Es un conjunto de dos o más ecuaciones en el cual las expresiones matemáticas que intervienen en el sistema pueden ser algebraicas o no algebraicas, como:
x2 y2 16 xy 5
;
6.
Resolver el sistema y hallar xy: 2 2 x + xy + y = 3 ..............(I) x + xy + y = 3 ..............(II)
7.
Hallar el conjunto solución de: 2 2 x – y = 4(x – y) ..............(I) 2 x = y(x + 6y) ..............(II)
8.
Resolver el sistema: x + 3 x y z = 19 y – 4 x y z = –10
xy 5 ; .......... xy5
Para resolver este tipo de sistemas no existe un método general, sin embargo de acuerdo a la forma que presenta el sistema, se resolverá utilizando capítulos anteriores ya vistos como productos notables, factorización, diversos artificios.
xyz = 7
z+
Indicar el producto de: x, y, z 9.
Resolver el sistema de ecuaciones y hallar la suma de 3 3 los valores de x. x – y = 19 (x – y) 3 3 x + y = 7 (x + y)
10. Resolver en los números reales:
x 2 xy y 2 1 y 3 x y 1 1.
Resolver el sistema de ecuaciones: 2 x + xy + xz = 31 2 xy + y + yz = 32 2 xz + yz + z = 18 Hallar x + y + z
2.
Resolver:
3.
Luego de resolver el sistema:
x y 10 ( x 5)( y 2) 36
x3 y3 9 xy3 Indique el número de soluciones. 4.
3x 2 y y3
12. Resolver el sistema de ecuaciones: 4 2 2 4 x + x y + y = 91 2 2 x – xy + y = 7 Hallar x + y 13. Al resolver el sistema: 2 1 3 2 2 5 x y 1 2
2 2
11 20
x y 1 Indique la suma de los valores que toma “x”.
91 37
x + y = 16 5.
x5 y5
x10 11. Si x y, calcule la suma de valores de x que toma en las soluciones del sistema 2 x = 13x + 4y ..............(I) 2 y = 4x + 13y ..............(II)
3
Del sistema:
x3 3xy2
Indique el valor de:
Del sistema:
2x 3 y 4 8x 2 y 6 Indique el valor de “y”
14. Resolver el sistema de ecuaciones: 2 2 x y + xy = 120 3 3 x + y = 152 Hallar x y 15. Al resolver el sistema: 2 x + 2y = a 2 y + 2x = –2 – a / {x ; y} Halle el valor de (x + y)
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yz = 30 ........ (III) indicar el valor de: x – y + z A) 4 B) –1 C) –2 D) –4
16. Resolver el sistema de ecuaciones: xy z xy
=2 8.
xy z 6 yz 5 xy z 3 zx 2
9.
1.
Resolver el sistema: x + y = 11 xy = 28 A) x =
7 ;y=4 B) x = 4 ; y = 7 C) x = 2 ; y = 14
D) x = y =
Si: xy + x = 12 ........ (I) xy + y = 15 ........ (II) hallar la suma de los valores de x. A) –4 B) –2 C) 6 D) 2
E) –6
Resolver el siguiente sistema: 2 2 x + xy + y = 13 ; x > y x+y=4 para luego indicar el valor de: x + 3y A) 6 B) 5 C) 4 D) 7
E) 7/2
10. La suma de todos los valores para x y, que satisfacen el sistema: 1 1 = 41 x y
2+4
E) x = y = 1
1 2.
3.
4.
5.
6.
7.
Cuántas soluciones reales tiene el sistema: x + y = 19 xy = 15 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 Si (x0 ; y0) es la solución del sistema: x + y = 3 ........ (I) xy = 2 ........ (II) donde: x0 > y0; calcular: 2x0 – 3y0 A) 7 B) 2 C) 0 D) 1 Si (x0 ; y0) x + y = –8 (x + 4) (y + 8) = 4 . donde; calcular: x0 – 2y0 A) 10 B) 12 C) 0
E) –5
x A) E) N.A.
40 390
B)
2
1
y2
82 390
= 901, es:
C)
80 390
D)
72 390
E)
41 390
11. Calcular el menor valor de x que satisface el sistema: 2 2 x + y + 2(x + y) = 23 ........ (I) 2 2 x + y + xy = 19 ........ (II) A) 1 B) 2 C) –7 D) –5 E) –3 E) 5 12. Sean x0 ; y0 las soluciones positivas del siguiente sistema de ecuaciones:
x y 25 y x 12
........ (I) ....... (II)
2
D) 15
........ (I)
2
x –y =7 ........ (II) Entonces el valor de: 2x0 + 3y0 es: A) 15 B) 17 C) 18 D) 19
E) N.A.
Resolver el sistema: 2 2 x + y = 10 ........ (I) xy = 3 ........ (II) para luego indicar el número de soluciones que admite. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Indicar el menor valor de “y” luego de resolver el sistema: 2 2 x + y = 29 x+y=3 A) 1 B) –1 C) 2 D) –2 E) –5
13. Luego de resolver el sistema: 3 3 x + y = 335 x+y=5 indicar un valor de: xy A) 14 B) –14 C) 12 14. Resolver el sistema: 2 x + xy + xz = 18 2 y + yz + yx = –12 2 z + zx + zy = 30 e indicar un valor de: x + y + z A) 6 C) –6 B) –4 D) 12
Luego de resolver el sistema: xy = 15 ........ (I) xz = 18 ........ (II) -2-
D) 8
E) 12
E) N.A.
........ (I) ........ (II) ........ (II) E) Más de una
Sistema de ecuaciones No Lineales
15. Si (x0 ; y0) 2 2 x + 2xy + 2y = 10 2 x+y+y =4 indicar un valor de: x0 + y0 A) 3 C) –3 B) –2 D) 2
obtener el valor de: x0 + y0 A) 10 B) 12 C) 100
........ (I) ........ (II)
A) 1
E) N.A.
17. Dado el sistema: xy (x + y) = 420 3 3 x + y = 468 calcular 2x + 2y A) 12 B) 22 C) 16
E) 24
D) 18
B) 2
C) 3
26. Luego de resolver el sistema: 2 2 2 x + y + z = 14 xy + xz – yz = 7 x+y+z =6 indicar un valor de: x – y + z A) –2 B) 3 C) 4
19. Resolver el sistema:
E) 5
........ (I) ........ (II) ........ (III)
D) 5
E) 1
27. El valor positivo de: x + y + z deducido del sistema: 2x + y + z = xy + yz ........ (I) 2y + x + z = xz + xy ........ (II) 2z + x + y = xz + yz ........ (III) 2 2 2 x +y +z =2 ........ (IV) es:
E) Más de una
20. Qué valor de “x” verifica el sistema: 2 2 x + xy + y = 49 4 2 2 4 x + x y + y = 931 hallar: x + y A) 8 B) –7 C) 9 D) –12
D) 4
25. Si x, y z son enteros no negativos, entonces con respecto a las soluciones del sistema: 3 3 3 x – y – z = 3xyz ........ (I) 2 x = 2(y + z) ........ (II) se concluye que: A) Existen cuatro soluciones B) Existen tres soluciones C) Existen solo dos soluciones D) No existen soluciones enteras E) Existen más de cuatro soluciones
18. Hallar x + y + z, si: x, y z, son las soluciones positivas del sistema: x + y = 12 y+z=8 xz = 21 A) 18 B) 20 C) 12 D) 25 E) 15
x y z 2 3 6 2 2 2 x +y +z =1 hallar: 7x + 7y + 7z A) 11 C) –12 B) –11 D) 12
E) 1000
24. Calcular: x + y del sistema: 2 2 x + y + xy = 49 ........ (I) x + xy + y = –19........ (II)
E) Más de una
16. Al resolver el siguiente sistema: 3 3 x + y = 24 ........ (I) 2 2 x y + xy = 1 ........ (II) 2 2 hallar x – xy + y A) 1 B) 12 C) 9 D) 8
D) 120
A) 2 + 6
C) 3 – 6
E) –1 + 6
B) 1 + 6
D) –2 + 6
28. Proporcionar la suma de los valores positivos de x que se obtienen al resolver: 2 2 x + y + x + y = 18 ........ (I) xy(x + 1) (y + 1) = 72 ........ (II) A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
E) N.A.
21. Calcular: z, del sistema: x(x + y + z) = 16 y(x + y + z) = 16 z(x + y + z) = 4 A) 1/3 B) 2/3 C) 1 D) 4/3 E) N.A. 22. Cuántas soluciones racionales presenta el sistema: 2 2 x – xy + y = 3 ........ (I) 2 2 2x – xy – y = 5 ........ (II) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.
29. Luego de resolver el sistema:
x 2y 3x 4
........ (I)
(2x y)2 ( x y)2 3 ........ (II)
indicar un valor de x. 23. Si (x0 ; y0) es la solución del sistema: 2 2 (x – y) (x – y ) = 160 2 2 (x + y) (x + y ) = 580
A) 3
........ (I) ........ (II) -3-
B) –1
C) –
1 3
D)
13 3
E)
7 3
Sistema de ecuaciones No Lineales
30. Si x0 ; y0 son las soluciones positivas del sistema: 2 2 2x + 3xy + y = 70 2 2 6x + xy + y = 50 calcular el valor de: 2x0 + y0 A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 8
38. Luego de resolver el sistema: x+y=1 4 4 x + y = 337 indicar el mayor valor de x. A) –2 B) 4 C) 5
D) 7
E) –4
31. La suma de todas las “x” más la suma de todas las “y” que satisface el sistema de ecuaciones: 2 2 3x + 3y + x – 2y = 20 2 2 2x + 2y + 5x + 3y = 9 ; es: E) 2
39. Si x0 , y0, z0; es la solución del sistema: –1 –1 –1 x +y +z =1 xy + xz + yz = 27 x + y + z =9 calcular el valor de: x0 – 2y0 + z0 A) 0 B) 6 C) 3 D) 9
E) 12
E) 10
40. Calcular el valor de 3x – 2y del sistema: 2 2 2 x (1 + y ) + y = 49 x + xy + y = 11 A) 0 B) 4 C) –2 D) 5
E) A D
A) 1
B) 0
D) –1
C) 2
32. Calcular: x + y, del sistema: 2 2 2 (x + 1) + (y + 1) = (10 – x – y) xy + x + y = 11 A) 5 B) 6 C) 16 D) 14 33. Calcular: x + y, del sistema: 3
A) 1
x3
3
5y =4
x–y=8 C) –2 D) 2
B) –1
E) 4
34. Halle la diferencia del mayor valor de x con el menor valor de z, que verifica en sistema: x+y+z = 9 2 2 2 x + y + z = 35 xy = 15 A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
35. Si x0 ; y0 son las soluciones del sistema: 2 2 x + 3y = 37 x–y = 3 calcular el valor de: x0 + y0 A) 5
B) 3
C) 9
D) 7
E) 14
A) 6 B) 4 C) 9 D) 5 37. Si: (x0 ; y0), es la solución del sistema: 2 2 x + y = 45
E) 12
36. Luego de resolver el sistema: x + y + z = 19 2 2 2 x + y + z = 133 2 x = yz indicar el mayor valor de z.
