TEMA : ANÁLISIS ANÁ LISIS COMBINATORIO COMBINATORI O Factorial de un Número Núme ro.- (!) o (L) Es definido como el producto, de todos los
enter nteros os
consec nsecut utiivos vos
y
pos positi itivos
compre comprendi ndidos dos entre entre la unidad unidad y el númer número o dado, incluyendo a ambos. Así: 5
5!
10
10 !
n
n!
•
1 x 2 x3 x 4 x 5
5 x 4 x3 x 2
10 x 9 x8 x 7 x 6 x 5 x 4 x3 x 1x 2 x3 x 4 x ..........
......
x(n
Siempre tengo en cuenta que:
o = 0! = 1
Factoriale s I m p o r t a nst 1 = 1! = 1
Además podemos escribir: n!
(n
1) !
n
Esta última expresión nos dice que: El factor factorial ial de un número número cualq cualquie uiera ra pued puede e escr escrib ibir irse se como como el prod produc ucto to del del factor factorial ial de su conse consecut cutiv ivo o anteri anterior or por el número dado. Ejemplos:
5!
4! x 5
6!
5! x 6
7!
6! x 7
4! x 5 x 6
5! x 5 x 6 x 7
* ¿Entiende UD.?; si desea puede seguir descomponiendo. descomponiendo.
EJERCICIOS PARA LA CLASE
4! x 5 x 6 x 7
TEMA: 01.
ANÁLISIS COMBINATORIO
07.
¿De cuántas formas, pueden 8 personas estar sentadas en un banco, con capacidad para 4 personas?.
¿De cuántas maneras se puede ir de A a C?. en la siguiente red de caminos.
Rpta: ............................. 08.
Se quieren sentar 4 hombres y 3 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares (de izquierda a derecha). ¿De cuántas formas pueden sentarse las 7 personas?. Rpta: .............................
09. Rpta: .............................
02. ¿Por cuántos caminos diferentes se puede ir de A a C? en la siguiente red de caminos:
se quieren sentar 4 hombres y 2 mujeres en una fila, de modo que las mujeres estén siempre juntas. ¿De cuántas formas pueden sentarse?. Rpta: .............................
10.
¿De cuántas formas pueden ordenarse 7 personas alrededor de una mes, si de las 7 personas una está ya sentada y no se mueve para nada, para que las 6 restantes se acomoden en referencia a ella consecutivamente?.
Rpta: ............................. 11.
Tres viajeros llegan a una ciudad donde hay 4 hoteles. ¿De cuántas formas a la vez podrían instalarse, debiendo estar cada uno en un hotel diferente?. Rpta: .............................
12. Rpta: ............................. 03.
Magda tiene 8 blusas y 5 pantalones ¿de cuántas formas diferentes se puede vestir, sabiendo que su blusa celeste se lo debe poner solamente con su pantalón azul?.
De la red de caminos mostrado:
Rpta: .............................
¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A a D?.
13.
La Junta Directiva de un club consta de un presidente, un Vicepresidente, un Tesorero y un Secretario. Hay 8 candidatos que puedan ocupar, la Presidencia o Vice presidencia y 6 candidatos que pueden ocupar la Tesorería o Secretaria. . ¿De cuántas maneras diferentes se podría formar la Junta Directiva?. Rpta: .............................
14. Rpta: ............................. 04.
Rpta: .............................
En la siguiente red de caminos. 15.
Luchito, por equivocación contó el total de saludos de despedidas que hubieron al final de una reunión, en vez de contar el número de personas que se reunieron. ¿Cuántas personas se reunieron, si Luchito contó 630 saludos de despedidas?. Rpta: .............................
16.
En una reunión, donde asistieron 48 personas, 8 de ellas mal educadas, se retiran sin despedirse. ¿Cuántos saludos de despedidas menos, hubieron al final de la reunión, si 8 personas mal educadas, no se despidieron?.
¿De cuántas maneras, se puede ir de A a B y regresar de B a A sin utilizar el mismo camino que se acaba de usar para llegar a B?. Rpta: ............................. 05.
¿Cuántos saludos de despedidas (combinaciones) habrán al término de una reunión, donde asistieron 25 personas (elementos)?.
Rpta: ............................. 17.
En la siguiente red de caminos:
Al final de una reunión, donde asistieron 28 personas, 5 personas se retiran sin despedirse, pero si se despiden entre ellas; las personas restantes cada una de despidió de cada una de las demás. ¿Cuántos saludos y despedidas hubieron entre las personas que asistieron a la reunión?. Rpta: .............................
18. ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C y volver a A sin pasar por el mismo camino dos veces, pudiendo utilizar, parcialmente en regresar, el camino que se utilizó al ir de A a C?.
El total de despedidas fue 200 ¿Cuántas personas asistieron a la reunión?. Rpta: .............................
Rpta: ............................. 06.
¿De cuántas maneras pueden ser ordenados, en una fila 5 cubos iguales, pero de diferentes colorees?. Rpta: .............................
Al final de una reunión, 5 personas se retiran sin despedirse, pero si de despiden entre ellas; de las restantes cada una se despidieron de todas las demás.
19.
¿Cuántos números de 3 cifras existen en el sistema decimal?. Rpta: .............................
20.
¿Cuántos números de 3 cifras significativos, existen en el sistema decimal?.
Rpta:
Rpta: .............................
1.
2.
Una Comisión que trabaja puede estar
6. Carlos tiene una biblioteca con 7 textos
formada por 3 hombres ó 4 mujeres ó 1
con pasta azul, 5 con pasta roja y 3 con
hombre y 1 una mujer. ¿De cuantas
pasta color crema. ¿de cuantas maneras
formas se lograra una comisión si se
pueden colocarse los libros según los
disponen de 7 mujeres y 6 hombres?
colores de sus pastas?
Rpta:
Rpta:
¿Cuántos
diccionarios
bilin-gües
se
7.
¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra ARMO?
deben editar si tomamos en consideración los siguientes idiomas: español, ingles,
Rpta:
francés, alemán y japonés? Rpta:
8. En
un
campeonato
cuadrangular, 3.
¿De
cuántas
¿De
de
cuantas
fútbol maneras
podrá quedar la posición de 4 equipos?
maneras diferentes se
pueden ubicar 6 niños en fila, a condición
Rpta:
de que 3 de ellos en particular, estén 9. Con 10 marineros, ¿Cuántas tripulaciones
siempre juntos?
de 4 marineros se pueden formar? Rpta: Rpta: 4. ¿Cuántos
numerales
de
3
cifras
diferentes o de 4 cifras diferentes, se
10. ¿Cuántos números de cuatro cifras impares diferentes, pero que no llevan el
pueden escribir con los dígitos del
digito 7 en su escritura, existen?
siguiente conjunto: A {1; 3; 5; 7; 9;}?
Rpta:
Rpta:
5. Un equipo de investigación consta de 10 integrantes; de ellos, 4 son biólogos. ¿Cuántos grupos de 3 miembros se pueden
formar
de
manera
que
considere a por lo menos un biólogo?
se
11.
Un alumno tiene 3 libros de Física y una alumna tiene 5 libros de Química. ¿De cuántas maneras podría prestarse un libro?
Rpta:
Rpta:
12. ¿Cuántos números diferentes de 6 cifras
13.
20.
¿De cuántas maneras 2 peruanos, 4
pueden tomarse con los nueve dígitos 1;
colombianos y 3 paraguayos pueden
2; 3;…….; 9?
sentarse en la fila de modo que los de la
Rpta:
misma nacionalidad se sienten juntos?
¿De cuántas maneras pueden sentarse 6
Rpta:
personas alrededor de una esa redonda?
EJERCICIOS PARA LA CASA
Rpta: 1.
14. Tenemos una urna con 7 bola numeradas
¿De cuántas maneras diferentes podrán ubicarse en una fila, Renato, Adrián,
y se quiere saber de cuántas maneras
Shirley?
podemos sacar primero 2 bolas, luego 3 y a) 3
finalmente 2.
b) 6
c) 9 Rpta:
d) 5
e) 8
15. Un estudiante tiene que resolver 10
2. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden
preguntas de 13 en un examen. ¿Cuántas
formarse con los 5 dígitos: 1; 2; 3; 4; y 5,
maneras de escoger las preguntas tiene?
sin que se repita uno de ellos en el
Rpta:
número formado? a) 120
b) 15
sentarse en una banca 6 asientos, 4 personas.
c) 20
d) 60
Rpta:
e) N.A
16. ¿De
cuántas maneras distintas pueden
x
17.
Hallar “x”, sabiendo que:
4C5
2
x 4 C6
3
3.
En una carrera de caballos participan 6 de
estos
ejemplares.
¿De
cuántas
maneras podrán ocupar los 6 primeros
Rpta:
puestos? a) 120
b) 180
se pueden trazar por 10 puntos no
c) 60
d) 240
colinéales.
e) 20
18. Calcular el número de cuadriláteros que
Rpta:
4. ¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en el campeonato descentralizado de fútbol
19.
Si:
C xy
1
2C xy
Halla: “y” en términos “x”
en una rueda, en la que participan 16 equipos?
a) 160
b) 120
a) 520
b) 430
c) 80
d) 320
c) 864000
d) 246
e) N.A
e) 150
5. Con las letras de la palabra “EDITOR”,
10.
¿Cuántos
sonidos
distintos
pueden
¿Cuántas palabras de 6 letras que
producir con ocho teclas de un piano si se
terminen en “E” se pueden formar.
tocan cuatro simul-táneamente?
a) 60
b) 720
c) 360
d) 120
e) 24
a) 1680
b) 1860
c) 70
d) 120
e) 720 6. Hallar el valor de “E” sabiendo que: 7
E
=
3C3
+
7
C4
7
a) 1
b) 3/44C3
pares de zapatos.¿De cuantas formas
c) 1/4
d) 2
pueden
vestirse
alternando
estas
prendas?
e) N.A 7.
11. Juanito tiene 4 camisas, 3 pantalones y 2
a) 12
b) 24
Un vendedor de cerveza visita 2 veces a
c) 36
d) 18
la semana a un distribuidor.¿De cuántas
e) 495
manera podrá el vendedor escoger dichos 12. Una clase consta de 9 niños y 3 niñas.
días de visita?
¿De cuantas maneras el profesor puede a) 42
b) 12
c) 24
d) 21
e) 45 8. Una señora tiene 11 amigos de confianza.
escoger un comité de 4? a) 720
b) 945
c) 5040
d) 594
e) 495
¿De cuantas maneras puede invitar a 5 de ellos a cenar?
13. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes,
a) 462
b) 426
c) 642
d) 246
e) N.A 9. Un barco lleva 5 banderas de color diferentes.¿Cuantas señales diferentes se podrán hacer, izando en un mástil, por lo menos 3 banderas?
que no sean múltiplos de 5, existen? a) 486
b) 648
c) 729
d) 567
e) 684
14.
De A a B hay 6 caminos diferentes y de B
P
a C hay 4 caminos diferentes.¿De cuantas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando por B? a) 120
b) 576
c) 24
d) 50
15. Jesús, José y Marco van un día al cine y vacíos.
¿De
asientos
cuántas
consecutivos
maneras
pueden
distribuirse? a) 24
b) 48
c) 12
d) 7
TEMA: PROBALIDADES Al lanzar una moneda existe la posibilidad de obtener una cara o un sello. So yo quisiera que la moneda muestre cara, habría una posibilidad entre dos que ocurra. Decimos entonces que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½. Si lanzamos un dado hay seis resultados posibles, cualesquiera de los seis número podría verse. Si quisiéramos que salga un número para habría 3 posibilidades (2; 4 y 6) de un total de seis (2; 2; 3; 4; 5 y 6) que se pueden obtener. La probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado será: 6
=
1 2
Si tenemos una baraja de cartas y extraigo una, la probabilidad de que esta sea de diamante será: P
=
13 ( total de cartas de diamantes 52 ( total de cartas )
=
n ° de eventos n ° de eventos
favorables posibles
Donde: 0≤ P≤ 1 La probabilidad de un evento cualquiera esta comprendido entre 0 y 1; en el caso que sea 0: (cero), es un evento imposible; en el caso de que sea 1, el evento es seguro. Es importante aclarar que esta manera de definir la probabilidad se basa en el supuesto que todos los resultados posibles son igualmente probables, es decir que tienen la misma posibilidad de salir. No ocurre así si es que la moneda esta acuñada de tal forma que es más pesada hacia un lado, o si el lado esta cargado o las cartas están marcadas.
e) 9
3
50 ( total de alumnos )
Recordemos:
P
cuatro
30 ( total de mujeres )
Probabilidad: Definición clásica La probabilidad de ocurrencias es la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles.
e) N.A
encuentran
=
)
=
1 4
Si en un salón de clases hay 20 alumnos varones y 30 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad que al salid un alumno del aula, este sea mujer?
Debemos recordar que: El espacio muestral es el conjunto de todos los casos posibles asociados a un experimento. Por ejemplo al lanzar una moneda el espacio muestral (Ω ) seria conjunto de dos elementos: Ω = {cara; sello} Si se lanza un dado, el espacio muestral asociado a este experimento seria: Ω
= {1; 2; 3; 4; 5; 6}
EVENTOS INDEPENDIENTES Como su nombre lo indica son eventos que no dependen entre si para su ocurrencia; por ejemplo al lanzar una moneda por segunda vez el resultado del lanzamiento de la primera no afecta en el resultado de ésta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de una moneda dos veces? En el primer lanzamiento la probabilidad de obtener un sello es ½, lo representamos así: 1 P (s1) = 2 En el segundo lanzamiento la probabilidad de obtener un sello, dado que en el lanzamiento anterior se obtuvo sello es:
P (s2) =
1 2
Luego la probabilidad que ocurran ambos será: P (s1 ∩ s2) = P ( s 1) x P ( s2) (sucesos independientes) = 1/4
EJERCICIOS PARA LA CLASE 1. Si en una rifa hay 16 números con premio y 24 sin premio, las posibilidades de ganar son: Rpta: 2. Se lanza un par de dados. Si los números que resultan son diferentes. Hallar la
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
probabilidad que su suma sea par.
Son aquellos cuya ocurrencia no es simultánea.
Rpta:
Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras o 2 sellos en el lanzamiento de dos monedas? Definimos: C1 : lanzamiento C2 : lanzamiento S1 : lanzamiento S2 : lanzamiento A 1
=
×
2
1
=
2
×
2
1
=
2
Obtener cara en el primer
sea roja?
Obtener cara en el segundo
Rpta:
Obtener sello en el primer Obtener sello en el segundo
C1 ∩ C2; B = S1 ∩ S2 P (C1 ∩ C2) = P (C 1) x P (C2) =
4
+
4
de una maquina; hallar la probabilidad de Rpta: 5. Se lanza tres monedas corrientes. Si
1
aparecen dos caras y un sello, determinar
4
la probabilidad de que aparezca una cara ∩
S2) = P (S1) x P (S2) =
exactamente. Rpta:
1 4
6. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al P (A
1
4. Sin mirar se oprime una de las 27 letras que sea una vocal.
Luego: 1
blancas y 8 negras, se saca una sin mirar. ¿Cual es la probabilidad de que la carta
P (S1 1
3. Una caja contiene 12 cartas roja, 6
=
∪
B) = P (A) + P (B) =
1 2
Por que A y B son excluyentes dado que no pueden salir dos caras y dos sellos al mismo tiempo lanzando una monedad dos veces.
sumar los puntos de las caras superiores al lanzar 2 dados? Rpta:
7. En una urna hay 8 bolas, 3 de color rojo y 5 de color blanco. Se extraen 2 al mismo tiempo,¿Cuál es la probabilidad de que haya una de cada color? Rpta:
3. Determinar la probabilidad de que se 8. En un salón de clases de 40, 30 de ellos postulan a la Universidad de San Marcos y 26 a
resuelva el problema. Rpta:
la Universidad de Lima, se elige al azar un alumno de este salón, ¿Cuál es la probabilidad
15. Se lanza un dado. Si el número es impar.
de que sea un alumno que postule a ambas
Cuál es la probabilidad de que sea primo.
Universidades.
Rpta:
Rpta: 9. Se lanza un dado y una moneda,¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la moneda y 6 en la cara superior del dado? Rpta:
16. Una clase tiene 10 niños y 4 niñas. Si se escogen tres estudiantes de la clase al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean todos niños? Rpta:
10. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un”AS” al extraer una carta de una baraja
17. Se tiene 2 dados tetraédricos; ¿Cuál es la probabilidad que al lanzarlos al aire
de 52?
resulte una suma 6?
Rpta:
Rpta: 11. ¿Cuál es la probabilidad de que al ver el reloj sea más de los 12 meridianos? Rpta:
18. Se
lanza
un
dado
en
forma
de
dodecaedro (12 caras), de modo que sus
12. Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la
caras están numeradas del 1 al 12; ¿Cuál
probabilidad de obtener por lo menos 10
es la probabilidad de obtener en la cara
en la suma de los puntos de las caras?
inferior (base) un número primo?
Rpta:
Rpta:
13. Se lanzan dos dados, ¿Cuál es la
19. Un dado es lanzado dos veces. ¿Cuál es la
probabilidad de obtener a lo mas 10 al
probabilidad de obtener en el primer
multiplicar los puntos de
lanzamiento
las caras
superiores? Rpta:
14. Las probabilidades que tienen: Manuel, Franklin y Henry de resolver un mismo problema matemático son: 4/5, 2/3 y 3/7; respectivamente. Si intentan hacerlo los
un
6 y
en
el
segundo
lanzamiento otro 6? Rpta:
20. Se lanza 3 monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo caras ó solo sellos? Rpta:
6. Se lanzan dos dados al aire; ¿Cuál es la
EJERCICIOS PARA LA CASA
probabilidad que resulten dos números iguales?
1. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda al aire, se obtenga cara?
a) 1/36
b) 1/18
a) 0,2
b) 0,3
c) 1/9
d) 1/6
c) 0,4
d) 0,5
e) 1/4
e) 0,6 7. En una urna colocamos 15 bolas, de las cuales
2. ¿Cuál es la probabilidad de que, de una
7
son
rojas.
¿Cual
es
la
baraja de cartas, al extraer una de ellas
probabilidad de obtener una bola que no
se obtenga un AS?
sea roja, al extraer al azar una bola de la
a) 1/6
b) 1/4
urna?
c) 1/9
d) 1/12
a) 7/15
b) 7/8
c) 8/15
d) 1/8
e) 1/13
e) 1/7 3. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado al aire, resulte un número par?
8.
Se extraen 2 cartas aleatoriamente de
a) 0,4
b) 0,25
una baraja de 52 cartas, ¿Cuál es la
c) 0,5
d) 0,45
probabilidad que estas cartas sean de figuras (11; 12 y 13)?
e) 0,35 4. Se lanza una moneda y un dado; calcular la probabilidad que resulte cara y el número 6. a) 1/9
b) 2/11
c) 1/12
d) 1/3
a) 71/221
b) 11/221
c) 22/221
d) 32/221
e) 72/221 9. Se lanzan un par de dados. Si los números que resultan son diferentes. Hallar la probabilidad
e) 1/6
de que se suma sea impar. a) 2/5
b) 3/5
tetraédrico; ¿Cuál es la probabilidad de
c) 7/10
d) 1/3
obtener un número para en el dado
e) 2/8
5. Se lanza al aire un dado común y uno
común y un número impar en el dado 10. Un lote de 12 focos de luz tiene 4
tetraédrico? a) 1/4
b) 1/24
defectuosos. Se toman al azar 3 focos del
c) 7/24
d) 5/24
lote uno tres otro. Hallar la probabilidad
e) 9/24
de que los 3 estén buenos? a) 8/12
b) 14/33
c) 14/55
d) 14/77
e) N.A
c) 21/36 11.
En una caja hay 18 tarjetas blancas, 8 negras, 6 azules, 9 verdes y 3 amarrillas. Sin mirar se saca una tarjeta. ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca o negra? a) 13/22
b) 6/11
c) 27/44
d) 11/22
e) N.A 12. Se lanzan dos monedas y unos dados ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caras y un múltiplo de 3? a) 1/8
b) 1/9
c) 1/10
d) 1/11
e) 1/12 13. Se tiene 3 dados tetraédricos cuyas caras numeradas del 1 al 4; ¿Cuál es la probabilidad que resulten tres unos? a) 1/64
b) 1/12
c) 1/4
d) 1/9
e) 1/20 14. Hay 60 compradores, de los cuales 37 adquirieron artículos de tocador y 38 adquirieron artículos de lencería. Se elige al azar un comprador. ¿Cuál es la probabilidad que haya comprado solo artículos de tocador o solo artículos de lencería? a) 1/4
b) 1/2
c) 3/4
d) 2/3
e) 5/13
15. Se lanzan dos dados al aire. ¿Cuál es la probabilidad que el número de puntos de uno sea divisor del número de puntos del otro? a) 19/36
b) 11/36
e) 23/36
d) 11/18
MISCELÁNEA 01. Dos dados perfectos dan “x” posibilidades de que salga el número 7 e “y” posibilidades de que salga el número 9. Hallar a) 7/9 c) 3/2 e) 1
x y
. b) 9/7 d) 2/3
02. Se tiene un cuadrado de lado igual a 4m. Si unen los puntos medios, se genera otro cuadrado en el cual al unirse sus puntos medios genera otro y así sucesivamente, infinitas veces. La suma de las áreas de todos los cuadrados será: a) 16 m2 b) 64 m2 c) 48 m 2 d) 32 m2 e) 8 m2 03. Si en un triángulo uno de los ángulos es igual a la suma de los otros dos, de éstos uno de ellos está comprendido entre 20º y 50º; el otro estará entre: a) 40º y 70º b) 20º y 50º c) 50º y 110º d) 130 y 160 e) 30º y 150º 04. Jany tiene 6125 en monedas de 5 soles con los cuales hace tantos grupos iguales de estas monedas como monedas tiene cada grupo. ¿Cuál es el valor de cada grupo?. a) 125 b) 150 c) 175 d) 750 e) 625 05. Carol y Coco parten al mismo tiempo en un velódromo de 90m. de circunferencia
y en el mismo sentido, si Carol corre con la velocidad de 2,90 m/s y Coco con 2,54 m/s. Calcular la suma de las distancias recorridas hasta su encuentro. a) 1200 b) 1088 c) 1000 d) 1500 e) 1360 06. En una caja hay 18 bolas blancas, 15 bolas amarillas, 7 bolas blancas; cuántas bolas como mínimo debe de sacar para obtener 2 bolas de cada color. a) 32 b) 40 c) 35 d) 98 e) 33 07. Leoncio vende un mueble en 1200 soles, ganando en la venta el 20% sobre el precio de venta. ¿Cuánto había costado?. a) 210 b) 315 c) 960 d) 800 e) 1000 08. Una bicicleta tiene las siguientes características: El diámetro de la llanta delantera es el triple con respecto a la llanta trasera, si ésta da 90 vueltas, ¿cuántas vueltas dará la llanta delantera?. a) 15 b) 90 c) 180 d) 250 e) 30 09. Un automóvil rojo y verde parten del mismo lugar en direcciones opuestas, el verde viaja a 5 Km/h más rápido que el rojo. Después de 4 horas ambos se encuentran separados por 780 Km. ¿Cuál es la velocidad del automóvil verde?. a) 60 b)80 c) 100 d) 120
e) 95
que vende regala diez; si vendió 1800 huevos. ¿Cuántos huevos compró inicialmente?
10. Ricky compagina 10 000 copias en 3½ días y Alex lo hace en 2
1 3
días; si compaginan
simultáneamente Ricky y Alex. ¿En 7 días cuántas copias habrán compaginado?. a) 15000 c) 5000 e) 500000
b) 10000 d) 50000
11. Un caño llena un pozo en 4 horas y otro lo vacía en 6 horas; ¿En qué tiempo se llenará el pozo, si se abre el desagüe una hora después de abrir el canal de entrada. a) 11 horas c) 12 horas e) 9 horas
b) 10 horas d) 13 horas
12. Un piloto ha trabajado en 2 compañías distintas, durante 50 horas. En la primera compañía le han pagado S/.120 soles la hora de vuelo y en la segunda S/.150 soles por hora de vuelo. Ha recibido en total S/.6810. ¿Cuántas horas trabajó en la primera compañía. a) 27 c) 28 e) 26
b) 23 d) 25
a) 2000 c) 2150 e) 2180
b) 2200 d) 1890
15. Un alambre de 51 metros de largo se le dió 3 cortes de manera que la longitud de cada trozo resultante es igual al del inmediato anterior aumentado en 1/2 . ¿Cuál es la longitud del primer trozo?. a) 24,40 b) 17,20 c) 14,40 d) 16,50 e) 24,20 16. Se tiene 3 números enteros y diferentes cuyo producto es 21952. Si la suma, del primero y segundo es a la suma del segundo con el tercero, como el segundo es al tercero. Hallar la suma de los tres números sabiendo que es la máxima posible. a) 98 b) 93 c) 812 d) 813 e) 814 17. Tres obreros A, B y C pueden hacer una obra
en
3a,
4a
y
5a
días
respectivamente; trabajan los 3 juntos y cobran N soles por la obra. SI hacen un reparto equitativo en vez del reparto
13. En un examen Antonio obtuvo menos puntos que Ángel; Dante menos puntos que Antonio y Alberto más puntos que Ernesto. Si Ernesto obtuvo más puntos que Ángel. ¿Quién obtuvo el puntaje más alto? a) Ernesto b) Antonio c) Ángel d) Alberto e) Ángel o Alberto 14. Un comerciante por cada 100 huevos que compra se le rompe 10 y por cada 100 huevos
justo, uno de ellos recibe 750 soles más. Hallar N. a) 6000
b) 9000
c) 7000
d) 8000
e) 5000 18. Una obra debe hacerse en 10 días, 7 obreros hacen los 7/15 y con la ayuda de 5 obreros más la concluyen a tiempo. ¿Cuántos días trabajaron los últimos obreros?
a) 4 días
b) 5 días
c) 6 días
d) 7 días
e) 3 días 19. El kilo de naranjas tiene de 5 a 7 naranjas y el kilo de manzanas de 4 a 6 manzanas. Una señora que no puede cargar más de 15 kilogramos decide comprar 3 docenas de manzanas de las más pequeñas y el resto del peso completarlo con naranjas de las más grandes. ¿Cuántas naranjas tendría que comprar?. a) 30 b) 45 c) 38 d) 43 e) 41 20. ¿Qué distancia tiene un foco luminoso a un espejo cóncavo de 120 cm. de radio de curvatura. Si su imagen está 160 cm. más próxima al espejo. a) 220 cm. b) 240 cm. c) 230 cm. d) 245 cm. e) 225 cm. 21. Si a un número de tres cifras que empieza por 9, se le suprime esta cifra, queda 1/21 del número. ¿Cuál es la suma de las cifras del número?. a) 15 b) 16 c) 17 d) 18 e) 19 22. Una persona que sabe un secreto lo cuenta a 8 personas; cada una de éstas 9 personas lo cuentan a otras 9 y cada una de éstas última a otras 9 personas. ¿Cuántas personas conocen el secreto?. a) 648 b) 27 c) 819 d) 729 e) 237
23. Sobre una pista horizontal y a la velocidad constante de 72 km/h se desplazó un auto y el diámetro de sus llantas es 0,5 m. Calcular el tiempo en que una llanta da una vuelta completa. a) c)
π
40
s
π
200
s
b) 1 s d)
π
50
s
e) Se puede depreciar por ser pequeño 24. Por intervenir en un juego de tiro al blanco un jugador pagó S/.10; si acierta recibe S/.20 y si no, pierde sus S/.10. Después de tres juegos aumentó su capital en S/.30; entonces: a) Perdió en el tercer juego. b) Ganó los tres juegos. c) Ganó solo el primer juego. d) Ganó el primer y tercer juego. e) Perdió el primer juego. 25. Cada año se planta 25 bulbos de gladiolos, de ellos de 20 a 22 producen flores cada año. ¿Cuál es el porcentaje máximo de flores producidas en un año cualquiera?. a) 12% b) 20% c) 22% d) 80% e) 88% 26. Las áreas de dos cuadrados suman 2696 y el producto de sus diagonales es 1400. ¿En cuánto excede el lado del cuadrado más grande al lado del cuadrado más pequeño?. a) 18 b) 36 c) 54 d) 60 e) 72 27. Un carpintero construye un mínimo de “t” mesas. En “d” días ha construido “m” mesas más que el mínimo. ¿Cuál es el número promedio de mesas que construyó cada día?
a) c) e)
m
b)
d m+t d
d)
c d t
−
m
d
m−t d
28. Un barbero puede cortar el cabello a “x” personas en una hora, y puede afeitar a “y” personas en una hora si todos sus clientes desean ambos servicios. ¿A cuántos clientes puede atender en una hora? a) c) e)
3 (x
+ y)
(x
+
y)
2
b) d)
2xy x
+
(x
y
+ y)
xy
31. Un comerciante compra un artículo en S/.2000. ¿Qué precio deberá fijar para la venta, de tal manera que al hacer un descuento del 20% aún así tiene una utilidad del 25% del precio de costo? a) S/.3125 b) S/. 3625 c) S/.2549 d) S/.3025 e) S/.3250 32. 40 litros de agua de mar contienen 3,5 Kg. de sal. ¿Qué cantidad de agua se debe evaporar para que 20 litros de la nueva solución contenga 3 Kg. De sal? a) 15 1/2 litros b) 12 1/3 litros c) 16 2/3 litros d) 70/3 litros e) 23 1/3 litros
xy (x
+ y)
29. Pedro y Pablo con sus hijos Tom y Dick compran libros y cuando han terminado se comprueba que cada uno ha pagado por cada uno de sus libros un número de soles igual al número de libros que ha comprado. Cada familia ha gastado S/.65,00. Pedro compró un libro más que Tom, y Dick ha comprado un solo libro. ¿Quién es el padre de Dick y cuántos libros compró Tom? a) Pedro, 6 b) Pablo, 7 c) Pedro, 7 d) Pablo, 6 e) Pedro, 5
30. La vida de una máquina se estima en 7 años y 8 meses. ¿A qué tanto por ciento anual se considera la amortización?. a) 11,05% b) 13,04% c) 12,10% d) 15,20% e) 5%
33. Para tres números pares se cumple que: - Su P.A. es 14 - Su P.G. es igual a uno de los tres números. - Su P.H. es 72/7 Calcular el mayor de dichos números. a) 18 b) 20 c) 24 d) 30 e) 32 34. En una caja hay 80 lapiceros entre rojos, azules y negro el número de lapiceros de cada color es respectivamente proporcional a los números 1; 2; 5. ¿Cuántos lapiceros negros hay?. a) 10 b) 20 c) 50 d) 15 e) 25 35. Un Club tiene 17 miembros, de los cuales 8 son mujeres, ¿cuántas Juntas Directivas, de tres miembros: Presidente, vicepresidente y Vocal, pueden formarse? Sabemos que el Presidente debe ser un hombre y la Vicepresidenta una mujer. a) 540 b) 1080 c) 720 d) 1054 e) 504
36. En la figura ABCD es un paralelogramo de área “S”, siendo “M” y “N” puntos medios, hallar el área del triángulo sombreado. a) S/. 8 b) S/.16 c) S/.12 c) S/.32 e) S/.10 37. Dados las siguientes fracciones: I. 5/6 : Impropia II. 5/18 : Periódica Mixta III. 2/3 : Propia IV. 2/6 : Periódica pura. Son verdaderas: a) Solo II b) II, III y IV c) II y III d) II y IV e) Todas 38. Se tiene dos cajas, en una hay 8 dados negros y 8 dados blancos y en la otra hay 8 bolas blancas y 8 bolas negras. ¿Cuál es el menor número de objetivos que se deben sacar de ambas cajas para que se deben sacar de ambas cajas para tener necesariamente entre ellos un par de dados y un par de bolas, todos del mismo color?. a) 6 b) 8 c) 13 d) 9 e) 15 39. Si de un depósito, que está lleno 1/3 de lo que no está lleno, se vacía una cantidad igual a 1/8 de lo que no se vacía; ¿Qué parte del volumen del depósito quedará con líquido?. a) 5/32 b) 1/4 c) 2/9 d)5/14 e) 4/9 40. En un grupo de 125 chinitos; el doble de los que comen arroz con sal solamente, comen arroz sin sal solamente y hay tantos chinos que comen arroz con sal y sin sal a la vez como los que comen
arroz sin sal solamente. ¿Cuántos comen arroz con sal?. a) 5 b) 75 c) 100 d) 25 e) 50
1. Cuántos números de 6 cifras no repetidas pueden formarse con las cifras: 1; 2; 3; 4; 5; 6? Rpta.: 2. Tenemos 5 objetos de diferente color cada uno. ¿Cuántas permutaciones puedo lograr con ellos? Rpta.: 3.
4 personas entran en un vagón de ferrocarril en el que hay 7 asientos. De cuantas maneras diferentes pueden sentarse. Rpta.:
4.
Simplificar:
( x − m −1) ! ( m +1) ! ( x −n ) ! m!
Rpta.: 5.
Hallar “P” en: P
=
[(1 !+1) +1] !
Rpta.: 6.
x Hallar “x” si: 3 c5
=
2 c 6x
Rpta.: 7. ¿De cuantas formas podemos distribuir 4 caramelos idénticos entre 3 niños? Rpta.: 8. Un vendedor tiene que visitar las ciudades A, B y C. ¿De cuantas maneras podrá programar su itinerario de viaje? Rpta.: 9. ¿De cuantas formas distintas se pueden ordenar las letras de la palabra ARMO?
Rpta.: 10. Con las cifras: 2; 4; 5; 7; 9 ¿Cuántos número de 3 cifras se pueden formar?
Rpta.:
Rpta.: 11.
x Hallar el valor de: V3
si:
3 C 5x
=
2 C 6x
Rpta.: 12.
Simplificar: E
=
32 !
24 !
23 !
33 !
Rpta.:
13.
Simplificar:
18. ¿De cuantas maneras distintas, se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa circular?
n ! ( m − 2 )! ( m − 3) ! ( m +1) !
Rpta.: 14. ¿De cuantas maneras diferentes podrá ubicarse en la fila, Renato, Adriana y Sheyla? Rpta.:
15. ¿De cuantas maneras pueden formar 5 soldados en una fila?
19. ¿De cuantas maneras diferentes podemos ordenar en un estante dos libros e matemática y 3 de Ciencias Sociales de tal manera que los de Matemática estén siempre juntos? Rpta.: 20. Rita tiene 7 blusas de diferente color; si va a realizar un viaje y solo puede llevar en su equipaje 4 blusas, ¿De cuantas maneras podrá escoger dichas blusas? Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA 1. Tenemos 5 objetos de diferente color cada uno. ¿Cuántas combinaciones, hay, si lo tomamos de 3 en 3? a) 12 c) 10 e) 16
b) 9 d) 15
De cuantas maneras pueden seleccionarse una consonante y una vocal de las letras de palabra: cautivo 2.
Rpta.:
16. ¿Cuántos números de 4 cifras diferentes se pueden determinar con las cifras: 8; 5; 1; 3?
a) 4 c) 15 e) N.A.
b) 7 d) 18
3. hallar “u” en: u
=
31 ! 2 ×32 !
64 ! 63 !
Rpta.: 17. en una reunión hay 30 personas. ¿Cuántos apretones de mano se producirán al darse todos ellos entre si? Rpta.:
a) 32 c) 1/2 e) N.A.
b) 64 d) 1
4. ¿Cuántos numerales de tres cifras diferentes o de 4 cifras diferentes, se pueden escribir con los dígitos del siguiente conjunto: A = {1; 3; 5; 7; 9}?
a) 180 c) 60 e) 800
a) 144 c) 620 e) Ninguna
b) 120 d) 140
5. ¿De cuantas maneras diferentes pueden llegar a la meta 3 caballos en una competencia hípica? a) 7 c) 15 e) 13
11.
b) 720 d) 185
Hallar:
además:
x
C8
=
7.
E
a) c) e)
Simplificar: =
35 ! ×87 ! ×3 × 4 ! ×15 ! 17 ! ×87
5 16 10 16
× 86 ×36
b) d)
! ×84 !
5 8
5
12.
210
;
b) 10 d) 1
28
6. Un club tiene 20 socios. ¿De cuantas maneras se podrá formar una comisión de 3 miembros? a) 120 b) 1140 c) 600 d) 1800 e) N.A.
=
45
a) 19 c) 9 e) N.A.
b) 9 d) 28
V3m−2
“x + m” si:
C2 R
R 2
Hallar: V , si:
a) 14 c) 42 e) N.A.
24
C 2R − 4
225 =
11
b) 24 d) 56
13. Con 6 pasos diferentes de 1, 2, 5, 10, 20 y 50 Kg. ¿Cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse, tomando aquellas de 3 en 3? a) 5 c) 25 e) 20
b) 1 d) 15
36
10
14.
Hallar “n” en:
n
V2
=
336 .
8
8. Calcular el número de combinaciones que pueden obtener si se tiene 6 elementos, al tomárselas de 3 en 3.
a) 4 c) 6 e) 5
b) 10 d) 8
n
a) 10 c) 20 e) 18
b) 15 d) 25
9. ¿Cuántos cables de conexión son necesarios para que puedan comunicarse directamente dos oficinas, cualesquiera de las 7 que hay en un edificio? a) 7 c) 21 e) N.A.
b) 9 d) 35
10. Tenemos la palabra SARGENTO. ¿Cuántas palabras podrán formarse, de tal manera que las consonantes ocupen sus mismos lugares?
15.
a) 3 c) 9 e) 6
Hallar “n” en:
C2 n
C3
3 =
5
b) 7 d) 1
TEMA: PROBALIDADES Al lanzar una moneda existe la posibilidad de obtener una cara o un sello. So yo quisiera que la moneda muestre cara, habría una posibilidad entre dos que ocurra. Decimos entonces que la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda es ½. Si lanzamos un dado hay seis resultados posibles, cualesquiera de los seis número
podría verse. Si quisiéramos que salga un número para habría 3 posibilidades (2; 4 y 6) de un total de seis (2; 2; 3; 4; 5 y 6) que se pueden obtener. La probabilidad de obtener un número par en el lanzamiento de un dado será: 3
=
6
1
Por ejemplo al lanzar una moneda el espacio muestral (Ω ) seria conjunto de dos elementos: Ω = {cara; sello} Si se lanza un dado, el espacio muestral asociado a este experimento seria:
2 Ω
Si tenemos una baraja de cartas y extraigo una, la probabilidad de que esta sea de diamante será: P
=
13 ( total de cartas de diamantes 52 ( total de cartas )
)
=
1 4
Si en un salón de clases hay 20 alumnos varones y 30 mujeres, ¿Cuál es la probabilidad que al salid un alumno del aula, este sea mujer? P
=
30 ( total de mujeres ) 50 ( total de alumnos )
Recordemos: Probabilidad: Definición clásica La probabilidad de ocurrencias es la razón entre el número de casos favorables y el número de casos posibles. P
Donde:
=
n ° de eventos n ° de eventos
favorables posibles
0≤ P≤ 1
La probabilidad de un evento cualquiera está comprendido entre 0 y 1; en el caso que sea 0: (cero), es un evento imposible; en el caso de que sea 1, el evento es seguro. Es importante aclarar que esta manera de definir la probabilidad se basa en el supuesto que todos los resultados posibles son igualmente probables, es decir que tienen la misma posibilidad de salir. No ocurre así si es que la moneda esta acuñada de tal forma que es mas pesada hacia un lado, o si el lado esta cargado o las cartas están marcadas. Debemos recordar que: El espacio muestral es el conjunto de todos los casos posibles asociados a un experimento.
= {1; 2; 3; 4; 5; 6}
EVENTOS INDEPENDIENTES Como su nombre lo indica son eventos que no dependen entre sí para su ocurrencia; por ejemplo al lanzar una moneda por segunda vez el resultado del lanzamiento de la primera no afecta en el resultado de ésta. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de una moneda dos veces? En el primer lanzamiento la probabilidad de obtener un sello es ½, lo representamos así: 1 P (s1) = 2 En el segundo lanzamiento la probabilidad de obtener un sello, dado que en el lanzamiento anterior se obtuvo sello es: 1 P (s2) = 2 Luego la probabilidad que ocurran ambos será: P (s1 ∩ s2) = P (s1) x P (s2) (sucesos independientes) = 1/4
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Son aquellos cuya ocurrencia no es simultánea. Por ejemplo: ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras o 2 sellos en el lanzamiento de dos monedas? Definimos: C1 : Obtener cara en el primer lanzamiento C2 : Obtener cara en el segundo lanzamiento S1 : Obtener sello en el primer lanzamiento S2 : Obtener sello en el segundo lanzamiento A
=
C1 ∩ C2; B = S1 ∩ S2
P (C1 1
×
2
1
=
2
×
2
1
C2) = P (C 1) x P (C2) =
1
=
2
∩
S2) = P (S1) x P (S2) =
1
Rpta.:
4
Luego: P (A 1 4
+
1
=
4
En un bingo, un jugador está esperando se “cante” una bola, y de los 40 números ya se anunciaron 30, ¿Cuál será la probabilidad que se cante dicha bola? 10.
4
P (S1 1
∩
∪
B) = P (A) + P (B) =
1 2
Por que A y B son excluyentes dado que no pueden salir dos caras y dos sellos al mismo tiempo lanzando una moneda dos veces.
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuál es la probabilidad de que al ver el reloj sea más de las 12 meridiano?
11. si a través de la ventana se observa el paso de las personas (dama o varón); que probabilidad hay que pase una dama. Rpta.: 12. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 8 al sumar los puntos de las caras superiores de lanzar 2 dados? Rpta.: 13. En una urna hay 8 bolas, 3 de color rojo y 5 de color blanco. Se extraen dos al mismo tiempo; ¿Cuál es la probabilidad de que haya una de cada color? Rpta.:
Rpta.: 2. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos sellos en el lanzamiento de 3 monedas? Rpta.: 3. en un salón de clases hay 35 alumnos, de los cual, 20 son limeños; ¿Cuál es la probabilidad que al elegir uno al azar resulte no limeño? Rpta.: 4. En una caja se tienen 12 bolas negras y 18 azules; ¿Cuál es la probabilidad que al extraer una al azar, resulte azul? Rpta.: 5. ¿Cuál es la probabilidad de que, de una baraja de cartas, al extraer una de ellas se obtenga un As? Rpta.: 6. Las caras de un lápiz hexagonal se numeran del 1 al 6; ¿Cuál es la probabilidad que al hacerlo rodar se obtenga un número no menor que 3? Rpta.: 7. Considerando a una gestante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que nazca varón y mediante cesárea? Rpta.: 8. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar un dado al aire, resulte un número par? Rpta.: 9. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una carta de espadas de una baraja? Rpta.:
14. En una determinada ciudad, de cada 69132 bebes nacidos normalmente, 49380 son de sexo masculino; ¿Cuál es la probabilidad que el próximo bebe a nacer normalmente, sea niña? Rpta.: 15. Una tienda vende únicamente 4 bebidas, ¿Cuál es la probabilidad que el próximo cobrador elija unan de estas 4 bebidas? Rpta.: Cuál es la probabilidad que al lanzar una moneda al aire, se obtenga cara. Rpta.: 17. En una reunión social se cuentan 250 caballeros y 300 damas; ¿Cuál es la probabilidad que la primera persona que se retire sea dama? Rpta.: 16.
Se lanzan 2 dados, ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo más 10 al multiplicar los puntos de las caras superiores? Rpta.: 18.
19. Indicar la probabilidad de extraer una carta menor que 7 de una baraja. Rpta.:
20. el Instituto Nacional de Estadística e Informática informo que de 4815 jóvenes de 21 años, fallecen a los 25 años 963 de ellos. Calcular la probabilidad que un joven de 21 años, siga vivo luego de los 25 años. Rpta.:
PROBLEMAS PARA LA CASA
1. Se lanzan dos dados. Indicar la probabilidad de obtener por lo menos 10 en la suma de los puntos de las caras superiores a) 1/6 b) 1/2 c) 1/4 d) 1/9 e) 1/12 Cuál es la probabilidad de obtener 2 caras en el lanzamiento de dos monedas. a) 1/2 b) 3/4 c) 1/4 d) 1/8 e) 1/3 2.
3. Se lanza un dado y una moneda, calcular la probabilidad que resulte cara y el número 6. a) 1/9 b) 2/11 c) 1/12 d) 1/3 e) 1/6 4. En el clásico juego de “kachito” (5 dados); ¿Cuál es la probabilidad que resulten 5 ases? a) 1/9 b) 1/4 c) 1/6 d) 1/7776 e) 1/30 5. Se lanzan al aire un dado común y uno tetraédrico; ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma mayor que 7? a) 1/4 b) 1/24 c) 7/2 d) 5/24 e) 9/24 6. Se tiene un dado tetraédrico y otro en forma de octaedro (ambos con sus caras numeradas a partir del 1). ¿Cuál es la probabilidad que la suma de las caras inferiores sea un cuadrado perfecto? a) 1/32 b) 5/32 c) 9/32 d) 7/32 e) 11/32 7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 10 al extraer una carta de una baraja completa? a) 1/10 b) 1/11
c) 1/12 e) 1/14
d) 1/13
8. Se lanzan al aire 2 dados, ¿Cuál es la probabilidad que la diferencia de los puntos sea menor que 3? a) 2/3 b) 1/3 c) 3/10 d) 25/26 e) N.A. 9. Se lanza un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad que salga un cinco y luego un 3? a) 5/36 b) 1/36 c) 5/6 d) 1/6 e) 11/36 10. En una fiesta, por cada 3 varones, había 2 mujeres. A la media noche se retira una persona. ¿Cuál es la probabilidad que sea una mujer? a) 2/3 b) 1/2 c) 1/3 d) 3/5 e) 2/5 11. Se lanzan dos monedas al aire. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 sellos? a) 1/4 c) 1/3 e) 1/9
b) 1/6 d) 1/2
12. se lanzan 2 dados al aire. ¿Cuál es la probabilidad que la suma de los puntos sea un múltiplo de 3? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 13. Se lanza una moneda al aire y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en la moneda y un número par de puntos en el dado? a) 1/2 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/5 e) 1/6 14. Se lanzan dos dados al aire ¿Cuál es la probabilidad que resulten dos números iguales? a) 1/36 b) 1/38 c) 1/9 d) 1/6 e) 1/4
15. Se tiene 3 dados tetraédricos cuyas caras están numeradas del 1 al 4; ¿Cuál es la probabilidad que resultan tres unos? a) 1/64 b) 1/12 c) 1/4 d) 1/9 e) 1/20
