SECCIONES CONICAS APLICADAS A LA ARQUITECTURA
INTRODUCCIÓN Las secciones cónicas eran conocidas aproximadamente durante el siglo VII a.C., sin sin emba embarg rgo, o, los los estud estudio ioss sist sistem emát átic icos os y raci racion onal ales es no co come menz nzar aron on ha hast staa apro ap roxi xima mada dame ment ntee el prim primer er sigl sigloo de la ép époc ocaa He Hele leni nist sta, a, do dond ndee l grie griego go !enaechmos "ue el primero en estudiar las secciones cónicas. Llegó a ellas tratando de resol#er uno de los tres problemas griegos problemas griegos clásicos$ la construcción de construcción de un cubo del doble de #olumen de #olumen de otro cubo% posteriormente, sobresalieron por su cont co ntrib ribuc ució iónn e impo import rtan ante tess logr logros os de los los matemáticos uclides, matemáticos uclides, &r'u(medes y &r'u(medes y &polonio de )erga. *e estos tres persona+es, serán uclides y &polonio 'uienes sentaran los conocimientos esenciales de la época, y de entonces en adelante. l primero escribió un tratado tr atado de cuatro tomos sobre las secciones cónicas, pero ser(a &polonio 'uien, con su obra C-IC& /recopilada en 0 tomos1, establecer(a los cono co noci cimi mien ento toss y ba base sess "und "undam amen enta tale less de las las secc seccio ione ness có cóni nica cass las las cu cual ales es pre#alecer(an hasta nuestros d(as, ya 'ue, luego de la publicación de dicha obra suya, ning2n otro matemático de la historia tratar(a historia tratar(a de me+orar lo establecido por &polonio. & estas secciones cónicas se les han dado di"erentes de"iniciones, las cuales pro#ienen de ramas de la matemática, matemática, tales como la geometr(a anal(tica, geometr(a anal(tica, la geometr(a proyecti#a, geometr(a proyecti#a, etc.
¿QUÉ ES UNA SECCIÓN CÓNICA? 3na super"icie cónica de re#olución está engendrada por la rotación de una recta alrededor de otra recta "i+a, llamada e+e, a la 'ue corta de modo oblicuo.
La generatriz es una cual'uiera de las rectas oblicuas. l #értice es el punto central donde se cortan las generatrices. Las ho+as son las dos partes en las 'ue el #értice di#ide a la super"icie cónica de re#olución. e denomina sección cónica a la cur#a intersección de un cono con un plano 'ue no pasa por su #értice. n "unc "unció iónn de la rela relaci ción ón ex exis iste tent ntee en entr tree el án ángu gulo lo de conicidad /41 y la inclinación del plano respecto del e+e del con conoo /51, /51, pue pueden den obtene obtenerse rse di"ere di"erente ntess seccio secciones nes cónicas, es decir son todas las cur#as resultantes de las di"erentes intersecciones entre un cono y un plano% si dicho plano no pasa por el #értice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. e clasi"ican en cuatro tipos$ LI), )&678L&, HI)968L& : CI6C3-;6-CI& .
Elipse
La elipse es la sección producida en una super"icie cónica de re#olución por un plano oblicuo al e+e, 'ue no sea paralelo a la generatriz y 'ue "orme con el mismo un ángulo mayor 'ue el 'ue "orman e+e y generatriz. α < β <90º
La elipse es una cur#a cerrada.
Circunferencia
La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al e+e. β = 90º
La circunferencia es un caso particular de elipse.
Parábola
La parábola es la sección producida en una super"icie cónica de re#olución por un plano oblicuo al e+e, siendo paralelo a la generatriz. α=β
La parábola es una cur#a abierta 'ue se prolonga hasta el in"inito.
Hipérbola
La hipérbola es la secc secció iónn prod produc ucid idaa en un unaa supe super"i r"ici ciee cónica de re#olución por un plano oblicuo al e+e, "ormando con él un ángulo menor al 'ue "orman e+e y generatriz, por lo 'ue incide en las dos ho+as de la super"icie cónica. α>β
La hipérbola es una cur#a abierta 'ue se prolonga inde"inidamente y consta de dos ramas separadas.
APLICACIONES
Las Las có cóni nica cass po pose seen en cu curi rios osas as e inte interes resan ante tess prop propie ieda dade dess po porr las las 'u 'uee resu result ltan an sumamente 2tiles en la naturaleza, naturaleza, la ciencia, ciencia, la técnica o el arte. arte. 6esumimos a continuación las di"erentes aplicaciones 'ue las secciones cónicas tienen en la #ida real$ <. 3na de las propiedades más utilizadas de las parábolas es la de re"lexión. n ;(sica se de de"i "ine ne un unaa supe super" r"ic icie ie re"le re"lect ctor oraa cu cuan ando do un rayo rayo inci incide dent ntee y el corre co rresp spon ondi dien ente te rayo rayo re"l re"le+ e+ad adoo "orma "ormann án ángu gulo loss igua iguale less co conn la no norma rmall a la super"icie. 3n espe+o plano es un e+emplo de super"icie re"lectora. tro e+emplo es, si una parábola gira alrededor de su e+e engendra una super"icie re"lectora. =iene la propiedad la propiedad especial especial de 'ue todos los rayos 'ue parten del "oco, al chocar con la super"icie se re"le+an todos paralelos entre s( al e+e. sta propiedad es la base para la construcción de los los espe espe+o +oss pa para rabó bóli lico coss de los los tele telesc scop opio ios, s, los los "aro "aros, s, las las re"lectoras de ondas eléctricas ondas eléctricas y conchas ac2sticas de micró"onos selecti#os. >. Los Los cabl cables es de los los pu puen ente tess co colg lgan ante tess tien tienen en "orma "orma pa para rabó bóli lica ca /"orm /"orman an la en#ol#ente de una parábola1. e cre(a hace tiempo 'ue tiempo 'ue las cuerdas o cadenas 'ue se
suspenden agarradas 2nicamente por sus extremos también "ormaban parábolas /hoy sabemos 'ue la cur#a 'ue describen es un coseno hiperbólico1. ?. Las Las tray trayec ecto tori rias as de los los proy proyec ecti tile less tien tienen en "orma "orma pa parab raból ólic ica. a. Los Los ch chor orro ross de agua 'ue agua 'ue salen de un surtidor surtidor tienen también "orma parabólica parabólica.. i salen #arios #arios chorros ros de un mismo smo punto a la mism isma #elocidad inic inicia iall pe pero ro di"e di"ere rent ntes es inclinaciones, la en#ol#ente de esta "amilia de "amilia de parábolas es otra parábola /llamada en bal(stica parábola de seguridad, seguridad, pues por encima de ella no es posible 'ue pase ning2n punto de las parábolas de la "amilia1. "amilia1. l mayor alcance 'ue se puede obtener es a'uel en 'ue el ángulo de inclinación inicial es de @A grados. @. La "orma de los telescopios, detectores de radar y re"lectores luminosos son parabólicas. n los "aros de los coches se coloca la "uente de luz en luz en el "oco de la parábola, de modo 'ue los rayos, r ayos, al re"le+arse r e"le+arse en la lámpara, salen "ormando rayos paralelos. La na#e espacial )L3= de la -&& incorpora también un re"lector parabólico. 6ecordar también el conocido e"ecto de 'uemar una ho+a de papel concentrando los rayos solares mediante un espe+o parabólico. A. 3n telescopio de espe+o l('uido es un telescopio re"lectante /es decir, 'ue usa la propiedad re"lectante de la parábola1 cuyo espe+o principal está hecho de mercurio l('uido. mercurio l('uido. 3n "amoso e+emplo lo constituye el telescopio H388L situado en el espacio exterior. l problema es cómo puede un l('uido "ormar un
espe+o parabólico y por 'ué se 'uiere as(. La respuesta es 'ue si se tiene un contenedor giratorio de l('uido, la super"icie del mismo "ormara un paraboloide per"ecto, incluso si la super"icie interior del contenedor tiene imper"ecciones. *e este modo, no es necesario el pulido de los lentes y además los espe+os pueden hacerse más grandes 'ue los sólidos. &l utilizar mercurio l('uido se consigue 'ue los espe+os sean más baratos 'ue los tradicionales /sólo hace "alta una capa muy "ina de mercurio pues este es muy pesado1. B. Las secciones cónicas también son aplicables a la mecánica celeste, mecánica celeste, esto "ue descubierto por ohannes Depler, ya 'ue las trayectorias 'ue describen las órbitas planetarias corresponden precisamente a las secciones cónicas, las orbitas de los planetas los planetas alrededor alrededor del sol son el(pticas /el / el sol se sol se encuentra en uno de los "ocos1. La excentricidad de la Eorbita de la =ierra alrededor =ierra alrededor del ol es aproximadamente F,F@0<, 'ue incluso es pe'uea. Los cometas y los satélites satélites también describen orbitas el(pticas. n el extremo contrario está el cometa H&LL: cuya excentricidad es de F,BGA, muy próxima a <. G. tra aplicación se da al planear el despegue de una na#e espacial, ya 'ue para 'ue esta pueda abandonar la tierra e tierra e ir a alg2n planeta /por e+emplo !arte1 tiene 'ue encontrarse la tierra en alg2n punto de la excentricidad correspondiente a la órbita el(ptica descrita por la tierra
0. n Jptica y Jptica y propagación de ondas se utilizan lentes el(pticas. . n el área de la mecánica, mecánica, espec("icamente la dinámica del dinámica del cuerpo r(gido son impo import rtan ant( t(si sima mass las las pa pará rábo bola las, s, elip elipse se y de demá máss tray trayec ecto tori rias as,, ya 'u 'uee pa para ra el análisis análisis cinemático de un mecanismo /por e+emplo el diseo de diseo de le#as1 estas pueden describir una trayectoria el(ptica o de otro tipo, donde son aplicadas las ecuaciones correspondientes a dichas "iguras, también se aplican las ecuaciones 'ue rigen a las secciones cónicas al describir el mo#imiento de mo#imiento de un proyectil /tiro parabólico1,
piedra, con toda su intensidad, pro#ocando su destrucción. La me+or cura para un cálculo es un poco de cálculo. ste tratamiento se aplica en la actualidad en más del 0FK de piedras en el rión y la uretra. &demás el tiempo de recuperación es de ? d(as en comparación con las dos semanas con la cirug(a con#encional.
APLICACIÓN EN LA ARQUITECTURA
1 SECCIONES SECCIONES CÓNICAS CÓNICAS Y SU SU APLICACIÓN EN ARQUITECTURA Publicado el octubre 18, 21! "or 21! "or #adelci$%e2
La$ $eccio%e$ c&%ica$ co%$titu'e% u%o de lo$ co%(u%to$ de cur)a$ #*$ i#"orta%te$ de la +eo#etra, la$ cuale$ $o% co#-%#e%te utiliada$ e% di$ti%ta$ ra#a$ de la cie%cia e i%+e%iera. Se de%o#i%a $ecci&% c&%ica a lo$ corte$ e% lo$ co%o$ /ue +e%era% 0+ura$ +eo#trica$ co#o $o% circu%3ere%cia, "ar*bola, eli"$e e 4i"rbola.
Circunferencia La circu%3ere%cia e$ el co%(u%to de todo$ lo$ "u%to$ de u% "la%o /ue e$t*% a u%a di$ta%cia 0(a de u% ce%tro. El u$o de la circu%3ere circu%3ere%cia %cia e% la ar/uitectura a r/uitectura e$ e5cele%te e5cele%te 'a /ue "er#ite el a4orro e% $u"er0cie$ de #uro$ ' cerra#ie%to$, 'a /ue $e la co%$idera co#o la 3or#a #*$ e0cie%te de toda$. U%a obra reco%ocida a %i)el #u%dial "or $u bellea ' +ra% ta#a6a e$ El ojo de Londres.
La circu%3ere%cia e$ co#-%#e%te utiliada e% redo%dele$, e$tadio$, c-"ula$. La ecuaci&% e#"leada e% el o(o de Lo%de$ e$ la $i+uie%te
X2 !2 " r2 , e% la cual el radio e$ 60 metros. Por lo ta%to la ecuaci&% 0%al e$ 72 '2 9 12
O(o de lo%dre$
:a%+ ;ua%
Par#$%&a La "ar*bola e$ u% lu+ar +eo#trico de lo$ "u%to$ del "la%o /ue e/uidi$ta% de u% "u%to 0(o lla#ado 3oco, ' de u%a recta lla#ada directri. Para la ar/uitectura tie%e u%a +ra% i#"orta%cia, 'a /ue $u 3or#a tie%e u%a +ra% re$i$te%cia "ara la$ co%$truccio%e$ 'a $ea de #a%era e$ttica o e$tructural. '(r)u&a *e &a +ar#$%&a ,er-ica&. '(r)u&a <5=4>29!" <'=?> '(r)u&a *e &a +ar#$%&a /%ri0%n-a&. '(r)u&a <'=?>29!" <5=4> A $ta $e la e%cue%tra e% reco%ocida$ obra$ ar/uitect&%ica$ la$ cuale$ %o$ "rueba% /ue $o% a"ta$ "ara +ra%de$ obra$ e%tre e$ta$ te%e#o$ Paraboloide Paraboloide 4i"erb&lico e% @ale%cia, ateBa' Arc4, Pue%te de )e%ta$.
Pue%te de )e%ta$
Paraboloide 4i"erb&lico e% @ale%cia
ateBa' Arc4
E&i+e La eli"$e e$ el lu+ar +eo#trico de lo$ "u%to$ del "la%o tale$ /ue la $u#a de la$ di$ta%cia$ a do$ "u%to$ 0(o$ lla#ado$ 3oco$ e$ co%$ta%te. E% la ar/uitectura $e le 4a e%co%trado u%a +ra% utilidad 'a /ue $e la e%cue%tra e% a%0teatro$ ' e$tadio$. '%r)u&a. 5a'b91
E%tre lo$ #*$ reco%ocido$ e$t*% Stade de :ra%ce, T4e C'bertecture E++, A%0teatro de Ca"ua.
A%0teatro de Ca"ua
Stade de :ra%ce
T4e C'bertecture E++
i+3r$%&a E$ u% lu+ar +eo#trico de lo$ "u%to$ del "la%o tale$ /ue la di3ere%cia de $u$ di$ta%cia$ a do$ "u%to$ 0(o$ lla#ado$ 3oco$ $ie#"re e$ co%$ta%te ' #e%or /ue la di$ta%cia e%tre lo$ 3oco$. La 4i"rbola al i+ual /ue la "ar*bola "re$e%ta u%a bue%a re$i$te%cia e$tructural, "or lo /ue $u 3or#a tie%e u% +rado de co#"le(idad. '(r)u&a *e &a /i+3r$%&a /%ri0%n-a&. '(r)u&a 5a='b91 O$car Nie#e'er realio realio u%a de $u$ #*$ +ra%de$ +ra %de$ obra$ co#o e$ la Catedral de ra$ilia la cual ba$*%do$e e% el u$o de la$ 4i"rbola$. F$ta tie%e u%a "urea de$de cual/uier "u%to /ue $e la ob$er)e, 'a /ue "re$e%ta u%a +ra% reli+io$idad. Otra$ obra$ /ue ta#bi% $o% reco%ocida$ "or $u 3or#a $o% la Torre T orre de Goba, Goba, torre de co%trol co%trol del Aero"uerto Aero"uerto de arcelo%a, Pue%te Pue%te 4i"erb&lico de Ha%c4e$ter.
Pue%te 4i"erb&lico de Ha%c4e$ter
torre de co%trol del Aero"uerto de arcelo%a
la Torre de Goba
C%nc&ui(n La$ $eccio%e$ c&%ica$ tie%e% u%a +ra% "artici"aci&% e% la$ obra$ ar/uitect&%ica$ 'a /ue "er#ite% "ro"orcio%ar bellea a di3ere%te$ obra$. E$ i#"orta%te /ue lo$ (&)e%e$ e$tudia%te$ de Ar/uitectura a"re%da% a a"licar la$ $eccio%e$ c&%ica$ e% $u$ di3ere%te$ "ro'ecto$, "ro'ecto$, 'a /ue e$o "ro"orcio%a bellea a lo$ #i$#o$. iblio+ra3a <212, >. C&%ica$ E% La Ar/uitectura. ue%a$Tarea$.co#. Recu"erado , 212, de 4tt"BBB 4tt"BBB.bue%a$tarea$.co#e%$a'o$C .bue%a$tarea$.co#e%$a'o$CJCKJK%ica$=E%=La= JCKJK%ica$=E%=La= Ar/uitectura!K!MM8.4t#l A"licaci&% de C&%ica$ e% Ar/uitectura. <%.d.>. Recu"erado octubre 18, 21!, de 4tt""rei.co# 4tt""rei.co#'=l$btl$'lu '=l$btl$'lua"licacio%=de=co%ica$=e%=ar/ui a"licacio%=de=co%ica$=e%=ar/uitectura tectura A%u%cio$ 4tt"$c4ri$#art211.Bord"re$$.co#21!118$eccio%e$=co%ica$='=#atrice$='= $u$=a"licacio%e$=e%=la=ar/uitectura 4tt"dadi(r2.blo+$"ot."e21!1$eccio%e$=co%ica$='=$u=a"licacio%=e%.4t#l K 4tt"#ateu%3).blo+$"ot."e 4tt"ar/uitectura3auu%3).blo+$"ot."e
CONCLUSIONES
Las secciones cónicas in"luyen en lo 'ue es el aparato sensiti#o del hombre, hombre, ya 'ue nosotros dependemos de nuestra capacidad de percepción, percepción, para poder para poder traba+ar traba+ar con ellas, en campos di#ersos como son la astronom(a, astronom(a, la aero erodin dinámic ámica, a, la geometr(a proye royect cti# i#a, a, y sob sobre todo todo en nue uesstra tra carre arrera ra pro" pro"eesio siona nall de &63I=C=36&, ya 'ue permiten ser repetidas por medios mecánicos medios mecánicos con gran exactitud, logrando super"icies, "ormas y cur#as per"ectas.
