INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática. Estudiaremos las propiedades de las transformaciones lineales, sus diferentes tipos, así como la imagen, el núcleo, y como se desarrolla en las ecuaciones lineales. Definición de transformación lineal y sus propiedades Definición . Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k . Una transformación lineal de V en W , es una función
Tal que: i)
ii)
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones: i) Si
es una transformación lineal, entonces
En efecto Por la ley de la cancelación en W , tenemos que Nótese que en realidad solo se usa la propiedad aditiva (i ) de T . Este hecho lo usamos en el siguiente inciso. ii)
es lineal si y solo si
Si T lineal, entonces Inversamente, supongamos que
Probemos las dos condiciones para que T sea lineal: a) b) Nótese que usamos el hecho de que lo cual es consecuencia del comentario hecho al final del inciso ( i ). iii)
es lineal si y solo si
La demostración se hace por inducción sobre n .
a)
Si
entonces
por la condición (ii ) de T .
b)
Supongamos válido para n . Probemos para
Por la condición (i ) de T , tenemos que
Y por hipótesis de inducción, tenemos que,
Así que podemos concluir que,
Este último inciso se puede abreviar usando la notación sigma como sigue:
Veamos algunos ejemplos de transformaciones lineales, donde haremos uso extenso de la observación (ii ) de arriba.
Ejemplo 1. Sea
tal que
Entonces T es lineal, ya que
y por otro lado,
Por lo tanto, vemos que Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como
Ejemplo 2. Sea
tal que
Entonces T es lineal, ya que Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V , y se denota como
Ejemplo 3. Sea
tal que
la traza de A, es decir
,
la suma de los elementos de la diagonal. Entonces T es lineal, ya que
Ejemplo 4. Sea
tal que
Entonces T es lineal, ya que
Ejemplo 5. Sea
tal que
la derivada de Entonces T es lineal ya que:
Ejemplo 6. Sea el espacio vectorial de todas las funciones continuas en un intervalo cerrado y sea
tal que
Entonces T es lineal ya que:
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
T(u+v) = T(u) + T(v) T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.
EJEMPLOS DE TRANSFORMACIONES LINEALES (REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN, ROTACIÓN) Ejemplo 7. (Rotación por un ángulo
Sea
un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cuál es la
transformación T de un ángulo
)
en
que gira cada vector
para obtener un vector
.
En una gráfica, vemos la situación como sigue: Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
Distribuyendo y usando el hecho de que tenemos que:
y
Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación tal que
Esta transformación se llama la rotación por un ángulo
y es lineal, ya que:
Ejemplo 8. (Reflexión sobre el eje x ) En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de en vector
que cada vector
lo refleja sobre el eje x , para obtener un .
En una gráfica, vemos la situación como sigue:
En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x , y es lineal, ya que:
Ejemplo 9. (Proyección ortogonal sobre el eje x ) En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación T de en
que a cada vector
lo proyecta perpendicularmente sobre
el eje x , para obtener un vector En una gráfica, vemos la situación como sigue:
También este caso es sencillo, pues es obvio que T queda definida como sigue:
Esta transformación se llama la proyección sobre el eje x , y es lineal, ya que
Este último ejemplo tiene más fondo desde el punto de vista de Álgebra Lineal. Consideremos el siguiente subespacio de
:
Vemos que éste no es sino el eje x (sobre quien se efectuó la proyección). Ahora bien,
tiene un complemento directo, a saber,
De tal forma que cada vector de un vector de
se escribe en forma única como suma
más un vector de
como sigue:
Notamos que la proyección sobre el eje x , manda a precisamente el término correspondiente a
sobre
, el cual es
en la descomposición anterior.
Todo esto nos induce a definir proyecciones sobre subespacios en general como sigue. Definición. Sea V un espacio vectorial y sea el complemento directo de que cada vector Con
y
un subespacio tal que existe
en V , es decir tal que
, de tal forma
se escribe en forma única como: . Definimos entonces la proyección sobre , como aquella
transformación
tal que
.
Lo primero que observamos es que esta transformación es lineal, ya que si ,
con
y
, entonces
con
y
.
Por lo tanto, de acuerdo a la definición de T , tenemos que:
En segundo lugar, vemos que esta definición, incluye como caso especial a la de la proyección sobre el eje x . Sin embargo, vemos que no es suficiente con especificar sobre que subespacio queremos proyectar, sino también es necesario aclarar cuál es el complemento directo que se estará usando, ya que un mismo subespacio puede tener distintos complementos directos. El mismo eje x , tiene el siguiente complemento directo:
En efecto, es claro que
es un subespacio de
Además, cada
se escribe como
y
.
. Todo esto demuestra que . Usando esta descomposición y la definición de proyección, tendremos que en este caso, la transformación queda dada como sigue:
Así pues, por cada complemento directo que tengamos a la mano, podemos definir una proyección asociada a dicha descomposición.
Ejemplo contracción
Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.
Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2 Haciendo la gráfica el punto disminuye en el eje horizontal.
Ejemplo dilatación o expansión
Una dilatación es una transformación que incrementa distancias. Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2 Expansión horizontal (k71) o contracción (0
NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Núcleo o Kernel
Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal. Entonces: El kernel (o núcleo) de T , denotado como ker T , está dado por
ker T = {v
V : T v = 0}
Obervación. Note que ker T es no vacío ya que por el Teorema 1 de las Transformaciones Lineales, T (0) = 0 de manera que 0 ker T para toda transformación lineal T . Será interesante encontrar otros vectores en V que sean "mapeados al cero". De nuevo, nótese que cuando escribimos T (0) = 0, el 0 de la izquierda está en V , y el 0 de la derecha está en W .
Ejemplo: Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la
transformación lineal
Solución: Necesitamos determinar los vectores
de
tales que
Evaluando es decir,
Luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos
por lo tanto, con lo cual, (x;y;z) = (0;-(1/3)z;z) = z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio
Note que el resolver un sistema de ecuaciones lineales equivale a encontrar las preimágenes de un vector para una transformación lineal dada.
Imagen de una transformación lineal.
Definición. Sean V y W espacios vectoriales y sea T : V → W una transformación lineal. Entonces:
imag V = { w W : w = T v para alguna v V } Observación. El concepto imag T es simplemente el conjunto de "imágenes" de vectores en V bajo la transformación T . De hecho, si w = T v, diremos que w es también la imagen de v bajo T .
Teorema. Si T : V → W es una transformación lineal, entonces: i. ii.
ker T es un subespacio de V . imag T es un subespacio de W .
Demostración. i.
Sean u y v en ker T ; entonces T (u + v) = T u + T v = 0 + 0 = 0 y T (αu) = αT u = α0 = 0 de modo que u + v y αu están en ker T .
ii.
Sean w y x en imag T . Entonces w = T u y x = T v para dos vectores u y v en V . Esto significa que T (u + v) = T u + T v = w + x y T (αu) = αT u = αw. De esta manera w + x y αw están en imag T .
Ejemplo.
Sea T v = 0 para todo v imag T = {0}
V . (T es la transformación cero.) Entonces ker T = V e
LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Estamos en condiciones de mostrar que cualquier transformación lineal de ℜn a m ℜ puede ser introducida mediante la multiplicación por una matriz adecuada. Teorema 1. Sea T:
n
→
m
una transformación lineal, entonces existe una n
matriz A M ( m,n, ℜ) tal que T (v)= A· v, v
Demostración. Antes de efectuar la demostración, es conveniente señalar que podemos “identificar” la n -upla(x1,x2,...,xn )
n
con la matriz columna
Esto se realizará con un isomorfismo que presentaremos posteriormente.
Sea E = {E1, E2,..., En} la base canónica de canónica de m.
n
y E* = { E*1 ,E*2 ,...,E*m } base
n Sea v =(x1, x2,..., xn) , entonces v se escribe como combinación de los vectores de E como v = x1E1, x 2E2,..., xnEn, así, aplicando la transformación lineal T obtenemos
T (v)= x1T (E 1) + x2T (E 2) + ··· + xnT (E n).
(1)
m Por otro lado, cada vector T(Ej) se escribe como combinación lineal de la base canónica E* como T(E j) = a1jE*1 + a2jE*2 + ··· amj E*m.
Reemplazando esto último en (1) obtenemos
de aquí deducimos que la i- ésima componente de (v) es ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ... + a inxn Si definimos A = (aij)
M(m, n, ) entonces, dado que la i -ésima componente de
es ai1x1 + ai2x2 + ai3x3 + ... + a inxn, concluimos que T(v) = A * v.
Ejemplo. 2 Sea T : 3 una transformación lineal tal que T(x, y, z) = (2x + y, x + y +z). Determine A = [T]E*E y verifique. →
Solución. Sean E = {E1 = (1,0,0), E2 = (0, 1, 0), E 3 = (0, 0, 1)}, E*= {E*1 = (1,0), E*2 = (0, 1)} bases canónicas de 2 respectivamente, entonces:
entonces
Verificación:
Bibliografía http://sistemas.itlp.edu.mx/tutoriales/matematicas4/t53.htm Stanley I. Grossman: "Algebra Lineal", Segunda Edición; Grupo Editorial Iberoamérica
http://html.rincondelvago.com/transformaciones-lineales.html
