El análisis combinatorio es la parte de la Matemáticas que estudia el número de ordenamientos o grupos que se pueden formar con las cosas o los elementos.
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Sea "r un número entero positivo, el factorial de "n", se denota por "n!" o "In" y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta la unidad inclusive. n! = 1x2x3x4x ….x(n - 1) x n
Ejemplos:
1!=1 2!=1x2 = 2 3!=1x2x3 =6 4!=1x2x3x4 = 24 5!=1x2x3x4x5 5!=1x2x3x4x5 = 120 6!= lx2x3x4x5x6 = 720 7!=1x2x3x4x5x6x7 7!=1x2x3x4x5x6x7 = 5040 8 1=1x2x3x4x5x6x7x8 =1x2x3x4x5x6x7x8 =40320 9!=lx2x3x4x5x6x7x8x9 9!=lx2x3x4x5x6x7x8x9 =362880 10!=lx2x3x4x5x6x7x8x9x 10!=lx2x3x4x5x6x7x8x9x =3628800
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES DE CONTEO
En los ejemplos siguientes, nos damos cuenta que dado un evento particular (alinear las 3 esferitas o formar una pareja), estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en que puede ocurrir. Para determinar las veces que ocurre un determinado evento, haremos uso de las técnicas de conteo,
THALES DE MILETO
Nació : alrededor del año 640 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía) Falleció : alrededor 560 AC en Mileto, Asia Menor (ahora Turquía) Thales era un hombre esencialmente práctico : comerciante, hábil en ingeniería, astrónomo, geómetra, estadista. Se le incluye por tradición entre los Siete Sabios . Como comerciante se cuenta de él que un año, previniendo una gran producción de aceitunas, monopolizó todos los lagares para hacer el aceite, con lo cual obtuvo una espléndida ganancia. Como lo que ahora llamaríamos ingeniero, estuvo dirigiendo obras hidráulicas y se dice que desvió el curso del río Halis mediante la construcción de diques. Como astrónomo fue más célebre, predijo el eclipse total de sol visible en Asia Menor, como asimismo se cree que descubrió la constelación de la Osa Menor y que consideraba a la Luna 700 veces menor que el sol. También se cree que conoció la carrera del sol de un trópico a otro. Explicó los
que serán de gran ayuda en estos casos.
EVANGELISTA TORRICELLI
Nació : 15 de Octubre de 1608 en Faenza, Romagna (Ahora Italia)
Falleció : 25 de Octubre de 1647 en Florecia, Tuscany (Ahora Italia)
Torricelli ingresó al colegio jesuita de Faenza en el año
1. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN MULTIPLICACIÓN
1624. Fue al Colegio Romano en Roma donde mostró un gran
(Teorema fundamental del análisis combinatorio)
talento, el cual vio Castelli,
Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas, otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento "A" seguido de "B", ocurre de " m x n " maneras. Observaciones: * En este principio, la ocurrencia es uno a continuación del otro, es decir, ocurre el evento "A" y luego ocurre el evento "B". * Este principio se puede generalizar generalizar para más de dos eventos.
quién envió a Torricelli a la Universidad
de
Sapienza.
Sapienza era el nombre del edificio que la Universidad de Roma ocupaba en ese tiempo y daba
su
nombre
a
la
Universidad. Así como las cosas enseñadas por
2. PRINCIPIO DE ADICIÓN: Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de "m + n" maneras. Observaciones: * En ese principio, la ocurrencia no es simultáneamente, simultáneam ente, es es decir, ocurre el evento "A" o el evento "B"; pero no ambos a la vez. * Este principio se puede generalizar para más de dos eventos.
Castelli
hicieron
que
Torricelli se convirtiera en su secretario y lo ayudará en el puesto que éste tuvo entre los años 1626 al 1632. Durante los próximos nueve años sirvió como secretario de Ciampoli y posiblemente
a
otros
profesores. Torricelli fue el primero en crear un indicador de vacío y en descubrir
el
principio
del
barómetro. En el 1643 Torricelli
PERMUTACIÓN
propuso
realizar
un
experimento, que más tarde fue presentado por su colega Vicenzo demostró
Viviani, que
el la
cual presión
Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una permutación, sí interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar presentar en tres casos: 1. PERMUTACIÓN LINEAL: Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. Si tenemos un conjunto de cuatro elemento: A = {a , b , c , d}, los posibles arreglos o permutaciones de este conjunto tomados de 2 en 2 son :
ab ; ba ; bc ; cb ac ; ca ; bd ; db ad ; da ; cd ; dc WILHELM WEBER
En genera general:l: El número de permutaciones de "n" elementos diferentes tomados tomados de "K" en "K", se calcula como: n
PK
n!
n
;0
K !
Wilhelm Weber desarrolló el magnetómetro, trabajó en la razón entre la electrodinámica, electroestática y en la estructura eléctrica de la materia.
Observaciones:
Nació : 24 de Octubre de 1804 en Wittenberg, Saxony (Ahora Alemania) Falleció : 23 de Junio de 1891 en Gottingen, (Ahora Alemania)
Cuando se toman todos t odos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos (es decir K= n), se dice que es una permutación de "n" elementos y se denota por P n n!
n
Pn
n
Pn
n Pn
n!
n !
0!
n!
1
n!
2. PERMUTACIÓN CIRCULAR CIRCULAR Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto. En estas ordenaciones, no hay primer ni último elemento, por hallarse todos en línea cerrada. Ejemplo: Permutar "A", "B" y "C" en forma circular.
NOTA: Para determinar el número de permutaciones circulares de "n" elementos distintos, denotado por,
Weber ingresó a la Universidad de Halle en el año 1822 y escribió su conferencia doctoral en el año 1826. En el 1831 Weber fue nominado para realizar una cátedra de física en Gottingen y allí estuvo durante seis años donde tuvo amistad y colaboración con con Gauss. Gauss. Weber desarrolló durante este término un instrumento, el magnetómetro y otros instrumentos magnéticos. Cuando Victoria llegó a ser la reina de Inglaterra en 1837 su tío llegó a ser el gobernante de Hanover y revocó la constitución liberal. En el 1848 retornó a su antigua posición en Gottingen y en 1855, él y Dirichlet estuvieron como directores temporales del observatorio astronómico de Gottingen. Su trabajo sobre el radio entre las unidades de carga electrodinámicas y electrostáticas en 1855 tuvieron gran importancia y fue crucial Maxwell en su teoría electromagnética de la luz. Weber encontró que el radio era de 3,1074^108 m/sec pero suspendió eso al anuncio que estuvo cerca de la velocidad de
PC(n) basta fijar la posición de uno de ellos y los "n - 1" restantes podrán ordenarse ordenarse de (n - 1)! maneras. Si se toma otro elemento como fijo, las ordenaciones de los restantes serán seguro uno de los ya considerados. considerados. Luego:
PCn
n
1!
Observaciones: * Para diferenciar una permutación circular de otra, se toma uno de los elementos como elemento de referencia y se recorre en sentido horario o antihorario. Si se encuentran los elementos en el mismo orden, entonces ambas permutaciones serán iguales y en caso contrario, diferentes. 3. PERMUTACIÓN PERMUTACIÓN CON ELEMENTO ELEMENTOSS REPETI REPETIDOS DOS
Es un arreglo u ordenación de elementos no todos diferentes (elementos repetidos) Si se tienen "n" elementos donde hay :
KARL WEIERSTRASS
Nació : 31 de Octubre de 1815 en Ostenfelde, Bavaria (ahora Alemania) Falleció : 19 de Febrero 1897 en Berlin, Alemania
K elementos elementos repetidos de una un a 1ra. Clase. 1 K2 elementos repetidos de una 2da. Clase.
Karl Weierstrass más conocido por su construcción de la teoría de las funciones complejas por medio
Kr elementos repetidos de una r - ésima clase.
de
series.
Después que Weierstrass había ocupado varias posiciones de
El número de permutaciones diferentes con "n" elementos los cuales tienen elementos que se repiten, se calcula como sigue:
enseñanza menor, llegó a ser reconocido
después
que
publicó una gran cantidad de escritos
de
abellacas n
PK ,K 1
Donde:
,.....,K Kr 2 ,.....,
las
funciones
el
periódico
en
n!
CRELLE. En 1856 obtuvo apoyo
K1!xK 2!x....Kr !
de Kummer y fue aceptado en
K1 K 2 .... K r n
la
Universidad
de
Berlín.
Sus prósperas conferencias en matemáticas
atraían
a
los
estudiantes de todo el mundo.
COMBINACIÓN Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos.
A través de un ejemplo nos daremos cuenta que hay una estrecha relación entre las permutaciones y las combinaciones. combinaciones.
Los tópicos de sus conferencias incluían : física matemática (1856/57); introducción de la teoría de funciones analíticas ( donde los resultados obtenidos en el año 1841 no fueron jamás publicados), la teoría de las funciones
elípticas,
y
aplicaciones a problemas en geometría
y
mecánica.
En las conferencias de 1859/60 Weierstrass
presentó
“Introducción al Análisis”. En su curso “Teoría general de las funciones analíticas”, el año
1863/64 Weierstrass comenzó
En general: El número de combinaciones de "n" elementos tomados de "K" en "K", se calcula como n!
n
CK
K! n
; 0
K !
Observaciones: * Cuando se toman todos los elementos del conjunto para agruparlos agruparlos o combinarlos (es decir, K = n), se dice que es una combinación de "n" elementos y: n!
n
CK
n! n
n!
n !
n
Cn
1
n ! x0 x0 !
1
ENUNCIADO
"Calo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí"
1601. ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse?
a) 15
b) 240
d) 120
e) 72
1604. Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos, 5 aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras puedes realizar dicho viaje?
a) 11
b) 60
d) 42
e) 51
c) 12
c) 60 ENUNCIADO
"De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna hay 5 caminos también diferentes". 1602. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales?
a) 120
b) 60
d) 12
e) 720
c) 80
1603. Del enunciado: ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul?
a) 95
b) 80
d) 61
e) 91
1605. ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica?
a) 9
b) 20
d) 40
e) 625
c) 12
1606. Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida?
c) 120 a) 400
b) 380
d) 399
e) 401
c) 240
1607. De un grupo de 15 personas que estudian sólo 2 idiomas cada uno, se sabe que 4 de ellos estudian inglés y alemán, 5 inglés y francés y los otros sólo alemán y francés. Si se quiere escoger 2 personas que hagan juntos la traducción de una lectura a cualquiera de los 3 idiomas mencionados, ¿de cuántas formas se puede elegir?
a) 28
b) 74
d) 48
e) 120
c) 92
1608. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden colocar 3 fichas iguales en un recuadro como se muestra en la figura, para que en cada fila y columna haya, a lo más, una ficha?
a) 27
b) 81
d) 6
e) 24
c) 3
1609. Del siguiente tablero, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casilla negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical?
a) 24
b) 120
c) 32
d) 256 e) 64
1610. Un juego consiste en un tablero cuadriculado de 4 x 4, ¿de cuántas formas distintas pueden colocarse 2 fichas, sin que estén en la misma columna ni en la misma fila? a) 64
b) 56
d) 144
e) 256
c) 132
1611. Con 6 pesas de 1 ; 2 ; 5 ; 10 ; 30 y 70 kg, ¿cuántas pesas diferentes pueden obtenerse tomando tomando aquellas de 3 en 3?
a) 15
b) 120
d) 60
e) 80
c) 20
1612. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era:
a) 12
b) 18
d) 14
e) 16
c) 20
1613. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?
a) 530
b) 350
d) 450
e) 380
c) 305
1614. Cinco viajeros llegan a una comunidad en la que hay 6 hoteles, ¿de cuántas maneras pueden ocupar sus cuartos debiendo estar cada uno en hoteles diferentes?
a) 60
b) 24
d) 720
e) 30
b) 1728
d) 892
e) 1700
e) 72
1618. Con las frutas: Plátano, papaya, melón, piña y mamey, ¿cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer?
a) 13
b) 10
d) 32
e) 31
c) 25
c) 120
1615. ¿De cuántas maneras diferentes; 2 peruanos, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente juntos?
a) 864
d) 144
c) 688
1616. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra "JAPANAJA"?
1619. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si sólo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo?
a) 24
b) 60
d) 240
e) 360
c) 120
1620. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera?
a) 2520 a) 81
b) 840
d) 8
e) 64
b)
c) 120
12000
c) 25200 d) 10! E) 15!
1617. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán separadas?
a) 120
b) 16
c) 48
1621. Un examen consta de 12 preguntas de las cuales el estudiante debe contestar 10. Si de las 6 primeras preguntas debe contestar por lo menos 5, ¿cuántas posibilidades de elegir 10 preguntas tiene el estudiante?
a) 15
b) 36
pueden sentar 5 mujeres y 5 hombres, ¿de cuántas maneras lo podrán hacer con la condición de que no queden juntos dos hombres?
c) 51
d) 21 e) 27
1622. El aula especial de la Academia consta de 15 alumnos a los cuales se le toma el examen final. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 2 primeros puestos, si no hay empate? a) 210 d) 205
b) 230 e) 180
c) 240
1623. ¿Cuántos resultados posibles se puede obtener en el lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados legales? a) 6934 d) 6512
b) 6912 e) 6936
c) 6780
1624. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? i guales)? a) 420 d) 840
b) 280 e) 168
c) 288
1625. Al ir 5 parejas de esposos al teatro Segura, tienen mala suerte de encontrar solamente 5 asientos juntos en una misma fila, ¿de cuántas maneras distintas se pueden acomodar?. Si se quiere que por lo menos esté sentado un hombre y una mujer. a) 25600 d) 25
b) 30000 e) 625
c) 256
1626. Se tiene una mesa redonda en la cual se
a) 576 d) 256
b) 625 e) 2880
c) 4800
1627. Siete amigas, ¿de cuántas maneras diferentes se podrán sentar alrededor de una mesa, si Noemy y Liliana que son 2 de las 7 amigas no podrán estar juntas en ningún momento? a) 360 d) 600
b) 480 c) 240 e) 420
1628. En un ómnibus que posee 37 asientos (en ocho filas de cuatro asientos cada una con un pasillo en el medio y al final 5 asientos juntos). juntos). Se desea desea ubicar ubicar 25 pasajero pasajeros. s. ¿de cuántas formas se pueden ubicar ubicar si 10 de los l os pasajeros están enfermos y deben viajar en asientos que poseen ventanillas? a) 27! 8! b) 18! 18! 27! 27! . 8! 12!
c) d)
25 ! 7!
27 ! 8!
e)
18! 18! 8! . 12! 12! 3!
1629. De 8 hombres y 5 mujeres, ¿de cuántas formas distintas se pueden seleccionar un grupo mixto de 7 personas integrado con por lo menos 3 hombres? a) 78 d) 1688
b) 94 e) 1680
c) 1024
1630. Se lanzan tres dados legales al piso, ¿de
cuántas maneras diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres dados? a) 120 d) 130
b) 180 c) 140 e) 117
1631. Una alumna tiene para vestirse: 4 blusas; 3 pantalones, 2 faldas, 6 pares de zapatos. ¿de cuántas maneras se podrá vestir convencionalmente? a) 120 d) 72
b) 60
c) 144
1 al 10. Si un amigo de lo ajeno desea abrir la bóveda, ¿cuántos intentos infructuosos como máximo tendrá que realizar? (La bóveda se abrirá cuando los tres discos se se combinen de manera correcta) a) 1000 d) 810
b) 120 e) 512
c) 999
1635. Hay 15 jugadores de fútbol. ¿De cuántas maneras diferentes se puede conformar un equipo, si se sabe que 2 de ellos por problemas personales se niegan a jugar en el mismo equipo?
e) a) 2600 d) 1024
288
1632. ¿Cuántas ordenaciones diferentes pueden formarse con todas las letras de la expresión a3b2c4 cuando está desarrollada? a) 1260 d) 1450
b) 1240 e) 1540
c) 1320
1633. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en hilera 6 amigas, si Genara y Eucalipta estarán siempre juntas y en uno de los extremos?
a) 24 b) 48 c) 96 d) 120 e) 72
1634. La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres discos con la numeración del
b) 6800 e) 2048
c) 650
1636. ¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una fila 4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere sentar junto y entre Fiorela y Deysi (que son dos de ellas)?. Además, consideremos que las personas del mismo sexo no están juntas. a) 720 b) 360 d) 8! e) 144
c) 240
1637. Seis ladrones se escapan de la policía, y tiene 3 escondites para poder ocultarse. ¿De cuántas maneras diferentes como máximo se pueden ocultar? a) 729 b) 840 d) 720 e) 512
c) 120
1638. Con cinco retazos de tela, ¿cuántas banderas bicolor se pueden formar? Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera debe tener la forma mostrada.
a) 10 d) 40
b) 20 e) 25
c) 24
debe haber siempre 3 de Marsano y 2 de Santa Beatriz?
1639. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir desde el punto A hacia el punto B sin retroceder en ningún momento y sin pasar por el punto x?
a) 24000 1024 d) 2400
b) 1200
c)
e) 72000
1643. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes crecientes (135, 246, 123) o decrecientes (987, 741) se puede formar? a) 204 d) 81 a) 70 d) 60
b) 50 e) 120
b) 40
1640. Se tiene 6 números negativos y 5 números positivos, ¿de cuántas maneras se puede escoger cuatro números de tal manera que su producto sea positivo? a) 140 d) 180
b) 160
c) 175 e)
170
1641. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres, ¿cuántas juntas directivas de 3 miembros : Presidente, vicepresidente y secretario, pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre? a) 1428 1628 d) 1718
b) 1716
c)
e) 1728
1642. En una sala de estudios de la Academia, se encuentran 6 alumnos del local de Marsano y 5 alumnos del local de Santa Beatriz, ¿de cuántas maneras diferentes puede formar un grupo de 5 alumnos, para que se sienten en una carpeta; si en ella
b) 200 c) 999 e) 49
1644. ¿Cuántas disposiciones posibles se puede obtener con todas las letras de la palabra "LILIANITA" de tal manera que las letras I no queden juntas? a) 6300 d) 3240
b) 2520 e) 2840
c) 3780
1645. Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos más participan en una carrera, ¿de cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y éste llegue antes que Juan? a) 6720 d) 1236
b) 4360 e) 1538
c) 1532
1646. Juan Carlos tiene 5 pantalones y 6 camisas todos de distintos colores, ¿de cuántas maneras puede escoger las prendas, sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa? a) 30 d) 36
b) 20 e) 24
c) 21
1647. Una moneda cuyas caras están marcadas con los números 2 y 3 respectivamente es tirada 5 veces. Determinar de cuántas maneras se obtendrá como suma 12.
a) 120 d) 15
b) 60 e) 10
c) 30
1648. Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos mixtos de 6 personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos, de modo que en cada uno de ellos exista siempre 2 mujeres? a) 200 d) 212
b) 20 e) 210
c) 312
1649. ¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B?
diferentes y las ciudades C y D por 8 caminos diferentes, ¿de cuántas maneras diferentes una persona puede viajar de A a D pasando por B y C? a) 200 d) 140
b) 256 e) 480
1653. La municipalidad de Lima ha ordenado que las moto taxis sean amarillas y tengan las placas 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 dígitos). ¿Cuántas placas diferentes se podrán formar? (Considerar 26 letras del alfabeto). a) 203 x 103 c) 263x103 e) 26x 25x24
a) 12 d) 20
b) 14
c) 16
1650. ¿Cuántos números mayores que 13 y menores que 100 existen, tales que en su escritura sólo se utilizan cifras impares? a) 21 d) 26
b) 23 e) 27
c) 25
1651. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un edificio? a) 20 d) 14
b) 56 e) 16
c) 28
1652. Las ciudades A y B están unidas por 6 caminos diferentes, B y C por 10 caminos
b) 262 x102 d) 26x103
1654. ¿Cuántos números impares de 3 cifras, se pueden escribir con los dígitos: 4 , 5 , 7 , 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos? a) 20 d) 14
e) 24
c) 240
b) 56 e) 36
c) 28
1655. De seis números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar, de tal manera que el producto sea negativo. a) 60 d) 160
b) 96 e) 170
c) 128
1656. El equipo de fulbito de un salón de clase debe escoger 2 madrinas, una para el equipo y otra para las camisetas. Si en total hay 8 candidatas, ¿de cuántas maneras se pueden escoger las 2 madrinas? a) 16 d) 64
b) 56 e) 36
c) 28
1657. Se tiene una urna con 9 bolas numeradas. Se quiere saber, ¿de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 4? a) 630 d) 108
b) 306 e) 1260
c) 1080
1658. ¿Cuántos números mayores que un millón se pueden formar con los dígitos 0; 2; 2; 3; 3; 3 y 4? a) 240 d) 400
b) 380 e) 420
c) 360
1659. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden repartir los 10 miembros de un club en tres comités de 5, 3 y 2 miembros respectivamente? a) 2520 d) 1125
b) 5040
c) 1440 e) 800
1660. En una despedida de soltera, a la que asistieron sólo chicas todas bailaron entre sí, al menos una vez una pieza musical. Si en total, se lograron conformar 28 parejas diferentes, ¿el número de chicas que participaron fue? a) 16 d) 4
b) 12 e) 36
c) 8
1661. Una clase consta de 7 niños y 3 niñas, ¿de cuántas maneras diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos? a) 160 d) 144
b) 210 e) 105
c) 128
1662. ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras, aunque carezcan de significado, se puede formar usando las letras de la palabra
PELON (sin repetir las letras)? a) 60 d) 140
b) 96 e) 170
c) 128
1663. Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse, si las cuatro chicas quieren estar juntas? a) 160 d) 144
b) 72 e) 64
c) 128
1664. Tienes 5 libros, ¿de cuántas maneras diferentes puedes escoger uno o más de dichos libros? a) 30 d) 40
b) 36 e) 31
c) 28
1665. Cuántos números de dos cifras pueden formarse con los dígitos: 1 , 2 , 3 , 4 y 5, si: a. Los dígitos no pueden repetirse. b. Si se permite la repetición. a) 20 y 25 c) 22 y 28 e) 16 y 32
b) 18 y 36 d) 20 y 40
1666. Luis tiene 10 amigos de los cuales invitará a su matrimonio solamente a 7, ¿de cuántas maneras puede hacer la invitación si dos de sus amigos están enemistados y no pueden asistir juntos? a) 56 d) 44
b) 64 e) 128
c) 36
1667. En una reunión, se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas. ¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres?
a) 560 d) 140
b) 390 e) 280
c) 120
1668. Una persona tiene 8 billetes de valores diferentes, ¿cuántas sumas distintas de dinero se puede formar tomados de 3 en 3? a) 60 d) 40
b) 56 e) 70
c) 128
1669. Hallar el número de señales que pueden formarse con cinco signos más y menos. a) 25 d) 32
b) 10
a) 10
b) 4
d) 12
e) 2
c) 8
1673. Una combi posee 21 asientos, 4 filas de 4 asientos cada uno con un pasillo al medio y al final 5 asientos juntos. Se desea ubicar 13 pasajeros de los cuales 2 siempre van al lado de la ventana y 4 juntos al pasillo central. ¿De cuántas formas se le puede ubicar, si hay 10 asientos con ventana disponibles?
c) 24 e)
64
a) 15 8!
4
b) 15 15!
1670. En cuántos ceros termina: S = (500! )3
b) 491
d) 392
e) 372
c) 528
a) 108
b) 64
d) 72
e) 90
d)
4
45x14! 28
e)
1671. Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario, ¿de cuántas maneras se pueden ocupar estos tres cargos?
c) 15 10!
a) 489
4
15 ! 4!
1674. A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan estrechándose las manos, suponiendo que cada uno es cortés con cada uno de los demás, ¿cuántos apretones de manos hubieron?
c) 128
1672. ¿Cuántas combinaciones pueden hacerse con las letras: a,b,c,d y e tomadas de cuatro en cuatro, entrando "a" en todas ellas?
a) 60
b) 435
d) 120
e) 205
c) 870
1675. En el sistema de base "5", ¿cuántos números de 5 cifras presentan algún 4?
a) 1732
b) 1525
d) 960
e) 1205
c) 1840 a) 1956
b) 2496
c) 1296
d) 1244 1676. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar una vocal y una consonante de la palabra MURCIÉLAGO, de tal manera que el par de letras así escogida tenga distinto sonido?
a) 18
b) 50
d) 20
e) 25
d) 124
e) 120
c) 80
1678. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras: 1 , 2 , 4 , 6 , 7 y 8; de tal manera que sean menores que 5000 y no permitiéndose permitiéndose repeticiones de las cifras?
a) 138
b) 340
d) 454
e) 180
1680. Tengo 15 sillas de las cuales 8 son defectuosas, ¿de cuántas maneras podemos escoger 5 sillas de las cuales por lo menos 4 sean defectuosas?
a) 490 d) 480
¿De cuántas formas se puede seleccionar dicha comisión?
b) 140
1200
c) 10
1677. En una empresa trabajan 5 mecánicos, 4 físicos y 2 ingenieros geólogos. Se desea formar una comisión de 5 personas en la cual haya siempre un físico.
a) 108
e)
b) 560 e) 520
c) 546
1681. La atleta Mirtha tiene tres cajas: una roja, una verde y una azul; y 5 medallas: una de oro, una de plata, una de bronce, una de cobre y una de acero. Si quiere guardar todas las medallas en las cajas de modo que ninguna caja quede vacía, ¿de cuántas maneras distintas puede hacerlo?
a) 4540 d) 360
b) 120 e) 480
c) 715
1682. En el siguiente cuadrado de 36 casillas, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical?
c) 280
1679. Se tienen 6 bolitas marcadas con los dígitos: 1 , 2 , 3, 4, 5 y 6, ¿cuántos números de 4 cifras se pueden obtener?
a) 32 d) 432
b) 216 e) 28
c) 64
1683. Con tres consonantes y dos vocales, ¿cuántas palabras de cinco letras se pueden construir con la condición de que no figuren dos vocales ni tres consonantes seguidas? a) 40 d) 75
b) 30 e) 60
c) 45
1684. En un alfabeto formado por 21 consonantes y 5 vocales, ¿cuántas palabras de cinco letras son posibles, supuesto que cada palabra esté formada por tres consonantes y dos vocales alternadas? a) 159600 c) 160000 e) 163500
b) 220800 d) 229600
1685. ¿Cuántas palabras se pueden hacer con 3 mayúsculas, 5 consonantes y 4 vocales, si cada una debe contener 3 consonantes y 2 vocales y comenzar con mayúscula? a) 20500 c) 23200 e) 20600
b) 21600 d) 21950
1686. A una de las clases de un Instituto, asisten 20 alumnos. El profesor elige cada día dos alumnos diferentes para explicar una lección. El curso terminó el mismo día en que, obligatoriamente, el profesor tenía que elegir a dos alumnos que habían explicado ya juntos otra lección. ¿Cuántos días hubo de clase durante el curso? a) 170 d) 190
b) 200 e) 180
c) 185
1687. Hallar el total de combinaciones combinaciones que se pueden hacer con 5 letras tomadas, en primer lugar de 2 en 2, luego de 3 en 3 y después de 4 en 4.
a) 28 d) 25
b) 21
c) 24
e) 30 1688. Con las cifras 1 ; 2 ; 3 ; 4 y 5, ¿cuántos números distintos se pueden formar, con la doble condición de que entren todas en cada uno de aquéllos y que la cifra 3 ocupe en todos el lugar de las centenas? a) 20 d) 28
b) 18 e) 32
c) 24
1689. Con tres vocales y tres consonantes, ¿cuántas palabras se pueden formar con la condición de que no figuren dos consonantes ni tres vocales seguidas? a) 144 d) 156
b) 72 e) 120
c) 288
1690. ¿Cuántas palabras de dos vocales y dos consonantes se pueden formar, eligiendo estas letras entre un grupo de 5 vocales y 4 consonantes, con la condición de que no haya en cada palabra dos consonantes seguidas? a) 144 d) 600
b) 720 e) 640
c) 1440
1691. En la figura, se han marcado ocho partes equidistantes sobre la circunferencia de un círculo dado. ¿Cuántos cuadriláteros diferentes podemos inscribir en el círculo usando los vértices marcados?
a) 210 a) 56
b) 1680 e) 70
a) 3255 c) 4095 e) 4195
c) 15
1692. Calcular "k" a partir de
n n 1 ! n n 1 ! n n 1 ! kn n ! 1
a) n
b) 2
d) n + 1
c) 1 e) n – 1
1
2
n
b) 4175 d) 4950
1697. ¿Cuántos números enteros y desiguales mayores que 10 menores que 100 se pueden formar con las 8 primeras cifras no repitiéndose ninguna de ellas?. (Las cifras deben ser contadas a partir del 1) a) 44 d) 48
b) 56 e) 60
c) 24
1698. Hallar "x" en: 1693. El Capitán de un yate solicitó 2 oficiales y 3 marineros. Si se presentaron 5 oficiales y 6 marineros, ¿de cuántas maneras diferentes se podrá elegir la tripulación? a) 200 c) 1200 e) 1400
b) 33 e) 21
er m i n os os x 1 t er
a) 44 d) 40
c) 9
c) 41
c) 112
4 azules. 2 blancas. 3 rojas. 1 verde. amarilla. 1 marrón.
Si éstas 3 últimas deben estar juntas, ¿cuántos collares se pueden confeccionar?
c) 24
1696. ¿Cuántos números menores que 10000 pueden formarse con los ocho dígitos 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 y7?
b) 108 e) 100
1700. Se quiere construir un collar con 12 perlas:
1695. Con cuatro banderas de diferentes colores se deben mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes se pueden mandar, si no es obligatorio usar todas las banderas? b) 40 e) 16
b) 42 e) 39
a) 126 d) 140
a) 64 d) 96
40 ! 2
1699. A una persona se le sirve, en cada comida, cuatro platos, de los nueve que son de su agrado, ¿cuántas comidas diferentes puede hacer esa persona?
b) 400 d) 2400
1694. Diez equipos de fútbol participan en un campeonato (una rueda, todos contra todos). ¿Cuántos partidos más se deberán programar, programar, si llegan 3 equipos más? a) 31 d) 12
2x 2! 2! 3 x3 x3 ! 4 x 4! 4! ...
a) 8560
b) 7560 c) 5040
40320 8760
d) e)
150 1
d
150 c 2 150 d 3 150 b 4 150 b 5 150 d 6 150 d 7 150 b 8 150 c 9 151 e 0 151 d 1
152 e 6 152 b 7 152 b 8 152 d 9 153 a 0 153 a 1 153 a 2 153 c 3 153 c 4 153 c 5 153 e 6
155 c 1 155 e 2 155 c 3 155 e 4 155 d 5 155 b 6 155 e 7 155 c 8 155 a 9 156 c 0 156 b 1
1576 b
1577 e
1578 e
1579 c
1580 c
1581 d
1582 b
1583 e
1584 d
1585 b
1586 d
151 d 2
153 a 7
156 a 2
1587 d
151 d 3
153 b 8
156 d 3
1588 c
151 c 4
153 e 9
156 e 4
1589 a
151 c 5
154 e 0
156 a 5
1590 b
151 b 6
154 e 1
156 b 6
1591 e
151 c 7
154 a 2
156 a 7
1592 c
151 b 8
154 a 3
156 b 8
1593 a
151 d 9
154 a 4
156 d 9
1594 b
152 a 0
154 a 5
157 e 0
1595 a
152 b 1
154 c 6
157 e 1
1596 c
152 c 2
154 e 7
157 b 2
1597 b
152 a 3
154 e 8
157 d 3
1598 e
152 c
154 c
157 b
1599 a
4 152 d 5
9 155 b 0
4 157 a 5
1600 b
