Aná An áli lis sis com omb binato tori rio o Enviado por WALT por WALTER ER COSME FLORIAN CONTRERAS
1.
Capacidades
2.
Conceptos básicos
3. 4.
Combinación
5.
Probemas res!etos
6.
Compr!eba Compr!e ba t!s sabere saberess"esa#$os
Capacidades 1. Comprende los principios principios fundamentales fundamentales del análisis del análisis combinatorio 2. Formula y resuelve problemas resuelve problemas de análisis combinatorio que se presentan en su vida cotidiana 3. Aplica los mtodos los mtodos del del conteo para resolver problemas diversos de numeraci!n Conceptos básicos Anáisis Combinatorio " Combinatorio " #s la rama de la matemática que estudia los diversos arre$los o selecciones que podemos formar con los elementos de un con%unto dado& los cuales nos permite resolver muc'os problemas prácticos. (or e%emplo podemos averi$uar cuántos n)meros diferentes de telfonos & placas o loter*as se pueden formar utili+ando un con%unto dado de letras y d*$itos. Además el estudio y comprensi!n del análisis combinatorio no va 'a servir de andamia%e para poder para poder resolver resolver y comprender problemas sobre probabilidades Principios #!ndamentaes de Anáisis Combinatorio% #n la mayor*a de los problemas de análisis combinatorio se observa que una operaci!n o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer las formas o maneras que se puede reali+ar dic'a operaci!n. (ara dic'os casos es )til conocer determinadas tcnicas determinadas tcnicas o estrate$ias de conteo que facilitarán el cálculo cálculo se,alado. se,alado. #l análisis combinatorio tambin se define como una manera práctica y abreviada de contarlas operaciones operaciones o o actividades que se presentan son desi$nadas como eventos o sucesos. #%emplo " 1. e,alar las maneras diferentes de vestir de una persona& persona& utili+ando utili+ando un n)mero determinado de prendas de vestir 2.
/rdenar 5 art*culos en 0 casilleros
3.
Contestar 0 pre$untas de un eamen de 1
4.
esi$nar 5 personas de un total 5 para inte$rar una comisi!n
5.
entarse en una fila de 5 asientos 4 personas
6.
#scribir una palabra de 0 letras utili+ando 4 consonantes y 3 vocales
I& Principio de m!tipicación %
•
i un evento o suceso A puede ocurrir & en forma independiente& de m maneras diferentes y otro suceso de n maneras diferentes& entonces el n)mero de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es m . n E'empo (% #n la etapa final de f)tbol f)tbol profesional profesional de primera& cuatro equipos " C7A C7A8 8 9 C :& ;/< 9 ;: =A>7# 9 # :& =>?#7A/ =>?#7A/ 9=:& disputan el primer y se$undo lu$ar 9campe!n y subcampe!n:. @e cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dic'os lu$ares So!ción % METO"O (% !tii)ando e dia*rama dia*rama de de árbo
•
1er lu$ar 2do lu$ar 1o 2o (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior #isten 12 maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicarse en el primer y se$undo lu$ar METO"O +% ,tii)ando e principio de m!tipicación
•
(ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar 1o 2o 4 3 B maneras 12 E'empo +% @Cuántas placas para autom!viles pueden 'acerse si cada placa consta de dos letras diferentes se$uidas de tres d*$itos diferentes 9considerar 26 letras del alfabeto: So!ción % (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior letras *$itos 26 25 1 D E B placas 46E II& Principio de adición % upon$amos que un evento A se puede reali+ar de m maneras y otro evento ; se puede reali+ar de n maneras diferentes& además& no es posible que ambos eventos se realicen %untos 9A ; G :& entonces el evento A o el evento ; se reali+arán de 9 m H n: maneras. E'empo (% =n repuesto de autom!vil se venden en 6 tiendas en la ?ictoria o en E tiendas de ;re,a.@e cuántas formas se puede adquirir el repuesto So!ción % (or el principio de adici!n"
•
?ictoria ! ;re,a 6 formas H E formas 14 formas E'empo +% e desea cru+ar un r*o& para ello se dispone de 3 botes& 2 lanc'as y 1 desli+ador. @e cuantas formas se puede cru+ar el r*o utili+ando los medios los medios de de transporte transporte se,alados se,alados So!ción % Aplicando el principio de adici!n se tiene" ;ote & lanc'a & desli+ador 3!2!1 B maneras 3 H 2 H 1 6 M-TO"OS "E CONTEO #n diferentes casos se tomará de al$)n con%unto parte de sus elementos o todos ellos& para formar diferentes a$rupaciones& que se van a distin$uir por el orden de sus elementos o por la naturale+a naturale+a de de al$unos de ellos. i los elementos que forman una a$rupaci!n son diferentes entre si& serán llamados a$rupaciones sin repetici!n y si al$uno de ellos son i$uales se dirá que son a$rupaciones con repetici!n. #ntre los mtodos de conteo más conocidos tenemos " (ermutaci!n& ?ariaci!n y Combinaci!n PERM,TACI.N
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i un evento o suceso A puede ocurrir & en forma independiente& de m maneras diferentes y otro suceso de n maneras diferentes& entonces el n)mero de maneras distintas en que pueden suceder ambos sucesos es m . n E'empo (% #n la etapa final de f)tbol f)tbol profesional profesional de primera& cuatro equipos " C7A C7A8 8 9 C :& ;/< 9 ;: =A>7# 9 # :& =>?#7A/ =>?#7A/ 9=:& disputan el primer y se$undo lu$ar 9campe!n y subcampe!n:. @e cuántas maneras diferentes estos equipos pueden ubicarse en dic'os lu$ares So!ción % METO"O (% !tii)ando e dia*rama dia*rama de de árbo
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1er lu$ar 2do lu$ar 1o 2o (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior #isten 12 maneras diferentes en que estos equipos se pueden ubicarse en el primer y se$undo lu$ar METO"O +% ,tii)ando e principio de m!tipicación
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(ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar 1o 2o 4 3 B maneras 12 E'empo +% @Cuántas placas para autom!viles pueden 'acerse si cada placa consta de dos letras diferentes se$uidas de tres d*$itos diferentes 9considerar 26 letras del alfabeto: So!ción % (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior letras *$itos 26 25 1 D E B placas 46E II& Principio de adición % upon$amos que un evento A se puede reali+ar de m maneras y otro evento ; se puede reali+ar de n maneras diferentes& además& no es posible que ambos eventos se realicen %untos 9A ; G :& entonces el evento A o el evento ; se reali+arán de 9 m H n: maneras. E'empo (% =n repuesto de autom!vil se venden en 6 tiendas en la ?ictoria o en E tiendas de ;re,a.@e cuántas formas se puede adquirir el repuesto So!ción % (or el principio de adici!n"
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?ictoria ! ;re,a 6 formas H E formas 14 formas E'empo +% e desea cru+ar un r*o& para ello se dispone de 3 botes& 2 lanc'as y 1 desli+ador. @e cuantas formas se puede cru+ar el r*o utili+ando los medios los medios de de transporte transporte se,alados se,alados So!ción % Aplicando el principio de adici!n se tiene" ;ote & lanc'a & desli+ador 3!2!1 B maneras 3 H 2 H 1 6 M-TO"OS "E CONTEO #n diferentes casos se tomará de al$)n con%unto parte de sus elementos o todos ellos& para formar diferentes a$rupaciones& que se van a distin$uir por el orden de sus elementos o por la naturale+a naturale+a de de al$unos de ellos. i los elementos que forman una a$rupaci!n son diferentes entre si& serán llamados a$rupaciones sin repetici!n y si al$uno de ellos son i$uales se dirá que son a$rupaciones con repetici!n. #ntre los mtodos de conteo más conocidos tenemos " (ermutaci!n& ?ariaci!n y Combinaci!n PERM,TACI.N
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#s un arre$lo de todos o parte de un con%unto de ob%etos considerando el orden en su ubicaci!n- cuando en el arre$lo solo entran parte de los elementos del con%unto se llama variación variación . . #s importante resaltar que el orden es una caracter*stica importante en la permutaci!n& cuando variamos el orden de los elementos se dice que permutamos dic'os elementos. E'empo % eterminar los diferentes arre$los o permutaciones que se pueden 'acer con las letras a& b y c tomadas de dos en dos So!ción % M/todo (% ea el con%unto " Ia& b& cJ & entonces los arre$los pueden ser" ab0 ba1 ac0 ca0 bc0 cb >)mero de arre$los 6 M/todo +% 2principio de m!tipicación& (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar B arre$los 3 2 6 Teorema Te orema (% 2Perm!tación inea con eementos di#erentes& #l n)mero de permutaciones de n n ob%etos diferentes& tomados en $rupos en $rupos de de 3 elementos 9siendo K L n:
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y denotado por & estará dado por" (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior - donde" n& K e > y L K L n #stas permutaciones son llamados lineales & porque los ob%etos son ordenados en una l*nea recta de referencia E'empo% #n una carrera de 4metros participan 12 atletas. @e cuantas formas distintas podrán ser premiados los tres primeros lu$ares con medalla de oro oro & & plata y bronce So!ción % M/todo ( % Empeando e principio de m!tipicación /ro (lata ;ronce (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior 1 D E B maneras 02 M/todo +% 2!sando a #órm!a de perm!tación inea& e busca las diferentes ternas 9K 3: que se pueden formar con los 1 atletas 9n 1:
(ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar Teorema Te orema +% 2Perm!tación inea con eementos repetidos& #l n)mero de permutaciones 9(: distintas de n elementos tomados de n en n en donde 'ay un primer $rupo $rupo de de n1 ob%etos i$uales entre si- n2 ob%etos i$uales entre si de un se$undo tipo y as* sucesivamente 'asta nK ob%etos i$uales entre si de un )ltimo tipo& entonces" E'empo % @e cuántas maneras distintas se podrán ordenar las si$uientes fi$uras (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar So!ción% Como entran todos los elementos del con%unto y estos se repiten& se trata de una permutaci!n con repetici!n& donde n1 3 9tres c*rculos:& n2 2 9dos cuadrados: & n3 1 9un trián$ulo:& n4 19 un rombo:& lue$o"
PERM,TACI.N CIRC,LAR on a$rupaciones donde no 'ay primero ni )ltimo elemento& por 'allarse todos en una l*nea cerrada. (ara 'allar el n)mero de permutaciones circulares que se pueden formar con n ob%etos distintos de un
con%unto& 'ay que considerar fi%a la posici!n de un elemento& los n M 1 restantes podrán cambiar de lu$ar de 9n M 1:N Formas diferentes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto. #l n)mero de permutaciones circulares será" E'empo( % @e cuántas formas diferentes puede sentarse al rededor de una mesa circular un padre y sus 5 'i%os So!ción % •
•
e trata de una permutaci!n circular " E'empo +% @e cuántas maneras diferentes se podrán ubicar las cifras del 1 al 0 en la si$uiente fi$ura (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar So!ción % #ste problema se puede resolver como la con%unci!n de dos eventos" primero ubico una cifra en el centro 90 posibilidades: 4 se*!ndo las otras 6 cifras& las cuales por ordenarse en una circunferencia se podrán permutar de 96 M1 :N Formas & por lo tanto" B de maneras 0 5N 0 12 E4 COM5INACI.N #s cada uno de los diferentes arre$los que se pueden 'acer con parte o todos los elementos de un con%unto dado sin considerar el orden en su ubicaci!n #l n)mero de combinaciones de n elementos diferentes tomados de 636 en 636 & con 37 n &está dada por"
•
•
E'empo (% i disponemos de 5 puntos no colineales &@cuál es el máimo n)mero de trián$ulos que se podrán formar So!ción % (ara dibu%ar un trián$ulo solo es necesario 3 puntos en el plano& lue$o se esco$erán 3 puntos 9K 3: de un total de E puntos 9n 5:. Además no importa el orden& ya que el trian$ulo A;C es i$ual al C;Apor lo tanto se trata de una combinaci!n.
(ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar E'empo +% =na se,ora tiene 3 frutas " man+ana& fresa y pi,a. @Cuántos sabores diferentes de %u$o podrá preparar con estas frutas (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar Fresa 9F: & (i,a 9(: & Oan+ana 9O: So!ción% M/todo ( % 2en #orma *rá#ica& Cuando se esco$e una fruta de las tres& los sabores son 3" F0 P 0M
•
Cuando se esco$e 2 de las tres frutas& los sabores son 3" FP0 FM0 PM
•
Cuando se esco$e las 3 frutas los sabores son 1" FPM Tota de sabores di#erentes % 8 9 8 9 ( : ;
•
M/todo + % 2Empeando combinaciones& e puede esco$er una fruta de las tres ó 2 frutas de las tres ó las tres frutas de las tres& además en este caso no importa el orden- por lo tanto usamos el principio de adici!n aplicado a la combinaci!n"
B maneras diferentes B maneras diferentes Tota de sabores di#erentes % 8 9 8 9 ( : ; E'empo 8% e desea formar un comit de 0 seleccionando 4 f*sicos y 3 matemáticos de un $rupo de E f*sicos y 6 matemáticos.@e cuantas maneras podrá seleccionarse So!ción% 1 eleccionamos 4 f*sicos entre E en
•
formas
2o eleccionamos 3 matemáticos entre 6 en
•
Aplico el principio de multiplicaci!n
•
0 2 14 (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar PRO5LEMAS RES,ELTOS 1. @Cuántos numerales de 2 cifras se pueden formar con los d*$itos 1& 3 & 5 y 0 A) 16
•
So!ción % M-TO"O ( % 2 mediante arre*o n!m/rico& Con los d*$itos dados& formamos los si$uientes n)meros"
Resp!esta % se p!eden #ormar (< n!meraes M-TO"O + % 2 mediante a apicación de os principios de anáisis combinatorio& •
8a forma $eneral del numeral pedido es "
•
8os valores que pueden tomar los d*$itos a y b en el numeral son"
cantidad de n)meros 4 4 16 1. eterminar cuántos numerales de 3 cifras eisten en el sistema de base seis. A) 160
So!ción % 8a forma $eneral del numeral es
•
& 'allaremos las posibilidades que pueden tomar a& b y c en base seis y lue$o multiplicamos el n)mero de las posibilidades (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior 5 6 6 1E numerales Resp!esta % se p!eden #ormar (=> n!meraes 1.
@Cuántos numerales de la forma"
eisten A) 260
•
So!ción% #n estos tipos de problemas 'ay que tener en cuenta que cuando una variable representa una cifra& y sta se repite en el numeral& entonces a dic'a variable se le considera una sola ve+ al calcular la cantidad de numerales. #n nuestro problema& con la indicaci!n anterior& tendremos"
•
cantidad de numerales 5 5 E 2 Resp!esta % se p!eden #ormar +>> n!meraes 1. @Cuántos numerales de tres cifras diferentes eisten en el sistema de base decimal A) 900
So!ción% •
8a forma $eneral del numeral es & 'allaremos las posibilidades que pueden tomar a& b y c en base die+ y lue$o multiplicamos el n)mero de las posibilidades& teniendo en cuenta que las tres cifras deben ser diferentes abc (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior
B numerales D D E 64E Resp!esta % se p!eden #ormar
@Cuántos numerales de la forma"
eisten A) 9
•
•
So!ción% 8os valores de a deben se factores de 14 y además menores que D- lue$o los valores posibles de a solo pueden ser " 1&2&0 - es decir 'ay 3 posibilidades. 8os valores de b son m)ltiplos de 3& menores que D- lue$o los valores de b solo pueden ser" &3 y 6- es decir 'ay 3 posibilidades
(ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar
cantidad de B 3 3 D n)meros Resp!esta % se p!eden #ormar @ nmeros 1. @Cuántos n)meros de 3 cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura A) 196
So!ción%
a. b.
c.
(odemos representar el procedimiento de soluci!n mediante un dia$rama de ?enn" B de cifras con por lo menos un 6 B de tres cifras P B de tres cifras que no usan el 6 ............ 91: el $ráfico anterior & se deduce que" (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior abc
d.
cantidad de Bs D 1 1 D Calculamos el n)mero de tres cifras que eisten" (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior abc
e. f.
cantidad de Bs E D D 64E Cálculo del n)mero de 3 cifras que no usan cifra 6 empla+ando los valores obtenidos en los pasos c y d en la ecuaci!n 91: de l paso 9b:& se tiene"
Q D M 64E 252 Resp!esta % se p!eden #ormar +B+ nmeros 0: e un $rupo de 5 estudiantes& cuantos $rupos diferentes de tres alumnos podr*an formarse. A) 16
•
•
So!ción % METO"O (% Por conteo directo ean A& ;& C& y # los alumnos& los diferentes $rupos de 3 ser*an " A;C& A;& A;& A;#& AC& AC& AC# & A#& ;C& ;C#& ;C#& ;#& C# Resp!esta % se p!eden #ormar (> *r!pos di#erentes METO"O +% Por #órm!a Como el $rupo de alumnos A;C& C;A y ;AC son el mismo $rupo de alumnos& entonces no interesa el orden de los elementos y se trata de una combinaci!n"
Resp!esta % se p!eden #ormar (> *r!pos di#erentes E. Con 0 sumandos diferentes @Cuántas sumas distintas de 4 sumandos se podrán efectuar A) 56
•
So!ción % #n la suma no importa el orden que se dispon$an los sumandos & por lo tanto se trata de una combinaci!n- además para cada suma se esco$en $rupos de 4 sumandos de los siete de que se disponen.
Resp!esta % se p!eden #ormar 8B s!mas di#erentes E. @e cuántas formas se pueden ubicar en una fila de 0 asientos 3 'ombres y 4 mu%eres& si estas deben ocupar los lu$ares impares A) 160
•
So!ción % epresentemos $ráficamente el problema& y lue$o emplearemos el principio de multiplicaci!n
(osibilidades 4332211 B de fo form rmas as 4 3 3 2 2 1 1 1 1 144 44 Resp!esta % se p!eden !bicar de(?? #ormar di#erentes E. @Cuántos n)meros de 4 cifras diferentes y mayores que 5 & se pueden formar con los si$uientes d*$itos " 1 & 3& 4 & 6 & D A) 52
So!ción % ea "
•
el n)mero& entonces se tiene" abcd
B de n)meros 2 4 3 2 4E Resp!esta % se p!eden #ormar ?= nmeros de c!atro ci#ras di#erentes E. D.
=n $rupo de 16 personas desean esco$er entre sus miembros un comit de 3 personas que los represente. @e cuantas formas distintas se puede seleccionar dic'o comit
A) 1120
•
So!ción % (ara formar un comit & no interesa el orden en que se dispon$an las tres personas por lo que los posibles comits serán combinaciones de 16 personas tomadas en $rupos de 3& as*
Resp!esta % se p!ede seeccionar e comit/ de B<> #ormas di#erentes E. A la final de un torneo de a%edre+ de a%edre+ se se clasifican 1 %u$adores&@cuántas partidas se %u$ará si se %ue$a todos contra todos A) 1120
•
So!ción % i A %ue$a con ; es lo mismo decir que ; %ue$a con A& la partida es la misma& no interesa e orden de s!s eementos& eementos & pero es una a$rupaci!n de 2 en 2& de un total de 1 elementos. (or lo tanto se trata de !na combinación
Resp!esta % se '!*arán ?B partidas E. @e cuántas maneras diferentes podrá via%ar una persona de A a sin retroceder
A) 24
So!ción % dentificamos con un nombre a cada camino diferente"
•
Anali+amos por tramos"
•
.
A5" % para % para lle$ar a ;& se puede utili+ar cualquiera de los 3 caminos91& 2& 3: se,alados. e ; a se puede ir por el camino +& lue$o 'abr*a 3 formas diferentes de lle$ar" 1+&2+&3+- por lo tanto en el tramo A5" a4 8 #ormas
.
AC"% para lle$ar a C se puede utili+ar un camino para lle$ar a ; 91&2&3: y lue$o otro camino para AC"% para lle$ar a C94&5&6:. Rue aplicando el principio de multiplicaci!n se tendr*a"
(ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior A ; C D maneras de e*ar de A a C : 8 8 : @ pasando por 5 (ero tambin 'ay dos caminos directos para lle$ar a C 9&y:- por lo tanto el n)mero total de caminos para lle$ar de A a C es " D H 2 11 formas- y de C a 'ay 3 formas 90&E&D: Finalmente se tiene"
•
e A a C y de C a Aa 11formas 11 formas 3formas 11 3 formas B total de formas diferentes 33 formas #n conclusi!n los caminos de 9: y 9: & pueden ser A; ! AC 3 H 33 36 formas Resp!esta % 8< maneras di#erentes
E.
#n un eamen de matemáticas& un estudiante debe responder siete pre$untas de las die+ dadas. @e cuántas formas diferentes debe seleccionar& si el debe responder por lo menos& tres de las cinco primeras pre$untas
A) 64
•
So!ción % #l estudiante puede responder tres de las cinco primeras pre$untas y 4 de las )ltimas 5 pre$untas- ! cuatro de las primeras cinco pre$untas y 3 de las )ltimas - ! cinco de las primeras cinco y dos de las )ltimas. Como no interesa el orden se trata de una combinaci!n& por lo tanto tenemos"
Resp!esta % ((> maneras di#erentes E. A) 2520
So!ción % M/todo (%2!sando e principio de m!tipicación& (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior Bmaneras 0 6 5 4 3 2 52 M/todo +%2!sando perm!tación&
D. 1. 11. 12. 13.
14. 15.
16.
#l servicio de inteli$encia de cierto pa*s& desea enviar mensa%es a sus a$entes secretos. olo quiere utili+ar las si$uientes letras" ?& A& O & ( && & /.@Cuántas palabras claves de cinco letras pueden formarse& si nin$una letra puede repetirse =n 'ombre tiene D bonos financieros de D compa,*as distintas& y piensa re$alarlos a sus 3 'i%os de la si$uiente manera" a su 'i%o mayor& 4 - a su se$undo 'i%o& 3 - y al menor 2. @e cuantas formas puede repartir los bonos
A) 1640
•
So!ción % e trata de una permutaci!n con repetici!n donde intervienen todos los elementos. Say 4N Oaneras de arre$lar los bonos para su 'i%o mayor- 3N Formas para arre$lar los bonos para el se$undo 'i%o y 2N Formas para el 'i%o menor. 8ue$o se tiene"
Resp!esta % Los bonos se p!eden repartir de (8<> #ormas E. 8a selecci!n peruana de voleibol está conformado por 12 c'icas. @e cuántas formas se puede conformar un equipo de 6 si se sabe que 2 c'icas se nie$an a %u$ar en el mismo equipo
A)
•
So!ción % 8a dele$aci!n de 6 c'icas se puede presentar en los si$uientes casos" (er caso % i no fi$ura nin$una de las dos c'icas que se nie$an a %u$ar %untas& las seis c'icas deben esco$erse de entre1
B de equipos +do caso % i fi$ura una de las dos c'icas que se nie$an a %u$ar %untas& las otras cinco c'icas deben esco$erse de entre las1 restantes B de equipos B total de equipos Resp!esta % E nmero tota de e!ipos !e se p!eden #ormar es E. @e cuántas maneras diferentes se pueden sentar E personas en una mesa redonda de 5 asientos& si 3 están en espera A) 1640
•
•
So!ción % #l n)mero de $rupos de 5 personas que se ubican en la mesa circular es"
#l n)mero de formas en que cada $rupo de 5 personas se pueden sentar en la mesa es" 95 M 1:N 4N 24 B total de formas 56 24 1344 Resp!esta % (8?? maneras di#erentes E. 8a tripulaci!n de un bote es de 1 'ombres& cuatro solamente pueden remar a babor y tres a estribor. @e cuántas formas se pueden distribuirse para remar& sabiendo que cinco 'ombres deben ubicarse a cada lado para mantener el equilibrio del bote (ara ver el $ráfico seleccione la opci!n escar$ar del men) superior PROA 5abor Estribor POPA A) 3x (5!)2
•
•
So!ción % ean Ia& b& c& d& e& f& $& '& i& % Jlos tripulantes del bote de los cuales" a& b& c y d pueden remar s!lo a babor y '& i& y % pueden remar s!lo a estribor. Además cinco 'ombres están ubicados a cada lado del bote.
a& b& c y d pueden ubicarse a babor de formas distintas ocupando 4 lu$ares 9observar que en este problema el orden es importante:. 8os lu$ares que sobran a babor pueden ser ocupados por d& e ! f& es decir 3 formas distintas. 8ue$o los cinco lu$ares a babor pueden ser ocupados de" . 3 formas o maneras distintas.
•
A estribor '& i& y % pueden acomodarse de formas diferentes ocupando 3 lu$ares- y sobrando 2 lu$ares. =no de los lu$ares que sobra puede ser ocupado de 2 formas diferentes& pues uno de los tripulantes e& f ! $ ya está ubicado a babor& quedando 93 M 1: de ellos para ocupar aquel cuarto lu$ar. #l quinto lu$ar a estribor puede ser ocupado de 93 M 2 : sola forma& por el que queda de los dos anteriores. (or tanto los cinco lu$ares a estribor pueden ser ocupados de "
maneras diferentes.
•
Como se trata de un suceso simultaneo & aplicamos el principio de multiplicaci!n para los dos resultados anteriores"
B de formas diferentes
.3
Resp!esta % #ormas di#erentes E. e,ale cuántos productos diferentes& cada uno de tres factores primos& podrá obtenerse con los cinco factores primos " a& b& c& d& e 9 a T b T c T dT e: A) 40
So!ción% M/todo ( % 2Por conteo directo& e deben formar n)meros de la forma ( . y . + - donde & y& + son n)meros primos CASO (% Losa tres #actores son i*!aes G es decir % : 4 : ) 0 os prod!ctos serán% (1 a a a - (2 b b b - (3 c c c - (4 d d d - (5 e e e on 5 casos posibles CASO +% "os #actores son i*!aes 4 !no es di#erente G es decir % : 4 G con ) di#erente 0 os prod!ctos serán% (6 a a b - (0 a a c - (E a a d - (D a a e - (1 b b a (11 b b c - (12 b b d - (13 b b e - (14 c c a - (15 c c b (16 c c d - (10 c c e - (1E d d a - (1D d d b - (2 d d c (21 d d e - (22 e e a - (23 e e b - (24 e e c - (25 e e d on 2 casos posibles CASO % Los 8 #actores son di#erentes G es decir % H 4 H ) G0 os prod!ctos serán% (26 a b c - (20 a b d - (2E a b e - (2D a c d - (3 a c e (31 a d e - (32 b c d - (33 b c e - (34 b d e - (35 c d e on 1 casos posibles 9 : Finamente se tendrá % B 9 +> 9 (> : 8B #ormas posibes M/todo + % 2Apicando combinación con repetición& #n este caso aplicamos la f!rmula"
•
Con n 5 y K 3 & es decir" Resp!esta % 8B #ormas di#erentes COMPR,E5A T,S SA5ERES 1. A) 20 D) 14
2.
@Cuántos cables de conei!n son necesarios para que puedan comunicarse directamente 2 oficinas de las E que 'ay en un edificio A) 200 D) 140
3.
8as ciudades A y ; están unidas por 6 caminos diferentes& ; y C por 1 caminos diferentes y las ciudades C y por E caminos diferentes.@e cuántas maneras diferentes una persona puede via%ar de A a pasando por ; y C
A) 203x103 D)26x103
4.
8a municipalidad de 8ima a ordenado que los moto tais sean amarillos y ten$an las placas 6 caracteres 93 letras se$uidas de 3 n)meros:. @Cuántas placas diferentes se podrán formar 9considerar 26 letras del alfabeto: A) 20 D) 14
5.
@Cuántos n)meros de 3 cifras que sean impares& se pueden escribir con los d*$itos" 4& 5& 0& D y E& si no se pueden repetir los d*$itos
6.
e seis n)meros positivos y 5 n)meros ne$ativos& se esco$en 4 n)meros al a+ar y se multiplican. Calcular el n)mero de formas que se pueden multiplicar& de tal A) 60 D) 140
0.
manera que el producto sea positivo A) 16 D) 64
E.
#l equipo de fulbito de un sal!n de clase debe esco$er 2 madrinas& una para el equipo y otra para las camisetas- si en total 'ay E candidatas. @e cuántas maneras se pueden esco$er las 2 madrinas A) 630 D) 108
D.
e tiene una urna con D bolas numeradas. e quiere saber& @de cuántas maneras podemos sacar primero 2 bolas& lue$o 3 y finalmente 4 A) 20 D) 40
1.
@Cuántos numerales& en el sistema quinario& de la forma
A) 2520 D) 1125
11.
@e cuántas maneras diferentes se pueden repartir los 1 miembros de un club en tres comits de 5& 3 y 2 miembros respectivamente
12.
#n una despedida de soltera& a la que asistieron s!lo c'icas todas bailaron entre si& al menos una ve+. i en total se lo$raron conformar 2E pare%as diferentes& el n)mero de c'icas que participaron fue....
A) 16 D) 4
"ESAFIOS
PRO5LEMAS "E NIEL I 1. A) 160 D) 144
2.
=na clase consta de 0 ni,os y 3 ni,as. @e cuántas maneras diferentes el profesor puede esco$er un comit de 4 alumnos A) 60 D) 140
3.
@Cuántas palabras diferentes de tres letras& aunque care+can de si$nificado& se puede formar usando las letras de la palabra (#8/> 9sin repetir las letras:
4.
Cuatro c'icas y dos varones van al cine y encuentran 6 asientos %untos en una misma fila& donde desean acomodarse.@e A) 160 D) 144
5.
cuántas maneras diferentes pueden sentarse si las cuatro c'icas quieren estar %untas A) 30 D) 40
6.
7ienes 5 libros&@de cuántas maneras diferentes puedes esco$er uno o más de dic'os libros a.
8os d*$itos no pueden repetirse
b.
i se permite la repetici!n
A) 20 y 25 D) 20 y 40
0.
@Cuántos n)meros de dos cifras pueden formarse con los d*$itos" 1& 2 & 3& 4 y 5& si" A) 56 D) 44
E.
8uis tiene 1 ami$os de los cuales invitará a su matrimonio solamente a 0. @e cuántas maneras puede 'acer la invitaci!n si dos de sus ami$os están enemistados y no pueden asistir %untos A) 560 D) 140
D.
#n una reuni!n se encuentran 5 mu%eres y E 'ombres. i se desea formar $rupos mitos de 5 personas. e cuántas maneras pueden formarse tales $rupos de modo que en cada uno de ellos estn siempre dos mu%eres A) 60 D) 40
1.
=na persona tiene o billetes de valores diferentes.@Cuántas sumas distintas de dinero se puede formar tomados de 3 en 3
A) 108 D) 192
11.
@Cuántos numerales del sistema octavario 9base E : eisten de la forma" A) 108 D) 392
12. 13.
PRO5LEMAS "E NIEL II @Cuántos n)meros m)ltiplos de 5& menores que 4 y de cifras diferentes se pueden formar con los d*$itos del al D
14.
Say 5 candidatos para presidente de un A) 108 D) 72
15.
club& 6 para vicepresidente y 3 para secretario.@e cuántas maneras se pueden ocupar estos tres car$os A) 10 D) 12
16.
@Cuántas combinaciones pueden 'acerse con las letras " a& b& c& d y e tomadas de cuatro en cuatro& entrando a en todas ellas
A)
D)
10.
1E.
=na combi posee 21 asientos& 4 filas de 4 asientos cada uno con un pasillo al medio y al final 5 asientos %untos. e desea ubicar 13 pasa%eros de los cuales 2 siempre van al lado de la ventana y 4 %untos al pasillo central.@e cuántas formas se le puede ubicar& si 'ay 1 asientos con ventana disponibles A una reuni!n asistieron 3 personas. i se saludan estrec'ándose las manos& A) 60 D) 120
1D.
suponiendo que cada uno es cortes con cada uno de los demás.@Cuántos apretones de manos 'ubieron A) 1732 D) 960
2.
#n el sistema de base 5. @Cuántos n)meros de cinco cifras presentan al$)n 4 A) 160 D) 125
21.
#n el curso de matemáticas 'ay 4 profesores y 5 profesoras. e quiere formar comisiones de 4 personas& sabiendo que los profesores Oart*ne+ y Caballero no pueden estar en la misma comisi!n a menos que la comisi!n est formada por lo menos por una mu%er . @Cuál es el máimo n)mero de comisiones que se puede formar A) 108 D) 124
22.
#n una empresa traba%an 5 mecánicos. 4 F*sicos y 2 in$enieros Ue!lo$os . e desea formar una comisi!n de 5 personas en la cual 'aya siempre un F*sico. @e cuántas formas se puede seleccionar dic'a comisi!n A) 138 D) 454
23.
@Cuántos n)meros de 4 cifras se pueden formar con las cifras" 1& 2& 4& 6& 0 y E- de tal manera que sean menores que 5 y no permitindose repeticiones de las cifras A) 1956 D) 1244
24.
e tienen 6 bolitas marcadas con los d*$itos "1& 2& 3& 4& 5 y 6 .@Cuántos n)meros se pueden obtener
25.
7en$o 15 sillas de las cuales E son defectuosas. @e cuántas maneras podemos esco$er 5 sillas de las cuales por lo menos 4 sean defectuosas
A) 490 D) 480
8eer más" 'ttp"VVWWW.mono$rafias.comVtraba%os13VanaliscoVanalisco.s'tmlBi++3Kc(DEpo
Defnición de Método Inductivo •
General
•
M - Lesmi Santaella
El método inductivo es aquel método científico que que alcanza conclusiones generales partiendo de hipótesis o antecedentes en particular. unt" x#$"%n &u "t método o$i'in%lmnt #ud "$ %"oci%do % "tudio" d $%nci" %con % inicio" dl "i'lo *++. El método inductivo "ul ,%"%$" n l% o,"$v%ci-n y l% x#$imnt%ci-n d co" y %ccion" conc$t%" #%$% %"/ #od$ ll'%$ % un% $"oluci-n o conclu"i-n 'n$%l "o,$ "to" " dci$ n "t #$oc"o " comin% #o$ lo" d%to" y in%li% ll'%n % un% to$/% #o$ lo t%nto " #ud dci$ &u asciende de lo particular a lo general. En l método inductivo " x#onn ly" 'n$%l" %c$c% dl com#o$t%minto o l% conduct% d lo" o,to #%$tindo "#c/ic%mnt d l% o,"$v%ci-n d c%"o" #%$ticul%$" &u " #$oducn du$%nt l x#$imnto.
La metodología utilizada para la realización de este proceso puede resumirse en cuatro pasos lo" cu%l" com#$ndn l% observación de los hechos o %ccion" y $'i"t$o d llo" l% ind%'%ci-n cint/ic% d% inicio "im#$ #%$tindo d un n-mno n #%$ticul%$ &u no #o" un% x#lic%ci-n #$o#i% dnt$o d lo" #o"i,l" conociminto" cint/ico" xi"tnt" n d%do momnto lu'o vin l% elaboración de una hipótesis o el análisis de lo observado anteriormente %&u/ " o$m% un% #o"i,l x#lic%ci-n y #o"i,l dinici-n d lo o,"$v%do % continu%ci-n n l% t$c$% #%$t dl #$oc"o " #$"nt% l% dducci-n d #$diccion" o la clasificación de los fundamentos anteriormente obtenidos "t%" #$diccion" " o$mul%n % #%$ti$ d l% i#-t"i" y in%lmnt l cu%$to #%"o " #on n m%$c% el experimento, y encontramos la representación de los enunciado universales derivados del proceso de investigación que se realizo.
ugiere un concepto
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Sumatoia % s u m a t o r i a o s u m a t o r i o " m # l % # % $ % $ # $ " n t % $ l % "um% d muco" o ininito" "um%ndo".
% x # $ " i - n " l s u m a t o r i a de X i , d o n d e i t o m a l o s valores de 1 a n . % o#$%ci-n sumatoria " x # $ " % c o n l % l t $ % ' $ i ' $ % "i'm% m%y"cul% ! . i " l v%lo$ inic%l ll%m%do l/mit in$io$. n " l v%lo$ in%l ll% m%do l/imit "u#$io$. i l% "um%to$i% %,%$c% l% tot%lid%d d lo" v%lo$" "u x#$"i-n " #ud "im#liic%$
E " $ c u n t l u " o d l o # $ % d o $ sumatoria n E"t%d/"tic%. % s u m a d e l a s f r e c u e n c i a s a b s o l u t a s " # u d x # $ " % $ como
".
#. : l% media c o m o
".
#. Ejemplo
En un t"t $%li%do % un '$u#o d 42 #$"on%" " %n o,tnido l%" #untu%cion" &u mu"t$ % l% t%,l%. $alcula la media .
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*xi + &!
Pro,iedades de las su-atorias % "um% dl #$oducto d un% con"t%nt #o$ un% v%$i%,l " i'u%l % ; vc" l% "um%to$i% d l% v%$i%,l.
% "um%to$i% %"t% < d un% con"t%nt " i'u%l % < vc" l% con"t%nt.
% "um%to$i% d un% "um% " i'u%l % l% "um% d l%" "um%to$i%" d c%d% té$mino.
% "um%to$i% d un #$oducto no " i'u%l %l #$oducto d l%" "um%to$i%" d c%d% té$mino.
% "um%to$i% d lo" cu%d$%do" d lo" v%lo$" d un% v%$i%,l no " i'u%l % l% "um%to$i% d l% v%$i%,l lv%do %l cu%d$%do.
1#0
*xi · i + 1
MATEMATICA ELEMENTAL
Teoría Combinatoria o Análisis Combinatorio Permutaciones
En este tema vamos a desarrollar los conceptos reseñados en la Introducción
En síntesis: Lo que se ha pretendido en la introducción es conseguir ordenar y contar las distintas agrupaciones que puedan hacerse con los elementos de un conjunto, abstracción hecha de su naturalea! "esde un punto de vista general, los diccionarios y la enciclopedia nos han ayudado poco para saber de qu# trataba la combinatoria o an$lisis combinatorio! En ese proceso buscador y con la ayuda del libro de matem$ticas nos hemos encontrado con la clasi%icación:
CUADRO SINÓPTICO
&ariaciones
'oncepto (ímbolos )rdenación *ecuento +órmulas Ejemplos y aplicacione s 'oncepto (ímbolos )rdenación
)rdinaria Permutaciones
eoría 'ombinacione s
'ombinatoria o
-n$lisis &ariaciones
'ombinatorio
'on repetició n
Permutaciones
'ombinacione s
*ecuento +órmulas Ejemplos y aplicacione s 'oncepto (ímbolos )rdenación *ecuento +órmulas Ejemplos y aplicacione s 'oncepto (ímbolos )rdenación *ecuento +órmulas Ejemplos y aplicacione s 'oncepto (ímbolos )rdenación *ecuento +órmulas Ejemplos y aplicacione s 'oncepto (ímbolos )rdenación *ecuento +órmulas Ejemplos y aplicacione s
.)-: )bs#rvese que el proceso para el estudio de las distintos conceptos es el mismo consistente en distinguir en cada uno:'oncepto, (ímbolos, )rdenación, *ecuento, +órmulas, Ejemplos y aplicaciones! (istematiar es una operación sumamente rentable en el estudio
'omo puede apreciarse los distintos tipos de ordenaciones que podemos aplicar a un conjunto son las mismas tanto en la combinatoria ordinaria como con repetición/ la di%erencia esencial de un tipo u otro consiste en que en la primera, los elementos que %orman la ordenación son distintos entre ellos y en la segunda los elementos pueden repetirse! La estrategia a seguir consistir$ en ir desgranando cada tipo de ordenación considerando uno u otro caso/ esto es: que sus elementos sean distintos o se repitan! En un caso tendremos la Combinatoria ordinaria y en el otro caso la Combinatoria con reetici!n! Los tres tipos de ordenaciones que vamos a estudiar son: 0 &ariaciones 0 Permutaciones de %orma general y como caso particular de las variaciones! 0 'ombinaciones!
"e todas ellas intentaremos conocer: 1 'oncepto 1 )rdenación 1 *ecuento 1 +órmulas usuales 1 'ampo de aplicación 1 Ejemplos y aplicaciones
Perm"taciones (eguimos con el esquema adoptado en el estudio de la matem$tica elemental! Para penetrar en el concepto 2Permutaciones3 y seguir despu#s en su desarrollo conceptual, propiedades y aplicaciones, nos introduciremos
en el tema a partir de lo que dicen los diccionarios: "*-E, 'I*LE', "I4- y un libro de matem$ticas! 5*ecordemos: "*-E es el diccionario de la *eal -cademia/ 'I*LE' es una enciclopedia y "I4- un diccionario de 4atem$ticas6! -naliaremos sus contenidos, lo semejante, lo distinto, lo olvidado y sus imprecisiones! -dquirido el concepto de variación lo que viene despu#s es consecuencia de ello y por tanto generable por cualquier lector perspica!
Perm"taciones: Conceto#
No aarece tal conceto en el DRAE! (í aparece: Perm"taci!n: %! -cción y e%ecto de permutar! Perm"tar$ 7! &ariar la disposición u orden en que estaban dos o m$s cosas! Las acepciones 8 y 9 del "iccionario no guardan relación con el sentido matem$tico del t#rmino! La primera se re%iere a la permuta de cosas y la segunda, de cargos equivalentes entre %uncionarios, por ello solo he trascrito la acepción 7,!
Probemos con la encicloedia CIRLEC: Perm"tacion$ 4-! Intercambio de los elementos de una serie! "ado un conjunto de m elementos, se llama ; a cada uno de los distintos grupos de m elementos que pueden %ormarse ordenando #stos de todas las maneras posibles! (i los m elementos son distintos entre sí, el n 5l#ase m %actorial o %actorial de m6! Ej!: las ; de 7 elementos distintos son P7 = 7> = 7!9!8 = ? 5 si los elementos son letras a, b, c, se tendr$: abc, acb, bac, bca, cab, cba6! (i entre los m elementos, uno est$ r veces repetido, otro s veces !!!!! y otro t veces, el n@r> A s> A!!!!At> siendo r A s A !!!!!A t = m (in entrar en el %ondo de la de%inición, que se har$ m$s adelante parece conveniente hacer unas precisiones:
a6 .o simbolia las permutaciones con repetición! (í lo hace con las permutaciones sin repetición u ordinarias BPor qu# no simbolia las permutaciones con repeticiónC Pregunta que cada cual puede responderse a su satis%acción! b6 -l eDpresar la %órmula por la que calcula el n de permutaciones Pm, lo hace como producto de n por ser 7 el n
%&"' dice sobre el as"nto el diccionario eseciali(ado DICMAT) Perm"taci!n$ 'ambio del orden de los elementos de una sucesión entre sí! al de%inición no parece muy mod#lica trat$ndose de un diccionario de matem$ticas!
%&"' dice "n libro de matemáticas al resecto) Perm"taciones$ De*inici!n + n,mero$ Permutaciones n-arias son las variaciones de orden n %ormadas con n objetos/ luego designando su n
*eunamos todo lo dicho en la siguiente matri:
+uente
eDto
"*-E
.o dice nada especí%ico aunque la acepción 7 de Permutar dice: &ariar la disposición u orden en que estaban dos o m$s cosas!
'I*LE'
Intercambio de los elementos de una serie! "ado un conjunto de n elementos, se llama ; a cada uno de los distintos grupos de n elementos que pueden %ormarse ordenando #stos de todas las maneras posibles! (i los nelementos son distintos entre sí, el n 5l#ase n %actorial o %actorial de n6! Ej!: las ; de 7 elementos distintos son P 7 = 7> = 7!9!8 = ? 5si los elementos son letras a, b, c, se tendr$: abc, acb, bac, bca, cab, cba6! (i entre los n elementos, uno est$ r veces repetido, otro s veces !!!!! y otro t veces, el n@r> A s> A!!!!At> siendo r A s A !!!!!A t = n
"I'4-
Perm"taci!n$ 'ambio del orden de los elementos de una sucesión entre sí!
LIG*) "E Perm"taciones$ De*inici!n + 4-E4n,mero$ Permutaciones n-arias son las variaciones de orden n %ormadas con nobjetos/ luego designando su I'-( n
%&"' concetos se bara-an en lo ."e dice el DRAE) $ Las permutaciones guardan relación con la disposición u orden en que est$n dos o m$s cosas!
%&"' concetos se bara-an en lo ."e dice CIRLEC)$
1 Intercambio entre los elementos de una serie 1 "isponer de un conjunto de n elementos! 5.ada se dice de su naturalea6 1
acerca
+ormar grupos distintos con esos n elementos de todas las maneras posibles!
1 "istingue entre permutaciones y permutaciones con
repetición
1 "a %órmulas de c$lculo y eDpone unos ejemplos
.)-: 'omo queda dicho m$s arriba, no usa en la de%inición el concepto de serie y sí el de conjunto! Hubiera quedado, a nuestro parecer, m$s coherente decir: FIntercambio entre los elementos de un conjuntoF
%&"' concetos se bara-an en lo ."e dice el DIMAT) $ Las permutaciones guardan relación con el cambio del orden de los elementos de una sucesión entre sí!
%&"' concetos se bara-an en lo ."e dice el libro de matemáticas) Las permutaciones las considera como variaciones cuando entran en cada ordenación todos los elementos del conjunto ordenado! "e acuerdo con eso, mutatis mutandis, se puede decir: 1 Llama permutación de orden n a todo conjunto ordenado %ormado por los n elementos del conjunto! 1 (e conviene en considerar distintas las permutaciones si di%ieren en el orden de colocación!
Perm"taciones$ Conceto 'omo síntesis de todo los eDpresado podemos de%inir -sí: Se denominan Permutaciones de un conjunto de n elementos al conjunto de todas las ordenaciones que podemos formar con todos los
elementos dados de modo que, entrando todos los elementos del conjunto en cada ordenación, se diferencie una de otra en el orden de colocación de sus elementos !
ambi#n se pueden de%inir como las variaciones de orden n de un conjunto de n elementos! /Enlace0 (e pueden clasi%icar en: Permutaciones ordinarias si los elementos de toda ordenación son
distintos Permutaciones con repetición si alguno de los elementos de toda
ordenación pueden repetirse o no!
%C!mo se simboli(an las erm"taciones) El símbolo Pn eDpresa las permutaciones ordinarias de un conjunto con n elementos! El símbolo P*na,b,c,!!!r,s,t eDpresa las permutaciones con repetición de un conjunto de n elementos, de los cuales uno de ellos se repite a veces,
otro, b veces####### con la condición de que a A b A c A !!!!!!!A r A s A t = n
)G(E*&-'I.: 'uando escribimos: Pn ó P*na,b,c,!!!r,s,t eDpresamos indistintamente las Permutaciones como su n
%C!mo se ordenan + c!mo se c"entan las erm"taciones ordinarias) -l ser las permutaciones un caso particular de las variaciones, los criterios señalados para ordenar #stas sirven para las permutaciones! (e trata, por tanto, de aplicar a las permutaciones de orden n, los procesos seguidos para ordenar las variaciones de n elementos tomados de n en en n#
Combinatoria 1ariaciones 'omo alternativa vamos a seguir para el recuento y ordenación un proceso intuitivo que nos servir$ para nuestro propósito!
(upongamos que tenemos n casillas o recipientes y n bolas de colores distintos! EDiste por tanto una correspondencia entre el n
Jn ejemplo concreto, dentro de lo abstracto del tema!
Ejemplo 8: (e trata de distribuir de todas las %ormas posibles en cuatro casillas, cuatro bolas distintas Kue simboliaremos así:
%
%
%
%
(eguir# el proceso diseñado: omemos una cualquiera de las 8 bolas! Las 8 casillas est$n desocupadas B'uantas casillas tengo disponibles para colocar la bola elegidaC 8# Luego tengo 8 sitios para colocar la bola! Elijo una cualquiera por ejemplo la roja y la coloco en un sitio cualquiera quedando así:
%
%
%
%
B'uantas bolas me quedan por colocarC 5# B'uantas casillas me quedan disponiblesC 5 omemos una cualquiera de las 5 bolas sin colocar! Por ejemplo la verde! .os quedan 7 sitios para poder colocarlas B"e cuantas maneras posibles puedo colocar la bola verdeC En 7 sitios! Elijo una de las situaciones posibles quedando las bolas así:
%
%
%
%
B"e cuantas maneras posibles puedo colocar las dos bolas elegidasC (i la roja podía colocarse en sitios y la verde en 7 las dos bolas podr$n colocarse de D 7 %ormas distintas!
B'uantas bolas me quedan por colocarC 4# B'uantas casillas me quedan disponiblesC 4 omemos una cualquiera de las 4 bolas sin colocar! Por ejemplo la aul! .os quedan 9 sitios para poder colocarla B"e cuantas maneras posibles puedo colocar la bola aulC de 9 %ormas que son los huecos que quedan libres! Elijo una de las situaciones posibles quedando las bolas así:
%
%
%
%
B"e cuantas maneras posibles puedo colocar las tres bolas elegidasC (i la roja podía colocarse en sitios, la verde en 7 y la aul en 9, las tres bolas podr$n colocarse de D 7 D 9 %ormas distintas! omemos la bola marrón sin colocar! .os queda 8 sitio para poder colocarla B"e cuantas maneras posibles puedo colocar la bola que me quedaC 8, el
%
%
%
%
B"e cuantas maneras posibles puedo colocar las cuatro bolas elegidasC (i la roja podía colocarse en sitios, la verde en 7, la aul en 9 y la marrón en 8, las cuatro bolas podr$n colocarse de D 7 D 9 D 8 %ormas distintas! Por tanto: El n total de posiciones posibles sería: P = > = 8!9!7! = 9 Procedamos a escribirlas! Para mayor comodidad los colores los he sustituido por los n
Perm"taci!n rincial$ "e%inición # (e llama erm"taci!n rincial aquella cuyos elementos est$n dispuestos en el orden natural! En nuestro caso 897! - continuación se escriben en una %ila todas las permutaciones cuyo primer elemento sea el uno! En la segunda %ila es escriben todas las permutaciones cuyo primer elementos sea el 9! M así sucesivamente! En nuestro caso se con%ormaría una matri de %ilas y ? columnas El n
)rdenación y recuento de permutaciones de cuatro elementos
las
897 897 879 879 89
879
987 987 978 978 987
978
789 789 798 789 789
798
897 879 987 978 787
798
.
Permanencia$ (e dice que dos elementos de una permutación est$n en permanencia si est$n dispuestos en su orden natural así 89/ ab! En la permutación 897! El 9, 7 y , est$n en permanencia don el 8/ el 7 y , est$n en permanencia con el 9
In1ersi!n$ (e dice que dos elementos de una permutación est$n en inversión si no est$n dispuestos en su orden natural así 98/ ba! En la permutación 897! El y el 7 est$n en inversión!
%C!mo se c"enta erm"taci!n)$
el
n,mero
de
in1ersiones
de
"na
(e compara con cada uno de los elementos de la permutación con los que tiene a la iquierda y se cuentan el n
Perm"taci!n ar$ (e dice que una permutación es de orden par si tiene un n
Perm"taci!n imar$ (e dice que una permutación es de orden impar si tiene un n
.)-: En el conjunto de todas las permutaciones de orden n, la mitad son de orden impar y la otra mitad de orden par!
E-ercicios + alicaciones$ (e desarrolla en p$gina aparte /Enlace0
Perm"taciones con reetici!n& *ecordemos las de%iniciones y simboliación de las permutaciones con repetición: Permutaciones con repetición si alguno de los elementos de toda
ordenación pueden repetirse o no!
%C!mo se simboli(an las erm"taciones con reetici!n) El símbolo P*na,b,c,!!!r,s,t eDpresa las permutaciones con repetición de un conjunto con n elementos, de los cuales uno de ellos se repitea veces, otro, b veces####### con la condición de que a A b A c A !!!!!!!A r A s A t = n "e%inidas y simboliadas las permutaciones con repetición procede establecer los procedimientos de recuento y c$lculo!
%C!mo se ordenan + c!mo se c"entan las erm"taciones con reetici!n) Los criterios señalados en el recuento y c$lculo del n
En esas n> permutaciones, habr$ a7 permutaciones iguales correspondientes a los a elementos que se repiten! b7 permutaciones iguales correspondientes a los b elementos que se repiten y así con todos los dem$s elementos que se repiten! Por tal motivo, Pn =a>b>c>!!!!r>s>t> P*na,b,c,!!!r,s,t de donde!
P*n
Pn = 11111111111111111 = a>b>c>!!!!r>s>t>
a,b,c,!!!r,s,t
Jn ejemplo concreto, dentro de lo abstracto del tema!
Ejemplo 8: B'u$ntos n
Alicando la *!rm"la + s"stit"+endo 1alores se tendrá$ n> N> P*na,b,c,!!!r,s,t = 11111111111111111 = P*N9,7, = 111111111= a>b>c>!!!!r>s>t> 9>7>> 7?9OO = 11111111111 = 89? 9D7D 'on las calculadoras electrónicas el c$lculo es inmediato, (in embargo, parece aconsejable ejercitarse en la simpli%icación de %racciones con %actoriales, para lo cual el %actorial del mayor n D Q D ? D R D O D N
11111111111111111111111111 = Q D R D D N = 89? 9> 7> >
E-ercicios + alicaciones$ 8 'alcular y escribir las permutaciones ordinarias que se pueden %ormarse con las vocales a, e, i, o y comprobar que la mitad es de orden par y la otra mitad de orden impar
Calc"lo: -plicando la %órmula P n = n> 'omo n = P = > = 8D9D7D = 9
Escribirlas: aeio aeoi aieo aioe aoei aoie eaio eaoi eiao eioa eoai eoia oaei oaie oeai oeia oiae oiea iaeo iaoe ieao ieoa ioae ioea
Comrobar la aridad e imaridad =$mut%ci-n =o"ici-n d l%" lt$%" <m$o d inv$"ion"
Paridad o imparidad
aeoi aoei aoie
Es la permutación principal no hay inversiones La o est$ en inversión con la i = 8 La o con la e = 8/ la o con la i = 8 La o con la i/ la o con la e/ la i con la e
8 = impar 9 = par 7 = impar
aieo
La i con la e/
8 = impar
aioe eaio eaoi eiao eioa eoai eoia
La La La La La La La
9 = par 8 = impar 9 = par 9 = par 7 = impar 7 = impar = par
aeio
i con la e/ la o con la e e con la a e con la a/ la o con la i e con la a/ la i con la a e con la a/ la i con la a/ la o con la a e con la a/ la o con la a/ la o con la i e con la a/ la o con la i/ la o con la a/ la i
par
oaei oaie oeai oeia oiae oiea iaeo iaoe ieao ieoa ioae ioea
con la a La o con la a/ la o con la e/ la o con la i La o con la a/ la o con la i/ la o con la e/ la i con la e La o con la e/ la o con la a/ la o con la i/ la e con la a La o con la e/ la o con la i/ la o con la a/ la e con la a/ la i con la a La o con la i/ la o con la a/ la o con la a/ la i con la a/ la i con la e La o con la i/ la o con la e/ la o con la a/ la i con la e/ la i con la a/ la e con la a La i con la a/ la i con la e La i con la a/ la i con la e/ la o con la e La i con la e/ la i con la a/ la e con la a La i con la e/ la i con la a/ la e con a/ la o con la a La i con la a/ la i con la e/ la o con a/ la o con la e La i con la e/ la i con la a/ la o con la e / la o con la a/ la e con la a
7 = impar = par = par Q = impar Q impar ? = par 9 = par 7 = impar 7 = impar = par = par Q = impar
otal permutaciones: 9 = > . de permutaciones pares = 89 . de permutaciones impares = 89
9 enemos dos consonantes y tres vocales distintas! (e pide determinar cuantas palabras de cinco letras se pueden %ormar con la condición de que no entren dos consonantes seguidas ni tres vocales seguidas!
Sol"ci!n$ Llamemos a: las consonantes '8 y '9/ a las vocales &8 , &9 y &7 Los tipos de palabras que se pueden %ormar siguientes:
son las
Kue empiece por consonante: '8 &8 '9 &9 &7 '8 &8 &9 '9 &7 Kue empiece por vocal &8 '8 &9 '9 &7 &8 &9 '8 &7 '9 &8 '8 &9 &7 '9 En cada uno de las cinco agrupaciones anteriores, supongamos que dejamos %ijas las consonantes y permutamos las vocales! 'omo el n (i dejamos las vocales %ijas y permutamos las consonantes! 'omo el n El n 9> = ? D 9 = 89 'omo son cinco grupos distintos que siguen la misma ley de %ormación el total de palabras que pueden %ormarse con las dos consonantes y las tres vocales distintas, ser$ igual a: Q D 89 = ?
7 'on los dígitos 7, Q, R, O, se %orman todos los n
Sol"ci!n$ El n de elementos del conjunto es Q! El total de n
PQ = Q> = 89 "e estos 89 n = 9 9, son los n
'on los dígitos , , , 9, 7 se %orman todos los n
Sol"ci!n$ Para que los n D 7> P*7,8 > 111111 = 1111111 = 7> 8> 7> 8> (on por tanto los n
La solución ser$: O son los n
Q 'on los dígitos 8, 8, 8, 8, 8, 9, 7, 7, 7, , determinar el n
Sol"ci!n$ El n 88> P*na,b,c,d = 111111111 = P*88Q,8,7,9 = 111111111= a>b>c>d> Q>8>7>9> con la condición de que a A b A c A d = n
En e%ecto Q A 8 A 7 A 9 = 88 *esolviendo: 88> 88 D 8 D N D O D R D ? D Q> P*88Q,8,7,9 = 111111111=11111111111111111111111111111111 Q>8>7>9> Q>8>7>9> (impli%icando resultaría: P*88Q,8,7,9 = 88 D 8 D N D D R = 9R!R9
.ariaciones ordinarias (e llama 1ariaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n /m < n0 a los distintos grupos %ormados por n elementos de %orma que:
No entran todos los elementos! Sí importa el orden! No se repiten los elementos!
ambi#n podemos calcular las 1ariaciones mediante *actoriales :
Las 1ariaciones se denotan por
E-emlos$
(1 'alcular las 1ariaciones de ? elementos tomados de tres en tres!
+1 B'u$ntos n
No entran todos los elementos! "e Q dígitos entran sólo 7! Sí importa el orden! (on n
No se repiten los elementos! El enunciado nos pide que las ci%ras sean di%erentes!
81 B'u$ntos n
El primer bloque, de un n
n = 8
El segundo bloque, de dos n
n = 9
?1 - un concurso literario se han presentado 8 candid atos con sus novelas! El cuadro de honor lo %orman el ganador, el %inalista y un acc#sit!B'u$ntos cuadros de honor se pueden %o rmarC m = 8n = 7
No entran todos los elementos! "e 8 candidatos entran sólo 7!
Sí importa el orden! .o es lo mismo quedar ganador que %inalista!
No se repiten los elementos! (uponemos que cada candidato presenta una sola obra!
Los me-ores c"rsos =RATIS >er TODOS los 35?5 c"rsos =RATIS Particia en el @oro Destacamos Sí"enos en n"estro TBitter$ A"la@acilF GGF HHF ;uscar
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)tro modo de representar las
es
le podemos considerar como a las combinaciones que podemos hacer como m elementos tomados de n en n!
El n
leemos: 2 m sobre n3
Propiedades de los n
96 Cualquier número entero positivo m sobre 1 es igual a m
76 Cuando la suma de los números que representan el número de elementos por grupo es igual al número de elementos , podemos decir que los dos números combinatorios son iguales:
Lo comprobamos:
6 La suma de dos números combinatorios con el mismo número de elementos y los números que representan los elementos por grupo son consecutivos es otro número combinatorio en el que el número de elementos aumenta en una unidad y el número de elementos por grupo es el del mayor:
Lo comprobamos:
(acamos %actor com
3#4: Los n
Bson igualesC!
*aona! Respuesta$ Sí9 son i"ales or."e la s"ma de los elementos de
los dos n,meros combinatorios or r"o9 es i"al al n,mero de elementos#
3#4? Los n
Bson igualesC!
Respuesta$ No9 el 3J es i"al a m + el 4J es i"al 1#
3#4K B'u$nto vale la suma de los n
combinatorios
C
Respuesta$ 4 !
3#4 B(on iguales Respuesta$ Sí#
C
Probema ( iete caballos participan en una carrera. e cuántas maneras diferentes pueden ocupar los primeros lu$ares si no ocurren empates en el orden de lle$ada A: 02 ;: 54 C: 21 : 0 #: 21
(Hacer click sobre la imagen para agrandarla) Formulario de Análisis Combinatorio
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81B1B1 Teorema de binomio #l teorema del binomio es una f!rmula 9por esto se llama tambin f!rmula del binomio: con la cual se puede escribir directamente los trminos del desarrollo de una potencia entera y positiva de un binomio. (ara formarnos una idea de la estructura del desarrollo de
" (or multiplicaci!n directa podemos obtener
e acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que si$uen en su formaci!n" 1. i el eponente del binomio es n& 'ay n+1 trminos en el desarrollo. 2. (ara cada valor de n& el desarrollo de
empie+a con y termina con . #n cada trmino los eponentes de a y b suman n. 3. 8as potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada trmino al si$uiente. 8a baparece por primera ve+ en el se$undo trmino con eponente 1 que aumenta de 1 en 1. #l eponente de b siempre es una unidad menor que el n)mero de orden del trmino. 4. #l primer coeficiente es la unidad& el de cualquier otro trmino se obtiene multiplicando en el trmino anterior su coeficiente por el eponente de a y dividiendo ese producto entre el n)mero de trminos anteriores al que se trata de formar. Cierta simetr*a constituye una caracter*stica del desarrollo del binomio. #sta simetr*a se puede apreciar al disponer los coeficientes en el si$uiente orden que se conoce como Triángulo de Pascal & para valores enteros no ne$ativos de n en el desarrollo de
.
A estos n)meros se les llama coeficientes binomiales o bin!micos& dado que cada ren$l!n se observa que el primer y )ltimo elemento es 1 porque los coeficientes del primer y )ltimo trmino son i$uales a 1.
Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su i+quierda y derec'a en el ren$l!n superior. As*& para n6& el se$undo coeficiente 6 es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su i+quierda y derec'a en el ren$l!n superior- el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la suma de los elementos 5 y 1 del ren$l!n superior& y as* sucesivamente. #X#O(8/"
esarrollar por el teorema del binomio" /8=CY>" Como en este caso n=4& utili+aremos los coeficientes binomiales con las potencias correspondientes para cada trmino del desarrollo. #s decir&
efectuando las potencias& se tiene" efectuando los productos"
#X#O(8/"
esarrollar por el teorema del binomio" /8=CY>" (rocediendo de manera seme%ante a la anterior& se tiene" efectuando las potencias"
efectuando los productos"
81B1<1 5inomio por !n trinomio c!4o prod!cto es i*!a a !na s!ma o di#erencia de c!bos1 8a suma al$ebraica de dos trminos& por un trinomio que consta del cuadrado del primer trmino menos el producto de los dos& más el cuadrado del se$undo trmino& es i$ual a la suma de los cubos de los dos trminos al$ebraicos. e trata de demostrar que 7endremos"
.
#s decir
& tal como quer*amos demostrar.
#X#O(8/"
Comprobar que /8=CY>" #X#O(8/"
Comprobar que /8=CY>"
#X#O(8/"
Comprobar que /8=CY>"
8a diferencia de dos trminos& por un trinomio que consta del cuadrado del primer trmino más el producto de los dos& más el cuadrado del se$undo trmino& es i$ual a la diferencia de los cubos de los dos trminos al$ebraicos. e trata de demostrar que
.
7endremos" #s decir #X#O(8/"
Comprobar que /8=CY>" #X#O(8/"
Comprobar que
/8=CY>"
& tal como quer*amos demostrar.
#X#O(8/"
Comprobar que /8=CY>"
'()%*(% + )-%)
*%mo" % dduci$ l% -$mul% &u no" #$miti$? lv%$ % cu%l&ui$ #otnci% d x#onnt n%tu$%l n un ,inomio. E"to " l% o$m% d o,tn$ =%$% llo v%mo" como " v%n d"%$$oll%ndo l%" #otnci%" d (%@,)
,"$v%ndo lo" coicint" d c%d% #olinomio $"ult%nt vmo" &u "i'un "t% "cunci%
E"to " l t$i?n'ulo d B%$t%'li% &u " o,tin "c$i,indo n il%" lo" nm$o" com,in%to$io" d"d lo" d num$%do$ 1. "% &u c%d% uno d "o" nm$o" co$$"#ond %l v%lo$ d un nm$o com,in%to$io %"/
=odmo" o,"$v%$ &u c%d% il% m#i% y t$min% #o$ 1 &u lo" nm$o" &u %#%$cn o$m%n un% il% "imét$ic% o "% l #$im$o " i'u%l %l ltimo l "'undo i'u%l %l #nltimo tc. y c%d% nm$o " l% "um% d lo" do" &u tin ncim%. =o$ ot$% #%$t n cu%l&ui$ momnto #odmo" %ll%$ l v%lo$ d un nm$o com,in%to$io cu%l&ui$% $co$d%ndo &u " c%lcul%n #o$ l% "i'uint -$mul%
=o$ m#lo "i &ui$o c%lcul%$ =o$ ot$% #%$t o,"$v%ndo l%" #otnci%" d (a+b) d nuvo vmo" &u l%" #otnci%" d a m#i%n lv%d%" % n v% di"minuyndo uno % uno %"t% ll'%$ % c$o. A lo" x#onnt" d b l" ocu$$ lo cont$%$io. Con lo &u y% tnmo" #odmo" c%lcul%$ di$ct%mnt l% "i'uint #otnci% d (a+b) "u" coicint" "$?n l% il% &uint% dl t$i?n'ulo d B%$t%'li%.
: y% #odmo" "c$i,i$ l% -$mul% 'n$%l dl ll%m%do ,inomio d <ton
&u t%m,ién " #ud "c$i,i$ d o$m% %,$vi%d% %"/
Em#lo" 1) D"%$$oll%$ l% #otnci%
% il% 15 dl t$i?n'ulo d B%$t%'li% " 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 u "$?n lo" v%lo$" d lo" coicint". 2) C%lcul%$ "in d"%$$oll%$ l t$mino &u ocu#%$% l lu'%$ 50 n l d"%$$ollo d (%2@3F,) 100
El #$im$ té$mino tin d coicint
l "'undo
l
t$c$o tc. =o$ t%nto l té$mino d lu'%$ 50 "$? > 98913082887808032681188722800. >
En 'n$%l l té$mino d lu'%$ ;@1 n l d"%$$ollo d
"
E$cicio"
3) i l "'undo té$mino d un d"%$$ollo d l% #otnci% d un ,inomio " GCu?l " l té$mino #nltimoH G: cu?l " l ,inomio y "u #otnci%H El #nltimo té$mino "$? l d lu'%$ 12 #u" %,$? 13 té$mino" y v%l El ,inomio y "u #otnci% "$?
4) I%ll%$ l té$mino mdio dl d"%$$ollo d Como "t? lv%do % 14 %,$? 15 té$mino" #o$ t%nto l té$mino &u "t? n mdio " l d lu'%$ 8 tin 7 #o$ dl%nt y 7 #o$ dt$?".
*%mo" % d"%$$oll%$lo
5) E"c$i, l té$mino &u contin x 31 n l d"%$$ollo d El té$mino d lu'%$ ;@1 como mo" dico %nt" tin "t% o$m% *%mo" como &ud%n l%" #otnci%" x y d y Dividindo l%" #otnci%" d l% mi"m% ,%" $"t%ndo lo" x#onnt" tnmo" =o$ t%nto l x#onnt d x " 40J3;. Como &u$mo" o,tn$ x 31 ,%"t% i'u%l%$ 40J3;>31 d dond ;>3. t$%t% #o$ t%nto dl té$mino d lu'%$ 4. Ao$% "c$i,imo" l té$mino com#lto.
