UNIDAD CURRICULAR: INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES UNIDAD II: PROGRAMACIÓN LINEAL
MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL: Los modelos de Programación Lineal son ampliamente utilizados como herramienta de apoyo a la toma de decisiones tanto por sus propiedades que facilitan su resolución, como así también su pertinencia a distintos problemas de naturaleza real. Ahora bien, para este tema es importante tener claro los siguientes términos:
Optimizar: Buscar la mejor manera de realizar una actividad o un proceso para obtener los mejores resultados. Maximizar: Buscar el valor máximo de una magnitud o de una función. Minimizar: Reducir el volumen de algo. Quitar la importancia a una cosa. Condición de no negatividad : en la programación lineal las variables de decisión toman resultado de 0 a cualquier valor positivo. Cualquier modelo de programación programación lineal se compone de tres elementos básicos: básicos:
1) Variables de Decisión: conjunto de variables cuya magnitud deseamos determinar resolviendo el modelo de programación. Se denotan por: x 1, x2, x, y. 2) Función Objetivo: es la función matemática que relaciona las variables de decisión ya resueltas y nos determina el resultado óptimo del modelo; ya sea maximizar (beneficios) o minimizar (costos). Se denota por Z. 3) Restricciones: son las condiciones que definen los recursos del modelo (conjunto de desigualdades). Nota: Por lo general si se trata de maximización las restricciones se colocan como desigualdades con menor o igual que ( ≤), ahora bien, si lo que se quiere es minimizar esas restricciones se colocan como desigualdades mayor o igual que ( ≥).
EJEMPLO DE APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL: 1) Considere que usted dispone de un capital de 21.000 Bs para invertir en la bolsa de valores. Un amigo le recomienda 2 acciones que en el último tiempo han estado al alza: Acción A y Acción B. La Acción A tiene una rentabilidad del 10% anual y la Acción B del 8% anual. Su amigo le aconseja tener una cartera equilibrada y diversa y por tanto le recomienda invertir un máximo de 13.000 Bs en la Acción A y como mínimo 6.000 Bs en la Acción B. Además la inversión en la Acción A debe ser menor o igual que el doble de la inversión destinada a la
Acción B. Usted quiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita obtener la política de inversión que permita obtener la máxima rentabilidad (interés) anual.
SOLUCIÓN: Variables de Decisión: x = Bs invertidos en Acción A. y = Bs invertidos en Acción B. Función Objetivo: Se busca maximizar la rentabilidad anual que resulta de invertir en los 2 tipos de acciones. Maximizar 0.1x + 0.08y Restricciones: Considera las recomendaciones de su amigo. x + y ≤ 21.000 ≤ 13.000 x y ≥ 6.000 x - 2y ≤ 0 x≥0, y≥0
Se puede invertir como máximo 21.000 Bs en total Invertir como máximo 13.000 Bs en Acción A Invertir como mínimo 6.000 Bs en Acción B Inversión en A debe ser menor o igual que el doble de la inversión en B No Negatividad
Ejercicios : Definir los elementos para los siguientes problemas. 2) Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72 horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución es el mismo para las mesas que para las sillas: 5bs por unidad. El fabricante prometió construir por lo menos dos mesas. 3) En una confitería se elaboran tartas de NATA y de MANZANA. Sus precios son: nata, 16 bs; manzana, 12 bs. Cada tarta de nata requiere medio kilo de azúcar y 8 huevos; y una de manzana, 1 kg de azúcar y 6 huevos. En la despensa quedan 10 kg de azúcar y 120 huevos. ¿Cuántas tartas de cada tipo se deben hacer si pretendemos que los ingresos por su venta sean máximos?
SOLUCIÓN GRÁFICA DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL Un modelo de programación lineal en 2 variables resulta ser la forma más sencilla que puede adoptar un modelo de optimización y generalmente son utilizados para introducir los conceptos básicos de la investigación de operaciones y particularmente la programación lineal. Básicamente las propiedades de un modelo lineal en 2 variables son extensibles a problemas lineales con un número mayor de variables y en este sentido la resolución gráfica resulta de gran ayuda para entender estos conceptos.
MÉTODO GRÁFICO
El método gráfico se emplea para resolver problemas que presentan sólo 2 variables de decisión. El procedimiento consiste en trazar las ecuaciones de las restricciones en un eje de coordenadas X 1, X2 para tratar de identificar el área de soluciones factibles (soluciones que cumplen con todas las restricciones). Se sigue los siguientes pasos: 1) Se formulan las variables, función objetivo y las restricciones de manera matemática. 2) Se trazan todas las restricciones formuladas en el plano cartesiano (una recta por cada restricción). 3) Se define el espacio de solución o zona factible, el cual está formado por la región de puntos que cumplen con todas las restricciones. 4) Cada puntos (pares ordenados) se sustituyen en la función objetivo (Z); el valor más grande de Z es la solución óptima si se quiere maximizar, en caso contrario, si se quiere minimizar la solución óptima es el valor más pequeño de Z.
EJEMPLO: Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300mil Bs. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 mil Bs. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60.
SOLUCIÓN: Objetivo: Maximizar el ingreso total. Variable de Decisión : Cantidad de auditorías (X 1). Cantidad de liquidaciones (X 2). Restricciones: Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisión Número máximo de liquidaciones. Maximizar: Sujeto a:
La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.
MÉTODO SIMPLEX El Método Simplex es un método analítico de solución de problemas de programación lineal capaz de resolver modelos más complejos que los resueltos mediante el método gráfico sin restricción en el número de variables. La razón matemática de esta mejora radica en que el método consiste en caminar del vértice de un poliedro a un vértice vecino de manera que aumente o disminuya (según el contexto de la función objetivo, sea maximizar o minimizar), dado que el número de vértices que presenta un poliedro solución es finito siempre se hallará solución. El Método Simplex trabaja basándose en ecuaciones y las restricciones iniciales que se modelan mediante programación lineal no lo son, para ello hay que convertir estas inecuaciones en ecuaciones utilizando unas variables denominadas de holgura y exceso relacionadas con el recurso al cual hace referencia la restricción y que en el tabulado final
representa, estas variables adquieren un gran valor en el análisis de sensibilidad y juegan un rol fundamental en la creación de la matriz identidad base del Simplex. Estas variables suelen estar representadas por la letra "S" , se suman s i la restricción es de signo "≤ " y se restan si la restricción es de signo " ≥".
EJEMPLO:
SE CONSIDERAN LAS SIGUIENTES FASES PARA EL METODO SIMPLEX:
1) Convertir las desigualdades en igualdades: Se introduce una variable de holgura por cada
una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando un sistema de ecuaciones lineales. 2) Igualar la función objetivo a cero 3) Escribir la tabla inicial simplex 4) Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base. A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor. B. Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.
Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos. La columna de la variable que entra en la base se llama column a pi vote . Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir. Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base. C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional. 5) Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila por el pivote operacional, que es el que hay que convertir en 1. Luego mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes términos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z . Si en los elementos de la última fila hay uno negativo, significa que no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso. Si todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos llegado a la solución óptima. La solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solución. En la misma columna se puede observar el vértice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisión que han entrado en la base.
GUÍA DE EJERCICIOS 1) Para cada una de las siguientes restricciones, dibuje una gráfica individual para mostrar las soluciones no negativas que las satisfacen. a) x1 + 3 x2 ≤ 6 b) 4 x1 + 3 x2 ≤ 12 c) 4 x1 + x2 ≤ 8 d)
Ahora combine estas restricciones en una sola gráfica para mostrar la región factible del conjunto completo de restricciones funcionales más las de no negatividad.
2) Utilice el método gráfico para resolver el problema: Maximizar Z= 2 x1 + x2, sujeta a
≤ 10 3 x1 + x2 ≤ 44 x1 + x2 ≤ 18 2 x1 + 5 x2 ≤ 60 x1≥ 0, x2 ≥ 0 x2
3) Utilice el método gráfico para resolver el problema: Maximizar Z = 10 x1 + 20 x2, sujeta a 5 x1 + 3 x2 ≤ 45 x1 + x2 ≤ 12 x1 + 2 x2 ≤ 15 x1
≥ 0, x2 ≥ 0.
4) Considere el siguiente modelo: Minimizar Z =40 x1 + 50 x2, sujeta a 2 x1 + x2 ≥ 20 x1 + x2 ≥ 12 2 x1 + 3 x2 ≥ 30 x1
≥0, x2 ≥ 0.
5) La empresa Whitt Window tiene sólo tres empleados que hacen dos tipos de ventanas a mano: con marco de madera y con marco de aluminio. La ganancia es de $180 por cada ventana con marco de madera y de $90 por cada una con marco de aluminio. Tom hace marcos de madera y puede terminar 6 al día. Linda hace 4 marcos de aluminio por día. Bob forma y corta el vidrio y puede hacer 48 pies cuadrados de vidrio por día. Cada ventana con marco de madera emplea 6 pies cuadrados de vidrio y cada una de aluminio, 8 pies cuadrados. La compañía desea determinar cuántas ventanas de cada tipo debe producir al día para maximizar la ganancia total. 6) La carne con papas es el plato favorito de Luis. Por eso decidió hacer una dieta continua de sólo estos dos alimentos (más algunos líquidos y suplementos de vitaminas) en todas sus comidas. Luis sabe que ésa no es la dieta más sana y quiere asegurarse de que toma las cantidades adecuadas de los dos alimentos para satisfacer los requerimientos nutricionales. Él ha obtenido la información nutricional y de costo que se muestra en el siguiente cuadro. Luis quiere determinar el número de porciones diarias (pueden ser fraccionales) de res y papas que cumplirían con estos requerimientos a un costo mínimo. Formule un modelo de programación lineal.
Gramos de ingrediente por porción Ingrediente Carbohidratos Proteínas Grasa Costo por porción
Res 5 20 15 $4
Papas 15 5 2 $2
Requerimiento diario (gramos) 50 40 60
7) Se desean fabricar dos artículos A y B cuyas cantidades respectivas hay que determinar, con el propósito de conseguir el máximo beneficio, sabiendo que cada unidad vendida de A proporciona un margen de beneficio de 3 y a cada unidad de B le corresponde un margen de
5. Se sabe, asimismo, que por cada unidad fabricada de A se emplean dos unidades del factor F1 y dos del factor F2, mientras que en cada unidad fabricada de B se emplean una unidad del factor F1 y cuatro unidades del factor F2, no pudiendo disponer más que de un máximo de 20 unidades de F1 y 44 unidades de F2, por unidad de tiempo. 8) Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 Bs y el de la chaqueta en 40 Bs. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? 9) Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L 1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L 1 y de 30 minutos para el L 2; y un trabajo de máquina para L 1 y de 10 minutos para L 2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L 1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. 10) Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m 3 y un espacio no refrigerado de 40 m 3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3 000 m 3 de producto que necesita refrigeración y 4 000 m 3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 Bs y el B de 40 Bs. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? 11) En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo
para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 12) Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el
máximo beneficio? 13) Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 Bs; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 Bs. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 14) Se dispone de 600 g de un determinado fármaco para elaborar pastillas grandes y pequeñas. Las grandes pesan 40 g y las pequeñas 30 g. Se necesitan al menos tres pastillas grandes, y al menos el doble de pequeñas que de las grandes. Cada pastilla grande proporciona un beneficio de 2 Bs y la pequeña de 1 Bs. ¿Cuántas pastillas se han de elaborar de cada clase para que el beneficio sea máximo?
15) Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 Bs y el de uno pequeño 600 Bs. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela. 16) Una empresa produce tres tipos de muebles (A, B y C), cada uno de los cuales se vende a $200, $150 y $120 respectivamente. Para la producción de estos muebles la empresa cuenta con 315 horas disponibles en un taller de corte de madera, 110 horas disponibles en un taller de lijado y 50 horas en un taller de pintado. Se ha estimado que el mueble A requiere por unidad 15 horas de trabajo en el taller de corte, 2 horas en el taller de lijado y 1 hora en el taller de pintado (estos mismos valores para los muebles B y C son 7,5:3:1 y 5:2:1, respectivamente). Se requiere formular y resolver un modelo de Programación Lineal que permita encontrar la cantidad a elaborar y vender de estos muebles de modo que la empresa obtenga el mayor beneficio. 17) Se dispone de 2 ingredientes para fabricar caramelos, cuyo sabor variará dependiendo de la proporción en que intervengan cada uno de los ingredientes. El primer ingrediente se compra a $10 por kg. y el segundo a $20 por kg. El proceso de elaboración supone un costo de $5 por kg. fabricado, cuya cantidad total corresponde simplemente a la suma de los kg. empleados en la mezcla. La demanda máxima para un mes se cifra en 100 kg y el precio de venta $50 kg. A la empresa no le interesa producir más de los que puede vender en el mes. Por último, la composición de la masa debe contener una proporción que no supere el 50% del primer ingrediente y el 80% del segundo ingrediente. Se requiere determinar cuántos kg. de caramelos se tiene que fabricar al mes y las proporciones en las que deben ser utilizados los ingredientes para obtener un máximo beneficio. 18) Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de difusión: La televisión y el periódico. Los estudios de mercado han mostrado que: A) La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias de ingresos medios por comercial. B). La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las familias de ingresos medios por anuncio. La publicidad en periódico tiene un costo de 500 Bs. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene un costo de 2000 Bs por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios minimizando los costos de publicidad. 19) Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de grasa y le cuesta a la tienda 80 Bs por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32 % de grasa y cuesta 60 Bs por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el contenido de grasa no mayor de 25 %?
