I.U.P.S.M.
EXTENSION MARACAIBO
ESCUELAS INDUSTRIAL - SISTEMAS
UNIDAD II: PROGRAMACION LINEAL
CATEDRA
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INVESTIGACION DE OPERACIONES I
DOCENTE
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ING. JOWARD COLINA
NRO. COPIAS
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1. PROGRAMACION LINEAL (P.L.)
“La carga de combustible de un avión puede hacerse en cualquiera de las escalas a lo largo de una ruta de vuelo. El precio del combustible varía entre escalas y se pueden obtener ahorros potenciales cargando más combustible en un lugar más económico para usarlo en tramos de vuelo subsecuentes. La desventaja es que el peso adicional del combustible cargado hará que consuma más gasolina. La programación lineal se utiliza para determinar la cantidad óptima de carga de combustible que equilibre el costo del consumo excesivo frente a los ahorros en el combustible.” (Taha, 2012) “La escasez de recursos puede causar, para alcanzar los objetivos, movimientos imprevistos en las estrategias de las operaciones; además, los precios de muchos de los recursos se están elevando de manera incontrolada. Lo limitado de los recursos disponibles y su elevado precio actúan como incentivo doble para utilizarlos al máximo. Hoy día, quizás como nunca antes, los gerentes de operaciones se han de alcanzar, a pesar de las restricciones impuestas sobre sus organizaciones por esta escasez de los recursos.” (Gaither y Frazier, 1999.) La programación lineal es una técnica matemática que aplica modelos de optimización en los que las funciones objetivo y restricciones son estrictamente lineales, produciendo algoritmos eficientes de cómputo en la búsqueda de encontrar la solución óptima.
Todos los modelos de IO, incluyendo el de PL, consta de tres componentes básicos: Las variables u opciones que se pretenden determinar. El objetivo o meta que se necesita optimizar (maximizar o minimizar). Las restricciones que la solución debe satisfacer.
2. PASOS PARA LOS PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL
2.1.
Identificación del problema de programación lineal
Para identificar la existencia de un problema de programación lineal debemos tomar en cuenta las características de los mismos:
2
2.2.
Debe existir un objetivo bien definido. Deben existir alternativas de acción disponibles. El objetivo debe estar restringido por recursos u otras limitaciones. El objetivo y cada una de las restricciones deben quedar expresados como funciones matemáticas lineales. Formulación del problema de programación lineal
Luego de identificar la existencia del problema de PL se debe realizar la formulación del mismo a través de los siguientes pasos: 2.3.
Defina el Objetivo. Defina las variables de decisión. Escriba la función matemática del objetivo (Función Objetivo). Con una o dos palabras describa cada una de las restricciones. Escriba el lado derecho (LDE) de cada restricción, incluyendo las unidades de medida. Escriba el símbolo correspondiente para cada restricción (menor igual, mayor igual o igual). Escriba todas las variables de decisión en el lado izquierdo de cada restricción. Escriba en cada restricción el coeficiente correspondiente a cada variable de decisión. Establezca el supuesto de no negatividad para cada variable de decisión. Solución de problemas de programación lineal
Puede efectuarse por medio de los métodos gráficos y simplex aplicación manual y a través de software enfocados en la optimización (maximizar las ganancias o minimizar los costos) 2.3.1.
Método Grafico
Pasos para la solución de problemas de programación lineal a través de la utilización del método grafico: Formule las funciones objetivos y sus restricciones. Dibuje los ejes cartesianos identificando cada variable, una en el eje horizontal y otra en el eje vertical. Trace cada una de las restricciones como si fueran líneas o desigualdades.
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Delinee el espacio de la solución factible Circule los puntos de solución potencial, siendo las mismas las intersecciones o ejes en el perímetro interior (minimizar) o exterior (maximizar), o del espacio de la solución factible. Reemplace cada uno de los valores de los puntos de solución potencial de las dos variables de decisión en la función objetivo y determine el valor de Z. Seleccione aquel punto de solución que optimice Z. 4
2.3.2. Método Simplex Es un procedimiento algebraico que mediante un proceso iterativo bien definido, se acerca progresivamente a la solución óptima de un problema de programación lineal. Los pasos a seguir para el desarrollo del método simple son los siguientes: Transformar el sistema de inecuaciones lineales en un sistema de ecuaciones lineales, mediante la utilización de variables de holgura. Construir la tabla simplex Obtener la solución básica factible inicial. Para ello, las variables no básicas se hacen igual a cero y las variables básicas tomaran el valor que se encuentra en el lado derecho de la tabla. Efectuar la prueba de optimalidad, la cual establece que la solución factible básica obtenida es óptima cuando todos los coeficientes de la función objetivo son positivos; en caso contrario se continúa al paso siguiente. Determinar entre las variables no básicas aquella que pasara a ser básica, para ello se observa en la tabla inicial de la fila correspondiente a la función objetivo y al coeficiente menor de los negativos o haciendo abstracción al signo, el de mayor valor absoluto, representara a la variable que entrara a base (VQE). Determinar la variable básica que pasara a ser no básica, para ello se divide el lado derecho de las ecuaciones correspondientes a las restricciones entre el coeficiente que le corresponde a la variable que entrara a la base, y el cociente que resulte menos, representara la variable que pase a ser no básica, es decir, la variable que sale de la base (VQS). Elemento pivote. Elaborar la nueva tabla simple, para ello el pivote debe ser igual a 1. Si no lo es, se lleva a 1 dividiendo a la fila donde se encuentra por su valor. Luego, los demás elementos donde se encuentre el pivote deben ser iguales a 0. Para lograr esto, se multiplica la fila donde el pivote tiene el
valor de la unidad por el valor del elemento que se quiere hacer 0 cambiando de signo y se le suma, miembro a miembro, a la fila donde se encuentra el elemento antes mencionado. De la tabla que resulta se obtiene una nueva solución factible básica, se hace la prueba de optimalidad, si los coeficientes de la función objetivo son mayores e iguales a 0, se detiene el proceso porque la solución es optima, en caso contrario, se repite de nuevo el proceso y así sucesivamente hasta obtener la solución optima. 5
3. EJERCICIOS PROPUESTOS
3.1.
Método Grafico 3.1.1. La división de Extensión de la universidad en su área de educación continua se encuentra en la capacidad de ofrecer un total de 30 cursos cada semestre. Los cursos ofrecidos suelen dividirse en las dos áreas: Ingeniería y Arquitectura. Para satisfacer la demanda de todos los estudiantes se deben ofrecer por lo menos 10 cursos por tipo cada semestre. La división estima que los ingresos por el ofrecimiento de los cursos son aproximadamente de 1500Bs. Para el área de ingeniería y 1000Bs. Para el área de arquitectura (por curso). ¿Cuántos cursos de cada área debe ofrecer la universidad para maximizar sus ganancias? 3.1.2. Un estudiante de Arquitectura de la universidad se da cuenta que solo trabajar en sus tareas lo hacen un chico aburrido, por lo que le parece debe tomar tiempo para salir a divertirse y compartir con sus amigos. Desea distribuir su tiempo disponible de no más de 10 horas al día entre las tareas de la universidad y la diversión con sus amigos. Estima que divertirse es dos veces más entretenido que hacer tareas. Sin embargo, Daniel comprende que para cumplir con sus tareas no puede divertirse más de 4 horas al día ¿Cómo debe distribuir su tiempo para maximizar su placer tanto de trabajar como de divertirse? 3.1.3. Una empresa agropecuaria de la ciudad produce y sirve un alimento especial para sus cerdos a bajo costo mezclando con el uso de una tolva ciertas materias primas. Los ingredientes principales son Harina de avena y Harina de maíz. Actualmente, adquirir dichas materias primas impone un costo de 10Bs. Por kilo de harina de avena y 6Bs.
Por kilo de harina de maíz. Cada cerdo debe consumir al menos 5000 unidades de mineral y 8000 calorías diarias. Cada kilogramo de las harinas de avena y maíz suministra estos componentes en las cantidades que se muestran en la siguiente tabla. Materia Prima Harina de avena Harina de Maíz
Minerales x kg. 200 100
Calorías x kg. 200 400 6
¿Cuántos kilos de harina de cada tipo deberán mezclarse y darse a cada cerdo para minimizar los costos de alimentación?
3.1.4. Una compañía de productos químicos que produce dos tipos de desinfectantes (Lavanda y floral), cada uno en una línea de producción de volúmenes diferentes. La capacidad diaria de la primera línea (Lavanda) es de 600 unidades y la segunda (Floral) es de 750 unidades. Ambos productos en su proceso de producción requieren de ciertas porciones de un componente químico especial del cual solo se cuenta con 80.000 porciones máximas diarias. Cada unidad de la línea lavanda utiliza 100 porciones del componente especial, mientras que la línea floral solo requiere 80 porciones del mismo. La ganancia por unidad de cada producto es de 300Bs. Para la línea lavanda y 200Bs. Para la línea floral. Determine la producción diaria óptima de cada tipo de desinfectantes que maximice las ganancias de la compañía. 3.1.5. La cantina necesita 16 cajas de tequeños, 5 de papitas y 20 de pasteles. La misma cuenta con dos proveedores que pueden suministrarle dichos productos pero solo venden estas piezas en contenedores completos. El proveedor A envía en cada contenedor 8 cajas de tequeños, 1 de papitas y 2 de pasteles. El proveedor B envía en cada contenedor 2 cajas de tequeños, 1 de papitas y 4 de pasteles. Si el proveedor A se encuentra a 150km de distancia y el B A 300km. Calcule cuantos contenedores habrá de comprar a cada proveedor, con el objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia de lo solicitado. 3.1.6. Como parte de un proceso estratégico de planeación, la empresa debe determinar para el siguiente año la mezcla de productos a manufacturar. La empresa produce dos líneas principales de productos para la industria de la construcción comercial: una línea de sierras
circulares portátiles para uso pesado y una línea de sierras de mesa de precisión. Las dos líneas comparten una misma capacidad de producción y se venden a través de los mismos canales de venta. Aunque dentro de la línea de productos existe alguna diversidad, la utilidad promedio es de 900Bs. Por cada sierra circular y de 600Bs. Por cada sierra de mesa. La capacidad de producto está limitada de dos maneras: capacidad de fabricación y de ensamble. Todos los meses están disponibles un máximo de 4000 horas de capacidad de fabricación; cada sierra circular requiere de 2 horas y cada sierra de mesa 1 hora. Hay disponibles al mes un máximo de capacidad de 5000 horas de ensamble y cada sierra circular requiere 1 hora y cada sierra de mesa requiere 2 horas. El departamento de comercialización estima que existirá en el mercado para el año próximo una demanda máxima de 3500 sierras al mes para ambas líneas de productos combinados. ¿Cuántas sierras circulares y cuantas sierras de mesa deberán producirse mensualmente el próximo año para maximizar las utilidades? 3.1.7. Una compañía trabaja 10 horas al día y fabrica dos productos en tres procesos secuenciales. La siguiente tabla resume los datos del problema: Productos A B
Duración de los procesos (Min/Unid) 1 2 3 10 6 8 5 20 10
Utilidad unitaria 2$ 3$
¿Cuál es la combinación optima de fabricación de los dos productos? 3.1.8. PAVCO, una planta de maquinado de producción ubicada en el estado Aragua, manufactura válvulas grandes para cabezales de pozos de la industria petrolera. La industria produce sobre pedido dos tipos de válvulas: de compuerta y cónicas. Los pedidos pendientes de PAVCO son cuantiosos y pueden escoger y tomar de los pedidos disponibles para desarrollar la mejor mezcla de producción de válvulas de compuertas y cónicas. La utilidad de PAVCO es de aproximadamente de 1.800Bs. por cada válvula de compuerta y de 2.600Bs. por cada válvula cónica. En la planta ay tres departamentos principales: fundición, maquinado y forja. Cada departamento trabaja dos turnos de 8 horas, cinco días a la semana. La tasa de producción de las válvulas en cada departamento de producción aparece a continuación:
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Tasas de producción por departamentos (Válvulas/Turno) Válvulas Fundición Maquinado Forja Compuerta 2.0 1.0 0 Cónicas 1.6 2.0 0.8 Para los efectos de control, la administración de PAVCO requiere que cualquier válvula que se haya iniciado en cualquier semana debe terminar en ese mismo periodo, de tal forma que no se encuentre inventario en proceso durante los fines de semana. ¿Cuántas válvulas de compuerta y cónicas se producen semanalmente para maximizar las utilidades? 3.1.9. Una compañía está desarrollando un plan estratégico a largo plazo para adquirir chatarra que será utilizada en sus operaciones de fundición. La compañía puede comprar chatarra en cantidades ilimitadas desde dos estados, Falcón y Barquisimeto, y la recibe todos los días en carros de ferrocarril, la chatarra se funde y el plomo y el cobre se extraen para el uso de los procesos de fundición. Cada carro de ferrocarril de chatarra proveniente de Falcón rinde 1 tonelada de cobre y 1 tonelada de plomo y cuesta 10.000Bs. cada carro de ferrocarril de chatarra proveniente de Barquisimeto rinde 1 tonelada de cobre y 2 toneladas de plomo y cuesta 15.000Bs. Si en el futuro predecible la fundición necesita por lo menos 2.5 toneladas de cobre y un mínimo de 4 toneladas de plomo al dia. ¿Cuántos carros de ferrocarril de chatarra deben comprarse diariamente a cada estado?
3.2.
Método Simplex
Inicie la aplicación del método simplex con los datos de los ejercicios planteados en la parte anterior (Método grafico) marcados con un número PAR, es decir: 3.1.2. Caso: Estudiante de la carrera de Arquitectura 3.1.4. Caso: Compañía productora de Desinfectantes 3.1.6. Caso: Empresa fabricante de Sierras 3.1.8. Caso: Compañía Fabricante de Válvulas
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Método simplex Minimización
3.2.1. Una Fábrica dispone de dos procesos diferentes para producir su artículo Premium, independientemente del proceso mediante el cual se obtenga dicho artículo, la materia prima utilizada es la misma. En el cuadro siguiente se muestra la cantidad de materia prima utilizada y el costo por unidad producida. Alternativas Proceso 1 Proceso 2 Disponibilidad
Consumo Materia Prima 1 Und 2 Und 20Und / Día
Costo por Unidad 2$ 3$
Además, la capacidad de almacenamiento de los sistemas de la empresa solo admiten 15 unidades diarias de producto terminado debido al tamaño de los mismos. ¿Cuántos artículos Premium debe producir la fábrica según cada proceso para minimizar el costo de producción total? 3.2.2. Resuelva el siguiente modelo matemático utilizando el método simplex Min Z = - 3X1 + 8X2 Sujeto a: 4X1 + X2 ≤ 13 2X1 + 3X2 ≤ 6 X1, X2 ≥ 0 Método simplex con MAS de dos variables de decisión
3.2.3. Una comerciante desea maximizar sus ganancias en un nuevo negocio al que ha apostado, por lo que ha contratado de sus servicios para ayudarle a decidir cuántos productos de cada tipo existente debe adquirir, luego de analizar las opciones y estimar la demanda correspondiente se estableció el siguiente modelo matemático: Max Z = 4X1 + 3X2 + 6X3 Sujeto a: 3X1 + X2 + 3X3 ≤ 30
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2X1 + 2X2 + 3X3 ≤ 40 X1, X2, X3 ≥ 0 ¿Cuántos productos de cada tipo debe adquirir su cliente?
3.2.4. Una compañía de manufactura se dedica a la fabricación de tres productos A, B y C. El procedimiento de producción involucra tres operaciones: formación, acabado e inspección. El departamento de ingeniería industrial, ha establecido los siguientes estándares de producción en cada operación. Tiempo de producción (Minutos/Producto) Productos Formación Acabado Inspección A 2 3 2 B 6 6 2 C 2 2 4 El departamento de contabilidad por su parte pronostica los siguientes costos e ingresos para la compañía.
Producto A B C
Datos de Costos e Ingresos de la Compañía Costo de Costo de Costo Total producción Materiales 18,00 12,00 30,00 50,00 15,00 65,00 25,00 20,00 45,00
Precio de venta 50,00 100,00 90,00
Se desea saber el número de cada tipo de producto que deberán producirse de tal manera que se optimice el beneficio por las 8 horas de trabajo al día.
Casos Especiales en el uso del Método Simplex Empate para la variable básica que entra: Se puede elegir de manera arbitraria, de igual manera se llegara a la solución optima y no hay un método para predecir cuál variable llevara a la solución óptima con mayor rapidez.
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Empate para la variable básica que sale (Degeneración): En estos casos se deben descomponer arbitrariamente a fin de determinar la variable que sale. Cuando esto sucede, las variables básicas serán necesariamente cero (0) en la próxima iteración. Se dice que la solución es degenerada. Esto indica que el modelo tiene cuando menos una restricción redundante. Para ello se para el proceso y se indica que es una solución degenerada. Aunque, existen casos en los que la solución es ligeramente degenerada. 3.2.5. Resuelva el siguiente modelo matemático usando el método simplex: Max Z = 3X1 + 9X2 Sujeto a: X1 + 4X2 ≤ 8 X1 + 2X2 ≤ 4 X1, X2 ≥ 0 Infinidad de soluciones o soluciones optimas múltiples: Cuando se observe que uno de los coeficientes de las variables No básicas en la función objetivo sea cero (0) se está en presencia de soluciones múltiples. 3.2.6. Aplique el método simplex para resolver el siguiente problema de programación lineal. Max Z = 2X1 + 4X2 Sujeto a: X1 + 2X2 ≤ 5 X1 + X2 ≤ 4 X1, X2 ≥ 0 No hay variable básica que sale: Si en cualquier iteración los coeficientes de las restricciones de las variables No básicas son NO positivos o cero (0) entonces el espacio de soluciones no está acotada en esa dirección. Puede que se haya cometido un error en el planteamiento del problema pero sin más que hacer cálculos se concluye “No tiene solución”. 3.2.7. Resuelva el siguiente modelo matemático usando el método simplex: Max Z = 2X1 + X2
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Sujeto a: X1 – X2 ≤ 10 2X1 ≤ 40 X1, X2 ≥ 0 Solución Infactible: Si no pueden cumplirse las restricciones del problema de manera simultánea se dice que el modelo no tiene solución. 3.2.8. Aplique el método simplex para resolver el siguiente problema de programación lineal. Max Z = 3X1 + 3X2 Sujeto a: 3X1 + 3X2 ≤ 2 3X1 + 3X2 ≤ 12 X1, X2 ≥ 0 Solución artificial para el Método Simplex
En los casos en que los problemas de programación lineal posean restricciones con signos ≥, = ó lado derecho de la ecuación (LDE) negativo se deben emplear técnicas de variables artificiales. Es importante saber que dichas variables no poseen ningún tipo de significado físico en el problema original, es por ello que deben hacerse cero (0) en la iteración optima. Para lograr esto existen dos métodos que se describen a continuación:
Método de la “M” o Método de Penalización
El procedimiento consiste en construir un problema artificial que tiene la misma solución óptima que el problema real, haciendo dos modificaciones a este. Introducir una variable artificial NO negativa en la ecuación correspondiente (restricción que posea el signo ≥ o =) como si fuera una variable de holgura.
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Se asigna una penalización enorme “M” a la función objetivo por el ingreso de esa variable artificial. En el caso de maximizar, dicha penalización será negativa (-M) multiplicada por la misma variable artificial introducida en la ecuación descrita en el paso anterior. En caso de minimizar, la penalización se realizara bajo las mismas condiciones pero con el signo contrario (+M). Donde, “M” representa un numero positivo MUY GRANDE (M ≥ 0) Luego de ello se debe convertir la función objetivo a su forma apropiada, eliminando dicha variable básica de la misma mediante operaciones algebraicas.
3.2.9.
Una repostera debe entregar un pedido de 3 unidades de sus famosas tortas, el cliente no ha sido especifico en el tipo de tortas que desea, por lo que la repostera debe decidir que presentaciones entregarle al final del día. Debido a la escasez de materiales solo puede realizar dos tipos, Marmoleada o Chocolate. Independientemente, debe usar cacao, del cual solo posee 4 porciones. Cada torta de chocolate requiere dos porciones del ingrediente, mientras que la marmoleada solo necesita 1 porción. La utilidad que generan las tortas es directamente proporcional al precio de la misma ya que se maneja el mismo margen porcentual de utilidad. El precio de venta de las tortas es de 3000Bs. Para la presentación de chocolate y 2000Bs. Para la marmoleada. ¿Qué presentación de tortas y en qué cantidad debe entregar la repostera al final del día, tomando en cuenta la escasez del producto y maximizando la posible ganancia por su trabajo?
3.2.10. Aplique el método simplex para resolver el siguiente problema de programación lineal. Min Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 Sujeto a: 2X1 + 2X2 + 3X3 ≥ 15 2X1 + 3X2 + X3 ≤ 12 X1, X2, X3 ≥ 0
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3.2.11. Resuelva el siguiente modelo matemático usando el método simplex: Max Z = 4X1 + X2 Sujeto a: 3X1 + X2 = 3 4X1 + 3X2 ≥ 6 X1 + 2X2 ≤ 3 X1, X2 ≥ 0 14
Método de las Dos Fases
La desventaja del método de la “M” es el posible error de cómputo que podría resultar de asignar un valor muy grande a dicha constante. Esta situación podría presentar errores de redondeo en las operaciones. Para evitar esta dificultad el problema se puede resolver en DOS FASES. FASE I: Formule un nuevo problema reemplazando la función objetivo por la suma de las variables artificiales. La nueva función objetivo se minimiza sujeta a las restricciones del problema original. Si el problema tiene un espacio factible, el valor mínimo de la función objetivo será cero (0), lo cual indica que todas las variables artificiales son cero. En ese momento pasamos a la fase II. NOTA: Si el valor mínimo de la función objetivo optima es positivo, es decir, mayor que cero (Z > 0) el problema no tiene solución y termina anotándose que no existen soluciones factibles. FASE II: Utilice la solución optima de la fase I como solución de inicio para el problema original. En este caso se reemplazan los valores de la función objetivo por los originales y se elimina la columna de la(s) variable(s) artificiales, aplicando a esta nueva tabla los criterios del método simplex convencional. Inicie la aplicación de este método con el primer ejemplo del método anterior 3.2.9. Caso: Repostera verificando la consistencia entre los dos métodos.
3.2.12. Resuelva el siguiente modelo matemático usando el método simplex: Min Z = 2000X1 + 500X2 Sujeto a: 2X1 + 3X2 ≥ 36 3X1 + 6X2 ≥ 60 X1, X2 ≥ 0 15
3.2.13. Aplique el método simplex para resolver el siguiente problema de programación lineal. Max Z = 6X1 + 4X2 + 4X3 Sujeto a: 3X1 + 6X2 + X3 ≤ 20 2X1 + X2 + 2X3 = 15 X1, X2, X3 ≥ 0
