1. SISTEMAS RESORTE-MASA: MOVIMIENTO LIBRE NO
AMORTIGUADO Suponga que un resorte flexible se suspende verticalmente de un soporte rígido y luego se une a una masa a su extremo libre. Por supuesto, la cantidad de alargamiento o elongación del resorte depende de la masa; masas con pesos diferentes alargan el resorte en cantidades distintas. Por la Ley de Hooke el resorte mismo ejerce una fuerza restauradora opuesta a la dirección de elongación y proporcional a la cantidad de elongación expresada en forma simple , donde es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. El resorte se caracteriza en esencia por el número .
Ley de Hooke
Segunda ley de Newton Después que se une una masa
a un resorte éste alarga el resorte por una cantidad y logra una posición de equilibrio en la cual su peso se equilibra mediante la fuerza restauradora . Recordamos que el peso se define mediante , la condición de equilibrio es o . Si la masa se desplaza por una cantidad de su posición de equilibrio, la fuerza restauradora del resorte es entonces . Suponiendo que no hay fuerza restauradora que actúan sobre el sistema y suponiendo que la masa vibra libre de otras fuerzas externas, entonces se puede igualar la segunda ley de Newton con la fuerza neta o resultante de la fuerza restauradora y el peso.
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∑
Hacemos un cambio de variable para facilitar el cálculo diferencial
queda
(1)
Se dice que esta ecuación describe el movimiento armónico simple o movimiento libre no amortiguado. Dos condiciones iniciales obvias relacionadas con esta ecuación y , el desplazamiento inicial y la velocidad inicial de la masa respectivamente. Por ejemplo, si , la masa parte de un punto bajo la posición de quilibrio con una velocidad impartida hacia arriba.
Ecuación de movimiento Para resolver la ecuación (1), se observa
que la solución de su ecuación auxiliar son números complejos y . Por la solución general queda.
(3)
El periodo del movimiento descrito por la ecuación (3) es . El número representa el tiempo (medido en segundos) que tarda la masa en ejecutar un ciclo de movimiento. Un ciclo es una oscilacón completa de la masa. La frecuencia del movimiento es y es el número
de ciclos completado cada segundo. El número
(medido en
rdianes por segundo) se llama frecuencia circular del sistema.
Hallamos el con las condiciones iniciales de posición y velocidad utilizaremos un esta condición indica el instante en que la masa empieza su movimiento.
De la posición tenemos:
Despejamos el
y queda:
Página 2
Aplicamos
y queda:
Derivamos a la posición para hallar la velocidad:
Aplicamos
Despejamos el
Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración:
y queda:
y obtenemos:
2.
SISTEMA RESORTE-MASA: AMORTIGUADO
MOVIMIENTO
LIBRE
El concepto de movimiento armónico libre es un poco irreal, puesto que el movimiento que describe la ecuación (3) supone que no hay fuerzar resturdoras actuando sobre la masa en movimiento. A menos que la masa se suspenda en un vacío perfecto, habrá por lo menos una fuerza de resistencia debida al medio circundante, la masa puede estar suspendida en un medio viscoso o unida a un sispositivo amortiguador. En el estudio de la mecánica, las fuerzas amortiguadoras que actúan sobre un cuerpo son consideradas proporcionales a una potencia de velocidad instntánea. En particular, en los análisis anteriores se supuso que esta fuerza está dada por un múltiplo constante de . Cuando ninguna otra fuerza actúa en el sistema, se deduce de la segunda ley de Newton que. ED de un Movimiento Libre Amortiguado
∑
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Donde es una constante de amortiguamiento positiva y el signo negativo es una consecuencia del hecho de que la fuerza de amortiguamineto actúa en dirección opuesta al movimiento. Hacemos un cambio de variable para facilitar el cálculo diferencial
queda El símbolo se usa sólo por conveniencia algebraica, porque la ecuación axuliar es y, por lo tanto, las raíces correspondientes son. Usamos la formula general:
√ √ √ √
Remplazamos los valores
Queda
y
Ahora se puede distinguir tres casos posibles dependiendo del signo algebraico de . Puesto que cada solución contiene el factor de amortiguamiento , los desplazamientos de la masa se vuelven insignificantes cuando aumenta el tiempo .
En esta situación el sistema está sobreamortiguado porque el coeficiente de amortiguamiento es grande comparado con la constante del resorte . La solución correspondiente es. Caso 1:
√ √ √
Para reducir hacemos lo siguiente,
la ecuación queda:
Página 4
Despejamos el
de la posición:
Aplicamos
Derivamos a la posición para hallar la velocidad:
Aplicamos
Remplazamos el valor de
y queda:
( ) ( ) () () () () y queda:
en
:
Despejamos
Remplazamos el valor de
Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración:
en
:
Este sistema esta críticamente amortiguado, porque cualquier ligera disminución en la fuerza de amortiguamiento daría como resultado un movimiento oscilatorio. La solución general es. Caso 2:
Página 5
En este caso es evidente que la masa a lo suma puede pasar una vez por la posición de equilibrio.
Despejamos el
Aplicamos
de la posición:
y queda:
Derivamos a la posición para hallar la velocidad:
Aplicamos
y queda:
Remplazamos el valor de
en
:
Despejamos
Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración:
En este caso el sistema está sobamortiguado puesto que el coeficiente de amoriguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte. Las raíces ahora son complejas ( ) Caso 3:
√ √ √ √
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Así que la ecuación general es:
√
Hacemos un cambio en el ángulo,
la ecuación queda:
A simple vista nos damos cuenta que la ecuación es oscilatorio; pero debido al , las amplitudes de vibración tiende a 0 cuanto el tiempo coeficiente tiende al infinito. de la posición: Despejamos el
Aplicamos
y queda:
Derivamos a la posición para hallar la velocidad:
Aplicamos
y queda:
Remplazamos el valor de
Despejamos
Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración:
en
:
( ) Página 7
3. EL CÓDIGO MATLAB Movimiento Libre no Amortiguado function [x,a,v]=vibnoa1gdl(x0, v0, c, m, k) %VIBNOA1GDL - Este programa calculara el movimiento masa resorte sin %amortiguamiento, este aso es un poco irreal pero sirve para análisis %Elaborado por: Espinoza Pardo, Esward Joel %Última Actualización: 03/11/2011 %Sintaxis de ejecución: % [x,a,v]=vibnoa1gdl(x0, v0, c, m, k) %variables de entrada: % x0= posición de la masa inicial en (m) % v0= velocidad de la masa inicial en (m/s) % c= coeficiente de amortiguamiento en (N.s/m) % m= masa del resorte en (Kg) % k= constante del resorte en (N/m) %variables de salida: % x= posición de la masa en el instante (t)dado(m) % v= velocidad de la masa en el instante (t) dado (m/s) % a= aceleración de la masa en el instante % (t) dado (m/s^2) %----------------------------------------------------------------------%CONDICION INICIAL PARA HALLAR LAS CONSTANTES c1 & c2 ti=0; %Cambio de variable al coeficiente de amortiguamiento landa=(c)/(2*m); %La frecuencia angular wn=sqrt(k/m); %Frecuencia de oscilación f=2*pi/wn; %Periodo T=1/f; %Intervalo de tiempo en que se desea analizar el resorte t=0:0.001:5*T; % %Hallamos la constante (c1) con la posición % c1=x0; % %Hallamos la constante (c2) derivando a la posición % c2=((v0)/wn) % %Ahora remplazamos c1 & c2 en la ecuación de la posición % x=c1.*cos(t.*wn)+c2.*sin(t.*wn); % %Derivamos a la posición para hallar la velocidad % v=-c1*wn.*sin(t.*wn)+c2*wn.*cos(t.*wn); % %Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración % a=-c1*wn^2.*cos(t.*wn)-c2*wn^2.*sin(t.*wn); % subplot(2,2,1) plot(t,x,'--+m','LineWidth',0.02) title('Grafico de la posición t vs x (noamortiguado)' )
Página 8
xlabel('tiempo en (s)') ylabel('posición en (m)') % , )) grid on subplot(2,2,2) plot(t,v,'--ob','LineWidth',0.02) title('Grafico de velocidad t vs v xlabel('tiempo en (s)') ylabel('velocidad en (m/s)') grid on subplot(2,2,3) plot(t,a,'--dc','LineWidth',0.01) title('Grafico de la aceleración t xlabel('tiempo en (s)') ylabel('aceleración en (m/s^2)') grid on subplot(2,2,4) plot(t,x,t,v,t,a) title('Grafico simultaneo de t" vs (noamortiguado)' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('posición en (m), velocidad ') grid on legend('x','v','a') end
(noamortiguado)' )
vs a (noamortiguado)' )
x" ; "t vs v" ; "t vs a" en (m/s), aceleración en (m/s^2),
Imagen de la posición, velocidad movimiento libre no amortiguado
y aceleración del
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Movimiento Libre Amortiguado caso1: sobreamortiguado function [x,a,v]=vibsob1gdl(x0, v0, c, m, k) %VIBSUB1GDL - Este caso el sistema esta sobreamortiguado ya que el %coeficiente del amoriguamiento grande comprdo con la contante del resorte %(el fluido es muy viscoso) % %Elaborado por: Espinoza Pardo, Esward Joel %Última Actualización: 03/11/2011 %Sintaxis de ejecución: % [x,a,v]=vibsob1gdl(x0, v0, c, m, k) %variables de entrada: % x0= posición de la masa inicial en (m) % v0= velocidad de la masa inicial en (m/s) % c= coeficiente de amortiguamiento en (N.s/m) % m= masa del resorte en (Kg) % k= constante del resorte en (N/m) %variables de salida: % x= posición de la masa en el instante (t)dado(m) % v= velocidad de la masa en el instante (t) dado (m/s) % a= aceleración de la masa en el instante % (t) dado (m/s^2) %----------------------------------------------------------------------%CONDICION INICIAL PARA HALLAR LAS CONSTANTES c1 & c2 ti=0; %ALGUNOS CALCULOS PREVIOS: %Cambio de variable al coeficiente de amortiguamiento landa=(c)/(2*m); %La frecuencia angular wn=sqrt(k/m); %Frecuencia de oscilación f=2*pi/wn; %Cambio de variable b=sqrt(wn^2-landa^2); a=sqrt(landa^2-wn^2); %Periodo T=1/f; %Intervalo de tiempo en que se desea analizar el resorte t=-0:0.001:5*T; %-----------------------------------------------------------------------%Hallamos la constante (c1) con la posición % c1=x0+((v0-x0*(a-landa))/2*a); % %Hallamos la constante (c2) derivando a la posición % c2=-(v0-x0*(a-landa))/(2*a); % %Ahora remplazamos c1 & c2 en la ecuación de la posición % x=exp(-landa.*t).*(c1*exp(a.*t)+c2*exp(-a.*t)); % %Derivamos a la posición para hallar la velocidad
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% v=exp(-landa.*t).*(a*c1.*exp(a.*t)-a.*c2.*exp(-a.*t))-(landa.*exp(landa.*t).*(c1.*exp(a.*t)+c2.*exp(-a.*t))); % %Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración % a=exp(-landa.*t).*(a^2.*c1.*exp(a.*t)+a^2.*c2.*exp(-a.*t))landa.*exp(-a.*t).*(a.*c1.*exp(a.*t)-a.*c2.*exp(-a.*t))+landa^2.*exp(landa.*t).*(c1.*exp(a.*t)+c2.*exp(-a.*t))-landa.*exp(landa.*t).*(a.*c1.*exp(a.*t)+a.*c2.*exp(-a.*t)); % subplot(2,2,1) plot(t,x,'--+m','LineWidth',0.002) title('Grafico de la posición t vs x (sobreamortiguado)' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('posición en (m)') % , )) grid on subplot(2,2,2) plot(t,v,'--ob','LineWidth',0.002) title('Grafico de velocidad t vs v (sobreamortiguado)' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('velocidad en (m/s)') grid on subplot(2,2,3) plot(t,a,'--dc','LineWidth',0.001) title('Grafico de la aceleración t vs a (sobreamortiguado)' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('aceleración en (m/s^2)') grid on subplot(2,2,4) plot(t,x,t,v,t,a) title('Grafico simultaneo de t" vs x" ; "t vs v" ; "t vs a"(sobreamortiguado)' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('posición en (m), velocidad en (m/s), aceleración en (m/s^2), ') axis tight grid on legend('x','v','a') end
Imagen de la posición, velocidad y aceleración del movimiento libre sobreamortiguado
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Movimiento Libre Amortiguado caso2: críticamente amortiguado function [x,a,v]=vibcrit1gdl(x0, v0, c, m, k) %VIBSUB1GDL - Este caso el sistema esta criticamente amortiguado, cualquier %ligera disminucion daria como resultado un movimiento osilatorio % %Elaborado por: Espinoza Pardo, Esward Joel %Última Actualización: 03/11/2011 %Sintaxis de ejecución: % [x,a,v]=vibcrit1gdl(x0, v0, c, m, k) %variables de entrada: % x0= posición de la masa inicial en (m) % v0= velocidad de la masa inicial en (m/s) % c= coeficiente de amortiguamiento en (N.s/m) % m= masa del resorte en (Kg) % k= constante del resorte en (N/m) %variables de salida: % x= posición de la masa en el instante (t)dado(m) % v= velocidad de la masa en el instante (t) dado (m/s) % a= aceleración de la masa en el instante % (t) dado (m/s^2) %----------------------------------------------------------------------%CONDICION INICIAL PARA HALLAR LAS CONSTANTES c1 & c2 ti=0; %ALGUNOS CALCULOS PREVIOS: %Cambio de variable al coeficiente de amortiguamiento landa=(c)/(2*m); %La frecuencia angular wn=sqrt(k/m); %Frecuencia de oscilación f=2*pi/wn; %Cambio de variable b=sqrt(wn^2-landa^2); %Periodo T=1/f; %Intervalo de tiempo en que se desea analizar el resorte t=-0:0.001:5*t; %-----------------------------------------------------------------------%Hallamos la constante (c1) con la posición % c1=v0; % %Hallamos la constante (c2) derivando a la posición % c2=v0+landa*x0; % %Ahora remplazamos c1 & c2 en la ecuación de la posición % x=exp(-landa.*t).*(c1+c2.*t); % %Derivamos a la posición para hallar la velocidad % v=-landa*exp(-landa.*t).*(c1+c2.*t)+exp(-landa.*t)*c2; % %Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración %
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a=(landa^2.*exp(-landa.*t).*(c1-c2.*t))-(landa.*exp(-landa.*t)*c2landa*c2.*exp(-landa.*t)); % subplot(2,2,1) plot(t,x,'--+m','LineWidth',0.002) title('Grafico de la posición t vs x') xlabel('tiempo en (s)') ylabel('posición en (m)') % , )) grid on subplot(2,2,2) plot(t,v,'--ob','LineWidth',0.002) title('Grafico de velocidad t vs v' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('velocidad en (m/s)') grid on subplot(2,2,3) plot(t,a,'--dc','LineWidth',0.001) title('Grafico de la aceleración t vs a') xlabel('tiempo en (s)') ylabel('aceleración en (m/s^2)') grid on subplot(2,2,4) plot(t,x,t,v,t,a) title('Grafico simultaneo de t" vs x" ; "t vs v" ; "t vs a"' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('posición en (m), velocidad en (m/s), aceleración en (m/s^2), ') axis tight grid on legend('x','v','a') end
Imagen de la posición, velocidad y aceleración del movimiento libre críticamente amortiguado
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Movimiento Libre Amortiguado caso3: subamortiguado function [x,a,v]=vibsub1gdl(x0, v0, c, m, k) %VIBSUB1GDL - Este caso el sistema esta subamortiguado, el coeficiente de %amortiguamiento es pequeño comparado con la constante del resorte. El %fluido del amortiguador no es muy viscoso. % %Elaborado por: Espinoza Pardo, Esward Joel %Última Actualización: 03/11/2011 %Sintaxis de ejecución: % [x,a,v]=vibsub1gdl(x0, v0, c, m, k) %variables de entrada: % x0= posición de la masa inicial en (m) % v0= velocidad de la masa inicial en (m/s) % c= coeficiente de amortiguamiento en (N.s/m) % m= masa del resorte en (Kg) % k= constante del resorte en (N/m) %variables de salida: % x= posición de la masa en el instante (t)dado(m) % v= velocidad de la masa en el instante (t) dado (m/s) % a= aceleración de la masa en el instante % (t) dado (m/s^2) %----------------------------------------------------------------------%CONDICION INICIAL PARA HALLAR LAS CONSTANTES c1 & c2 ti=0; %ALGUNOS CALCULOS PREVIOS: %Cambio de variable al coeficiente de amortiguamiento landa=(c)/(2*m); %La frecuencia angular wn=sqrt(k/m); %Frecuencia de oscilación f=2*pi/wn; %Cambio de variable b=sqrt(wn^2-landa^2); %Periodo T=1/f; %Intervalo de tiempo en que se desea analizar el resorte t=0:0.001:9*T; %-----------------------------------------------------------------------%Hallamos la constante (c1) con la posición % c1=(x0); % %Hallamos la constante (c2) derivando a la posición % c2=(v0+x0*landa)/(b); % %Ahora remplazamos c1 & c2 en la ecuación de la posición % x=exp(-landa.*t).*(c1.*cos(t.*b)+c2.*sin(t.*b)); % %Derivamos a la posición para hallar la velocidad % v=exp(-landa.*t).*(c1*(b.*sin(t.*b)+landa.*cos(t.*b))+c2.*(b.*cos(t.*b)landa.*sin(t.*b)));
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% %Derivamos a la velocidad para hallar la aceleración % a=exp(-landa.*t).*(-c1.*(b^2.*cos(t.*b)-b*landa.*sin(t.*b))+c2.*(b^2.*sin(t.*b)-b*landa.*cos(t.*b)))-landa*sqrt(-landa*t).*(c1*(b.*sin(t.*b)+landa*cos(t.*b))+c2.*(b.*cos(t.*b)-landa*sin(t.*b))); % subplot(2,2,1) plot(t,x,'--+m','LineWidth',0.02) title('Grafico de la posición t vs x (subamortiguado)' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('posición en (m)') % , )) grid on subplot(2,2,2) plot(t,v,'--ob','LineWidth',0.02) title('Grafico de velocidad t vs v (subamortiguado)' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('velocidad en (m/s)') grid on subplot(2,2,3) plot(t,a,'--dc','LineWidth',0.01) title('Grafico de la aceleración t vs a (subamortiguado)' ) xlabel('tiempo en (s)') ylabel('aceleración en (m/s^2)') grid on subplot(2,2,4) plot(t,x,t,v,t,a) title('Grafico simultaneo de t" vs x" ; "t vs v" ; "t vs a" (subamortiguado)') xlabel('tiempo en (s)') ylabel('posición en (m), velocidad en (m/s), aceleración en (m/s^2), ') axis tight grid on legend('x','v','a') end
Imagen de la posición, velocidad movimiento libre subamortiguado
y aceleración del
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