ANALISIS COMBINATORIO
Parte de la matemática que se encarga del estudio y propiedades de los grupos que puede formarse con elementos dados (números, letras u objetos), distinguiéndose entre sí por el número de elementos que entran en cada grupo, por la clase de estos elementos y por el orden de colocación. Permutación
Son todos los diferentes arreglos u ordenamientos que se pueden realizar con una parte o con todos los elementos de un conjunto. Dependido de los elementos y de la forma de realizar los arreglos (el orden) =
! ( − )!
Ejemplo:
Dadas las letras A, B y C, realice todos los ordenamientos de dos letras diferentes que se pueden realizar con las letras dadas. 3! (3 − 2)!
=
1∙2∙3 1!
Principio de multiplicación Si un acontecimiento A puede efectuarse de “m”
maneras diferentes diferentes y cuando ha sido efectuado por por cualquiera de esas maneras , se realiza otro acontecimiento acontecimiento B, que puede efectuarse de “n” maneras
diferentes, entonces ambos acontecimientos (A y B) se pueden realizar de mxn maneras diferentes. Ejemplo:
Dónde: n: número de elementos del conjunto principal. k: número de elementos de los conjuntos parciales.
=
B: por vía terrestre El hecho de viajar poder usar solo un medio y no de manera simultánea ni uno seguido del otro, entonces: N(A)=2 N(B)=3 2+3=5
6 = = 6 1
Ángela cuanta con tres blusas distintas y dos pantalones también diferentes. ¿De cuantas maneras puede vestirse Ángela con dichas prendas de manera adecuada? A: blusas B: pantalones Como por cada pantalón que use puede usar tres blusas, se tiene: N(A)=3 N(B)=2 3x2=6
Combinación:
Son todos los grupos o subconjuntos que se pueden formar con una parte o con todos los elementos de un conjunto determinado. Hay que tener en cuenta que al formar los grupos el orden no interesa (el orden de los elementos de cada grupo no hace que se diferencien) =
RAZONAMIENTO COMBINATORIO
1.
! ! ( − )!
Dónde: n: número de elementos del conjunto principal. k: número de elementos de los conjuntos parciales
2.
Ejemplo:
Para un trabajo grupal un docente les pide a sus 6 estudiantes que formen parejas para hacer el trabajo. Cuantos son los posibles grupos que se puedan formar. =
6! 2! (6 − 2)!
=
1∙2∙3∙4∙5∙6 1 ∙ 2 ∙ ( ∙ (1 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4)
= 15
Principio de Adición Si un acontecimiento A puede realizarse de “m” maneras diferentes, otro acontecimiento B puede realizarse de “n”
maneras diferentes, y no es posible realizar ambos acontecimientos de manera simultánea o uno seguido del otro; entonces , llevar a cabo cualquiera de ellos (A o B) se podrá realizar de m+n maneras diferentes Ejemplo:
Iván puede viajar de Lima a Chiclayo por vía aérea, usando 2 líneas de transporte aéreo o por vía terrestre a través de 3 líneas de ómnibus. ¿De cuantas formas puede realizar el viaje de Lima a Chiclayo? A: por vía aérea
3. 4. 5. 6.
7.
Un persona puede invertir la mitad de su dinero en Fondos Mutuos de tres financieras y la otra mitad en cuentas plazo de cuatro bancos. ¿De cuántas formas distintas puede organizar su cartera de inversión? En el congreso, PPK tiene 16 congresistas, dada sus características profesionales, él ha decidido convocar a tres de ellos para cargos ministeriales ¿Cuántas ternas distintas podría evaluar? ¿Cuántos números de tres dígitos puedes hacer usando los dígitos 1, 2 y 3? Hay nueve personas en una fiesta y cada una da la mano a otra. ¿Cuántos apretones de mano hubo? ¿Cuántos números diferentes puedes escribir usando los dígitos 4, 5, 6, 7? Samuel, Juan, Pamela y Nancy pueden ser presidente o vicepresidente de un Club. Los cargos cambiarán cada mes hasta que todas las combinaciones hayan sido agotadas. ¿Cuántos meses tomará esto? Cinco parejas de hermanos y hermanas participaron en un conjunto de danza. Las edades de cada uno de los participantes se muestran en la tabla de abajo. Únicamente una pareja ganó el concurso de baile. Utiliza
las pistas que te damos para encontrar los nombres de la pareja de hermanos que ganó el concurso: 8. Se quiere seleccionar 15 niños de un grupo de 20. ¿De cuántas maneras distintas podremos hacerlo? 9. A una reunión asistieron 30 invitados si cada invitado da la mano a todos los otros ¿Cuántos apretones de manos se dieron en la fiesta? 10. Se quiere seleccionar 4 mujeres y tres hombres de un grupo de 12 personas, en el cuál 7 son hombres y el resto mujeres. ¿de cuantas formas puede hacerse esta selección? 11. ¿Cuántas palabras distintas de pueden formar con las letras de la palabra PAPAYA? Tenga en cuenta que no importa el significado, solo interesa que la palabra sea de 6 letras y éstas sean las de la palabra PAPAYA. 12. En el diagrama se muestra la red de carreteras que unen los pueblos A, B, C y D. A
B
D
C
¿De cuántas formas diferentes se puede viajar de A a C? 13. Juan tiene 6 libros diferentes: 3 con pasta roja y 3 con pasta azul. ¿De cuántas formas diferentes podrá arreglar estos libros en un estante de tal manera que los libros vecinos no tengan pasta del mismo color? 14. Edgard y Verónica recortan una foto de Ronaldo, una de Romario y una de Rivaldo en 3 partes cada una (frente, nariz, boca) y las juntan formando nuevas caras. ¿Cuántas caras diferentes se pueden armar? Edgard toma la frente de Ronaldo para volver a armar su cara. ¿Cuántas posibilidades tiene ahora de elegir a la vez la nariz y la boca equivocadas? 15. Un conductor choca otro auto y se da a la fuga. Tomás observó el choque, pero no pudo ver la placa con exactitud. Después del signo de la ciudad, seguían dos letras, M o N, y un número de tres dígitos con las cifras 6; 8 ó 9.
¿Cuántos autos tendrían que ser revisados por la policía? 16. ¿Cuántas posibilidades hay para repartir 3 premios entre 20 personas, si…?
17. Un restaurante le solicita a la florería Flora pequeños arreglos florales que contengan una rosa, un clavel y un anturio, respectivamente. ¿Cuántos arreglos florales distintos pueden ser enviados al restaurante?