DESARROLLO DEL TEMA I. DE SUMA O DIFERENCIA A PRODUCTO
Sumando tendremos:
Sen(x + y) + Sen(x – y) = 2SenxCosy
Se le suele llamar también factorización trigonométrica
A
y consiste en expresar mediante un producto una determinada suma o diferencia. Para transformar a producto una expresión, esta deberá estar compuesta por la suma o diferencia de dos senos o cosenos con ángulos
x + y = A Haciendo: x – y = B Se obtiene: x =
ordenados de mayor a menor. Los ángulos resultantes en los factores del producto serán la semisuma y la
B
A +B A –B ∧y= 2 2
semidiferencia de los ángulos iniciales.
A +B A –B ∴ Sen(A) + Sen(B) = 2Sen 2 Cos 2
A. Suma o diferencia de senos a producto
Restando tendremos:
Sen(x + y) – Sen(x – y) = 2SenyCosx
A +B A –B SenA + SenB = 2Sen Cos 2 2
A
x + y = A Haciendo: x – y = B
A –B A +B SenA – SenB = 2Sen Cos 2 2
Se obtiene: x =
B. Suma o diferencia de cosenos a producto ∴
A +B A –B CosA + CosB = 2Cos Cos 2 2 A +B A –B CosA – CosB = –2Sen Sen 2 2
B
A +B A –B ∧y= 2 2
A –B A +B Sen(A) – Sen(B) = 2Sen Cos 2 2
B. Demostración de la transformación de cosenos Para efectuar estas demostraciones partiremos del coseno de la suma y diferencia de dos arcos (identidades de ángulos compuestos).
2SenACosB = Sen(A + B) + Sen(A – B) 2CosACosB = Cos(A + B) + Cos(A – B) 2SenASenB = Cos(A – B) – Cos(A + B)
A – B Sen A + B Cos(A) – Cos(B) = –2Sen 2 2
∴
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1 Simplificar: A= A) 2 2
A= Sen17°+Cos17° Sen31° Cos31° B) 2 2 C) 2
Por ángulos complementarios: Sen17° = Cos73°
Transformando a producto: 2Cos45° Cos28° Sen31°Cos31°
2 2 Cos28° Reemplazando y 2 aplicando artificio = 2 Sen31° Cos31° en el denominador. 2 Operando convenientemente: A=
2 2Cos28° Por razones complementarias Sen62°
Tema 13
Respuesta:
Problema 2
2 10 10 3 10 A) B) C) 5 5 5 5 2 5 D) E) 5 5
Cos73°+Cos17° Sen31°Cos31°
1 10 N = 2 → N= 5 10
Respuesta: 2 2
Si Tana = 3; 0 < a <
Resolución:
A=
p 2 Sen8a – Sen4a calcule N = 2Sena Cos6a
2 D) 4 2 E) 4
A=
2 2Cos28° → A=2 2 Cos28°
UNMSM - 2008
Resolución:
Transformando a producto el numerador. Sen2a 2Cos6a Sen2a = N= Sena 2Sena Cos6a Por seno del doble 2Sena Cosa → N = 2Cosa .... (I) N= Sena Dato:
trigonometría
Problema 3 Calcule: K = Cos40° + Cos80° + Cos160° A) 1 B) –1 C) 0 D) 1/2 E) –1/2
UNMSM - 2014
Resolución:
3 Tana = 1 En (I)
10 5
Agrupando: K = (Cos80°+Cos40°)+Cos160° Transformando a producto y por reducción al primer cuadrante: K = 2Cos60° Cos20°+ Cos(180°–20°) Por fórmula y reemplazando valores: K= 2
10
3
a 1
22
( 12 ) Cos20°+(–Cos20°) → K = 0
Respuesta: 0
san marcos REGULAR 2014 – Ii
transformaciones trigonométricas
PROBLEMAS de clase
EJERCITACIÓN 1. Indique el valor de: A = 2Cos110° Cos70° – Cos40° A) 1 B) –1 C) 0 D) 2 E) –2 2. Simplifique: 2SenxCos5x+Sen4x A= –1 Sen2x A) 2Sen3x C) 2Sen4x E) 2Sen5x
B) 2Cos3x D) 2Cos4x
3. Simplifique: Sen11x+Sen7x M= –1 Sen5x+Senx A) 2Sen3x C) 2Cos3x E) 2Sen8x
B) 2Sen6x D) 2Cos6x
4. Simplifique: K= (2Sen5x Cosx–Sen6x)2–Cos24x A) Cos8x C) –Cos8x E) Cos4x
B) Cos6x D) –Cos6x
5. Reducir: K=8Sen3xCos3xCos6xCos7x–Sen5x
A) Sen19x C) Sen17x E) Sen3x
B) Sen18x D) Sen16x
profundización
9. Indique el valor de: A = 4Cos60°Sen220°+Csc30°Cos210° +Cot26°30'Sen2140° A) 1 B) 2 C) 1/2 D) 1/3 E) 3
6. Luego de simplificar, indique un factor. A = Sen11xCosx – Sen4xCos8x A) Sen3x B) Sen4x C) Sen5x D) Sen6x E) Sen7x
sistematización
7. Determine una expresión más simple. Sen12xCos2x–Sen5xCos9x K= 2Sen9xCos2x – Sen11x
11. Simplifique: A = Cos3(x–120°)+Cos3x +Cos3(x+120°) 1 B) 4Cos3x A) Cos3x 4 4 C) 3Cos3x D) Cos3x 3 3 E) Cos3x 4
A) Cosx C) Cos3x E) Cos5x
B) Cos2x D) Cos4x
8. Simplifique: 1+2Sen2x A= 4Cos(75°–x) A) Sen(5°+x) B) Sen(35°+x) C) Sen(55°+x) D) Sen(75°+x) E) Sen(85°+x)
san marcos REGULAR 2014 – Ii
33
10. Indique una expresión más simple A = (3+5Sen23°)Sec7° A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
12. Indique una expresión equivalente a: K = 2Cos320°–2Cos200°+1 A) Sen50° Sec10° B) Sen40° Sec10° C) Sen50°Sec20° D) Sen50°Csc20° E) Sen50°Csc10°
