) + x y + xy – (x 4 2 2 x + y – 2x y ) indicar uno de los factores

2

D) a /81 – b /36 2.

3.

Factorizar: 2 2 A) x – (y – z) 6 B) 27x + 1 3 C) 8x – 343 2 D) 6x + 7x + 2

15. Indicar el factor de mayor grado en: 3

2 6

2

2

2

2

2

3

3

3

2

2

17. Factorizar: P = a + 9b + 3(a b + ab ) indicando uno de sus factores

Factorizar: 2 2 (a + b) + 2(a + b)(c + d) + (c + d)

5.

Factorizar: 2 3 2 3 a +a –b –b Dar como respuesta la suma de sus factores primos

6.

Hallar el numero de factores primos de: 7 3 5 64a b – a b

18. Indicar la suma de sus factores primos en: 2 4 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2 3a b – a b (a – b ) + (a – b ) (a + b ) – 3a b

7.

Factorizar: n+2 n 3 2 x +x +x –x +x–1

8.

Factorizar. (x + 1)(x + 2)(x – 2)(x + 5) – 13 Dar como respuesta la suma de sus factores primos

9.

Factorizar: 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 x y + x y + x yz + yz + xyz + xz + y z + x z

2

3

3

4

2

8

1.

Factorizar: 8x y – 12x y + 20x y ; e indicar el número de factores en total. A) 24 B) 23 C) 21 D) 19 E) N.A.

2.

Factorizar: Z = ac + bc + ay + by + a + b A) (a + b) (c + y) D) (a – b) (c + y + 1) B) (a + b) (c + y + 1) E) (a – b) (c + y – 1) C) (a + b) (c + y – 1)

3.

Factorizar: 4a x – z 2 2 A) (2x + z) (2ax – z) 2 2 B) (2ax + z) (2x – z) C) (2ax + z) (2ax – z)

10. Factorizar: 2

2

16. Hallar la suma de los factores de: 2 R = (x + y + z) + (x + y – 1)(x + y + z) – (x + y)

3

a b – 4ab + 4 2 2 x + bx + b /4 4m 2m x – 8x + 15 m+2n m+n m x + 7x + 10x

4.

E =

2

(x + y) (x – y ) + 2(x + y) (x – y )z – 2(x – y ) z 4 – (x – y)z

Factorizar: A) B) C) D)

2

12. Factorizar : x + 26x + 25 Dar como respuesta el número de factores de segundo grado.

2

4

2

2

2

D) (2ax + z) (2ax – z) 2 2 2 E) (2ax + z) (2ax – z )

2

(a + ab + bc + ca) (bc + ca + ab + b ) (bc + ca 2 + ab + c )

4.

11. Factorizar: 9 5 2 2 7 (x + y) (x – y) – (x – y )

2

2

Factorizar: (2x – 3) – (x – 5) A) (4x – 5) (2x + 1) D) (3x + 5) (x – 2) B) (3x – 8) (x + 2) E) N.A. C) (x + 7) (x + 2)

-2-

Factorización

5.

6.

7.

2

2

6

Factorizar: 4x – (x + y) ; e indicar el factor primo de mayor suma de coeficientes A) 3x – y C) 4x – y E) x + y B) 3x + y D) 5x + y 2

14. Al factorizar x – 1 resulta que el número de factores trinomios es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

Factorizar: 4x + 12xy + 9y 2 2 2 A) (2x + 3y) C) (3x + 2y) 2 2 2 B) (2x – 3y) D) (2x – 3y)

E) N.A.

2

4n

2n

16. Factorizar: x – 2x factores primos. A) 1 B) 2

6

Factorizar: 8x + 343 e indicar la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos A) 5 B) 12 C) 39 D) 45 E) N.A.

17. Factorizar: 8.

4

15. Factorizar: x – 13x + 36; e indicar el número de factores binomios. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.

2

6

Factorizar: 27x – 125 2 4 2 A) (3x + 5) (9x + 15x + 25) 4 2 B) (3x – 5) (9x + 15x + 25) 2 2 2 C) (3x – 5) (9x + 15x + 25) 2 4 2 D) (3x – 5) (9x – 15x + 25) 2 4 2 E) (3x – 5) (9x + 15x + 25)

A) B) C) D) E)

3

9.

4

2

2

2

2

(mn – 1) 2 2 (mn + 1)

C) (m n – 1) 2 2 D) (m n + 1) 2

E) (mn + 1)

2

2

n

m

C) x – 7 m D) x + 2

E) N.A.

20. Indicar el número de factores trinomios luego de factorizar: 2 (x + 2) (x + 1) (x + 3) – 5x(x + 4) – 27 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) más de 3

2

4m – 4m(n – m) + (n – m) 2

A) (3m – n) 2 B) (3m + n)

m+n

19. Factorizar: mn + pq + n + mq + pn + q A) (n + q) (p + n) B) (n + q) (q + n) (m + n) C) (q + n) (m + p + 1) D) (q + n) (m – p – 1) E) N.A.

2

2

2 2

(1 + a) (a + a + x) 2 2 1 + a ) (1 + a + x ) 2 2 (1 – a) (a – ax + x ) 2 (1 + a ) (a + 2ax + a) N.A.

n

11. Factorizar: (4x ) – 8 (4x ) – 105 2 2 A) (4x + 15) (4x – 7) 2 2 B) (x – 15) (x + 7) 2 2 C) (4x – 15) (4x + 7) 2 2 D) (4x + 15) (x – 7) 2 2 E) 4 (x + 15) (x – 7) 12. Factorizar:

2

E) N.A.

2

A) x m B) x – 2

10. Factorizar: (x + z) – (y – w) A) (x + z + y + w) (x + y – z – w) B) (x – z – y – w) (x + y + z + w) C) (x + z + y – w) (x + z – y + w) D) (x + y) (y + w) E) N.A. 2 2

D) 4

18. Factorizar: x – 9x + 14x ; indicar el factor de mayor suma de coeficientes.

2

Factorizar: m n + 2mn + 1 A) B)

C) 3

a +a+a +1+x +a x

2m+n

2

– 24; e indicar elo número de

C) (2m + n) 2 D) (2m – n)

21. Factorizar e indicar el número de factores binomios 2 (x + 3) (x – 1) (x + 4) (x – 2) – x – 2x + 8 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

2

E) N.A. 22. Factorizar: 1 + x(x + 1) (x + 2) (x + 3) 2 2 2 2 A) (x – 3x + 1) D) (x + 3x + 1) 2 2 B) (x + 3x – 1) E) N.A. 2 2 C) (x + 3x – 1)

3

13. Factorizar: 216a – 1 2 A) (6a – 1) (36a + 6a + 1) B) (8a + 1) (8a – 1) 2 C) (8a – 1) (64a + 8a + 1) 2 D) (6a + 1) (36a – 6a + 1)

4a

2a

23. Factorizar: x + 8x + 15 2a 2a 2a 2a A) (x + 9) (x + 6) D) (x – 5) (x – 3) 2a

2a

B) (x – 8) (x – 7) 2a 2a C) (x + 5) (x + 3)

E) N.A.

-3-

E) N.A.

Factorización

p+2q

p+q

p

2m+3

34. Factorizar: 3 – 11 . 3 m+2 m+1 A) (3 – 4) (3 – 5) m+2 m+1 B) (3 + 4) (3 – 5) m+1 m+2 C) (3 – 4) (3 – 5)

24. Factorizar: x + 7x + 10x p p q A) x (x + 2) (x + 5) p q q B) x (x + 2) (x + 5) p q p C) x (x + 2) (x + 5) q

2

35. Señalar el factor de menor suma de coeficientes del polinomio: x (2x + 1) + y (2y + 1) + 4xy A) x + y C) x + y + 1 E) x y + 4 2 2 B) x + xy + y D) x + y + 2

2

25. Factorizar: (m + n) – 2(m + n) (p + q) + (p + q) 2 2 A) (m + n + p + q) D) (m + n – p + q) 2 2 B) (m – n + p – q) E) (m + n + p – q) 2 C) (m + n – p – q) 2

3

3

26. Indicar un factor de: m – n + m – n

y

x

y+1

27. Factorizar: x y + xy + x y x A) (x + y) (x + y ) y+1 x+1 B) x + y y x C) (x + y ) (x – y) 5

4

36. Señalar cuál no es un factor de: 4 4 3 2 3 4 3 2 4 3 x y – x z + x y – x yz + xz – z y + yz – xyz 2 2 A) x – z C) x – xy + y E) N.A.

2

C) m – n D) m – 2n

m+n 2m + n

E) 2m – 2n

2

C) 4

D) 5

2

C) 11

D) 13

E) 8

39. Factorizar e indicar uno de sus factores primos.

30. Indicar uno de los factores de: x(x + 2)(x + 3)(x + 5)+5 2 2 A) x + 5x + 1 C) x + 5x – 5 E) x – 1 2 2 B) x + 5x – 1 D) x – 5x + 5 2

2

2

2

7

2

2

5

2

10

5

2

– (x + 1) . (x + 1)

2

2

2

2

40. Factorizar: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8a [ab (x – y ) + xy (a – b )] + 2a [(a – b ) (x – y ) 2 – 4abxy] 2 2 2 2 2 A) 4a (a – b ) (x + y )

32. Factorizar: (1 + ab) – (a + b) e indicar uno de sus factores A) 2a + b C) 2a – 1 E) a + b B) b – 2a D) 1 – b 33. Factorizar: (x + 1) . (x + 1) 5 2 10 A) (x + 1) (x + 1) 5 2 10 B) 2(x + 1) (x + 1)

2

x(1 – y )(1 – z ) + y(1 – x )( 1 – z ) + z(1 – y )( 1 – x ) A) x + y + z – xyz D) 1 – xy – xz – yz B) 1 – xy +xz + yz E) Más de una C) x + y + z + xyz

31. Señalar uno de los factores de: x +y –z –2xy+18z–81 A) x + y + z – 9 C) x – y – z – 9 E) x + y – z –9 B) x + y + z + 9 D) x – y + z – 9 2

2

38. Factorizar e indicar la suma de los coeficientes de uno de sus factores primos. 12 8 4 6 2 a – 6a + 5a + 2a – 6a + 1 A) 1 B) 2 C) 3 D) –1 E) –2

c

29. Al factorizar: (3x – 2) – (6x – 5) se obtuvo: a(x+b) . Hallar “a + b + c” B) 10

2

E) 6

2

A) 12

2

D) a + b – c – (a + b + c) E) N.A.

expresión de la forma: (x – 1) . (x + 1). Hallar “ + ” B) 3

D) x + xz + z

37. Factorizar: 3 2 3 2 3 2 a (c – b ) + b (a – c ) + c (b – a ) + abc (abc – 1) y señale la suma de sus factores: 2 2 2 A) a + b + c – (a + b + c) 2 2 2 B) a + b + c + a + b + c 2 2 2 C) a – b + c – a + b + c

x+1

+y x y D) (x + y ) (x + y) E) N.A.

3

2

B) y – z

28. Al factorizar: x – x – 2x + 2x + x – 1 se obtuvo una A) 2

– 20 m+1 m–1 D) (3 + 2) (3 – 2) E) N.A.

q

D) (x + 2) (x + 5) p+q p+q E) (x + 2) (x + 5)

A) B)

m+1

B) C) D) E)

11

2

2 2

2

2 2

2a (a + b ) (x + y ) 2 2 2 2 2 2 4a (a + b ) (x – y ) 2 2 2 2 2 2 2a (a – b ) (x – y ) N.A.

10

C) 2x(x + 1) (x + 1) 2 5 2 10 D) 2x (x + 10) (x + 1) 5 2 10 E) 4x (x + 1) (x + 1)

-4-

Factorización