DOS PÉNDULOS ACOPLADOS MEDIANTE UN RESORTE

DOS PÉNDULOS ACOPLADOS MEDIANTE UN RESORTE A.F. Guerrero ([email protected]) D.A. Garcia ([email protected])

Universidad del Quindío Programa de Física Resumen: En este informe se presentan resultados experimentales de la observación del sistema de dos péndulos acoplados mediante un resorte, y cómo varia este según condiciones iniciales.

1. Introducción Los comportamientos oscilatorios son ubicuos en la naturaleza en sistemas de toda índole, entre ellos, en cuerpos astronómicos tales como asteroides, satélites, planetas y estrellas; en sistemas biológicos, tanto a nivel orgánico como a nivel bioquímico; en diferentes reacciones químicas; en sistemas mecánicos; en circuitos electrónicos, etc. Asimismo, los objetos con comportamientos oscilatorios pueden acoplarse a otros similares lo que da lugar en muchos casos a otro fenómeno muy común que es la sincronización caracterizada por la constancia de las diferencias de fase y la razón entre los periodos. Uno de los comportamientos más sencillos y comunes de describir es el del péndulo simple que se lo describe en textos de física básica o de mecánica clásica Por otra parte, dado el carácter no lineal que puede presentar el péndulo simple en su forma más general, es también objeto de análisis en libros y artículos de dinámica no lineal. Los sistemas acoplados se presentan en muchas ramas de la física, ofreciendo una gran gama de características que dependen tanto de las propiedades de los sistemas independientes, como de las propias características de acoplamiento. Uno de estos sistemas es el compuesto por dos péndulos simples acoplados mediante un resorte o una barra ﬂexible, lo que permite el intercambio continuo de impulsos entre los péndulos, cambiando las características de oscilación propias de cada péndulo. [1]

2. Fundamento Teórico. Suponga el siguiente sistema:

Figura 1.Sistema de Péndulos acoplados. Apliquemos ̈

∑

La resultante de las torques aplicados a un cuerpo rígido es igual a su momento de inercia por la aceleración angular. Aplicando para el subsistema 1: ̈

‖⃗

⃗⃗⃗⃗⃗‖

‖⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖

Donde se usa la definición de torque y una convención de signos en donde los torques en sentido anti horario se consideran positivos. Por definición la norma del producto cruz es el producto de las normas de los vectores por el seno del ángulo entre estos. ̈

Veamos que el ángulo alfa hace referencia a el ángulo entre el vector a y el vector fuerza elástica, de la figura1 se puede concluir que: (

)

)

(

)

(

)

Veamos ahora que:

Supongamos

Reescribiendo la ecuación: ̈

(

Reescribiendo esta ecuación asignando: (

) ̈

Para el subsistema 2 se sigue un proceso muy similar obteniendo: ̈ Dónde: (

)

(

)

Las constantes gamma se llaman frecuencias parciales, estas frecuencias corresponden a la frecuencia con que oscila armónicamente cada sistema parcial por separado; se puede ver que no corresponde a la frecuencia de un péndulo simple ya que se produce un efecto por el resorte, sin embargo siguen siendo M.A.S. Las constantes beta se llaman coeficiente de acoplamiento, asignadas a la relación que tiene el acople con el subsistema. Modelemos el sistema del laboratorio donde los subsistemas son iguales, entonces las ecuaciones (1) y (2) se reescribirían:

(

)

{

(

)

̈ ̈

Este es un sistema de ecuaciones acopladas, para su solución se propone:

( ̈

̈)

( ̈

̈)

Así se obtiene el sistema fácilmente solucionable: { ̈

̈

(

)

Volviendo a las variables iniciales: ( (

( (

)) ))

Dónde:

De 3 y 4 se ve que la amplitud en función del tiempo de los péndulos obedecen a la superposición de dos movimientos armónicos con frecuencias distintas (pulsaciones), para conocer el comportamiento del sistema se deben encontrar cuatro constantes, estos valores se pueden sacar de la amplitud y su derivada en t=0.[2]

3. Descripción del experimento. 3.1 Materiales • Equipo de péndulos acoplados: soportes y resorte de acople. • CASSY LAB. con módulo de adquisición de datos • Cables de conexión 3.2 Precauciones • El resorte no debe quedar deformado al conectarlo entre las varillas que sostienen las masas y debe estar a nivel. • Las oscilaciones deben ser pequeñas: ligeros desplazamientos desde sus posiciones de equilibrio. •El resorte debe ubicarse lo más horizontal posible y en la posición más baja de las varillas. Para cada posición del acople mida oscilaciones en fase, y contrafase. Después varíe la distancia del acople al eje de giro y repita las mediciones.[3]

4. Análisis y resultados. Fase Consideremos el caso en que los dos péndulos se encuentren en fase, entonces (

(

Asi podemos escribir las ecuaciones de movimiento:

))

En este caso las frecuencias son iguales y se producen en la frecuencia ;esta corresponde a la frecuencia que tendría cada péndulo sin la existencia de acoplamiento, el movimiento que se obtiene para cada péndulo es un M.A.S. A continuación se presentan graficas de desplazamiento, velocidad y aceleración en unidades del S.I tomadas experimentalmente para este caso con el acople a 60.6cm de distancia al eje de rotación:

Grafica 1.1-1 Pendulos en fase. Acople 60.6cm/desplazamiento

En esta se aprecia la ausencia de intercambio de energía entre los sistemas parciales, ya que el resorte no presenta elongaciones, así cada péndulo oscilara como un péndulo simple. También se puede observar que efectivamente las frecuencias son iguales.

Grafica 1.1-2. Pendulos en fase. Acople 60.6cm/Velocidad

Observamos independencia entre las gráficas y confirmamos que la velocidad está desfasada π/2 respecto de la posición. Veamos que sucede algo similar con la aceleración:

Grafica 1.1-3. Pendulos en fase. Acople 60.6cm/aceleracion Por ultimo se adjunta la grafica FFT en el que se grafica el porsentaje de la amplitud en funcion de la frecuencia en Hz, esta nos permite identificar directamente las frecuencias fundamentales. Esta presenta un pico a 0.59Hz.

Grafica 1.1-4. Pendulos en fase. Acople 60.6cm/Fourier

A continuación se presentan graficas de desplazamiento, velocidad y aceleración en unidades del S.I tomadas experimentalmente para este caso con el acople a 72.6cm de distancia al eje de rotación:

Grafica 1.2-1. Pendulos en fase. Acople 72.6cm/desplazamiento

Nuevamente se observa ausencia de acoplamiento, por lo tanto no influye la distancia a la que este se aplique. La ecuacion experimental obtenida para este caso es aproximadamente:

De lo cual se obtiene una gravedad de g=11.2632m/s2 Este considerable error sobre el valor de la gravedad muy seguramente se debe a que el sistema del laboratorio no correspondia a un pendulo simple y por sus dimensiones no se podia despresiar la relacion de la masa de la barilla con la masa colgante.

Grafica 1.2-2. Pendulos en fase. Acople 72.6cm/velocidad

Grafica 1.2-3. Pendulos en fase. Acople 72.6cm/aceleracion Nuevamente comprovamos la independencia de cada una y el desfase de cada funcion con su derivada. Por ultimo se adjunta la grafica FFT en el que se grafica el porsentaje de la amplitud en funcion de la frecuencia en Hz, esta nos permite identificar directamente las frecuencias fundamentales. Esta presenta un pico a 0.6Hz.

Grafica 1.2-4. Pendulos en fase. Acople 72.6cm/fourier

Contrafase Consideremos el caso en que los dos péndulos se encuentren en contrafase, entonces

(

( (

))

)

Asi podemos escribir las ecuaciones de movimiento:

En este caso las frecuencias son iguales y se producen en la frecuencia (

), el movimiento que se obtiene para cada péndulo es

un M.A.S. A continuación se presentan graficas de desplazamiento, velocidad y aceleración en unidades del S.I. tomadas experimentalmente para este caso con distintas distancias del acople:

Grafica 2.1-1. Pendulos en contrafase. Acople 36.6cm/desplazamiento

Grafica 2.1-2. Pendulos en contrafase. Acople 36.6cm/velocidad

Grafica 2.1-2. Pendulos en contrafase. Acople 36.6cm/aceleracion










En general los pendulos en contrafase presentan nuevamente un M.A.S. pero esta vez en una frecuencia mas alta que cuando se encontraban en fase,se puede comprobar el desfase de π entre las trayectorias,velocidades y aceleraciones de cada pendulo. En la siguiente grafica se puede ver como el periodo disminuye a medida que se aleja el resorte del eje de giro, en esta se superponen las graficas de los movimientos anteriores:

Grafica 2.5. Pendulos en contrafase./desplazamiento

Resultados FFT contrafase:

Desfase (amplitudes iguales) Consideremos el caso en que los dos péndulos se encuentren desfasados, en este caso las ecuaciones (3) y (4) quedarían igual: (

(

(

))

(

))

Estas serían en general las ecuaciones que describen la amplitud, ahora supongamos que:

Entonces : (

(

(

))

( (

( (

)) ))

)

Así: (

(

))

(

(

))

Y realizando sumas trigonométricas: (

(

)

(

)

)

(

)

(

)

(

)

A continuación se presentan graficas de desplazamiento en unidades del S.I. tomadas experimentalmente para este caso con distintas distancias del acople y variaciones en la constante del resorte; no se adjuntan las gráficas de velocidad y aceleración ya que se obvia que resultaran en pulsaciones:

Grafica 3.1-1. Pendulos en desfase. Acople 72.6cm/desplazamiento

Grafica 3.1.2. Pendulos en desfase. Acople 72.6cm K MAYOR/desplazamiento


Grafica 3.2-2. Pendulos en desfase. Acople 52.6cm K MAYOR/desplazamiento





En estas se puede observar claramente el intercambio de energia enre los subsistemas, cuando un pendulo alcansa su maximo el otro llega al estado de reposo. Tambien se puede ver como a medida que el acoplamiento es mas debil, ya sea por la distancia al eje de giro o la constante de elasticidad; el periodo de las amplitudes se hace mas largo.

Se adjuntan graficas de calculo FFT y sus resultados:

Grafica 3.5 Pendulos en desfase. /Fourier resultados Pendulos en desfase. /Fourier

Grafica 3.6. Pendulos en desfase K MAYOR. /Fourier

resultados Pendulos en desfase. K mayor /Fourier

Hasta este punto se han estudiado los sistemas en un estado idealizado tomando intervalos de tiempo relativamente cortos en los que la accion de fuerzas disipativas no interfiriera en el analisis. A continuacion se hace referencia al mismo sistema observando los efectos de fuerzas resistivas. En la obtencion de la siguiente grafica se puso a oscilar un solo pendulo para medir el factor de calidad de este:

Grafica 4.1 Pendulo fisico/accion de fuerzas resistivas.

En esta se apresia la accion de fuerzas resistivas, posiblemente fuerzas de friccion en los rodamientos del pendulo; con estos resultados se pueden calcular el tiempo de relajacion,el coeficiente de perdidas, el factor de calidad y decremento logaritmico del pendulo: Calculando decremento logaritmico y coeficiente de perdidas:

( (

) )

Calculando factor de calidad:

Calculando tiempo de relajacion: El tiempo de relajacion es el que caracteriza el lapso de tiempo en el cual la amplitud de las oscilaciones disminuye e veces:

De esto se concluye que el tiempo de relajacion de este pendulo es aproximadamente 223,6s.

En la siguiente grafica se quiere demostrar como la energia de las frecuencias altas en las pulsaciones se transmiten mas rapido al medio, haciendo que las amplitudes de las pulsaciones disminuyan y tiendan a seguir en movimientos armonicos:

Grafica 5.1 Pendulos en desfase/accion de fuerzas resistivas.

Por ultimo la Grafica 6.1.

se realizo quitando el resorte de acople con el fin de

comprovar la inexistencia de acoplamiento entre los pendulos:

Grafica 6.1. pendulos desacoplados/ De forma inesperada se puede concluir que por el simple hecho de estar los pendulos fijados a un mismo soporte existe de forma inherente un acoplamiento producido por el soporte por ser un material flexible.

5. Conclusiones Los resultados obtenidos satisfacen buena forma la teoría, con el modelo planteado se pueden estudiar cómo influyen los diferentes parámetros en el comportamiento de los péndulos y como su comportamiento está fuertemente ligado a las condiciones iniciales. NOTAS Al no poder pesar los péndulos en el laboratorio no se pudieron realizar cálculos teóricos de la gravedad y otros factores. Para obtener mejores resultados resulta mejor trabajar con la teoría de un péndulo equivalente hallando el centro de masa de cada péndulo físico. La presencia del acoplamiento dado por el soporte puede distorsionar en cierta medida la precisión de los cálculos. Si se desea arreglar esto se sugiere repetir el laboratorio fijando cada péndulo a soportes individuales para evitar el intercambio inesperado de energía.

7. Referencias [1] Revista Boliviana de Física 14, 121–126 (2008) SIMULACION DE PENDULOS ACOPLADOS [2] Oscilaciones y ondas /Universidad del Quindío, Facultad de ciencias básicas [3]Guías Física Experimental 3/Departamento de física facultad de ciencias básicas, universidad tecnológica de Pereira, tercera edición.

DOS PÉNDULOS ACOPLADOS MEDIANTE UN RESORTE

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