Academia Preuniversitaria SUDAMERICANA
ANÁLISIS COMBINATORIO COMBINAT ORIO El análisis combinatorio es la parte de las Matemáticas que estudia el número de ordenamientos o grupos que se pueden formar con las cosas o los elementos.
FACTORIAL DE UN NÚM NÚMER O Sea "n" un número entero positivo, el factorial de "n", se denota por "n!" o " n " y se define como el producto de los enteros consecutivos desde 1 hasta n o desde n hasta l a unidad inclusive.
n! = n = 1 2 3 4 .... (n 1) n
Ejemplos: *
1! 1 2 ! 1 2 2
*
3 ! 1 2 3 6
* *
4 ! 1 2 3 4 24 5 ! 1 2 3 4 5 120 6 ! 1 2 3 4 5 6 720
*
7 ! 1 2 3 4 5 6 7 5040
*
8 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 40320 9 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 362880 10 ! 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3628800
*
*
* *
S e observa: obser va: 9! 10 ! 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 ! 10 9 ! 10 ! 10 9 8 ! 10 ! 10 9 8 7 !
Entonces:
n! = (n 1)! n
De aquí, obtenemos para n = 1 1 ! (1
1) ! 1
0!
1
0!
Luego, definimos convencionalmente: 1! = 0! = 1
Ejemplos: a.
Calcular:
E 15 ! 16 ! 217 ! 15! 17
Resolución:
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES FUNDAMENTALES DE CONTEO MULTIPLICAC CAC IÓN 1. . PR INCIPIO DE MULTIPLI (Teorema fundamental del análisis combinatorio) Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y para cada una de estas, otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento "A" seguido de "B", ocurre de " m n " maneras.
Observaciones: * *
En este principio, la ocurrencia es uno a continuación del otro, es es decir, decir, ocurre el evento "A" y luego ocurre el evento "B". Este principio se puede generalizar para más de dos eventos.
Raz. Matemático
Ejemplos 01. Una persona puede viajar de "A" a "B" de 3 formas y de "B" a "C" de 2 formas, ¿De cuántas maneras distintas puede ir de "A" a "C" pasando por "B" y sin retroceder? 02. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar una moneda y un dado simultáneamente?
2. . PR INCIPIO DE ADIC IÓN: Si un evento "A" ocurre de "m" maneras y otro evento "B" ocurre de "n" maneras, entonces el evento A ó B, es decir, no simultáneamente, ocurre de "m + n" maneras.
Observaciones: * *
En este principio, l a ocurrencia no es simultáneamente, es decir, ocurre el evento "A" o el evento "B"; pero no ambos a la vez. Este principio se puede generalizar para más de dos eventos.
Ejemplos: 01. Una persona puede viajar de "A" a "B" por vía aérea o por vía terrestre y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres, ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? 02. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener al lanzar un dado o una moneda?
PERMUTACIÓN Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una permutación, sí interesa el orden de sus elementos. Se pueden presentar en tres casos:
1. . PER MUTACIÓN LINEAL: Es un arreglo u ordenación de elementos en línea recta. El número de permutaciones de "n" elementos diferentes tomados de "K" en "K", se calcula como: n P K
n! ; 0 (n K)!
Kn
Observaciones: *
Cuando se toman todos los elementos del conjunto para ordenarlos o permutarlos (es decir, K = n), se dice que es una permutación de "n" elementos y se denota por Pn. n n
P P n! n
Ejemplos: 01. En una carrera participan 4 atletas, ¿de cuántas maneras dis tintas pueden llegar a la meta, si llegan uno a continuación del otro?
02. Un grupo está f ormado por 6 personas y desean formar una comis ión integrada por un presidente y un secretario, ¿De cuántas maneras puede formarse dicha comisión?
2. . PERMUTACIÓN C IRCULAR Es un arreglo u ordenación de elementos diferentes alrededor de un objeto. En estas ordenaciones no hay primer ni último elemento, por hallarse todos en línea cerrada.
NOTA: Para determinar el número de permutaciones circulares de "n" elementos distintos, denotado por,
PC(n), basta fijar la
posición de uno de ellos y los "n 1" restantes podrán ordenarse de (n 1)! maneras. Si se toma otro elemento como fijo, las ordenaciones de los restantes serán seguro uno de los ya considerados. Luego:
PC(n) (n 1)! 0.2 Cuatro parejas de enamorados, de cuántas maneras diferentes pueden ubicarse alrededor de una fogata, de modo que: I. Los hombres y mujeres queden alternados. II. Cada pareja no se separe.
01. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa Juan y sus cinco amigas?
Resolución:
Resolución: 3. PER MUTACIÓN CON ELEMENTOS RE PETIDOS Es un arreglo u ordenación de elementos no todos diferentes (elementos repetidos). Si se tienen "n" elementos donde hay:
K1 elementos repetidos de una 1ra. Clase. K 2 elementos repetidos de una 2da. Clase.
K r elementos repetidos de una r - ésima clase. El número de permutaciones diferentes con "n" elementos los cuales tienen elementos que se repiten, se calcula como sigue:
Donde. 01. Se tienen 10 banderas donde 2 son rojas, 3 blancas y 5 son azules, ¿De cuántas maneras se pueden hacer señales poniendo todas las banderas en fila?
K1 K 2 .... K r n 02. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra PAPAYA?
Resolución:
Resolución:
4. COMBINACIÓN Es una selección o grupo que se puede formar con una parte o con todos los elementos disponibles de un conjunto. En una combinación no interesa el orden de sus elementos.
E n general: El número de combinaciones de "n" elementos tomados de "K" en "K", se calcula como: n C
K
Ejemplos:
n! K!(n K)!
;
0
K
n
01. ¿Cuántos grupos de 4 personas se pueden formar con 6 personas? n 02. Se extraen dos cartas de una baraja de 52 cartas. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? 0
1
Raz. Matemático
EJ ERC ICIOS PR OPUESTOS ENUNCIADO "Lalo tiene 6 pantalones, 4 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí". 01.
¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse? a) 15 d) 120
02.
b) 60 e) 720
c) 80
Del enunciado: ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul? a) 95 d) 61
04.
c) 60
Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes puede vestirse, si 3 de los pantalones fueran iguales? a) 120 d) 12
03.
b) 240 e) 72
b) 80 e) 91
a) 24 d) 256
a) 864 d) 892
c) 688
Si deseas viajar a Venezuela y dispones de 3 barcos, 5 aviones y 4 buses (todos diferentes entre sí), ¿de cuántas maneras puedes realizar dicho viaje? a) 11 d) 42
a) 210 d) 205
c) 12
11.
¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna, pasando siempre por Ica? a) 9 d) 40
b) 20 e) 625
c) 12
Del enunciado: ¿De cuántas maneras diferentes se podrá ir de Lima a Tacna y regresar, si la ruta de regreso debe ser diferente a la de ida? a) 400 d) 399
b) 380 e) 401
a) 28 d) 48
b) 74 e) 120
c) 92
Del siguiente tablero, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una casill a negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical?
b) 230 e) 180
c) 240
¿Cuántos resultados posibles se pueden obtener en el lanzamiento simultáneo de 5 monedas y 3 dados legales? a) 6934 d) 6512
b) 6912 e) 6936
c) 6780
12.¿De cuántas maneras diferentes se puede vestir una persona que tiene 6 ternos (iguales), 5 pares de medias (3 iguales), 2 pares de zapatos, 8 corbatas (2 iguales) y 6 camisas (3 iguales)? a) 420 d) 840
c) 240
07. De un grupo de 15 personas que estudian sólo 2 idiomas cada uno, se sabe que 4 de ellos estudian inglés y alemán, 5 inglés y francés y los otros sólo alemán y francés. Si se quiere escoger 2 personas que hagan juntos la traducción de una lectura a cualquiera de los 3 idiomas mencionados, ¿de cuántas formas se puede elegir?
08.
b) 1728 e) 1700
El aula especial de la Academia consta de 15 alumnos a los cuales se le toma el examen final. ¿Cuántas opciones distintas se tiene para ocupar los 2 primeros puestos, si no hay empate?
b) 60 e) 51
10.
"De Lima a Ica, existen 4 caminos diferentes, de Ica a Tacna hay 5 caminos también diferentes".
06.
c) 32
09. ¿De cuántas maneras diferentes; 2 peruano s, 3 argentinos y 4 colombianos pueden sentarse en fila de modo que los de la misma nacionalidad se siente juntos?
c) 120
ENUNCIADO
05.
b) 120 e) 64
b) 280 e) 168
c) 288
13. Se lanzan tres dados legales al piso, ¿de cuántas maneras diferentes se pueden obtener resultados diferentes en los tres dados? a) 120 d) 130 14.
b) 180 e) 117
c) 140
Una alumna tiene para vestirse: 4 blusas; 3 pantalones, 2 faldas, 6 pares de zapatos. ¿De cuántas maneras se podrá vestir convencionalmente? a) 120 d) 72
b) 60 e) 288
c) 144
15.
¿De cuántas maneras diferentes se podrán sentar en hilera 6 amigas, si Genara y Euc alipta estarán siempre juntas y en uno de los extremos? a) 24 d) 120
16.
b) 48 e) 72
a) 15 d) 60
c) 96
¿De cuántas formas diferentes se pueden sentar en una fila 4 varones y 4 mujeres, si Luis (que es uno de ellos) se quiere sentar junto y entre Fiorella y Deysi (que son dos de ellas)? Además, consideremos que las personas del mismo sexo no están juntas. a) 720 d) 8!
b) 360 e) 144
18.
b) 4360 e) 1538
c) 1532
¿Por cuántas rutas diferentes se puede ir de A a B?
a) 12 d) 14
a) 530 d) 450
a) 12 d) 20
C
B
b) 14 e) 24
b) 18 e) 16
c) 20
b) 350 e) 380
c) 305
24. ¿Cuántos arreglos diferentes se pueden hacer con las letras de la palabra "JAPANAJA"? b) 840 e) 64
c) 120
25. ¿De cuántas maneras 3 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán separadas? a) 120 d) 144
b) 16 e) 72
c) 48
26. Con las frutas: Plátano, papaya, melón, piña y mamey, ¿Cuántos jugos de diferentes sabores se podrán hacer? a) 13 d) 32
A
c) 20
22. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era:
a) 81 d) 8
c) 1628
Juan, Manuel, Carlos y 5 amigos más participan en una carrera, ¿de cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta, de tal manera que Carlos llegue antes que Manuel y éste llegue antes que Juan? a) 6720 d) 1236
19.
b) 1716 e) 1728
b) 120 e) 80
23. ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?
c) 240
17. Un club tiene 20 miembros de los cuales 12 son mujeres. ¿Cuántas juntas directivas de 3 miembros: Presidente, vice presidente y secretario pueden formarse, si el presidente debe ser una mujer y el vicepresidente un hombre? a) 1428 d) 1718
21. Con 6 pesas de 1; 2; 5; 10; 30 y 70 kg, ¿cuántas pesas diferentes pueden obtenerse tomando aquellas de 3 en 3?
b) 10 e) 31
c) 25
27. Cuatro personas abordan un automóvil en el que hay 6 asientos. Si sólo César y Sandro saben conducir, ¿de cuántas maneras diferentes pueden acomodarse para salir de paseo?
c) 16 a) 24 d) 240
20. La Municipalidad de Lima ha ordenado que las mototaxis sean amarillas y tengan las placas con 6 caracteres (3 letras seguidas de 3 dígitos). ¿Cuántas placas diferentes se podrán formar? (Considerar 26 letras del alfabeto). 3 3 a) 20 10
b) 26
2
102
c) 263 103 e) 26 25 24
3 d) 26 10
b) 60 e) 360
c) 120
28. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 10 personas en una mesa redonda de 6 asientos, si 4 están en espera? a) 2520 d) 10!
b) 12000 e) 15!
c) 25200
29. Al ir 5 parejas de esposos al teatro Segura, tienen mala suerte de encontrar solamente 5 asientos juntos en una misma fila. ¿De cuántas maneras distintas se pueden acomodar, si se quiere que por lo menos esté sentado un hombre y una mujer?
Raz. Matemático
a) 25600 d) 25 30.
b) 30000 e) 625
c) 256
La cerradura de la bóveda de un banco consta de tres discos con la numeración del 1 al 10. Si un amigo de lo ajeno desea abrir la bóveda, ¿cuántos intentos infructuosos como máximo tendrá que realizar? (L a bóveda se abrirá cuando los tres disc o s se combinen de manera correcta). a) 1000 d) 810
31.
36.
b) 120 e) 512
a) 560 d) 140 37.
c) 999
Con cinco retazos de tela, ¿cuántas banderas bicolor se pueden formar?. Se sabe que los retazos son de colores diferentes y la bandera debe tener la forma mostrada.
En una reunión se encuentran 5 mujeres y 8 hombres. Si se desea formar grupos mixtos de 5 personas, ¿de cuántas maneras pueden formarse tales grupos de modo que en cada uno de ellos estén siempre dos mujeres?
a) 10 d) 40 32.
b) 20 e) 25
c) 24
¿De cuántas maneras pueden formarse tales grupos, de modo que en cada uno de ellos existan siempre 2 mujeres? a) 200 d) 212 33.
35.
b) 56 e) 16
b) 64 e) 90
c) 128
b) 435 e) 205
c) 870
Diez equipos de fútbol participan en un campeonato (una rueda, todos contra todos). ¿Cuántos partidos más se deberán programar, si llegan 3 equipos más?
c) 312 a) 31 d) 12
¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las 8 que hay en un edificio? a) 20 d) 14
34.
b) 20 e) 210
40.
c) 24
A una reunión asistieron 30 personas. Si se saludan estrechándose las manos, suponiendo que cada uno es cortés con cada uno de los demás, ¿cuántos apretones de manos hubieron? a) 60 d) 120
Con 7 varones y 4 mujeres se desea formar grupos mixtos de 6 personas.
b) 10 e) 64
Hay 5 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 3 para secretario. ¿De cuántas maneras se pueden ocupar estos tres c argos? a) 108 d) 72
39.
c) 120
Hallar el número de señales que pueden formarse con cinco signos más y menos. a) 25 d) 32
38.
b) 390 e) 280
c) 28
De seis números positivos y 5 números negativos, se escogen 4 números al azar y se multiplican. Calcular el número de formas que se pueden multiplicar,
b) 33 e) 21
c) 9
41. Seis ladrones se escapan de la policía, y tienen 3 escondites para poder ocultarse. ¿De cuántas maneras diferentes como máximo se pueden ocultar? a) 729 d) 720
c) 120
de tal manera que el producto sea negativo.
Se tiene 6 números negativos y 5 números positivos, ¿d e cuántas maneras se pueden escoger cuatro números, de tal manera que su producto sea positivo?
a) 60 d) 160
a) 140 d) 180
b) 96 e) 170
c) 128
Una clase consta de 7 niños y 3 niñas, ¿de cuántas maneras diferentes el profesor puede escoger un comité de 4 alumnos? a) 160 d) 144
b) 210 e) 105
42.
b) 840 e) 512
43.
b) 160 e) 170
c) 175
Juan Carlos tiene 5 pantalones y 6 camisas todos de distintos colores. ¿De cuántas maneras puede escoger las prendas, sabiendo que el pantalón marrón se lo debe poner siempre con la camisa crema y viceversa?
c) 128 a) 30 d) 36
b) 20 e) 24
c) 21
44. Una moneda cuyas caras están marcadas con los números 2 y 3, respectivamente, es tirada 5 veces. Determinar de cuántas maneras se obtendrá como suma 12. a) 120 d) 15
b) 60 e) 10
c) 30
a) 490 d) 480
b) 560 e) 520
c) 546
52. En el siguiente cuadrado de 36 casillas, ¿de cuántas maneras diferentes se puede escoger una casilla blanca y una negra de tal manera que no estén en la misma horizontal ni vertical?
45. ¿Cuántos números impares de 3 cifras, se pueden escribir con los dígitos: 4, 5, 7, 9 y 8, si no se pueden repetir los dígitos? a) 20 d) 14 46.
b) 306 e) 1260
c) 1080
¿Cuántos números mayores que un millón se pueden formar con los dígitos 0; 2; 2; 3; 3; 3 y 4? a) 240 d) 400
48.
c) 28
Se tiene una urna con 9 bolas numeradas. Se quiere saber, ¿de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y finalmente 4? a) 630 d) 108
47.
b) 56 e) 36
b) 380 e) 420
c) 360
Cuatro chicas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos juntos en una misma fila, donde desean acomodarse. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse, si l as cuatro chicas quieren estar juntas? a) 160 d) 144
b) 72 e) 64
a) 32 d) 432
b) 216 e) 28
c) 64
53. ¿Cuántas palabras se pueden hacer con 3 mayúsculas, 5 consonantes y 4 vocales, si cada una debe contener 3 consonantes y 2 vocales y comenzar con mayúscula? a) 20500 c) 23200 e) 20600
b) 21600 d) 21950
54. En la figura, se han marcado ocho partes equidistantes sobre la circunferencia de un círculo dado. ¿Cuántos cuadriláteros diferentes podemos inscribir en el círculo usando los vértices marcados?
c) 128
49. Luis tiene 10 amigos, de los cuales invitará a su matrimonio solamente a 7. ¿De cuántas maneras puede hacer la invitación, si d os de sus amigo s están enemistados y no pueden asistir juntos?
a) 210 d) 56
b) 1680 e) 70
c) 15
55. Calcular "k" a partir de: a) 56 d) 44 50.
b) 64 e) 128
c) 36
¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con las cifras: 1, 2, 4, 6, 7 y 8; de tal manera que sean menores que 5000 y no permitiéndose repeticiones de las cifras? a) 138 d) 454
b) 340 e) 180
c) 280
51. Tengo 15 sillas de las cuales 8 son defectuosas. ¿De cuántas maneras podemos escoger 5 sillas de las c uales por lo menos 4 sean defectuosas?
a) n d) n + 1
b) 2 e) n 1
2
1
n
n(n 1)!(n 1)!(n 1)! kn(n)! 1
c) 1
56. Con cuatro banderas de diferentes colores se debe mandar un mensaje de un barco a otro. ¿Cuántos mensajes se pueden en mandar, si no es obligatorio usar todas las banderas? a) 64 d) 96
b) 40 e) 16
c) 24
Raz. Matemático
57. ¿Cuánto s números menores que 10000 puede en formarse con los ocho dígitos: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7? a) 3255 c) 4095 e) 4195 58.
b) 4175 d) 4950
¿Cuántos números enteros y desiguales mayores que 10 y menores que 100 se pueden formar con las 8 primeras cifras no repitiéndose ninguna de ellas?. (Las cifras deben ser contadas a partir del 1). a) 44 d) 48
59.
b) 56 e) 60
c) 24
Hallar "x" en:
2 2! 3 3 ! 4! ... 40! 2 4 (x-1) términos
a) 44 d) 40
b) 42 e)
c) 41
60.
Se * * * * * *
quiere construir un collar con 12 perlas: 4 azules. 2 blancas. 3 rojas. 1 verde. 1 amarilla. 1 marrón.
Si éstas 3 últimas deben estar juntas, ¿cuántos collares se pueden confeccionar? a) 8560 d) 40320
b) 7560 e) 8760
c) 5040
Raz. Matemático
