TEMA 13 Funciones Trigonometricas Directas e Inversas

INSTITUCION EDUCATIVA PUBLICA “NUESTRA SE ÑORA DE FATIMA”

5to sec

GUIA DIDACTICA

TEMA 13: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DIRECTAS E INVERSAS

INTRODUCCION FUNCION

DEFINICION.- Se dice que y es una función de x de x , si a cada valor de x de x , le corresponde un único valor de y. (es decir uno y único elemento del conjunto de partida debe corresponder cor responder uno o varios elementos de conjunto de llegada) f

g

B

A

.1 .2 .3 .4

.1 .2 .3 .4

f

A .1 .2 .3 .4

B .1 .2 .3 .4

.1 .2 .3 .4

.1 .2 .3 .4

En el diag diagrama, rama, f es una funci función

Diagrama sagital de una función

B

A

En el di diagr agrama, ama, g no es una funci función ón (en 3 vemos dos pa rti rtida da s)

Diagrama cartesiana de una función

Notación de una función

B 5 f

4

Por extensión: f  (1;1);(2;2);(3;3);(4;3) Por comprensión:  (x ; y)  AxB Ax B / x  A  y  B, y 

f( x)

Notación formal:

3

f

A

2

f :A

B

B

1 f

1

2

3

4

5

AxB y= f (x)

S i: x  A  y  B

A

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION Ejemplo: DOMINIO DE UNA FUNCIÓN f

Dada una función y  f (x ) , el dominio de f, es el conjunto de valores que toma x en la función. El dominio de f se denota Df.

A .1 .2 .3 .4

RANGO DE UNA FUNCIÓN Dada una función y  f (x ) , el rango es el con junto de valores que toma y en en la función. El rango f se denota por Rf.

B .1 .2 .3 .4 Rf

Df f  (1;1);(2;2);(3;3);(4;3)

Luego: Df  1;2;3;4 Rf  1;2;3

Propiedad Siendo F una función, se verifica lo siguiente :

( x ; y )  F  (x ; z )  F

y z

Ejemplo : ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones, R1  {(2;1 {(2;1),( ),(0; 0; 3),( 3),(1;7)} 1;7)} , R2  {(3; {(3; 0),(4 0),(4 ;0),(5;1)} ;0),(5;1)} y R3  {(5;1 {(5;1),( ),(4; 4;  1),(4;2) ),(4;2)} } son funciones?

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1


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FUNCION APLICACIÓN. Sean f : A  B una relación binaria se llama aplicación del conjunto A al conjunto B, si para todo elemento de A existe un único elemento en B, esto es  x  A ! y  B/(x;y)  AxB . Para una aplicación, todo el conjunto de partida es el dominio de la aplicación, sin embargo, el rango esta incluido en el conjunto de llegada. f

A

B .y

.x

Regla de correspondencia: y  f (x )

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL 1. Definición : Dada una función F de A en B, F : A  B , si A y B son subconjuntos de los números reales R, se afirmará que F es una función real de variable real. F : A  B,A  R  B  R Debido a ello, F tendrá una representación gráfica en el plano cartesiano (x.y), la cual viene dada por un conjunto de puntos generados al establecer la relación de correspondencia entre la variable independiente "x" y su imagen la variable dependiente "y", es decir : F

 {( x ; y)  R 2 / x  D F  y  F(x)}

La igualdad mostrada: y = F(x) expresa la regla de correspondencia correspon dencia de la función real F.

GRAFICA DE UNA FUNCION 1.1.

Teorema Toda recta vertical, trazada a la gráfica de una función, la corta sólo en un punto.

y

1.2.

Criterios para determinar el dominio y el rango I.

F

Para el Dominio : Se despeja la variable "y", para luego analizar la existencia de su equivalente.

II.

Para el Rango :

Se despeja la variable "x", para luego analizar la existencia de su equivalente.

x

A veces, el rango rango se determina a partir del dominio. dominio.

Observación : Frecuentemente, para determinar dominios y

Fig. (1)

rangos es necesario reconocer la existencia de las expresiones dadas dentro del conjunto de los números reales, así pues, tenemos :

F corresponde a la gráfica de una función.

y *

H

*

x

Fig. (2)

A B

 R  B  0

A  R



A0

Ejemplo : Determinar el dominio y el rango de la función F, en cada uno: 2 x  1 a) F : R  R / y  F(x )  x  3

H no corresponde a la gráfica de una función.

b)

GRAFICA DE FUNCIONES: Visite: http://guiadidacticadematematicas.blogspot.com/

2

F:R

 R/y 

F( x ) 

2x 1


Función creciente

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Función decreciente y

y

f(x 2 )

f(x 1 ) f(x 1 ) x2

x1

f(x 2) x

 x1  x2  Dom f : x1  x2  f  x1   f  x2 

x

2 

x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )

f ( x)  y

0,25 0, 5

y

EJEMPLO:

 2x 1 2

0 1

2 4

f ( x )  y

... 16 ...

3

4

8

f ( x)  y  2

x

 0, 5x

2  4 2

x f ( x)  y

2

x

 x1  x2  Dom f :

EJEMPLO: f ( x)  y

x2

x1

f ( x)  y  0, 5

0 1

x

1

2

0,5

0,25

... ...

y

1

4 0,5

1

x

1



0,5

 1  1  0, 5  2 Df  IR Rf  0; 

Función impar

x

1

2

 1  1  2  0, 5 Df  IR Rf  0; 

Función par

y

y

f(x)

f(x)= f(x)

x

x

O

x

Su gráfica es simétrica al origen “O” de coordenadas cartesianas, entonces: f (- x ) 

- f ( x)

x

x

x

f(x)

Su gráfica es simétrica al eje “y”, entonces: f (– x )  f (x ) xn  x  Dom f . EJEMPLO:

 x  – x  Dom f

f ( x)  y

y

EJEMPLO: f ( x)  y  x3

 x2

y

f ( x)  y  x

8

4

2

O

2

x

2

8

Df

 IR;

Rf

Df

 IR

Función periódica Visite: http://guiadidacticadematematicas.blogspot.com/

2  IR;

Función continua 3

Rf  0; 

x

2


Es aquella que repite completamente su gráfica cada cierto intervalo en su dominio, a este intervalo se le denomina período (T), además se cumple que: f(x + T) = f(x)

T: período (T > 0)

 x   x  T   Dom f T= 2

y 1 0

5to sec

Una función y = f(x) es continua en un punto x = a; tal que a Dom (f); si la función está definida en dicho punto y la gráfica no muestra saltos. y f Función continua e n x= x= a

.

  3,1416 f ( x)  y



3

2

2

 cos x

y

x

1 T= 2

 IR;

x

a

T= 2

2

Df

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f

Función discontinua e n x= x= a

Rf  1;1

x

a

BLOQUE I: Analizar los siguientes gráficos: 1. ¿Cuál de ellos corresponden a una función? a) b) y

c)

y

x

y

x

x

Analizar la función cuya gráfica gráfica se muestra:

2.

3.

y

4.

y

y 1

f

x

5.

1

1

Dominio Rango Creciente Decreciente Parr Pa Impar Periódica Continua Discontinua


x


6.

7. 4

2

x

2 1




0


y

y

4

1

f

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y 1



0

2

5to sec

2

2

0 

x 3

x

1

1

8.

3 2 2

x




2

9.

10. Grafique la funcion:  f  x  que: y

y f

y

x4

e identifi-

3 1 5/2 3 x 1 5/2 3 x




FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Dentro del análisis matemático, matemático, el concepto de función es materia de un largo estudio debido a su flexibilidad para repr esentar vía modelos matemáticos una cierta realidad que se desea investigar, ya sea para prevenir u optimizar. En ese contexto las funciones trigonométricas, debido a sus características de periodicidad, juegan un rol importante en la representación de fenómenos periódicos, como las transmisiones radiales por ejemplo; por ello su estudio es imprescindible. 2

F.T .T.. = {(x ;y) IR / y = R.T R.T.. (x) ; x D(F D(F.T .T.)} .)} Por ejemplo :

F.T .(Ta ng ngente)  {(x ; y) / y  Ta nx nx ; x



D(Ta n) n)}

Si queremos algunos pares ordenados :

 

F.T . (Tangente Tangente )  (0 ; 0) ,

 4 

 

; 1 ,

 3 

;

 

3 ,

 2  3 

;



 

 

3  , . ..

Variación de funciones trigonométricas en los cuadrantes: Visite: http://guiadidacticadematematicas.blogspot.com/

5


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

0 2

 

  3

3  2 2

Senn  Se

0 1

10

0  1

1  0

Coss  Co

10

0  1

1  0

0 1

Ta n 

0  

  0

0  

  0

Cot Co t 

  0

0 

  0

0 

Sec Se c 

1  

   1

1  

  1

Csc 

  1

1  

  1

1   

2

2

FUNCION SENO 2

F.T .T.(Sen .(Sen ) = {(x ;y) IR / y = Senx Sen x ; x

 IR IR} }

Evaluando la función para algunos puntos, tenemos:

y= se senx nx x





0

2



2

3 2

2

5 2

y Graficando de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos : y Corresponde a una circunferencia

1 Senx

1





0

2

2

Senx



3 x 2 2

x

1

2

5 2

3

x

2

1 Gráfica que recibe el nombre de sinusoide; desde el cual podemos afirmar, en la tabla : Dominio Rango Creciente Decreciente Parr Pa Impar Periódica Con T= Continua Discontinua Es inyectiv inye ctivaa

FUNCION COSENO 2

F.T .T.(Co .(Cos) s) = {(x ;y) IR / y = Cosx ; x



6

IR} }  IR


5to sec

y= Cos Cosxx



x



0

2

3 2



2

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5 2

2

y Graficando de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos : y Corresponde a una circunferencia

1 Cosx1



2



x1

0

x2 

2

3 3 2

Cosx 2

5 2

2

x

1

Gráfica que recibe el nombre de cosenoide; desde el cual podemos afirmar, en la tabla : Dominio Rango Creciente Decreciente Parr Pa Impar Periódica Con T= Continua Discontinua Es inyectiv inye ctivaa

FUNCION TANGENTE 2

F.T.(T .(Tg) g)= = {(x ;y ;y)) IR / y= Tg Tgx x ; x IR(2n+ 1)/2; n  Z}

De acuerdo a la representación en la C.T. y el cuadro de variaciones; y con el detalle adicional que la tangente no se define para todo arco cuyo extremo coincide con B o B', (en la C.T.), es decir, los arcos de la forma

(2n  1)



2

, nZ

no pertenecen al dominio de la fun-

ción, en estos se trazara una recta vertical llamada ASINTOTAS. La grafica se aproxima a dicha asíntota, pero no toca y la tangente tiende al infinito (±∞). Tabulamos en la siguiente tabla:

x

y= Tgx  2

0





2

3 2

y Graficando de acuerdo al cuadro de variaciones, tenemos :


7

2

5 2


y

0 







2

2

3 2

Ta n 

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a o n d e e p e n c i a s r e e e r e f r n o u C c r c a c i r a u n

Asíntotas Ta n 

5to sec

3

2 5

x

2

T Analizando el grafico en en la siguiente tabla: tabla:

Dominio Rango Creciente Decreciente Parr Pa Impar Periódica Continua Discontinua Es inyectiv inye ctivaa

Con T=

FUNCION COTANGENTE 2

F.T.(C .(Ctg tg)= )= {( {(x x ;y ;y)) IR / y= Ctg Ctgx x ; x IRn ; n Z} Como ejemplo evaluando la función para p ara algunos puntos, tenemos:

y= Ct Ctggx 

x



0

2



2

3 2

2

5 2

y Graficando: Se observa que las ASINTOTAS a los puntos en la cotangente no existen.

y Asíntotas C o t



 2

0 



3 2

2

C o t

T Analizando el grafico:


8

Corresponde a u na ci circunferenci rcunferenciaa

 2

x


Dominio Rango Creciente Decreciente Parr Pa Impar Periódica Continua Discontinua Es inyectiv inye ctivaa

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Con T=

FUNCION SECANTE 2

F.T.(Sec .(Sec)= )= {( {(x x ;y ;y))  IR / y= Secx ; x IR(2n+ 1)/2; n Z} Evaluando la función para algunos puntos, tenemos:

y= Sec Secxx 

x

2

0





2

3 2

2

5 2

y Graficando:

y Asíntota 1 

0

2





2

3 2

2

5 2

3

1

T

Corresponde a una circunferencia

Analizando el grafico:

Dominio Rango Creciente Decreciente Parr Pa Impar Periódica Continua Discontinua Es inyectiva Visite: http://guiadidacticadematematicas.blogspot.com/

Con T=

9

x


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FUNCION COSECANTE 2

F.T.(C .(Csc sc)= )= {(x ;y ;y)) IR / y= Cs Cscx cx ; x IRn ; n Z}


y= Cs Csccx x





0

2

3 2



2

5 2

2

y Graficando:

y

1   

2





0

2

3 2

2 5  2

1

x

Asíntota

T

Evaluando el grafico:

Dominio Rango Creciente Decreciente Parr Pa Impar Periódica Continua Discontinua Es inyecti inye ctiva va

Con T=

RECOMENDACIONES PARA HALLAR DOMINIO: Para hallar el conjunto dominio: (análisis de existencia de la solución) * f (x ) 

A B

* f (x ) 

 R  B  0

A R



A0

BLOQUE II: Halle el dominio de la función dada: 11.

Calcule el dominio de la función f (x ) definida por:

f (x )  senx

tgx  ctgx ctgx  tgx

12.

Calcule el dominio de la función f ( x ) definida por:

f (x)  senx  sec x  csc x

13. Calcule el dominio de la función f (x ) definida por: f ( x ) 

14. Calcule el dominio de la función f (x ) definida por:

Calcule el dominio de la función f ( x ) definida por: se c x  co s x f (x )  co s 2 x  1

15.


10

1



1

 1 co s x  1 16. Calcule el dominio de la función f (x ) definida por: cs c x  s e n x f ( x )  sen 3 x  1 co s x


f ( x ) 

1 se n x

17.

1



se n x

2

1 2 18.

fatim fatim a1012.tagxctgx se n x

senx



Calcule el dominio de la función f ( x ) definida por:

f (x ) 

 cos x


f (x ) 

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1




f (x )  20.



5to sec

senx

co s x  1

1

Calcule el dominio de la función f ( x ) definida por: f ( x )  tgx  ctgx  tgx  ctgx en el intervalo  ;

2


f (x ) 

fatim fatim a10 1 2. 2. se se c x csc x

21.

1

19.

Calcule el dominio de la función f (x ) definida por: f (x )  senx  co s x  senx  co s x en el intervalo 0; 2 22.

RECOMENDACIONES PARA GRAFICAR UNA FUNCION TRIGONOMETRICA: n + Para graficar una función de la forma: F(x)= y  A R. T (Bx+ C )  D; A y B  0, n  Z CRITERIO DE PERIODICIDAD:

 sen; cos 2  T   B  sec; cosec n : impar   tg; cotg  T    B 

 sen; cos   co se c  T  n : p a r  se c; co B  tg; cotg 

De la función: F(x)= y  A R. T n (Bx+ C )  D; A y B  0, n  1 Transformamos: C  )  D; A y B  0, n  Z+ B 

F(x)= y  A R. T n B( B(x+ 

AMPLI AM PLITUD:| TUD:| A|

Desplazamiento horizontal

PERIODO T

Si ; estira verticalmente el gráfico. Si 0 < A < 1 ; comp ri rime me verticalmente verticalmen te e l gráfico gráfico.. Si A< 0 ; re fle ja re re sp e cto al eje X. El periodo T no altera

Si ; comprime horizontalmente el gráfico. Si 0 < B < 1 ; estira ho horirizontalmente el gráfico. Si B< 0 ; re fle ja re re sp e cto al eje Y. T 

2 B

o

T 

C x)  0 ; h a cia la d e re ch a (+ x) B C S i  0; h a cia la izq u ie rd a (  x) B Si

Cono ci cido do como ÁNGUL NGULO O FASE en funciones trigonométricos. El ángulo fase no altera ni la am pli plitud tud ni e l periodo periodo

 B

La ampli amplitud | A| no altera T

y



2 B

o

T 

Desplazamiento vertical Si ; hacia arri arriba ba (+ y) Si ; hacia aba jo (-y (-y)) El valor de D no altera ni la amplitud ni el periodo

 B

y

max

| A| | A| y



C B

D

m in

A



T

T

T

T

4

4

4

4

y m a x

 y m in 2


D

11



y m a x

 y m in 2


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RECUERDE:

F(x) F(x)= =y

 senx

F(x)= y

y 1 Senx

 x2



0

x

2

2

Senx

F(x) F(x)= = y  tgx

y

1

1



 co s x

y

3 2



2

1

3

5 2

Asíntotas

Cosx1



2

x

x1

0

2

x2 

3 3 2

Cosx 2

2

1

5 2

2

Tan

x

0 





2

2



3 2

Tan 

1

3

2 5

x

2

Donde: estira verticalmente el gráfico gráfico horizontalmente B  1 comprime horizontalmente C  0 D  0 desplazamiento hacia arriba (+ y)

A  1

Donde: estira verticalmente verticalmente el grafico grafico B  1 comprime horizontalmente C  0 D  0 desplazamiento desplazamiento hacia arriba arriba (+ y)

estira verticalmen verticalmen te el grafico grafico B  1 comprime horizontalmente C  0 desplazamiento hacia arriba arriba (+ y) D  0 desplazamiento

C

C

C

A  1

desplazaa hacia hacia la iz izquierda quierda (  x)  0 se desplaz

B n  1 (impar)

A  1

desplaza hacia hacia la la izqui izquierda erda (  x)  0 se desplaza

(impar) 2 T   2 1

2 T   2 1 F(x) F(x)= = y  ctgx

T 

F(x)= y

y


B n 1

B n 1

(impar)



1

 

 sec x

F(x)= y  csc x y

y

Asíntotas

Asíntota 1

Co t



0 



2

2

Co t



3 2

 2

1



x

0

2





2

3 2

2

5 2

  

x

3

2

1

estira verticalmente el grafico grafico horizontalmente B  1 comprime horizontalmente C  0 desplazamiento ento hacia arriba arriba (+ (+ y) D  0 desplazami

C

C

desplazaa hacia hacia la iz izquierda quierda (  x)  0 se desplaz

B n  1 (impar) T 



1

B  1

B n 1



2

5 2

2

1

Asíntota

estira verticalmen verticalmen te el grafico grafico comprime horizontalmente

D  0 C

desplazamiento desplazamiento hacia arriba arriba (+ y)


B n 1

(impar) 2 T   2 1

(impar)

2  2 1

Ejemplo: Grafique la funciones dadas:

1 1 1 F(x)= y  3 Se n (5x+ )  4 F(x)= y  Co s( x   )  1 y 2  2 3   Resolución:

1 F(x)= y  3 Se n 2 (5x+ )  4 2  

Ubicando puntos para el mapeo: A  3 B  5

estira verticalmen verticalmente te el grafico grafico

Graficando:

1 comprime horizontalmente horizontalmente en   5

1 2 D  4 desplazami desplazamiento ento hacia hacia arriba arriba (+ y) 1 C 2 1   se despl desplaz azaa hacia hacia la la izqui izquierda erda (  x) B 5 10 n  1 (impar)

y T 

yma x

2  1,256 5

2  1,256 5 1  0,1 10 T 

7

C 

T 



5



T

4

1 10

D= 4

y

min



5


4 

12

x

C  0

desplazaa hacia hacia la la izqui izquierda erda (  x)  0 se desplaz

T 

 

A  1

A  1

estira verticalmente el grafico grafico horizontalmente B  1 comprime horizontalmente C  0 arriba (+ y) D  0 desplazamiento hacia arriba

A  1



0

3 2

1 T

T

T

4

4

4

T

4

x

 0,628


Resolución:

5to sec

GUIA DIDACTICA

Graficando:

1 1 F(x)= y  Co s( x   )  1 2 3  Ubicando puntos para el mapeo: 1 comprime verticalmente verticalmente el grafico grafico 2 1 1 estira horizontalmente en  3 B  1 3 3 A 

C    D   1 C



despl desplaz azami amient entoo haci hacia abajo abajo (  y)



desplaz azaa hacia hacia la la derecha derecha (+ x)   3 se despl 1 3 n  1 (impar) 2  6 T  1 3

B

BLOQUE III: grafique las siguientes funciones1: 1 F(x)= y  2  Co s(3x  2)  1 F(x)= y  sin (2 x  1)  1 2

A 

_____ B  _____ C  _____ D  _____ C

 _____ n  _____

B T 

_____

A 

_____ B  _____ C  _____ _____ D  _____ _____ C

A 

_____ B  _____ C  _____ D  _____

A 

_____ B  _____ C  _____ D  _____

C

C

B n

_____ T  _____

 _____

B n

_____ T  _____



1 2

_____ B  _____ C  _____ _____ D  _____ _____ C

 _____ n  _____

B T 

_____

1 F(x)= y  2  se c( x  3)  5 5  

ta n 2  x    A 

 _____ n  _____

B T 

2 F(x)= y  C o t(3 x   )  4 5

 _____

f ( x ) 

_____

 Csc(3x  2) A  _____ B  _____ C  _____ D  _____ F(x)= y

C

 _____

B n

_____ T  _____

En estas funciones, use calculadora o software de funciones para graficar y ubique los puntos. Use términos en ingles: sine sin(x);cosine sin(x);cosine cos(x);tangent cos(x);tangent tan(x);cotengent tan(x);cotengent cot(x);secant sec(x) y cosecant csc(x) Visite: http://guiadidacticadematematicas.blogspot.com/ 13 1


5to sec

GUIA DIDACTICA

  sin x A  _____ B  _____ C  _____ D  _____

 Cos( x) A  _____ B  _____ C  _____ D  _____

_____ B  _____ C  _____ D  _____

C

C

C

F(x)= y

 _____

B n

F(x)= y

 _____

F(x)= y   tan x A 

 _____

B n

B n

_____ C  _____ _____ D  _____ _____

F(x)= y   sec x A  _____ B  _____

F(x)= y   csc x A  _____ B  _____

C

C

C

C

_____ T  _____

_____ T  _____

F(x)= y   cot x A  _____ B 

 _____ n  _____

B T 

_____

_____ _____

_____ T  _____

D

_____ _____

 _____ n  _____

B T 

_____

C

_____

D  _____

 _____ n  _____

B T 

_____

F(x)= y



sin x

F(x)= y



co s x

F(x)= y



ta n x

F(x)= y



co t x

F(x)= y



se c x

F(x)= y



csc x


14


F(x)= y  sin x  cos x

5to sec

GUIA DIDACTICA

F(x)= y  ta n x  cot x

F(x)= y  sec x  csc x

BLOQUE IV: 23. Halle la suma del máximo y 24. Indique el mínimo valor que mínimo valor de la función: f(x) = 3+Senx a) 5 d) 8

b) 6 e) 9

c) 7

25. Determine el dominio de la

asume la función: g(x) = 4-Cos2x a) 1 d) 6

función: 4

f (x ) 

b) 3 e) 7

2 Senx n a) R  { / n  Z } 2

c) 5

d) R  {n / n  Z }

c) R - {0}

e) R  {(2n  1)

26. Determine el dominio de la

27. Graficar la función:

función: H (x )  4 Co s( ) x

a

y

y

1

1

x

 /2

a) R b) R - {0} c) R - {1} d) R  {n / n  Z } e) R - {2}

2

y

1

1

x

2

y

y

-1

2

2

y



2

x

2

x

2

definidas por: f(x)=2Cosx y g(x) = 1+Cosx. Hallar un intervalo donde f(x) < g(x)

a) <0;



2

>

c) <;2> d) <

b) <0;>

3 > 2 2



;



<0;2 > 32. Determine el rango de: g(x)=8Sen2x-1



2

x

0



2

-1

1

29. Dadas las funciones f y g

0



2

e) N.A.

x

30. Determine el rango de la función: H(x)=3+3Cos2x a) [2,5] [3,6] d) R

b) [2,4]

31. Determine el rango de la función: F(x)=4-2Sen2x

c)

a) [1,2] d) [-1,1] e) R

b) [2,4]

c) [3,7]

e) [0,3]

e)

33. Determine el periodo de: y=f(x)=4Cos3x+7


34. ¿Cuál es el dominio de la función: f definida por: ? f (x )  2 S en( x )  1

15

x

y



y

0

x

1

-2

-2

/ n  Z }

y

-1

-1

3

x  [0; 2 ]



3 /2 2 



28. Graficar: y=f(x) = |Senx|;

y = F(x) = 2Senx; 1

b) R

x


a) [-2,5] [2,4] d) [-3,3]

b) [-1,7]

c)

e) R

a) 2

función g definida por: ? 1

g(x )  3Cos(

x

) 2

a) R b) R +{0} c) [-1;1] d) R-{1} e) <0;+  >

38. Graficar: y = |Sen4x| Indicar su periodo. a)



8

b)



4

c)



c) 3

2  | C o sx | .

Determine el rango de g.

ción f definida por: . f (x )  2Cos 2 x  Cosx  1 7 9 a) [2; ] b) [2 ; ]

b) [ 2 ; 2]

c) [ 2 ; 3 ]

d) [-1;1]

a) R d) R-{0}

b) R-{1} c) [-1;1] e) [0;+  >

39. Determine la extensión de la función: H (x ) 

CosxTa CosxTanx nx

 Senx

a) [-2;2] b) [-1;1] c) [1;2] d) [-1;5] e) R 42. Hallar el rango de la función f definida por:

a) [0,1/ 2]

2 ; Senx  3

x

 [0 ; 2

en x   2S enx

Determine el E  2 fm áx  4 f m ín

valor

a) 14 d) 17

b) 15 e) 18

40. Si:

F( x ) 

de:

1 . Determix 1

| Senx | Sen

2

a) <-  ;-1] b) <-1;1> c) [0;1> d) <1;+  > e) R-{0}

43. Señale Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda en : I. La función : y = f(x) = Senx, posee un máximo en 0 ;  inyectiva en 

e)

16

2

c) 16



2

;



2

III.

La función : y = f(x) = Senx, es impar.

a) VVV b) VVF d) VFV e) VFF


5

II. La función y = f(x) = Senx, es

b) [1/2,3/4] d) [0,2]

]



e) [1; 3 ] c) R [1,1] ,1]

f (x )  S en x

ne el rango de F.

Tanx

Senx

37. Si f es una función definida por: 2

8 16 7 7 3 7 c) [4 ; ] d) [4 ; ] e) [ ; ] 8 4 2 8

f ( x ) 

a) [0; 2 ]

GUIA DIDACTICA



2

d)  e) 2

41. Si: g(x ) 



3 e)  2 36. Determine el rango de la fun-

d)

35. ¿Cuál es el dominio de la

2 3

b)

5to sec

c) FVV


5to sec

FUNCIONES TRIGONOMETRCAS INVERSAS NOCIONES: FUNCION INYECTIVAS O UNIVALENTES FUNCION INVERSA FUNCIONES TRIGONOMETRICA INVERSA BLOQUE III: Analizar y graficar funciones trigonométricas inversas:


17

GUIA DIDACTICA

TEMA 13 Funciones Trigonometricas Directas e Inversas

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