MASA
– RESORTE RESORTE – AMORTIGUAMIENTO
Una masa de 16 libras se une a un resorte de 5 pies de largo. En el equilibrio el resorte mide 8.2pies. si al inicio la masa se libera desde el reposo en punto 2 pies arriba de la posición de equilibrio encuentre los desplazamientos x(t). Datos:
= 16 0 = 2 A0 = 5 pies
A1 = 8.2 pies
0 = 2 0 = 0 = 32/
Solución:
+ + = 0 = ∆ ∆∆ == 3.8.22 5 16 =163.2 = 3.2 = 5 / = = = 1326 = 12 + + = 0 1 + + 5 = 0 2 + 2 + 10 = 0 + 2 + 10 = 0 4 ± √ = 2 10 = 2 ± 22 410
= 1
= 1 ± 62 = 1 ± 3 == 11 + 33
= 3 > 0
3 == −−sen3 cos cos 3 sen3 3 == −− cos coscos 3 + 3 3 − 3 + 3 3 cos3 = 2 = ( cos cos0 + 0) 2 = ′′ = 0 = −( cos cos−3 3 + 3 3) ++ sen 3 3 sen 3 3 0 = 2 + 3 = 3 = −2cos 2cos3 3 23 3 3 condición inicial
condición inicial
:
:
Una masa que pesa 8lb alarga 2pies aun resorte. Suponiendo que una fuerza amortiguadora igual a dos veces la velocidad instantánea actúa sobre el sistema, determine la ecuación de movimiento si la masa inicial se libera desde la posición de equilibrio con una velocidad ascendente 3pies/s.
Datos:
= 8 = 2 = 2 0 = 0 0 = 3 = 32/
Solución:
+ + = 0 = = 82 = 4 / = = 328 = 14 1 + 2 + 4 = 0 4
+ 8 + 16 = 0 +4 + 8 +16 = 0 +4 = 0 == 4 4 == −−
− + − = − = + = 0 = − + 0 = ( + 0) = 0 = 3 ′ = 4− + + − 3 = 4 = +30+ condición inicial
condición inicial
:
:
= 3−
Una masa de 1 kilogramo se fija a un resorte cuya constante de es 16 N/m y luego es sistema completo se sumerge en un liquito que imparte una fuerza amortiguadora de igual a 10 veces la velocidad instantánea. Determine la ecuación del movimiento si: .
0 = 1 0 =
12/
Datos: m = 1, b = 10, k = 16
+ + = 0 + 10 + 16 = 0 +10 +16 = 0 .. +2 +8 = 0 = 2 ; = 8 = − ; = − = − + − …1 0 = 1 : = − + − 1 = + 1 = + = 1 …2 = 12 : = 2− 8− 12 = 2 8 12 = 218 12 = 2+2 8 10 = 6 = 53 2 = 1 53 = 23 1 = 23 − 53 − ó .
Una fuerza de 2 libras alarga 1 pie un resorte. Una masa que pesa 3.2 libras se une al resorte y luego se sumerge el sistema en un medio que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a 0.4 veces la velocidad instantánea. Encuentre la ecuación del movimiento si: y
0 = 1
0 = 0 Datos:
= .. = 0.1 [] = 0.4 : = 2=∗1 →=2 ;
0.1 + 0.4 + 2 = 0 0.1 +0.4 +2 = 0 .. 40.12 0.4± 0 . 4 = 20.1 = 0.4±0.√ 20.64 = 2±4 = 2 ; = 4 = −4 ; = −4 = −4 +−4…1 = 2−4 4−4 2−4 +4−4…2 0 = 1 1 = 0+0 1 = +0 → = 1 ′0 = 0 0 = 204020+40 0 = 2 + 4 0 = 21+4 = 0.5
Aplicando condición inicial
en ecuación (1)
Aplicando condición inicial
en ecuación (2)
Remplazando las el valor de las constantes en la ecuación (1)
= 1−4 +0.5−4…1 Expresando la ecuación de movimiento “x” en su expresión alternativa:
= +
= + = 1 + 0.5 = √2 5 = − = − 0.15 = 1.107
= √2 5 −4 +1.107 Tiempo en que la masa pasa por primera vez, por el punto de equilibrio
=
Donde “n” es el número de vez, en el que la pasa pasará por el punto de equilibrio.
= 1.√ 5107 = 1.8197 2
Un peso de 16 libras se adhiere a un resorte de 5 pies de largo. En equilibrio el resorte mide 8.2 pies. Si el peso se impulsa y se libera del reposo en un punto situado a 2 pies sobre la posición de equilibrio, encontrar los desplazamientos sabiendo además que el medio circundante ofrece una resistencia numéricamente igual a la velocidad instantánea.
Datos:
= 16 = 8.2 = 5 0 = 2 0 = 0 Solución:
= = 8.2 5 = 3.2 = = 16 = 3.2 = 5 / = 16 = 32 = 12 1 + + 5 = 0 2 Multiplicamos a la ecuación *2
+ 2 + 10 = 0 Ecuación auxiliar.
+ 2 +10 = 0 =1 =2 = 10 4110 2± 2 = 21 = 1+3 = 13
= 1 , = 3 = − cos3 = − sin3 = − cos3 +− sin3 0 = 2 2 = cos0+ sin0 = 2 0 = 0 = − cos3 +− sin3 = − cos3 + sin3 cos3 + sin3+ = −−3 sin 3 +3 cos3 cos0+ sin0+ 0 = 3 sin0+3 cos0 0 = + 3 = 23 = − 2cos3 23 sin3 Condición inicial.
Condición inicial.
1. S, Zill Dennis G-Wright Warren. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. México : Cengage Learning, 2015. ISBN: 9786075194431.
Una masa que pesa 4 libras está unida a un resorte cuya co nstante es 2lb/ft. El medio ofrece una fuerza de amortiguamiento que es numéricamente igual a la velocidad instantánea. La masa inicialmente se libera desde un punto localizado 1 pie por encima de la posición de equilibrio a velocidad descendente de 8 ft/s. Determine el tiempo al cual la masa cruza la posición de equilibrio. Encuentre el momento en el cual la masa logra su desplazamiento extremo a partir de la posición de equilibrio. ¿Cuál es la posición de la masa en ese instante? Datos:
= 4 = 2 / = 0 = 1 0 = 8 / Solución:
= 4 = 32 = 18 1 + + 2 = 0 8 + 8 + 16 = 0
Multiplicamos a la ecuación *8
Ecuación auxiliar.
+ 8 +16 = 0 +4 +4 = 0 = = 4 = − = − = − + 0 = 1 1 = + 0 = 1 0 = 8 = − + Condición inicial.
Condición inicial.
′ = 4 − + +− 8 = 4( + 0)+ 8 = 4 + = 4 = −1+4 = 0 0 = −1+4 0 = (−1+4) 0 = 1+4 = 14 = 0 ′ = 4 − + +− ′ = 4 −1+4+−4 = −816 0 = −816 0 = (−816) 0 = 816 = 12 = = −1+4 1 − 2 = 1+412 12 = 0.1353
El tiempo en que la masa cruza la posición de equilibrio tenemos:
Para el momento máximo tenemos:
El desplazamiento para
Una masa que pesa 1 libras produce un alargamiento de 2 pies en un resorte. La masa se une a un dispositivo amortiguador que ofrece una fuerza de amortiguamiento igual a β (β >) veces la velocidad instantánea. Determine los valores de la constante de amortiguamiento β por lo que el movimiento posterior sea Sobre amortiguado Críticamente amortiguado Subamortiguado
Datos
mg= -kx
- =K
X= 2 pies
- = K
P= 10 libras M=
= 0.31 .
K= -5
FORMULA:
, + , +
m
k x
, + , +
0.31
β
5x
= −±−
= −±.−. −, = −± .
> > √ 6,2 – 6,2
0
Sobre amortiguamiento
< < √ 6,2 - 6,2
0
subamortiguamiento
6,2 = 0 = 6,2 críticamente amortiguado
Se cuelga de un resorte una masa de 2 kg, de tal manera que el resorte se alarga 0.625 m. A esta masa se le aleja (aparte) de su posición de equilibrio jalándola 1 m hacia a rriba y se le suelta. Hallar el movimiento resultante de l a masa, sabiendo que hay una resistencia del aire de 6v
, + , + , + 16, + + 16 + 32,03 = −± −, = −±√ −,
m
k x = 0
2
32,03 x = 0
ma = -kx
. k= . k= -
2
r= -4±
K= -32.03
√ .i
± = 4, = 0.03 −cos0.03 −sen0.03 − r = -4 0,122i
X1= X2= X=
1cos0.03t
+ C 2sen0.03t)
X= -1, T= 0 -1 =
−
1cos0.03*0
+ C2sen0.03*0)
-1= C1
,
X=
(0) = 0
− −
0 = (-4
1cos0.03t
+ C2sen0.03t)
−
1cos0.03t – C1
T=0 0= -4C1 + C2
C1= -1
C2= -4 X=
−
−
sen0.03t)+ (-4
cos0.03t + -4sen0.03t)
2sen0.03t
−
+C2
cos0.03t)
Se cuelga de un resorte una masa de 2 kg, de tal manera que el resorte se alarga 0.625 m. A esta masa se le aleja (aparte) de su posición de equilibrio jalándola 1 m hacia arriba y se le suelta. Hallar el movimiento resultante de l a masa, sabiendo que hay una resistencia del aire de 6v
Una masa de 8 kg se une a un resorte de constante k = 2 N/m y a un amortiguador de constante c =8 N*s/m. Si la masa se suelta del punto x 0 = 0:1 m, con velocidad v 0 = 1:94 m/s, determine: a) La posición y la velocidad de la masa en el tiempo. La ecuación diferencial es:
+ 8 + 2x = 0 8 + 8 +2 = 0 = −±− = - 8
−
X(T) = (C1 + C2t)
Y su velocidad es:
−
V(t) = C2
- (C1+ C2t)
− =
2-C1-C2t)
−
Como en el tiempo t = 0s se tiene x 0= -0.1 y velocidad v 0= -1.94, sustituyendo en las dos ecuaciones -0.1= C1 -1.94=
2 -C )
C1= -0.1
2
1
C2= -1.99
a) Con estos resultados hallamos la posición y la velocidad de la masa en el tiempo:
X(t) = -(0.1 + 1.99t) e^(-t/2) m
v(t) = (-1.94 + 0.995t) e^(-t/2)
m/s
Un sistema masa-resorte-amortiguador está colocado en forma vertical. La masa del cuerpo es de 0,2 kg, la constante del resorte es de 5 N/m y la constante del amortiguador es de 2 N*s/m. Al inicio la masa se libera desde un punto que está 4 cm abajo de la posición de equilibrio, con una velocidad hacia abajo de 0,1 m/s. determinar: Aún cuando el sistema está colocado en forma vertical la ecuación diferencial del movimiento es la misma: m
, + , + 5 = 0
0.2
+ kx (t) = 0
+ 2
X(0) = 0.04
condiciones iniciales
v(0) =0
m= 0.2, k= 5, c= 2 amortiguado
X(t) = (x0 + (v0 +
c2-4mk = 4-4(0.2)(5)= 0 entonces tenemos un movimiento críticamente
) t) − = 0.04+0.1+ .−. = (0.04+0.3t)− .
La velocidad y aceleración instantáneas se obtienen derivando la posición una y dos veces, respectivamente, con respecto al tiempo. Derivando y simplificando hallamos que V(t) = (0.1 – 1.5t)
−
m/s ,
−
a(t) = (-2 + 7.5 t)
m/
