Tarea 2- Sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos.
Gustavo Camilo Aponte Molina CÓDIGO: 1000713209 No. DE GRUPO: 100408A_611
VIVIAN YANETH ALVAREZ
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ALGEBRA LINEAL FECHA
Descripción del ejercicio 2 Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss – Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*.
Se desea obtener un preparado semanal que cubra las necesidades mínimas de una persona en proteínas, hidratos de carbono y grasas. Suponga que el preparado debe contener una mezcla de los productos A, B y C cuyos contenidos por onzas son son los que se indican en la siguiente tabla: Proteínas
Hidratos
Grasas
Producto A
2
1.5
0.5
Producto B
0.5
3
1.5
Producto C
1.5
2.2
0.5
Disponibilidad Disponibili dad
0.5 lb
0.5 lb
0.5 lb
¿Cuántas onzas de cada producto deberán mezclarse semanalmente
para obtener el preparado? 2x 1+0.5x 2+1.5x 3=0.5 1.5x 1+3x 2+2.2x 3=0.5 0.5x 1+1.5x 2+0.5x 3=0.5 |2
0.5 1.5 | 0.5 |
|1.5 3
2.2 | 0.5 |
|0.5 1.5 0.5 | 0.5 |
Celdas :31-21-32-13-23-12 -4R3 + R1=R3 |2
0.5 1.5 | 0.5 |
|1.5 3
2.2 | 0.5 |
| 0 -5.5 -0.5 |-1.5 | 2R2 +1.5R1=R2 |2
0.5 1.5 | 0.5 |
| 0 -5.25 -2.15|-0.25| | 0 -5.5 -0.5 |-1.5 | 5.25R3+-5.5R2=R3 |2
0.5 1.5 | 0.5 |
| 0 -5.25 -2.15|-0.25| |0
0
9.2 |-6.5 |
R3 /9.2=R3 |2
0.5 1.5 | 0.5 |
| 0 -5.25 -2.15|-0.25| |0
0
1 |-0.70|
-1.5R3+R1=R1 |2
0.5 0 |1.55 |
| 0 -5.25 -2.15|-0.25| |0
0
1 |-0.70|
R3+R2=R2 |2
0.5 0 |1.55 |
| 0 -5.25
0 |-3.6 |
|0
1 |-0.70|
0
R2 /-5.25=R /-5.25=R2 |2
0.5 0 |1.55 |
|0
1
0
|-0.68| |-0.6 8|
|0
0
1
|-0.70|
-0.5R2+R1=R1 |2
0
0
|1.89 |
|0
1
0
|-0.68| |-0.6 8|
|0
0
1
|-0.70|
|1
0
0
|0.94 |
|0
1
0
|-0.68| |-0.6 8|
|0
0
1
|-0.70|
R1/2=R1
PARA X 1=0.94,X 2=-0.68 Y X 3=-0.70
2x 1+1.5x 2+0.5x 3=0.5 0.5x 1+3x 2+1.5x 3=0.5 1.5x 1+2.2x 2+0.5x 3=0.5 |2
1.5 0.5 | 0.5 |
|0.5 3
1.5 | 0.5 |
|1.5 2.2 0.5 | 0.5 | Celdas :31-21-32-13-23-12 -2R3 + 1.5R1=R3 |2
1.5 0.5 | 0.5 |
|0.5 3
1.5 | 0.5 |
| 0 -2.15 -0.25|-0.25| -2R2 +0.5R1=R2 |2
1.5 0.5 | 0.5 |
| 0 -5.25 -2.75|-0.75| | 0 -2.15 -0.25|-0.25| 5.25R3+-2.15R2=R3 |2
1.5 0.5 | 0.5 |
| 0 -5.25 -2.75|-0.75| |0
0
R3 /4.6=R3
4.6 | 0.3 |
|2
1.5 0.5 | 0.5 |
| 0 -5.25 -2.75|-0.75| |0
0
1
| 0.06|
-0.5R3+R1=R1 |2
1.5
0 | 0.47|
| 0 -5.25 -2.75|-0.75| |0
0
1
| 0.06|
2.75R3+R2=R2 |2
1.5
0 | 0.47|
| 0 -5.25
0 |-0.58|
|0
1 | 0.06|
0
R2 /-5.25=R /-5.25=R2 |2
1.5
0 | 0.47|
|0
1
0
|0
0
1 | 0.06|
|0.001|
-1.5R2+R1=R1 |2
0
0
| 0.47|
|0
1
0
|0.001|
|0
0
1 | 0.06|
R1/2=R1 |1
0
0
| 0.23|
|0
1
0
|0.001|
|0
0
1 | 0.06|
PARA Pa=0.23, Pb=-0.001 Y Pc=-0.06
*Nota: *Nota: En el entorno de aprendizaje práctico se encuentran los manuales, guías, tutoriales y el link del programa libre Geogebra. Anexar al desarrollo del punto, los pantallazos de las verificaciones. *falta Ejercicio 3. Aplicación de conceptos de sistemas de ecuaciones lineales en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 3, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2. Contenidos a revisar:
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 163 a 203. Disponible en Entorno de Conocimiento. Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 54 a 80. Disponible en Entorno de Conocimiento. Descripción del ejercicio 3 Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss – Jordan. Valide su resultado por medio de Geogebra*. “Un virus ha destruido parte de la información de los datos de
aprobación del curso de Álgebra Lineal (e-learning) del año 2018.
Se ha logrado rescatar parte de la base de datos, sabiendo que el promedio de estudiantes del curso de Álgebra Lineal (e-learning) que entregaron y aprobaron las tareas 1, 2 y 3 del periodo 16-04 de ese año fue de 1.243 estudiantes. Se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 2 supera en 230 estudiantes al promedio de los que aprobaron la Tarea 1 y la Tarea 3.
Así mismo, se sabe que el número de estudiantes que aprobaron la Tarea 3 es menor en 90 estudiantes al promedio de los estudiantes que aprobaron las Tareas 1 y 2. Con estos datos, se busca saber cuántos estudiantes aprobaron a probaron cada una de las tareas del curso y reconstruir así los datos estadísticos del informe a presentar.” Recuerde que dentro de las operaciones elementales entre filas es válido el intercambiar una fila por otra, lo que en ocasiones podría facilitar el procedimiento. Solucion: Tarea 1 x Tarea 2 y Tarea 3 z X + Y + Z =1 X + Z = 230Y X + Y = 90Z X + Y +Z = 1243 X -230Y + Z = 0 X + Y - 90Z = 0
Celdas :31-21-32-13-23-12 |1
1
| 1 -230 |1
1
1
|1243|
1
| 0 |
-90
| 0 |
-1R3 + R1=R3 |1
1
1
|1243|
| 1 -230
1
| 0 |
|0
91
|1243|
0
-1R2 + R1=R2 |1
1
1
|1243|
| 0 231
0
|1243|
|0
91
|1243|
0
R3 /91=R3 |1
1
1
|1243 |
| 0 231
0
|1243 |
|0
1
|13.65|
0
R2 /231=R2 |1
1
1
|1243 |
|0
1
0
| 5.38 |
|0
0
1
|13.65|
-1R3+R1=R1 |1
1
0
|1229.35 |
|0
1
0
| 5.38 |
|0
0
1
|13.65|
-1R2+R1=R1 |1
0
0
|1223.97|
|0
1
0
| 5.38 |
|0
0
1
|13.65|
PARA T1=1223.97, T2=5.38 Y T3=13.65
*Nota: *Nota: En el entorno de aprendizaje práctico se encuentran los manuales, guías, tutoriales y el link del programa libre Geogebra. Anexar al desarrollo del punto los pantallazos de las verificaciones. Ejercicio 4. Aplicación de conceptos de rectas en R3 en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 4, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2. Contenidos a revisar:
Zúñiga, C (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 208 a 217. Disponible en Entorno de Conocimiento. Mesa, F., Alirio, E., & Fernández, S. O. (2012). Introducción al álgebra lineal. Bogotá, CO: Ecoe Ediciones. Disponible en la Biblioteca Virtual de la UNAD. Páginas 19 a 38. Disponible en Entorno de Conocimiento. Descripción ejercicio 4. Defina las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas, de las siguientes rectas, y grafíquelas con ayuda de GeoGebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a. De la recta que pasa por los puntos P= (-3,4,8) y Q=(2,5,7). b. De la recta que pasa por el punto R=(-5, 4,-3) y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A=(-2,4,6) y B=(1,-3,5). c. De la recta que pasa por el punto S= (-9, 6,11) 6 ,11) y cuyo vector director es V= (-2, 7,-6). ECUACION VECTORAL A) P=(-3,4,8) Q=(2,5,7) R=(-3,4,8)+T(2,5,7) R=(-3,4,8)+(2T,5T,7T) R=(-3+2T,4+5T,8+7T) X=-3+2T Y=4+5T =ecuacion parametricas de la recta Z=8+7T
X+3=2T Y-4=5T Z-8=7T X+3/2=T Y-4/5=T Z-8/7=T X+3/2=Y-4/5=Z-8/7 =ecuacion simetrica de la recta B) R=(-5, 4,-3) Paralelo A=(-2,4,6) y B=(1,-3,5) Ab=(-2*1,4*-3,6*5) Ab=(-2,-12,30) R=(-5, 4,-3)+t(-2,-12,30) R=(-5, 4,-3)+(-2t,-12t,30t) R=(-5+(-2t),4+(-12t),-3+30t) X=-5-2t Y=4-12t = ecuacion parametrica de la recta Z=-3+30t X+5=-2t Y-4=-12t Z+3=30t X+5/-2=t Y-4/-12=t Z+1/10=t X+5/-2=Y-4/-12=Z+1/10 =ecuacion simetrica de la recta
C) S=(-9, 6,11) V=(-2, 7,-6) R=S+tV R=(-9, 6,11)+t(-2, 7,-6) U=3V=(-6,21,-18) S=(-9, 6,11) + t(-6,21,-18) S=(-9, 6,11) + (-6t,21t,-18t) S=(-9-6t,6+21t,11-18t) X=-9-6t Y=6+21t Z=11-18t X+9=-6t Y-6=21t =ecuacion parametrica recta Z-11=21t X+9/-6=t Y-6/-21=t Z-11/21=t X+9/-6=Y-6/-21=Z-11/21=ecuacion simetrica de la recta
Ejercicio 5. Aplicación de la teoría de planos en la solución de problemas básicos. Para el desarrollo del ejercicio 5, debe revisar los siguientes contenidos encontrados en el entorno de Conocimiento de la Unidad 2. Contenidos a revisar: Rodriguez J., (N-D). Planos en el espacio. Intersecciones entre planos y
rectas. Disponible en Entorno de Conocimiento.
Zúñiga, C. (2010). Módulo Algebra Lineal. Bogotá, UNAD. Páginas 222 a 226. Disponible en Entorno de Conocimiento. Descripción ejercicio 5. Solucione las siguientes problemáticas de planos en torno a su teoría y grafíquelos con ayuda de Geogebra (u otras herramientas como Scilab, Octave o Matlab): a) ¿Son pararelos los siguientes planos 1:3x+8y-3z=1 y 2:-15x40y+15z=-5? Justifique su respuesta con el método que corresponda. Grafique ambos planos. b) ¿Cuál es la ecuación del plano que contiene los puntos A(-3,7,9), B(2,4,6) y C(2,2,-1)? Desarrolle claramente el paso a paso necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano correspondiente. P1 : 3x+8y-3z=1 P2: -15x-40y+15z=-5 P1 :(3,8,-3) P2: (-15, -40, 15) P1x/P2x=P1y/P2y=P1x/P2z 3/-15= 8/-40 = -3/15 -1/5=-1/5=-1/5 A)Son paralelas ya que sus coordenadas son proporcionales
A(-3,7,9) B(2,4,6) C(2,2,-1) AB = (2-(-3),4-7, 6-9) = (5,-3, -3) BC= (2-2, 2-4, -1-6) = (0, -2, -7)
|x-xo y-yo z-zo| | ABx ABy ABz| |BCx BCy BCz | =0 |X-2 Y-4 Z-6| | 5 -3
-3|
| 0 -2
-7|
(x-2)(15)-(y-4)(-35)+(z-6)(-10)=0 15X-30+35Y+140+10Z+60=0 15X+35Y+10Z=-170 La ecuación que satisface es 15X+35Y+10Z= -170
GEOALGEBRA
Ejercicio 6. Sustentación de la actividad en video. Cada estudiante debe realizar un video muy corto (de 2 minutos máximo), en el cual aparezca sustentando los aspectos claves y la elaboración, de uno de los ejercicios de esta guía de actividad (de los puntos 2 al 5) y que corresponda al mismo tema seleccionado en el ejercicio 1. No es necesario que emplee ninguna proyección para hacerlo, pero sí debe aparecer el estudiante realizando la explicación. Todos los videos elaborados por quienes participen, deben ser unidos en un solo video final (no es necesario incluir arreglos ni efectos, solo pegar los videos de todos los participantes), y éste, compartido mediante un enlace online (por ejemplo, de YouTube o a un drive) para su revisión por parte de los compañeros del grupo y el tutor. En la compilación del trabajo final deben relacionar dicho d icho enlace del video completo. Como el video de cada uno no debe superar los 2 minutos, el video completo no debe tardar más de 10 minutos.
