Maratón de Aritmética UNI 2002 - II
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CICLO
UNI
ANÁLISIS COMBINATORIO Dados ciertos conjuntos finitos, finitos, el análisis combinatorio se ocupa de determinar el cardinal de ciertos conjuntos de aplicaciones definidas entre ellos I ) Principios fundamentales de conteo:
Principios de Multiplicación: Si un evento (actividad) (actividad) “A” puede realizarse de de “m” maneras y despus de efectuado dic!o evento un se"undo evento “#” puede realizarse realizarse de “n” maneras diferentes, diferentes, entonces entonces el evento evento “A” se"uido del evento “#” puede efectuarse de (m$n) maneras$
a)
b)
Principios de Adición: Si un evento “A” puede realizarse realizarse de “m” maneras y otro evento “#” puede !acerse !acerse de “n” maneras, además no es posible de %ue ambos eventos se !a"an juntos, entonces el evento A o el evento # se !arán de ( m & n) maneras$
II ) Permutación: Son los arre"los %ue se !acen con c on los elementos de un conjunto, considerando c onsiderando el orden en %ue se disponen$ a) 'l nmero de ordenamiento ordenamiento lineales %ue se puede realizar con n elementos distintos está dado por por /( n)1 n! b)'l nmero de ordenamientos de “n” elementos de un conjunto, todos distintos, tomados de r en r está dado por
/ ( n0r )
n. =
n
* ≤
r ≤
−
c) 'l nmero de permutaciones lineales de “n” elementos no todos distintos, donde !ay r * elementos i"uales entre s+ y r elementos i"uales entre s+ y as+ sucesivamente !asta r - - elementos elementos i"uales entre s+, está dado por
/(n0 r *, r , , r - =
n.
Siendo r *&r &$$$&r - - ≤ n d) 'l n nme mero ro de permu permuta taci cion ones es de n elem elemen ento toss de un conju conjunt nto, o, todo todoss dist distin into tos, s, disp dispues uesto toss en form formar ar “circunferencial”(alrededor de un punto de referencia)$ 'stá dado por /c (n) 1 (n2* ) ! Humanizando al hombre con la educación
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III) Cominación: 3lamaremos combinaci4n de “n” elementos distintos tomados de r en r a todo subconjunto de r elementos incluido en el conjunto inicial de n elementos$ /ara formar una combinaci4n realizaremos una selecci4n sin considerar el orden de los elementos$ 'l nmero de combinaciones de “n” elementos de un conjunto, tomándolos de r en r, siendo 5 ≤ r ≤ n , está dado por
6 nr
n. =
r . n
−
o tambin r factores
6 nr =
n ( n − *) ( n − ) (n −
n Además 65
=*
n
0 6*
n
=
n
6n
n
=*
0 6 r
APLICACION!S "#
=
n
6 n − r
>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
7n producto se arma en 8 etapas$ 'n la primera etapa !ay 9 l+neas de armado0 en se"unda etapa
%#
/ara ir del local de ?acna al de San @elipe se
!ay : l+neas de armado y en la tercera etapa !ay
tienen : l+nea de combi, ; l+neas de coaster y 9
; l+neas de armado$
l+nea de microbs$
diferentes puede moverse el producto en el
se puede realizar dic!o recorrido en al"una de
proceso de armado=
estás l+neas= >pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
&# $#
Si ila"ros tiene 9 faldas %ue combina con 8
6uando una serie de productos se introducen en
blusas y tambin B pantalones %ue !acen jue"o
el mercado uno despus de otro, los introducidos
con ; polos diferentes$
al mercado posteriormente a menudo tienen
distintas podrá vestirse=
menos
>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
demanda
anteriormente$
%ue
Supon"amos
los %ue
presentados !an
de
introducir 9 productos en sucesi4n
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'#
De cuántas maneras diferentes podrán viajar C
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",# Se tiene a C personas %ue desean colocarse
personas en un autom4vil de 9 asientos, y una
alrededor de una fo"ata$
moto0 sabiendo %ue todos saben manejar moto,
a) <6uántas disposiciones diferentes pueden
pero s4lo 8 de ellos saben manejar autom4vil$
obtenerse= b)
>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
(#
Si Hicerata desea estar frente a u"er, < De cuántas formas se les puede ubicar=
3os asientos de : dele"aciones formadas por 8 venezolanos, ar"entinos, 8 colombianos y :
>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
peruanos deben ubicarse en una misma fila de
""# 6inco compaEeros de trabajo in"resan a un restaurante y desea ele"ir una mesa circular de 9 disponibles, con capacidad para ellos$
asientos$ pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
)#
Determinar de cuántas formas diferentes se puede acomodar en una fila de asientos a niEos, 8 niEas y 8 adultos de tal manera %ue las niEas nunca estn juntas$
"$# 'n un estante !ay *9 libros B de Aritmtica y ; de Jl"ebra$ Se desea tomar C libros de tal manera %ue : sean de Aritmtica y 8 de Jl"ebra$
>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
*#
6uántas palabras de *5 letras con o sin si"nificado se pueden formar con las letras de la palabra /A6FA6FA6A= >pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
+#
'n un bolillero !ay 8 bolillas blancas, bolillas ne"ras y bolillas rojas$
>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
"%# 3a academia 6+rculo decide formar su e%uipo titular de ftbol compuestos por ** ju"adores0 y tiene para esco"er de 0;090 C0: y 8 ju"adores de las planas de A0 K0 L0 ? 0@ y M respectivamente$ Se decide tomar 9 de A0 de K0 de L0* de ? y * de @ o M$ pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
a una por vez= >pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
"&# 7na seEora tiene ** ami"os de confianza$
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>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
"'# 6on C in"enieros y B ar%uitectos se debe formar dele"aci4n de 9 miembros$
A)
*8:
D)
*8*;
#) *9;
6) *: ') *:9
$,# Determinar cuántos nmeros de : cifras eGisten tales %ue la suma de sus cifras sea menor a 88$ A)
5:
D)
9:8
#) 9*
6) 89: ') B;9
>pta$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
$"# >onald !a eGtraviado el nmero telef4nico de su
PROBL!MAS "(# 7n estudiante debe inscribirse en cursos
abuelo, pero recuerda %ue era par y no terminaba
electivos de un conjunto de ; posibles$ Si dos de
en ;,y las cifras de mayor orden sumaban *C y
dic!os cursos se imparten a la misma !ora y los
las restantes tienen como producto *5$
demás tiene !orarios %ue no se cruzan$
<6uántas llamadas infructuosas realizar+a como
Determinar de cuántas formas puede realizarse
máGimo=
su elecci4n$
A)
**B
D)
*;C
A)
*5
D)
5
#) *:
6)*
#) *8*
6) *:9 ') *C8
') :
$$# Determinar cuántos numerales de la forma ")# Se tiene ; parejas de casados los cuales asistieron a una reuni4n social$
:9
D)
9
#) 95
6) 99 ') ;5
"*# Se tiene : cajas en las cuales se deben colocar B bolas diferentes$
*;5
D)
*B;55
#) *8:5
6) *B5;5 ') 5*;5
"+# 'n una caja !ay C lapiceros azules, 9 rojos y : verdes$ Se eGtraen 9 lapiceros a cie"as0
abcD pueden formarse con todas las otras si"nificativas admisibles, tal %ue aNbNc$ A)
*
D)
89
#) 5
6) ') :
$%# 'n un circo se desea formar una columna compuesta por 9 bailarinas y : malabaristas$ 7n malabarista no puede ir detrás de otro$
8B;55
D)
:855
#) :555
6) :*:55 ') :9;55
$&# 7n barman tiene : licores O!is-y, vod-a, pisco y caEazo$
*5
D)
*5
#) *95
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6) *C: ') *5
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$'# 7n ropero contiene “n”pares de zapatos$ Si se esco"e al azar “r” zapatos (r N n),
A) ,
#)
6, r , r
,
n
n
6 r
6)
n
$ 6 , r
D)
, r
n + r
,n
$ 6 ,r
')
n
, $ 6 r
Lima, Junio del 2002
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