Villlarreal 2013
Analisis combinatorio
Especialista: Especialist a: Cesar Chu Mundaca El análisis co!inatorio es la parte de las Mateáticas "ue estudia el n#ero de ordenaientos o $rupos "ue se pueden forar con las cosas o los eleentos%
Tlf: 971349545
ocurrir. ocurrir. ara determina determinarr las veces )ue ocurre ocurre un determinado determinado evento, haremos uso de las tcnicas de conteo, )ue ser5n de -ran ayuda en estos casos. S i t e n - o 3 e s fef e r i tat a s d ife r e n te s , 6 d e cu 5 n 7 t a s m a n e r a s d i s t inin t a s s e p u e d e n a lin e a r 8
FACTORIAL DE UN NÚMERO Sea "n" un número entero positivo, el factorial de "n", se denota por por "n!" "n!" o "" y se defi define ne como como el prod produc ucto to de los los ente entero ross consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta la unidad inclusive. n = 1
n! =
×
2
×
3
×
4
×
....
×
(n −1
×
n
, ,
Ejemplos: 1! = 1
2 != 1× 2
3 != 1× 2 × 3
4 != 1× 2 × 3 × 4
$ != 1× 2 × 3 × 4 × $
" != 1× 2 × 3 × 4 ×$ ×"
2 =
, ,
" 9 a n e ra s
S i t e n e m o s a l o s a lu m n o s : ;< , : < y : / < , 6 d e c u 5 n 7 t a s m a n e r a s d is tin t a s s e p u e d e f o r m a r u n a p a r e a 8
=
, ,
" =
=
B
A
24
C
12#
= %2 # % ! = 1 × 2 × 3 × 4 × $ × " × % = $#4# & ! = 1 × 2 × 3 × 4 × $ × " × % × & = 4#32# ' ! = 1 × 2 × 3 × 4 × $ × " × % × & × ' = 3"2& 1 # ! = 1 × 2 × 3 × 4 × $ × " × % × & × '× = 3"2&#
A
C
A
B
B
C
3 9 a n e ra s
1. PRINCI PRINCIPIO PIO DE MULTI MULTIPLI PLICA CACIÓ CIÓN N
Se observa:
(Teorema fundamental del análisis combinatorio)
'!
Si un evento ";" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas, estas, otro evento evento "" "" ocurre ocurre de "n" maneras, maneras, entonc entonces es el evento ";" se-uido de "", ocurre de "" maneras.
1# ! = 1# × ' × & × % × " × $ × 4 × 3 × 2 × 1 1# ! = 1# × ' ! 1# ! = 1# × ' × & !
1# ! = 1 # × ' × & × % ! n! = (n
−
1!
×
n
Entonces: e a)u*, o+tenemos para n = 1 1 ! = (1 − 1 ! × 1
= # !× 1 = # !
ue-o, definimos convencionalmente 1! = #! = 1
Observaciones: 0n este este princ principi ipio, o, la ocurr ocurrenc encia ia es uno uno a continu continuaci aci>n >n del otro, es decir, ocurre el evento ";" y lue-o ocurre el evento "". 0ste 0ste princ princip ipio io se puede puede -ener -eneral ali? i?ar ar para para m5s de dos eventos. Ejemplos:
Ejemplos: a. /alcular 0
=
1$ ! + 1" ! + 1% ! 1$! × 1%
2
Resolución:
b. educir 0
#1. @na persona persona puede puede viaar de ";" ";" a "" de 3 formas formas y de "" "" a "/" de 2 formas, formas, 6e cu5ntas maneras maneras distintas distintas puede puede ir de ";" a "/" pasando por "" y sin retroceder8
= (n! ! × n ! + (n! ! (n ! − 1! × n !
Resolución;
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES DE CONTEO 0n los eemplos si-uientes, nos damos cuenta )ue dado un evento particular (alinear las 3 esferitas o formar una parea, estamos interesados en conocer todas las maneras distintas en )ue puede
Resolución:
#2. 6/u5ntos 6/u5ntos resultados resultados diferentes diferentes se pueden o+tener al lan?ar una moneda y un dado simult5neamente8 Resolución:
#3. ;na tiene 3 +lusas +lusas diferen diferentes tes y 4 faldas faldas tam+in tam+in difere diferente ntes, s, 6e cu5ntas maneras se puede vestir ;na8
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Especialista: Cesar Chu Mundaca Resolución:
#4. 6e cu5ntas maneras diferentes se puede seleccionar una vocal y una consonante de la pala+ra A0SB/;8 Resolución:
#$. 6/u5ntos números pares de 3 d*-itos se pueden formar con los d*-itos 1, 2, $, , %, & y ', si cada d*-ito puede emplearse una sola ve?8
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PERMUTACIÓN 0s un arre-lo u ordenaci>n )ue se puede formar con una parte o con todos los elementos disponi+les de un conunto. 0n una permutaci>n, s* interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar en tres casos 1. PERMUTACIÓN LINEAL : 0s un arre-lo u ordenaci>n de elementos en l*nea recta. Si tenemos un conunto de cuatro elemento ; = Ea , + , c , dF, los posi+les arre-los o permutaciones de este conunto tomados de 2 en 2 son a+ D +a D +c D c+ ac D ca D +d D d+ ad D da D cd D dc Gemos )ue hay 12 permutaciones distintas. Se puede lle-ar a la misma respuesta sin tener )ue escri+ir todas las ordenaciones posi+les, si aplicamos el principio de multiplicaci>n. ; = Ea , + , c , dF
Resolución: 4 2. PRINCIPIO DE ADICIÓN: Si un evento ";" ocurre de "m" maneras y otro evento "" ocurre de "n" maneras, entonces el evento ; > , es decir, no simult5neamente, ocurre de "m C n" maneras.
Observaciones: 0n este principio, la ocurrencia no es simult5neamente, es decir, ocurre el evento ";" o el evento ""D pero no am+os a la ve?. 0ste principio se puede -enerali?ar para m5s de dos eventos.
I ú m e r o d e p e r m u t a c io n e s p o s i + l e s = 4 × 3 = 1 2 el eemplo anterior, o+tenemos las si-uientes con clusiones 0l número de permutaciones de 4 elementos tomados de 2
Resolución:
en 2 se denota como
4 2
4 4 × 3 × 2 ×1 = 12 = 4 × 3 = 2 2 ×1
4
2
=
4! 2!
=
4! (4
−
2 !
En general: 0l número de permutaciones de "n" elementos diferentes tomados de "J" en "J", se calcula como
Ejemplos:
#1. @na persona puede viaar de ";" a "" por v*a area o por v*a terrestre y tienen a su disposici>n 2 l*neas areas y $ l*neas terrestres, 6e cu5ntas maneras distintas puede reali?ar el viae8
H r d e n a c i> n d e 2 e n 2
3
n n! = J (n − J !
D #
<
J
≤
n
Observaciones: /uando se toman todos los elementos del conunto para ordenarlos o permutarlos (es decir, J = n, se dice )ue es
una permutaci>n de "n" elementos y se denota por
n
.
n n! n! n! = = = n (n − n! #! 1
#2. 6/u5ntos resultados diferentes se pueden o+tener al lan?ar un dado o una moneda8 Resolución:
#3. @n producto se vende en 3 mercados en el 1ro. se tiene disponi+le en tiendas, en el 2do. en $ tiendas y en 3er. mercado en 4 tiendas, 6e cu5ntas maneras distintas puede ad)uirir una persona un art*culo de dicho producto8 Resolución:
n = = n ! n n
Ejemplos:
#1. 0n una carrera participan 4 atletas, 6de cu5ntas maneras distintas pueden lle-ar a la meta, si lle-an uno a continuaci>n del otro8 Resolución:
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Especialista: Cesar Chu Mundaca #2. @n -rupo est5 formado por personas y desean formar una comisi>n inte-rada por un presidente y un secretario, 6e cu5ntas maneras puede formarse dicha comisi>n8
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permutaciones ser5n i-uales y diferentes. Resolución: ara el eemplo anterior
en
caso contrario,
/
Resolución: ;
1L
/
#3. 6e cu5ntas maneras, se pueden ordenar % niKos en una fila, de manera )ue cuatro niKos en particular )ueden untos8 Resolución:
#4. 6e cu5ntas maneras se pueden ordenar chicas en una fila, de manera )ue dos chicas, en particular, no )ueden untas8 Resolución:
2L /
;
3L ;
/
/
4L ;
$L
;
;
"L
;parentemente hay ordenamientos, lo cual no es cierto, por )ue si hacemos -irar al 1L ordenamiento en sentido antihorario o+tenemos el ordenamiento 3LD y si lo hacemos -irar en sentido horario o+tenemos el ordenamiento $LD de i-ual forma si al ordenamiento 2L lo hacemos -irar en sentido antihorario o+tenemos el ordenamiento LD y si lo hacemos -irar en sentido horario o+tenemos el ordenamiento 4L. e todo este an5lisis se deduce )ue los elementos ;, y / s>lo se pueden ordenar de 2 maneras diferentes. ero si fueran m5s elementos, ser*a m5s tedioso mostrar todos los ordenamientos posi+les. 0sto nos conlleva a utili?ar la f>rmula antes indicada. / = (3 − 1! = 2! = 2 (3 Hsea
Ejemplos:
#1. 6e cu5ntas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa Auan y sus cinco ami-as8 #$. 0ncontrar el número total de enteros positivos )ue pueden fomarse utili?ando los d*-itos 1, 2, 3 y 4, si nin-ún d*-ito ha de repetirse cuando se forma un número8
Resolución:
Resolución:
2. PERMUTACIÓN CIRCULAR 0s un arre-lo u ordenaci>n de elementos diferentes alrededor de un o+eto. 0n estas ordenaciones no hay primer ni último elemento, por hallarse todos en l*nea cerrada.
Ejemplo: ermutar ";", "" y "/" en forma circular. NOTA: ara determinar el número de permutaciones circulares de "n"
#2. /uatro pareas de enamorados, de cu5ntas maneras diferentes pueden u+icarse alrededor de una fo-ata, de modo )ue B. os hom+res y mueres )ueden alternados. BB. /ada parea no se separe.
/
(n elementos distintos, denotado por, , +asta fiar la posici>n de uno de ellos y los "n − 1" restantes podr5n ordenarse de (n − 1! maneras. Si se toma otro elemento como fio, las ordenaciones de los restantes ser5n se-uro uno de los ya considerados. ue-o
/
(n
=
(n
−
1 !
Observaciones: ara diferenciar una permutaci>n circular de otra, se toma uno de los elementos como elemento de referencia y se recorre en sentido horario o antihorario. Si se encuentran los elementos en el mismo orden, entonces am+as
Resolución:
3. PERMUTACIÓN CON ELEMENTOS REPETIDOS 0s un arre-lo u ordenaci>n de elementos no todos diferentes (elementos repetidos. Si se tienen "n" elementos donde hay elementos repetidos de una 1ra. clase. elementos repetidos de una 2da. clase.
/
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Especialista: Cesar Chu Mundaca elementos repetidos de una r 7 sima clase. 0l número de permutaciones diferentes con "n" elementos los cuales tienen elementos )ue se repiten, se calcula como si-ue
n J
1
,J
2
, ... , J
n!
=
J !× J
r
1
2
! × ......
×
Tlf: 971349545
0l número de com+inaciones de 4 elementos tomados de 3
en 3 se denota por 3 /ada com+inaci>n tiene permutaciones, es decir
/
J !
4 / 3
r
=
4
=
24 "
onde J
1
+J
2
+ .... + J
r
≤
4
4 3
=
3!
4!
n
(4 − 3 ! 4 4! / = = 3 3! 3 !(4 − 3 !
Ejemplos: En general: 0l número de com+inaciones de "n" elementos tomados de "J" en "J", se calcula como
#1. @n estante tiene capacidad para $ li+ros de .9. )ue tienen pasta a?ul, 4 de .G. de pasta roa y 3 de Mistoria del erú de pasta amarilla. 6e cu5ntas maneras pueden colocarse los li+ros se-ún los colores8 Resolución:
/
n n! = J J !(n − J !
n n
=
n! = n! n !(n − n ! n! × #!
<
J
≤
n
=1 /
/
n #
=1
n / = P
Resolución:
D /
n / n −P
#3. 6e cu5ntas maneras se pueden ordenar las letras de la pala+ra ;;N;8
#
Observaciones: /uando se toman todos los elementos del conunto para a-ruparlos o com+inarlos (es decir, J = n, se dice )ue es una com+inaci>n de "n" elementos y /
#2. Se tienen 1# +anderas donde 2 son roas, 3 +lancas y $ son a?ules, 6e cu5ntas maneras se pueden hacer seKales poniendo todas las +anderas en fila8
D
/
n #
n 1
=n
D /
n n
n = 1 n
=1
/
1# 1# = / % 3
/
$# $# = / 4" 4
+ /1n + / n2 + .... + / nn = 2 n
Ejemplos:
#1. 6/u5ntos -rupos de 4 personas se pueden formar con personas8
Resolución:
Resolución: COMBINACIÓN 0s una selecci>n o -rupo )ue se puede formar con una parte o con todos los elementos disponi+les de un conunto. 0n una com+inaci>n no interesa el orden de sus elementos. ; travs de un eemplo nos daremos cuenta )ue hay una estrecha relaci>n entre las permutaciones y las com+inaciones. ado el conunto ; = Ea, +, c, dF, calcular el número de permutaciones y el número de com+inaciones de los elementos de ";" tomados de 3 en 3.
e r m u t a c i o n e s ( o r d e n a m i e n t o s
a + c,a c+, +a c,+ca,ca +,c+a a+d,ad+,+ad,+da ,da+,d +a a cd,a d c,ca d,cd a ,d a c,d ca + cd ,+ d c, c+ d ,cd + ,d + c,d c+
⇒
⇒ ⇒
"
" " "
⇒ Ootal 24
=
4 3
#2. Se eQtraen dos cartas de una +araa de $2 cartas. 6e cu5ntas maneras se puede hacer esto8 Resolución:
/ o m + i n a c io n e s ( - r u p o s
a+c a+d acd +cd
⇒
⇒ ⇒ ⇒
Ootal 4
=
1 1 1 1
/
4 3
#3. 0n una reuni>n hay 1# hom+res y mueres, se van a formar -rupos de $ personas. 6/u5ntos -rupos diferentes se formar5n, si siempre de+en ha+er 3 hom+res en el -rupo8 Resolución:
el eemplo anterior, o+tenemos las si-uientes conclusiones
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Tlf: 971349545 a 4## d 3''
#4. @n estudiante tiene )ue contestar & de 1# pre-untas en un eQamen B.
6e cu5ntas maneras puede el estudiante esco-er las & pre-untas8 BB. Si las tres primeras son o+li-atorias, 6de cu5ntas maneras puede esco-er las pre-untas8 BBB. Si tiene )ue contestar 4 de las $ primeras, 6e cu5ntas formas puede esco-er las pre-untas8 Resolución:
EJERCICIOS
a 2& d 4&
#2.
#3.
c
+ e '1
#'.
+ # e $1
c 12
ENUNCIADO "e ima a Bca, eQisten 4 caminos diferentes, de Bca a Oacna hay $ caminos tam+in diferentes".
6e cu5ntas maneras diferentes se podr5 ir de ima a Oacna, pasando siempre por Bca8 a ' d 4#
+ 2# e 2$
c 12
#. el enunciado 6e cu5ntas maneras diferentes se podr5 ir de ima a Oacna y re-resar, si la ruta de re-reso de+e ser diferente a la de ida8
+ 12# e 4
c 32
6e cu5ntas maneras diferentesD 2 peruanos, 3 ar-entinos y 4 colom+ianos pueden sentarse en fila de modo )ue los de la misma nacionalidad se siente untos8 a &4 d &'2
+ 1%2& e 1%##
c &&
1#. 0l aula especial de la ;cademia consta de 1$ alumnos a los cuales se le toma el eQamen final. 6/u5ntas opciones distintas se tiene para ocupar los 2 primeros puestos, si no hay empate8 a 21# d 2#$
c 12#
Si deseas viaar a Gene?uela y dispones de 3 +arcos, $ aviones y 4 +uses (todos diferentes entre s*, 6de cu5ntas maneras puedes reali?ar dicho viae8 a 11 d 42
#$.
a 24 d 2$
c #
el enunciado 6e cu5ntas maneras puede vestirse, si la camisa +lanca siempre la usa con el pantal>n a?ul8 a '$ d 1
#4.
+ # e %2#
c '2
#&. el si-uiente ta+lero, 6de cu5ntas maneras diferentes se puede esco-er una casilla +lanca y una casilla ne-ra de tal manera )ue no estn en la misma hori?ontal ni vertical8
el enunciado 6e cu5ntas maneras diferentes puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran i-uales8 a 12# d 12
+ %4 e 12#
PROPUESTOS
#1. 6e cu5ntas maneras diferentes puede vestirse8 + 24# e %2
c 24#
#%. e un -rupo de 1$ personas )ue estudian s>lo 2 idiomas cada uno, se sa+e )ue 4 de ellos estudian in-ls y alem5n, $ in-ls y francs y los otros s>lo alem5n y francs. Si se )uiere esco-er 2 personas )ue ha-an untos la traducci>n de una lectura a cual)uiera de los 3 idiomas mencionados, 6de cu5ntas formas se puede ele-ir8
ENUNCIADO "alo tiene pantalones, 4 camisas y $ pares de ?apatos, todos de diferentes colores entre s*".
a 1$ d 12#
+ 3 e 4#1
11.
+ 23# e 1
c 24#
6/u5ntos resultados posi+les se pueden o+tener en el lan?amiento simult5neo de $ monedas y 3 dados le-ales8 a '34 d $12
+ '12 e '3
c %
12.6e cu5ntas maneras diferentes se puede vestir una persona )ue tiene ternos (i-uales, $ pares de medias (3 i-uales, 2 pares de ?apatos, & cor+atas (2 i-uales y camisas (3 i-uales8 a 42# d &4#
+ 2 e 1&
c 2&&
13. Se lan?an tres dados le-ales al piso, 6de cu5ntas maneras diferentes se pueden o+tener resultados diferentes en los tres dados8 a 12# d 13#
+ 1 e 11%
c 14#
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Especialista: Cesar Chu Mundaca 14.
@na alumna tiene para vestirse 4 +lusasD 3 pantalones, 2 faldas, pares de ?apatos. 6e cu5ntas maneras se podr5 vestir convencionalmente8 a 12# d %2
+ # e 2&&
21.
1$. 6e cu5ntas maneras diferentes se podr5n sentar en hilera ami-as, si Renara y 0ucalipta estar5n siempre untas y en uno de los eQtremos8 + 4& e %2
c '
1. 6e cu5ntas formas diferentes se pueden sentar en una fila 4 varones y 4 mueres, si uis ()ue es uno de ellos se )uiere sentar unto y entre iorela y eysi ()ue son dos de ellas8 ;dem5s, consideremos )ue las personas del mismo seQo no est5n untas. a %2# d &! 1%.
+ 3# e 144
1&.
+ 1%1 e 1%2&
+ 43# e 1$3&
a $3# d 4$#
a 12 d 2#
+ 14 e 24
a &1 d &
a 13 d 32
3 3 a 2# × 1#
2 2 + 2" × 1#
3 3 c 2" × 1# e 2" × 2$ × 24
3 d 2" × 1#
+ 3$# e 3
c 3#$
+ &4# e 4
c 12#
+ 1 e %2
c 4&
2. /on las frutas l5tano, papaya, mel>n, piKa y mamey, 6cu5ntos u-os de diferentes sa+ores se podr5n hacer8
2%.
2#. a 9unicipalidad de ima ha ordenado )ue las mototaQis sean amarillas y ten-an las placas con caracteres (3 letras se-uidas de 3 d*-itos. 6/u5ntas placas diferentes se podr5n formar8 (/onsiderar 2 letras del alfa+eto.
c 2#
2$. 6e cu5ntas maneras 3 pareas de esposos se pueden u+icar en una mesa circular, si en nin-ún momento las pareas estar5n separadas8 a 12# d 144
c 1
+ 1& e 1
24. 6/u5ntos arre-los diferentes se pueden hacer con las letras de la pala+ra "A;;I;A;"8
c 1$32
/
c 2#
23. 6e cu5ntas maneras puede esco-erse un comit compuesto de 3 hom+res y 2 mueres de un -rupo de % hom+res y $ mueres8
6or cu5ntas rutas diferentes se puede ir de ; a 8
;
+ 12# e
@n total de 12# estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Si cada participante es corts con los dem5s, el número de personas era a 12 d 14
c 12&
Auan, 9anuel, /arlos y $ ami-os m5s participan en una carrera, 6de cu5ntas maneras diferentes pueden lle-ar a la meta, de tal manera )ue /arlos lle-ue antes )ue 9anuel y ste lle-ue antes )ue Auan8 a %2# d 123
1'.
c 24#
@n clu+ tiene 2# miem+ros de los cuales 12 son mueres. 6/u5ntas untas directivas de 3 miem+ros residente, vicepresidente y secretario pueden formarse, si el presidente de+e ser una muer y el vicepresidente un hom+re8 a 142& d 1%1&
/on pesas de 1D 2D $D 1#D 3# y %# P-, 6cu5ntas pesas diferentes pueden o+tenerse tomando a)uellas de 3 en 38 a 1$ d #
c 144 22.
a 24 d 12#
Tlf: 971349545
+ # e 3#
c 12#
6e cu5ntas maneras diferentes se pueden sentar 1# personas en una mesa redonda de asientos, si 4 est5n en espera8 a 2$2# d 1#!
2'.
c 2$
/uatro personas a+ordan un autom>vil en el )ue hay asientos. Si s>lo /sar y Sandro sa+en conducir, 6de cu5ntas maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo8 a 24 d 24#
2&.
+ 1# e 31
+ 12### e 1$!
c 2$2##
;l ir $ pareas de esposos al teatro Se-ura, tienen mala suerte de encontrar solamente $ asientos untos en una misma fila. 6e cu5ntas maneras distintas se pueden acomodar, si se )uiere )ue por lo menos est sentado un hom+re y una mue8 a 2$## + 3#### c 2$ d 2$ e 2$
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Especialista: Cesar Chu Mundaca 3#. a cerradura de la +>veda de un +anco consta de tres discos con la numeraci>n del 1 al 1#. Si un ami-o de lo aeno desea a+rir la +>veda, 6cu5ntos intentos infructuosos como m5Qimo tendr5 )ue reali?ar8 (a +>veda se a+rir5 cuando los tres discos se com+inen de manera correcta. a 1### d &1# 31.
+ 2#
+ $ e 1
+ ' e 1%#
a 2$ d 32 3&.
3'.
+ 3'# e 2
c 12&
+ 43$ e 2#$
c &%#
a 31 d 12
+ 33 e 21
c '
41. Seis ladrones se escapan de la polic*a, y tienen 3 escondites para poder ocultarse. 6e cu5ntas maneras diferentes como m5Qimo se pueden ocultar8
c 2& a %2' d %2#
a 14# d 1
c 12&
c 12#
+ &4# e $12
c 12#
42. Se tiene números ne-ativos y $ números positivos, 6de cu5ntas maneras se pueden esco-er cuatro números, de tal manera )ue su producto sea positivo8
c 12&
3. 0n una reuni>n se encuentran $ mueres y & hom+res. Si se desea formar -rupos miQtos de $ personas, 6de cu5ntas maneras pueden formarse tales -rupos de modo )ue en cada uno de ellos estn siempre dos mueres8 a $# d 14#
+ 4 e '#
4#. ie? e)uipos de fút+ol participan en un campeonato (una rueda, todos contra todos. 6/u5ntos partidos m5s se de+er5n pro-ramar, si lle-an 3 e)uipos m5s8
43.
+ 21# e 1#$
c 24
; una reuni>n asistieron 3# personas. Si se saludan estrech5ndose las manos, suponiendo )ue cada uno es corts con cada uno de los dem5s, 6cu5ntos apretones de manos hu+ieron8 a # d 12#
3$. @na clase consta de % niKos y 3 niKas, 6de cu5ntas maneras diferentes el profesor puede esco-er un comit de 4 alumnos8 a 1# d 144
+ 1# e 4
May $ candidatos para presidente de un clu+, para vicepresidente y 3 para secretario. 6e cu5ntas maneras se pueden ocupar estos tres car-os8 a 1#& d %2
c 312 d 212 e 21#
e seis números positivos y $ números ne-ativos, se esco-en 4 números al a?ar y se multiplican. /alcular el número de formas )ue se pueden multiplicar, de tal manera )ue el producto sea ne-ativo. a # d 1#
3%. Mallar el número de seKales )ue pueden formarse con cinco si-nos m5s y menos.
c 24
6/u5ntos ca+les de coneQi>n son necesarios para )ue puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las & )ue hay en un edificio8 a 2# d 14
34.
+ 2# e 2$
/on % varones y 4 mueres se desea formar -rupos miQtos de personas. 6e cu5ntas maneras pueden formarse tales -rupos, de modo )ue en cada uno de ellos eQista siempre 2 mueres8 a 2##
33.
c '''
/on cinco reta?os de tela, 6cu5ntas +anderas +icolor se pueden formar8. Se sa+e )ue los reta?os son de colores diferentes y la +andera de+e tener la forma mostrada.
a 1# d 4# 32.
+ 12# e $12
Tlf: 971349545
44.
+ 1# e 1%#
c 1%$
Auan /arlos tiene $ pantalones y camisas todos de distintos colores. 6e cu5ntas maneras puede esco-er las prendas, sa+iendo )ue el pantal>n marr>n se lo de+e poner siempre con la camisa crema y viceversa8 a 3# + 2# c 21 d 3 e 24 @na moneda cuyas caras est5n marcadas con los números 2 y 3, respectivamente, es tirada $ veces. eterminar de cu5ntas maneras se o+tendr5 como suma 12. a 12# d 1$
+ # e 1#
c 3#
Villlarreal 2013
Analisis combinatorio
Especialista: Cesar Chu Mundaca 4$. 6/u5ntos números impares de 3 cifras, se pueden escri+ir con los d*-itos 4, $, %, ' y &, si no se pueden repetir los d*-itos8 a 2# d 14
+ $ e 3
c 2&
a 32 d 432
+ 3# e 12#
c 1#
4%. 6/u5ntos números mayores )ue un mill>n se pueden formar con los d*-itos #D 2D 2D 3D 3D 3 y 48 a 24# d 4## 4&.
+ 3 e 42#
a 2#$## c 232## e 2###
+ %2 e 4
$#.
+ 4 e 12&
c 12&
a 21# d $
c 3
+ 34# e 1
a 4'# d 4 $2.
+ $# e $2#
a n d n C 1 $.
+ 2 e n − 1
c 1
/on cuatro +anderas de diferentes colores se de+e mandar un mensae de un +arco a otro. 6/u5ntos mensaes se pueden mandar, si no es o+li-atorio usar todas las +anderas8 a 4 d '
+ 4# e 1
c 24
$%. 6/u5ntos números menores )ue 1#### pueden formarse con los ocho d*-itos #D 1D 2D 3D 4D $D y %8 a 32$$ c 4#'$ e 41'$
c $4
0n el si-uiente cuadrado de 3 casillas, 6de cu5ntas maneras diferentes se puede esco-er una casilla +lanca y una ne-ra de tal manera )ue no estn en la misma hori?ontal ni vertical8
c 1$
2 1 n(n − 1!+(n + 1!+(n − 1! = Pn(n ! 1 + n
c 2
$1. Oen-o 1$ sillas de las cuales & son defectuosas. 6e cu5ntas maneras podemos esco-er $ sillas de las cuales por lo menos 4 sean defectuosas8
+ 1 e %#
$$. /alcular "P" a partir de
6/u5ntos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 4, , % y &D de tal manera )ue sean menores )ue $### y no permitindose repeticiones de las cifras8 a 13& d 4$4
+ 21## d 21'$#
c 3#
4'. uis tiene 1# ami-os, de los cuales invitar5 a su matrimonio solamente a %. 6e cu5ntas maneras puede hacer la invitaci>n, si dos de sus ami-os est5n enemistados y no pueden asistir untos8 a $ d 44
c 4
$4. 0n la fi-ura, se han marcado ocho partes e)uidistantes so+re la circunferencia de un c*rculo dado. 6/u5ntos cuadril5teros diferentes podemos inscri+ir en el c*rculo usando los vrtices marcados8
/uatro chicas y dos varones van al cine y encuentran asientos untos en una misma fila, donde desean acomodarse. 6e cu5ntas maneras diferentes pueden sentarse, si las cuatro chicas )uieren estar untas8 a 1# d 144
+ 21 e 2&
$3. 6/u5ntas pala+ras se pueden hacer con 3 mayúsculas, $ consonantes y 4 vocales, si cada una de+e contener 3 consonantes y 2 vocales y comen?ar con mayúscula8
4. Se tiene una urna con ' +olas numeradas. Se )uiere sa+er, 6de cu5ntas maneras podemos sacar primero 2 +olas, lue-o 3 y finalmente 48 a 3# d 1#&
Tlf: 971349545
+ 41%$ d 4'$#
$&. 6/u5ntos números enteros y desi-uales mayores )ue 1# y menores )ue 1## se pueden formar con las & primeras cifras no repitindose nin-una de ellas8. (as cifras de+en ser contadas a partir del 1. a 44 d 4& $'.
Mallar "Q" en
+ $ e #
c 24
Villlarreal 2013
Analisis combinatorio
Especialista: Cesar Chu Mundaca 2 × 2! +3 × 3! + 4 × 4! +...
=
Tlf: 971349545 /laves
4# ! − 2
(Q 71 trminos
a 44 + 42 c 41 d 4# e 3' #. Se )uiere construir un collar con 12 perlas 4 a?ules. 2 +lancas. 3 roas. 1 verde. 1 amarilla. 1 marr>n. Si stas 3 últimas de+en estar untas, 6cu5ntos collares se pueden confeccionar8 a &$# d 4#32#
+ %$# e &%#
0 1 .
d
3 1 .
b
0 2 .
c
3 2 .
e
0 3 .
a
3 3 .
c
0 4 .
c
3 4 .
d
0 .
b
3 .
b
0 ! .
b
3 ! .
a
0 " .
b
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d
0 # .
c
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0 $ .
b
3 $ .
b
1 0 .
a
4 0 .
b
1 1 .
b
4 1 .
a
1 2 .
e
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e
1 3 .
a
4 3 .
c
1 4 .
a
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e
1 ! .
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2 1 .
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