monografia analisis combinatorio

CAPÍTULO Í 1.1. ANA ANA LÍSÍS COMBÍNATORÍO Es la rama de la matemaá matemaá tica que estudia ls di!erss arre"ls arre"ls  selecci#es que $dems %rmar c# ls eleme#ts de u# c#&u#t dad' ls cuales #s $ermite resl!er muc(s $r)lemas $raá $raá ctics. Pr e&em$l $dems a!eri"uar cua#ts #uámers di%ere#tes de teleá%#s' $lacas  lter*á as as se $uede %rmar utili+a#d u# c#&u#t dad de letra , d*á"its. "its. Tam)ieá# $dems c#siderar el a#aálisis cm)i#atri cm el c#&u#t de $rc $rced edim imie ie#t #ts s , teá c #ica #icass que que #s #s $erm $ermit itee det determi ermi#a #arr el #uá #uá mer mer de su)c#&u#ts que $uede %rmarse a $artir de u# c#&u#t dad' de acuerd a ciertas i#strucci#es. Estas de)e# i#dicar clarame#te cám se di%ere#cia# ds su)c#&u#ts' e#tre si de acuerd a-

1./. 1./.



Natu Na turrale+ ale+aa de ls ls elem eleme# e#tts



Orde Orde# # de ls elem eleme# e#tts

PRÍNC RÍNCÍP ÍPÍO ÍO 0UN 0UNA AME MENT NTAL AL Al $ri# $ri#ci ci$i $i de a#a a#aá lisi lisiss cm) cm)i# i#at atr ri i'' tam) tam)ie ieáá # se le llam llamaa Pri# Pri#ci ci$i $i Multi$licati!. Si u# e!e# e!e#t t'' (ec( (ec(  suces suces se reali+ eali+aa de 2#3 2#3 dist disti# i#ta tass , tr tr e!e#t e!e#t' ' i#de$e#die#te del a#terir' se reali+a de 2m3 %rmas disti#tas e#t#ces' ls ds e!e#ts se reali+a# c#&u#tame#te de' 2#4m3 %rmas disti#tas. Ejemplo:

Si e#tre ds ciudades A , B e5iste u#a l*á #ea #ea de )uses que las u#e , que dis$#e de 16 maá maá qui#as e# us. 7e cua#tas ma#eras ma#eras u#a $ers#a $uede ir de A a B u !l!er !l!er e# u# )us disti#t8 Solución:

Cm ir de A a B se $uede de 16 ma#eras disti#tas , !l!er de B a A se $uede (ace (acerr de 9 %rm %rmas as dist disti# i#ta tass e#t e#t#c #ces es'' reali+a eali+arr el !ia& !ia&ee cm$ cm$le let t'' e# las las c#dici#es $la#teadas' se reali+a de 16 5 9 : 96 ma#eras. 1.;. 1.;.

PRÍN PRÍNCÍ CÍPÍ PÍOS OS 0UN 0UN AM AMEN ENT TAL ALES ES EL EL CON CONTE TEO O 1.;. 1.;.1. 1. PRÍN PRÍNCÍP CÍPÍO ÍO E E AÍC AÍCÍO ÍO N

Pág.| 5

Si u# e!e#t E $uede currir e# m %rmas , u# se"u#d e!e#t 0 $uede currir e# n %rmas , am)s e!e#ts # $uede# currir e# %rma simultaá#ea e#t#ces E  0 $uede# currir e# m < n %rmas. Ejemplo 01:

E5iste# ; $r%esres , / $r%esras que im$arte# la materia de caálcul. U# estudia#te $uede esc"er u# $r%esr de ; < / : = %rmas. Ejemplo 02:

)> E# u#a )i)liteca (a, ; li)rs de #!elas de misteri di%ere#tes' = #!elas de rma#ce , ? #!elas de a!e#tura di%ere#tes. E5iste# ; < =
El me#uá de u# restaura#te %rece ; $lats calie#tes , ? $stres. 7e cuaá#tas ma#eras se $uede ele"ir u# almuer+ de 1 $lat calie#te , 1 $stre8 Se $uede (acer u#a lista de tdas las $si)ilidades' $er es muc( maás cámd a$licar el $ri#ci$i de la multi$licaciá#- a, ; ma#eras de ele"ir el $lat calie#te , $ara cada u#a de ellas (a, ? ma#eras de ele"ir el $stre. Pr l ta#t' (a, ; 4 ? :1/ cmidas $si)les. 1.?.

PRÍNCÍPALES TÍPOS E ARUPACÍONES 1.?.1. PERMUTACÍONES Se de#mi#a# $ermutaci#es de h eleme#ts' ls di%ere#tes "ru$s que se $uede# c#struir' tmaá#dls tds a la !e+. Las $ermutaci#es im$lica# orden. Cada c#&u#t rde#ad de h  eleme#ts de#mi#ara u#a $ermutaciá # de ls eleme#ts di%ere#tes. La %á rmula es-

P# :# á#dePág.| 6

P# crres$#de al #uámer de $ermutaci#es $si)les Ejemplo 01

etermi#e el #uámer de $ermutaci#es $si)les de las letras A' B' C' .

P? : ? :? 4 ; 4 / 4 1 : /? CASO 61- PERMUTACÍO N SÍMPLE U ORÍNARÍA Se llama $ermutaciá# sim$le de # eleme#ts tmads de D e# D D F #> a ls disti#ts "ru$s %rmads $r k eleme#ts de %rma queo

Ls k eleme#ts que %rma# el "ru$ s# disti#ts # se re$ite#>

o

s "ru$s s# disti#ts si se di%ere#cia# e# al"uá# eleme#t  e# el rde# e# que estaá# clcads i#Glu,e el rde#>.

o

N se utili+a# tds ls eleme#ts.

Al ele"ir u# $rimer eleme#t' l $dems (acer de n %rmas. Huitams el eleme#t ele"id , ele"ims tr de e#tre ls n1 que queda#. Est $draá (acerse de n1 %rmas. Huitams tam)ieá# este eleme#t , #s quedams c# n/' de e#tre ls que ele"ims el tercer. Est l $drems (acer de n/

%rmas. Se"uá# la re"la del $rduct' las ma#eras de esc"er D eleme#ts de e#tre u# ttal de n se"uá# u# determi#ad rde#' seraá i"ual al $rduct den 4 n I1> 4 n I />J...J n I k <1>

Ntaciá#. P n,k  ' #P k  , P n' k  ) de#ta# el #uámer de $ermutaci#es de n eleme#ts disti#ts tmads de k e# k . Para lle"ar a u#a !ersiá # sim$liGicada se $era as*á-

 ( n− ( k −1 ) )∗( n −k ) ( n −( k +1 ) ) … ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) n! = = P ( n , k ) ( n −k ) ! ( n− k ) ( n− ( k + 1 ) ) … ( 3 ) ( 2 ) ( 1 )

n ( n− 1 ) ( n −2 ) ( n−3 ) …

P#'D>:

n!

( n−k ) !

Ejemplo 01: P   16'?> s# las $ermutaci#es de 16 eleme#ts a"ru$aá#dls e# su)"ru$s

de ? eleme#ts10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗¿

=5,040

6∗5∗ 4∗3∗2∗1 10 ! =¿  P ( 10,4 )= ( 10− 4 ) !

Pág.| 7

Ejemplo 02:

7Cuaá#tas )a#deras di%ere#tes' de tres %ra#&as (ri+#tales de i"ual a#c( , de clres disti#ts' $uede# c#%ecci#arse a $artir de siete clres di%ere#tes8  P (7,3 ) =

7! 4!

=210

Ejemplo 03:

7Cuaá#ts #uámers de tres ci%ras disti#tas se $uede# %rmar c# las #ue!e ci%ras Si"#iGicati!as del sistema decimal8 Al tratarse de #uámers el rde# im$rta , ademaás #s dice Kci%ras disti#tasK lue" # $uede# re$etirse P9,3= 9∗ 8∗7 =¿

=6?

Pr ta#t' se $uede# %rmar =6? #uá mers. Ejemplo 04:

U#a madre tie#e ; (i&s 7de cuaá#tas ma#eras disti#tas' #m)raá#dls u# $r u#' $uede llamarls a ce#ar8 Sluciá#- P; : ; :  Ejemplo 05:

C# las letras de la $ala)ra ÍSCO 7Cuaá#tas $ala)ras disti#tas se $uede# %rmar8 E!ide#teme#te' al tratarse de $ala)ras el rde# im$rta.  ademaás n : m' es decir te#ems que %rmar $ala)ras de ci#c letras c# ci#c eleme#ts ' Í' S' C' O que # estaá # re$etids. Sluciá# P= : = : = 4 ? 4 ; 4 / 4 1 : 1/6 CASO 6/- PERMUTACÍO N CON REPETÍCÍO N Este cas es a#aál" al Cas 61' si# maás mdiGicaciá# que # quitar e# cada $as ls eleme#ts ,a esc"ids. Ra+#a#d i"ual se lle"a a que el #uá mer de $si)les elecci#es es# 4 # 4 # 4  4 # : #D Se llama# Permutaci#es c# re$eticiá# de # eleme#ts tmads de D e# D a ls disti#ts "ru$s %rmads $r D eleme#ts de ma#era queo

Ls eleme#ts que %rma# ls "ru$s $uede# estar re$etids. Pág.| 8

o

s "ru$s s# disti#ts si se di%ere#cia# e# al"uá# eleme#t  e# el rde# e# que eásts estaá# clcads i#Glu,e el rde#>

Ntaciá # PR#'D de#ta el #uá mer de $ermutaci#es c# re$eticiá # de n eleme#ts disti#ts de k  e# k .  PR n ,k  =n

k 

Ejemplo 01:

7Cuaá#ts #uá mers de tres ci%ras se $uede# %rmar c# las #ue!e ci%ras si"#iGicati!as del sistema decimal8 Al tratarse de #uá mers el rde# im$rta , ademaás # dice #ada s)re Kci%ras isti#tasK' lue" s*á $uede# re$etirse. PR9'; : 9; : /9 Ejemplo 02:

7Cuaá#tas $ala)ras disti#tas de 16 letras c#  si# se#tid> se $uede# escri)ir utili+a#d sl las letras a')8 Al tratarse de $ala)ras el rde# im$rta , ademaás cm s# $ala)ras de 16 letras , sl te#ems ds $ara %rmarlas' de)e# re$etirse.  PR10,2 =2

10

=1024

CASO ;- POEMOS REPETÍR  EÍSTEN ELEMENTOS REPETÍOS S# $ermutaci#es c# re$eticiá# de n eleme#ts' # tds disti#ts. Tdas las a"ru$aci#es de n eleme#ts' %rmadas $r aquells' estaá# dis$uestas li#ealme#te , si# que #i#"u# (a"a %alta. El #uámer de $ermutaci#es c# re$eticiá# que $uede# reali+arse c# # eleme#ts' d#de e5iste# Q1' Q/' Q;'... Qm eleme#ts i"uales e#tre s*á de u#a misma clase> , ls rests disti#ts e#tre s*á , disti#ts tam)ieá# a ls a#terires es P

n α 1 ,α 2 ,α 3 … ,α m=

n! α 1 !∗α 2∗… ∗α m !

Ejemplo 01

Calcular las $ermutaci#es de 16 eleme#ts' e# ls que u# de ells se re$ite e# / casi#es , tr se re$ite e# ; casi#esPág.| 9

10 !

10

 P2,3=

2! x3!

=302,400

Ejemplo 02

7Cuaá#ts #uá mers de  ci%ras se $uede# %rmar c# ls d*á"its 1'1'1'/'/ , ;8 6! 3 ! x 2!

=60

1.?./. COMBÍNACÍONES CASO 61- EL OREN NO ÍMPORTA PERO NO SE PUEEN REPETÍR ELEMENTOS. Tmams las

n∗( n−1 ) ∗( n− 2 ) … ( n− k + 1 )

  $si)ilidades , las $artims e#

clases' de %rma que e# cada clase esteá# aquellas elecci#es que sea# la misma sal! el rde#. Para D eleme#ts' la %rma de rde#arls seraá D ,' as*á' e# cada ti$ se tie#e# e5actame#te D cass. Pr ta#t' el #uá mer de ti$s' es decir' el #uá mer de $si)ilidades de esc"er D eleme#ts si# im$rtar el rde# , si# re$etir es n∗( n − 1 ) … ( n −k + 1 ) k!

=

n! k ! ( n−k ) !

Este #uá mer suele c#cerse cm el #uá mer de cm)i#aci#es de # eleme#ts tmadas de D e# D , se de#ta $r-

()

C n , k = n k 

=

n! k ! ( n −k ) !

Se llama cm)i#aci#es de # eleme#ts tmads de D e# D ( k ≤ n )  a tdas las clases $si)les que $uede# (acerse c# la # eleme#ts de %rma que 

Cada a"ru$aciá # estaá %rmada $r # eleme#ts disti#ts e#tre si s a"ru$aci#es disti#tas se di%ere#cia# al me#s e# u# eleme#t' si# te#er e# cue#ta el rde#.

PROPÍEAES E LOS NU MEROS COMBÍNATORÍOS

-

(( ) ( )= ) m 0

=

m m

1

Pág.| 10

-

()( )

-

( )()( )

m n

=

m

n −1

m m−n

+

m n

=

m +1 n

Ejemplo 01

U# alum# decide re#dir tres de ls ci#c e5aáme#es Gi#ales 7e cuaá#tas ma#eras disti#tas $uede ele"ir esas tres $rue)as8 C 5,3 =

5! 3 ! x 2!

=10

Ejemplo 02

7Cuaá#tas cm)i#aci#es de  acierts e5iste# e# la lter*áa $rimiti!a8

( )

C 49,6= 49 6

=

49 ! 6 ! ( 49 −6 ) !

=

13983816

Ejemplo 03

7Cuaá#ts "ru$s de = alum#s $uede# %rmarse c# ls trei#ta alum#s de u#a clase8 U# "ru$ es disti#t de tr si se di%ere#cia de tr $r l me#s e# u# alum#> N im$rta el rde# s# "ru$s de alum#s>. N $uede (a)er ds alum#s i"uales e# u# "ru$ e!ide#teme#te' lue" si# re$eticiá #

( )

C 30,5 = 30 5

=

30 ! 5 ! ( 30−5 ) !

=

30∗29∗28∗27∗26∗25 ! 5 !∗25 !

=142506

CASO 6/- EL OREN NO ÍMPORTA  SÍ SE PUEEN REPETÍR ELEMENTOS. COMBÍNACÍONES CON REPETÍCÍON> U#a cm)i#aciá# c# re$eticiá# de tama# k es u#a selecciá# # rde#ada de k )&ets ele"ids e#tre n ti$s di%ere#tes de )&ets' (a)ie#d u#a ca#tidad

ilimitada de cada ti$. U#a cm)i#aciá# c# re$eticiá# $uede descri)irse dicie#d que ele"ims 51 )&ets de ti$ 1' 5 / )&ets de ti$ /'...' 5 # )&ets de Pág.| 11

ti$ # $ara al"u#a #$la 5 1' 5 /'...' 5 #>. Cada u# de ls e#ters 51' 5 /'...' 5# es # #e"ati!

 x 1+ x 2 + … x n=k 

As*á $ues' las cm)i#aci#es c# re$eticiá # de tama#  k se crres$#de# c# las sluci#es e#teras # #e"ati!as de la ecuaciá # x 1+ x 2 + … x n=k 

El #uá mer de cm)i#aci#es de tama#  k c# re$eticiá# ilimitada ele"idas e#tre # ti$s di%ere#tes de )&ets es R

C n , k =

(

)

n −1+ k  k 

Cada cm)i#aciá# c# re$eticiá# se re$rese#ta $r u#a $ala)ra e# el al%a)et 6'1 del si"uie#te md- Ls 6s s# las marcas que se$ara# ls )&ets de cada ti$ , ls 1s i#dica# ls )&ets que (a, de cada u# de ls ti$s e#tre ds marcas c#secuti!as. Si (a, # ti$s de )&ets se #ecesita# #1 marcas $ara se$arar ls ti$s ,' $r ta#t' las $ala)ras de 6s , 1s tie#e# l#"itud n 1 ele"ids e#tre u# c#&u#t de #1. Se llama cm)i#aci#es c# re$eticiá# de # eleme#ts tmads de D e# D' a ls disti#ts "ru$s %rmads $r D eleme#ts de ma#era queLs eleme#ts que %rma# cada "ru$ $uede# estar re$etids. s a"ru$aci#es disti#tas se di%ere#cia# al me#s e# u# eleme#t' si# te#er e# cue#ta el rde#. Ejemplo 01  R

C 10,4

 S# las cm)i#aci#es de 16 eleme#ts c# re$eticiá#' a"ru$aá#dls

e# su)"ru$s de ?' e# ls que /' ;  ls ? eleme#ts $dr*áa# estar re$etids R

C 10,4 =

13 ! 4! x 9!

=

13∗12∗11∗10∗9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1

( 4∗3∗2∗1 ) ( 9∗8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 )

=715

Ejemplo 02

E# u#a c#Giter*áa (a, ci#c ti$s di%ere#tes de $asteles. 7e cuaá#tas %rmas se $uede# ele"ir cuatr $asteles8 N im$rta el rde# s# $asteles>. Puede (a)er ds  maás $asteles del mism ti$ e# u# "ru$' lue" c# re$eticiá#. Pág.| 12

8!

 R

C 5,4 =

4 ! ( 5−1 ) !

=

8∗7∗6∗5∗4∗3∗2∗1 4 !∗4 !

=70

1.?.;. VARÍACÍOW N Se llama !ariaci#es rdi#arias de m eleme#ts tmads de # e# # m X #> a ls disti#ts "ru$s %rmads $r # eleme#ts de %rma que

N e#tra# tds ls eleme#ts.



S*á im$rta el rde#.



N se re$ite# ls eleme#ts. V m= m ( m−1 ) ( m−2 ) ( m−3 ) … ( m −n + 1 ) n

Tam)ieá # $dems calcular las !ariaci#es media#te %actrialesm!

n

V m=

Las !ariaci#es se de#ta# $r-

( m−n ) !

n

V m o V m, n

CASO 61- VARÍACÍOW NES CON REPETÍCÍON Se llama !ariaci#es c# re$eticiá # de m eleme#ts tmads de n e# # a ls disti#ts "ru$s %rmads $r # eleme#ts de ma#era queN e#tra# tds ls eleme#ts si m > n. S*á $uede# e#trar tds ls eleme#ts si m≤n



S*á im$rta el rde#.



S*á se re$ite# ls eleme#ts n

n

V m= m

Ejemplo 01

Calcular ls #uá mers $si)les %rmas e# que se $uede# rde#ar ls #uá mers 1' / , ;. a,  $si)ilidades a"ru$aci#es- 1' /' ;>' 1' ;' />' /' 1' ;>' /' ;' 1>' ;' 1' />' ;' /' 1> Ejemplo 02

Pág.| 13

10

V 4

S# las !ariaci#es de 16 eleme#ts c# re$eticiá#' a"ru$aá#dls e#

su)"ru$s de ? eleme#ts10

V 4

=104 =10000

Pág.| 14