RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Professora Telma Castro Silva ISERJ 2013
Observe
Triângulos são semelhantes quando são homotéticos, isto é, os lados dos triângulos são proporcionais entre si.
Observe C E G I
α A
D
F
H
∆ ABC ~ ∆ BDE ~ ∆ BFG ~ ∆ BHI
B
Definição do seno de um ângulo α C E G I
α
A
D
AC DE FG BC BE BG
H
F
HI BI
cateto oposto hipotenusa
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a
B
sen
Definição do cosseno de um ângulo α C E G I α
A
D
F
H
B
AB BD BF BH cateto adjacente cos BI hipotenusa BC BE BG
O cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a
Definição da tangente de um ângulo α C E G I α
A
D
F
H
B
HI AC DE FG cateto o posto tg AB BD BF BH cateto adjacente
A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente a este mesmo
Resumindo sen
cos
α
α
Seno de α = cateto oposto hipotenusa Cosseno de α cateto adjacente = hipotenusa
o t s o p o o t e t a C
α
Cateto adjacente
Tangente de α cateto oposto tg α = cateto adjacente
Ângulos Complementares CO
c
cos a sen CA c CA b cosa cos
β a
b
α
+ β = 90º
H
a
c
1
H
a
CO tg ba CO c tg a tg tg CA c CA b α
A
CO
b
sena sena sen cos H a H a
C
B
Ângulos de 30º, 45º e 60º d a a 2
a
2
2
d 2a 2
2
d 2 a 2 a 2
d
d a 2 45o a
sen 45 º cos 45 º
a a 2
1 2
sen 45º cos 45º
tg 45º
a a
1
1 2 2 2
2 2
Tabela de Razões Trigonométricas 30º sen
45º 2 2
cos
2 2
tg
1
60º
Ângulos de 30º, 45º e 60º a 3 2 3 a a 2 2 2 2 sen 60º cos 30º a h h a 42 2 2
30o
a
a ha
3
a 2 a a 3 2 2 h a 30º 2 cos 60º sen 4 4a 2
1 2
2
60o
h
3a
2
tg 60º 4
a/2
1º. 2º.Escrever Calcular h asem razões função trigonométricas de a
a
3
3
2
4
a 2
a
a
3
2
3
1 1 3 2 tg 30º o tg 60 3 3 h
Tabela de Razões Trigonométricas
sen cos tg
30º
45º
60º
1
2
3
2
3 2 3 3
2
2
2
1
2 1
2
3
Exercícios 1-Determine as medidas x e y dos lados dos triângulos abaixo. : c)
b)
a)
y x 45o 5km
o
10m
30
x
y
x y
60o 4cm
Exercícios 2) Para determinar a altura de uma torre, um topógrafo coloca um teodolito a 100m de sua base e obtém um ângulo de 30º, conforme ilustra a figura. Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,70m do chão, qual é a altura aproximada da torre? x
1,7
h = x + 1,7
Exercícios 3) Um navio se encontra a 60 m. de um farol. Calcule a altura desse farol, que é visto de um ponto de observação de navio, sob um ângulo de 20º? Dados: sen 20° = 0,34 e cos 20° = 0,94
20º
60 m Resposta: A altura do farol é de aproximadamente 21,7 m
trigonométricas de um mesmo ângulo C
a b
a
A
c
Dado o triângulo retângulo ABC, sabemos por definição que: b c b sen α ; cos a e tg a a a c B
Vamos calcular o seguinte quociente: b
sen a
b a a cos a c a c a
sen a cos a
b
tg a tg a sen a c cos a
Veja como isso pode ajudar na resolução do exercício 3: Dados sen 20° = 0,34 e cos 20° = 0,94 , tg 20° = 0,34/0,94 , ou seja, tg 20° 0,3617 tg 20 0,3617
h 60
h 60
h 21,7
Resposta: A altura do farol é de aproximadamente 21,7 m
Relação Fundamental da Trigonometria C
a
b
Do Teorema de Pitágoras sabemos que: a²= b² + c² α
A
B
c
Tratando-se de uma igualdade, podemos dividir ambos os membros por um valor diferente de zero. Vamos dividir a igualdade, membro a membro por 2 2 2 2 2 a²: b c a b c 1 2 2 2 2 a
a
a
a
Relação Fundamental da Trigonometria C
a
b
2
2
b c 2 1 ou 1 2 a a a a
b
2
c
2
α
A
c
B
Conhecendo as razões trigonométricas seno e cosseno, temos: b sena a 2 2 2 2 sena cos a 1 ou sen α cos α 1 cos a c a
Exemplo de aplicação Sabendo que sen x = 0,3 , com 0º < x < 90º, obtenha os valores de cos x e tg x :
Questões complementares 1) Queremos encostar uma escada de 8 m de comprimento em uma parede, de modo que ela forme um ângulo de 60º com o solo. A que distância da parede devemos apoiar a escada no solo?
Questões complementares 2) Veja a ilustração abaixo:
c 20º
Qual é o comprimento dessa rampa? (Use as razões para o ângulo de 20° dadas anteriormente)
Questões complementares 3) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto.
a) AC = 10 km
b) AD = 2,5 km
¯ km c) BC = 5√3
d) O ângulo BÂD mede 60°
e) A velocidade média do barco é de 15 km/h
Questões complementares 4) Um agrimensor quer determinar a largura de um rio. Como não pode efetuar diretamente essa medida, ele procede da seguinte forma: • Do ponto A, situado numa das margens do rio, ele avista o topo D, de um morro na margem oposta, sob um ângulo de 60º com a horizontal; • Afastando-se 12 m, em linha reta, até o ponto B, ele observa novamente o topo do morro segundo um ângulo de 45º com a horizontal.
Com esses dados, que medida, em metros, ele achou para a largura do rio?
Dicas para a resolução da 4ª questão
Considere: x = largura do rio; y = altura do morro.
Para resolver este problema, utilize dois triângulos, ∆ ACD e ∆ BCD.
Questões complementares 5) Na figura abaixo, determine as medidas dos ângulos internos do ∆ ABC:
ATENÇÃO! O triângulo ABC NÃO é retângulo...
Respostas das questões complementares
1) x = 4 m
2) Comprimento da rampa: aproximadamente 8,82 m.
3) Todas as alternativas estão corretas.
^ aproximadamente, 16,26 4) A largura ^do rio é de, m.
5) Â = 75° ; B = 45° e C = 60°.
Fontes de referência: • Agrupamento de Escolas de Avanca Prof. Dr. Egas Moniz http://aeavanca.hopto.org/aeavanca/
• Trabalho do Professor Alexandre Mello http://materessurib.wordpress.com/
• Trabalho dos Professores Maria Cristina Kessler e Claudio Gilberto de Paula http://unisinos.br/blog/ensinopropulsor/
• Colégio Militar de Fortaleza
