conicas (1)

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES Unidad didáctica 5. Geometría en el plano Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÓNICAS 1. Hallar 1. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene: a) el a) el centro en el punto (2, 5) y el radio es igual a 7. b) un diámetro con extremos los puntos (8, -2) y (2, 6). Solución a) La a) La ecuación de la circunferencia de centro ( a, b) y radio r es es ( x - a)2 + (y - b)2 = r . Así, la ecuación de la circunferencia pedida es ( x - 2)2 + (y - 5)2 = 49. Realizando operaciones queda x 2 + y 2 - 4 x - 10y - 20 = 0. b) b) El centro de la circunferencia es el punto medio del diámetro de extremos (8, -2) y (2, 6), es ⎛ 8 + 2 −2 + 6 ⎞ decir, ⎜ = (5, 2) , 2 ⎟⎠ ⎝ 2 El radio es la distancia del centro a un punto cualquiera de la circunferencia, por ejemplo al (8, -2), es decir, r = = d ((8, -2), (5, 2) ) =

(8 -5)2+(-2 -2)2 = 9+16 = 5.

Por tanto, la ecuación de la circunferencia es ( x - 5)2 + (y - 2)2 = 25 y realizando operaciones x 2 + y 2 - 10 x - 4y + + 4 = 0.

2. Calcular 2. Calcular el centro y el radio de la circunferencia circunferencia 2 x 2 + 2y 2 + 3 x + + 5y - 5 = 0. Solución Escribiendo la ecuación de la forma ( x - a)2 +( + (y - b)2 = r 2 se obtiene que el centro es (a, b) y el radio r . Pasando el término independiente de la ecuación 2 x 2 + 2 y 2 + 3 x + + 5 y - 5 = 0 al segundo miembro 3 5 5 y dividiendo por 2 queda x 2 + y 2 + x + y = . 2 2 2 Agrupando términos hasta obtener cuadrados perfectos queda: 3 5 5 3 5 5 x 2 + y 2 + x + y = ⇔ x 2 + x + y 2 + y = 2 2 2 2 2 2 2

⇔

2

3⎞ 9 5⎞ 25 5 ⎛ ⎛ ⎜ x+ 4 ⎟ − 16 + ⎜ y+ 4 ⎟ − 16 = 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⇔

2

⇔

2

3⎞ 5⎞ 37 37 ⎛ ⎛ ⎜ x+ 4 ⎟ + ⎜ y + 4 ⎟ = 8 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

5⎞ ⎛ 3 Por tanto, el centro es el punto ⎜ − , − ⎟ y el radio es igual a 4⎠ ⎝ 4

37 1 37 = 8 2 2

3. Decir 3. Decir la posición relativa de la recta y = = 3 - 2 x respecto respecto de las circunferencias: 2 2 a) x + y - 2 x + + 3y + + 2 = 0 2 2 b) x + y - 3 x + + 4y - 3 = 0 2 2 c) 2 c) 2 x + 2y + 3 x + + 5y - 5 = 0

© Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

1


Solución Si la recta corta a la circunferencia en dos, uno o ningún punto será respectivamente secante, tangente o exterior a dicha circunferencia. Como los puntos de corte pertenecen tanto a la recta como a la circunferencia, para calcularlos hay que resolver el sistema formado por ambas ecuaciones. a) Sustituyendo la ecuación de la recta y = 3 - 2 x en la de la circunferencia y realizando operaciones se tiene: x 2 + (3 - 2 x )2 - 2 x + 3(3 - 2 x ) + 2 = 0

⇔

5 x 2 - 20 x + 20 = 0

⇔ x 2 + 9 - 12 x + 4 x 2 - 2 x + 9 - 6 x + 2 = 0 ⇔ x 2 - 4 x + 4 = 0

⇔

⇔

( x - 2)2 = 0

La única solución es x = 2, y sustituyendo en y = 3 - 2 x , se obtiene y = -1. Así, la recta corta a la circunferencia en un único punto, el (2, -1), y por tanto, la recta es tangente a la circunferencia. b) Sustituyendo la ecuación de la recta y = 3 - 2 x en la de la circunferencia y realizando operaciones se tiene: x 2 + (3 - 2 x )2 - 3 x + 4(3 - 2 x ) - 3 = 0 ⇔ x 2 + 9 - 12 x + 4 x 2 - 3 x + 12 - 8 x - 3 = 0 ⇔ ⎧36 18 = 23 ± 529 − 360 23 ± 13 ⎪⎪10 5 2 ⇔ 5 x - 23 x + 18 = 0 ⇔ x = = = ⎨ 10 10 ⎪ 10 = 1 ⎪⎩ 10 Al haber dos soluciones, hay dos puntos de corte y, por tanto, la recta es secante a la circunferencia. c) Sustituyendo la ecuación de la recta y = 3 - 2 x en la ecuación de la circunferencia y realizando operaciones se tiene: 2 x 2 + 2(3 - 2 x )2 + 3 x + 5(3 - 2 x ) - 5 = 0 ⇔ 2 x 2 + 2(9 - 12 x + 4 x 2) + 3 x + 15 - 10 x - 5 = 0 ⇔ 31 ± 961 − 1120 ⇔ 2 x 2 + 18 - 24 x + 8 x 2 - 7 x + 10 = 0 ⇔ 10 x 2 - 31 x + 28 = 0 ⇔ x = 20 Al no existir solución, por ser el discriminante negativo, no hay puntos de corte y, por tanto, la recta es exterior a la circunferencia.

4. Dada la circunferencia de ecuación x 2 + y 2 - 12 x + 10 y - 11 = 0, calcular las rectas tangentes a ella que son paralelas a la recta x + y + 4 = 0. Solución La ecuación de cualquier recta paralela a x + y + 4 = 0 se puede escribir de la forma x + y + k = 0. Para que sea tangente a la circunferencia x 2 + y 2 - 12 x + 10y - 11 = 0, el sistema formado por ambas ecuaciones deberá tener una única solución. Sustituyendo y = -k - x en la ecuación de la circunferencia y realizando operaciones se tiene: x 2 + (-k - x )2 - 12 x + 10(-k - x ) - 11 = 0

⇔

⇔ x 2 + k 2 + 2kx + x 2 - 12 x - 10k - 10 x - 11 = 0

⇔

2 x 2 + (2k - 22) x + k 2 - 10k - 11 = 0


2


Para que esta ecuación de segundo grado tenga una única solución es necesario que su discriminante sea nulo, es decir, (2k - 22)2 - 4·2 (k 2 - 10k - 11) = 0. Realizando operaciones se obtiene la ecuación k 2 + 2k - 143 = 0 que tiene por soluciones: k =

−2 ± 4 + 572 −2 ± 24 ⎧ 11 = = ⎨ 2 2 ⎩ − 13

Por tanto, las rectas pedidas son x + y + 11 = 0 y x + y - 13 = 0.

5. Hallar la ecuación reducida de la elipse que verifica: a) pasa por (25, 0) y la distancia semifocal es 7. b) pasa por (4, 1) y por (0, 3). Solución La ecuación reducida de una elipse es x 2 a2

+

y 2 b2

= 1 siendo c la distancia

semifocal, a el semieje mayor, b el semieje menor y b2 = a2 − c 2 .

a) El punto (25, 0) de la elipse es el punto de corte con el eje de abscisas, por tanto, a = 25. Al ser la distancia semifocal c = 7, se tiene que b2 = a2 − c 2 = 252 - 72 = 625 - 49 = 576. Por tanto, la ecuación de la elipse es

x 2

625

+

y 2

576

= 1.

b) El punto (0, 3) de la elipse es el punto de corte con el eje de ordenadas, por tanto, b = 3. Así la ecuación de la elipse es

x 2 a2

+

y 2

9

= 1.

Imponiendo que ha de pasar por (4, 1) se tiene Por tanto, la ecuación de la elipse es

x2

18

+

y 2

16 2

a

+

1 2 2 = 1 y despejando a se tiene, a = 18. 9

= 1.

9

6. Hallar la ecuación reducida de la hipérbola con focos en (7, 0) y (-7, 0) y que pasa por el punto (4, 0) Solución La ecuación reducida de la hipérbola es

x 2 2

a

−

y 2 2

b

=1

El punto (4, 0) de la hipérbola es el punto de corte con el eje de abscisas, por tanto, a = 4. Al ser la distancia semifocal c = 7, se tiene que b2 = c2 − a2 = 72 - 42 = 49 - 16 = 33.


3


Por tanto, la ecuación de la hipérbola es

x 2

16

−

y 2

33

= 1.

7. Hallar la ecuación que verifican los puntos del plano que equidistan del punto (3, 0) y de la recta x = -4. Solución Los puntos buscados forman una parábola de foco el punto F = (3, 0) y directriz la recta x = -4. Como el punto y la recta no están a la misma distancia del origen es necesario partir de la igualdad d ( X , F ) = d ( X , recta directriz), es decir,

operaciones, se obtiene:

2 ( x - 3 ) + y 2 = x + 4. Elevando al cuadrado y realizando

x 2 - 6 x + 9 + y 2 = x 2 + 8x + 16 ⇔ y 2 = 14x + 7

NOTA: Este ejercicio también se puede resolver sin considerar “a priori” que la ecuación corresponde a una parábola, de la siguiente forma: Los puntos ( x, y ) que están a la misma distancia de (3, 0) que de la recta r de ecuación x = -4 verifican d (( x, y ), (3, 0)) = d (( x, y ), r ) , es decir,

2 ( x - 3) + y 2 = x + 4.

Realizando operaciones, se obtiene y 2 = 14x + 7 , ecuación que corresponde a una parábola de eje horizontal.

8. Hallar las ecuaciones de las parábolas que verifican: a) su directriz es y = -6 y su foco (0, 6). b) su vértice (2, 0) y su foco (6, 0). Solución a) Como el foco y la directriz están a la misma distancia del origen se puede utilizar la ecuación reducida que, al ser la directriz horizontal, es de la forma x 2 = 2 py con p = 2·6 = 12. Por tanto, su ecuación es x 2 = 24y. b)

Como el vértice no coincide con el origen de coordenadas se parte de igualdad: d ( X , F ) = d ( X , recta directriz). Para calcular la directriz hay que tener en cuenta que la distancia de vértice, V = (2, 0), al foco, F = (6, 0), es de 4 unidades. Como la distancia de vértice a la directriz es la misma que la del vértice al foco, se concluye que la directriz es la recta x = -2.

Teniendo en cuenta la igualdad d ( X , F ) = d ( X , recta directriz), se tiene,

2 ( x - 6 ) + y 2 = x + 2.

Elevando al cuadrado y realizando operaciones, se obtiene: x 2 - 12x + 36 + y 2 = x 2 + 4x + 4 ⇔ y 2 = 16x − 32


4


9. Clasificar las cónicas que tienen las siguientes ecuaciones: a) x 2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0 b) 2 x 2 + 2y 2 − 4x + 4y + 19 = 0 2

2

c) x + 4y = 100 2 2 d) 8 x - 3y = 120 2 e) y = 36 x 2 f) y = x - 2 x + 3 2 g) x = -3y + y + 5 Solución a) Para comprobar si la ecuación x 2 + y 2 + 2x + 2y + 1 = 0 corresponde a una circunferencia, se forman cuadrados perfectos para determinar su centro y su radio. x 2 + y 2 + 2x + 6y + 1 = 0

⇔ ( x + 1)2 − 1 + ( y + 3)2 − 9 + 1 = 0 ⇔ ( x + 1)2 + ( y + 3)2 = 9

En efecto, la ecuación corresponde a una circunferencia de centro (-1, -3) y radio 3. b) La ecuación 2 x 2 + 2y 2 − 4x + 4y + 19 = 0 puede corresponder a una circunferencia, veamos si es así dividiéndola primero por 2 y formando luego cuadrados perfectos. 19 19 x 2 + y 2 − 2x + 2y + = 0 ⇔ x 2 − 2x + y 2 + 2y + = 0 ⇔ 2 2 19 −15 2 2 ⇔ ( x − 1)2 − 1 + ( y + 1)2 − 1 + = 0 ⇔ ( x − 1) + ( y + 1) = 2 2 Esta ecuación no corresponde a ninguna cónica, es más, no existe ningún punto del plano que la verifique, ya que la suma de cuadrados no puede ser igual a un número negativo.

(

2

) (

)

2

2

2

c) Como la ecuación x + 4y = 100 tiene los coeficientes de x y de y distintos, pero del mismo signo, puede corresponder a la ecuación reducida de una elipse, Para comprobarlo, se divide la ecuación por 100 quedando

x 2 a2

x 2

100

y 2

+ +

b2 y 2

25

= 1. = 1 , que corresponde a la

ecuación reducida de una elipse de semiejes 10 y 5. 2

2

2

2

d) Como la ecuación 8 x - 3y = 120 tiene los coeficientes de x y de y distintos y de signo contrario, puede corresponder a la ecuación reducida de una hipérbola, x 2

a2

−

y 2 b2

= 1.

y 2

= 1. 15 40 En efecto, la ecuación corresponde a la ecuación reducida de una hipérbola.

Para comprobarlo, se divide la ecuación por 120 quedando

−

x 2

2

2

e) La ecuación y = 36 x corresponde a la ecuación reducida de una parábola del tipo y = 2 px , con p = 18. Por tanto, corresponde a una parábola de foco el punto F = (9, 0) y directriz la recta vertical x = 9.


5


2

f) La ecuación y = x - 2 x + 3 corresponde a una parábola de eje vertical x = 2

2 = 1 y ramas 2

hacia arriba, ya que el coeficiente de x es positivo. 2

g) La ecuación x = -3y + y + 5 corresponde a una parábola de eje horizontal y =

1 −1 y = 6 −6

2

ramas hacia la izquierda, ya que el coeficiente de y es negativo.


6

TEMA 9 – LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS – MATEMÁTICAS I – 1º Bach.

1

EJERCICIOS - CÓNICAS CLASIFICACIÓN DE CÓNICAS EJERCICIO 1 : Clasificar las siguientes cónicas: (Circunferencia, elipse, hipérbola, parábola, no es una cónica) 2 2 1) 2x + 3y = 1 2) (x-2)2 + (y-3 )2 = -1 3) Uno de sus focos es F(4,5) y su excentricidad es e = 2/3 4) Uno de sus focos es F(4,5) y su excentricidad es e = -2/3 5) y2 - 4y - x + 3= 0 EJERCICIO 2 : 2

2

a)

Ecuación de la cónica concéntrica con la hipérbola de ecuación

b) c)

longitud y cuya excentricidad es 4/10. Calcular sus vértices y sus focos. Dibujarla.

x  2 9

y  3



4

 1 cuyo eje mayor mide 10 unidades de

CIRCUNFERENCIA EJERCICIO 3 : Hallar la ecuación de la circunferencia: a) Cuyo centro es C(0,0) y pasa por el punto P(-3,4) b) Cuyo centro es C(2,-3) y pasa por el punto P(1,4) e) Que tiene por diámetro el segmento MN siendo M(-3,-3) y N(3,3) d) Tiene por diámetro el segmento PQ siendo P(-6,6) y Q(2,0) e) Cuyo centro es (-1,4) y es tangente al eje de abscisas f) Cuyo centro es (2,0) y es tangente a la recta x - y + 4 = 0 g) Que tiene su centro en el punto de intersección de las rectas x + y + 1 =0, x+3y+3 =

0 y su radio es 5.

EJERCICIO 4 : Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta x+2y=0 y pasa por los puntos P(4,3) y Q(O, 1) EJERCICIO 5 : Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,5) y B(4,6) y cuyo centro está situado en la recta 2x + 3y - 8 = 0 2

2

EJERCICIO 6 : Halla la ecuación de la circunferencia de radio 4 y concéntrica con x + y + 2x + 10 y + 17 = 0 EJERCICIO 7 : Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos M(-3,-2), N(4,5), P(-2,5) EJERCICIO 8 : Halla las posiciones relativas de las recta y c ircunferencias siguientes: a) x2 + y2 - 4x - 1 = 0 2x - y – 4 = 0 2 2 b) x + y - 2x + 3y + 2 = 0 2x + y - 3 = 0 EJERCICIO 9 : a) Calcular la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(3,0) y B(0,3) y cuyo centro se en cuentra en la recta 5x - 3y 2=0 b) Posición de la recta 2x + y = 1 respecto a dicha circunferencia. 2

2

EJERCICIO 10 : Calcular la ecuación de una circunferencia cuyo diámetro mide 6 cm. y es concéntrica con: x + y - 2x - 6y - 15 = 0 EJERCICIO 11 : a) Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasa por el origen de coordenadas y tiene su centro en l a bisectriz del primer b)

cuadrante y su radio mide 2. 2 Calcular la posición de la r ecta y = -x -8 r especto de dichas circunferencias. 2

2

EJERCICIO 12 : Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con x + y - 4x + 2y + 1 = 0 y que es tangente a la recta 3x + 4y - 17 = 0 2

2

EJERCICIO 13 : Dada la ecuación de la circunferencia C : x + y - 4x - 4y - 1 = 0 y de la recta s: x + y = 1. Se pide: a) Posición relativa de la recta s respecto de l a circunferencia C. b) Calcular las ecuaciones de la recta tangentes a la circunferencia C que sean paralelas a la recta s. c) Hallar la ecuación de la circunferencia que sea concéntrica con la circunferencia C y sea tangente a la r ecta s.

TEMA 9 – LUGARES GEOMÉTRICOS. CÓNICAS – MATEMÁTICAS I – 1º Bach.

2

ELIPSE EJERCICIO 14 : Hallar la ecuación de las elipses centradas en el origen: a) Cuyo eje mayor es 10 y un vértice del eje menor es B(0,4) b) Cuya excentricidad es e = 12/13 y el eje menor es 10 c) Cuya distancia focal es 4 v la suma de distancias de un punto cualquiera a los focos es 8 d) Sabiendo que A(0,5) y F(0,4) e) Sabiendo que pasa por el punto (0,4) y el semieje mayor es 5 f)

Sabiendo que pasa por los puntos (2+ 3 ,4) y (3,3+

2)

EJERCICIO 15 : Determinar las coordenadas de los focos y de los vértices, la excentricidad y representarlas y su centro. a)

x2 100



2

y2 36

b)

1

2

d) 2x + y = 4

e)

x2 25 x



16

c) x2 + 4y2 = 1

1 2

2

9

y2



y  1 25

2

1

f)

x  1 4



y  32 9

1

EJERCICIO 16 : Hallar la ecuación de una cónica, centrada en el origen, de eje mayor OX, que pasa por el punto P(1,2) y su excentricidad vale 1/2. EJERCICIO 17 : Si los focos de una elipse son los puntos F'(-5,0) y F(5,0) y su eje menor mide 2 cm. Calcular su ecuación. EJERCICIO 18 : Sea una elipse centrada en el origen de eje mayor el eje de abscisas, cuya excentricidad 1/2 y la suma de distancias a dos puntos fijos 8. Calcular: a) Su ecuación b) Dibújala y calcula las coordenadas de sus vértices y focos. EJERCICIO 19 : Si los focos de una elipse son los puntos F'(5,-I) y F(5,5) y su eje menor mide 2 cm. a) Calcular su ecuación. b) Hallar las coordenadas de sus vértices, la ecuación de sus ejes, su excentricidad y dibujarla.

HIPÉRBOLA EJERCICIO 20 : Calcular la ecuación de una cónica centrada en el origen, si la diferencia de distancias a un punto fijo es 10 y su foco es F(6,0). EJERCICIO 21 : Hallar la ecuación de la hi pérbola, centrada en el origen, cuya distancia focal es 10 cm y uno de sus vértices es B(0,4). Calcular su excentricidad y las coordenadas de los focos y de los restantes vértices. Dibujarla. EJERCICIO 22 : Escribir las ecuaciones de las hipérbolas siguientes: a) Su centro Q-3,0), F(2,0) e = 5/4 b) Sus vértices son A(6,2), A’(-2,2) y su distancia focal es 10 c) a = 8, C(2,-3), B'(-4,-3) EJERCICIO 23 : Determinar las coordenadas M centro, de los focos, de los vérti ces y la excentricidad de las hi pérbolas: a)

( x  1) 2 9



( y  3) 2 4

1

b) 9(y-1) 2 – 25x2 = 144

EJERCICIO 24 : a) Calcular la ecuación de la hi pérbola cuyo centro está en el punto (3, 1) y dos de sus vértices son A(3,4) B(5, 1) b) Calcular la excentricidad c) Calcular el resto de los vértices y los focos.

PARÁBOLA EJERCICIO 25 : Escribir las ecuaciones de las siguientes parábolas y representarlas.. a) Vértice (2,-2) y directriz y = -5 b) Foco (6, 1) y vértice V(2, 1) c) Directriz x = 0, vértice V(3,2) d) Vértice V(-1,3) y foco (-1,8) EJERCICIO 26 : Dada la parábola cuyo foco es F(2,-I) y cuyo vértice es (2,-3) a) Calcular su ecuación b) La ecuación de la directriz

c) La ecuación del eje.

ejerciciosyexamenes.com

Problemas de circunferencias circunferencias 4. Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C(-2,3) y radio 4. Sol: (x+2)2+(y-3)2=16. 5. Calcula la potencia del punto P(-1,2) a la circunferencia: x2+y2-2x+3=0. Sol: 10. 6. Halla el centro y el radio de las circunferencias: a) x2+y2-2x+2y-23=0; b) x2+y2-2y-8=0; c) x2+y2-2x-6y+6=0. Sol: a) C(1,-1), r=5; b) C(0,1), r=3; c) C(1,3), r=2 7. ¿Cuáles de las siguientes expresiones representan circunferencias?: a) x2y2+x+2y+5=0; b) x2+y2+xy+3y-3=0; c) 2x2+2y2-8y-10=0. Sol: a) No; b) No; c) Sí 8. Halla las ecuaciones de las circunferencias: a) de centro C(2,0) y radio 3; b) de centro C(0,2) y radio 3. Sol: a) x2+y2-4x-5=0; b) x2+y2-4y-5=0 9. Halla la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de abscisas y cuyo centro es el punto C(2,3). Sol: (x-2)2+(y-3)2=9 10. Halla la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de abscisas y cuyo centro es el punto C(1,2). Sol: (x-1)2+(y-2)2=4 11. Dibuja las circunferencias: x2+y2=4, x2+y2-2x-2y=0; y calcula analítica y gráficamente los puntos de intersección entre ambas. Sol: (2,0), (0,2) 12. Calcula las potencias de los puntos O(0,0); A(3,0) y B(4,0) a la circunferencia x +y -9=0. Comprueba los signos que obtienes dependiendo de cómo es el punto respecto a la circunferencia. Sol: -9 interior, 0 pertenece a la circunferencia, 7 exterior 2

2

13. Halla los puntos de intersección de la circunferencia x2+y2-4x-4y+6=0 con la recta y=x. Sol: (1,1), (3,3) 14. Halla la ecuación de la tangente a la circunferencia de centro C(-1,3) en el punto de tangencia (2,5). Sol: (x-2)/2=(y-5)/-3. 15. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,3); B(0,-1) y C(-1,0). Sol: (x-1)2+(y-1)2=5 17. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C(-1,3) y pasa por el punto P(-2,1)?. Sol: (x+1)2+(y-3)2=5. 18. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro tiene por extremos los puntos A(1,1) y B(3,-1). Sol: (x-2)2+y2=2

¡Error!Marcador no definido.


19. Calcula la longitud de la cuerda que determina la recta x=3 al cortar a la circunferencia x2+y2-4x-6y+8=0. Sol: 4 20. Calcula la ecuación de una circunferencia tangente a los ejes coordenados y que pasa por A(9,2) Sol: c=(5,5) r=5; c=(17,17) r=17. 21. ¿Para qué valor de b la recta y=x-b es tangente a la circunferencia x2+y2=8?. Sol: b= "4. 22. ¿Qué posiciones ocupan los puntos A(-1,0); B(3,3); C=(2,2); D=(5,-1) respecto a la circunferencia: x2+y2-6x-2y+6=0?. Sol: A exterior, B pertenece a la circunferencia, C interior, D exterior 24. Escribe la ecuación de una circunferencia concéntrica a x2+y2-4x+2y+4=0 y cuyo radio es 2. Sol: (x-2)2+(y+1)2=4 25. Halla la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos lados están sobre las rectas: x-2y+1=0; x+3y=14 y 2x+y=3. Sol: (x-2)2+(y-4)2=10 26. Dadas las ecuaciones de segundo grado siguientes, determinar cuales son ecuaciones de circunferencia y hallar, en su caso, centro y radio. a) x2-y2-4x-4y+2=0.; b) 2x2+2y2-2x-2y-1=0.;c) x2+y2-4x-2y=-1; d) x2+y2-xy+x-1=0. Sol: a) No; b) Sí, C(2,1), r=1; d) No 27. Halla la ecuación de la circunferencia definida por los puntos A=(3,0), B=(-3,0) y C=(0,9). Sol: x2+(y-4)2=25 28. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C, situado en la recta m: x+2y5=0, y que pasa por los puntos A=(-1,4) y B=(3,0). Sol: (x-1)2+(y-2)2=8 29. L a recta a: x+2y-2=0 es tangente en (0,1) a una circunferencia, que pasa por el punto P (3,4). Hallar su ecuación. Sol: (x-1)2+(y-3)2=5 31. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias: x2+y2-4x-6y+3=0 y x2+y2-12x-10y+36=0. Sol: 2x+y=7 32. Determina la ecuación de la circunferencia de centro el punto A(1,1) y es tangente a la recta r:3x+4y=32. Sol: (x-1)2+(y-1)2=25 33. Halla las ecuaciones de las circunferencias de radio 3, tangentes a la de ecuación x +y =25 en el punto P(4,-3). Sol: (x-32/5)2+(y+24/5)2=9; (x-8/5)2+(y+6/5)2=9 2

2

35. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia dada, en los puntos de ordenada y=0. x2+y2-6x+5=0. Sol: x=1, x=5



36. Dada la circunferencia x: (x-2)2+(y-1)2=4, halla las ecuaciones de las tangentes trazadas desde A(4,3). Sol: x=4, y=3 37. Dada la circunferencia r: (x-1)2+(y+2)2=4, halla las ecuaciones de las tangentes a ella paralelas a la recta x-2y+2=0. Sol: x-2y-5" =0 2

2

%

39. Dadas las circunferencias x +y -4x-6y+8=0 y x2+y2-2x-4y=0, hallar las coordenadas del punto A, que tiene igual potencia respecto de ambas y pertenece a la recta x-y+2=0. Sol: (1,3) 40. Estudia la posición relativa de las siguientes parejas de circunferencias: a) x2+y22x-2y-7=0 y x2+y2+2y-3=0; b) x2+y2+2x-2y-8=0 y x2+y2-4x-20y+64=0; c) x2+y2-4x2y+4=0 y x2+y2+2x+2y-2=0. Sol: a) secantes; b) tangentes; c) exteriores 41. Calcula m para que el radio de la circunferencia x2+y2+mx+4y+4=0. sea 1. Sol: m= "2 42. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(1,0) y es tangente a la recta r: x+y-3=0 en el punto B(1,2). Sol: x2+(y-1)2=2 43. Halla la ecuación de la circunferencia de centro C(1,2) y tangente a la recta r: y=-2x+9. Sol: (x-1)2+(y-2)2=5 44. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(4,3) y B(-2,3) y tiene su centro en la recta r: 2x-y-1=0. Sol: (x-1)2+(y-1)2=13 45. Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia (x-2)2+(y-2)2=1, en los puntos de abscisa x=0. Sol: 2x-y+3=0; 2x+y-1=0 46. Dada la circunferencia (x-5)2+(y-2)2=8, halla las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto P(1,2). Sol: x+y=3, x-y+1=0 47. Dadas las siguientes circunferencias, halla la potencia del punto A(1,1) respecto a cada una de ellas, indicando su posición. a) r: x2+y2-2=0; b) s: x2+y2-4=0; c) t: x2+y2y=0. Sol: a) P=0, A 0r; b) P< 0 A interior a s; c) P> 0 A exterior a t 48. Halla el centro y el radio de las circunferencias: a) x2+y2-2x-6y+6=0; b) x2+y2-2y=0; c) x2+y2-4x+2y-4=0. Sol: a) (1,3), r=2; b) (0,1), r=1; c) (2,-1), r=3 49. Escribe la circunferencia de centro (1,3) y radio 2. Sol: (x-1)2+(y-3)2=4 50. Escribe la circunferencia de centro (3,-1) y radio 3. Sol: (x-3) 2+(y+1)2=9 51. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene de centro el punto (-1,3) y es tangente al eje de abscisas. Sol: (x+1)2+(y-3)2=9



52. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro tiene por extremos los puntos A(2,2) y B(4,-6) Sol: (x-3) 2+(y+2)2=17 53. Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (1,-1) y pasa por el punto (3,2). Sol: (x-1)2+(y+1)2=13 54. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos: (3,2), (2,1) y (3,0). Sol: (x-3)2+(y-1)2=1 55. Calcula la longitud de una cuerda determinada por la recta 4=x+y al cortar a la circunferencia: (x-1)2+(y-1)2=4. Sol: 2 2 56. Halla la ecuación de la tangente a la circunferencia de centro (-1,3) en el punto de tangencia (0,2). Sol: -x+y=2 57. ¿Para qué valor de "a" la recta y=-2x+a es tangente a la circunferencia: x2+y22x=4?. Sol: a=7, a=-3 58. Halla la ecuación de una circunferencia concéntrica a la circunferencia x2+y22x+2y-2=0 y cuyo radio es 3. Sol: (x-1)2+(y+1)2=9. 59. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente al eje de ordenadas y pasa por A(2,3) y B(4,1). Sol: (x-2)2+(y-1)2=4 60. Calcula las potencias de los puntos A(0,1) B(0,2) y C(3,0) a la circunferencia: x +y -4=0. Sol: -3, 0, 5 2

2

61. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (1,3) y es tangente al eje de abscisas. Sol: (x-1)2+(y-3)2=9 62. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de las rectas: 2x-3y+4=0; x+y-3=0 y su radio es 3. Sol: (x-1)2+(y-2)2=9 63. Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto (1,2) y es tangente a la recta: -3x+4y=0. Sol: (x-1)2+(y-2)2=1 64. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (-1,5) y por los puntos A=(1,1) y A' (simétrico de A respecto a la recta y=-2x+8). Sol: (x-2)2+(y-4)2=10



Problemas de Elipses Elipses 1. Calcula la ecuación de la elipse formada por los puntos cuya suma de distancias a y F2(7,1) es igual a 10. Sol: (x-1)2/25 + (y-4)2/9 = 1

F1(1,-1)

2. Encuentra los elementos principales de la elipse (x2/25)+(y2/9)=1 y dibuja su gráfica. Sol: a=5; b=3; c=4; F(-4,0); F'(4,0). 3. Halla los elementos principales de la elipse: 9x2+25y2=900. Sol: a=10;b=6; c=8. 4. Escribe la ecuación reducida de la elipse cuya distancia focal es 16 y cuyo semieje mayor tiene de longitud 10. Sol: (x2/100)+(y2/36)=1. 5. Encuentra la ecuación reducida de la elipse cuyo semieje mayor tiene longitud 5 y que pasa por P(4,12/5). Sol: (x2/25)+(y2/16)=1. 6. Halla la ecuación de la tangente a la elipse (x2/25)+(y2/9)=1. en el punto de abscisa 5. Sol: x=5 7. Encuentra los semiejes, vértices y focos y averigua la excentricidad de las elipses: a) (x /169)+(y2/144)=1; b) 16x2+25y2=400; c) x2+16y2=25. Sol: a) a=13, b=12, c=5; V:("13,0), (0,"12); F:("5,0); e=5/13; b) a=5, b=4, c=3, V: ("5,0), (0,"4), F("3,0), e=3/5; c) a=5, b=5 15 /4; c) 5/4; V: ("5 15 ,0), (0,"5/4); F: ("5 15 /4,0); e=/4 2

8. Averigua el dominio y recorrido de la elipse: (x2/144)+(y2/64)=1. Sol: Dom:(12,12), Rec: (-8,8) 9. Determina la ecuación reducida de la elipse cuyo eje mayor mide 8 y pasa por el punto P(3,1). Sol: x2/64 + y2/(64/55) = 1 20.

10. Escribe la ecuación de la elipse cuya suma de distancias a F1(8,0) y F2(-8,0) vale Sol: x2/100+y2/36=1

11. Encuentra la ecuación de la elipse de focos F1(-1,0) y F2(1,0) cuyo semieje mayor tiene longitud 2. Sol: x2/4 + y2/3 = 1 12. Halla las ecuaciones de las elipses definidas por los siguientes datos: a) a=3, b=2; b) a=5, c=4; c) b=1, c=2. Sol: a) x2/9+y2/4=1; b) x2/25+y2/9=1; c) x2/5+y2=1 13. Halla la ecuación de la elipse con centro en el origen sabiendo que los radios vectores de un punto P son r=4 y r'=6 y que la distancia focal es 8. Sol: x2/25+y2/9=1 15. Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto P (6,64/10) y cuyos semiejes mayor y menor son proporcionales, respectivamente a 5 y 4. Sol: x2/100+y2/64=1 16. Una elipse, cuya ecuación está referida a sus ejes, tiene sus focos en F(3,0) y



F'(-3,0) pasa por P(5,0). Halla su ecuación. Sol: x2/25+y2/16=1 20. Halla las ecuaciones de las tangentes a la elipse x2+y2/2=1, paralelas a la recta y=x.Sol: y=x" 3 23. Dada la ecuación de la elipse: x2+2y2-2x+4y+1=0. de ejes paralelos a los coordenados, Hallar: a) La ecuación reducida. b) Las coordenadas del centro. c) La excentricidad. Sol: a) (x-1)2/2+(y+1)2=1; b) (1,-1); c) e=1/ 2 24. Halla la ecuación de la elipse cuyo centro es C(2,1), uno de los vértices A(7,1) y la excentricidad e=3/5. Sol: (x-2)2/25+(y-1)2/16=1 27. Halla la ecuación de forma reducida de la elipse con centro (0,0) y que es incidente con los puntos A(-5,0) y B(4,9/5). Sol: x 2/25+y2/9=1 28. Halla todos los elementos de la elipse: (x2/25)+(y2/9)=1. Sol: a=5, b=3, c=4 29. Halla la ecuación de una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor mide 12 y pasa por el punto (3,4). Sol: x2/36+y2/(64/3)=1 30. Escribe la ecuación de una elipse cuya suma de distancias a los focos F1(8,0) y F2(-8,0) vale 20. Sol: x2/100+y2/36=1 31. Encuentra la ecuación de la elipse cuyos focos son (1,0) y (-1,0) y cuyo eje mayor tiene de longitud 4. Sol: x2/4+y2/3=1 32. Escribe la ecuación reducida de una elipse cuya distancia focal es 16 y cuyo semieje mayor 17. Sol: x2/289+y2/225=1 33. Halla la ecuación de la recta tangente a la elipse (x2/25)+(y2/16)=1 en el punto de abscisa 3. Sol: 3x+5y-25=0 34. Halla cual es el dominio de la elipse (x2/64)+(y2/4)=1. Sol: (-8,8) 35. Escribe la ecuación de la elipse cuyo centro es (0,0), un foco (3,0) y un vértice es (4,0). Sol: x2/16+y2/7=1



Problemas de Hipérbolas Hipérbolas 1. Calcula los elementos principales de la hipérbola 4x2-9y2=36. Sol: a=3, b=2; c=

13

2. Escribe la ecuación reducida de la hipérbola en la que uno de los focos es F(17,0) y uno de los vértices V(15,0). Sol: x2/225-y2/64=1 3. Escribe la ecuación reducida de la hipérbola en la que una de las asíntotas es y=(1/2)x y que pasa por V(2,0). Sol: x2/4-y2=1 4. Encuentra los vértices, los focos, las asíntotas y averigua la excentricidad de: a) 9x -16y2=144; b) -x2/25+y2/144=1; c) (x2/36)-(y2/64)=1. Sol: a) v("6,0), F("10,0), y= $4/3 x; e=5/3; b) V(0, "12), F(0,"13), y= "5/12 x, e=13/12; c) v("6,0), F("10,0), y= "4/3 x, e=5/3 2

5. Encuentra el dominio y recorrido de la hipérbola: (x2/9)-(y2/16)=1. Sol: Dom: (4 ,-3)c(3,+ 4 ), recorrido: ú 6. Halla la ecuación de la hipérbola cuya diferencia de distancias a F1(5,0) y F2(-5,0) vale 6. Sol: x2/9-y2/16=1 7. Halla las ecuaciones de las hipérbolas definidas por los siguientes datos: a) a=2, b=2; b) a=4, c=5; c) b=1, c= 5 ; d) b=3, e=5/4. Sol: a) x2/4-y2/4=1; b) x2/16y2/9=1; c) x2/4-y2=1; d) x2/16-y2/9=1 8. Determina la ecuación de una hipérbola que tiene por excentricidad e=5/3 y es incidente con el punto P(10,32/3). Sol: x2/36-y2/9=1 9. Halla la ecuación de la hipérbola incidente con los puntos A(4, Sol: x /4-y2/2=1 2

6)

y B(12,6

2

).

10. Una hipérbola tiene por asíntotas y= "2x y es incidente con el punto P(6,4). Halla su ecuación. Sol: x2/32-y2/128=1 11. De una hipérbola se conoce a=4 y que el ángulo que forman las asíntotas es 90º. Halla la ecuación de la hipérbola. Sol: x2/4-y2/4=1 12. Calcula m para que la recta y=x+m sea tangente a la hipérbola: x2-2y2=4. Sol: m="

2

13. Una hipérbola equilátera pasa por el punto P(3, 5 ). Halla su ecuación y las coordenadas de los vértices y de los focos. Sol: x2/4-y2/4=1; V("2,0), F(" 32 ,0) 14. Halla b para que 2x2+by2=3 sea la ecuación de una hipérbola equilátera. Sol:



b=-2 15. Determina a, b, c, la excentricidad y las coordenadas de los vértices y focos de las siguientes hipérbolas: a) (x2/9)-(y2/16)=1; b) (x2/6)-(y2/2)=1; c) (x2/9)-(y2/4)=1. Sol: a) a=3, b=4, c=5, e=5/3, V("3,0), F("5,0); b) a= 6 , b= 2 , c= 8 , V(" 6 ,0), F(" 8 ,0); c) a=3, b=2, c= 5 , e= 5 /3, V("3,0), F(" 5 ,0) 16. Halla la ecuación de la hipérbola sabiendo que pasa por el punto A(2,2) y una de sus asíntotas es y=2x. Sol: x2-y2/4=1 17. Escribe la ecuación reducida de la hipérbola en que uno de sus focos es (17,0) y uno de sus vértices es (15,0). Sol: (x2/225)-(y2/64)=1 18. Escribe la ecuación de la hipérbola de focos (3,2) y (-3,2), cuyo semieje mayor tiene longitud 2. Sol: (x2/4)-(y-2)2/2=1 19. Halla la ecuación de la hipérbola cuya diferencia de distancias a (3,0) y (-3,0) es 4. Sol: (x2/4)-(y2/48)=1 20. Escribe la ecuación reducida de una hipérbola sabiendo que su distancia focal es 16 y la distancia de un foco al vértice más próximo es 4. Sol: x2/16-y2/48=1



Problemas Problemas de Parábolas Parábolas 1. Calcula la ecuación de la parábola formada por los puntos que equidistan de la recta x+y+1=0 y de foco F(1,2). Sol: xyy2-6x-10y-2xy+9=0 2. Halla los elementos principales de la parábola y2=6x y dibuja su gráfica. Sol: F(3/2,0), V(0,0), p=3, x=-3 3. Halla la tangente a la parábola y2=6x en el punto P(6,6).(Nota: la tangente es la bisectriz del ángulo que forman el radiovector PF y la recta perpendicular por P a la directriz). Sol: 2x-(1+ 5 )y-6+6 5 =0 4. Encuentra el vértice, el foco, el eje y la directriz de las siguientes parábolas: a) y =16x; b) y2-4y-8x+36=0; c) x2-4x-16y+36=0. Sol: a) V(0,0), F(4,0), eje y=0, r: x=4; b) V(2,2), F(4,2), eje y=2, r: x=0; c) V(2,2), F(2,6), eje x=2, r: y=-2 2

5. Halla el dominio de la parábola y2=4x+2. Sol: [-1/2,+ 4) 6. Escribe la ecuación de la parábola de foco F(1,0) y directriz x+y=0. Sol: x2+y22xy-4x+1=0 7. Encuentra la tangente a la parábola y2=2x en el punto P(2,2). Sol: x-2y+2=0 8. sabemos que y=x2 es una parábola. ¿Cuál es su foco?. ¿Y su directriz?. Demuestra que se verifica que cualquiera de sus puntos equidista del foco y de la directriz. Sol: F(0,1/4), y=-1/4 9. Halla la ecuación de la parábola de foco F(2,0) y directriz la recta y=x. Sol: x24x+xy-y2+4=0 10. Dada la parábola y2+2x-2y+1=0, haz una traslación conveniente para escribirla en la forma general y' 2 = kx. Sol: (y-1)2=2x 11. Una parábola de eje vertical tiene por vértice V=(3,-2) y por foco F(3,0). Halla las ecuaciones del eje, de la directriz y de la parábola. Sol: x=3, y=-4, (x-3)2=8(y+2) 12. Halla k para que la recta y=2x+k sea tangente a la parábola: y=2x2-1. Sol: k=-3/2 13. Halla la ecuación de la tangente a la parábola x2=2y-1 en el punto A(3,5). Sol: 3x-y-4=0 14. Dada la parábola de ecuación y2=8x, halla las coordenadas del vértice y del foco y las ecuaciones de la directriz y del eje. Sol: V(0,0), F(2,0), x=-2, y=0 15. Halla la longitud del segmento interceptado por la recta r: x-3y+4=0 en la



parábola: y2=2x. Sol:

40

16. Halla la ecuación de la tangente a la parábola y2=4x en el punto (1,2). Sol: y=x+1 17. Encuentra la tangente a la parábola y2=4x en el punto (1,-2). Sol: y=-x-1 18. Encuentra el vértice, el foco, el eje y la directriz de la parábola: y2=12x. Sol: V(0,0), F(3,0), y=0, x=-3 19. Halla el dominio de la parábola y2=-4x. Hallar además vértice, foco, eje y directriz. Sol: Dom: (-4,0], V(0,0), F(-1,0), y=0, x=1 20. Escribe en forma reducida las ecuaciones de las parábolas siguientes indicando el valor del parámetro, la situación de la curva respecto a los ejes, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. a) 6y2-24x=0; b) 14x2=-28y. Sol: a) y2=4x; p=2; en el primer y cuarto cuadrante, F(1,0), x=-1; b) x2=-2y; p=1; en el tercer y cuarto cuadrantes, F(0,1/2), y=1/2


conicas (1)

Recommend Documents