GEOMETRIA
Profesor Carlos Miguel Pacheco
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Alumno:
ROTACION DE EJES COORDENADOS COORDENADOS
Se tienen dos sistemas coordenados ortonormales, los cuales comparten el origen de
α
coordenadas. coordenadas. El ángulo entre pares de ejes homólogos es ( x ′; y ′) ! ′ ′ Un punto P cualquiera del plano tiene coordenadas con referencia al sistema y
( x; y )
!
coordenadas con referencia al sistema x = #$ = #S′ − $S′ y
= #" = #S + S"
Para encontrar la relación entre estos sistemas se de%e o%ser&ar la figura'
$S ′ = y ′senα
#S ′ = y ′ cos α
#S ′ = x ′ cos α
x = x ′ cos α − y ′senα y = x ′senα + y ′ cos α
S"
= x ′senα
x ′ = x cos α + ysenα y ′ = − xsenα + y cos α lo cual es equi&alente a'
Por lo tanto cuando se quiera encontrar la ecuación de alg(n lugar geom)trico rotado un α x′ ángulo *sentido antihorario de x a + se de%en de usar de estas ecuaciones de transformación "ecordemos que la ecuación mas general de segundo grado tiene la forma'
1x 2
+ 0xy + /y + x + Ey + - = 2
onde A, B, C, D, E, F son n(meros reales, con A, B, C no nulos simultáneamente. simultáneamente. emostraremos que siempre siempre es posi%le rotar los ejes de modo que en el nue&o sistema no
x ′y ′ haya t)rmino
x = x ′ cos α − y ′senα y = x ′senα + y ′ cos α
Para eso tomamos las ecuaciones y reempla3amos en la ecuación general de segundo grado. Entonces tenemos' 2 1x 2 = 1 ( x ′ cos α − y ′senα )
0xy = 0( x ′ cos α − y ′senα ) ( x ′senα + y ′ cos α )
= /( x ′senα + y ′ cos α ) x = ( x ′ cos α − y ′senα ) Ey = E( x ′senα + y ′ cos α ) -=/y 2
2
Sumando estas ecuaciones, o%tenemos *despu)s de desarrollar el segundo miem%ro+' 1x 2 + 0xy + /y 2 + x + Ey + - = 1 ′x ′ 2 + 0 ′x ′y ′ + / ′y ′ 2 + ′x ′ + E′y ′ + -′ = ;
GEOMETRIA
Profesor Carlos Miguel Pacheco
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Alumno:
1 ′, 0′, /′, ′, E′, -′ onde son a%re&iaturas de' 2 1 ′ = 1 cos α + 0senα cos α + /sen 2 α
0′ = 2( / − 1 ) senα cos α + 0( cos 2 α − sen 2 α ) / ′ = 1sen2 α − 0senα cos α + / cos 2 α ′ = cos α + Esenα E′ = −senα + E cos α -′ = x ′y ′
α
0′
4uestro propósito es escoger de modo que el t)rmino en 0′ sea cero. 5gualamos a cero y &emos que ocurre' 2( / − 1 ) senα cos α + 0( cos 2 α − sen 2 α ) =
sen2α = 2senα cos α "ecordemos de la trigonometr6a'
no apare3ca para que
cos 2α = cos 2 α − sen 2 α y
cot g2α
( / − 1 ) sen2α + 0 cos 2α = escri%imos
=
1−/ 0
o %ien cot g2α
α
En otras pala%ras, si elegimos
1−/
cero. Siempre existe un ángulo
, o%tenemos que
sea
π entre y
=
0′
0
de modo que
2α
cot g2α
=
que satisface esta ecuación.
1−/
tg2α
0
En &e3 de la expresión
=
0 1−/
; podr6amos usar
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Una ecuación cuadrática en dos &aria%les es de la forma' 1x 2 + 0xy + /y 2 + x + Ey + - = *a+ onde A, B, C, D, E, F son n(meros reales, con A, B, C no nulos simultáneamente. 7a ecuación anterior representa una cónica rotada *ya sea una cónica no degenerada' elipse, hip)r%ola o pará%ola, o una cónica degenerada' par de rectas o puntos+. El t)rmino bxy indica la rotación, es decir, el eje focal no es paralelo a ninguno de los ejes coordenados x, y con respecto a los cuales está expresada la cónica. 7a ecuación *a+ puede escri%irse en forma matricial como' 1 0 x x 2 ( x y) ( ) E + +- = y y 0 / 2
! 8 1! + 7! + - =
!8
= (x
1 1= 0 y ), 2
0 2 ,
/ !
x = ; y 7 = (
Siendo #%ser&emos que la matri3 1 es una matri3 sim)trica.
E)
GEOMETRIA
Profesor Carlos Miguel Pacheco
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Alumno:
Para identificar a la cónica de%emos escri%ir la ecuación en otro sistema de coordenadas, rotado con respecto al sistema original, de modo que la cónica tenga su eje focal paralelo a
x ′y ′ alguno de los ejes de este nue&o sistema de coordenadas cartesianas x ′y ′ Para encontrar este nue&o sistema de coordenadas será necesario diagonali3ar la
%x ′y ′ matri3 1, esto permitirá anular el coeficiente % del t)rmino rectangular
lo cual significa
x ′y ′ que la cónica estará expresada en un nue&o sistema de coordenadas con respecto al cual el eje focal será paralelo, y podremos as6 identificar a la cónica. 1demás por ser la matri3 1 sim)trica, su diagonali3ación será ortogonal, y sus auto&ectores normali3ados generan el nue&o sistema de coordenadas. El m)todo para rototrasladar una cónica consiste en' λ9,λ 2 9+ Encontrar los auto&alores de la matri3 1. & λ9 , & λ 2 2+ Encontrar los auto&ectores normali3ados de la matri3 1' . P = ( & λ9 & λ 2 ) :+ 7a matri3 P que diagonali3a orgonalmente a la matri3 1 es P =9 onde el orden de las columnas de%e ser tal que produ3ca solamente una rotación de ejes.
, esto nos asegura que se
λ , λ
P 8 1P = =
9
2
/omo P es una matri3 ortogonal, + 7a ecuación de la cónica en el nue&o sistema de coordenadas es' λ x ′ x′ + E P ( x ′ y ′) 9 ( ) + - = y ′ ′ λ y 2 ! ′ 8 .! ′ + 7P! ′ + - =
# en forma compacta
λ x′ + λ y′ + ( 2
9
2
2
x ′ + - = ′ y
E )P
"esulta' en esta ecuación no aparece el t)rmino xy , luego podemos identificar a la cónica
EJEMPLO 1: 2 x 2 + xy + =y 2 = < Sea identificar la cónica mediante una rototraslación con&eniente y graficar. Escribimos la ecuación en forma matricial como: 2 2 x ( x y ) = < ⇒ ! 8 1! = < 2 = y
/omo 1 es sim)trica, diagonali3amos ortogonalmente, para lo cual de%emos encontrar sus auto&alores y auto&ectores
GEOMETRIA
Profesor Carlos Miguel Pacheco
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Alumno:
a
/álculo de los auto&alores' (2 − λ) 2 = ( 2 − λ )( = − λ ) − = ( = − λ) 2 2
λ − >λ + < =
*ecuación caracter6stica+ λ 9 = <, λ 2 = 9 Los auto&alores son 2 ( 2 − λ )
x = ( = − λ ) y
2
! /álculo de los auto&ectores'
λ = < 9
i
1uto&ector correspondiente al auto&alor
− 2 x − x + 2y = 9 = ⇒ ⇒ = x y y − − = 2 9 2 x y 2
& λ9
9 = 2 9 ,
& λ9
9 = 2= =
normali3ando el auto&ector,
λ =9 2
ii 1uto&ector correspondiente al auto&alor
9 2
x + 2y = = y ⇒ 2x + y = ⇒ x = −2y 2 x
& λ2
− 2 = 9 ,
& λ2
− 2 = 9= =
el auto&ector, normali3ando
9 − 2 = = 9 2 = = 7uego la matri3 P que diagonali3a a la matri3 1 es luego el orden de las columnas es el correcto.
además
<
=
P
=9 ,
9
Entonces la matri3 semejante a la matri3 1 es Por (ltimo la ecuación de la cónica rotada es'
<
x ′ 8 ! ′ = < ⇒ ( x ′ y ′ )
x ′
= < ⇒
2
/on lo cual, es claro que la ecuación dada inicialmente es una elipse. 7os &ectores que generan el nue&o sistema de coordenadas son los auto&ectores. x ′y ′ El nue&o sistema de referencia queda determinado por la dirección de los auto&alores de la matri3 1
GEOMETRIA
Profesor Carlos Miguel Pacheco
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Alumno:
EJEMPLO 2 :
x2
− 2xy + y + x −
Estudiar la cónica Escribimos la matriz A: 9 − 9 1 = − 9 9 /omo 1 es sim)trica, diagonali3amos ortogonalmente, para lo cual de%emos encontrar sus auto&alores y auto&ectores a /álculo de los auto&alores' (9 − λ ) − 9 = ( 9 − λ )(9 − λ ) − 9 = − 9 (9 − λ )
λ = , λ = 2 9
2
Los auto&alores son ! /álculo de los auto&ectores'
λ =
9 − 9 x y = ⇒ x = y 9 9 −
λ =2
9 − 9 x y = ⇒ x = −y − 9 9
9
i
1uto&ector correspondiente al auto&alor
& λ9
9 = 9 ,
& λ9
9 = 92 2
normali3ando el auto&ector,
2
ii 1uto&ector correspondiente al auto&alor
& λ2
− 9 = 9 ,
& λ2 el auto&ector, normali3ando
− 9 = 92 2
GEOMETRIA
Profesor Carlos Miguel Pacheco
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Alumno:
− 9 2 9 2
9 2 9 2 7uego la matri3 P que diagonali3a a la matri3 1 es las columnas es el correcto. = 2
P
=9
además
, luego el orden de
Entonces la matri3 semejante a la matri3 1 es
Por (ltimo la ecuación de la cónica rotada es'
x ′
x ′ 8 ! ′ = < ⇒ ( x ′ y ′)
+ ( ′ 2 y
− 9 x ′ 2 = −9 ⇒ 2y ′ − 9 y ′ 2
9 − < ) 92 2
2
2
= 2 y ′ − − 2 2
x ′ − 2
2
2 2
+
2 2
x′ −
9 2
y′ + 9 =
2= 2 ?
= ,
/ompletando cuadrados o%tenemos'
2 2 =
x′ = x′ − y′ = y′ −
+
2= 2 ?
2 2
/on lo cual la traslación 2y ′′ 2 −
2 2
y ′′ 2
x ′′ =
=
9 2
x ′′
Se trata de una pará%ola cuya forma canónica es'
7a transforma en
ACTI"IDADES:
x2
− 2xy + y + : x − y + 2 = 2
9+ Sea , eliminar el t)rmino rectangular. @allar el ángulo que elimina dicho t)rmino 2+ Escri%a las fórmulas de transformación de coordenadas, si los ejes coordenados han girado en un ángulo de <A
GEOMETRIA
Profesor Carlos Miguel Pacheco
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Alumno:
α :+ @alle el ángulo es
x 2
que permite eliminar el t)rmino rectangular en la ecuación
+ xy + >y = 2 2
=x 2 + xy + ?y 2 + ?x +9y + = = + ada la ecuación graficar
lle&ar a la forma canónica, identificar y
2x 2 + ;xy + =y 2 + = x + = y =
: ?
=+ ada la cónica identificarla mediante una rototraslación con&eniente <+ @allar el ángulo de rotación de ejes necesario para eliminar el t)rmino en xy de la ecuación >x 2 − < : xy +9:y 2
= 9<
>+ Bediante una traslación y una rotación de ejes, reducir la ecuación
=x 2
+ < xy + =y − x + y = 2
a su forma más simple.
− x +
2
?+ Sea
identificar la cónica mediante una rototraslación con&eniente ; α = arctg : C+ Por medio de una rotación de ejes de &alor simplificar la ecuación
Cx 2
+ 2 xy + 9
a
∈ R
x2
+ 2axy + y = 9 2
9+ @alle todos los tales que represente un par de rectas. Drafique para alguno de los &alores hallados. 2 x 2 + xy − y 2 − x = 99+ ada la cónica a+ /lasificación %+ Ecuación reducida c+ Semiejes y excentricidad d+ /entro x 2 + y 2 + xy − 9x − 2y + 9 = 92+ /lasificar la cónica y hallar' a+ Ecuación reducida. %+ 7ongitud del eje mayor y del eje menor. c+ Excentricidad, distancia entre focos. d+ /entro de la cónica
SOL#CIONES
y′ 2
=
−
2 2
9+
x′
α = =A ;
x ′ − :y ′ x = 2 y = :x ′ + y ′ 2 2+ Sea arc cot g
α= :+
2
−: ;
GEOMETRIA
Profesor Carlos Miguel Pacheco
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Alumno:
x 2 9 +
x = x + 2 = = 9 ecs. de traslación y = y − 9 =
y 2 + C 9<
Elipse 2
2
9 9 = < x ′ + + y ′ − = ; 2 ? =+ Elipse
x′2
+ y ′ = α = :A
x′
2
2
<+ Elipse de ecuación >+ Elipse de ecuación
+ y′ =
;
2
− x ′ + 2y ′ = 9 2
2
?+ @ip)r%ola de ecuación x 2 − y = C+ 9+
a
=2 .
P=
− 2 ;1 9
9 9 = 2
G0 0
= =
9 ; =
; 0 =
; =
−
2
2 =
;
Si aF2'
9
xH=
=
∨ xH= −
9 = dos rectas paralelas al eje yH y equidistantes del origen.
Si aFI2
2 = 9
− 9 ;1 2
∨ yH= −
9
9
P=
G0 0
=
=
2 ; =
; 0 =
− ; =
9
9 =
;
=
2
'
9
yH=
=
= dos rectas paralelas al eje xH y equidistantes del origen.
99+ a+ @ip)r%ola
x′ 2 y ′′ 2 − 9 9 >2 ?
=9
%+ de ecuación 92
c+
semieje real
; semieje imaginario
(
/ = 9 ; 9 92 < d+
12) a+ Elipse
x′ 2 = %+ de ecuación
=
: 92
2
+
y′2 9?
=9
2
, excentricidad
=
9
GEOMETRIA
Profesor Carlos Miguel Pacheco
ROTOTRASLACION DE CONICAS
Alumno:
< <
c+
longitud del eje mayor
< 2 ; longitud del eje menor
< :
d+ excentricidad e+ /F*<;I2+
; distancia entre los focosF 92
