5.1
Definición y propiedades básicas
Problemas 5.1
De los problemas 1 al 27 determine si el conjunto dado es un espacio vectorial. De no ser así proporcione una lista de los axiomas que no se cumplen. 1. El conjunto de númer números os naturales N como vectores, el conjunto de númer números os naturales N como escalares y la operación de multiplicación para números números naturales. 2. El conjunto de números números naturales naturales N como vectores, el conjunto de númer números os naturales N como escalares, la operación de suma para números naturales y la multiplicación entre números númer os naturales para la operación de multiplicación de escalar y vector vector..
números enteros enteros Z como vectores, el conjunto de números naturales Z 3. El conjunto de números como escalares, la operación de suma para números enteros y la multiplicación entre números númer os enteros para la operación de multiplicación de escalar y vector vector.. 4. El conjunto de matrices diagonales diagonales de n por un escalar usuales.
3
n bajo la suma de matrices y multiplicación
5. El conjunto de matrices matrices diagonales de n 3 n bajo la multiplicación (es decir, A % B 5 AB ). ).
{(x ): y multiplicación ón por un escalar usuales. x, y y): y # 0; x, y reales} con la suma de vectores y multiplicaci 6. {( 7. Los vectores en el plano que está en el primer cuadrante. cuadrante.
(x, x ). x,, x x). 8. El conjunto de vectores en R3 de la forma (x 9. El conjunto de polinomios polinomios de grado 4 bajo las operaciones del ejemplo 5.1.7. 10. El conjunto de polinomios de grado 5 bajo las operaciones del ejemplo 5.1.7. 11. El conjunto de matrices simétricas de n 3 n (vea la sección 2.5) bajo la suma y multiplicación por un escalar esc alar usuales. 12. El conjunto de matrices de 2 3 2 que tienen la forma ción por un escalar usuales. 13. El conjunto de matrices
1
0 b
bajo la suma y multiplica0 a
con las operaciones de suma de matrices y multiplica1
ción por un escalar usuales. b donde a, b, c, d son son números reales diferentes de cero con la d a1 b1 a2 b2 a1a2 b1b2 5 operación de multiplicación de�nida por , el conjunto c1 d 1 c2 d 2 c1c2 d1d2 de escalares los reales positivos y la multiplicación de escalar y matriz la usual.
14. El conjunto de matrices
a c
15. El conjunto de vectores los los números números racionales Q con la operación de suma, el conjunto de escalares los númer números os enteros Z y la operación de multiplicación de escalar y vector la multiplicación usual. 16. El conjunto que consiste en un solo vector (0, 0) bajo las operaciones usuales en R2. 17.. El conjunto de polinomios 17 polinomios de grado grado # n con término constante cero. 18. El conjunto de polinomios de grado # n con término constante a0 positivo. 19. El conjunto de polinomios polinomios de grado # n con término constante a0 negativo.
f (1) valores reales de�nidas en [0, l] con f con f (0) (0) 5 0 y f (1) 20. El conjunto de funciones continuas de valores 5 0 bajo las operaciones del ejemplo 5.1.8.
303
304
CAPÍTULO 5
Espacios vectoriales
21. El conjunto de puntos en R3 que se encuentran sobre una recta que pasa por el origen. 22. El conjunto de puntos en R3 que se encuentran sobre la recta x 5 t 1 1, y 5 2t, z 5 t 2 l. 23. R2 con la suma de�nida por (x1, y1) 1 (x2, y2) 5 (x1 1 x2 1 1, y1 1 y2 1 1) y la multiplicación por un escalar ordinaria. Cálculo
24. El conjunto del problema 23 con la multiplicación por un escalar de�nida por a(x, y) 5 (a 1 ax 2 l, a 1 a y 2 l). 25. El conjunto que consiste en un objeto con la suma de�nida por objeto 1 objeto 5 objeto y la multiplicación por un escalar de�nida por a (objeto) 5 objeto.
Cálculo
26. El conjunto de funciones diferenciables de�nidas en [0, 1] con las operaciones del ejemplo 5.1.8. *27. El conjunto de números reales de la forma a 1 b 2 , donde a y b son números racionales, bajo la suma de números reales usual y la multiplicación por un escalar de�nida sólo para escalares racionales. 28. Demuestre que en un espacio vectorial el elemento idéntico aditivo es único. 29. Demuestre que en un espacio vectorial todo vector tiene un inverso aditivo único. 30. Si x y y son vectores en un espacio vectorial V , demuestre que existe un vector único z P V tal que x 1 z 5 y. 31. Demuestre que el conjunto de números reales positivos forma un espacio vectorial bajo las operaciones x 1 y 5 xy y ax 5 xa.
Cálculo
32. Considere la ecuación diferencial homogénea de segundo orden
y 0(x) 1 a(x) y9(x) 1 b(x) y(x) 5 0 donde a(x) y b(x) son funciones continuas. Demuestre que el conjunto de soluciones de la ecuación es un espacio vectorial bajo las reglas usuales para la suma de funciones y multiplicación por un escalar.
EJERCICIOS M
CON MATLAB
5.1
1. El archivo vctrsp.m es una demostración sobre la geometría de algunas propiedades de los espacios vectoriales de vectores en R2. A continuación se presenta el código de la función vctrsp.m function % VCTRSP % % % % % % % %
vctrsp(x,y,z,a) funcion que ilustra las propiedades geometricas de conmutatividad y asociatividad de la suma de vectores. Tambien la propiedad distributiva de la multiplicacion por un escalar de la suma de vectores x: y: z: a:
vector 2x1 vector 2x1 vector 2x1 escalar
% Inicializacion de datos usados en la funcion origen=[0;0];Ox=[origen,x];Oy=[origen,y];Oz=[origen,z]; xy=[x,y+x];yx=[y,x+y];yz=[y,y+z]; Oyz=[origen,y+z];Oxy=[origen,x+y]; xyMz=[x+y,x+y+z];yzMx=[y+z,x+y+z];Oxyz=[origen,x+y+z];
5.2
Subespacios vectoriales
VIII) Si H y K son los subconjuntos del problema VII, entonces H y K es un subespacio de R3. I IX) El conjunto de polinomios de grado 2 es un subespacio de P3.
Respuestas a la autoevaluación I) F
II) V
III) V
IV) V
VI) V
VII) F
VIII) V
IX) F
V) F
Problemas 5.2 De los problemas 1 al 29 determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio de V. 1. V 5 R2; H 5 {(x, y); x 5 3, y P R}
2. V 5 R2; H 5 {(x, y); y $ 0}
3. V 5 R2; H 5 {(x, y); x 5 y}
4. V 5 R2; H 5 {(x, y); y 5 2x}
5. V 5 R3; H 5 el plano xy
6. V 5 R2; H 5 {(x, y); x 2 1 y 2 # 1}
7. V 5 R2; H 5 {(x, y) : x 2 1 y 3 , 1} 8. V 5 M mn; H 5 {D P M mn; D es diagonal} 9. V 5 M mn; H 5 {T P M mn; T es triangular superior} 10. V 5 M mn; H 5 {T : T es triangular inferior} 11. V 5 M mn; H 5 {S P M mn: S es simétrica} 12. V 5 M mn; H 5 {A P M mn: aij 5 0} 13. V
5 M 22 ;
0 2a
H 5 A 5
a a , PR 0
14. V 5 R; H 5 Q 15. V 5 M 22;
M 22:
a 1 2 0
16. V 5 M 22; H 5 A 5
17. V 5 M 22;
18. V 5 M 22;
a 2 2 , a PR 0
M 22:
M 22:
19. V 5 P4; H 5 { p P P4: grado p 5 4} 20. V 5 Pn; H 5 { p P Pn: p(0) 5 0 y p9(0) 5 0} 21. V 5 P4; H 5 { p P P4: p(0) 5 0}
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