RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Walter Olivera Ricalde
–1–
Se define factorial de un número “n” (es un número entero y positivo); al producto indicado de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n y se denotado por n!
n!: factorial de n ó n factorial n ! 1 2 3 . . . (n
1) n
n
+
Ejemplo: 5! : factorial de 5
5!
1
2
. ..
5
8! : factorial de 8
8!
1
2
. ..
8
Observación: 1) 0 ! 1 2) 1 ! 1 3) n ! (n
2)! (n
1) n
La definición de cofactorial de un número, dependerá de la naturaleza de éste es decir; si es par o impar. Es decir: *
n
n !! 2 4 6 .. . (n 2)n pertenece a los números pares
Ejemplo: *
n
6 !!
2
4
6
48
n !! 1 3 5 .. . (n 2)n pertenece a los números impares
Ejemplo:
7 !!
1
3
5
7
1 05
I. PRINCIPIO DE LA LA ADICIÓN: Si se puede realizar un primer procedimiento de “m” maneras, mientras que un segundo procedimiento se puede realizar de “n” maneras; y no se puede realizar los dos procedimientos simultáneamente; simultáneamente; entonces realizar cualquiera de ellos se pueden realizar de: m+ n
maneras
Ejemplo 01. En un salón de 18 hombres y 20 mujeres se elige al azar un delegado que represente al salón. ¿Cuántas posibilidades hay para elegir dicho representante? a) 20 b) 18 c) 19 d) 38 e) 48
Solución Se puede elegir uno de los 18 hombres ó
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Walter Olivera Ricalde
–2–
Se puede elegir uno de las 20 mujeres Hay 18 + 20 = 38 posibilidades. Rpta.
II. PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN: Supongamos que un primer procedimiento se puede efectuar “m” maneras y un segundo procedimiento “n” maneras pero en este caso que se efectúa el primero y seguido del segundo entonces se pueden efectuar de: maneras diferentes
m× n
Ejemplo02. Del problema anterior; en lugar de elegir un solo representante, se desea elegir una pareja formada por un hombre y una mujer. ¿Cuántas son las posibilidades de elegir? a) 380 b) 300 c) 360 d) 400 e) 420
Solución Escogemos uno de los 18 hombres; él puede hacer pareja con cualquiera de las 20 mujeres. Cada hombre tiene 20 posibilidades de hacer pareja. Dado que hay 18 hombres; entonces hay 18 20 360 maneras de hacer pareja 360 maneras de elegir una pareja Rpta.
Combinar “n” elementos tomándolos de “k” en “k” grupos diferentes entre sí de “k” elementos cada uno
(k
n) ,
es formar con los “n” elementos todos los
El número de combinaciones de n elementos tomados de k en en k . Se puede calcular por:
n! (n k)!k!
n
C k
Ejemplo 03. Combinar los elementos A, B, C y D tomados de 2 en 2. Además indicar el número de combinaciones obtenidas. a) 4 b) 8 c) 12 d) 6 e) 18
Solución
Los elementos: A, B, C y D Las combinaciones: A B A C A D
BC BD CD
Son en total 6 combinaciones.
Si solo nos interesa el número de combinaciones usaremos la formula: 4
C2
4! (4 2)!2 !
4! 2 !2 !2 !
1
2 2
3
4 2
6
Rpta.
Permutar n elementos tomándolos de k en en k , es ordenar de todas las maneras posibles los n elementos tomando k elementos elementos para cada ordenamiento. El número de permutaciones de n elementos tomando k a a la vez, se puede calcular mediante:
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Walter Olivera Ricalde
–3–
P(n;k)
n! (n k)!
Ejemplo 04. Permutar los elementos A, B, C y D tomándolos de 2 en 2. Además indicar el número de permutaciones. a) 12 b) 6 c) 8 d) 4 e) 10
Solución
Los elementos: A, B, C y D Las permutaciones: permutaciones: A B B A C A D A A C B C C B D B A D B D C D D C Son 12 permutaciones.
Si solo nos interesa el número de permutaciones aplicaremos la formula: P(n,k)
P(4,2)
n! (n k)! 2!
4! (4
=
2)! 12
3
4
2!
Rpta.
Cuando un grupo de “n” elementos diferentes se deben permutar todos entre si en línea recta. P(n)
n!
Ejemplo 05. Se tiene los dígitos 1, 2 y 3 ¿De cuántas maneras se puede ordenar? a) 4 b) 3 c) 6 d) 12
e) 5
Solución: El ordenamiento posible entre los 3 dígitos es: 123; 132; 312; 321; 231; 213 Son 6 ordenamientos. ordenamientos.
Si quisiéramos solo el total de ordenamientos o permutaciones, bastará aplicar la fórmula: P(n) P(3)
3 ! 1x 2x 2x 3
6
n!
Rpta.
Tanto en las combinaciones como en las permutaciones que hemos visto los elementos que han intervenido son diferentes entre si. A continuación vamos a analizar el caso en que participan elementos repetidos, elementos elementos que no son distinguibles d istinguibles entre si y para ello usaremos la siguiente formula. En general, si hay n elementos u objetos con n 1 de un tipo, con n 2 de un segundo tipo; …, n k de un kenésimo tipo; donde n1 n 2 ... n k n ; entonces el número de permutaciones de los n elementos está dado por:
P(n;n1 ;n2 ;...;nk )
n! n 1 ! n 2 !. .. .. n k !
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Walter Olivera Ricalde
–4–
Ejemplo 06. ¿Cuántas son las permutaciones, de todas las letras de la palabra PAPI? a) 8 b) 4 c) 16 d) 12
e) 10
Solución : hay 4 letras en total hay 2 letras de P n1 : hay 1 letra de A n2 : hay 1 letra de I n3 :
n
4!
P(4 P(4 : 2;1 2;1;1) ;1)
2! 1! 1! 2!
P( P(4 4 : 2; 2;1 1;1) ;1)
2!
3 4 1!
12
1!
Rpta.
Se refiere cuando, de cuantas maneras diferentes se pueden sentar un grupo de personas en una mesa redonda y para ello bastará saber la formula:
Pc( Pc(n)
(n
1)!
Ejemplo 07. Si se sientan 4 personas A, B, C y D alrededor de una mesa circular, ¿Cuántas disposiciones circulares distintas se pueden realizar tomando a uno de ellos como fijo? a) 4 b) 12 c) 3 d) 8 e) 6
Solución Para este caso necesariamente uno de ellos debe estar inmóvil o fijo. Pc( Pc(n) (n
1)!
P c( c(4)
1)!
(4
3!
6
Rpta.
Nota: Cuando se trata de un arreglo circular cuando 2 o más estén fijos o inmóviles. Nº Pc
Permuta Permu tacción inter nterna na de los e leme nto s junto s
Permutac Permut aciión ext externa erna de los e leme nto s juntos junt os
Ejemplo 08. ¿De cuántas maneras distintas, 7 amigos se ubican alrededor de una mesa a cenar; si tres de ellos en particular siempre están juntos? a) 120 b) 144 c) 125 d) 122 e) 126
Solución Supongamos los 7 amigos. A, B, C, D, E, F y G, siempre siempre juntos A, B y C veamos: Permutación interna interna de A, B y C es lineal
C
P(3)
D
3!
3
2
Nº Pe rmuta ció n
B
6 P(3) Pc (5)
circular E
A F
G
6 (5 6
4!
6
24
1)!
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Walter Olivera Ricalde
–5– 14 4
. Rpta.
Ejemplo 01. Calcule el valor de W en: 2
W
a) 3600
b) 3500
(6!) 4! 5!
c) 2500
d) 2600
e) 1500
c) 8
d) 9
e) 6
Solución: 6! 6! 4 ! + 4 !(5) 4! 5 6 6! 4!(1 4!(1 5)
W W
4!
W
5
6
4!
6
W
5
6!
W
5
1
2
3
4
5
6
Rpta.
3600
W
6!
Ejemplo 02. Halle el valor de “a!”. Si (a 1)! 2 4 a) 4 b) 12
Solución: (a
1)! (a
24 1) !
a
1
a
1 2
3 4
4!
4! 4
3
Nos piden:
a!
3!
1
2
6
3
Rpta.
Ejemplo 03. Simplifique la expresión: A
a) 2!!
b) 4!!
2!! 2!!(2!! (2!! 3!! 4!! 5!!) 5!!) 2(3!!) 3!!)
4 !!
c) 6
d) 4
Solución: A A A
2 2
(1 3) (2 4 ) (1 3 5) 2(1 3) (2 4 )
2(2 3 8 1 5) (2 3) 8 2
28 14
A
4
Rpta.
Ejemplo 04. Simplificar la expresión: P
7! 8
7!
6! 7
6!
e) 2
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 8
Walter Olivera Ricalde
–6–
b) 9
c)
49
d)
6
49 3
e) 50
Solución: P P
7 !( !(8 6 !( !(7
1) 1)
6!
7
6!
7! 7 6! 6 49
7
6
6
Rpta.
Ejemplo 05. Hallar “x” en la siguiente ecuación: x(x
1)! x ! 2 1 4!
a) 6
b) 4
c) 2
1
2!
d) 8
e) 10
Solución: Recuerda x(x 1)! x ! x !(x ! 2 1)
4! 3
x!( x!(x! 21) 21)
24
x!
4!
x
3 4
3
72
24(3 24(3) (Igualación de términos)
x!( x!(x! 21) 21) x!
1 2
4!
4
Rpta.
Ejemplo 06. En un salón de clase hay 15 alumnas y 24 alumnos. ¿Cuántas parejas diferentes diferentes se pueden formar con los alumnos de este salón? a) 120 b) 240 c) 300 d) 360 e) 450
Solución: Por el principio de la multiplicación. Nº pa rejas= 15 24= 24 0 Rpta.
Ejemplo 07. El profesor WOR tiene en su estante 5 libros de RM y 8 libros de Aritmética, ¿De cuántas maneras diferentes se puede coger un libro de RM y otro libro de Aritmética? a) 20 b) 25 c) 40 d) 30 e) 35
Solución: Por el principio de la multiplicación. Nº maneras que se = 5 8= 40 Rpta. pu ed e co gerse
Ejemplo 08. Juan consulta en tres tiendas comerciales para comprar un televisor, donde le ofrecieron 3,5 y 6 líneas de crédito, respectivamente, todas diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede adquirir su televisor escogiendo una de las líneas de crédito? a) 10 b) 12 c) 9 d) 14 e) 90
Solución: Por el principio de la adición. Observa que Juan puede adquirir el televisor en cualquiera cualquiera de las tres tiendas (I ó II ó III) Tienda I ó Tienda II
ó Tienda III
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 3
+
5
+
Walter Olivera Ricalde
–7–
6
=
14
Rpta.
Ejemplo 09. Una persona desea viajar de Lima a Trujillo. Y dispone de 2 líneas aéreas, 2 líneas terrestres y 1 ruta marítima. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar su viaje? a) 10 b) 5 c) 4 d) 4 e) 9
Solución: Por el principio de la adición. LIMA TRUJILLO Aire
Es evidente que si la persona elige viajar por línea aérea, entonces ya no viaja por línea terrestre ni por mar y viceversa. Es decir, los eventos A, B, C son excluyentes (A ó B ó C).
Evento “A”: Viajar por aire (De 2 formas fo rmas ≠) Evento “B”: Viajar por tierra (De 2 formas ≠) Evento “C”: Viajar por mar (De 1 sola manera)
o
Tierra
o
Entonces:
M ar
Nº viaj.
Even to "A" o Even to "B" o Even to "C" 2
2
1
Nº de viajes= 5 maneras diferentes Rpta.
Ejemplo 10. ¿De cuántas maneras pueden ubicarse alternadamente cinco parejas de esposos, para jugar pocker alrededor de una mesa circular? a) 2200 b) 2880 c) 2800 d) 3200 e) 3100
Solución: Mujer Hombre
2 3
2
3
1
4
1 4
5
Nº pe rmutacio rmu tacio ne s circulares
5
Elemento de referencia o punto fijo
Hombres
Mujeres
4!
4!
2 4 120
=
2880
Pueden ordenarse alternadamente de 2880 formas distintas. Rpta.
Ejemplo 11.
¿Cuántas ensaladas, que contienen exactamente 4 frutas podemos hacer si disponemos de 10 frutas diferentes? a) 200 b) 180 c) 210 d) 190 e) 240
Solución: Para preparar la ensalada bastará escoger 4 frutas de las 10 frutas. Si queremos ver de cuan tas maneras vamos ha preparar, usaremos la combinación. combinación. 10 !
10
C4
(1 0
4 )! 4 !
10 ! 6 !4 !4 !
6 ! 7 8 9 10 6! 1 2 3 4
=210 ensaladas distintas. Rpta.
Ejemplo 11. Un total de 120 estrechadas de mano se efectuaron al final de la fiesta. Si cada participante es cortés con los demás, el número de personas era: a) 12 b) 18 c) 20 d) 14 e) 16
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Walter Olivera Ricalde
–8–
Solución: Sea: n: Número de personas y cómo las estrechadas de mano se dan cada 2 personas (sin interesar el orden) # De estrechadas de mano: C n2 120 2!
n! n 2 !
(n
12 0
2)! (n
2 (n n (n 1) n n
n
1) n
12 0
2)! 240
1
16 x 15
16
El número de personas es 16 Rpta.
Ejemplo 12. Los cuatro hermanos de la familia Olivera desean sentarse en una banca. ¿De cuantas maneras se podrán sentar? a) 10 b) 20 c) 8 d) 24 e) 16
Solución: Se trata de una permutación lineal P(4 )
2 4
4!
Rpta.
Ejemplo 13. De A a B hay 6 caminos diferentes y de B a C hay 4 caminos diferentes. ¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje de A hacia C pasando por B? a) 276 b) 424 c) 576 d) 368 e) N.A.
Solución: B
A
6 caminos
* Para la Ida: De “A” a “B” hay 6 6 maneras De “B” a “C” hay 4 maneras Nro. de maneras de “A” a “C” pasando por “B”.
C
4 caminos
6
4
24
Rpta. 2n
4. Dado: 1. Simplificar la siguiente expresión: 1 3 ! 1 2! 2 ! 1 1! 1!
W
1 2 ! 1 1! 1!
a) 26 d) 14
b) 18 e) 13
c) 30
n
C2
a) 4 d) 8
44 3
; hallar "n".
b) 6 e) 12
c) 10
5. Calcular: M
2. Sabiendo que:
2 0! 0!
2 1! 1!
2 2! 2!
2 0 ! 2 1! 1!
X
6 !
a) 24 d) 18
15 !
Hallar el valor de X. a) 7 b) 9 d) 13 e) 15
c) 11
83 ! 8 1! 8 2 !
b) 5 e) 4
b) 26 e) 22
.
4 0 ! 4 1!
c) 20
6. Hallar: “n” en: 2n
3. Simplificar: a) 1 d) 2
C3
a) 18 d) 19
8 ! 72 72 0
b) 9 e) 14
0
c) 7
42!
c) 3
7. Silvia puede viajar de Sicuani a Cuzco por vía aérea usando 2 líneas de transporte aéreo o por vía terrestre a través de 3 líneas de ómnibus ¿De
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Walter Olivera Ricalde
–9–
cuantas formas puede realizar el viaje de Sicuani Sicuani a Cusco? a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3
los participantes fue cortes con cada uno de los demás el número de personas presentes era. a) 14 b) 56 c) 28 d) 8 e) 7
comprar un libro de álgebra álgebra que es 8. Juan desea comprar
16. En una urna hay 6 fichas numeradas. ¿De
vendido en 3 lugares distintos; frente frente a la UNSAAC en dos puestos de venta; en la Avenida el Sol en 3 librerías y en la feria de libros en 4 kioscos diferentes ¿De cuántas maneras puede obtener el libro de álgebra? a) 9 b) 10 c) 45 d) 30 e) 24
cuantas formas se puede extraer por lo menos 4 fichas? a) 20 b) 23 c) 18 d) 22 e) 24
17. En una mesa circular se encuentran servidos 6
vasos de refresco, entre ellos hay uno de naranja. ¿De cuantas maneras diferentes pueden ubicarse 6 9. Antonio desea cruzar un río para ello puede personas en sus asientos, si entre ellos hay 4 utilizar 2 botes, 3 lanchas pequeñas o un personas que no les gusta el refresco de naranja? deslizador ¿De cuántas formas podrá cruzar el río a) 720 b) 240 c) 180 utilizando uno de los medios de transporte d) 360 e) 120 señalados? a) 6 b) 8 c) 12 d) 3 e) 24 18. Reduzca la expresión: M
10. Ofelia tiene 2 polos distintos, 3 pantalones diferentes y 3 pares de medias. ¿De cuántas maneras distintas puede vestirse utilizando dichas prendas? a) 12 b) 18 c) 6 d) 8 e) 24
11. Con cinco varones y ocho señoritas. ¿Cuántos equipos de natación diferentes pueden formarse si estos deben ser mixtos y de dos integrantes? integrantes? a) 12 b) 40 c) 24 d) 13 e) 30
12. Tres viajeros llegan a Quillabamba donde hay cuatro hoteles. ¿De cuantas maneras distintas pueden tomar sus habitaciones ubicándose en hoteles diferentes? a) 16 b) 10 c) 12 d) 20 e) 24
13. De un grupo de 7 personas
se desea seleccionar un comité que este integrado por cuatro personas. ¿De cuántas maneras se podrá hacer esto? a) 10 b) 16 c) 18 d) 35 e) 12
14. De cinco hombres y cuatro mujeres se debe escoger un comité de seis personas. personas. ¿De cuántas maneras se podrá hacer esto si en el comité deben haber dos mujeres? a) 30 b) 36 c) 42 d) 25 e) 45
a) 28/3 d) 59/6
8! 7! 7! 6!
b) 49/6 e) 8
c) 38/3
19. Hallar “x” en: a) 10 d) 5
(x
9)! 9)!(x
7)! 7)!
(x
8)! 8)!(x
7)! 7)!
b) 6 e) 12
14 !
c) 8
20.Mariana puede viajar de Lima a Italia por vía aérea o por vía marítima y tienen a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas marítimas. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje? a) 10 b) 15 c) 6 d) 7 e) 5
21. Felicia ha recibido en su cumpleaños 1 falda roja, una falta azul y una falda verde; además le obsequiaron una blusa blanca y otra crema. Si desea probarse las prendas recibidas ¿De cuántas maneras distintas puede lucirlas, si se pone falda y blusa? a) 8 b) 12 c) 6 d) 7 e) 5
22. Julio posee 3 camisas y 3 pantalones y 2 pares de zapatos, todas prendas diferentes. ¿De cuántas maneras distintas puede lucir una vestimenta constituida por camisa, pantalón y zapatos? a) 14 b) 16 c) 8 d) 18 e) 9
23. Se escoge un comité de 4 personas de 5 varones 15. Al término de una reunión hubieron 28 y 6 mujeres. ¿De cuantas maneras distintas se estrechones de mano. Suponiendo que cada uno de
podrá escoger dicho comité, si entre ellos debe haber por lo menos 2 varones?
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO a) 300 d) 215
b) 420 e) 452
–10–
c) 125
24. Un equipo de vóley se sientan a dialogar en una mesa circular. ¿de cuantas maneras se pueden sentar dichas jugadoras, si tres de ellas deben estar siempre juntas? a) 22 b) 24 c) 12 d) 36 e) 6
25. Un alumno tiene 6 tarjetas con las letras de la palabra “OSIOSO”, desea colocar en hilera uno a continuación del otro. ¿Cuántas palabras podrá obtener? a) 60 b) 30 c) 40 d) 720 e) 360
26. De un conjunto de tres estudiantes, se desea formar una junta directiva integrada por un presidente y un secretario. ¿Cuántas direcciones diferentes pueden formarse? a) 10 b) 6 c) 9 d) 5 e) 8
27. De
cuántas maneras diferentes sentarse cinco personas en una banca? a) 120 b) 24 c) 720 d) 15 e) 12
pueden
28. Rosa ha olvidado la contraseña de su correo
Walter Olivera Ricalde
formas diferentes pueden hacerlo si Carlos y su novia siempre están juntos? a) 10 b) 6 c) 8 d) 5 e) 12
33. Un estudiante tiene 10 libros de matemática y el otro tiene 8 libros de física ¿De cuántas formas pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro? a) 1260 b) 620 c) 540 d) 840 e) 1620
34. Cuatro personas abordan un auto en el que hay cuatro asientos. Si solo dos de ellos saben conducir. ¿De cuantas maneras diferentes pueden sentarse? a) 4 b) 12 c) 10 d) 24 e) 30
35. ¿De cuantas maneras distintas se pueden ordenar linealmente 8 monedas, las cuales 5 so de 50 céntimos y 3 son de 20 céntimos? a) 24 b) 56 c) 48 d) 120 e) 720
36. ¿De cuántas formas pueden sentarse 7 personas en un sofá si tiene solamente 4 asientos? a) 24 b) 120 c) 48 d) 840 e) 720
electrónico. Ella sabe que uso todas las letras de su nombre (en mayúsculas) y los dígitos de su edad, pero no recuerda el orden. ¿Cuántas posibles contraseñas ha podido generar Rosa, usando estos caracteres? Examen 2008. a) 2160 b) 720 c) 360 d) 120 e) 580
37. Walter invita a su novia y a sus tres futuros
29. ¿De cuántas maneras 3 hombres y 2 mujeres
38. Un grupo de 5 amigos se van de paseo al Valle
podrán alinearse alinearse en una fila si los hombres tienen tienen que estar juntos y la mujer también? a) 10 b) 6 c) 8 d) 24 e) 12
Sagrado, en un auto que tiene 2 asientos adelante y 3 atrás. ¿De cuantas formas se podrán ubicar, si sólo 2 de ellos saben manejar? a) 10 b) 48 c) 16 d) 24 e) 120
30.De un grupo de 5 peruanos 7 chilenos y 6 argentinos se quiere seleccionar un comité de 10 personas de tal modo que en el se encuentren encuentren 3 peruanos 4 chilenos y 3 argentinos ¿De cuántas formas diferentes se puede hacer dicha selección? a) 70 b) 700 c) 7000 d) 70000 e) 3500 31. ¿Cuántas banderas diferentes de 5 franjas verticales se puede formar, si debe tener 3 franjas blancas y 2 franjas rojas? a) 5 b) 6 c) 20 d) 10 e) 14
32. Carlos, su novia y los tres hermanos de ella se sientan alrededor de una fogata. ¿De cuántas
cuñados a una cena, que se realiza en una pollería cuyas mesas tenían la forma de un pentágono regular. ¿De cuantas maneras distintas se podrán ubicar, si Walter y su novia siempre están juntos? a) 4 b) 10 c) 8 d) 12 e) 6
39. En la tienda “Topitop” hay 6 camisas y 5 pantalones que me gustan. Si decido comprar 3 camisas y 2 pantalones. ¿De cuantas maneras puedo escoger las prendas que me gustan? a) 120 b) 100 c) 480 d) 240 e) 200
40.Si en la primera rueda de una liga de fútbol se juegan 91 partidos. partidos. ¿Cuántos equipos compiten? compiten? a) 14 b) 15 c) 13 d) 12 e) 16
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
01. E 11. B 02. B 12. E 03. D 13. D
21. C 22. D 23. D
31. D 32. E 33. A
Walter Olivera Ricalde
–11–
04. B 05. E 06. C 07. C 08. A 09. A 10. B
14. A 15. D 16. D 17. B 18. B 19. D 20. D
24. E 25. A 26. B 27. A 28. B 29. D 30. E
34. B 35. B 36. D 37. D 38. B 39. E 40. A
