Movimiento Vibratorio. Preparado por: Prof. Olga Moreno. (2008)
UNIVER SIDAD N NACIONAL E EXPER IMENTAL D DEL T TÁCHIR A DEPAR TAMENTO D DE M MATEMÁTICA Y Y F FÍSICA NÚCLEO IIV. F FÍSICA II
MOVIMIENTO O OSCILATOR IO
SISTEMA MASA R R ESOR TE – –
PÉNDULO 1. MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Este tipo de movimiento es un caso particular del movimiento vibratorio. Se dice que un punto sigue un movimiento vibratorio armónico simple (m.a.s.) cuando su posición en función del tiempo es una sinusoide. Es un movimiento periódico de vaivén, en el que un cuerpo oscila a un lado y a otro de su posición de equilibrio en una dirección determinada y en intervalos iguales de tiempo. Una partícula sometida a este tipo de movimiento tendrá un punto central, alrededor del cual oscilará. (Tomado de http://es.wikipedia. http://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_arm%C org/wiki/Movimiento_arm%C3%B3nico_simple 3%B3nico_simple)) Se puede describir el Movimiento Armónico Simple (MAS) como aquel tipo de comportamiento del movimiento periódico que tiene una dependencia senoidal con relación al tiempo (t) de una posición de un objeto en movimiento.
x A cos(t ) (m) Donde:
A
Amplitud, desplazamiento máximo respecto a punto de equilibrio, es un valor constante. Frecuencia angular rad s s1 Constante de fase, es el ángulo por el cual el movimiento esta desplazado de x 0 m cuando t 0 s.
t
x
Fase del movimiento Posición
Figura 1 Un aparato experimental para demostrar el movimiento armónico simple.
Figura 2 a) Resorte en equilibrio, es decir, sin estirar. b) Sistema masa – resorte, en equilibrio al colocarse la masa. Resorte estirado en una y 0
mg
k cantidad c) Objeto oscilando alrededor de la posición de equilibrio, con un y ' y y 0 desplazamiento
1
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1.1.1. Conceptos básicos
Periodo: es el tiempo que tarda en dar una oscilación completa o un ciclo de su movimiento. T
1
f
2
(s)
Frecuencia: es el número de oscilaciones que la partícula hace en la unidad de tiempo. f
1
T
2
(s1 ); donde : s1 1 Hertz
1ciclo
s
1.1.2. Cinemática de la Partícula Sometida a un MAS Posición La ecuación general que describe cualquier movimiento armónico simple es:
x(t ) A cos(t ) (m) Velocidad Se obtiene de derivar la función posición
v(t )
dx(t ) dt
d A co cos( t ) dt
Asen( t ) m s
Aceleración Se obtiene de derivar la función velocidad
a(t )
dv(t ) dt
d Asen(t ) dt
A 2cos( t ) m s2
1.1.3. Dinámica de la Partícula Sometida a un MAS La base de un movimiento armónico simple consiste en que la única fuerza ejercida sobre la partícula en movimiento lineal y que únicamente depende de la posición de ésta. Si se llama x a la posición de dicha partícula, la fuerza ejercida sobre ella es: Por II Ley de Newton F ma , donde la aceleración es
a 2 x . Por lo tanto F m 2x Donde
2
k m
; entonces
F kx , siendo k la
constante de elasticidad del resorte (en N/m)
1.1.4. Energía en el Movimiento Armónico Simple Debido a que las fuerzas involucradas en un MAS son conservativas, conservativas, se tiene que la energía relacionada a dicho movimiento permanece constante en el tiempo, dicha energía es la llamada Energía Mecánica, la cual esta constituida por la energía potencial (asociada a la fuerza del resorte) y la energía cinética. Energía Cinética Para un oscilador armónico simple que varia con el tiempo, la energía cinética viene dada por la siguiente expresión: Energía Potencial La energía potencial, como la fuerza, alcanza su máximo en los extremos de la trayectoria (cuando hace parar a la partícula y reiniciar la marcha en sentido contrario) y, también como la fuerza, tiene valor nulo (cero) en el punto x = = 0, es decir el punto central del movimiento. Tiene por ecuación:
E K Ue
K
1 2
Ue
mv 2 J
1 2
kx 2 J
2
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Movimiento Armónico Simple de un Sistema Masa Resorte y su Relación con el Movimiento de un Péndulo Simple –
a m s2
t(s)
x(m)
v(m s)
0
A
0
0
A
0
A
0
A
0
A
0
0
2 A
1
T
4
1
T
2
3
T
4
T
A
K J
2 A
U J
1
0
kA
2
2
1
kA
2
0
2
2
1
0
kA
2
2
1
kA
2
0
2
Los parámetros referidos en la tabla del sistema masa - resorte, son asumiendo que x A en
0
1
kA
2
2
t 0s ,
con
x A cos( t )
Relación entre el movimiento uniforme circular de un punto P y y el moviendo armónico simple de un punto Q. una partícula en el punto P se mueve en un circulo de radio “A” con velocidad angular constante. a) El circulo de referencia muestra la posición de P en t 0 s b) La coordenada x del punto P y y Q son iguales y varían en el tiempo como x A cos(t ) c) La componente de la velocidad de P es es igual a la velocidad de Q. d) La componente x de la aceleración de P es es igual a la aceleración de Q. 3
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2.GRAVITACIÓN
4
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Movimiento Vibratorio. Preparado por: Prof. Olga Moreno. (2008) EJERCICIOS PROPUESTOS
EJERCICIO 1 Un sistema masa – resorte, se encuentra sobre una superficie lisa, tal y como se muestra en la figura, experimentando un M.A.S, el cual es representado mediante la proyección de un movimiento circular uniforme, la partícula gira en un circulo de radio R 3m y una rapidez angular de 8 rad s . En el instante t 0s , la partícula ocupa una coordenada x = 2 m y se mueve hacia la posición de equilibrio. Use la siguiente información: 1. 2. 3. 4.
m
0, 05 kg;
g
2
9, 8 m s
Entonces la velocidad (en m/s) y la aceleración (en m/s 2 ) de la partícula en ese instante de tiempo es: La constante de elasticidad del resorte (en N/m ) es : La energía mecánica total (en J) del sistema masa – resorte es: La posición (en m) de la partícula cuando su velocidad es de v 12ˆi m s
Considere ahora que en el momento que el bloque de masa m se encuentra en la posición otro bloque de masa m2 2m .
x
A , se coloca
5. Entonces, comparando esta nueva situación con la situación anterior, se puede afirmar que la frecuencia angular del oscilador: a) Aumenta el doble b) Es la misma c) Disminuye a la mitad d) Disminuye
EJERCICIO 2 Un sistema masa – resorte, se encuentra sobre una superficie lisa, tal y como se muestra en la figura, experimentando un M.A.S. el período de oscilación es de 2 s. En el instante t 0 s las masas se encuentra en x0
A , Entre las masas actúa la fuerza de roce estática máxima. Use la
siguiente información:
m1
1. 2. 3. 4.
6 kg; m2
4 kg;
T
2 s; g
9, 8 m s2 ;
e
0, 6
Entonces la constante de elasticidad del resorte (en N/m) N/m) es: Y la amplitud (en m) del movimiento será: Y el tiempo (en s) que demora en llegar por primera vez a la posición
x
0,25 m es:
Y la energía mecánica total (en J (en J ) es:
Considere ahora que en el momento que los bloques se encuentran en la posición de masa m2 .
x
A , se quita el bloque
5. Entonces, comparando esta nueva situación con la situación anterior, se puede afirmar: a) Tarda
mas tiempo en volver a x A
b) Tarda
menos tiempo en volver a x A
c) Tarda
el mismo tiempo en volver a x A 2
6. En esta nueva situación la posición posición (en m) y aceleración (en m/s ) de masa
m
1
d) Duplica
el tiempo en
volver a
x
A
1,2 s después será:
EJERCICIO 3 Se tiene un sistema masa – resorte que oscila, ubicado inicialmente en x A , sobre una superficie horizontal lisa y un péndulo simple que oscila en fase con la masa del sistema. (El período de los movimientos es igual). Datos: m1 1, 5 kg
T1 T2 9 5 s
m2 4 kg
A 0, 1m
g 9, 8 m s 2
Usando la información anterior determinar: 1. La longitud del péndulo simple (en m), le frecuencia angular (en rad/s) y la constante de elasticidad del resorte (en N/m) es: 2. El tiempo en cual el sistema masa – resorte pasa por primera vez por la posición de equilibrio (en s) es: 3. En el instante t 0 634 s la energía potencial elástica del sistema masa – resorte (en J) es: ,
7
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Si justo en el momento en que el péndulo y el sistema masa resorte se encuentran en x A , se corta la cuerda del péndulo, quedando m 2 sobre m1, de tal modo que oscilan juntos. –
4. Considerando esta nueva situación, el coeficiente de roce estático mínimo que debe existir entre m 1 y m2 para que oscilen juntos es: 5. Para esta nueva situación, la función que permite determinar la velocidad del sistema masa resorte a partir de ese momento es: a) v 0,349s ,349sen en 3,491t m s b) v 0,182 ,182se sen n 1,823t ,823t m s c) v 0,2148 ,2148se sen n 2,1 2,148 48tt m s d) v 0,182 ,182se sen n 3,49 3,4907 07tt m s
EJERCICIO 4 En el sistema masas resorte que se presenta conformado por dos cajas de masas m1 y m 2 respectivamente colocada una sobre la otra, existiendo entre ellas un coeficiente de roce S y la caja m1 está ubicada en una superficie lisa. El resorte de constante de elasticidad kres tiene su extremo derecho soldado a la masa m1 y el izquierdo está empotrado en una pared tal se observa en la figura.
Datos: m1 5 kg; m2 3 kg; kres 100 N m ; g 9, 8 m s
Si se considera que no hay deslizamiento entre las masas y el oscilador se suelta desde velocidad inicial de v(0)
x(0)
0,2 m con una
0,3 i m s ˆ
6. Calcular la amplitud y la constante de fase del movimiento. 7. Cuál será la rapidez del oscilador cuando su posición sea x 0,10m 8. Cuanto tiempo tarda el oscilador en alcanzar una velocidad de v 0 6 i m s
ˆ
,
Si cuando el sistema está en la posición x A se retira m2 9. Para esta nueva situación, la energía cinética del sistema masa – resorte en el instante t 0, 3s (en J) es: 10. Comparando esta nueva situación con la anterior, se puede afirmar que: c) Amplitud disminuye y d) Amplitud permanece a) Amplitud aumenta y b) Amplitud permanece igual y el periodo aumenta igual y el periodo aumenta aumenta disminuye
EJERCICIO 5 Un satélite de
2000kg se
coloca en órbita circular a una altura de 100km por encima de la superficie lunar. El radio de la luna es de 1,74 106 m . Determinar:
1. La aceleración del satélite. 2. La rapidez orbital del satélite. 3. El período del satélite. 4. La energía potencial 5. La magnitud de la fuerza sobre el satélite 6. La intensidad de campo gravitatorio 7. La energía total
EJERCICIO 6 Un planeta P describe un órbita circular alrededor de una e strella de masa mayor, si la distancia 8 media que separa el planeta de la estrella es de 4,08 ,08 10 m y el potencial gravitatorio del sistema planeta – ,0463 106 m2 s2 . Utilizar G 6, 67 673 10 10 11Nm2 kg2 . Calcular: estrella es V 1,04
1. La masa de la estrella 2. El valor que tiene la constante C del planeta
Si el planeta P tiene un período de 45 días y se quiere colocar un satélite S de masa mS 5 10 103 kg de modo que en órbita circular le de una vuelta a la estrella en un tiempo de 2 h. 3. ¿A qué distancia
r S habrá
que colocar el satélite? 8
Movimiento Vibratorio. Preparado por: Prof. Olga Moreno. (2008) 4. ¿Qué fuerza actúa sobre el satélite en ese punto? 5. ¿La energía potencial gravitatoria del satélite en ese punto? 6. ¿Cuál es la intensidad de campo gravitatorio en ese lugar? 7. ¿Cuál es la velocidad orbital? 8. ¿Cuál es el nuevo periodo orbital del satélite?
EJERCICIO 7 Dos satélites de masas m 1 y masa m2 describen órbitas circulares en torno a la Tierra. Sus distancias respectivas al centro de la Tierra son r 1 y r2. La masa de la Tierra M y el radio de la Tierra R T. La distancia media de la Tierra a la Luna es r L, el período rotacional lunar TL 27,3dia ,3dias 1. Si el satélite m1 tiene un período de 1 día y el satélite m 2 un período de 2 días. Determinar: 2. La distancia r 1 y r2 3. La velocidad orbital de la masa m 1 y m2 4. La intensidad de campo gravitatorio sobre las masas 5. El potencial gravitatorio de m 1 y m2
EJERCICIO 8 Dos satélites de masas m 1 y m 2 se encuentran describiendo órbitas circulares de radios r 1 y r2 en torno a la Tierra. Si D 3, 810 1 08m D es la distancia de la Tierra a la Luna, T 2, 36 36 106 s es el período lunar, 6 M 5, 98 98 1024kg la masa de la Tierra, y R 6,37 ,37 10 m el radio de la Tierra. Determinar: 1. La distancia r 1 del satélite m1 a Ia Tierra, si el periodo es de 20.9 h 2. El campo gravitatorio sobre m 1
Si m2 orbita la Tierra a una distancia
r2 12R (radio
de la Tierra)
3. ¿Cuál es el periodo de m2? 4. ¿Cuál es la intensidad de campo de cada uno de los satélites? 5. ¿Cuál es la velocidad orbital y aceleración orbital de los satélites? 6. ¿Cuál es la energía total de cada uno de los satélites?
EJERCICIO 9 Dos planetas de masas iguales orbitan alrededor de una estrella de masa mucho mayor. El planeta m 1 se mueve en órbita circular 108km y un período de 2 años. El planeta m 2 se mueve en de radio r1 1,110 una órbita elíptica cuya distancia mas próxima Perihelio es r 1 y la más 108km , según se muestra en la figura. Calcular: alejada Aphelio r 2 1, 8 10 1. El período de m2 2. ¿Qué planeta tiene mayor rapidez en el Perihelio P? 3. ¿Cuál es la energía cinética de los planetas en el Perihelio? 4. El momento cinético del planeta m2 en el Aphelio 5. El momento cinético del planeta m 1 en el Perihelio 6. La masa de Ia estrella.
9
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EJERCICIO 10 El satélite artificial de la figura describe una órbita circular de 7340km de radio alrededor de la Tierra. Hallar: 1. La velocidad orbital del satélite y el periodo. 2. ¿Cuantas vueltas da en un día? 3. La intensidad del campo gravitatorio 4. La energía total
5. La energía potencial gravitatoria
EJERCICIO 11 Un satélite con masa m 500kg 0kg se encuentra en una órbita circular a una distancia d 1000 1000km km sobre la superficie terrestre, como se muestra en la figura.
d
Datos: R T 6, 37 106 m;
MT 5, 98 1024 kg
1. La rapidez angular (en rad/s) del satélite es: 2. Y el potencial gravitatorio (en J/kg) del satélite es: 3. La energía potencial gravitatoria (en J) del satélite es:
R
El motor del satélite se enciende haciendo que se mueva a otra orbita, adquiriendo una energía mecánica total E 9, 02 10 10 9 J
4. De acuerdo a esta nueva situación, la posición (en km) del satélite será: 5. Y el período (en s) del satélite es: 6. Y la fuerza de gravitación universal (en N) que actúa sobre el satélite es:
10
Movimiento Vibratorio. Preparado por: Prof. Olga Moreno. (2008) MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE MAS x(t ) Acos( t ) m
x0 rad A
arccos
v(t ) A sen( t )m s
a(t ) A cos( t ) m s 2
2
2 T
2
2
A
2 f rad s
SISTEMA MASA RESORTE
v x2
ENERGÍA
–
vmáx A m s
k rad s m
m s k
T 2
2
PÉNDULO SIMPLE g
L
2
mv 2
1 2
kx 2
1 2
kA 2 J
PÉNDULO FÍSICO
T 2
rad s
1
E
amáx A m s 2
L g
MgD
s
I
T 2
rad s
I
MgD
s
GRAVITACIÓN III LEY DE KEPLER T12
T22
r13
ENERGÍA POTENCIAL U G
r 23
FUERZA GRAVITACIONAL
F G
Mm 2
r
V G
M r
E K U E
r N ˆ
CAMPO GRAVITATORIO M
g G 2 r m s2 r
J kg
r
K
J
1 2
mv 2 J
ENERGÍA MECÁNICA
G 6, 67 10 1011 Nm2 kg2
POTENCIAL GRAVITATORIO
Mm
ENERGÍA CINÉTICA
ˆ
GMm GMm 2r
J
TRABAJO REALIZADO POR LA FUERZA GRAVITACIONAL r f
w
Fg. dr U J r 0
ÓRBITAS CIRCULARES Velocidad en órbitas circulares T2
4
Velocidad de escape
2
GM
R3 s
v
GM r m s r
ve
2GM m s r
ÓRBITAS ELÍPTICAS Velocidad en el Perihelio
1 1 ra r p m s 2 r p 1 r a
Velocidad en el Aphelio
2GM vp
1 1 ra r p ms 2 r a 1 r p
2GM va
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