FUNCIONES TRIGONOMETRICAS La acción de bombeo del corazón consiste en la fase sistólica en la !e la san"re #asa del $entr%c!lo iz!ierdo &acia la aorta' ( la fase diastólica d!rante la c!al se rela)a el m*sc!lo cardiaco+ En ocasiones' la f!nción c!(a "r,fica se m!estra a contin!ación sir$e #ara &acer !n modelo de ciclo com#leto de este #roceso
CIRCULO TRIGONOMETRICO -UNITARIO -UNITARIO.. El c%rc!lo !nitario es el que tiene un radio igual a 1 y su centro está en el origen de un plano xy plano xy . 2 2 Su ecuación es x + y = 1
/!ntos sobre la circ!nferencia del c%rc!lo !nitario Suponga que t es un número número real. Recorramos Recorramos una distancia distancia t a lo largo del (1, 0) y desplazándonos círculo círculo Unitario, empezand empezando o en el punto (1, desplazándonos en sentido contrario al de las manecillas del reloj si t es positia, o !ien, en el sentido de las las mane maneci cill llas as del del relo relojj si t es negatia "er #igura$. %sí llegamos al punto P ( x, y ) so!re el círculo unitario. El punto P ( x, y ) o!tenido ido de esta manera se llama #! #!nt nto o so sobr bree la circ!nferencia determinado por el número real t .
Julio Flores Dionicio
Pá giná 103
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 0E NUMEROS REALES Recu Recuer erde de que que enco encont ntra rarr el punt punto o P ( x , y ) so!re so!re la circu circun#e n#eren rencia cia para para un número real dado t , recorremos una distancia t a lo largo del círculo unitario, empeza empezando ndo en el punto punto (1, 0) . &os moemos en sentido contrario al de las maneci manecilla llas s del reloj si t es positia positia y en el senti sentido do de las manecil manecillas las si t es negatia. A&ora !samos las coordenadas x ( y del #!nto P ( x, y ) #ara definir $arias
f!nciones+ f!nciones+ /or e)em#lo' definimos definimos la f!nción f!nción llamada seno seno asi"nando a cada n*mero real t la coordenad coordenadaa y del del #!nto P ( x, y ) determinado determinado #or #or t + Las Las f!nc f!ncio ione ness coseno ' tangente' cosecante' secante ( cota cotang ngen ente te se definen tambi1n !sando las coordenadas de P( x, y ) + Si !s !ste ted d es est!d t!dió ió la lass #r #ro# o#ie ieda dade dess tr tri" i"on onom om1t 1tri rica cass de lo loss tr tri, i,n" n"!l !los os rect,n"!los' !iz, se est1 #re"!ntando cómo el seno ( el coseno de !n ,n"!lo se relacionan con esta sección+ /ara saberlo' $1ase relaciones
de la lass f! f!nc ncio ione ness tr trii"o "ono nom1 m1tr tric icas as de lo loss ,n ,n"! "!llos os'' ! !ee se enc!entra des#!1s de la definición de la f!nción cosecante+ cosecante+ 0EFINICI2NES a. LA FUNCION SENO 'unción seno es el conjunto de pares ordenados {(t , y )} con( Regla de correspondencia( correspondencia( y = sen(t ) ó y ) sen t , t � . *am!i+n podemos decir que(
seno = { ( x, y ) / y = senx , x �� }
Su dominio es D sen =
. El máimo alor que puede tener es 1, y el mínimo alor es -1 es decir, el
R = [ -1,1] ,1] rango de la #unción seno seno es sen .
/a grá#ica de la #unción seno es Julio Flores Dionicio
Pá giná 104
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 0E NUMEROS REALES Recu Recuer erde de que que enco encont ntra rarr el punt punto o P ( x , y ) so!re so!re la circu circun#e n#eren rencia cia para para un número real dado t , recorremos una distancia t a lo largo del círculo unitario, empeza empezando ndo en el punto punto (1, 0) . &os moemos en sentido contrario al de las maneci manecilla llas s del reloj si t es positia positia y en el senti sentido do de las manecil manecillas las si t es negatia. A&ora !samos las coordenadas x ( y del #!nto P ( x, y ) #ara definir $arias
f!nciones+ f!nciones+ /or e)em#lo' definimos definimos la f!nción f!nción llamada seno seno asi"nando a cada n*mero real t la coordenad coordenadaa y del del #!nto P ( x, y ) determinado determinado #or #or t + Las Las f!nc f!ncio ione ness coseno ' tangente' cosecante' secante ( cota cotang ngen ente te se definen tambi1n !sando las coordenadas de P( x, y ) + Si !s !ste ted d es est!d t!dió ió la lass #r #ro# o#ie ieda dade dess tr tri" i"on onom om1t 1tri rica cass de lo loss tr tri, i,n" n"!l !los os rect,n"!los' !iz, se est1 #re"!ntando cómo el seno ( el coseno de !n ,n"!lo se relacionan con esta sección+ /ara saberlo' $1ase relaciones
de la lass f! f!nc ncio ione ness tr trii"o "ono nom1 m1tr tric icas as de lo loss ,n ,n"! "!llos os'' ! !ee se enc!entra des#!1s de la definición de la f!nción cosecante+ cosecante+ 0EFINICI2NES a. LA FUNCION SENO 'unción seno es el conjunto de pares ordenados {(t , y )} con( Regla de correspondencia( correspondencia( y = sen(t ) ó y ) sen t , t � . *am!i+n podemos decir que(
seno = { ( x, y ) / y = senx , x �� }
Su dominio es D sen =
. El máimo alor que puede tener es 1, y el mínimo alor es -1 es decir, el
R = [ -1,1] ,1] rango de la #unción seno seno es sen .
/a grá#ica de la #unción seno es Julio Flores Dionicio
Pá giná 104
Y
y = sen x
1 -
3
-2
4
2
O
X
-1
b. LA FUNCION COSENO /a #unción coseno es el conjunto de pares ordenados {(t , y)} con ( Regla de correspondencia( y = cos(t ) ó y = cos t , t � .
*am!i+n podemos decir que D = Su dominio es COS
cos eno = { ( x, y) / y = cos x, x �� }
El máimo máimo alor alor que puede puede tener tener es 1 y el mínimo mínimo alor alor es -1 es decir decir el rango de la #unción coseno es(
Rcos = [ -1,1] ,1]
.
/a grá#ica de la #unción coseno es( Y y = cos x
1 -2
-
2
O
X
-1
O3SER4ACION Y
Y ( 0, 1 )
(-x ,y ) P (x, y)
t
t (-1, 0 )
- t
(1, 0)
X
- t
( x, -y ) (-x , -y)
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Pá giná 105
P (1,0) 0)
X
i. /as #iguras muestran ángulos que tienen una medida negatia en radianes de -t y ángulos correspondientes que tienen una medida en radianes positia de t. 0e estas #iguras emos que cos(-t ) = cos(t ) y sen(-t ) = - s en(t ) , t �IR
ii. 0e la de#inición se o!tiene las siguientes identidades cos(t + 2p ) = cos t y sen(t + 2p ) = sen t
, t �IR
/a #unción coseno es una #unción par y la #unción seno es una #unción impar. 0e las #unciones seno y coseno se derian las otras #unciones trigonom+tricas.
c. LA FUNCION TANGENTE /a #unción tan"ente sim!olizada por tan ó tg está de#inida por( Regla de correspondencia
y = tg x , tg x =
� �2k + 1 � Dtg = �- � p � 2 � � � � Su dominio es Su rango es
senx cos x
para todo k �Z .
Rtg =
/a grá#ica de la #unción tangente es Y
x g t = y
-2
-
O
2
3
4
X
/a #unción tangente es una #unción impar, tam!i+n es periódica con periodo p.
d. LA FUNCION COTANGENTE /a #unción cotangente sim!olizada por ctg ó cot esta de#inida por( cos x y = ctg x (ctg x = ) senx Regla de correspondencia D = �- { k p } Su dominio es ctg , para todo k �Z R = . Su rango es tg
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Pá giná 106
/a grá#ica de la #unción cotangente es
/a #unción cotangente es una #unción impar, tam!i+n es periódica con periodo
p.
e. LA FUNCION SECANTE5 /a #unción secante sim!olizada por su, está de#inida por(
Regla de correspondencia ( y = sec x
Su dominio es Su rango es(
� �2k + 1 � p Dsec = �- � � � 2 � � �
,
1 sec x = cos x
, para todo k �Z
Rsec = IR - -�, - 1] �� 1, +� �
/a gra#ica de la #unción secante es Y
1 3 -
2 -
-
0
2
3
-1
/a #unción secante es una #unción periódica par, con periodo p.
f. LA FUNCION COSECANTE5 /a #unción cosecante sim!olizada por csc , está de#inida por (
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Pá giná 107
X
� �
y = csc x � csc x =
Regla de correspondencia (
Su dominio es
Su rango es (
Dcsc = �- { k p }
1 senx
, para todo k �Z
Rcsc = -�, -1] �� 1, + � �
/a gra#ica de la #unción cosecante es Y
3 -
2 -
-
1
0
2
3
X
-1
/a #unción cosecante es una #unción periódica impar, con periodo de p.
Relaciones de las f!nciones tri"onom1tricas de los ,n"!los Si usted estudió las propiedades trigonom+tricas de los triángulos rectángulos, quizá se est+ preguntando cómo el seno y el coseno de un ángulo se relacionan con esta sección. 2ara sa!erlo, iniciemos con un triángulo rectángulo VOPQ .
/ocalice el triángulo en el muestra, con el ángulo q en la posición normal .
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Pá giná 108
plano coordenado como se
El punto P ( x , y ) de la #igura es el punto que está determinado por el arco t . 3!sere que el VOPQ PQ es semejante al triángulo peque4o VOP Q cuyos catetos miden x y y . %5ora, por la de#inición de las #unciones trigonom+tricas del ángulo senq =
cat .op
cos q =
cat.ady
hip hip
=
PQ OP
=
=
OQ OP
P �� Q y
=
OP� 1
=
q tenemos
=y
OQ � x
=
OP� 1
= x
2or la de#inición de las #unciones trigonom+tricas del número real t tenemos %5ora, si q se mide en radianes, entonces q = t "+ase la #igura$. Entonces, las #unciones trigonom+tricas del ángulo con q dado en radianes son eactamente las mismas que las #unciones trigonom+tricas de#inidas en t+rminos del punto so!re la circun#erencia determinado por el número real t . 6omo las #unciones trigonom+tricas se pueden de#inir en t+rminos del círculo unitario, algunas eces se les llama f!nciones circ!lares+
GRAFICAS 0E FUNCIONES y = asen(bx + c ) y y=acos(bx+c)
En
esta
parte"o
0E LA FORMA
sección$
consideramos grá#icas de las #unciones trigonom+tricas de la #orma y = asen(bx + c ) y y=acos(bx+c) , para números reales a, b y c . &uestra meta es trazar esas grá#icas sin localizar muc5os puntos. 2ara 5acer esto usaremos datos acerca de las grá#icas de las #unciones seno y coseno.
/rimer caso -Estiramiento ( acortamiento. Empecemos y = asenx y
por considerar y = acosx
Julio Flores Dionicio
el
caso
especial
Pá giná 109
c = 0 y b=1
,
es
decir,
2odemos 5allar las coordenadas y de puntos so!re las grá#icas si multiplicamos por a las coordenadas y de puntos en las grá#icas de y = senx y y=cosx . 2ara ilustrar esto, eamos los siguientes ejemplos
E)em#lo 6+ Estiramiento y = 2senx
, multiplicamos por la coordenada y de cada punto so!re la y = senx grá#ica de . Esto nos da la fi"!ra de color $erde' donde por comparación tam!i+n emos la grá#ica de y = senx de color ro)o+ El procedimiento es el mismo que para estirar erticalmente la grá#ica de una #unción, que imos anteriormente.
E)em#lo 7+ Acortamiento y =
1 2
senx
1
, multiplicamos por 2 las coordenadas y de puntos so!re la = grá#ica de y senx . Esta multiplicación comprime erticalmente la grá#ica de y = senx por un #actor de , como se ilustra en la fi"!ra.
E)em#lo 8+ -Refle9ión.
*race la grá#ica de la = -2senx ecuación. y
SOLUCI2N
/a grá#ica de y = - 2 senx trazada en la #igura se puede o!tener al trazar primero la grá#ica = de y senx "que se muestra en la #igura de color rojo$ y luego multiplicando por 7 las coordenadas y = 2 senx y . Un m+todo alternatio es re#lejar la grá#ica de "ea la #igura isto anteriormente$ a tra+s del eje x .
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Pá giná 110
Y y = -2sen x
2 y = sen x
1 -π
2π
π
-1
3π
X
-2
= 2ara cualquier a �0 , la grá#ica de y asenx tiene la apariencia general de una de las grá#icas ilustradas en las #iguras anteriores. /a cantidad de y = senx estiramiento de la grá#ica de , y si la grá#ica se re#leja o no, está determinada por el alor a!soluto de a y el signo de a, respectiamente. /a coordenada y más grande es la am#lit!d de la "r,fica o, lo que es equialente, la am#lit!d de la f!nción f dada por f ( x ) = asenx . En las #iguras de los ejemplos1 y 8 la amplitud es 7. En la #igura del ejemplo la amplitud es 1 2 . 3!seraciones y t+cnicas similares se aplican sí y = a cos x .
E)em#lo :+ -Alar"amiento.
Encuentre la amplitud y trace la grá#ica de y = 3cos x .
SOLUC I2N
2or el análisis preio, la amplitud es 8. 6omo se indica en la #igura, primero y = cos x trazamos la grá#ica de y luego multiplicamos por 8 a las coordenadas y . Y
y = 3cos x
3 2
y = cos x
1 -π
-1
π
2π
3π
X
-2 -3
Se"!ndo
caso
(Estiramiento y acortamiento vertical también acortamiento y estiramiento horizontal) % continuación estudiaremos #unciones trigonom+tricas de la #orma y = asenbx y y=acosbx , para números reales a y b di#erentes de cero. %l igual a que antes, la amplitud es . Si b > 0 , entonces eactamente un ciclo se Julio Flores Dionicio
Pá giná 111
presenta cuando bx aumenta de 0 a 2 p o, lo que es equialente, cuando x 2p 0 a b . aumenta de 2p 0 a -b Si b < 0 , entonces -b > 0 y se presenta un ciclo cuando x aumenta de 2p b . %sí, el periodo de la #unción f dado por f ( x ) = asenbx y f(x)=acosbx es . 2p b 2or comodidad, tam!i+n nos re#eriremos a como el periodo de la gráfica de f . El siguiente teorema resume nuestra eposición.
TEOREMA -SO3RE AM/LITU0ES ; /ERIO0OS. Si y = asenbx o y=acosbx #ara n*meros reales a ( b diferentes de cero' entonces la "r,fica tiene am#lit!d a ( #eriodo
2p b
+
*am!i+n podemos relacionar el papel de b con la discusión de comprimir y b >1 estirar 5orizontalmente una grá#ica de seno y coseno. Si , la grá#ica de y = asenbx o y=acosbx puede ser comprimida 5orizontalmente por un #actor b+ 1 0 < b <1 Si , las grá#icas se estiran 5orizontalmente en un #actor de b . Este concepto se ilustra en los siguientes dos ejemplos.
E)em#lo 6+
SOLUCI2N
y = 3sen 2 x
.
con a = 3 y b=2 , o!tenemos
Usando el teorema so!re amplitudes y periodos 2p 2p 2p a = 3 =3 y = = = p b 2 2 lo siguiente( Entonces, 5ay eactamente una onda senoidal de amplitud 8 ,con el interalo [ 0, p ] . 2ara trazar la grá#ica, trazamos esta onda en [ 0, p ] y luego etender la grá#ica a derec5a e izquierda para obtener la #igura. y y = 3sen 2 x 3 2 1 -π π
Julio Flores Dionicio
2π
Pá giná 112
x
E)em#lo 7+
Encuentre la amplitud y el periodo y trace la grá#ica de
1 2
SOLUCI2N
a = 2 y b=
con
x
. 1 2 , o!tenemos
Usando el teorema so!re amplitudes y periodos 2p 2p 2p a = 2 =2 y = = = 4p 1 1 b 2 2 lo siguiente(
[ 0, 4p ] . 2ara Entonces, 5ay una onda senoidal de amplitud en el interalo [ 0, 4p ] y luego etender la grá#ica a trazar la grá#ica, trazamos esta onda en derec5a e izquierda para obtener la #igura. y
y = 2sen x
2
2π
4π
x
-2
2p y = asenbx Si y si b es un número positio grande, entonces el periodo b es peque4o y las ondas senoidales están cercanas entre sí, con b ondas [ 0, 2p ] . 2or ejemplo, en la #igura del pro!lema 1, senoidales en el interalo b = 2 y tenemos dos ondas senoidales en [ 0, 2p ] . Si b es un número positio
2p b es grande y las ondas están separadas. peque4o, entonces el periodo 1 y = sen x 10 2ara ilustrar esto, sea , entonces 5a!rá un d+cimo de una onda [ 0, 2p ] y se requiere un interalo de 20p unidades para un ciclo senoidal en
Julio Flores Dionicio
Pá giná 113
y = 2sen
1 2
x
completo. "9ea tam!i+n la fi"!ra del ejemplo ( para , 5ay media [ 0, 2p ] $ onda senoidal en sen (- x ) = - senx Si b < 0 , podemos usar el 5ec5o de que para o!tener la grá#ica de y = asenbx . 2ara ilustrar, la grá#ica de y = sen(-2 x ) es igual que la grá#ica de y = - sen(2 x )
E)em#lo 8+
SOLUCI2N
= - sen(3 x ) y podemos escri!ir la 6omo la #unción seno es impar, sen ( 3 x ) 2p -2 = 2 y = - 2 sen (3 x) ecuación como . /a amplitud es y el periodo es 3 . 2p Entonces, 5ay un ciclo en el interalo de longitud 3 . El signo negatio indica una re#leión a tra+s del eje :. � 2p 0, � 3 y trazamos una onda senoidal de amplitud � Si consideramos el interalo "re#lejada a tra+s del eje :$, la #orma de la grá#ica es aparente. /a parte de � 2p 0, � la grá#ica del interalo � 3 se repite periódicamente, como se ilustra en la #igura. y y = -2sen 3 x 2
-π
π
3π
π
x
E)em#lo :+
SOLUCI2N
/a amplitud es
4 =4
2p
.
=2
. Entonces, 5ay eactamente una [ 0, 2] . 6omo el periodo no onda cosenoidal de amplitud ; en el interalo contiene el número p , tiene sentido usar diisiones enteras en el eje :. *razar esta onda y etenderla a izquierda y derec5a para o!tener la grá#ica de la #igura. Julio Flores Dionicio
, y el periodo es
y = 4cos p x
p
Pá giná 114
y y = 4sen π x
4
-3 -2 -1
1
2
3
4
5
x
-4
Tercer caso -Con des#lazamiento &orizontal. % continuación consideremos la grá#ica de #unciones trigonom+tricas de la y = asen(bx + c) #orma 2p b
a ( #eriodo + Sólo 5ay un ciclo si %l igual que antes, la amplitud es bx + c aumenta de 0 a 2 p . En consecuencia, podemos 5allar un interalo que contenga eactamente una onda senoidal al despejar x de la siguiente c 2p c 0 �bx + c �2p � -c �bx �2p - c � - �x � b b b desigualdad( c El número b es el des#lazamiento de fase asociado con la grá#ica. /a grá#ica de y = asen(bx + c ) se puede o!tener al desplazar la grá#ica de
y = asenbx
a la izquierda si el desplazamiento de #ase es negatio o a la derec5a si el desplazamiento de #ase es positio. Resultados análogos son erdaderos para y = a cos(bx + c ) . El siguiente teorema resume nuestra eposición.
TEOREMA -sobre am#lit!des' #eriodos ( des#lazamientos de fase. Si y = asen(bx + c) o y = a cos(bx + c) #ara n*meros reales a ( b diferentes de cero' entonces 2p b
-
c
-6. la am#lit!d es a ( #eriodo + ( el des#lazamiento de fase es b = -7. !n inter$alo !e conten"a e9actamente !n ciclo se #!ede &allar al resol$er la desi"!aldad 0 �bx + c �2p + Julio Flores Dionicio
Pá giná 115
c � y = asen � b( x + ) y = asen(bx + c) b � A veces se escribe en la forma equivalente
E)em#lo 6+ -
y = 3sen (2 x +
p
2
)
SOLUCI2N y = asen(bx + c)
/a ecuación es de la #orma amplitud es
a = 3 =3
, y el periodo es
a=3, b=2 y c=
con 2p 2p = = p b 2
p
2 . Entonces, la
2or la parte "$ del teorema so!re amplitudes, periodos y desplazamientos de senoidal #ase, el desplazamiento de #ase y un interalo que contiene una onda se pueden 5allar al resoler la siguiente desigualdad( 3p 3p p p p 0 �2 x + �2p � - �2 x � � - �x � 2 2 2 4 4
-
p
Entonces, el desplazamiento de #ase es 4 y una onda senoidal de amplitud 8 � p 3p - , � ocurre en el interalo � 4 4 . *razar esta onda y luego repetirla a derec5a e izquierda para o!tener la grá#ica de la #igura. y y = 3sen 3
-π
x
-3
E)em#lo 7+
SOLUCI2N
y = a cos(bx + c)
con a = 2, b = 3 y c = -p . Entonces, 2p 2p = b 3 a = 2 =2 la amplitud es y el periodo es . /a ecuación tiene la #orma
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Pá giná 116
2or la parte "$ del teorema so!re amplitudes, periodos y desplazamientos de #ase, el desplazamiento de #ase y el interalo que contienen un ciclo se pueden 5allar al resoler la siguiente desigualdad( ޣ 0 �3- x� 2� p�ޣ p
p
3x
3p
p
x
3
p
p
En consecuencia, el desplazamiento de #ase es 3 y un ciclo tipo coseno "de p � , p � 3 � máimo a máimo$ de amplitud ocurre en el interalo . *razar esa parte de la grá#ica y luego repetirla a derec5a e izquierda para o!tener el trazo de la #igura. y y =2 cos 2
π
x
-2
-
p
2
3p 2 en lugar de 0 �3 x - p �2p
�3 x - p �
Si resolemos la desigualdad 5p 2 , que representa un ciclo entre puntos de o!tenemos el interalo 6 intersección con el eje X más que un ciclo entre máimos. p
� x �
E)em#lo 8+ 0 , b0 para , y el mínimo número real positio c .
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Pá giná 117
SOLUCI2N /as máimas y mínimas coordenadas y de puntos so!re la grá#ica son < y =<, respectiamente. 2or tanto, la amplitud es a)<. 6omo eiste una onda senoidal [ -1, 3] , el periodo tiene alor 87"71$ ) ;. En consecuencia, por el en el interalo teorema so!re amplitudes, periodos y desplazamientos de #ase "con b > 0 $, 2p p = 4�b = b 2 c -c - = p b 2 . 6omo c de!e ser positio, el El desplazamiento de #ase es desplazamiento de #ase de!e ser negativo esto es, la grá#ica de la #igura de!e p � y = 5sen � x �2 a la izquierda. 6omo o!tenerse al desplazar la grá#ica de deseamos que c sea tan peque4o como sea posi!le, escogemos el p c - = -1 � c = p 2 desplazamiento de #ase 71. 2or lo tanto, 2 p �
p
y = 5sen � x + 2 �2 es
Entonces, la ecuación deseada
.
0ES/LA>AMIENTO 4ERTICAL 0E FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 6omo se io en la grá#ica de #unciones, si f es una #unción y k es un número real positio, entonces la grá#ica de y = f ( x ) + k se puede o!tener al desplazar
= la grá#ica de y f ( x ) una distancia k erticalmente 5acia arri!a. 2ara la = grá#ica de y f ( x ) k , desplazamos la grá#ica de y = f ( x ) una distancia k Julio Flores Dionicio
Pá giná 118
erticalmente 5acia a!ajo. En el siguiente ejemplo usamos esta t+cnica para una grá#ica trigonom+trica. 9eamos el siguiente ejemplo.
E)em#lo+ -0es#lazar $erticalmente !na "r,fica tri"onom1trica. *race la grá#ica de y = 2 senx + 3
SOLUCI2N
Es importante o!serar. /a grá#ica de y = 2 senx está trazada en rojo en la #igura. Si desplazamos esta grá#ica una distancia 8 erticalmente 5acia arri!a, o!tenemos la grá#ica de y = 2 senx + 3 . y y = 2sen x + 3
5
3π -π
π
2π
x
y = 2sen x
M!c&os de los fenómenos !e oc!rren en la nat!raleza $ar%an en forma c%clica o r%tmica+ A $eces es #osible re#resentar ese com#ortamiento #or medio de f!nciones tri"onom1tricas' como se il!stra en los e)em#los si"!ientes+
E)em#los E)em#lo 6+ Analizar el #roceso de res#iración El proceso rítmico de respiración consiste en periodos alternos de in5alación y e5alación. Un ciclo completo normalmente tiene lugar cada < segundos. Si F "t $ denota el ritmo de #lujo de aire en el tiempo t "en litros por segundo$ y si el máimo ritmo de #lujo es >.? litro por segundo, encuentre una #órmula para la F (t ) = asenbt #orma que se ajusta a esta in#ormación.
Julio Flores Dionicio
Pá giná 119
SOLUCI2N 2p
= Si F (t ) asenbt para alguna b > 0 , entonces el periodo de F es b . En esta 2p 2p =5�b = 5 aplicación el periodo es < segundos y por lo tanto b 6omo el máimo ritmo de #lujo corresponde a la amplitud a de F , 5acemos 2p F (t ) = 0.6 sen ( t ) a = 0.6 . Esto nos da la #órmula 5
E)em#lo 7+ /resión san"!%nea 6ada ez que el corazón late, la presión de la sangre se incrementa primero y luego disminuye cuando el corazón descansa entre latido y latido. /as presiones máimas y mínimas se llaman presiones sistólica y diastólica, respectiamente. La #resión san"!%nea de !n indi$id!o se epresa como presión sistólica@ diastólica. Se considera normal una lectura de 1>@A>. /a presión sanguínea de una persona esta modelada por la #unción p (t ) = 115 + 25sen (160p t ) 0onde p (t ) es la presión en milímetros de mercurio "mmBg$ cuando el tiempo t se mide en minutos.
a. b. c. d.
0etermine el periodo de p. 6alcule el número de latidos por minuto. Cra#ique la #unción p. 0etermine la lectura de la presión sanguínea. D6ómo es comparada con la presión sanguínea normal
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Pá giná 120
Sol!ción 2p
a. %quí b. A>
b = 160p , entonces el periodo es b
=
2p 160p
=
1 !0
c.
d.
140 "0
es más alta que la normal.
E)em#lo 8+ 4ariación de tem#erat!ra+ Al inyectar un determinado fármaco a una rata de laboratorio se observa que el animal presenta variaciones de temperatura en su sistema interno. e logra establecer que dic!as variaciones de temperatura" en grados #elsius" se 1 f ( x) = 3 - sen(2 x - p ) 2 modelan mediante la funci$n " d$nde x es el tiempo transcurrido desde que se inyecta el fármaco %en minutos&. 'raficar la funci$n f indicando amplitud" per(odo y desplazamiento de fase. A partir de la gráfica" indique informaci$n relevante del problema.
Solución 2p
= p
En este caso, tenemos que el período de f es 2 , la traslación ertical es 1 p x = 2 . Baremos la grá#ica de la #unción en 8, la amplitud es 2 y el des#ase arias etapas. 2rimero, gra#icamos la #unción auiliar y = sen(2 x - p ) en el interalo principal. 2ara determinar dic5o interalo, u!icamos en el eje : el des#ase "punto inicial del interalo$, a dic5o alor le sumamos el período o!teniendo el punto #inal del interalo y gra#icamos con ese dominio la onda !ásica de la #unción seno. %sí
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Pá giná 121
y = -
En una segunda etapa, gra#icamos la #unción auiliar interalo principal, o!tenemos
1 2
sen(2 x - p )
en el
'inalmente, trasladamos erticalmente la cura anterior y recordando que f es periódica, o!tenemos la grá#ica de la #unción
En el conteto del pro!lema, de!emos considerar x �0 . &ote que al inyectar el #ármaco 5ay una ariación de temperatura de 8 grados 6elsius, luego esta
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Pá giná 122
p
4 ariación comienza a aumentar 5asta llegar a 8.< grados pasados minutos, este alor corresponde a un máimo relatio. % partir de ese instante, la ariación de temperatura decrece, o!teni+ndose un alor mínimo relatio 3p pasados 4 minutos. En ese momento la ariación de temperatura aumenta de .< a 8 grados cuando 5an pasados ) minutos. Este comportamiento comienza a repetirse a interalos de longitud ) . 3!sere que eisten in#initos etremos relatios.
E)em#lo :+ 4ol!men de aire en los #!lmones+ *n paciente en reposo inspira y expira +., litros de aire cada - segundos. Al final de una expiraci$n" le quedan todav(a ., litros de aire de reserva en los pulmones. /espu0s de t segundos de iniciado el proceso" el volumen de aire en los pulmones %en litros&" en funci$n del tiempo es p t � V (t ) = 2.5 - 0.25cos � �2 Cra#icar la #unción olumen. DEn qu+ instante el olumen es máimo DFínimo .cuál es el alor del olumen máimo y mínimo
Solución. 2p p
=4
6omo el período 2 y el des#ase ocurre en t = 0 " el interalo principal del grá#ico es G>" ;H. Bay una traslación ertical de .< unidades y una amplitud de la onda >.< unidades. /a porción del grá#ico acorde al enunciado es
6omentemos in#ormación que nos entrega el grá#ico de la #unción olumen. 3!sere que un período completo de inspiración y epiración ocurre cada ; segundos. En los primeros dos segundos el pulmón reci!e aire, llegando a un Julio Flores Dionicio
Pá giná 123
olumen máimo de .I< litros, luego comienza a disminuir el olumen llegando al mínimo de .< litros a los ; segundos. Si para tomar una radiogra#ía, el olumen óptimo de aire en el pulmón es .< litros, D6uántos se"!ndos &a( !e es#erar desde !e comienza la ins#iración
#ara tomar el e9amen?
E@ERCICIOS /RO/UESTOS 6. Acción del corazón /a acción de !om!eo del corazón consiste en la #ase sistólica, en la que la sangre sale del entrículo izquierdo 5acia la aorta y la #ase diastólica, durante la cual el músculo cardiaco se relaja. /a #unción cuya grá#ica se muestra en la #igura se usa a eces para modelar un ciclo completo 1 de este proceso. 2ara un indiiduo en particular, la #ase sistólica dura 4 de segundo y tiene un caudal máimo de A litros por minuto. Encuentre a y b
7. Electroencefalo"raf%a+ En la #igura se muestra un electroence#alograma de ondas del cere!ro 5umano durante el sue4o pro#undo. Si usamos W = a se# (bt+c) para representar estas ondas, Dcuál es el alor de b
8$ 3iorritmos /a conocida teoría de !iorritmo usa las grá#icas de tres sencillas #unciones senoidales para 5acer pronósticos acerca del potencial #ísico, emocional e intelectual de una persona en un día particular. /as grá#icas están dadas por Julio Flores Dionicio
Pá giná 124
y = a se# bt
para t en días, con t1 > correspondiente al nacimiento y a 11 denotando el 1>>J de potencial.
"a$ Encuentre el alor de b para el ciclo #ísico, que tiene un periodo de 8 días para el ciclo emocional "periodo de A días$ y para el ciclo intelectual "periodo de 88 días$. "!$ Ealúe los ciclos de !iorritmo para una persona que aca!a de cumplir 1 a4os y tiene eactamente I?I> días de edad.
:+ Ritmos circadianos /a ariación en la temperatura del cuerpo es un ejemplo de un ritmo circadiano, un ciclo de un proceso !iológico que se repite aproimadamente cada ; 5oras. /a temperatura del cuerpo es máima alrededor de las <(>> p.m. y mínima a las <(>> a.m. 0enote con y la temperatura del cuerpo "en K'$ y sea t1> correspondiente a la medianoc5e. Si las temperaturas alta y !aja del cuerpo son LA.8K y LA.LK, respectiamente, encuentre una ecuación y = "!.6 + asen (bt + c ) que tenga la #orma que ajuste esta in#ormación
+ /resión en el t%m#ano Si un diapasón se toca ligeramente y luego se sostiene a cierta distancia del p (t ) tímpano, la presión 1 en el eterior del tímpano en el tiempo t puede estar p (t ) = Asenwt representada por 1 , donde A y M son constantes positias. Si un segundo diapasón id+ntico se toca con una #uerza posi!lemente di#erente y se sostiene a una distancia di#erente del tímpano "ea la #igura$, su e#ecto puede p (t ) = sen ( wt + t ) estar representado por la ecuación 2 , donde 2 es una constante positia y 0 �t �2p . /a presión total p"t $ en el tímpano está dada por p (t ) = Asenwt + sen (wt + t )
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Pá giná 125
-a.
0emuestre p (t ) = asenwt + bsenwt , a = sen
t
y
que donde
b=$+%cos t
-b. 0emuestre que la amplitud # de p 2 2 2 está dada por C = A + + 1A cos t .
B+ Interferencia destr!cti$a 6onsulte el ejercicio <+ 3curre inter#erencia destructia si la amplitud de la onda de sonido resultante es menor a A. Suponga que los dos diapasones se golpean con la misma #uerza, es decir, A 1 2. -a. 6uando ocurre inter#erencia destructia total, la amplitud de p es cero y no se escuc5a sonido alguno. Encuentre el mínimo alor positio de t para el cual esto sucede. -b. 0etermine el interalo "a, b$ de t para el cual se presenta inter#erencia destructia y a tiene su mínimo alor positio.
+ Interferencia constr!cti$a
6onsulte el ejercicio <. 6uando se golpean dos diapasones, ocurre inter#erencia constructia si la amplitud # de la onda de sonido resultante es mayor que A o 2 "ea la #igura$. -a. 0emuestre que C �A + .
-b. Encuentre los alores de t tales que C = A + . -c. Si A � A 2, determine una condición !ajo la cual ocurrirá inter#erencia constructia
D+ /resión en el t%m#ano 6onsulte el ejercicio + Si dos diapasones con di#erentes #recuencias se golpean simultáneamente con #uerzas di#erentes, entonces la presión total p"t $ en el tímpano en el tiempo t está dada por p (t ) = p1 (t ) + p2 (t ) = Asenw1t + sen (w2t + t ) A, , w y t donde son constantes. -a. Cra#ique p para -2p �t �2p s& $=%=2, ' 1 = 1, w2 = 20 , y t =3 . -b. Use la grá#ica para descri!ir la ariación del tono que se produce.
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Pá giná 126
+ arterial
3if!rcación
Una #orma común de deriación cardioascular es una !i#urcación, donde una arteria se diide en dos asos sanguíneos más peque4os. El ángulo q de !i#urcación es el ángulo #ormado por las dos arterias más peque4as. En la #igura, la línea que a de A a / !iseca el ángulo que a de 2 a # .
q y
es perpendicular a la línea
-a. 0emuestre que la longitud ! de la arteria de A a 2 está dada por ! =a+
b 2
ta#
q
4 .
-b. 6alcule la longitud ! de las tres mediciones a = 10"", b=6, y
q =156
o
.
6+ /resión en el t%m#ano Si dos diapasones se golpean simultáneamente con la misma #uerza y luego se sostienen a la misma distancia del tímpano, la presión en el eterior del p (t ) = asenw1t + bsenw2t tímpano en el tiempo t está dada por donde a, '1 , y ' 2 ' , y '2 son constantes. Si 1 son casi iguales, se produce un tono que alterna entre intensidad acústica y silencio irtual. Este #enómeno se conoce como ariaciones de intensidad del sonido reproducido. -a. Use una #órmula de suma a producto para epresar p"t $ como producto.
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Pá giná 127
-b. 0emuestre que p"t $ puede ser considerada como una onda de coseno con 2p w periodo aproimado de 1 Encuentre la máima amplitud.
1 f (t ) = 2a cos ( w1 - w2 )t 2 y amplitud aria!le
-c. En la #igura se e una grá#ica de la ecuación p(t ) = cos 4.5t + cos3.5t . 6asi el silencio se presenta en los puntos A y 2, donde la amplitud aria!le f "t $ en la parte "!$ es cero. Encuentre las coordenadas de estos puntos y determine con qu+ #recuencia se presenta el casi silencio.
-d. Use la grá#ica para demostrar que la #unción p en la parte "c$ tiene periodo 4p . 6oncluya que la máima amplitud de ocurre cada 4p unidades de tiempo.
66+ /resión san"!%nea 6ada ez que el corazón late, la presión de la sangre se incrementa primero y luego disminuye cuando el corazón descansa entre latido y latido. /as presiones máimas y mínimas se llaman presiones sistólica y diastólica, respectiamente. /a presión sanguínea de un indiiduo se epresa como presión sistólica@ diastólica. Se considera normal una lectura de 1>@A>. /a presión sanguínea de una persona esta modelada por la #unción p (t ) = 115 + 25sen (160p t ) 0onde es la presión en milímetros de mercurio "mmBg$ cuando el tiempo t se mide en minutos. a. 6alcule la amplitud, periodo y #recuencia de p.
b. Cra#ique la #unción p. c. 6uando una persona 5ace ejercicio, su corazón late más rápido. D6ómo a#ecta esta situación el periodo y la #recuencia de p
67+ Ondas cerebrales
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Pá giná 128
/as ondas cere!rales empezaron a identi#icarse a raíz de los estudios del sue4o. 2artiendo de estas inestigaciones se diiden las posi!les ondas cere!rales en cuatro grupos di#erentes( !eta, al#a, zeta, delta. /a siguiente #igura muestra un ence#alograma de las ondas producidas durante el sue4o "tipo al#a$ en el cere!ro 5umano. Si la grá#ica de la 'unción W (t ) = asen (bt + c ) + d , con t tiempo medido en segundos, representa a estas ondas Dcuál es el alor de a" b" c y d
68+ 3ombeo del corazón /a acción de !om!eo del corazón consiste en la #ase sistólica en la que la sangre pasa del entrículo izquierdo 5acia la aorta, y la #ase diastólica durante la cual se relaja el músculo cardiaco. 2ara modelar un ciclo completo de este proceso se usa la #unción y = asen(bt ) cuya grá#ica se muestra en la #igura. 2ara un indiiduo en particular, la #ase sistólica dura 1 3 ; de segundo y corresponde a una intensidad máima de #lujo de A litros por minuto. 3!tenga a y b e interprete en el conteto del pro!lema.
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Pá giná 129
6:. Es#iro "rama Un espiro grama es un instrumento que registra en un grá#ico el olumen del aire en los pulmones de una persona en #unción del tiempo. Un trazado de este 1 p � V (t ) = 3 + se# � 160p t 20 2 , el tiempo está � grá#ico está dado por la #unción medido en minutos y el olumen en litros.
-a. 0i!uje la porción del grá#ico que tiene relación con el pro!lema. "!$ D6uál es el olumen para el tiempo cero -c. D2ara qu+ alor de t el olumen es de 8,>< litros -d. DEn qu+ instante el olumen es máimo D6uál es el alor del olumen máimo -e. DEn qu+ instante el olumen es mínimo D6uál es el alor del olumen mínimo
6+ Ciclo res#iratorio
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Pá giná 130
2ara una persona en reposo la elocidad, en litros por segundo, del aire que p � #(t ) = 0.!5se# � t �3 " donde t se mide en #luye en un ciclo respiratorio es segundos. Cra#ique la #unción e indique la parte del grá#ico acorde con el enunciado. % partir del grá#ico, o!tenga in#ormación releante del pro!lema, por ejemplo máimos, mínimos, duración del ciclo respiratorio, etc.
6B+ 0ió9ido de az!fre /a cantidad de dióido de azu#re, o!tenido de la com!ustión de com!usti!le li!erado 5acia la atmós#era de una ciudad aría estacionariamente. Suponga que el número de toneladas del contaminante li!erado en la atmós#era durante cualquier semana despu+s del primero de Enero es �np � A(n ) = 1.5 + cos � � , a*a 0 �# �104 26 � � Cra#ique la #unción en el interalo indicado y descri!a el pro!lema a partir de ella.
6+
En cierto tra!ajo de inestigación se estudió la adaptación #isiológica y !ioquímica del ca!allo mestizo de tiro al realizar tra!ajos de la!ranza en suelos arroceros. Se utilizaron ca!allos clínicamente sanos durante una jornada de < 5oras. Se registró la #recuencia cardíaca y respiratoria. El siguiente grá#ico indica el número de latidos por minuto de un ca!allo
Si se sa!e que la cura se descri!e por #unciones seno y@o coseno, 5allar #unción que la origina. % partir de la grá#ica anterior, o!tener la mayor in#ormación posi!le del pro!lema, por ejemplo, número máimo "mínimo$ de latidos, .se recupera el ritmo cardíaco 2or otra parte, en esta inestigación, se encontró además que la #recuencia respiratoria se modela por la #unción $ (t ) = 50 + 45se n(p t ) . Cra#icar la in#ormación e interpretar en el ám!ito del pro!lema.
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Pá giná 131
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS IN4ERSAS 3!tendremos la inersa de las #unciones seno, coseno, tangente , cotangente, secante ,y cosecante.
LA FUNCI2N SENO IN4ERSA
Si o!seramos la grá#ica de la #unción y = sen x
no es inyectia
" x �D sen = IR
, pues si trazamos una recta 5orizontal corta a su gra#ica en más de un punto . 2ero si restringimos la #unción y = sen x
Y
a
� p p , �2 2
x �� -
y = sen x
1
O
X
-1
Se o!sera que y ) sen R sen = [ -1, 1]
por lo tanto y = sen x
p p - 2 , 2 sen 5
es inyectia , creciente y es suryectia so!re
p p - 2 , 2 tiene inersa en
[ - 1, 1]
sen x = y
-1 luego sen 5 [ - 1,1]
D sen-1 = [ -1,1]
y
+ se# -1
p p - 2 , 2
-1 sen x = y
p p - 2 , 2 )
0EFINICI2N 5 /a #unción seno inersa denota por sen 71 , se de#ine como sigue( y = sen
-1
x sí y sólo si x = sen y
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-
p 2
y
p 2
Pá giná 132
p p - , -1 1 , 1 x sen y = [ ] es decir y = sen x , , y 2 2 . /a gra#ica de sen71 , o!tenemos de la grá#ica de sen"$ y = sen-1x
Y y= x y = sen x
Y
1
y = sen-1x
O
-1
1
X
-1
-1
O
1
X
-1 sen ( sen x ) = x para [ - 1,1] y 0e la de#inición se sigue que
� p p - , �� para y � 2 2
sen -1 ( sen y ) = y
LA FUNCI2N COSENO IN4ERSA 6omo en el caso de la #unción seno, la #unción coseno no es inyectia, para
� Dcos = IR pero si restringimos la #unción y = cos x al interalo G>, p H , entonces la #unción y ) cos es inyectia y decreciente para todo G>,p H. todo
Y
y = cosx 1
6os 5 [ 0, p]
[ - 1, 1]
y = cos x Entonces eiste cos71. 6os71 5 [ - 1,1]
(x)
es inyectia 0
p p - 2 , 2
-1 y = cos x
-1 11 11
0EFINICI2N la #unción coseno inersa sim!olizada por cos 71 ó arc cos ó cosN , se de#ine como sigue( -1 Regla de correspondencia( y = cos x x = cos y , y �[0, p ] .
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Pá giná 133
X
Su dominio es(
Dcos-1 = [-1, 1]
El rango de cos71 es (
" es decir x �[ -1,1] sí y sólo sí y �[0,
Rcos-1 = [0, p ]
p ]
$.
.
/a gra#ica de cos71, o!tenemos de la gra#ica de cos"$ Y
y = cos-1 x
y = cos (x)
1
0
-1
1
X
-1
Y
0e la de#inición se tiene que( cos(cos -1 x ) = x , x �[ -1,1] cos -1 (cos y ) = y , y �[0,
cos-1 x
p ]
0
-
1
X
1
LA FUNCI2N TANGENTE IN4ERSA /a #unción tangente inersa sim!olizada por arctg ó tg71 ó tgN, se de#ine como sigue( -1 Regla de correspondencia( y = tg x x = tg y ,
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Pá giná 134
y � -
p
,
p
2 2 .
Su dominio es( Su rango
Dtg -1 = IR
Rtg -1 = -
" es decir
- !.+ !
y � -
sí y sólo sí
p p
, 2 2 $
p p
, 2 2
Su grá#ica es(
Y
tg -1 x 0
X
LA FUNCI2N COTANGENTE IN4ERSA /a #unción cotangente inersa sim!olizada por ctg ó ctg 71 ó como sigue(
ctgN, se de#ine
-1 y � 0, p Regla de correspondencia( y = ctg x x = ctg y , . D - = IR y � 0 , p Su dominio es( ctg " es decir x �IR sí y sólo sí $ 1
Su rango
+ ctg -1
)
0, p
Y
/a grá#ica de ctg71 es(
ctg -1 x
0
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Pá giná 135
X
LA FUNCI2N SECANTE IN4ERSA5 /a #unción secante inersa sim!olizada por sec 71 ó arc sec ó sec N se de#ine como sigue( 1 sec -1 x = cos -1 ( ) x , x �1 . Regla de correspondencia( Dsec-1 = - . - 1] 1, +
Su dominio es( Su rango
+ sec-1
p
[ 0,. p 2
)
# 2
, p]
-1 x - . -1] 1, + , y Esto es y = sec x x = sec y ,
[ 0,. p2
p # 2
, p]
/a grá#ica de sec71 es( Y
sec-1 x
LA FUNCI2N COSECANTE IN4ERSA5 /a #unción cosecante inersa sim!olizada por csc 71 ó arc csc ó csc N se de#ine 0 -1 1 X como sigue( 1 csc-1 x = sen -1 ( ) x , x �1 . Regla de correspondencia(
Su dominio es( Su rango
+ csc-1
csc-1
)
- !.- 1] # [1, + !
p p , . 0 0 , 2 2 # )
-1 Esto es y csc x
p p � Y- ,. 0 0, y �� �2 x = csc y , # 2 -1
/a grá#ica de csc es(
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-1
0
1 Pá giná 136
csc-1 x
X
