Analisis Combinatorio

 ANÁLISIS COMBINATORIO. COMBINATORIO. PUNTOS TEÓRICOS 

I.

en donde cada e2!erimento !uede uceder un número finito de "ece

FACTORIAL DE UN NÚMERO Eem!lo& (i en una !rueBa de& Gerdadero ;G= # Falo ;F=0 $a# tre !re) !re)un unta ta. . HDe HDe cu:n cu:nta ta form forma a dife difere rent nte e !ued !ueden en contetare eta tre !re)unta

El factorial de un número, e el !roducto de lo número entero !oiti"o # conecuti"o com!rendido dede la unidad $ata cierto número dado. Eto e denota a%&

n' ó

Reoluci9n&

n

1 P

- P *

(e lee de la i)uiente forma& *Factorial de n+ o *n factorial+

*

F

E decir& n'

n

=

,x - x x / x... x ( n - - ) ( n -,) n 0

=

n ��

*

F

+

F

Calculo de lo 1 !rimero factoriale& Factorial ' -' ' /' 4' 3' 5' 6' 7' 1'

Forma desarrollada  22-2 2-22/ 2-22/24 2-22/2423 2-22/242325 2-22/24232526 2-22/2423252627 2-22/242325262721

Resultado  3 -/ -1 5-1 41/1 /1-1 3-661 3-6611

R!ta& GGG0 GGF0 GFG0 GFF0 FGG0 FGF0 FFG0 FFF. 8 Formas. III.

Principio de multiplicación. “m”  manera, # (i una o!eraci9n o!eraci9n !uede efectuare efectuare de “m”  una una e)u e)und nda a o!er o!erac aci9 i9n n !ued !uede e efec efectu tuar are e de “n” manera, la do o!eracione e !odr:n efectuar de “m x n” manera. n” manera. mane nera ras s� J m J ma Total Total de forma formas s = mxn mxn � J n J mane manera ras s� Eem!lo& Maria tiene / Blua, - falda, # - !are de Ka!ato. UtiliKando una de cada ti!o de la !renda mencionada. HDe cu:nta manera diferente e !uede "etir Maria

El fact factori orial al 9lo 9lo et: et: defi defini nido do cuan cuando do el númer número o e entero no ne)ati"o, eto e manifieta a%& ; < ;2-22/= > <-/ ;?/=' & no e2ite !ero& '?/ > ;2-2=?/ > ?; - =' & no e2ite !ero& ' - > 2-22 - >3

Reoluci9n& Total de manera diferente& / 2 - 2 - > 3



R!ta. 16 maneras





2.

Principio de adición. (i una o!eraci9n o uceo tiene “m” reultado “m” reultado !oiBle u otra otra o!erac o!eraci9n i9n tiene “n”  “n”  reultado !oiBle, entonce n) reultado !oiBle cuando e2actamente e2iten (m + n) reultado una de eta o!eracione tiene lu)ar 

-

-.

Como Como e2!r e2!re ear ar un fact factor oria iall en t@rmi t@rmino no de otro otro factorial menor. Eto e manifieta a%&

J m J ma mane nera ras s�

3' = 3 x 4' � 6 44 74' 4 48 � 3 ' = ,14  x -2 x 3' = 3x 4 x /' 43 4x3/ x 4 x 3 � � /' � 3 � ' = 3 x 4x /x  '

Tota Totall �

(

.

-

,) ' = n x ( n

-

,) x ( n

-

- ) ' = .. ...

De lo lo ante anteri rior or e e dedu deducce&

4.

=

,� n

=

b0 d onde a0 b ��

DIARAMA DEL ROL Un dia)rama de :rBol e el d iBuo ue e ua !ara enumerar  todo lo reultado !oiBle de una erie de e2!erimento

R!"#$%&#'" $'&$'%" $'&$'%"

+n

R!ta. 40 maneras

1 �n = ,

8ara 8ara do do númer número o *a+ *a+ # *B+ *B+ enter entero o # !oit !oiti" i"o o,, e cum!le& a ' = b' � a

II.

=

m

Reoluci9n& O!cione diferente de incriBire en un olo curo& -1  -  6 > /1

(e defi define ne !or !or con" con"en enci ci9n 9n&&

n'

=

Eem!lo& (i en una una facu facultltad ad de la UNU UNU e ofre ofrece cen n -1 cur curo o diferente !or la maana, - !or la tarde # 6 !or la noc$e. HCu:nta HCu:nta o!cione o!cione diferente diferente tiene un etudiant etudiante e de incriBire en un olo curo

1' = , �,' = ,

/.

de fo form rmas as

J n J mane manerras �

EN ENERAL& n' = n x n

8RINCI8IO( FUNDAMENTALE( DEL CONTEO 1.

8RO8IEDADE(& .

, P * F * F * F * F

IG.

TCNICA( DE CONTEO .

8ERMUT RMUTAC ACI IN& N& Permutación. Permutación. Una Una !erm !ermut utac aci9 i9n n e un con conun unto to ordenado de P+n+ elemento& P( n )

=

n'

Caracter%tica& Lic. RoBin Omar C$uui!iondo allardo







Entran todo lo elemento en lo ordenamiento. Interea el orden de lo elemento.

n

VR 

r 

=

n

r 

Eem!lo& HDe cu:nta manera diferente e !ueden uBicar / !erona, en una Banca con e!aldar de / aiento

Eem!lo& HCu:nto número de do cifra e !ueden formar con lo d%)ito 0 0 40 5, i e !ermite re!etici9n de d%)ito

Reoluci9n& n > / # r > /  8;/= > /' > -/

Reoluci9n& VR - = /

R!ta. -4 maneras

R!ta. 16 n/meros

/

Permutaciones irculares. Una !ermutaci9n circular de *n+ elemento e el número total de ordenamiento ue e !ueden realiKar con ello alrededor de una circunferencia. El orden de lo elemento e toma con re!ecto a uno de lo elemento. PC( n )

=

.

-

=

,3

COMINACIN. ominaciones. (on lo diferente a)ru!amiento ue e !ueden realiKar con *n+ elemento tomado de *r+ en *r+.

( n - ,) '

r 

Eem!lo& HDe cu:nta manera e !odr: ordenar / !erona alrededor de una mea redonda Reoluci9n& n > / 8C;/= > ;/ < ' > ' > 3 R!ta. 6 maneras Permutaciones con Repetición. Dado *n+ elemento de una clae, *n -+ elemento de otra clae, *n+ elemento de una tercera clae, etc@tera. (i n > nn-nQ, entonce e denomina !ermutacione con re!etici9n al número de ordenamiento *n+ elemento tomado todo a la "eK& n'

n

P 

n,0n- 0n 0...

=

Reoluci9n&

P -0-0,0,

=

3' -'.-'.,'.,'

=

3 X 4 X / X  X -' -'.-

( n - r ) '.r '

Caracter%tica& 

No interea el orden de u elemento, !orue un )ru!o de elemento uBicado en cualuier  orden, reulta iendo el mimo )ru!o # re!reenta una ola comBinaci9n. Eem!lo& HCu:nto a)ru!acione de do cifra e !ueden formar  con lo d%)ito 0 0 40 5, i no e !ermite re!etici9n de d%)ito Reoluci9n& /'

/

/'

/ x  x -'

C - = ( / - -) '.-' = -'.-' = -'.-'

=

3

ominaciones con repetición. (on lo diferente a)ru!amiento ue e !ueden realiKar con *n+ tomado de *r+ en *r+0 en la cual lo elemento !ueden re!etire en lo a)ru!amiento. n

=

CR 

,61

r 

=

n + r  -,

C r 

Eem!lo& HCu:nto a)ru!acione de do cifra e !ueden formar  con lo d%)ito 0 0 40 5, i e !ermite re!etici9n de d%)ito

R!ta. 180 maneras -.

=

R!ta. 6 cominaciones

n, ' xn- ' xn ' x...  

Eem!lo& HDe cu:nta manera e !ueden ordenar la letra de la !alaBra PR

3

n'

n

C 

GARIACIN. *ariación. (on lo diferente ordenamiento ue e !ueden realiKar con *n+ elemento tomado de *r+ en *r+.

V 

n'

n r 

=

/+ --,

C-

( n - r ) '

Caracter%tica& Entran al)uno elemento en ordenamiento. Interea el orden de lo elemento. 

Reoluci9n& =

4

4'

4'

C - = ( 4 - -) '.-' = ' .-' =

4 �/ �'  '.-'

=

,1

R!ta. 10 cominaciones lo



Eem!lo& HCu:nto número de do cifra e !ueden formar con lo d%)ito 0 0 40 5, i no e !ermite re!etici9n de d%)ito Reoluci9n& /

/'

/'

V - = ( / - - ) ' = -' =

/ x  x -' -'

=

,-

R!ta. 1- n/meros *ariaciones con repetición. (on lo diferente ordenamiento ue e !ueden realiKar con *n+ elemento tomado de *r+ en *r+. en la cual lo elemento !ueden re!etire en lo ordenamiento. R!"#$%&#'" $'&$'%"

Lic. RoBin Omar C$uui!iondo allardo

-

 A) 21 B) > C) 3 D) 12 E) < Halle X si: ; x + ='; x  + 4=' ; x + ='+ ; x + /=; x  + ='

=

,-1

 A) 1 B) > C) 54 D) 1+2 E) 21  A) 1 B) 2 C)3 D)4 E) 5 Una pes!na "esea #ia$a "e %i&a a Ta'na( paa ell! "isp!ne "e 3 lneas a*eas( + lneas ,ees,es - 1 ,a &a,i&a.  A) 54 B) 1+ C) 21 D) 1+ E) 1+  A) 24 B) 12 C) 32 D) 1 E) 3 Cal!s "esea '!&pa n ,ele#is!( paa l! 'al 6a '!nsl,a"! en ,es ,ien"as7 la pi&ea !8e'e 3 sis,e&as "e '*"i,!( la se9n"a !8e'e 4 sis,e&as "e '*"i,! - la ,e'ea !8e'e 5 sis,e&as "e '*"i,!.

Sa&an,6a "esea '!&pa n li;! "e Ai,&*,i'a e es #en"i"! en ,es l9aes "is,in,!s: en,e al &e'a"! &a-!is,a en < pes,!s "is,in,!s7 en el . Bella#is,a en + l 9aes "is,in,!s7 - en el 'en,! "e la 'i"a" en  li;eas "i8een,es.  A) 15

B) 33

C) 22

D) 2

E) 21

C) 2

D) 

E) 4

C) 1

D) 5

E) 3

 A) 12 B)  C) 24 D) 4+ E) 12 Un al&n! ,iene + pan,al!nes( 5 'a&isas - 3 paes "e apa,!s( ,!"!s "e "is,in,! '!l!.

 A) 12

B) 24

Tes #ia$e!s lle9an a na 'i"a" en la e 6a- 4 6!,eles.

 A) >

B) 

 A)  B) 12 C) 24

Un ,!,al "e 45 es,e'6a"as "e & an! e8e',a!n al 8inal "e na enin( sp!nien"! e 'a"a n! "e l!s pa,i'ipan,es es '!,*s '!n 'a"a n! "e l!s "e&0s.

 A) 4

B) 12 C) 3 D) 24 E) 15

D) 2 E) 3

Se ,ienen 5 '!,es "e ,ela( ,!"!s "e "is,in,!s '!l!es - n as,a '!n l9a paa 3 '!,es "e ,ela.

 A) 12 B) 24 C) 4+

D) 

 A) 4

B) 2

 A) +

B) 14

C) 15

D) 1

E) 5

D) 1

E) 

E) 12 C) <

 A)  B) + C) 12 D) 24 E) 3

Si ,iene lapi'e!s "e < '!l!es.

 Ana ,iene 4 ;lsas - 5 &ini8al"as( ,!"as "e "i8een,es '!l!es.

 A) 3

C) <2

D) 144

E) 5

Gina ,iene  ;lsas( 5 8al"as - 3 paes "e apa,!s. U,ilian"! na "e 'a"a ,ip! "e las pen"as &en'i!na"as.

 A) 12 B) 2 C) 1 D) 1> E) 13

 A) >

 A) > B) 125 C) 325 D) <<5 E) 25

E) 2+

B) 3

C) 45

D) 15

E) 15

Paa lle9a "e la 'i"a" A a la 'i"a" B 6a- + ,as ,ees,es  < ,as a*eas.

 A) 5

 A) 5 4 ;) <2 ') 3 D) 144

B) 4

B) 

C) 3

D) 45

E) 15

Una es,"ian,e ,iene paa #es,ise  ;lsas( 3 8al"as( 4 pan,al!nes( 2 s6!,s( - > paes "e apa,!s.

 A) 52

B) 4+ C) 4+2

D) 4+

E) 24

 A) 4+

B) 12

D) 3 E) 24

 A)  B) 5 C) 4 D) <2 E) 12

C) <2

 A) <2 B) 24 C) 4+ D)  E) 3

R!"#$%&#'" $'&$'%"

Lic. RoBin Omar C$uui!iondo allardo



 A) 42

B) 4+

C) 21

D) 1<2

E) +4

/De '0n,as 8!&as "is,in,as se pe"en sen,ase 4 pae$as "e n!#i!s ale"e"! "e na &esa 'i'la

 A) >

B) 1

C) 2

D) 4

E) N.A.

Del enn'ia"! an,ei!.

 A) <2 B) 54 C) 3 D) 24 E) 432  A) 4

 A) 1+

B) 432

C) 54 D) 144

E) <2

B) 4

C) 3>

D) 3>

E) N.A.

 %!s "a"!s s!n "e "i8een,e '!l!)  A) 3

B) 4

C) <2

D) 144

E) N.A.

En la 8i9a 'a"a lnea epesen,a n 'a&in!.  A) <4+

B) 4+

C) 24

D) 12 E) <+

Seale la 'an,i"a" "e 8!&as "i8een,es e < a,le,as pe"en e'i;i  &e"allas "e !!( pla,a - ;!n'e en na '!&pe,en'ia en "!n"e n! 6;! e&pa,e al9n!.  A) 12

B) 15 C) 21 D) 24

 A) 1

B) 4+

C) 24

D) 12

E) N.A.

E) 3

Un eip! Cien,8i'! '!ns,a "e 2 &ie&;!s "e l!s 'ales 4 s!n in9enie!s7  A) 1+

B) 12

C) >

D) 1+

E) N.A.

C!n ,!"as las le,as "e la pala;a FA%BABA  A) 

B) 5+

C) 5> D) 5<

E) 5

En na enin 6a- 4 pes!nas.  A) <4 B) <+ C) < D) <5

 A) 5 E) <

B) 42

C) 24

D) 3

E) N.A.

Se iee '!ns,i n '!lla '!n 1 pelas. 3 ales( 2 ;lan'as( 2 !$as( 1 #e"e( 1 a&ailla( 1 &an. Si es,0s 3 =l,i&as "e;en es,a $n,as.

Una na '!n,iene  ;!las ;lan'as - 5 ;!las ne9as.  A) 12  A) 1+ B) 1 C) 15

D) 1 E) 1<

B) 3

C) <2

D) 21

E) N.A.

Ca,! pae$as "e n!#i!s(

C!n las 8,as: papa-a( pia( 'aa&;!la( 9an0;ana( ,apei;a.  A) <2  A) 31

B) 3

C) 32

D) 34

E) 3

En n ,!ne! "e a$e"e $9a!n en ,!,al 524 pa,i"!s - se sa;e a"e&0s e 6;ie!n 2 e"as. En la pi&ea $9a!n ,!"!s '!n,a ,!"!s - en la se9n"a $9a!n l!s + &e$!es.

 A) 35

B) 3

C) 34

D) 33

E) 32

B) 12

C) >

D) >

E) >2

El n=&e! "e #aia'i!nes "e F? !;$e,!s 8!&a"!s "e seis en seis es <2 #e'es el n=&e! "e '!&;ina'i!nes "e es!s &is&!s !;$e,!s ,!&a"!s "e 'a,! en 'a,!.  A) 1

B) 12

C) 13

D) 15

E) 1<

Enn'ia"!I paa l!s p!;le&as 13 - 14) El 'api,0n "e n -a,e s!li'i,a ,es &aine!s( pe! se pesen,an sie,e:

e'6e ,iene 5 paes "e apa,illas - < paes "e apa,!s( "e "i8een,es '!l!es.

 A)

12 B) 24

C) 5 D) <

E) N.A.

 A) 35

B) 21

C) 21

D) 54

E) 14

Del enn'ia"! an,ei!.

 A) 12

B) 

C) 24

D) 4+

E) N.A.

 A) 3

B) 

C) >

 Ali'ia "esea i a na 8ies,a paa la 'al "isp!ne "e 3 ;lsas( 2 8al"as 4 '6!&pas ,!"as las pen"as "e "i8een,e '!l!).

C!n < '!l!es "is,in,!s.

 A) >

 A) 21

B) 12

C) 24 D) 3 E) N.A.

R!"#$%&#'" $'&$'%"

B) 21

C) 24

D) 15

D) 35

E) 12

E) 1

Lic. RoBin Omar C$uui!iondo allardo

/

 A) 24

B) 2

C) 2+

D) 3

E) 33

Sa;e n! es s8i'ien,e( "e;e&!s apli'a. Desea n! es s8i'ien,e( "e;e&!s 6a'e.

R!"#$%&#'" $'&$'%"

Lic. RoBin Omar C$uui!iondo allardo

4