PAMER -- R.MATEMÁTICO - Analisis Combinatorio I

RAZONAMIEN TO MA RAZONAMIENTO MATEMÁ TEMÁTICO TICO TEMA 13

ANÁLISIS COMBINATORIO I SNII2RM13

DESARROLLO DEL TEMA

I. INTRODUCCIÓN Una hormiga se introduce en un panal en búsqueda de un poco de miel, la miel se encuentra en el fondo del panal. ¿De cuántas maneras diferentes puede la hormiga llegar a la miel, teniendo en cuenta que no debe retroceder?

 

7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040 8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40 320 9! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 362 880 10! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 × 10 = 3 628 800 Nota: Por convención 0! = 1

III. DESARROLLO PARCIAL DE UN FACTORIAL 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 7! 14444444244444443 

8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 1444442444443 

Miel

6!

II. FACTORIAL DE UN NÚMERO Se dene factorial de un número n al producto de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n inclusive. Se denota por: n! Se lee: "Factorial "Factorial de n" o "n factorial"

 

 A. Principio de adición Si una actividad A ocurre de n maneras diferentes y otra actividad B ocurre de m diferentes, entonces A o B ocurren de m + n maneras diferentes.

Ejemplo: 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 20! = 1 × 2 × 3 ×...× 19 × 20 3 ! no existe; ( –5)!  –5)! no existe 2

En el principio de adición, o bien se realiza una actividad o bien se realiza la otra, más nunca puede realizarse simultáneamente.

( )

1! = 1 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720

SAN MARCOS REGULAR 2014 – II

n! = n(n –  n(n – 1)!  1)! n! = n(n –  n(n – 1)  1) (n – (n – 2)!  2)!

IV. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DEL CONTEO

n! = 1×2×3×4×...×(n –1)n  –1)n + ∀n∈ c  

8! = 8 × 7! 8! = 8 × 7 × 6!

B. Principio de multiplicación multiplicación Si una actividad A se puede realizar de m maneras y para cada una de estas maneras otra actividad B se puede realizar de maneras. En el principio de multiplicación multiplicación las actividades se realizan una a continuación de otra o simultáneamente.

   1 1

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 13

ANÁLISIS COMBINATORIO I

PROBLEMAS RESUEL RESUELTOS TOS Problema 1 ¿Cuántos números de 4 cifras existen, tal que el producto de sus cifras sea par?  A) 8375 B) 8374 C) 8373 D) 8372 E) 8371

↓↓↓↓

1111 3333 5555 7777

UNMSM 2001–II 

Resolución:  Se deduce que para que un número tenga como producto de sus cifras a un número par, par, basta que una de ellas sea par, entonces el total de números de 4 cifras le restamos el total de números de 4 cifras que tienen todas sus cifras impares, luego obtendremos como resultado la cantidad de números que tienen como producto de sus cifras a un número par.

Respuesta: 120 manera 

9999 5.5.5.5 = 625

Problema 3 ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con todas las letras de la palabra Respuesta: 8375 números  "PANAJAJA"?  A) 800 B) 785 Problema 2 C) 840 D) 795 4 personas abordan un automóvil E) 850 en el que hay 6 asientos. Si sólo 2 UNMSM 2007–II  saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse? Resolución:   A) 110 B) 120 C) 140 D) 125

abcd

Número de  V35 × 2 = 120 posibilidades:

abcd

E) 130 UNMSM 2004–I 

↓↓↓↓

1000 2111 3222  333 9  999 9.10.10.10 = 9000 9000 – 9000 – 658  658 = 8375

Estamos frente a una permutación con elementos repetidos, ya que "A" se repite 4 veces y la "J" 2 veces.

Resolución:  Total de letras 8 = P(4,2)

timón

8! = 840 arreglos 4! 2!

Posibles ubicaciones de las 3 personas 1444444444442444444444443 

Como interesa el orden aplicamos variación

Respuesta: 840 arreglos 

PROBLEMAS DE CLASE  EJERCITACIÓN  EJERCITA CIÓN 1.

2.

¿De cuántas formas se pueden repartir dos premios entre 10 personas? Sabiendo que ambos premios: I. No se pueden conceder a una misma persona. II. Se pueden conceder a la misma persona.  A) 72; 90 B) 36; 100 C) 90; 100 D) 48; 48 E) 90; 48 ¿De cuántas maneras diferentes se puede pintar un casillero de “A” de color rojo y dos casilleros de “B” uno de color verde y otro de azul?

TEMA 13

(A)  A) 72 D) 5! 3.

José tiene cuatro camisas de distinto color, color, tres pantalones diferentes y cuatro pares de zapatos distintos. Si la camisa blanca solo puede usarse con el pantalón azul y el pantalón negro solo con los zapatos negros o con los zapatos blancos. ¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir?  A) 22 B) 46 C) 24 D) 34 E) 35

5.

Indique de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse tres monedas de diferente denominación denominación en tres de los casilleros de la gura mostrada (una por casilla).

(B) B) 84 E) 5(3!)

C) 144

Cierto recibo se puede pagar únicamente en 3 bancos. En el primero se puede pagar en 10 cajeros, el segundo en 7 cajeros y el tercero en 2 cajeros. ¿De cuántas maneras se puede pagar dicho recibo?  A) 10 B) 12 C) 140 D) 120 E) 19

RAZ. MATEMÁTICO

4.

2     2

SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 20 201 14 – II

ANÁLISIS COMBINATORIO I

 A) 69 C) 101 E) 91  A) 5940 D) 810

B) 11!×3! C) 450 E) 990

8.

PROFUNDIZACIÓN 6.

7.

La Municipalidad de Lima a ordenado que los moto taxis sean amarillos y tengan las placas 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 números). ¿Cuántas placas diferentes se podrán formar? (considerar 26 letras del alfabeto)  A) 203×103 B) 262×102 3 3 C) 26 ×10 D) 26×103 E) 26×25×24 Hallar el total de recorridos de A a B sin pasar 2 o más veces por un mismo tramo.  A

B

9.

puede ir por un mismo camino?  A) 380 B) 120 C) 240 D) 400 E) 360

B) 38 D) 96

Para el menú de un comedor se presentan 3 entradas, 5 platos diferentes como segundo y 4 postres distintos. Si cada comensal debe elegir una entrada, un segundo y un postre, ¿de cuántas maneras diferentes podrá elegir Juan una alternativa diferente, si cada vez que come cebiche en la entrada elige invariablemente una  jalea como segundo?  A) 38 B) 40 C) 42 D) 44 E) 56 Para ir de Comas al Cercado de Lima se tiene 5 caminos diferentes y para ir del Cercado de Lima a San Gabriel alto se tiene 4 caminos diferentes. Si se quiere ir de Comas a San Gabriel alto y luego regresar a Comas siempre pasando por el Cercado de Lima, ¿de cuántas maneras diferentes se puede realizar, realizar, si de regreso no se

SAN MARCOS REGUL REGULAR AR 2014 – II

    3 3

SISTEMATIZACIÓN 10. Se cumple que: a(b!) = 3(4!) + 21(5!) + 12(4!) Halle en cuántos ceros termina.   [12a + b2]!  A) 14 B) 16 C) 20 D) 18 E) 19 11. Halle el valor de: 1 3 5 S= 1 + 2 + 3 2 × 1! 2 × 2 ! 2 × 3 ! 7 + 4 + ... 2 × 4!  A) 1 D) 2

B) 1/2 E) 3

C) 3/2

12. E n c u á n t o s c e r o s t e r m i n a el resultado de la siguiente multiplicación: L = 80×81×82×83× ... ×198  A) 47 B) 18 C) 31 D) 29 E) 27

RAZ. MATEMÁTICO

TEMA 13