TEMA: ANÁLISIS COMBINATORIO CONCEPTOS BÁSICOS Análisis Combinatorio: Combinatorio: Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Por ejemplo podemos averiguar cuántos números diferentes de teléfonos, placas o loterías se pueden formar utiliando un conjunto dado de letras ! dígitos. "demás el estudio ! comprensi#n del análisis combinatorio no va a servir de andamiaje para poder resolver ! comprender problemas sobre probabilidades probabilidades Principios fundamentales del Análisis Combinatorio: En la ma!oría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operaci#n o actividad aparece en forma repetitiva ! es necesario conocer las formas o maneras que se puede realiar dicha operaci#n. Para dichos casos es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo se$alado. El análisis combinatorio también también se define como como una manera práctica práctica ! abreviada de contar% contar% las operaciones o actividades que se presentan son designadas como eventos o sucesos. Ejemplo: &. 'e$alar 'e$alar las maneras maneras diferent diferentes es de vestir de una persona persona,, utiliando utiliando un número número determina determinado do de prendas prendas de vestir (. )rdena )rdenarr * artíc artículo uloss en + casill casillero eross . -ontes -ontestar tar + preg pregunt untas as de un eam eamen en de de &/ 0. 1esignar 1esignar * person personas as de un total */ */ para integ integrar rar una una comisi#n comisi#n *. 'entarse 'entarse en una una fila fila de de * asientos asientos 0 persona personass 2. Escribir Escribir una una palabra palabra de de + letras letras utilian utiliando do 0 consonan consonantes tes ! vocales vocales
I)
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN :
Si un evento o suceso “A” ue!e ocu""i"# en $o"%& in!een!iente# !e “%” %&ne"&s %&ne"&s !i$e"entes ' ot"o suceso suceso !e “n” %&ne"&s %&ne"&s !i$e"ent !i$e"entes# es# entonce entoncess e( n%e"o n%e"o !e %&ne"& %&ne"&ss !istin !istint&s t&s en *ue ue!en ue!en suce!e" &%+os sucesos es “% “% , n” E-e%(o .: En la etapa final de fútbol profesional profesio nal de primera, cuatro equipos equ ipos : CRISTAL CRISTAL ( C ), !"S ( ) ,EST#$IA%TES ( E ), #%I&ERSITA #%I&ERSITARI! RI! (#), disputan el primer ' seundo luar (campen ' subcampen)* +$e cuntas maneras diferentes estos equipos pueden pueden ubicarse en dic-os luares. luares.
[1]
E-e%(o /: +Cuntas placas para autom/iles pueden -acerse si cada placa consta de dos letras diferentes seuidas de tres d0itos diferentes. (considerar 12 letras del alfabeto)
II)
PRINCIPIO DE ADICIÓN :
Suon0&%os *ue un evento A se ue!e "e&(i1&" !e “%” %&ne"&s ' ot"o evento B se ue!e "e&(i1&" !e “n” %&ne"&s !i$e"entes# &!e%2s# no es osi+(e *ue &%+os eventos se "e&(icen -untos 3A B 4 )# entonces e( evento A o e( evento B se "e&(i1&"2n !e 3 % 5 n) %&ne"&s6 E-e%(o .: #n repuesto de autom/il se /enden en 2 tiendas en la &ictoria o en 3 tiendas de re4a*+$e cuntas formas se puede adquirir el repuesto.
E-e%(o /: Se desea cru5ar un r0o, para ello se dispone de 6 botes, 1 lanc-as ' 7 desli5ador* +$e cuantas formas se puede cru5ar el r0o utili5ando los medios de transporte se4alados.
M7TODOS DE CONTEO En diferentes casos se tomar de alún con8unto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes arupaciones, que se /an a distinuir por el orden de sus elementos o por la naturale5a de alunos de ellos* Si los elementos que forman una arupacin son diferentes entre si, sern llamados arupaciones sin repeticin ' si aluno de ellos son iuales se dir que son arupaciones con repeticin* Entre los m9todos de conteo ms conocidos tenemos: ermutacin, &ariacin ' Combinacin
PERMUTACIÓN Es un arrelo de todos o parte de un con8unto de ob8etos considerando el orden en su ubicacin; cuando en el arrelo solo entran parte de los elementos del con8unto se llama v&"i&ci8n* Es importante resaltar que el orden es una caracter0stica importante en la permutacin, cuando /ariamos el orden de los elementos se dice que permutamos dic-os elementos*
[2]
E-e%(o: $eterminar los diferentes arrelos o permutaciones que se pueden -acer con las letras a, b ' c tomadas de dos en dos
TEOREMA .: 3Pe"%ut&ci8n (ine&( con e(e%entos !i$e"entes)
≤n) ' denotado n
por P k , estar dado por:
n
P k
=
n!
( n − k )! ; donde: n, >
ε
% ' ? ≤ > ≤ n
Estas permutaciones son llamados lineales, porque los ob8etos son ordenados en una l0nea recta de referencia
E-e%(o: En una carrera de @??metros participan 71 atletas* +$e cuantas formas distintas podrn ser premiados los tres primeros luares con medalla de oro, plata ' bronce.
TEOREMA /: 3PERMUTACIÓN LINEAL CON ELEMENTOS REPETIDOS)
El número de permutaciones () distintas de ob8etos iuales entre si de un último tipo, entonces:
[3]
E-e%(o: +$e cuntas maneras distintas se podrn ordenar las siuientes fiuras.
PERMUTACIÓN CIRCULAR Son arupaciones donde no -a' primero ni último elemento, por -allarse todos en una l0nea cerrada* ara -allar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con
n
P
c
=
(n − 1)!
E-e%(o.: +$e cuntas formas diferentes puede sentarse alrededor de una mesa circular un padre ' sus D -i8os.
E-e%(o /: +$e cuntas maneras diferentes se podrn ubicar las cifras del 7 al en la siuiente fiura.
[4]
COMBINACIÓN Es cada uno de los diferentes arrelos que se pueden -acer con parte o todos los elementos de un con8unto dado sin considerar el orden en su ubicacin El número de combinaciones de
n
C k
=
n!
( n − k )!k !
=
n( n
−
1)(n − 2)( n − 3)......... ......( n − k + 1) k ( k − 1)( k −
2)......... .(1)
E-e%(o .: Si disponemos de D puntos no colineales, +cul es el mFimo número de trinulos que se podrn formar. E-e%(o /: #na se4ora tiene 6 frutas: man5ana, fresa ' pi4a* +Cuntos sabores diferentes de 8uo podr preparar con estas frutas.
E-e%(o : Se desea formar un comit9 de seleccionando @ f0sicos ' 6 matemticos de un rupo de 3 f0sicos ' 2 matemticos* +$e cuantas maneras podr seleccionarse.
PROPIEDADES DE 1)
2)
3)
n
C 1
n
C
k
n
C
6)
C
k
1
n − k
n
=
k +1
n
=
k +1
n 1
C k
−
k 1 −
n −1
C n − k
k
n =
n +1
C
n
=
n k
=
C
+
n
5)
1 , C 0
n
=
n k
=
n
C C C
k
n
C
n ,
n
k
4)
=
c
n
−
k + 1 k
n
C
k −1
OBSERVACIÓN: En la práctica se presentan diferentes combinaciones que no resultan sencillas, estas son las
[5]
combinaciones con repetición. Para obtener las diferentes combinaciones con repetición de “n” elementos en el cual hay repetición de los elementos (CR a!rupados de " en ", se utili#a
E;ERCICIOS .6 <&' = +uses *ue vi&-&n ent"e S&n Tec(& > S&n S&(v&!o"6 ?De cu2nt&s %&ne"&s un& e"son& ue!e i" & S&nt& Tec(& ' "e0"es&" en un +us !i$e"ente@ /6 ?Cu2ntos n%e"os !e ci$"&s ue!en $o"%&"se con (os !0itos: .# /# # = ' # sin *ue se "eit& uno !e e((os en e( n%e"o $o"%&!o@ 6 Un& e"son& &ni((os !istintos6 ?De cu2nt&s %&ne"&s ue!e co(oc&"(os en sus !e!os !e (& %&no !e"ec&# co(oc&n!o s8(o un &ni((o o" !e!o# sin cont&" e( u(0&"@ =6 ?Cu2nt&s &(&+"&s cu&(*uie"& !e (et"&s# ue!en $o"%&"se o" e"%ut&ci8n !e (&s (et"&s !e (&s &(&+"&s TENNESSE@ 6 T"es vi&-e"os ((e0&n & un& ciu!&! en (& *ue &' ote(es6 ?De cu2nt&s %&n&"&s ue!&n ocu&" sus cu&"tos# !e+ien!o est&" c&!& uno en un ote( !i$e"ente@ 6 ?De cu2nt&s %&ne"&s se ue!e &co%o!&" un& "euni8n !e F e"son&s &("e!e!o" !e un& %es& "e!on!&@ F6 ?De cu2nt&s %&ne"&s / e"u&nos# = co(o%+i&nos ' &"&0u&'os ue!en sent&"se en $i(& !e %o!o *ue (os !e (& %is%& n&cion&(i!&! se sienten -untos@ 6 ?De cu2nt&s %&ne"&s ue!e esco0e"se un co%itG# co%uesto !e o%+"es ' / %u-e"es !e un 0"uo !e F o%+"es ' %u-e"es@ H6 De A & B &' c&%inos !i$e"entes ' !e B & C &' = c&%inos !i$e"entes6 ?De cu2nt&s %&ne"&s se ue!e &ce" e( vi&-e "e!on!o !e A & C &s&n!o o" B@ .6 ?Cu2ntos &"ti!os !e $ut+o( se -ue0&n en e( c&%eon&to !escent"&(i1&!o !e $t+o( en un& "ue!&# en (& *ue &"tici&n . e*uios@
[6]
..6 <&((&" e( v&(o" !e “E” s&+ien!o *ue: E 4
./6 <&((&" “J”# s&+ien!o *ue:
.6 Un tot&( !e ./ est"ec&!&s !e %&no e$ectu&"on &( $in&( !e un& $iest&# suonien!o *ue c&!& uno !e (os &"tici&ntes es co"tGs con c&!& uno !e (os !e%2s6 E( n%e"o !e e"son&s "esentes e"&6 .=6 Reso(ve" (&s ecu&ciones co%+in&to"i&s:
a.
f.
b.
g.
c.
d.
e.
Ejercicios de Aplicación: PERMUTACIOE! " COM#IACIOE! $%& '(e cuántas maneras se pueden sentar seis personas en die) sillas dispuestas en fila* +$,$%-../ -%& '(e cuántas maneras se pueden sentar cinco personas en cinco sillas dispuestas en fila*% +$-./ 0%& '(e cuántas maneras se pueden sentar seis personas en una mesa circular* +$-./ 1%& '(e cuántas maneras se pueden sentar siete personas en siete sillas dispuestas en fila si una de ellas ocupa un lu2ar fijo*% +3-./ ,%& (e un 2rupo de $, alumnos %'Cuántos e4uipos de trabajo de , alumnos se pueden formar* +0%..0/
[7]
5%& !e 4uiere construir un dominó con los n6meros del . al cinco% 'Cuántas pie)as tendrá este jue2o l6dico* +-$/ 3%& A una ceremonia asisten cinco matrimonios7 los 4ue se dispondrán en la primera corrida de asientos dispuestas en fila %'(e cuántas maneras pueden sentarse si: 3%$& !e sientan al a)ar* 3%-%& 8a 9pareja debe 4uedar siempre junta* 3%0%& 8a mujer debe estar al lado derec;o de su marido*% 3%1%& Un determinado matrimonio debe 4uedar en el centro* +0%5-<%<..7 -1.7 $-.7 <.%51./ <%& !e tomara una foto2raf=a a tres matrimonios% '(e cuántas maneras se puede ;acer si% <%$%& !e disponen todos en una sola fila%* <%-%& !e disponen en dos filas: una de ;ombres > otra de mujeres* <%-%$%& Una fila a continuación de la otra% <%-%-%& 8a fila de ;ombres se ubica detrás de la fila de mujeres% <%0%& En tres filas una detrás de la otra > cada matrimonio juntos* +3-. 7 3- 7 05 7 $- / ?%& 'Cuántos n6meros de cinco cifras se pueden construir con los d=2itos $7 -7 07 17 ,7 57 37 <7 ?%* $.%& 'Cuántos n6meros de 3 cifras se pueden escribir con los d=2itos del n6mero -%1,.%..,* +$,%$-./ $$%& 'Cuántas parejas de letras7 ten2an sentido o no7 se pueden ;acer con las letras de la palabra* $$%$%& TORPE(O $$%-%& MA(I@A% +-$ 7 $1 / $-%& Para una foto2raf=a de $, alumnos en una 2rader=a de 0 escalones7 se disponen , alumnos por 2rada% 'Cuántas opciones ;a> para este eento*% +3-./ $0%& Oc;o personas se sientan alrededor de una mesa circular > 9a2otan todas las opciones posibles demorando , min% En cambiar de una opción a otra %'Cuánto tiempo demoraran en 9a2otar todas las opciones*% +$3 d=as 7$$ ;oras7 ,, min%/
[8]
$1%& !e tienen tarros con pintura E@ROACO&BER(E&ROO&AMARI88O +un tarro de pintura de cada color/% 'Cuántos colores diferentes se obtienen si se me)clan en partes i2uales*: $1%$%& dos pinturas $1%-%& tres pinturas $1%0%& cuatro pinturas +$. 7 $. 7 , / $,%& '(e cuántas maneras se pueden poner 3 llaes en una ar2olla sin fin7 !i : $,%$%& Todas las llaes son distintas*% $,%-%& Todas las llaes son i2uales*% $,%0%& Da> dos llaes i2uales entre s=%* +3-. 7 $ 7 $-. / $5%& 'Cuántos n6meros ma>ores 4ue dos mil > menores 4ue tres mil7 se pueden formar con los d=2itos -7 07, > 5* +$5/ $3%& 'Cuántos n6meros ma>ores 4ue -.. > menores 4ue -,, se pueden formar con los n6meros: -7 07 17 ,7< > 3 +?/
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