5. Trigonometria_5_Identidades Trigonometricas I

Trigonometría Identidades Trigonométricas I

Regular 5

ITMPI2T5

Desarrollo del Tema

I.

IDENTIDAD TRIGONOMÉTRICA 

B. Identida Identidades des por cociente 1. Tanθ = Senθ Cosθ

Una identidad trigonométrica es una igualdad que contiene expresiones trigonométricas que se cumplen para todo valor admisible de la variable.

2. Cotθ =

Cos θ Senθ

Ejemplos Identidad Algebraica: Algebraic a: (a+ (a+b) b)² ² = a² + 2ab + b² Identidad Trigonométrica: Sen²θ + Cos²θ = 1 Ecuación Trigonométrica: Senθ + Cosθ = 1 Para: θ = 90º Cumple Para: θ = 30º No cumple

C. Identidades recíprocas 1. Senθ . Cscθ = 1 2. Cosθ . Sec θ = 1 3. Tanθ . Cotθ = 1

Observaciones: Sabiendo que: Sen²θ + Cos²θ = 1 Despejando: Sen²θ = 1 – Cos²θ→ Sen²θ = (1 + Cos θ)(1–Cosθ)  Así mismo: Cos²θ = 1 - Sen²θ → Cos²θ = (1 + Sen θ) (1–Senθ)

II. IDENTIDADES FU FUNDAMENTALES NDAMENTALES Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas. Se clasifcan: Pitagóricas Por cociente Recíprocas • •

III. IDENTIDADES AUXILIARES

•

•

 A. Identidades Identidad es pitagóricas pitagórica s I. Sen²θ + Cos²θ = 1 II. 1 + Tan Tan²²θ = Sec²θ III. 1 + Cot²θ = Csc²θ

• • • •

Sen4θ + Cos4θ = 1  1 –  – 2Sen²  2Sen²θ . Cos²θ Sen6θ + Cos6θ = 1  1 –  – 3Sen²  3Sen²θ . Cos²θ Tanθ + Cotθ = Sec θ • Cscθ Sec²θ + Csc²θ = Sec²θ • Csc²θ (1+Senθ + Cosθ)² = 2(1 + Senθ)(1 + Cos θ)

Problemas Resueltos

Problema 1 Simplifque: W=  A) B) C) D) E)

Sena + Cosa  – (Sena – Cosa) Cos a . Sena W= 2 Sen a – Cos2a Sen a . Cos a

(Cosa – Sena)(Sec a + Csca) Tga – Ctga

 – (Sen2a – Cos2a) W= Sen2a – Cos2a

2 –2 1/2 1 –1

W = –1 Respuesta: E)–1

Resolución: 

(Cosa – Sena) W=

Sena Cosa

1 1 + Cos a Sena Cos a  – Sena

Trigonometría / REGULAR 5

Problema 2 Simplifque: (Sec2x + Sen2x – Tg2x)2 – Cos4x Q= (Csc2x + Cos2x – Ctg2x)2 – Sen4x

1

Integral Turno Mañana 2016 - I

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS I  A) B) C) D) E)

1 Tg2x Ctg2x Sec2x Csc2x

Problema 3 Simplifque: Cosb + Tgb Senb – Secb + Tgb  A) 2 Senb C) Tgb E) Ctgb

Resolución: 

B) 2 Cosb D) Secb

1 Q=

Resolución: 

(Sec2x – Tg2x + Sen2x)2 – (Cos2x)2 2

2

2

2

2

 V = Cosb +

2

(Csc x – Ctg x – Cos x)  – (Sen x) "1"

Q=

(1 + Sen2x)2 – (1 – Sen 2x)2 (1 + Cos2x)2 – (1 – Cos 2x)2

=

Senb Cosb

Senb –

1 Cosb

Senb

+

Cosb

Sen2b 1 Senb  V = Cosb + – + Cosb Cosb Cosb

4(1)(Sen2x) 4(1)(Cos2x)

Cos2b + Sen2b – 1 + Senb  V = Cosb

Q = Tg2x

 V = Tgb Respuesta: B) Tg2x 

Respuesta: C) Tgb 

Problemas de Clase NIVEL I

1.

2.

Si Sena  – Cos a = Tg30°. Calcular el valor de Sen4a + Cos4a  A) 5/9 B) 7/9 C) 1 D) 11/9 E) N.A Si:

7.  

2 + Sena = 2 ; calcular: Tg a + 2Ctga 1 + Cosa

 A) 2 D) 5 3.

6.  

B) 3 E) 6

Simplifcar la expresión: (Seca – Cos a)(1 + Ctg2a)  A) Sen a B) Cos a D) Ctga E) Sec a

Reducir la expresión: (Sen2a – Cos2a) Csc2a + Ctg2a  A) 0 B) 1 D) 3 E) 4

C) Tga

C) 2

C) 4 8.  

Si: Secx – Tgx = 0,75; entonces el valor de: Secx + Tgx, es:  A) 2/3 B) 4/3 C) 3/2 D) 3 E) 4

Si: SenxCosy = 3Seny Cosx hallar: Sen(x + y) SenyCosx  A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

NIVEL II

9.   4.

5.

Si 1 + Tgx = aSecx y 1 – Tgx = bSecx Calcular: a2 + b2  A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) N.A

 A) 1 D) 4

Si x ∈ IIIQ y además se cumple: Sen2 x + Csc2x = a2 – 2, a > 0. Entonces el valor de Senx + Cscx es:  A) – 2a B) – a C) a D) 2a E) N.A

Trigonometría / REGULAR

5

Si CosxCosy = 3SenxSeny Hallar: Cos(x – y) E= SenxSeny B) 2 E) 5

C) 3

10. Si: x – y = 60° hallar: M = (Cosx + Cosy)2 + (Senx + Seny)2  A) 1 B) 2 C) 3 D) 1/2 E) –1

2

Integral Turno Mañana 2016 - I

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS I 11. Reducir:

NIVEL III

Tgx + Tgy E= Tg(x + y)  A) 1 D) 4

+ Tgx Tgy 14. Si: (1 – Sen θ) Sec2 θ = 2

B) 2 E) 0

 A) B) C) D) E)

12. Si: x + y = 45° Tgx = 1/3 hallar: Tgy  A) 1/2 B) 1/4 D) 1/6 E) 1/8

C) 1/5

13. Si: Tg(x + y) = 5 Tgy = 2 hallar: Tgx  A) 1/11 B) 2/11 D) 4/11 E) 5/11

Trigonometría / REGULAR

calcular el valor de: Senθ + Csc θ

C) 3

15. Si Cosθ + Sec θ = 3. Calcular el valor de: Sec2θ – Sen2θ  A) 6 B) 9 C) 12 D) 15 E) 18

C) 3/11

5

– 5/2 –3/2 –1/2 1/2 3/2

3

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