UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. COMPETENCIA ESPECÍFICA A DESARROLLAR: Modelar y resolver diferentes problemas de aplicaciones de sistemas de ecuaciones lineales en el área de las matemáticas y de la ingeniería por los métodos de Gauss, Gauss-Jordan, matriz inversa y regla de Cramer.
3.1 DEFINICIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:
++++== + + =
El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables , y que satisfacen las tres ecuaciones. El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico. En general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:
++ +⋯+ = +⋯+ = … … … … … + +⋯+ = , … , =ℝ,ℂ,… ∈ ⋯⋯ = ⋮ ⋮ ⋱⋯ ⋮ ⋮ ⋮ = =
Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo . Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos: Donde es una matriz m por n, es un vector columna de longitud n y vector columna de longitud m.
es otro
3.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCIÓN. Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma: Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución. •
•
•
Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones: Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales. •
Ejemplo: •
= += = = = =
Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son.
Ejemplo: •
Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra.
Ejemplo:
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
3.2 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y TIPOS DE SOLUCIÓN. Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma: Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución. •
•
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Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones: Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales. •
Ejemplo: •
= += = = = =
Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son.
Ejemplo: •
Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son proporcionales a los de la otra.
Ejemplo:
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor. En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:
+= = = = → → +=→ += → =→ = → = = =
En la primera primer a ecuación, seleccionamos selecciona mos la incógnita y por ser la de menor me nor coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación. El siguiente paso será sustituir cada cad a ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x. Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto. El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones. Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita en ambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:
= = + = + → =+→ =+ → =→ = → =
Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son iguales entre sí.
Una vez obtenido el valor de la incógnita x, se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la y. La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar el valor de la y.
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
+= += 22+3=5 →= 46=10 + 5 +6=4 →= =
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por la incógnita . Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:
para poder cancelar
Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita ha sido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a:
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema. El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano cartesiano, es decir para un espacio de dimensión 2. El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método gráfico se resuelve en los siguientes pasos: • •
•
Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado obteniendo la tabla de valores correspondientes. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los únicos valores de las incógnitas . "Sistema compatible determinado". Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado». Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución. •
•
•
,
EJEMPLOS Problema 1: Un constructor requiere comprar 8 sacos de cemento, al cotizarlo resulta que el costo total a pagar es $904.00 ¿Qué precio unitario tiene cada saco de cemento?
Solución:
= $904. 0 0= =8 = = 904=8 →= = 9048 = Respuesta:
Problema 2: Un albañil requiere de 3 kilos de clavos de 2 ½ pulgadas, además de 6 varillas de 3/8, al cotizarlo la encargada le dice el precio total a pagar es de $564.00, en ese instante otro cliente recibe la cotización de un kilo de clavos 2 ½ pulgadas y cuatro varillas en total tiene que pagar la cantidad de $350.00 ¿Encontrar el precio unitario del kilo de clavos y de cada varilla?
==
==
Solución:
6=486 ==4866 1+4=350 3+6=564 36=564 3+12=1050 +4 8 1=350 +324=350 =350324 = Respuesta:
3.3 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS SOLUCIONES. Cada ecuación representa un plano en el espacio tridimensional. Luego se trata de estudiar la posición relativa de tres planos en el espacio. Las soluciones del sistema son geométricamente los puntos de intersección de los tres planos, los casos son:
Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en P.
Son soluciones todos los puntos representativos de la recta común. Sistema compatible indeterminado con un grado de libertad. Los planos se cortan en r.
Los planos son coincidentes. El sistema es compatible indeterminado con dos grados de libertad.
El sistema es incompatible. Esta situación se presenta geométricamente de distintas maneras. Para estudiar las posiciones relativas de los planos hay que tomarlos de dos en dos. Se pueden presentar varios casos: Que los planos sean paralelos:
3.4 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: GAUSS, GAUSS-JORDAN, INVERSA DE UNA MATRIZ Y REGLA DE CRAMER. Es el método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales, que consiste en llegar a un sistema "escalonado" transformando la matriz ampliada en una matriz escalonada por filas. El método de Gauss es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar la matriz ampliada con los términos independientes en una matriz triangular, de modo que cada fila (ecuación) tenga una incógnita menos que la inmediatamente anterior. Se obtiene así un sistema, que llamaremos escalonado, tal que la última ecuación tiene una única incógnita, las penúltimas dos incógnitas, la antepenúltimas tres incógnitas, y la primera de todas las incógnitas. Para resolverlo despejamos, en primer lugar, la única incógnita de la última ecuación. Luego sustituimos ésta en la penúltima ecuación y despejamos la otra incógnita. Posteriormente, sustituimos dos de las tres incógnitas de la antepenúltima ecuación por sus valores y despejamos la que queda, y así sucesivamente hasta llegar a la primera ecuación.
EJEMPLOS Problema 1: Julián, Selena y Abigail se van de parranda y deciden tomarse un refresco, al estar platicando se les antojan unos tacos y un pedazo de pastel, al final Julián tiene que pagar la cantidad de $238.00, al registrar la nota de venta se les notifica lo siguiente una persona pidió un refresco, 5 tacos y una rebanada de pastes y su total fue de $67.00, una segunda persona pidió un refresco, 4 tacos y 2 rebanadas de pastel y en total tenía que pagar $86.00, la tercer persona pidió 2 refrescos, 6 tacos y una rebanada de pastel y tenía que pagar $85.00. Encontrar el precio unitario de los refrescos, tacos y la rebanada de pastel.
+ + = + + = + + = 1|1 54 12 68 76| 12 26185
Solución:
= = = 1|0 15 11 1967 |1 |10 51 11 1967 |4 0 4 1 49 0 4 1 49
1|0 51 11 1967 | |10 15 11 1679| 0 0 5 125 0 0 1 25 +5=19 + =67 25=19 +55=67 =19+25 =6755 = = = ++++== + + = | | 14 4 2 1 6 42 10 6 8 1 4 2 6 8 2 0 1 3 1 10 1 1 10 1 10 1 +++= = = 0 0 0131 0012 + 52 5+ 52 2= 12 → + 252 + 102 2= 12 → = 12 + 152 = 162 = + 43 2= 73 → = 73 83 = 153 = = = = += += 1 1 + = 35 206 265 31 20 5 3 0 0 1 = Respuestas:
Problema 2:
Solución:
Respuestas:
Problema 3:
Solución:
+ 65 (103108)= 265 → +(618540)= 265 → +(10390)= 265 → = 265 10390 = = = ++== + = Respuestas:
Problema 4:
1 2 3|2 13 64 22 94| 12 3 24 2 4 24 0 0 4 3 2 1 2 6 4 3 2 1 2 0 2 1 2 1 2 + 2 = =2 1 60 2 00 10 06 302 00 01 10 52 =5 + 23 +10= 293 → = 293 323 = 33 = Solución:
10 0
Respuestas:
Problema 5:
++ ++ == + + = 19|
= = = 53 1 3 5 9 0
Solución:
2|5 13 35 15 3466 3466 0 1|0 1/21 3/25 1/213 | |10 1/21 3/25 1/213 | 0 0 14 28 0 0 1 2
2
10 1 5 1 3 0
+ 12 3 + 32 2 = 12 → = 52=13 → = = Respuestas:
Problema 6:
+ + = + + = + + = 1 4|2 53 3 41 31| 12 3 4 3 21 0 2 10 1 5 5 1 3 4 5 1 3 4 5 0 0 10 1 5 5 10 1 5 5 ++5 +=5 = 0 0 11 0 0 1 2 = +52 =5→ 10=5→ =5+10= + 54 5+ 34 2= 114 → + 254 64 = 114 → = 114 194 = = = = ++ + = + = + + = 4|3 44 32 62| |13 14 3/42 6/42 | 34 10 11 3/4 6/4 1 4 3 2 1 4 3 2 1 0 1 1 5 Solución:
Respuestas:
Problema 7:
Solución:
10 11 3/4 6/4 10 11 3/4 6/4 0 0 0 0 1 6 1+1 34 6=5 64 → = 645 723 = 4 6 = 2→ = = 2 + 2 = = = = ++ == + = − − 1 5 2 2|5 12 35 41| 15 2 5 12 0 92 2 2 6 1 2 2 6 1 2 0 7 4 2 10 1 5− 182 710 1 5− 182 10 1 −5 1 28 +5 =18 =2 0 7 4 2 0 0 31 124 0 0 1 4 = 4=2→ +1252432=18→ =25= =1820= = = = = Respuestas:
Problema 8:
Solución:
Respuestas:
Problema 9:
+ = + = + =
Solución:
2|2 34 43 27 | 12 4 23 71 22 10 1 2 1 511 2 4 2 1 0 2 4 2 1 0 0 1 2 8 10 1 12 51 110 1 12 51 10 1 12 51 + +2 =5 =1 0 1 2 8 302+2 0 13=1→ 3 1 0=1+3= 0 1 3 = 2 3=5→ = =5+3= = = = Respuestas:
La eliminación de Gauss-Jordan, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.
EJEMPLOS Problema 1:
++ ++ == + + = 1|2 23 35 57| 23 |10 21 31 53|1|10 21 31 53 |32 3 3 6 6 0339 0339 1|0 01 1 1 31| |10 01 0 0 31| 0 0 1 0 11 0 0 1 0 = = = Solución:
Respuestas:
Problema 2:
++ ++ == + + =
Solución:
53 1 3 5 9 0
2
1 |253 134 356 6 153 4 6 6 0 00 1 5 1 3 1|0 01 54 613 | |10 10 45 163 | |10 01 00 23 | 0 0 14 28 0 0 1 2 54 0 0 1 2 = = =
19|
Respuestas:
Problema 3:
++++== + + = 1 4|2 53 3 41 31| 12 3 4 3 21 0 2 1 3 4 5 1 3 4 5 0 10 1 5 5 10 01 5 59 10 01 5 59 0 0 11 0 0 1 2 5 0 1|0 01 0 0 52| 0012 = = = Solución:
Respuestas:
Problema 4:
++ + = + = + + = 4|3 44 32 62| |13 14 3/42 6/42 | 34 10 11 11 4 3 1 2 01 1 44 3 21 10 1 4 0 1 1 5 00 10 00 10 1 6 1 |100 010 00 1 621| = = = ++ == + = 2|5 12 35 41| 15 2 5− 12 52 10 − 92 2 2 6 1 2 2 6 1 2 0 7 4 2 10 1 5− 182 7|10 01 51 718 | |10 10 15 178| 0 7 4 2 0 |010 013100 12432| 0 0 1 4 51 0 0 1 4 = = = Solución:
Respuestas:
Problema 5:
Solución:
Respuestas:
Problema 6:
+ = + = + = 2|2 34 43 27 | 12 4 23 71 22 10 1 2 1 511 21 42 2 11 0 21 04 2 1 0 1 00 1 2 8 00 11 21 58 100 10 11 53 1 00 10 11 53 1 1|0 10 0 0 42| 0 0 1 3 = = = ++++== + = 1|2 36 49 35| 13 |10 03 14 13 | |10 83 144 23 | 3 1 1 32 74 3 01 80 14 2 0 10 0 1 0 11 00 01 1 1300 01 1 1 |00 01 1 0 21| = = = + = + = + = Solución:
Respuestas:
Problema 7:
Solución:
Respuestas:
Problema 8:
Solución:
2|2 62 0 36 26| |12 61 0 33 16| 22 |10 1014 33 14| 2 4 2 2 2 4 2 2 0 16 4 0 1 0 10 101 3 1 1610 0 1 10 01 0 16 4 0 0 1 00 0 3 − 0 0 1 8 |00 10 01 28 | = = =
Respuestas:
La regla de Cramer utiliza las propiedades de las matrices y sus determinantes para despejar, por separado, una cualquiera de las incógnitas de un sistema de ecuaciones lineales. Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero
≠ 0
Un sistema de Cramer es, por definición, compatible determinado, puesto que se cumple que rango (A) = rango (A*) = n (nº de incógnitas).
EJEMPLOS Problema 1:
++ ++ == + + = | | ∆=234 56153 56+353 34=21820 13015 +3209 ∆=22 115 +311 =415+33= | | ∆ =134 56196 56+396 34=11820 15430 +33618 Solución:
∆ =12 124= +3∆=1828 =224+54= ∆ 14 = | |∆ =296 56153 56+353 96→ ∆ =224115+33=4815+9= ∆∆ = 4214 = = | |∆ =234 96153 96+153 34→ ∆ =218 13 +111 =363+11= = ∆∆ = 2814 = = = = ++ = + = + + = | | ∆=214 41623 41723 14=21 16 6212 783 ∆=215 610 75 =30+6035= | | ∆ =2114 416132 147132 41=2111662 527813 ∆ =211565075=315+300+35= ∆ 20 = = = ∆ 5 | | ∆ =2132 142123 41723 132 =22 52 212 12 7266 ∆ =250 2110 720 =100+210140= = ∆∆ = 305 = Respuestas:
Problema 2:
Solución:
| | ∆ =214 132 623 132 +2123 14=21 38 62 66 +2183 ∆ =25 620 +215 =10120+105= = ∆∆ = 55 = = = = ++++== + + = | | ∆=433 44521 44+321 33=41212 58 4 +363 ∆=4 0 5 4 +3 3 =20+9= | | ∆ =1133 44535 44+335 33=11121251220+3915 ∆ =58+3 6=4018= ∆∆ = 1122 = = | | ∆ =435 441121 44+321 35=41220 118 4 +3103 ∆ =48114+37=3244+21= = ∆∆ = 5511 = | | ∆ =433 35521 35+1121 33=41 59 51 03 +1163 ∆ =4657+113=2435+33= Respuestas:
Problema 3:
Solución:
= ∆∆ = 1122 = = = = Respuestas:
Problema 4:
+ + = + + = + + = | | ∆=443 22434 22+334 43=48 6 46 8 +3916 ∆=4242+37=8+821= | | ∆ =643 22421 22+321 43=68 644 2+364 ∆ =6242+32=128+6= ∆∆ = 510 = = | | ∆ =421 22634 22+334 21=44 2 668 +338 ∆ =42 62 +35 =8+1215= = ∆∆ = 55 = | | ∆ =443 21434 21+634 43=44 643 8+6916 ∆ =4245+67=8+2042= = ∆∆ = 305 = Solución:
= = = +++= = + + = | | ∆=534 55445 55+545 43 =52015 42025 +512+20 ∆=53545+532=175+20+160= | |∆ =2234 5541436 55+51436 43 = 222015418070+5108+56 ∆ =2235 4250∆+53052 =770+1000260= = ∆ = 5 = | |∆ =51436 552245 55+545 3614 =518070 222025 +556+180 ∆ =5250 225 +5236 =1750+110+1180= = ∆∆ = 405 = | | ∆ =534 3614 445 3614 +2245 43 = 556+108456+180+2212+20 ∆ =5524236+2232=260944+704= = ∆∆ = 205 = = = = Respuestas:
Problema 5:
Solución:
Respuestas:
Problema 6:
++== + = | | ∆=262 51 152 51 + 3 52 62 =22 30 15 +10 3304 ∆=228115334=5615+102= | | ∆ =462 51 112 51 + 3 12 62 =42 30 11+10 3 64 ∆ =428 111 310 =11211+30= ∆ 93 = = = ∆ 31 | | ∆ =212 51 452 51 352 12=21 +1045 +103102 ∆ =511 415 38 =226024= = ∆∆ = 6231 = | | ∆ =262 21152 12+452 62 =24+6 11 02 +4304 ∆ =210 18 +434 =208136= = ∆∆ = 12431 = = = = Solución:
Respuestas:
Problema 7:
+ = + = + = | | ∆=244 32+322 32+422 44=28+12+34 6+48+8 =86= ∆=24+3 2+4 0 | | ∆ =244 32+3107 23+4107 44=28+12+31430+428+40 ∆ =24+316+412=848+48= ∆∆ = 82 = = | | ∆ =2107 23222 32+422 107 =2143024 6+42014 ∆ =216 22 +46 =32+4+24= ∆ 4 = = = ∆ 2 | | ∆ =244 107 +322 107 +222 44=240+28+32014+28+8 ∆ =212 +36 =24+18= = ∆∆ = 62 = = = = Solución:
Respuestas:
Problema 8:
+ = + = + = | | ∆=246 32+2022 32+622 64=212+12+204 6+68+12 =40+24= ∆=20 2+6 4 | | ∆ =246 32+2062 32+662 64=212+12 +20126 +624+12 ∆ =20+206+612=12072= ∆∆ = 1648 = = | | ∆ =262 32222 32+622 62=21 26 24 6 +6412 ∆ =26 22 +68 =12+448= ∆ 32 = = = ∆ 16 | | ∆ =246 62+2022 62+222 64=212+24 +204 12 +28+12 ∆ =212 +208 +24 =24160+8= = ∆∆ = 12816 =8 = = = Solución:
Respuestas:
Una matriz inversa es una matriz que multiplicado por la matriz original obtiene la matriz de identidad. El inverso de un cuadrado n x n matriz, es otro n x n matriz denotado por A-1:
==
Donde es la n x n matriz identidad. Es decir, multiplicando su inversa una matriz produce una matriz de identidad. No todas las matrices tiene una matriz inversa. Si el determinante de la matriz es cero, entonces no tendrá una inversa y la matriz se dice que es singular. Sólo no singular matrices tienen inversas. Se puede encontrar la inversa de una matriz n x n general utilizando la siguiente ecuación:
− =
Sabiendo calcular la matriz inversa y multiplicando matrices también es posible resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre y cuando éste sea de Cramer (es decir, tenga igual número de ecuaciones que de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes no sea nulo). Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones utilizando la inversa son lo siguiente: 1. Calcular la inversa de la matriz A. 2. Multiplicar la inversa de la matriz A por la matriz B.
Problema 1:
++ ++ == + + = 33 46= 1812 = 34 46= 1816 = 34 33= 9 12 = 23 46= 1212 = 14 46= 6 16 = 14 23= 3 8 = Solución:
MENORES
23 44= 8 12 = 13 44= 4 12 = 13 23= 3 6 = 6| 0 102 53| |+ + +|= 4 8 3 + + 1 2 4 3 4 3 4 3 3 | |=1 2 +4 3 3 4 3 6 4 6 4 3 4 3 6 11812 21816 +49 12 =16 22 +43 =6412= 6 0 4 110 23 105 38 = / // / / / ++. 3 = 1/5 5 01 4/52/5 = ++. = 3/10 1/2 3/10 [ +. ] = = = COFACTORES
TRANSPUESTA
DETERMINANATE
INVERSA
Respuestas:
Problema 2:
++ ++ == + + =
Solución: MENORES
33 46= 1812 = 34 46= 1816 = 34 33= 9 12 = 23 16=1 23= 14 16=6 4= 14 23=3 8= 23 14=8 3= 13 14=4 3= 13 23=3 6= 69 22 35 |+ + +|= 5 1 3 + + 1 2 1 |34 33 46|=133 46234 46+134 33 1181221816+19 12=1622+13=643= 6 9 5 1 23 25 13= =62 29 51 =+= += 3 5 3 += = = = COFACTORES
TRANSPUESTA
DETERMINANATE
INVERSA
Respuestas:
Problema 3:
++++== + + = 33 44= 1212 = 21 44= 8 4 = 21 33= 6 3 = 53 34= 209 = 41 34= 1 63 = 41 53= 1 25 = 53 34= 2 09 = 42 34= 1 66 = 42 53= 1210 = 01 1 14 3 73 |+ + +|= 1 1 1 0 2 + + 4 5 3 |21 33 44|=433 44521 44+321 33 4121258 4+36 3=4054+33=20+9= 111 403 11713 10112 = [ ] Solución:
MENORES
COFACTORES
TRANSPUESTA
DETERMINANATE
INVERSA
0+35 0 1 1 = 114 1311 1011 113= 4 3911 + 5011 = [ 113 117 112 ] 5 [ 113 + 117 112 ] = = = Respuestas:
Problema 4:
++ + = + = + + = 43 22= 8 6 = 34 22= 6 8 = 34 43= 9 16 = 43 32=8 9= 44 32=8 12= 44 43=1216= 44 32=812= 43 32=8 9= 43 44=1612= 21 42 47 |+ + +|= 4 1 4 + + Solución:
MENORES
COFACTORES
TRANSPUESTA
DETERMINANATE
4 4 3 |34 43 22|=443 22434 22+334 43 48 646 8+39 16=4242+37=8+821= 15 722 441 414 = [ ] 2 1 4 = 525 545 515 =.. .+. +.. = = 7 4 4 . . . = 5 5 5 = = = + = + = + = INVERSA
Respuestas:
Problema 5:
Solución:
MENORES
44 32=8+12= 22 32=46= 22 44= 8+8= 43 42= 6+16 = 22 42= 4 8 = 22 34= 8+6 = 43 43=9+16= 22 43=68= 22 34=8+6= COFACTORES
4 10 42 20 |+ + +|= 7 2 2 + + | | ∆=244 32+322 32+422 44=28+12+34 6+48+8 ∆=24 +32 +40 =86= 412 2 104 72 = 0 2 2 =21 52 172 =.+= +. . = 0 1 1 . . . = = = = TRANSPUESTA
DETERMINANATE
INVERSA
Respuestas:
Problema 6:
++ + == + = 34 11=3+4= 11 11= 1+1= 11 34=4 3= Solución:
MENORES
24 11 = 24 = 11 11 = 11 = 11 24= 4 2 = 23 11 = 23 = 11 11 = 11 = 11 23= 3 2 = 1 6 0 2 21 |+ + +|= 5 2 1 + + | | ∆=134 11211 11+111 34=13+4 21+1 +143 ∆=1120+11=1+1= 12 101 226 521 = ] [ 1 5 3 = 20 1 12 =. +. = += 12 1 12 . +. = = = = ++++== + = COFACTORES
TRANSPUESTA
DETERMINANATE
INVERSA
Respuestas: Problema 7:
Solución:
MENORES
61 92=129= 23 29 =427= 23 61=2 18= 31 24 = 64= 13 24 =212= 13 31=1 9= 36 49= 2724 = 12 49= 9 8 = 12 36= 6 6 = + + 21 31 16 103 141 80 |+ + +|= | | ∆=161 923 23 29 +423 61=1129 3427 +42 18 ∆=121331+416=21+9364= 18 211631 14108 130 = ] [ 21 10 3 = 318 814 81 =... +.. +.= = 28 18 08 ++= = = = COFACTORES
TRANSPUESTA
DETERMINANATE
INVERSA
Respuestas:
3.5 APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES Las matrices son utilizadas en aplicaciones de gráficos de geometría, física e informática. La matriz de las cantidades o expresiones definidas por filas y columnas; tratados como un solo elemento y manipulados de acuerdo con las reglas. Cálculos de matriz pueden entenderse como un conjunto de herramientas que incluye el estudio de métodos y procedimientos utilizados para recoger, clasificar y analizar datos. En muchas aplicaciones es necesario calcular la matriz inversa donde esta calculadora en línea matriz inversa puede ayudarle a sin esfuerzo facilitan sus cálculos para las respectivas entradas. En casos simples, es relativamente fácil resolver una ecuación siempre y cuando se satisfagan ciertas condiciones. Sin embargo, en casos más complicados, es difícil o engorroso obtener expresiones simbólicas para las soluciones, y por ello a veces se utilizan soluciones numéricas aproximadas.
Problema 1: Determinar tensiones de AB y AC
200 9.81=1962 =cos45°=. =cos120°=. = 45°=. = 120°=. 0. 5 +0. 7 071 =0 0.8660 +0. 7 071 =1962 0. 5 0. 7 071 0. 8 660 0. 7 071 ∆= 0.353550.61235 =. AC
AB
0 0. 7 071 1962 0. 7 071 ∆= =01387. 3 302 =. 1387. 3 302 0.0.96595 =. 0 0. 8 660 1962 ∆= 9810 = = 0.9819659 =. Problema 2:
∑=. . += ∑=. +. = ∑=. . = 0.| 0.707759330 0.0.700468455 10| 0. 6 220 0. 7 646 0 000.0845500..76775220 00+100..76775220 0.0.77046646= ∆=0.0933010.0.770460.64659447650. 4382612 =.
0|1962 0.0.700468455 01| 0 19620.76460.70460 ∆=1 = 0 0. 7 646 1500.1500.145201452 =. 1= =. 1.0.00327377 9330 0 1 | 0.0.76775220 19620 00| ∆=100..76775220 19620 =101220.364 =1220.364 364 =. = 1.1220.0327377 0.| 0.707759330 0.0.700468455 19620 | 0.0.67220046 19620.7646 0 0.7775 1962 ∆=0.09330.7646 0 +0.084550.6220 0 ∆=0. 0 933 1 500. 1 52 +0. 0 8455 1220. 3 64 = 139. =9635472103. 1 453234 243.1.0327377 14532341817762=243. =.
Problema 3:
... .. = . = .+..= .|. .. ..| . . . ∆=0.39040.0.66047047 0.0.73682841+0.51830.0.74807880 0.0.736828410.51210.0.74807880 0.0.66047047 0.39040.0.227203841+0. 3226527+0.4464554 +0. 5 183 0. 7 874 0. 5 121 0 . 1 77 = 08109420.090624=. | .. .. | . . ∆=0. 5 133 3 84. 1 0. 5 121 3 02. 3 5 = 199.=07903154. 8 33435=44. 2 45595 44.0.58938216 245595 =. .|. .. | . . 0. ∆=0. 3 904 3 84. 1 5 121 244= 144.=95264+124. 9 524=274. 9 0504 274.0.58938216 90504 =. .|. .. | . . ∆=0. 3 904 302. 3 5+0. 5 153 244= 118. 0 3744126. 4 652=244. 5 0264 5 0264 = 244. 0.58938216 =.
