UNIDAD 3: EL CASO ARMÓNICO. LA LÍNEA SIN PÉRDIDAS. (1) ANÁLISIS GENERAL.
Las líneas de transmisión son estructuras de guiado de energía cuyas dimensiones, son pequeñas frente a la longitud de onda de los campos electromagnéticos. Es posible considerar a la línea como una sucesión de cuadripolos de tamaño infinitesimal en cascada. Para cada cuadripolo entonces se puede aplicar la apro aproxi xima maci ción ón cuas cuasii-es est tti tica ca.. Esta Esta desc descri ripc pció iónn circ circui uita tall se cono conoce ce como como de parmetros distribuidos. distribuidos. !na línea sin perdidas es aquella en la que su resistencia por unidad de longitud y conduc con ductan tanci ciaa por unida unidadd de longit longitud ud son cero, cero, es decir decir
implic implicaa que en la con consta stante nte de propag propagac ación ión
lo que
donde don de alfa alfa que es es la
consta con stante nte de atenua atenuació ciónn es cero, cero, de"ando de"ando solam solament entee la con consta stante nte de fase fase beta. beta. Entonces Entonces la constante constante de propagació propagaciónn se #ace imaginari imaginariaa pura. pura.
siendo siendo el
$alor de
En una línea línea sin perdidas perdidas desaparec desaparecen en los elementos elementos disipati$ disipati$os os
tanto tanto se #ace #ace cero cero la con consta stante nte de aten atenua uació ciónn
y por lo
lo que signif signific icaa que que no no #ay #ay
atenuación a lo largo de la línea.
%tro elemento importante en una línea sin pérdidas es su impedancia, en este tipo de línea la impedancia característica es siempre real, y se puede calcular de la siguiente forma&
'#ora como
(
La siguiente imagen muestra el circuito equi$alente para el anlisis de una línea de transmisión con sus parmetros distribuidos
)EL%*+' E 'E, L%/0+1! E %/' E +2PE'/*+'& )EL%*+' E 'E& La $elocidad de fase de una onda que $ia"e por una línea de transmisión es la tasa a la cual la fase de la misma se propaga en el espacio. 3sta es la $elocidad a la cual la
fase de cualquier componente en frecuencia de una onda se propaga 4que puede ser diferente para cada frecuencia5. La $elocidad de fase est dada en términos de la $elocidad angular de la onda 6 y la constante de fase .
L%/0+1! E %/'& La línea tiene una longitud total física medida en metros, y una longitud total eléctrica medida en longitudes de onda , por definición la longitud de onda, es la distancia entre puntos sucesi$os de la onda tienen la misma fase eléctrica. La siguiente figura muestra una onda que se propaga del generador #acia la carga
En un medio de propagación sin pérdidas se puede calcular como&
+2PE'/*+'& e define como relación entre tensión y corriente en cualquier punto de la línea. La siguiente ecuación nos da la impedancia en cualquier punto de la línea, es decir la impedancia de entrada de una línea en función de su impedancia característica
, la
constante de propagación y terminada en una impedancia
*oeficiente de reflexión de tensión& i la línea es ideal 4sin pérdidas5, la señal incidente llegar al final de la línea sin atenuación y de modo idéntico, la señal refle"ada regresar al inicio de la línea sin atenuación. El coeficiente de reflexión determina la relación entre la señal incidente y la señal refle"ada.
)%L1'7E 8 *%99+E/1E E/ !/*+%/ EL *%E+*+E/1E E 9ELE:+%& *omo la tensión y la corriente en un punto de la línea son, en general, la superposición de una onda incidente y otra refle"ada, #abr puntos de la línea en los que esta suma ser constructi$a 4mximos5 y otros en los que ser destructi$a 4mínimos5, dando lugar a una onda estacionaria. e definen las ecuaciones para el $olta"e y la corriente en la línea en función de los coeficientes de reflexión de $olta"e& > + Γ V e −;γ z < V 4 z <5 = e − ;γ l Z = + Z g > e − Γ Γ V V > − Γ V e − ;γ z < V g z − γ I 4 z <5 = e − ;γ l Z = + Z g > − Γ V Γ V e Z =V g
z −γ
L
g
L
L
g
L
%/' E1'*+%/'9+'. 9EL'*+%/ E %/' E1'*+%/'9+'& Las ondas estacionarias son aquellas ondas en las cuales, ciertos puntos de la onda llamados nodos, esta se forma cuando dos ondas de igual amplitud, longitud de onda y $elocidad a$an?an en sentido opuesto a tra$és de un medio. La relación de onda estacionario o 9%E se define como el cociente entre el $alor mximo del módulo del $olta"e y el $alor mínimo del mismo modulo.
1ambién puede definirse en función del módulo de las corrientes mximas y mínimas
*%E+*+E/1E E 19'/2++%/& El coeficiente de transmisión en un punto cualquier de la línea, se define como el cociente entre la tensión total existente en dic#o punto y la tensión incidente.
*L'++*'*+%/ E L' *'90' E/ !/' L+/E' E 19'/2++%/&
e anali?aran los casos ms importantes como lo son las líneas en cortocircuito y circuito abierto& L+/E' E/ *%91%*+9*!+1%&
En esta caso la impedancia de carga
, la impedancia de entrada en la línea es una
reactancia pura la cual puede ser inducti$a o capaciti$a, entonces&
'simismo el coeficiente de reflexión y la ra?ón de onda estacionaria&
L+/E' E/ *+9*!+1% '@+E91%&
En esta caso la impedancia de carga
, entonces&
'simismo el coeficiente de reflexión y la ra?ón de onda estacionaria&
*%/+E9'*+%/E 9EPE*1% ' L' P%1E/*+' > La definición de potencia en cualquier punto de la línea es P = 9e{VI A } , de modo ; que la potencia transmitida a la carga ser& P 4 z <= =5 =
> 9e{V ( z <= = ) I ( z <= = ) A } ;
4>B.;C5
i empleamos las ecuaciones de $olta"e e intensidad en función de los coeficientes de reflexión& * (1 + Γ V )( 1 − Γ V ) P ( z ´ = 0 ) = Re{V ( z ´ = 0 ) I ( z ´ = 0 ) } = Re 2 2 2 2( Z 0 + Z g ) 1 − Γ V Γ V e− 2iβ l 1
2
*
Z 0V g
L
g
E/E90+' ELE*19+*' 8 2'0/E1+*'&
L
L
La energia total en cualquier longitud de la linea multiplo de
es constante,
produciendose solamente intercambia de energia entre los campos electricos y maganeticos. La energia magnetica en el instante en que la corriente es maxima y la tension cero a lo largo de la linea $iene dada por&
'simismo la energia electrica en el instante en que el $olta"e es maximo y la corriente cero a lo largo de la linea, lo cual ocurre un cuarto de periodo despues, $iene dada por&
'#ora si se sustituye el $alor de la impedancia caracteristica&
Entonces la energia electrica $endra dada por&
P%1E/*+' 8 E''P1'*+%/& En una linea de transmisión, la mxima transferencia de potencia ocurrir cuando
y se denomina también potencia mxima disponible del generador y estaremos en la condición de adaptación.
En un caso optimo
y se tendr mxima transferencia de potencia. En
general, ninguna carga, fuente o generador tiene exactamente una impedancia existir desadaptación. Existen dos posible casos&
, por tanto
