Ejemplos de programación lineal formulación Ejemplo de programación lineal 1996 MBA examen
Un avión de carga tiene tres compartimientos para almacenar carga: frontal, central y trasero. Estos compartimentos compartiment os tienen los siguientes sigui entes límites en el peso y el espacio: Compartimiento Compartimiento de la capacidad de peso ( toneladas) de capacidad espacial (metros cúbicos) Frente 10 6800 Centro 16 8700 Posterior 8 5300
Además, el peso de la carga en los compartimientos respectivos debe ser la misma proporción de la capacidad de peso de ese compartimiento para mantener el equilibrio del avión. Los siguientes cuatro cargamentos están disponibles para su envío en el siguiente vuelo: Peso de carga (toneladas) de volumen (metros cúbicos / tonelada) Beneficio (¼ / tonelada) C1 18 480 310 C2 15 650 380 C3 23 580 350 C4 12 390 285
Cualquier parte de estas cargas puede ser aceptada. El objeti objetivo vo es determinar la determinar la cantidad (si cantidad (si existe) de cada carga C1, C2, C3 y C4 debe ser aceptado y la forma de distribuir cada distribuir cada uno de los compartimientos de manera que el beneficio total para el vuelo se maximiza. y y
y
Formular el problema anterior como un programa lineal ¿Qué suposiciones se hacen en la formulación de este problema como un problema de programación lineal? Describa brevemente las ventajas de utilizar un paquete de software para resolver el problema de programación lineal por encima, en un enfoque crítico a este problema.
Solución Variables
Tenemos que decidir qué cantidad de cada una de las cuatro cargas para poner en cada uno de de los tres compartimentos. comparti mentos. De ahí que: x ij el número de toneladas de carga i (i = 1,2,3,4 para C1, C2, C3 y C4, respectivamente) que se pone en j compartimiento (j = 1 para el Frente, j = 2 para el Centro y el j = 3 para el trasero), donde x ij> = 0 i = 1,2,3,4, j = 1,2,3 Tenga en cuenta que aquí se nos dice explícitamente que podemos dividir la carga en cualquier proporción (fracciones) que nos gusta.
Limitaciones y
no puede incluir más de cada uno de los cuatro cargamentos que tenemos disponibles
x 11 + x 12 + x 13 <= 18 x 21 x + 22 + x 23 <= 15 x 31 + x 32 + x 33 <= 23 x 41 x + 42 + x 43 <= 12 y
la capacidad de peso de cada compartimiento debe ser respetada
x 11 + 21 + x + x x 12 + 22 + x + x x 13 + 23 + x + x y
32 33
x 41 <= 10 x 42 <= 16 x 43 <= 8
el volumen (espacio) la capacidad de cada compartimiento debe ser respetada
480x 650x 480x 650x 480x 650x y
31
11 12 13
+ 21 + 31 + 580X 390x 41 <= 6800 + 22 + 32 + 580X 390x 42 <= 8700 + 23 + 33 + 580X 390x 43 <= 5300
el peso de la carga en los compartimientos respectivos debe ser la misma proporción de la capacidad de peso de ese compartimiento para mantener el equilibrio del avión
[X 11 x + 21 + x 31 + x 41] / 10 = [x + x 12 x 22 + 32 + x 42] / 16 = [x + x 13 x 23 + 33 + x 43] / 8 Objetivo
El objetivo es maximizar el beneficio total, es decir, máximo 310 [x 11 x + 12 + x 13] + 380 [x [x 41 x + 42 + x 43]
21
x + 22 + x 23] + 350 [x
31
+ x 32 + x 33] + 285
Los supuestos básicos son los siguientes: y
y
y
y
que cada carga se puede dividir en cualquier proporción / fracciones que deseamos que cada carga se puede dividir entre dos o más compartimientos, si así lo desean que la carga se puede empaquetar en cada compartimiento (por ejemplo, si la carga era esférica, no sería posible empaquetar un compartimiento de la capacidad de volumen, el espacio libre es inevitable en el empaquetamiento de esferas) todos los datos / cifras dadas son exactas
Las ventajas de utilizar un paquete de software para resolver el programa lineal anterior, en lugar de un enfoque crítico son los siguientes:
y
y
y
y
realmente maximizar el beneficio, en lugar de creer que nuestra solución de juicio maximiza el beneficio (que puede tener mal juicio, incluso si tenemos un MBA!) hace que el embarque de carga que la decisión de que podemos resolver de un modo operativo de rutina a una computadora, en lugar de tener que ejercer un juicio cada vez que queremos resolver problemas que pueden ser adecuadamente formulados como programas lineales son casi siempre mejores resueltos por las computadoras de las personas pueden realizar análisis de sensibilidad muy fácilmente con un ordenador
Ejemplo de programación lineal 1995 MBA examen
Describa brevemente los principales pasos en el uso de modelos matemáticos para apoyar la gestión. Una empresa opera dos plantas de enlatado de conservas. Los productores están dispuestos a ofrecer frutas frescas en las siguientes cantidades: y y y
S1: 200 toneladas en 11/tonne £ S2: 310 toneladas en 10/tonelada £ S3: 420 toneladas en 9/tonne £
Los gastos de envío en libras por tonelada son los siguientes: A: Planta A, B Planta De: S1-3 3.5 S2 2 2,5 S3 6 4
Capacidad de las plantas y los costos laborales son los siguientes: Una planta de la Planta B Capacidad de 460 toneladas 560 t oneladas Trabajo cuesta £ £ 26/tonne 21/tonne
Las frutas en conserva se venden a £ 50/tonelada a los distribuidores. La compañía puede vender a este precio todo lo que puede producir. El objetivo es encontrar la mejor combinación de las cantidades aportadas por los tres productores de las dos plantas, de manera que la empresa maximiza sus beneficios. y y
y
Formule el problema como un programa lineal y explica que Explicar el significado de los valores de dos relacionados con el suministro y las limitaciones de capacidad de la planta ¿Qué suposiciones ha hecho usted para expresar el problema como un problema de programación lineal
Solución
Los pasos principales en el uso de modelos matemáticos para apoyar la gestión son:
y
y y
1. Identificación del problema Diagnóstico del problema de los síntomas si no es obvio (es decir, cuál o es el problema?) Delimitación de la subproblema a estudiar. A menudo tenemos que o ignorar las partes de la totalidad del problema. Establecimiento de objetivos, limitaciones y requisitos. o 2. Formulación de un modelo matemático 3. Validación del modelo (o la validación de algoritmos) La validación del modelo consiste en ejecutar el algoritmo para el o modelo en el ordenador con el fin de garantizar: los datos de entrada está libre de errores el programa informático es libre de errores (o al menos no hay errores en circulación) el programa de ordenador de forma correcta representa el modelo que estamos tratando de validar los resultados del algoritmo parece razonable (o si son sorprendentes por lo menos podemos comprender por qué se sorprende). 4. Solución del modelo Los paquetes estándar computadora, o algoritmos especialmente o desarrollados, se puede utilizar para resolver el modelo. En la práctica, una "solución" a menudo implica muchas soluciones bajo o diferentes supuestos para establecer la se nsibilidad. 5. Implementación Esta fase puede implicar la aplicación de los resultados del estudio o la o aplicación del algoritmo para resolver el modelo como una herramienta operativa (por lo general en un paquete de equipo).
y
y
Para formular el problema dado en la cuestión como un problema de programación lineal, tenemos que definir: y y y
las variables limitaciones objetivo
Variables
Tenemos que decidir cuánto de suministro de cada uno de los tres productores de cada una de las dos plantas de enlatado. Por lo tanto, sea x ij el número de toneladas suministradas desde el productor i (i = 1,2,3 para S1, S2 y S3 respectivamente) a la planta j (j = 1 para la Planta A y j = 2 para la Planta B) donde x ij > = 0 i = 1,2,3, j = 1,2 Limitaciones y
no puede abastecer a más de un productor tiene a su disposición - una limitación de la oferta
x 11 x 12 + <= 200 x 21 x 22 + <= 310 x 31 x 32 + <= 420 y
la capacidad de cada planta debe ser respetada - una restricción de capacidad
x 11 + x 21 + x 31 <= 460 x 12 + x 22 + x 32 <= 560 Objetivo
El objetivo es maximizar el beneficio total, es decir, maximizar los ingresos - gastos de suministro productor - productor de costo de envío la planta de los costes laborales y esto es maximizar 50SUM {i = 1,2,3} {SUMA} j = 1,2 x ij - 11 (x 11 + x 12) - 10 (x + 21 x 22) - 9 (x + 31 x 32) - 3x 11 - 2x 21 - 6 x 31 - 3,5 x 12 - 2,5 x 22 a 32 4x - 26SUM {i = 1,2,3} x i1 21SUM {i = 1,2,3} x i2 Los valores de dos relacionados con el suministro y las limitaciones de capacidad de plantas en la solución óptima del problema de programación lineal por encima de decirnos en qué medida el valor objetivo óptimo funcionamiento cambiará si cambiamos el lado derecho de los límites correspondientes Los supuestos básicos son los siguientes: y y y y y
Se puede enviar a un cultivador cualquier cantidad que deseamos sin pérdida de peso en el procesamiento de la planta sin pérdida de peso en el transporte marítimo puede vender todo lo que producimos todos los datos / cifras dadas son exactas
Ejemplo de programación lineal examen UG 1993
El gerente de producción de una planta química está tratando de diseñar un patrón de cambio de su fuerza de trabajo. Cada día de cada semana de trabajo se divide en tres períodos de turno de ocho horas (00:01-08:00, 08:01-16:00, 16:01-24:00) indicados por la noche, el día y la tarde respectivamente. La planta deberá estar ocupado todo el tiempo y el número mínimo de trabajadores necesarios para cada uno de estos cambios a través de cualquier semana de trabajo es la siguiente: Lunes Martes Noche 5 3 2 4 Día 7 8 9 5 7 Tarde 9 10 10
Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo 3 2 2 2 5 7 11 2 2
El acuerdo de unión que rigen los cambios aceptables para los trabajadores es el siguiente: Cada trabajador está asignado a trabajar ya sea el turno de noche o de un turno de día o un turno de tarde y una vez que un trabajador ha sido asignado a un cambio que debe permanecer en el mismo turno todos los días que trabajan. 2. Cada obrero trabaja cuatro días consecutivos durante un período de siete días. 1.
En total hay actual mente 60 trabajadores. y y
Formular el problema de producción como un programa lineal. Comentarios sobre las ventajas / desventajas que prevén la formulación y solución de este problema como un programa lineal.
Solución Variables
El acuerdo de unión es tal que cualquier trabajador sólo puede comenzar su trabajo de cuatro días consecutivos en uno de los siete días (de lunes a domingo) y en uno de los tres turnos de ocho horas (noche, día, tarde). Sea: Lunes será el día 1, el martes de día 2, ..., el domingo día 7 se Sé el turno 1, el día que el turno 2, 3 tarde se cambio entonces las variables son: N ij el número de trabajadores a partir de sus cuatro días de trabajo consecutivos en el día i (i = 1 ,..., 7) y cambio de j (j = 1 ,..., 3) Nótese aquí que estrictamente estas variables debe ser un número entero, pero, como se nos dice explícitamente para formular el problema como un programa lineal en la parte (a) de la cuestión, que les permiten tomar valores fraccionarios. Limitaciones y
límite superior del número total de trabajadores de 60
SUMA {i = 1 a 7} {SUMA j = 1 a 3} N
ij
<= 60
ya que cada trabajador pueda iniciar su semana de trabajo sólo una vez durante los siete días, tres turnos, la semana y
el límite inferior en el número total de trabajadores necesarios para cada período de días / turno
que D ij es el número (conocido) de trabajadores necesarios en el día i (i = 1 ,..., 7) y el cambio de período j (j = 1 ,..., 3), por ejemplo D 53 = 11 (viernes, finales de ) continuación, las restricciones son Lunes: N 1j + N + N 7j 6j + 5j N> = D 1j j = 1 ,..., 3 Martes: N 2j + N + N 1j 7j + N 6j> = D 2j j = 1 ,..., 3 Miércoles: N 3j + N + N 1j 2j + N 7j> = D 3j j = 1 ,..., 3 Jueves: N 4j + 3j N + N + N 1j 2j> = D 4j j = 1 ,..., 3 Viernes: N 5j + N 4j + N + N 2j 3j> = D 5 j j = 1 ,..., 3 Sábado: N + N 5j 6j + N + N 3j 4j> = D 6j j = 1 ,..., 3 Domingo: N 7j + N + N 5j 6j + N 4j> = D 7j j = 1 ,..., 3
La lógica aquí es simple, por ejemplo, para el miércoles (día 3) los trabajadores que trabajan j cambio en el día 3 o bien comenzó el miércoles (día 3, N 3j) o el martes (el día 2, N 2j), o el lunes (día 1, N 1j) o el domingo (el día 7, N 7j) - por lo que la suma de estas variables es el número total de trabajadores en servicio el día 3 de j turno y esta debe ser al menos el número mínimo requerido (D 3j). Objetivo
Se desprende de la pregunta que el objetivo del gerente de producción es simplemente para encontrar un horario factible por lo que cualquier objetivo es posible. Lógicament e sin embargo que podría estar interesado en reducir el tamaño de la mano de obra por lo que la función objetivo puede ser: minimizar SUMA {i = 1 a 7} {SUMA j = 1 a 3} N donde todas las variables N fraccionarios).
ij>
ij
= 0 y continua (es decir, pueden tomar valores
Esto completa la formulación del problema como un programa lineal. Algunas de las ventajas y desventajas de la solución de este problema como un programa lineal son los siguientes: y y y
y
y y
Realmente necesitamos valores de las variables que son enteros algunos trabajadores siempre terminan trabajando los fines de semana ¿Cómo elegimos a los trabajadores a utilizar, por ejemplo, si n = 43 7 7 trabajadores que elegimos para comenzar su semana de trabajo en el día 4 3 turnos de trabajo ¿Qué sucede si los trabajadores no denuncian en (por ejemplo, si están enfermos) - que podrá ser inferior al número mínimo requerido este enfoque nos permite abordar el problema de una manera sistemática tienen el potencial de reducir el tamaño de la mano de obra por más eficaz que los recursos que a las necesidades capaz de investigar los cambios (por ejemplo, en los patrones de turno, los trabajadores necesitan por día, etc) con mucha facilidad.
Ejemplo de programación lineal examen UG 1991
Una empresa fabrica cuatro productos (1,2,3,4) en dos máquinas (X e Y). El tiempo (en minutos) para procesar una unidad de cada producto en cada máquina se muestra a continuación: Máquina XY Producto 1 10 27 2 12 19 3 13 33 4 8 23
La utilidad por unidad de cada producto (1,2,3,4) es de £ 10, £ 12, £ 17 y £ 8, respectivamente. Un producto debe ser producido en ambas máquinas X e Y, pero los productos 2, 3 y 4 se pueden producir en cualquiera de las máquinas. La fábrica es muy pequeño y esto significa que el espacio es muy limitado. Sólo la producción de una semana se almacena en 50 metros cuadrados de superficie donde el espacio ocupado por cada producto es de 0,1, 0,15, 0,5 y 0,05 (metros cuadrados) para los productos 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Las necesidades del cliente significa que la cantidad de producto producido tres deben estar relacionados con la cantidad de producto 2 producido. Más de una semana aproximadamente el doble de unidades de producto 2 debe ser producido como producto 3. X de la máquina está fuera de acción (para el mantenimiento / porque de la ruptura) 5% del tiempo y la máquina Y el 7% del tiempo. Suponiendo una semana de trabajo 35 horas formular el problema de cómo se fabrican estos productos como un programa lineal. Solución Variables
Esencialmente estamos interesados en la cantidad producida en cada máquina. De ahí que: x i = cantidad de producto i (i = 1,2,3,4) producido en la X de la máquina a la semana y i = cantidad de producto i (i = 2,3,4) producido en Y de la máquina a la semana donde x i> = 0 i = 1,2,3,4 y y
i>
= 0 i = 2,3,4
Nótese aquí que como producto de una debe ser procesado en ambas máquinas X e Y no definimos y 1. Limitaciones y
espacio en el suelo
0,1 x 1 + 0.15 (x 2 + y 2) + 0,5 (x 3 + y 3) + 0.05 (x 4 + y 4) <= 50 y
necesidades de los clientes
x 2 + y 2 = 2 (x 3 + y 3) Nótese aquí que como esto es sólo un aproximado de (± 5% por ejemplo) la restricción que podemos hacer mejor para expresar esta restricción como 0.95 [2 (x 3 + y 3)] <= x 2 + y 2 <= 1,05 [2 (x 3 + y 3)] y
tiempo disponible
10x 12x 1 + 2 + 3 + 13x 8x 4 <= 0,95 (35) (60) (máquina X) 27x 1 + 2 + 33y 19Y 3 + 23y 4 <= 0,93 (35) (60) (máquina de Y) Objetivo
maximizar los beneficios, es decir, maximizar 10x 1 + 12 (x 2 + y 2) + 17 (x 3 + y 3) + 8 (x 4 + y 4)
Ejemplo de programación lineal examen UG 1987
Una empresa es la planificación de su programa de producción en los próximos seis meses (actualmente es el final del mes 2). La demanda (en unidades) de su producto durante ese plazo de tiempo se muestra a continuación: Mes 3 4 5 6 7 8 Demanda 5000 6000 6500 7000 8000 9500
Actualmente, la empresa tiene en stock: 1000 unidades que se produjeron en el mes 2, 2000 unidades que se produjeron en el mes 1, 500 unidades que se fabricaron en 0 meses. La empresa sólo puede producir hasta 6.000 unidades por mes, y el director general ha señalado que las acciones deben ser construidos para ayudar a satisfacer la demanda en los meses 5, 6, 7 y 8. Cada unidad producida cuesta £ 15 y el costo de mantenimiento de reservas se estima en £ 0.75 al mes por unidad (basado en el saldo mantenido al principio de cada mes). La compañía tiene un gran problema con el deterioro de las acciones en que la inspección de valores que tiene lugar al final de cada mes, regularmente identifica acciones en ruinas (que cuesta a la compañía £ 25 por unidad). Se estima que, en promedio, la inspección de las existencias al final del mes t se muestra que el 11% de las unidades en stock que se produjeron en el mes t están en ruinas, el 47% de las unidades en stock que se produjeron en el mes t- 1 están en ruinas, el 100% de las unidades en stock que se produjeron en el mes t-2 están en ruinas. La inspección de stock para 2 meses está a punto de llevarse a cabo. La empresa quiere un plan de producción para los próximos seis meses que evite el desabastecimiento. Formular el problema como un programa lineal. Debido al problema del deterioro de valores el director general es el pensamiento de la dirección de que los clientes siempre deben disponer de las más antiguas existencias disponibles. ¿Cómo afectaría esto a su formulación del problema? Solución Variables
Dejar
P t es la producción (unidades) en el mes t (t = 3 ,..., 8) que el número de unidades en stock al final del mes t que se produjeron en el mes i (i = t, t-1, t-2) Lo
S es el número de unidades en stock al inicio del mes t que se produjeron en el mes i (i = t-1, t-2) d sea la demanda en el mes t se reunió a partir de unidades producidas en el mes i (i = t, t-1, t-2) Limitaciones y
limitar la producción
P t <= 6000 y
posición inicial de acciones
I 22 = 1000 I 12 = 2000 I 02 = 500 y
relacionar la apertura de acciones en el mes t al cierre de las acciones en los meses anteriores
S t-1, t = 0.89I t-1, t-1 S t-2, t = 0.53I t-2, t-1 y
inventario ecuación de continuidad en el que suponemos que puede satisfacer la demanda en el mes t de producción en el mes t. Sea D t representan la demanda (conocido) para el producto en el mes t (t = 3,4 ,..., 8) entonces
cierre de las acciones = existencias iniciales + producción - demanda y tenemos I t, t = 0 + P t - d t, t I t-1, t = S t-1, t + 0 - d t-1, t I t-2, t = S t-2, t + 0 - d t-2, t donde d t, t + D t-1, t + d t-2, t = D t y
no agotamiento de las existencias
todo el inventario (I, S) y las variables d> = 0 Objetivo
Es de suponer que para minimizar el costo y esto se da por SUMA {t = 3 a 8} 15P t + t = {SUMA 3-9} 0.75 (S (0.11I t, t 0,47 t I-1, t 1,0 t I-2, t)
t-1, t
+ S t-2, t) + SUMA {t = 3 a 8} 25
Tenga en cuenta porque se nos dice a formular este problema como un problema de programación lineal que asume todas las variables son fraccionarias - en realidad, es probable que sean bastante grandes y por lo que esta es una aproximación razonable para que (también se produce un problema con la búsqueda de valores enteros que satisfacen ( por ejemplo) S t-1, t = 0.89I t-1, t-1 a menos que se asume). Si queremos asegurarnos de que la demanda se cumple desde el más antiguo almacén primero entonces podemos concluir que esto ya está asumido en la solución numérica de nuestra formulación del problema, ya que (claramente) que empeora el objetivo de almacenar la edad innecesariamente y por lo tanto en minimizar los costes nosotros automáticamente la oferta (a través de la d que las variables), el más antiguo primero los artículos disponibles para satisfacer la demanda (aunque el director gerente tiene que decirle a los empleados a emitir la más antigua primero los artículos disponibles).
Ejemplo de programación lineal examen UG 1986
Una empresa reúne a cuatro productos (1, 2, 3, 4) a partir de componentes suministrados. La utilidad por unidad de cada producto (1, 2, 3, 4) es de £ 10, £ 15, £ 22 y £ 17 respectivamente. La demanda máxima en la próxima semana para cada producto (1, 2, 3, 4) es de 50, 60, 85 y 70 unidades respectivamente. Hay tres etapas (A, B, C) en el montaje manual de cada producto y las horas-hombre necesarias para cada fase por unidad de producto se muestran a continuación: Producto 1 2 3 4 Etapa A 2 2 1 1 B 2 4 1 2 C 3 6 1 5
El tiempo nominal disponible en la próxima semana para el montaje en cada fase (A, B, C) es de 160, 200 y 80 horas-hombre, respectivamente. Es posible variar el número de horas dedicado a la Asamblea en cada etapa de tal manera que los trabajadores empleados anteriormente en la fase de montaje B podría pasar hasta un 20% de su tiempo en la fase A de la Asamblea y de los trabajadores empleados anteriormente en la etapa C de la Asamblea podría pasar hasta 30 % de su tiempo en el escenario un montaje. Limitaciones de la producción también requieren que la relación (un producto de unidades ensambladas) / (producto 4 unidades ensambladas) debe estar entre 0,9 y 1,15.
Formular el problema de decidir cuánto producir la próxima semana como un programa lineal. Solución Variables
Dejar x i = cantidad de producto producido i (i = 1,2,3,4) BA
t
t la cantidad de tiempo transferida de B a A
CA
la cantidad de tiempo que transfiere de C a A
Limitaciones y
la demanda máxima
x 1 <= 50 x 2 <= 60 x 3 <= 85 x 4 <= 70 y
proporción
0.9 <= (x 1 / x 4) <= 1,15 es decir, 0,9 x 4 <= x 1 y 1 x <= 1,15 x y
tiempo de trabajo
2x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 <= 160 + t + t 2x 1 + 4x 2 + x 3 + 2x 4 <= 200 - t 3x 1 + 6 x 2 + x 3 + 5x 4 <= 80 - t y
BA
t
y
BA CA
BA
CA
Disminuir el tiempo de transferir
t <= 0,2 (200)
CA
4
<= 0,3 (80) todas las variables> = 0
Objetivo
maximizar 10x 1 + 15x 2 + 22x 3 + 17x 4 Tenga en cuenta que descuidar el hecho de que las variables x i debe ser un número entero, porque se nos dice que formular el problema como un LP.
Ejemplo de programación lineal
Una empresa hace tres productos y dispone de 4 puestos de trabajo. El tiempo de producción (en minutos) por unidad producida varía de una estación de trabajo (debido a los niveles de dotación diferentes) como se muestra a continuación: Puesto de trabajo 1 2 3 4 Producto 1 5 7 4 10 2 6 8 12 15 3 13 14 9 17
Asimismo, el beneficio (£) contribución (contribución a los costes fijos) por unidad varía de una estación de trabajo de la siguiente manera Puesto de trabajo 1 2 3 4 Producto 1 10 8 6 9 2 18 20 15 17 3 15 16 13 17
Si, una semana, hay 35 horas de trabajo disponibles en cada estación de trabajo la cantidad de cada producto debe ser producido, ya que necesitamos por lo menos 100 unidades del producto 1, 150 unidades del producto 2 y 100 unidades del producto 3. Formule este problema como un LP. Solución Variables
A primera vista, estamos tratando de decidir qué cantidad de cada producto para hacer. Sin embargo, en una inspección más cercana, está claro que tenemos que decidir qué cantidad de cada producto para que en cada estación de trabajo. De ahí que x ij = cantidad de producto i (i = 1,2,3) hechas en estaciones de trabajo j (j = 1,2,3,4) por semana. Aunque (en sentido estricto) todas las variables x ij debe ser un número entero que es probable que sean muy grandes y por lo tanto les dejamos tomar valores fraccionarios, ignora las fracciones en la solución numérica. Tenga en cuenta también que la cuestión de forma explícita nos pide que formular el problema como un LP en lugar de una dirección IP. Limitaciones
En primer lugar, formular cada restricción en las palabras y de una manera matemática.
y
límite en el número de minutos disponibles cada semana para cada estación de trabajo
5x 6x 11 + 21 + 13x 31 <= 35 (60) 7x 12 + 12x 14x 22 + 32 <= 35 (60) 4x 13 + 23 + 8x 9x 33 <= 35 (60) 10x 15x 14 + 24 + 17x 34 <= 35 (60) y
el límite inferior de la cantidad total de cada producto elaborado
x 11 + 12 + x + x
13
x 14> = 100
x 21 x + 22 + x 23 + x 24> = 150 x 31 + 32 + x + x
33
x 34> = 100
Objetivo
Es de suponer que para maximizar los beneficios - por lo tanto, tenemos que maximizar 10x 11 + 12 + 8x 6x 13 + 9 x 14 + 21 + 18x 20x 15x 13x 17x 34
22
+ 23 + 24 + 17x 15x 16x
31
+ 32 + 33 +
Problema de planificación de la producción
Considere la posibilidad de la producción de latas de conserva que se marcan a partir de láminas de metal. Una lata consiste en un cuerpo principal y dos extremos,. Tenemos cuatro posibles patrones de estampado (que incluye dos tipos (tamaños) de la hoja de metal). como se muestra a continuaci ón
Tenemos la siguiente información: Patrón 1 2 3 4 Tipo de hoja utilizada 1 2 1 1 Número de los principales organismos 1 4 2 0 Número de los extremos de 7 4 3 9 Cantidad de desechos s 1 s 2 s 3 s 4 Es hora de sello (horas) t 1 t 2 t 3 t 4
Tenga en cuenta aquí que el s i (i = 1,2,3,4) y el t i (i = 1,2,3,4) no son variables, pero constantes (que tienen un valor conocido). A menudo, en la formulación de LP es más fácil utilizar un símbolo de un número en lugar de escribir el número en su totalidad cada vez que ocurre en una restricción o en la función objetivo. Sea P el beneficio obtenido de la venta se puede, C es el costo por unidad de desecho, T el número total de horas disponibles por semana, L 1 el número de láminas de metal de tipo 1, que están disponibles para la estampación por semana y L 2 es el número de láminas de metal de tipo 2 que están disponibles para el estampado de la semana.
Al comienzo de la semana no hay nada en la acción. Cada organismo (sin uso) principal en existencias al final de la semana incurre en un costo acumulación de existencias de c 1. Del mismo modo cada extremo (sin usar) en existencias al final de la semana incurre en un costo acumulación de existencias de c 2. Supongamos que todas las latas que se producen una semana se venden durante la semana. ¿Cuántas latas deben ser producidos a la semana? Solución de planificación de la producción Variables
Dejar x i es el número de patrones de tipo i (i = 1,2,3,4) sellado por semana y el número de latas que se producen por semana Nota x i> = 0 i = 1,2,3,4 y y> = 0 y de nuevo se supone que el i x e y son lo suficientemente grandes como para valores fraccionarios no son significativos. Limitaciones y
tiempo disponible
t 1 x 1 + t 2 x 2 + t 3 x 3 + t 4 x 4 <= T y
hoja de disponibilidad
x 1 + x 3 + x 4 <= L 1 (hoja 1) x 2 <= L 2 (hoja 2) y
número de latas que se producen
y = min [(7x 1 +4 x 2 3 x 3 9 x 4) / 2, (4 x 1 x 2 2 x 3)] donde el primer término en esta expresión es el límite impuesto al y por el número de latas producidas y el segundo término de esta expresión es el límite impuesto al y por el número de cuerpos se produjo. Esta restricción (debido a la min [,] en parte) no es una restricción lineal. Objetivo
Es de suponer que para maximizar los beneficios - por lo tanto, maximizar ingreso - costo de la chatarra - acciones sin utilizar los órganos principales - del costo de mantener - acciones termina sin usar - del costo de mantener
es decir, maximizar la Py - C (s 1 x 1 + s 2 x 2 + s + 3 x 3 s 4 x 4) - c 1 (x 1 + 4x 2 + 2x 3 - y) - c 2 ((1 + 7x 4x 2 + 3x 3 + 9 x 4) - 2a) Como se mencionó anteriormente esta formulación del problema no es un LP - Sin embargo, es relativamente fácil (para este problema en particular) para convertirlo en un LP mediante la sustitución y = min [,] ecuación no lineal de dos ecuaciones lineales. Supongamos que sustituya la restricción y = min [(7x (4 x 1 x 2 2 x
+4 x 2 3 x 3)] (A)
1
3
9 x
4)
/ 2,
por las dos restricciones y <= (7x 1 +4 x 2 3 x 3 9 x y <= (x 1 4 x 2 +2 x 3) (C)
4)
/ 2 (B)
(Que son a la vez restricciones lineales), entonces tenemos un LP y en la solución ó ptima de este LP ya sea: y
y
restricción (B) o restricción (C) está satisfecho con la igualdad, en el que la restricción caso (A) también está satisfecho con la igualdad, o ni restricción (B), ni restricción (C) está satisfecho con la igualdad, es decir y <(7x 1 +4 x 2 3 x 3 9 x 4) / 2 y y <(x 1 4 x 2 +2 x 3) - pero en este caso podemos aumentar y (sin cambiar los valores de x i), el aumento de la función objetivo (suponiendo que P + C 1 + 2c 2> 0) y contradiciendo la declaración (arriba) que ya teníamos la solución óptima.
Por lo tanto, el caso (b) no puede ocurrir y por lo tanto el caso (a) es válida - de restricción sustituyendo (A) por las limitaciones (B) y (C) genera una formulación LP válida del problema. Tenga en cuenta que este problema pone de manifiesto que, incluso si nuestra formulación inicial del problema es no lineal que puede ser capaz de transformarlo en un LP. Tenga en cuenta también que es relativamente fácil de extender la formulación LP del problema para hacer frente a la situación en la que pueden cuerpos / extremos no utilizados al final de una semana están disponibles para la producción de la semana siguiente.
Problema de planificación de la producción Una empresa fabrica un producto que requiere, en la etapa de montaje final, tres partes. Estas tres partes se puede producir por dos departamentos diferentes que se detallan a continuación. Producción (unidades / hr) Parte 1 Parte 2 Parte 3 Coste (¼ / h)
Departamento 1 7 6 9 25.0 Departamento 2 6 11 5 12.5
Una semana, terminó 1050 (montado) los productos se necesitan (pero hasta 1200 se puede producir si es necesario). Si un departamento tiene 100 horas de trabajo disponibles, pero el departamento 2 tiene 110 horas de trabajo disponibles, formular el problema de minimizar el costo de producir el acabado (montado) los productos necesarios de esta semana como un LP, sujetas a la restricción de que el espacio de almacenamiento limitado significa que un total de sólo 200 piezas sin montar (de todo tipo) se pueden almacenar en la final de la semana. Nota: debido a la forma de organizar la producción en los dos departamentos que no es posible producir, por ejemplo, sólo una o dos piezas en cada departamento, por ejemplo, una hora de trabajo en el departamento de una parte produce 7 unidades de 1, 6 piezas 2 unidades y 9 de la parte 3 unidades y esto no puede ser alterado. Solución de planificación de la producción Variables
Tenemos que decidir la cantidad de tiempo dedicado a la producción de piezas en cada departamento (ya que, obviamente, no podrá hacer uso de todos los tiempo de trabajo disponible) y también para decidir el número total de acabado (montado) los productos elaborados. De ahí que: x i = número de horas de uso en el departamento de i (i = 1,2) y = número de acabado (montado) los productos elaborados donde x i> = 0 i = 1,2 e y> = 0 y (como es habitual) se supone que las partes fraccionarias de las variables en la solución numérica de la LP no son significativas. Limitaciones y
las horas de trabajo disponibles
x 1 <= 100 x 2 <= 110 y
número de productos ensamblados producido
1050 <= y <= 1200 y
limitaciones de la producción sobre las horas trabajadas en el número de productos ensamblados
Nosotros producimos (7x 1 + 6x 2) parte 1 unidades, (6x 1 + 11x 2) parte 2 unidades y + 9 x 5 x 2) parte 3 unidades. Ahora, para asegurarse de que el número de productos ensamblados producido es exactamente y que necesitamos al menos una parte y 1 unidades, al menos en parte y 2 unidades y al menos una parte y 3 unidades. Por lo tanto tenemos las tr es restricciones
(1
7x 1 + 6x 2> = y 6x 1 + 11x 2> = y 9 x 1 + 5x 2> = y y
el número total de partes (de todo tipo) es producido (7x 1 + 6 x 2) + (6 x 1 + 11x 2) + (9 x 1 + 5x 2) = 22x 1 + 22x 2. Ya que producen productos con exactitud y montado el número de piezas sobrantes al final de la semana (22x 1 + 22x 2) - 3y y por lo tanto la restricción en relación con el limitado espacio de almacenamiento está dada por
22x 1 + 22x 2 - 3y <= 200 Objetivo
minimizar 25.0x 12.5x
1
+2
Extensiones obvia a este problema cada vez mayor participación (desde el valor actual de 3) el número de piezas necesarias para el producto terminado y el cambio de la relación de las piezas utilizadas en un producto terminado de su valor actual de 1:01:01.
