Comportamiento de un sistema masa resorte. Darwin Calderon, Santiago Frye, Yuli Marcela Nova y Duvan Felipe Ossa. Facultad de Ciencias Ciencias Naturales Naturales y Matemáticas, Matemáticas, Universidad Universidad de Ibagué, Carrera Carrera 22 Calle Calle 67. B!mbalá, Ibagué, "#lim "#lima. a.
E-mail !"!#$"$#!%&estudiantesuni'ague.edu.co
(esumen )a *inalidad de esta pr+ctica de la'oratorio *ue analiar el movimiento de un sistema masa resorte, en un en*oue est+tico y din+mico utiliando la ley de oo/e y las leyes de Newton. allando la constante de elasticidad para cada caso. 0ara esto en el en*oue est+tico medimos la elongaci1n con tres masas y con tres resortes di*erentes y 2allamos 3. Y en el en*oue din+mico medimos el tiempo ue tarda en realiar 4 oscilaciones y 2allamos 3 para los tres resortes con dos masas di*erentes. 5dicionalmente se colocaron dos de los resortes en serie y en paralelo y se 2all1 3 para comparar con su constante de elasticidad 2allada individualmente. )a pr+ctica realiada en el la'oratorio arro6a di*erentes resultados en los ue se pueden evidenciar lo ocurrido en estos sistemas e in*erir acerca de los conceptos anteriormente mencionados. 0ala'ras clave Fuerzas, longitud, oscilación, gravedad, estática, dinámica, periodo.
$. 7N8( 7N8(OD OD9C 9CC7 C7:N :N
proporcional a fuerza aplicada.
Con este labora laboratorio torio se buscó buscó comprend comprender er el compor comportam tamien iento to de un sistem sistemaa masa masa resort resortee y hall hallar ar las las cons consta tant ntes es de elas elasti tici cida dad d de tres tres resortes en el enfoque estático, para compáralos con con las las cons consta tant ntes es hall hallad adas as en el enfo enfoqu quee dinámico. Y observar cómo cambia el valor de K para la configuración de serie y paralelo de dos de los resortes inicialmente inicialmente utilizados, utilizados, teniendo en cuenta cuenta los factor factores es de error error.. .. artie artiendo ndo de algunos conocimientos previos obtenidos en las clases, sobre los sistemas oscilatorios. oscilatorios.
0ey de "oo#e, que dice que cuando un cuerpo es deformado dent dentro ro de su rang rango o elástico, la deformación es proporcional a la fuerza que que la produce. !s decir cuando se cuelga una masa m en un reso resort rtee, ste ste se ala alarga $se defor eform ma y el alar alarga gami mien ento to está está rela relaci cion onad ado o con con la fuer fuerza za aplicada $peso colgado seg1n la ecuación2
!. M5(C M5(CO O 8EO(7 8EO(7CO CO
la
=− K ∗ X =m . g F =−
!l sistema masa resorte es un sistema oscilatorio estu estudi diad ado o por por "oo# "oo#ee $%&' $%&'() ()%* %*+' +', , f-si f-sico co)) matemático, qu-mico y astrónomo ingls, quien dem demostr ostró ó el comp compor orta tami mien ento to rela relati tivo vo a la elasticidad de un cuerpo. /bservó que hab-a un aum aumento ento de la long longit itud ud del cuer cuerpo po que que era era
$%
!n el análisis dinámico del sistema masa)resorte, se considera el resorte en la posición inicial 3 sin estar sometido a cargas e4ternas $ver figura %. Cuando una carga m se le agrega, el resorte se
Anicialmente se tomó un resorte y se coloco en la parte superior de la base metálica se midió la elongación inicial o natural del resorte, despus se colocó en el resorte tres masas diferentes, midiendo igualmente la elongación del resorte, y graficamos para hallar el valor de K a $constante de elasticidad. 7espus se repitió este procedimiento con otros dos resortes.
estira hasta la posición 5 de modo que all- se cumpla la relación2 mg 6 # 4o , donde 4o 6 35. ero si se estira el sistema una distancia 5C 6 4 entonces la fuerza total sobre la masa m será2 7e acuerdo a la segunda ley de 8e9ton2
F =m. a
'.:.:. $:
!n un resorte se colocaron tres masas determinadas, y se estiro el resorte ' cm por deba?o del punto de equilibrio, se de?ó el cuerpo en libertad y se midió el tiempo que tardo en realizar ( oscilaciones tomando esta medida B veces para tener un error menor, se registró los datos en una tabla para hallar el valor de K $la constante de elasticidad. 7espus repetimos este procedimiento con otros dos resortes.
/ bien 2
m
d x 2
d t
=− K . X
$' ;eniendo en cuenta que e4perimentalmente se presenta un error se aplicó la ecuación del error porcentual2
E=
7espus se colocaron dos de los resortes utilizados en el procedimiento anterior y se le colocaron cada una de las tres masas utilizadas anteriormente, estirando el resorte 'cm por deba?o de su punto de equilibrio y midiendo el tiempo que tarda en realizar ( oscilaciones. ara hallar K y compararla con las constantes de elasticidad de estos mismos resortes hallados individualmente.
V T −V E V T
;. M58E(75)ES Y M<8ODOS '.%. !0!!
". (ES9)85DOS Y D7SC9S7ONES !lementos 7e
Cronometro
−¿ +¿ ¿ ¿
B.%. !4perimento estático +,+%seg
Cintra mtrica −¿ +¿ ¿ ¿
+,%cm
masa(k g)
longitud(c longitud( m) m)
elongaci ón
0
0
0
9,2
0,092
0
!lementos 7e
100
0,1
0,98
16,23
0,1623
0,0703
10
0,1
1,!7
20,13
0,2013
5ase
200
0,2
1,96
23,36
0,2336
0,1093 =eg1n la 0,1!16 ecuación %
'.:. @/C!7/
'.:.%.
masa (g)
Resort e peso (N)
3plicando la metodolog-a anteriormente mencionada del modelo estático se registraron los datos en la siguiente 1 tabla2
− K ∗ X = m. g 7onde K es la pendiente de esta grafica 7e esta ecuación obtenemos que # para el resorte uno es apro4imadamente2
masa (g)
masa(k g) 0 0
100 0,1 masa masa(k (g) 10 g) 0,1 200 0,2 0 0
Resort e peso (N) Resort0 e 0,98 peso (N)1,!7 1,96 0
3 longitud(c m) !,63 2 9,7 longitud(c 10,7 m) 12,7 3,93
2" longitud( elongaci m) ón 0,0!63 0 0,097 0,007 longitud( elongaci m) 0,107 ón0,0607 0,127 0,0807 0,0393 0
100
0,1
0,98
9,36
0,0936
0,0!3
10
0,1
1,!7
12,2
0,122
0,0832
200
0,2
1,96
1!,70
0,1!7
0,1077
K =13.73
2 #($) % 23"27$
1" Peso (N)
1 0" 0 0
0"02
0"0!
0"06
x = elongación (m)
N m
=eg1n la ecuación %
2"
− K ∗ X =m. g
2 #($) % 18"01$
1" Peso (N)
7onde K es la pendiente de esta grafica 7e esta ecuación obtenemos que # para el resorte dos es apro4imadamente2
1 0"
K =23.27
0 0
N m
0"02 0"0! 0"06 0"08 x = elongación (m) B.:. !4perimento dinámico
=eg1n la ecuación % tilizando la segunda ley de 8e9ton tenemos que2 − K ∗ X =m. g
7onde K es la pendiente de esta grafica
m x´ =−kx
7e esta ecuación obtenemos que # para el resorte dos es apro4imadamente2
x´ +
K =18.01
N m
0"08
k . x =0 m
7ónde2
k 2 =ω m Y sabemos que
ω
equivale a2
0"1
ω=
masa (kg) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t! (s) t (s) t (s) & (s)
2 π
T
3 partir de esto obtenemos2
√
k 2 π = m τ
7espe?ando2
k =m
( ) 2 π
2
T
resorte 1 masa (g) 100 masa (kg) 0,1 t1 (s) 2,91 t2 (s) 2,9 t3 (s) 2,86 t! (s) 2,72 t (s) 2,7 t (s) 2,828 & (s) 0,66
2 π 0,57 s
)
2
=12,15
k =0,2 kg
(
0,755 s
)
(
0,48 s
)
2
=17,35
N m
= 17,08
N m
200 0,2 3,78 3,73 3,8 3,83 3,7! 3,776 0,7
N m
ara la masa : obtenemos2
2 π
k =0,1 kg
2 π
ara la masa : obtenemos2
ara la masa % obtenemos2
(
0,2 3,!9 3,36 3,!2 3,37 3,!8 3,!2! 0,68
ara la masa % obtenemos2
7esarrollando la metodolog-a descrita recogimos los siguientes datos para el primer resorte2
k =0,1 kg
0,1 2,3! 2,32 2,!7 2,!6 2,33 2,38! 0,!77
2
=13,85
N m
k =0,2 kg
(
2 π 0,68 s
)
2
!n el modelo estático, en el que K fue de %E,+% 8Dm. ara el resorte '2
resorte 3 masa (g) 100 masa (kg) 0,1 t1 (s) 1,9 t2 (s) 2,02 t3 (s) 2,1 t! (s) 2,18 t (s) 1,93 t (s) 2,036 & (s) 0,!07
200 0,2 2,87 2,81 2,86 2,8 2,89 2,86 0,71
ara la masa % obtenemos2 0o cual es muy apro4imado a la K obtenida en el modelo estático, en el que K fue de %',*' 8Dm.
k =0,1 kg
(
2 π 0,41 s
)
ara el resorte dos2
resorte 2 masa (g) 100
ara la masa : obtenemos2
200
2
=23,83
N m
k =0,2 kg
(
)
2
2 π 0,57 s
=24,3
N m
E =
40,62 −35,74
∗100=12
40,62
!n el modelo estático, en el que K fue de :',:* 8Dm.
roseguimos con la configuración en paralelo utilizando el resorte : y '. ;eniendo que la elongación inicial es2 %(,B cm.
resorte 2'3 masa (g) masa (kg) t1 (s) t2 (s) t3 (s) t! (s) t (s) t (s) & (s)
n aralelo 200 0,2 2,23 2, 2,!2 2,3 2,22 2,3!! 0,!69
ara la configuración en serie tambin utilizamos los resortes : y '. ;eniendo que la elongación inicial es2 %E,(( cm.
resorte 2'3 n *erie masa (g) 100 masa (kg) 0,1 t1 (s) 3,33 t2 (s) 3,27 t3 (s) 3,2 t! (s) 3,28 t (s) 3,2 t (s) 3,276 & (s) 0,6 ara la masa % obtenemos2
ara esta masa obtenemos2
( ) 2 π
2
N =35,74 k =0,2 kg 0,47 m
200 0,2 !,6 !,!9 !,!! !,! !,8 !,30 0,906
(
2 π k =0,1 kg 0,65 s
)
2
= 9,3
N m
ara la masa : obtenemos2 7e la investigación sobre los resortes en paralelo se encontró que
k e =
δ [ k 1 + k 2 ] δ
k =0,2 kg
= k 1+ k 2
Y aplicando esta fórmula tenemos que K para el resorte :y' deber-a ser2 B+,&: 8Dm
V T
∗100
)
N m
k 1+¿ k
2
F
k e =
E =
0,906 s
= 9,6
7e la investigación sobre los resortes en serie se encontró que
3plicando la ecuación para hallar el error porcentual tenemos2
V T −V E
(
2
2 π
F [
1
k 1
+
1
k 2
= ]
1 1
+
1
k 1 k 2
=
k 1 k 2
¿
Y aplicando esta fórmula tenemos que K para el resorte :y' deber-a ser2 ,B 8Dm 3plicando la ecuación para hallar el error porcentual tenemos2
E =
E =
V T −V E V T
∗100
9,94 −9,45 9,94
∗100 =4,93
4. CONC)9S7ONES ara el modelo estático podemos ver que se puede representar con la ecuación de la l-nea, para este caso representa el cambio del peso con respecto a la elongación y siendo la pendiente de esta relación K $la constante de elasticidad. !l periodo que tarda un resorte en realizar G oscilaciones depende de la masa que cuelga de este, la fuerza que posee un resorte es proporcional a la distancia que se alongu, la ley
de "oo#e no se puede cumplir si la fuerza que se le realice al resorte sobrepasa el l-mite de estiramiento de un resorte, además el periodo depende de la masa y de la constante de elasticidad. !n un movimiento masa)resorte se mueve verticalmente como un movimiento armónico simple, si despreciamos factores como la oposición del aire y demás y el desplazamiento que hace el cuerpo siempre oscilara entre la amplitud aplicada hacia arriba y aba?o de su punto de equilibrio, el cual es la longitud elongada en el modelo estático y generada por el peso de una masa m.
=. >7>)7O?(5F75 2ttps@@sites.google.com@site@timesolar@*uera@prime raleydenewton 2ttp@@leo'errios.*iles.wordpress.com@!#$$@$#@leyesde-newton.pd* 2ttp@@www$.upr2.edu@la'*isi@manual@$stA!#0art A!#EBperimentA!##.pd*
