Análisis combinatorio 1. 2. 3. 4. 5.
Conceptos básicos Perm ermutaci ció ón Combinación Problemas resueltos Problemas resueltos Problemas propuestos CONCEPTOS !S"COS
Análisis Combinatorio: Combinatorio: Es la rama de la matemática que estudia los diversos arreglos o selecciones que podemos formar con los elementos de un conjunto dado, los cuales nos permite resolver muchos problemas prácticos. Principios #un$amentales $el Análisis Combinatorio% En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede realizar dicha operación. ara dichos casos es !til conocer determinadas t"cnicas o estrategias de conteo que facilitarán el cálculo se#alado. El análisis combinatorio tambi"n se define como una manera práctica y abreviada de contar$ las operaciones o actividades que se presentan y son designadas como E%E&'() o )*+E)(). Ejemplo: . )e#alar )e#alar las maneras maneras diferentes diferentes de vestir vestir de una persona, persona, utilizan utilizando do un n!mero determin determinado ado de prendas de vestir -. (rdena (rdenarr artícu artículo loss en / casil casiller leros os 0. +onte +ontesta starr / pregun preguntas tas de de un e1ame e1amen n de 2 3. 4esignar 4esignar person personas as de un total total de 2 para para integrar integrar una una comisión comisión . Escribir Escribir una palab palabra ra de / letras letras utilizan utilizando do 3 consonan consonantes tes y 0 vocales vocales "& Principio $e multiplicación% )i un evento o suceso 567 puede ocurrir, en forma independiente, de 5m7 maneras diferentes y otro suceso de 5n7 maneras diferentes, diferentes, entonces el n!mero de maneras distintas distintas en que pueden suceder ambos sucesos es 5m . n7 E'emplo 1% En la etapa etapa final final de f!tbol f!tbol profes profesio ional nal de primer primera, a, cuatro cuatro equipo equipos: s: +89)' +89)'6 6 ;+<, ;+<, =(>) =(>) ;=<, ;=<, E)'*4 E)'*496& 96&'E) 'E) ;E<, *&9%E *&9%E8) 8)9' 9'6 689( ;*<, dispu disputan tan el primer primer y segund segundo o lugar lugar ;campeó ;campeón n y subcampeón<. subcampeón<. ?4e cuántas maneras diferentes estos equipos pueden pueden ubicarse en dichos lugares@ Solución% • (ETO)O 1% utili*an$o el $ia+rama $el árbol er lugar -do lugar = + E * =
E
o + + +
-o = E *
+ E *
= = =
+ E *
+ = *
E E E
+ = *
+ =
* + * * = E * E E1isten - maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicarse en el primer y segundo lugar. 1
•
(ETO)O 2% ,tili*an$o el principio $e multiplicación o
3
-o
1
E-P"CAC"/N% 1o El primer lugar puede ser ocupado por cualquiera de los cuatro equipos. 2o El segundo lugar puede ser ocupado por cualquiera de los otros tres equipos que restan 3o or el principio de multiplicación, se observa que el evento del primer lugar se presenta de 3 maneras y el del segundo lugar de 0 maneras distintas, entonces el n!mero de maneras totales será: 310 B -
0
A maneras B E'emplo 2% ?+uántas placas para automóviles pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes@ ;considerar -C letras del alfabeto< Solución% E-P"CAC"/N%
letras
4ígitos
-C 1 - 1 2 1 D 1
1o El primer casillero pue$e ser ocupa$o por cual0uiera $e las 2 letras 2o El se+un$o casillero pue$e ser ocupa$o por cual0uiera $e las 25 letras 0ue restan 3o El tercer casillero pue$e ser ocupa$o por cual0uiera $e los 1 $+itos $el al & 4o El cuarto casillero lo pue$en ocupar los $+itos restantes 5o El 0uinto casiller pue$e ser ocupa$o por cual0uiera $e los 6 $+itos restantes o Por el principio $e multiplicación7 el n8mero $e placas será 9 2:25:1::6 9 46
A placas B 3C 222 ""& Principio $e a$ición% )upongamos que un evento 6 se puede realizar de 5m7 maneras y otro evento = se puede realizar de 5n7 maneras diferentes, además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos ;6 ∩= B ∅<, entonces el evento 6 o el evento = se realizarán de ; m F n< maneras. E'emplo 1% *n repuesto de automóvil se vende en C tiendas en la %ictoria o en tiendas de =re#a. ?4e cuántas formas se puede adquirir el repuesto@ Solución% • or el principio de adición: %ictoria ó =re#a C formas F formas B 3 formas E'emplo 2% )e desea cruzar un río, para ello se dispone de 0 botes, - lanchas y deslizador. ?4e cuantas formas se puede cruzar el río utilizando los medios de transporte se#alados@ Solución% •
6plicando el principio de adición se tiene: =ote , lancha , deslizador 0 ó ó A maneras B 0 F - F B C
;EC,E;)A Si se $esea 0ue se realicen los e&
2
(?TO)OS )E CONTEO En diferentes casos se tomará de alg!n conjunto parte de sus elementos o todos ellos, para formar diferentes agrupaciones, que se van a distinguir por el orden de sus elementos o por la naturaleza de algunos de ellos. )i los elementos que forman una agrupación son diferentes entre si, serán llamados agrupaciones sin repetición y si algunos de ellos son iguales se dirá que son agrupaciones con repetición. Entre los m"todos de conteo más conocidos tenemos: Permutación7 @ariación = Combinación.
PE;(,TAC"/N Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de objetos considerando el orden en su ubicación$ cuando en el arreglo solo entran parte de los elementos del conjunto se llama @A;"AC"/N. E'emplo% 4eterminar los diferentes arreglos o permutaciones que se pueden hacer con las letras a, b y c tomadas de dos en dos. Solución% (to$o 1%
)ea el conjunto : Ga,
b,
&!mero de arreglos B C
cH, entonces los arreglos pueden ser: ab7 ba. ac7 ca7 bc7 cb
(to$o 2% principio $e multiplicación&
E-P"CAC"/N 1& El primer casillero pue$e ser ocupa$o por cual0uiera $e las tres letras7 e:istien$o 3 posibili$a$es 2& El se+un$o casillero pue$e ser ocupa$o por cual0uiera $e las otras $os letras restantes7
A arreglos B 0 1
-BC
TEO;E(A 1% Permutación lineal con elementos $i#erentes& 5El n!mero de permutaciones de 5 n7 objetos diferentes, tomados en grupos de B elementos ;siendo I ≤n< y denotado por P , estará dado por: n
k
n
P k
=
n!
( n − k )!
$ donde: n, I ε & y 2 ≤ I ≤ n Estas permutaciones son llamados lineales, porque los objetos son ordenados en una línea recta de referencia. E'emplo% En una carrera de 322metros participan 2 atletas. ?4e cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lugares con medalla de oro, plata y bronce@ Solución% (to$o 1% Emplean$o el principio $e multiplicación (ro
lata
=ronce
2 1 D 1 A maneras B /-2
E-P"CAC"/N 1& El primer casillero(E)AA )E O;O& pue$e ser ocupa$o por cual0uiera $e los $ie* atletas7 e:istien$o 1 posibili$a$es 2& El se+un$o casillero(E)AA )E PATA& pue$e ser ocupa$o por cual0uiera $e los nue
3
(to$o 2% usan$o la #órmula $e permutación lineal& • )e busca las diferentes ternas ;I B 0< que se pueden formar con los 2 atletas ;n B 2< 10
P 3
=
;ECO;)A;
10! 10 x9 x8 x7! = = 720 7! 7!
1& 2& 3& 4&
nD 9 1 : 2 : 3 : ................ : n D 9 1 1D 9 1 nD 9 n 1&D : n
TEO;E(A 2% Permutación lineal con elementos repeti$os& El n!mero de permutaciones ;< distintas de 5n7 elementos tomados de 5n7 en 5n7 en donde hay un primer grupo de n objetos iguales entre si$ n - objetos iguales entre si de un segundo tipo y así sucesivamente hasta nI objetos iguales entre si de un !ltimo tipo, entonces: $ 4onde: n F n- F n0......F nI B n
E'emplo% ?4e cuántas maneras distintas se podrán ordenar las siguientes figuras@
Solución% • +omo entran todos los elementos del conjunto y estos se repiten, se trata de una permutación con repetición, donde n B 0 ;tres círculos<, n - B - ;dos cuadrados< , n 0 B ;un triángulo<, n 3 B ; un rombo<, luego: 7
P 3, 2,1,1 B
7!
=
3! x 2! x1! x1!
3! x 4 x5 x 6 x 7
=
4 x5 x 6 x7
3! x 2 x1 x1
2
= 420
PE;(,TAC"/N C";C,A; )on agrupaciones donde no hay primero ni !ltimo elemento, por hallarse todos en una línea cerrada. ara hallar el n!mero de permutaciones circulares que se pueden formar con 5n7 objetos distintos de un conjunto, hay que +(&)94E868 J9K6 6 ()9+9L& 4E *& EEME&'(, los n N restantes podrán cambiar de lugar de ;n N
n
P
c
=
(n − 1)!
E'emplo1% ?4e cuántas formas diferentes puede sentarse alrededor de una mesa circular un padre y sus hijos@ 6
Solución% )e trata de una permutación circular: P
c
=
(6 − 1)!= 5!= 5 x 4 x3 x 2 x1 = 120
E'emplo 2% ?4e cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del al / en la siguiente figura@
Solución% • Este problema se puede resolver como la conjunción de dos eventos: primero ubico una cifra en el centro ;/ posibilidades< = se+un$o las otras C cifras, las cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de ;C N
CO("NAC"/N Es cada uno de los diferentes arreglos que se pueden hacer con parte o todos los elementos de un conjunto dado sin considerar el orden en su ubicación. El n!mero de combinaciones de 5 n7 elementos diferentes tomados de FBG en FBG, con B n, está dada por: n
C k
=
n!
( n − k )!k !
=
n( n − 1)(n − 2)( n − 3)...............( n − k + 1) k ( k − 1)(k − 2)..........(1)
E'emplo 1% )i disponemos de puntos no colineales, ?cuál es el má1imo n!mero de triángulos que se podrán formar@ Solución% •
ara dibujar un triángulo solo es necesario 0 puntos en el plano, luego se escogerán 0 puntos ;I B 0< de un total de puntos ;n B <. 6demás no importa el orden, ya que el triangulo 6=+ es igual al +=6$ por lo tanto se trata de una combinación. 5
C 3 =
5! 5 x 4 x 3 = 2!3! 3 x 2 x1
OSE;@AC"/N =
10
1& En las permutaciones interesa el or$en7 se buscan or$enaciones 2& En las combinaciones no interesa el or$en7 se busca a+rupaciones
E'emplo 2% *na se#ora tiene 0 frutas: manzana, fresa y pi#a. ?+uántos sabores diferentes de jugo podrá preparar con estas frutas@
Solución%
Jresa ;J<
,
i#a ;<
,
Manzana ;M<
(to$o 1% en #orma +rá#ica& • +uando se escoge fruta de las tres, los sabores son 0: H7 P 7( • +uando se escoge - de las tres frutas, los sabores son 0: HP7 H(7 P( • +uando se escoge las 0 frutas los sabores son : HP( Total $e sabores $i#erentes% 3 > 3 > 1 9 I (to$o 2% Emplean$o combinaciones& • )e puede escoger una fruta de las tres ó - frutas de las tres ó las tres frutas de las tres, además en este caso no importa el orden$ por lo tanto usamos el 89&+99( 4E 649+9L& aplicado a la combinación: 3
A maneras diferentes B C
1
+
3
C 2 C 3
3
3 x 2
1
2 x1
A maneras diferentes B +
3
+
+
3 x 2 x1 3 x 2 x1
= 3 + 3 +1 = 7
Total $e sabores $i#erentes% 3 > 3 > 1 9 I 5
E'emplo 3% )e desea formar un comit" de / seleccionando 3 físicos = 0 matemáticos de un grupo de físicos y C matemáticos. ?4e cuantas maneras podrá seleccionarse@ Solución% n •
o )eleccionamos 3 físicos entre en 8
C 4 •
=
4 x3 x 2 x1
=
C 4
formas
6
6 x5 x 4
=
3 x 2 x1
=
6
C 3
8
C 4
2& 3&
20
n
C 1
n
C
k
C
n
n
=
k +1
1
n
=
6
n +1
C
k +1
n −1
C k
k −1
n
n k
=
n − k
C C
C
1 7 C 0
C
+
n
5&
n
=
n
=
n
k
k
n
n 7
=
4& C k =
6plico el 89&+99( 4E M*'99+6+9L&
c
P;OP"E)A)ES )E 1&
70
-o )eleccionamos 0 matemáticos entre C en C 3
•
8 x 7 x 6 x5
8
n −1
C n − k
k
1 C B /2 1 -2 B 322 3
OSE;@AC"/N% En la práctica se presentan $i#erentes combinaciones 0ue no resultan sencillas7 estas son las combinaciones con repetición. Para obtener las $i#erentes combinaciones con repetición $e FnG elementos en el cual a= repetición $e los elementos C;& a+rupa$os $e B en B7 se utili*a la si+uiente #órmula% n( n + 1)(n + 2)...........( n + k − 1) n n k 1
CR
k
=
C
+
k
−
=
k !
P;OE(AS ;ES,ETOS . ?+uántos numerales de - cifras se pueden formar con los dígitos , 0, y /@ 6< C
=< -
+< 2
4< 3
e<
Solución% (?TO)O 1% me$iante arre+lo numrico& +on los dígitos dados, formamos los siguientes n!meros: OBSERVACIÓN 31 33 35 37 En estos casos el orden es importante, además los elementos del con!nto p!eden repetirse, como por 51 53 55 57 eemplo " 11 , 33, ##, $$ 71 73 75 77 ;espuesta % Se pue$en #ormar 1 numerales 11
13
15
17
(?TO)O 2% me$iante la aplicación $e los principios $e análisis combinatorio& • •
a forma general del numeral pedido es : ab os valores que pueden tomar los dígitos a y b en el numeral
ab
son:
ab
OBSERVACIÓN 1) a toma 4 valores 2) b toma 4 valores 3) Para formar el numeral
prmero es!rbo las !fras "e las "e!enas(4 posbl"a"es) # lue$o la !fra "e las un"a"es ( 4 posbl"a"es), lue$o por 6el prn!po "e multpl!a!%n, la !ant"a" "e numerales ser& ' 4 4 16 ab
1 1 3 3 5 5 7 7
cantidad de n!meros B 3 1 3 B C -. 4eterminar cuántos numerales de 0 cifras e1isten en el sistema de base seis. 6< C2 •
=< - 2
+< 22
4< 32
e< 2
Solución % a forma general del numeral es abc , hallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base seis y luego multiplicamos el n!mero de las posibilidades OBSERVACIÓN" 1) *n base ses solo se "spone "e los "+$tos ' 0,1,2,3,4 # 5 2) a prmera !fra a no pue"e ser !ero, solo pue"e tomar las !fras ' 1,2,3,4 # 5- es "e!r 5 posbl"a"es 3) as !fras b # !, !omo no "!en .ue son "ferentes , pue"en tomar 6 valores o posbl"a"es
a b c 1
0
0
2
1
1
.
.
.
5
5
5
1 C 1 C B 2 numerales ;espuesta% Se pue$en #ormar 16 numerales 0. ?+uántos numerales de la forma: a(a + 2)b(b − 3)c8 e1isten@ 6< -C2 =< - 22 +< 022 4< -32
e< 2
Solución% • En estos tipos de problemas hay que tener en cuenta que cuando una variable representa una cifra, y "sta se repite en el numeral, entonces a dicha variable se le considera una sola vez al calcular la cantidad de numerales. • En nuestro problema, con la indicación anterior, tendremos: a (a
+
2)b(b − 3)c8
↓
↓
↓
1
3
0
2
4
1
.
.
.
5
7
7
cantidad de numerales B 1
1
B -22
;espuesta% se pue$en #ormar 2 numerales 3. ?+uántos numerales de tres cifras diferentes e1isten en el sistema de base decimal@ 6< D22 =< /2 +< 22 4< C3 e< /-3 •
Solución% a forma general del numeral es abc , hallaremos las posibilidades que pueden tomar a, b y c en base diez y luego multiplicamos el n!mero de las posibilidades, teniendo en cuenta que las tres cifras deben ser diferentes a b c
7
↓
↓
↓
1
0
0
2
1
1
.
.
.
.
.
.
9
(10 − 1)
(10 − 2)
A numerales B D 1 D 1 B C3 ;espuesta % se pue$en #ormar 46 numerales . ?+uántos numerales de la forma: • •
a(
14 a
)b (
b
3
)9
e1isten@
6< D =< +< -C 4< 3 e< -3 Solución% os valores de 5a7 deben se factores de 3 y además menores que D$ luego los valores posibles de 5a7 solo pueden ser : ,-,/ $ es decir hay 0 posibilidades. os valores de 5b7 son m!ltiplos de 0, menores que D$ luego los valores de 5b7 solo pueden ser: 2,0 y C$ es decir hay 0 posibilidades a(
14 a
)b (
b
3
)9
OBSERVACIÓN 1) por ser primera ci(ra no p!ede ser cero 2) A las posiilidades de * b se les aplica el principio de m!ltiplicaci+n 4
1
0
2
3
7
6
a4
4
cantidad de A B 0 1 0 B D n!meros ;espuesta % se pue$en #ormar n8meros
a4
4
4
C. ?+uántos n!meros de 0 cifras tienen por lo menos un C en su escritura@
6< DC =< +< -4< 32 e< -3 Solución% a< odemos representar el procedimiento de solución mediante un diagrama de %enn:
OBSERVACIÓN" Para allar los nmeros .ue tene por lo menos un 6 en su es!rtura, se !ons"eran' 1) os .ue tenen un solo 6 2) os .ue tenen "os 6 3) os .ue tenen tres 6
b< 4el gráfico anterior , se deduce que: A de cifras con por lo menos un C B A de tres cifras P A de tres cifras que no usan el C
abc
/ #
............ ;<
c< +alculamos el n!mero de tres cifras que e1isten: a
b
c
↓
↓
↓
1
0
0
2
1
1
.
.
.
.
.
.
9
10
10
cantidad de As B D 1 2 1 2 B D22
E%&'ICACIÓN" 1) a pue"e tomar los valores "el 1 al 9, es "e!r a# 9 posbl"a"es para las !entenas 2) para b # ! a# 10 posbl"a"es, #a .ue b # ! pue"en tomar los valores "el 0 al 9 3) Para allar la !ant"a" "e nmeros "e 3 !fras apl!amos el prn!po "e multpl!a!%n 8
d< +álculo del n!mero de 0 cifras que no usan cifra 5C7
E%&'ICACIÓN"
a
b
c
↓
↓
↓
1
0
0
2
1
1
.
.
.
.
.
.
9
10
10
1) a pue"e tomar los valores "el 1 al 9- sn !ons"erar el 7 es "e!r a# posbl"a"es para las !entenas 2) para b # ! a# 9 posbl"a"es, #a .ue b # ! pue"en tomar los valores "el 0 al 9, e!eptuan"o a 7 3) Para allar la !ant"a" "e nmeros "e 3 !fras apl!amos el prn!po "e multpl!a!%n
cantidad de As B 1 D 1 D B C3 e< 8emplazando los valores obtenidos en los pasos 5c7 y 5d7 en la ecuación ;< de l paso ;b<, se tiene: Q B D22 N C3 B -;espuesta % se pue$en #ormar 252 n8meros /< 4e un grupo de estudiantes, cuantos grupos diferentes de tres alumnos podrían formarse.
•
•
6< C =< 2 +< 4< e< Solución % (ETO)O 1% Por conteo $irecto )ean 6, =, +, 4 y E los alumnos, los diferentes grupos de 0 serían : 6=+, 6=4, 6=E, 6+4, 6+E , 64E, =+4, =+E, =4E, +4E ;espuesta % se pue$en #ormar 1 +rupos $i#erentes (ETO)O 2% Por #órmula +omo el grupo de alumnos 6=+, +=6 y =6+ son el mismo grupo de alumnos, entonces no interesa el orden de los elementos y se trata de una combinación: 5
5 x 4 x3
C 3 = 3 x 2 x1 = 10 ;espuesta % se pue$en #ormar 1 +rupos $i#erentes
< +on / sumandos diferentes ?+uántas sumas distintas de 3 sumandos se podrán efectuar@
•
6< C =< 0 +< 34< C3 e< /2 Solución % En la suma no importa el orden que se dispongan los sumandos , por lo tanto se trata de una combinación$ además para cada suma se escogen grupos de 3 sumandos de los siete de que se disponen. 7
7 x6 x5 x 4
C 4 = 4 x3 x 2 x1 = 35 ;espuesta % se pue$en #ormar 35 sumas $i#erentes
D< ?4e cuántas formas se pueden ubicar en una fila de / asientos 0 hombres y 3 mujeres, si estas deben ocupar los lugares impares@
•
6< C2 =< 0 +< 33 4< 3 e< /2 Solución % 8epresentemos gráficamente el problema, y luego emplearemos el principio de multiplicación
osibilidades
3 0 0 - - A de formas B 3 1 0 1 0 1 - 1 - 1 1 B33 ;espuesta % se pue$en ubicar $e144 #ormar $i#erentes 9
2< ?+uántos n!meros de 3 cifras diferentes y mayores que 222 , se pueden formar con los siguientes dígitos : , 0, 3 , C , D@
•
6< =< 3 +< -/ Solución % )ea : abcd el n!mero, entonces se tiene:
4< DC
e< 3D
E%&'ICACIÓN" 1) a- p!ede ser .- o /-, es decir tiene 2 a b c d posiilidades 0 -, tiene # 1) ↓ ↓ ↓ ↓ posiilidades0 c- tiene # 2) 2 4 3 2 posiilidades * d- tiene # 3) A de n!meros B - 1 3 1 0 1 - B 3 posiilidades *a 4!e las ci(ras deen ser di(erentes ;espuesta % se pue$en #ormar 46 n8meros $e cuatro ci#ras $i#erentes
< *n grupo de C personas desean escoger entre sus miembros un comit" de 0 personas que los represente. ?4e cuantas formas distintas se puede seleccionar dicho comit"@
•
6< -2 =< 3 +< 022 4< C2 e< 332 Solución % ara formar un comit" , no interesa el orden en que se dispongan las tres personas por lo que los posibles comit"s serán combinaciones de C personas tomadas en grupos de 0, así 16
16 x15 x14
C 3 = 3 x 2 x1 = 560 ;espuesta % se pue$e seleccionar el comit $e 5 #ormas $i#erentes
•
-< 6 la final de un torneo de ajedrez se clasifican 2 jugadores,?cuántas partidas se jugará si se juega todos contra todos@ 6< -2 =< 3 +< 022 4< C2 e< 332 Solución % )i 567 juega con 5=7 es lo mismo decir que 5=7 juega con 567, la partida es la misma, no interesa el or$en $e sus elementos, pero es una agrupación de - en -, de un total de 2 elementos. or lo tanto se trata $e una combinación 10
10!
10 x9
C 2 = 2! x8! = 2 x1 ;espuesta % se 'u+arán 45 parti$as
=
45
0< ?4e cuántas maneras diferentes podrá viajar una persona de 6 a 4 sin retroceder@
•
6< -3 =< 3 +< 0C Solución % 9dentificamos con un nombre a cada camino diferente:
10
4<
e< 02
•
6nalizamos por tramos: "& A) % para llegar a =, se puede utilizar cualquiera de los 0 caminos;, -, 0< se#alados. 4e = a 4 se puede ir por el camino z, luego habría 0 formas diferentes de llegar: z,-z,0z$ por lo tanto en el tramo A) a= 3 #ormas ""& AC)% para llegar a + se puede utilizar un camino para llegar a = ;,-,0< y luego otro camino para llegar a +;3,,C<. Rue aplicando el principio de multiplicación se tendría: 6
=
J maneras $e lle+ar $e A a C 9 pasan$o por
3
+ :
3
9
ero tambi"n hay dos caminos directos para llegar a + ;1,y<$ por lo tanto el n!mero total de caminos para llegar de 6 a + es : D F - B formas$ y de + a 4 hay 0 formas ;/,,D< Jinalmente se tiene: ⇒ De 6 a 4 4e 6 a + y de + a 4 formas •
•
0formas
1 0 formas
A total de formas diferentes B 00 formas En conclusión los caminos de ;9< y ;99< , pueden ser 6=4 ó 6+4 B 0 F 00 B 0C formas ;espuesta % 3 maneras $i#erentes 3< En un e1amen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas.?4e cuántas formas diferentes debe seleccionar, si el debe responder por lo menos, tres de las cinco primeras preguntas@ 6< C3 =< +< 2 4< 2 e< -2 Solución % El estudiante puede responder tres de las cinco primeras preguntas y 3 de las !ltimas preguntas$ ó cuatro de las primeras cinco preguntas y 0 de las !ltimas $ ó cinco de las primeras cinco y dos de las !ltimas. +omo no interesa el orden se trata de una combinación, por lo tanto tenemos: 5
C 3
5
5
5
5
5
+ C 4 x C 3 + C 5 x C 2 = 4
x C
5 x4 x3 3 x2 x1
x5 + 5 x
5 x4 x3 3 x 2 x1
+ 1 x
5 x4 2 x1
= 50 + 50 + 10 = 110
;espuesta % 11 maneras $i#erentes < El servicio de inteligencia de cierto país, desea enviar mensajes a sus agentes secretos. )olo quiere utilizar las siguientes letras: %, 6, M , ,9, 8, (.?+uántas palabras claves de cinco letras pueden formarse, si ninguna letra puede repetirse@ 6< --2 =< 2 +< 2 4< 22 e< -22 Solución % (to$o 1%usan$o el principio $e multiplicación&
11
Amaneras B / 1 C 1 1 3 1 0 (to$o 2%usan$o permutación& 7
P 5
•
B - -2 7!
=
(7 − 5)!
7!
=
2!
2! x3 x 4 x5 x 6 x 7
=
2!
=
2520
C< *n hombre tiene D bonos financieros de D compa#ías distintas, y piensa regalarlos a sus 0 hijos de la siguiente manera: a su hijo mayor, 3 $ a su segundo hijo, 0 $ y al menor -. ?4e cuantas formas puede repartir los bonos@ 6< C32 =< 0C2 +< C2 4< 22 e< -2 Solución % )e trata de una permutación con repetición donde intervienen todos los elementos. Say 3O Maneras de arreglar los bonos para su hijo mayor$ 0O Jormas para arreglar los bonos para el segundo hijo y -O Jormas para el hijo menor. uego se tiene: 9
P 4,3, 2
9!
=
4! x3! x 2!
=
4! x5 x6 x7 x8 x9
=
4! x3 x 2 x1 x 2 x1
1360
;espuesta % os bonos se pue$en repartir $e 13 #ormas /< a selección peruana de voleibol está conformado por - chicas. ?4e cuántas formas se puede conformar un equipo de C si se sabe que - chicas se niegan a jugar en el mismo equipo@ 6< •
2
12
=<
3 C 6
5 11 C 5 3
17
+<
6
10
4<
C 5
11 3
10
e<
C 5
4 10 C 4 9
Solución % a delegación de C chicas se puede presentar en los siguientes casos: 1er caso % )i no figura ninguna de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las seis chicas deben escogerse de entre2
12 − 2
A de equipos B C 6
=
10
C 6
=
10 − 6 + 1 6
10
C 5
=
5
OBSERVACIÓN" 5emos aplicado la propiedad" 10
C 5 6
n
C k =
n
−
k + 1 k
n
C k
1
−
2$o caso % )i figura una de las dos chicas que se niegan a jugar juntas, las otras cinco chicas deben escogerse de entre las2 restantes A de equipos B
∴ A total de equipos B
5
2
10
C 1 C 5 10
C 5 6
x
+
10
= 2C 5 10
2 C 5
=
17
10
C 5 6
;espuesta % El n8mero total $e e0uipos 0ue se pue$en #ormar es
•
10
C 5 6 < ?4e cuántas maneras diferentes se pueden sentar personas en una mesa redonda de asientos, si 0 están en espera@ 6< C32 =< 033 +< C2 4< -3 e< -2 Solución % El n!mero de grupos de personas que se ubican en la mesa circular es: 8
C 5 •
17
=
8 x7 x 6 x5 x 4 5 x 4 x3 x 2 x1
=
56
El n!mero de formas en que cada grupo de personas se pueden sentar en la mesa es: ; N
D< a tripulación de un bote es de 2 hombres, cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor. ?4e cuántas formas se pueden distribuirse para remar@, sabiendo que cinco hombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote@ P;OA
abor
Estribor
-
POPA +< 0O 1 ;O<-
-
•
6< 01 ;O< =< C1 ;3O< 4< - 1 ;0O
•
a, b, c y d pueden ubicarse a babor de
5
P 4 formas distintas ocupando 3 lugares ;observar que
en este problema el orden es importante<. os lugares que sobran a babor pueden ser ocupados por d, e ó f, es decir 0 formas distintas. uego los cinco lugares a babor pueden ser ocupados de: 5
P 4 . 0 formas o maneras distintas. •
6 estribor h, i, y j pueden acomodarse de
5
P 3 formas
diferentes ocupando 0 lugares$ y
sobrando - lugares. *no de los lugares que sobra puede ser ocupado de - formas diferentes, pues uno de los tripulantes e, f ó g ya está ubicado a babor, quedando ;0 N < de ellos para ocupar aquel cuarto lugar. El quinto lugar a estribor puede ser ocupado de ;0 N - < sola forma, por el que queda de los dos anteriores. or tanto los cinco lugares a estribor pueden ser 5
ocupados de : P .2.1 maneras diferentes. 3
•
+omo se trata de un suceso simultaneo , aplicamos el principio de multiplicación para los dos resultados anteriores: A de formas diferentes B ;espuesta %
3 x (5!)
2
5
P 4
5
5!
3
1!
. 0 1 P .2.1 B
.6.
5! 2!
= (5!) 2 .3
#ormas $i#erentes
-2< )e#ale cuántos productos diferentes, cada uno de tres factores primos, podrá obtenerse con los cinco factores primos : a, b, c, d, e ; a < b < c < d
5
C 1 = 5)
CASO 2% )os #actores son i+uales = uno es $i#erente K es $ecir % : 9 = K con * $i#erente 7 los pro$uctos serán% C B a a b $ / B a a c $ B a a d $ D B a a e $ 2 B b b a B b b c $ - B b b d $ 0 B b b e $ 3 B c c a $ B c c b 13
C B c c d $ - B d d e $
/ B c c e $ B d d a $ D B d d b $ -- B e e a $ -0 B e e b $ -3 B e e c $
)on -2 casos posibles
( 2
5
C 3 = 2 x10 = 20)
CASO % os 3 #actores son $i#erentes K es $ecir % : = * K7 los -C B a b c $ -/ B a b d $ - B a b e $ -D B a c d $ 0 B a d e $ 0- B b c d $ 00 B b c e $ 03 B b d e $ 5
)on 2 casos posibles ; C
3
-2 B d d c - B e e d
=
pro$uctos serán% 02 B a c e 0 B c d e
10 <
Hinalmente se ten$rá % 5 > 2 > 1 9 35 #ormas posibles (to$o 2 % Aplican$o combinación con repetición& •
En este caso aplicamos la fórmula:
CR 5
+on n B y I B 0 , es decir:
CR3
=
n k
=
n + k −1
C
k
5+ 3−1
C 3
=
=
n( n
+
1)(n + 2)...........( n + k − 1) k !
5(5 + 1)(5 + 2) 3!
=
35
;espuesta % 35 #ormas $i#erentes P;OE(AS P;OP,ESTOS . ?+uántos cables de cone1ión son necesarios para que puedan comunicarse directamente oficinas de las que hay en un edificio@ 6< -2 =< C +< - 4< 3 E< C -. as ciudades 6 y = están unidas por C caminos diferentes, = y + por 2 caminos diferentes y las ciudades + y 4 por caminos diferentes.?4e cuántas maneras diferentes una persona puede viajar de 6 a 4 pasando por = y +@ 6< -22 =< -C +< -32 4< 32 E< 32 0. a municipalidad de ima a ordenado que los moto ta1is sean amarillos y tengan las placas C caracteres ;0 letras seguidas de 0 n!meros<. ?+uántas placas diferentes se podrán formar@ ;considerar -C letras del alfabeto< 6< -20120 =<-C-12+< -C0120 4<-C12 0 E< -C1-1-3 3. ?+uántos n!meros de 0 cifras que sean impares, se pueden escribir con los dígitos: 3, , /, D y , si no se pueden repetir los dígitos@ 6< -2 =< C +< - 4< 3 E< 0C . 4e seis n!meros positivos y n!meros negativos, se escogen 3 n!meros al azar y se multiplican. +alcular el n!mero de formas que se pueden multiplicar, de tal C. manera que el producto sea positivo 6< C2 =< DC +< - 4< 32 E< /2 /. El equipo de fulbito de un salón de clase debe escoger - madrinas, una para el equipo y otra para las camisetas$ si en total hay candidatas. ?4e cuántas maneras se pueden escoger las - madrinas@ 6< C =< C +< - 4< C3 E< 0C 14
. )e tiene una urna con D bolas numeradas. )e quiere saber, ?de cuántas maneras podemos sacar primero - bolas, luego 0 y finalmente 3@ 6< C02 =< -2 +< 22 4< 2 E< -C2 c
D. ?+uántos numerales, en el sistema quinario, de la forma ( a + 3)b( ) @ 6< -2 4< 32
=< 2 E< 2
2
+< 22
2. ?4e cuántas maneras diferentes se pueden repartir los 2 miembros de un club en tres comit"s de , 0 y - miembros respectivamente@ 6< --2 =< 232 +< 332 4< - E< 22 . En una despedida de soltera, a la que asistieron sólo chicas todas bailaron entre si, al menos una vez. )i en total se lograron conformar - parejas diferentes, el n!mero de chicas que participaron fue....@ 6< C =< +< 4< 3 E< 0C P;OE(AS )E N"@E " . *na clase consta de / ni#os y 0 ni#as. ?4e cuántas maneras diferentes el profesor puede escoger un comit" de 3 alumnos@ 6< C2 =< -2 +< - 4< 33 E< 2 -. ?+uántas palabras diferentes de tres letras, aunque carezcan de significado, se puede formar usando las letras de la palabra E(& ;sin repetir las letras< 6< C2 =< DC +< - 4< 32 E< /2 0. +uatro chicas y dos varones van al cine y encuentran C asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ?4e cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las cuatro chicas quieren estar juntas@ 6< C2 =< /+< - 4< 33 E< C3 3. 'ienes libros,?de cuántas maneras diferentes puedes escoger uno o más de dichos libros@ 6< 02 =< 0C +< - 4< 32 E< 0 . ?+uántos n!meros de dos cifras pueden formarse con los dígitos: , - , 0, 3 y , si: a< os dígitos no pueden repetirse b< )i se permite la repetición 6< -2 y - =< y 0C +< -- y- 4< -2 y 32 E< C y 0C. uis tiene 2 amigos de los cuales invitará a su matrimonio solamente a /. ?4e cuántas maneras puede hacer la invitación si dos de sus amigos están enemistados y no pueden asistir juntos@ 6< C =
6< C2 4< 32
=< 0D2 E< -2
+< -2
. *na persona tiene o billetes de valores diferentes.?+uántas sumas distintas de dinero se puede formar tomados de 0 en 0@ 6< C2 =< C +< - 4< 32 E< /2 D. ?+uántos numerales del sistema octavario ;base < e1isten de la forma: c
(a + 2)b (b − 4) a ( ) @ 2
6< 2 4< D-
=< 33 E< /-
+< -
2. ?+uántos n!meros m!ltiplos de , menores que 3222 y de cifras diferentes se pueden formar con los dígitos del 2 al D@ 6< 2 =< 3D +< - 4< 0DE< 0/P;OE(AS )E N"@E "" . Say candidatos para presidente de un -. club, C para vicepresidente y 0 para secretario.?4e cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos@ 6< 2 =< C3 +< - 4< /E< D2 0. ?+uántas combinaciones pueden hacerse con las letras : a, b, c, d y e tomadas de cuatro en cuatro, entrando 5a7 en todas ellas@ 6< 2 =< 3 +< 4< E< 3. *na combi posee - asientos, 3 filas de 3 asientos cada uno con un pasillo al medio y al final asientos juntos. )e desea ubicar 0 pasajeros de los cuales - siempre van al lado de la ventana y 3 juntos al pasillo central.?4e cuántas formas se le puede ubicar, si hay 2 asientos con ventana disponibles@ 15 +< 15 6< ( )8! =< ( )15! 15 4
4
4<
15! 4
E<
(
4
)10!
15! 4!
. 6 una reunión asistieron 02 personas. )i se saludan estrechándose las manos, C. suponiendo que cada uno es cortes con cada uno de los demás.?+uántos apretones de manos hubieron@ 6< C2 =< 30 +< /2 4< -2 E< -2 /. En el sistema de base 57. ?+uántos n!meros de cinco cifras presentan alg!n 3@ 6< /0=< - +< 32 4< DC2 E< -2 . En el curso de matemáticas hay 3 profesores y profesoras. )e quiere formar comisiones de 3 personas, sabiendo que los profesores Martínez y +aballero no pueden estar en la misma comisión a menos que la comisión est" formada por lo menos por una mujer. ?+uál es el má1imo n!mero de comisiones que se puede formar@ 6< C2 =< 3 +< - 16
4< -
E< 2
D. En una empresa trabajan mecánicos. 3 Jísicos y - ingenieros Teólogos . )e desea formar una comisión de personas en la cual haya siempre un Jísico. ?4e cuántas formas se puede seleccionar dicha comisión@ 6< 2 =< 32 +< 2 4< -3 E< -2 -2. ?+uántos n!meros de 3 cifras se pueden formar con las cifras: , -, 3, C, / y $ de tal manera que sean menores que 222 y no permiti"ndose repeticiones de las cifras@ 6< 0 =< 032 +< -2 4< 33 E< 2 -. )e tienen C bolitas marcadas con los dígitos :, -, 0, 3, y C .?+uántos n!meros se pueden obtener@ 6< DC =< -3DC +< 22 4< -33 E< -22 --. 'engo sillas de las cuales son defectuosas. ?4e cuántas maneras podemos escoger sillas de las cuales por lo menos 3 sean defectuosas@ 6< 3D2 =< C2 +< 3C 4< 32 E< -2
17
