Secc Secció ión n 5.5 5.5
5.5
277
Sist Sistem emas as acop acopla lado doss mas masaa-re reso sort rte e
SISTEMAS ACOPLADOS MASA-RESORTE En esta sección extenderemos nuestro modelo masa-resorte para incluir situaciones en las que los resortes acoplados unen dos masas que pueden moverse libremente. Los movimientos resultantes pueden ser muy intrincados. Para simplificar la exposición, despreciaremos los efectos de la fricción, la gravedad y las fuerzas externas. Consideremos el siguiente experimento.
EJEMPLO 1
En una superficie horizontal suave, una masa m1 2 kg está unida a una pared fija mediante un resorte con constante de resorte m1 4 N/m. Otra masa m2 1 kg está unida al primer objeto mediante un resorte con constante de resorte k 2 2 N/m. Los objetos están alineados en forma horizontal, de modo que los resortes tengan su longitud natural (figura 5.20). Si ambos objetos se desplazan 3 m a la derecha de sus posiciones de equilibrio (figura 5.21) y luego se liberan, ¿cuáles son las ecuaciones de movimiento de los dos ob jetos?
k1 4
k 2 2
=
k1 4
=
2 kg
k 2 2
=
=
1 kg
x > 0
y > 0
2 kg
1 kg
x 3
y 3
=
x 0
y 0
=
x 0
=
=
Figura 5.20 Sistema acoplado en equilibrio
SOLUCIÓN
=
y 0 =
Figura 5.21 Sistema acoplado en su desplazamiento inicial
Por nuestras hipótesis, las únicas fuerzas que debemos tomar en cuenta son las fuerzas inherentes a los propios resortes. Recordemos que la ley de Hooke afirma que la fuerza que actúa sobre un objeto debido a un resorte tiene una magnitud proporcional al desplazamiento del resorte a partir de su longitud natural y tiene dirección opuesta a su desplazamiento. Es decir, si el resorte se estira o comprime, entonces trata de regresar regresar a su longitud natural. Como cada masa se puede mover libremente, aplicamos la segunda ley de Newton a cada objeto. Sea x A t B el desplazamiento (hacia la derecha) de la masa de 2 kg a partir de su posición de equilibrio, y de manera análoga, sea y A t B el desplazamiento correspondiente para la masa de 1 kg. La masa de 2 kg tiene una fuerza F 1 que actúa por su lado izquierdo debido a un resorte y a una fuerza F 2 que actúa por su lado derecho debido al segundo resorte. En relación con la figura 5.21 y al aplicar la ley de Hooke, vemos que F 1
k 1 x
,
F 2
k 2
A y x B ,
porque A y x B es el desplazamiento neto del segundo resorte con respecto de su longitud natural. Sólo hay una fuerza que actúa sobre la masa de 1 kg: la fuerza debida al segundo resorte, que es F 3
k 2
A y x B .
278
Capí Capítu tulo lo 5
Intr Introdu oducc cció ión n a los los sist sistem emas as y el el anál anális isis is del del pla plano no fas fase e
Al aplicar la segunda ley de Newton a estos objetos, obtenemos el sistema m1
(1) m2
d 2 x
F 1
F 3
k 2
A k 1 k 2B x k 2 y 0 ,
k 2 y
d 2 y dt 2
F 2
k 1 x
k 2 A y
dt 2
x B ,
A y x B ,
o m1
(2) m2
d 2 x dt 2 d 2 y dt 2
k 2 x
0 .
En este problema vemos que m1 2, m2 1, k 1 4, y k 2 2. Al sustituir estos valores en el sistema (2) obtenemos
(3) (4)
d 2 x
2
dt 2
d 2 y dt 2
6 x
2 y
2 y
2 x
0 ,
0 .
Utilizaremos el método de eliminación de la sección 5.2 para resolver (3) – (4). Hacemos D J d / dt dt y escribimos el sistema como
(5) (6)
A 2 D 2 6 B 3 x 4 2 x
Sumamos A D 2
2 y
0 ,
A D 2 2 B 3 y 4
0 .
2 B aplicado a la ecuación (5) al doble de la ecuación (6) para eliminar y:
3 A D 2 2 B A 2 D 2 6 B 4 4 3 x 4
0 ,
lo que se simplifica como
(7)
2
d 4 x dt 4
10
d 2 x dt 2
8 x
0 .
Observe que la ecuación (7) es lineal con coeficientes constantes. Para resolverla, procedemos como en el caso de las ecuaciones lineales de segundo orden y tratamos de hallar soluciones de la forma x e rt . Al sustituir ert en la ecuación (7) tenemos 2 Ar 4
5r 2
4 B e rt
0 .
Así, obtenemos una solución de (7) cuando r satisface la ecuación auxiliar r4
5r 2
4
0 .
Al factorizar r 4 5r 2 4 A r 2 1 B A r 2 4 B , vemos que las raíces de la ecuación auxiliar son los números complejos i, i, 2i, 2i. Al usar la fórmula de Euler, tenemos que z1 A t B eit
cos t
i sen t
y
z2 A t B e2it
cos 2t
i sen 2 t
Secc Secció ión n 5.5 5.5
Sist Sistem emas as acop acopla lado doss mas masaa-re reso sort rte e
279
son soluciones de la ecuación (7) con valores complejos. Para obtener soluciones con valores reales, consideramos las partes real e imaginaria de z1 A t B y z2 A t B . Así, tenemos cuatro soluciones con valores reales x1 A t B cos t ,
x2 A t B sen t ,
x3 A t B cos 2t ,
x4 A t B sen 2t ,
y una solución general
(8)
x A t B a1 cos t a2 sen t a3 cos 2 t a4 sen 2 t ,
donde a1, a2, a3, y a4 son constantes arbitrarias. † Para obtener una fórmula para y A t B, usamos la ecuación (3) para expresar y en términos de x: y A t B
d 2 x
dt 2
3 x
a1 cos
t a2 sen t 4a3 cos 2 t 4a4 sen 2 t 3a1 cos t 3a2 sen t 3a3 cos 2 t 3a4 sen 2 t ,
y entonces
(9)
y A t B 2 a1 cos t 2 a2 sen t a3 cos 2 t a4 sen 2 t .
Para determinar las constantes a1, a2, a3, y a4, regresemos al problema original. Sabemos que en un principio, los objetos se desplazaron 3 m hacia la derecha y que luego fueron liberados. Por lo tanto,
(10)
dx
x A 0 B 3 ,
dt
A 0 B 0 ;
dy
y A 0 B 3 ,
dt
A 0 B 0 .
Al derivar las ecuaciones (8) y (9), tenemos dx dt dy dt
a1 sen
t
2a1 sen
t
a2 cos t
2a2 cos t
2a3 sen 2 t
2a3 sen 2 t
2a4 cos 2 t ,
2a4 cos 2 t .
Ahora, si hacemos t 0 en las fórmulas para x, dx / dt , y, y dy / dt , las condiciones iniciales (10) implican las cuatro ecuaciones x A 0 B a1
y A 0 B 2a1
a3
a3
3 ,
3 ,
dx A 0 B a2 dt dy dt
2a4
0 ,
A 0 B 2a2 2a4 0 .
En este sistema hallamos que a1 2, a2 0, a3 1, y a4 0. Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento para los dos objetos son x A t B 2 cos t
cos 2t ,
y A t B 4 cos t
cos 2t ,
que se muestran en la figura 5.22 de la página 280.
†
■
En el capítulo 6 se da un análisis más detallado de las soluciones generales.
280
Capí Capítu tulo lo 5
−4
Intr Introdu oducc cció ión n a los los sist sistem emas as y el el anál anális isis is del del pla plano no fas fase e
−2
2
4
−4
x
−2
2
5
4
y
5
10
10
15
15
20
20 t
t
Figura 5.22 Gráficas de movimiento de las dos masas del sistema masa-resorte acoplado
La pareja solución general (8), (9) que se obtiene es una combinación de senoides que oscilan a dos frecuencias angulares distintas: 1 radián/segundo y 2 radianes/segundo. Estas frecuencias amplían la noción de frecuencia natural del oscilador masa-resorte simple (libre no amortiguado; sección 4.8, página 208) y se llaman las frecuencias angulares naturales† (o normales) del sistema. Un sistema complejo con más masas y resortes tendría muchas frecuencias normales. Observe que si las condiciones iniciales se alteran de modo que las constantes a3 y a4 en (8) y (9) se anulen, el movimiento sería una senoide pura que oscila con la única frecuencia de un radián/segundo. De manera similar, si a1 y a2 se anulan, sólo la oscilación de 2 radianes/segundo se “excitaría”. Tales soluciones, donde el movimiento completo queda descrito mediante una única senoide, son los modos normales del sistema.†† Los modos normales del siguiente ejemplo se pueden visualizar fácilmente, pues podemos considerar que todas las masas y todas las constantes de resorte son iguales.
EJEMPLO 2
Tres resortes idénticos con constante de resorte k y dos masas idénticas m se unen en línea recta con los extremos de los resortes exteriores fijos (véase la figura 5.23). Determinar e interpretar los modos normales del sistema.
k
k m
k m
x 0 x 0 =
y 0 y 0 =
Figura 5.23 Sistema masa-resorte acoplado con extremos fijos †
El estudio de las frecuencias naturales de las oscilaciones de sistemas complejos se conoce en ingeniería como análisis modal. ††
Los modos normales se caracterizan de manera más natural en términos de los valores propios (véase la sección 9.5).
Secc Secció ión n 5.5 5.5
SOLUCIÓN
281
Sist Sistem emas as acop acopla lado doss mas masaa-re reso sort rte e
Definimos los desplazamientos a partir del equilibrio, x y y, como en el ejemplo 1. Las ecuaciones que expresan la segunda ley de Newton para las masas son bastante parecidas a (1), excepto por el efecto del tercer resorte sobre la segunda masa:
(11)
mx –
kx
(12)
my –
k
k A y
x B ,
A y x B ky ,
o
A mD 2 2k B 3 x 4 ky 0 , 2 kx A mD 2k B 3 y 4 0 . Al eliminar y de la manera usual se tiene
(13)
3 A mD 2
2k B 2
k 2
4 3 x 4
0 .
Esto tiene la ecuación auxiliar
A mr 2 2k B 2 k 2 A mr 2 k B A mr 2 3k B 0 , con raíces i 2 k k / m, i 2 3k / m. Al hacer v neral de (13):
(14)
x A t B C 1 cos
vt
C 2 sen
vt
J
2 k k / m, obtenemos la siguiente solución ge-
C 3 cos
A 2 3 vt B C 4 sen A 2 3 vt B .
Para obtener y A t B , despejamos y A t B en (11) y sustituimos x A t B dada en (14). Al simplificar obtenemos
(15)
y A t B C 1 cos
vt
C 2 sen
vt
C 3 cos
A 2 3 vt B
C 4 sen
A 2 3 vt B .
Las fórmulas (14) y (15) muestran que las frecuencias angulares normales son v y 2 3 v. De hecho, si C 3 C 4 0, tenemos una solución donde y A t B x A t B , que oscila
y
x
1
x
1
y
−1
1
5
5
5
5
10
10
10
10
15
15
15
15
20
20
20
20
t
t
t
(a )
t
(b)
Figura 5.24 Modos normales para el ejemplo 2
282
Capí Capítu tulo lo 5
Intr Introdu oducc cció ión n a los los sist sistem emas as y el el anál anális isis is del del pla plano no fas fase e
con la frecuencia angular v 2 k (equivalente a una frecuencia de k / m radianes/segundo (equivalente 2 k k / m / 2 p periodos/segundo). Ahora, si x A t B y A t B en la figura 5.23, las dos masas se mueven como si fuesen un único cuerpo rígido de masa 2 m, forzado por un “resorte doble” con una constante de resorte dada por 2 k . De hecho, de acuerdo con la ecuación (4) de la sección 4.8 (página 208), sería de esperar que tal sistema oscilara con la frecuencia angular 2 2k / 2m 2 k k / m (!) Este movimiento se muestra en la figura 5.24(a) de la página 281. De manera análoga, si C 1 C 2 0, determinamos el segundo modo normal donde y A t B x A t B , de modo que en la figura 5.23 hay dos sistemas, uno reflejo del otro, cada uno con masa m y un “resorte y medio” con constante de resorte k 2k 3k . (El medio resorte sería el doble de rígido). La ecuación (4) de la sección 4.8 predice entonces una frecuencia de oscilación angular para cada sistema, 2 3k / m 2 3 v, que de nuevo es consistente con (14) y (15). Este movimiento se muestra en la figura 5.24(b). ■
5.5 5. 5
EJERCICIOS
1. Dos resortes y dos masas están unidos en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la figura 5.25. El sistema se pone en movimiento manteniendo la masa m2 en su posición de equilibrio y jalando la masa m1 a la izquierda de su posición de equilibrio una distancia de 1 metro, para luego liberar ambas masas. Exprese la ley de Newton para el sistema y determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas si m1 1 kg, m2 2 kg, k 1 4 N/m y k 2 10 / 3 N/m.
k1
m1 x x 0 =
k2
m2
0
y
0
k
k
m
k
m
x 0
y
x 0
z
0
y 0
=
k
m
z
=
0
0
=
Figura 5.26 Sistema masa-resorte acoplado con tres grados de libertad
4. Dos resortes, dos masas y un amortiguador se unen en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción como se muestra en la figura 5.27. El amortiguador proporciona una fuerza de amortiguamiento sobre la masa m2, dada por F by ¿ . Deduzca el sistema de ecuaciones diferenciales para los desplazamientos x y y.
y 0 =
Figura 5.25 Sistema masa-resorte acoplado con un extremo libre
k1
x
2. Determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas descritas en el problema 1 si m1 1 kg, m2 1 kg, k 1 3 N/m, y k 2 2 N/m. 3. Cuatro resortes con la misma constante de resorte y tres masas iguales se unen en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción, según se muestra en la figura 5.26. Determine las frecuencias normales del sistema y describa los tres modos normales de vibración.
x
=
b
k2
m1
0
m2 y
0 y
=
0
0
Figura 5.27 Sistema masa-resorte acoplado con un extremo amortiguado
5. Dos resortes, dos masas y un amortiguador se unen en línea recta sobre una superficie horizontal sin fricción como se muestra en la figura 5.28. El sistema se pone en movimiento manteniendo la masa m2 en su posición de equilibrio y jalando la masa m1
Secc Se cció ión n 5.5 5.5
a la izquierda de su posición de equilibrio a una distancia de 2 metros, para luego liberar ambas masas. Determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas si m1 m2 1 kg, k 1 k 2 1 N/m, y b 1 N-s/m. [ Sugerencia: El amortiguador actúa sobre m1 y m2 con una fuerza de magnitud b 0 y ¿ x ¿ 0 ] .
k1
b
x x
=
0
y
=
m2l 22u 2– m2l1l2u 1– m2l2 gu2
0
0
m1 l2
m2
6. En relación con el sistema masa-resorte acoplado del ejemplo 1, suponga que se aplica una fuerza externa E A t B 37 cos 3t al segundo objeto de masa 1 kg. Las funciones de desplazamiento desplazamiento x A t B, y A t B satisfacen ahora el sistema (16)
2 x A t B
(17)
y A t B 2 y A t B 2 x A t B 37 cos 3 t .
6 x A t B 2 y A t B
0 ,
(a) Muestre que x A t B satisface la ecuación A B
x 4 A t B 5 x A t B 4 x A t B 37 cos 3 t .
(b) Determine una solución general x A t B de la ecuación (18). [Sugerencia : Use coeficientes indeterminados, con x p A cos 3t B sen 3t ]. ]. A B (c) Sustituya x t en (16) para obtener una fórmula para y A t B . (d) Si ambas masas se desplazan 2 m hacia la derecha de sus posiciones de equilibrio y luego se liberan, determine las funciones de desplazamiento x A t B y y A t B .
Figura 5.29 Péndulo doble
9. El movimiento de una pareja de péndulos idénticos acoplados mediante un resorte se modela mediante el sistema mx 1–
mx 2–
mg l mg l
x 1
k A x 1
x 2 B ,
x 2
k A x 1
x 2 B
para desplazamientos pequeños (véase la figura 5.30). Determine las dos frecuencias normales del sistema.
7. Suponga que las funciones de desplazamiento desplazamiento x A t B y y A t B para un sistema masa-resorte acoplado (similar al analizado en el problema 6) satisfacen el problema con valores iniciales
l
x A t B 5 x A t B 2 y A t B 0 ,
l
y A t B 2 y A t B 2 x A t B 3 sen 2 t ; x A 0 B x A 0 B 0 , y A 0 B 1 ,
0 ,
donde u1 y u2 son ángulos pequeños. Resuelva el sistema cuando m1 3 kg, m2 2 kg, l1 l2 5 m, u1 A 0 B p / 6, u2 A 0 B u 1¿ A 0 B u 2¿ A 0 B 0.
Figura 5.28 Sistema masa-resorte acoplado con amortiguamiento entre las masas
(18)
l1
y
0
A m1 m2 B l 21u 1– m2l1l2u 2– A m1 m2 B l1gu1 0 ,
k2
m2
m1
283
Sist Si stem emas as ac acop opla lado doss mas masaa-re reso sort rte e
y ¿ A 0 B 0 .
Determine x A t B y y A t B . 8. Un péndulo doble oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad (véase la figura 5.29) y satisface el sistema
m x1
k
m x2
Figura 5.30 Péndulos acoplados
284
Capí Capítu tulo lo 5
Intr Introdu oducc cció ión n a los los sist sistem emas as y el el anál anális isis is del del pla plano no fas fase e
10. Suponga que el sistema masa-resorte acoplado del problema 1 (figura 5.25) se cuelga verticalmente en un soporte (con la masa m2 sobre m1), como en la sección 4.9, página 218. (a) Justifique que en el equilibrio, el resorte inferior se estira una distancia l1 con respecto de su longitud natural L1, dada por l1 m1g / k 1.
5.6
(b) Justifique que en el equilibrio, el resorte superior se estira una distancia l2 A m1 m2 B g / k 2. (c) Muestre que si x1 y x2 se definen ahora como los desplazamientos con respecto de las posiciones de equilibrio de las masas m1 y m2, entonces las ecuaciones de movimiento son idénticas a las obtenidas en el problema 1.
CIRCUITOS ELÉCTRICOS Las ecuaciones que describen las relaciones voltaje-corriente para una resistencia, un inductor y un condensador se dieron en la sección 3.5, junto con las leyes de Kirchhoff que restringen el comportamiento de estas cantidades cuando los elementos se conectan en forma eléctrica a un circuito. Ahora que tenemos las herramientas para resolver ecuaciones lineales y sistemas de orden superior, podemos analizar circuitos eléctricos más complejos.
EJEMPLO 1
El circuito RLC en serie de la figura 5.31 tiene una fuente de voltaje dada por E A t B sen 100t voltios (V), una resistencia de 0.02 ohms ( Ω), un inductor de 0.001 henrios (H) y un condensador de 2 faradios (F). (Elegimos es tos valores por conveniencia; los valores típicos para el condensador son mucho menores). Si la corriente y la carga iniciales en el condensador son iguales a cero, determinar la corriente en el circuito para t 0.
Resistencia R
Fuente jee de volta de v olta j
E
Inductancia
Capacitancia C
Figura 5.31 Representación esquemática de un circuito RLC en serie.
SOLUCIÓN
Con la notación de la sección 3.5, tenemos que L 0.001 H, R 0.02 Ω, C 2 F y E A t B sen 100t . Según la ley de corriente de Kirchhoff, la misma corriente I pasa por cada elemento del circuito. La corriente que pasa por el condensador es igual a la razón instantánea de cambio de su carga q:
(1)
I
dq / dt .
Por las ecuaciones de la sección 3.5, observamos que la caída de voltaje a través del condensador ( EC ), la resistencia ( E R ) y el inductor ( E L ) se expresan como
(2)
EC
q C
,
E R
RI ,
E L
L
dI . dt
