REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA UNEFA
Profesor José Bustamante. GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA SECCIONES CÓNICAS
DEFINICIÓN: Las secciones cónicas (o simplemente, cónicas) son las curvas que se obtienen como intersección de un plano con un cono circular c ircular recto. Existen cuatro tipos de curvas notables que se obtienen de esta manera: la circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola. La curva obtenida depende de la inclinación del eje del cono con respecto al plano de corte y de que éste último contenga o no al vértice del cono. Observemos que las “cónicas notables” se obtienen cuando el plano de corte no contiene el
vértice del cono, tal y como se muestran en los siguientes diagramas:
Circunferencia
Elipse
Parábola
Hipérbola
Fuera de estos casos, podemos encontrar tres casos más, que se consideran “secciones cónicas degeneradas” y se obtienen cuando el plano de corte contiene el vértice del cono:
Punto
Recta
Rectas que se cortan
1) LA CIRCUNFERENCIA
DEFINICIONES: Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de un punto fijo en el mismo plano. Al punto fijo se le llama centro y a la distancia constante, radio de la circunferencia.
FORMA CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA: La circunferencia con centro en el punto (x 0,y0) y radio r > 0 tiene como ecuación: (x x0)2 + (y y0)2 = r2 Y (x,y) (x0,y0)
r
X (Figura 1.1) Actividad 1.1: Deduzca la ecuación de la l a circunferencia (forma canónica).
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA CIRCUNFERENCIA: Toda circunferencia puede ser descrita por una ecuación de la forma general: Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 Actividad 1.2: Obtenga la forma general de la ecuación de una circunferencia partiendo de la forma canónica. Actividad 1.3: No toda ecuación de la forma general tiene como gráfica una circunferencia, por tanto, determine las condiciones adicionales que deben satisfacer
las
constantes
A,
D,
E
y
F
para
que
la
ecuación
Ax 2 + Ay 2 + Dx + Ey + F = 0 tenga como gráfica gráfica una circunferencia. circunferencia. ¿Puedes ¿Puedes deducir, además, las condiciones que deben satisfacer las constantes anteriores para obtener como gráfico: (a) el conjunto vacío; (b) un punto; (c) una recta; (d) dos rectas que se cortan?
Ejercicios y Problemas:
1. Encuentre la ecuación (formas canónica y general) de la circunferencia que satisfaga las condiciones dadas y trace su gráfica: 1.1. El centro está en (3, 1) y tiene radio 5. 1.2. El centro está en ( 4,2) y tiene diámetro 8. 1.3. El centro está en (1,2) y pasa por el punto (3, 1). 1.4. Un diámetro tiene como extremos los puntos (3, 4) y (7,2). 1.5. Contiene los puntos ( 1,3), (0,2) y (1, 1). 1.6. El centro está en el origen y pasa por el punto (0,2). 1.7. El centro está en ( 2,5) y es tangente a la recta x = 7. 1.8. Es tangente a los dos ejes coordenados, tiene radio 3 y está en el cuarto cuadrante. 1.9. El centro está en ( 4,1) y es tangente a la recta 3x + 2y
12 = 0.
(Sugerencia: Investigue cuál es la fórmula que permite calcular, en geometría analítica, la distancia entre un punto y una recta, ésta le permitirá hallar el radio de la circunferencia) 1.10.Tiene 1.10. Tiene radio 5 y el centro es el punto de intersección de las rectas 3x 2y 24 = 0 y 2x + 7y + 9 = 0. 1.11.El 1.11. El centro está sobre el eje X y pasa por los puntos (1,3) y (4,6). 2. Determine el centro y el radio de las circunferencias cuyas ecuaciones se muestran a continuación. Trace, además, sus gráficas. 2.1. x2 + y2 = 36 2.2. 4x2 + 4y2 = 81 2.3. (x + 6)2 + (y 5)2 = 100 2.4. x2 + y2 6x + 4y 23 = 0 2.5. x2 + y2 + 7y = 0 2.6. 2x2 + 2y2 2x + 2y 7 = 0 2.7. 9x2 + 9y2 + 12x 18y = 1 2.8. 16x2 + 16y2 64x + 8y + 117 = 0 3. En base, a los resultados obtenidos en la Actividad 1.3, demuestre que la gráfica de la ecuación: 3.1. x2 + y2 + 4x + 10y + 29 = 0 es un punto. 3.2. x2 + y2 +8x 6y + 30 = 0 es el conjunto vacío.
4. Una cuerda de la circunferencia x 2 + y2 = 25 está sobre la recta de ecuación x 7y + 25 = 0. Determine la longitud de la cuerda.
2) LA ELIPSE
DEFINICIONES: Una elipse es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que la suma de sus distancias desde uno cualesquiera de ellos a dos puntos fijos del mismo plano es constante. A este par de puntos fijos se les denominan focos de la elipse. La recta que pasa por los focos se denomina eje principal de la elipse. Los puntos de intersección de la elipse y su eje principal se denominan vértices principales. El segmento del eje principal cuyos extremos son los dos
vértices principales se denomina eje mayor de la elipse. El punto medio del eje mayor se conoce como el centro de la elipse. La recta perpendicular al eje principal que pasa por el centro se denomina eje secundario de la elipse. Los puntos de intersección de la elipse y su eje secundario se denominan vértices secundarios. El segmento del eje secundario cuyos extremos están determinados por los dos vértices secundarios se denomina eje menor de la elipse. Actividad 2.1: Identifique los elementos definidos anteriormente en la siguiente figura:
FORMA CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE UNA ELIPSE: La elipse con centro en el punto (x 0,y0) y cuyo eje principal es paralelo a uno de los ejes coordenados, tiene como ecuación: (x
x 0 )2
a2 (x
x 0 )2
b2
(y
y 0 )2
b2 (y
y 0 )2
a2
1
1
Si el eje principal es paralelo al eje X (Figura 1.1) Si el eje principal es paralelo al eje Y (Figura 1.2)
donde 2a es la longitud del eje mayor y 2b es la longitud del eje menor.
Y
Y a
a
(x0,y0) b
b
(x0,y0)
X
(Figura 2.1)
X
(Figura 2.2)
Curiosidad: Elige cualquiera de los casos de la forma canónica de la ecuación de una elipse y reemplaza en lugar de a y b la letra r, determina la suma de las fracciones, multiplica a ambos lados de la igualdad por el denominador de la fracción resultante en el primer miembro y simplifica. ¿No te parece familiar la ecuación obtenida? obtenida? ¿Puedes llegar a alguna conclusión conclusión interesante? Actividad 2.2: Para cada uno de los gráficos anteriores obtenga las coordenadas de los vértices y de los focos, suponiendo que la distancia entre los focos es 2c. Actividad 2.3: En base a la definición de la elipse se obtiene una relación muy importante entre los valores a, b y c. Para obtener esta relación, se pueden seguir las siguientes instrucciones, empleando los resultados obtenidos en la actividad anterior: a) Calcula las distancias de uno de los vértices principales a cada uno de los focos de la elipse. Después, halla la suma suma de las dos distancias distancias obtenidas. b) Calcula las distancias de uno de los vértices secundarios a cada uno de los focos de la elipse. Después, halla la suma suma de las dos distancias obtenidas. obtenidas. c) Basándote en la definición de elipse, establece una relación entre los resultados obtenidos en a) y en b). Actividad 2.4: Deduzca la ecuación de la elipse (forma canónica) con centro en el origen y en el caso en que el eje principal sea paralelo al eje X.
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA ELIPSE: Toda elipse cuyo eje principal es paralelo a uno de los ejes coordenados, puede ser descrita por una ecuación de la forma general: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 donde A y B tienen el mismo signo. Actividad 2.5: Obtenga la forma general de la ecuación de una elipse partiendo de la forma forma canónica.
Actividad 2.6: No toda ecuación de la forma general tiene como gráfica una elipse, por tanto, determine las condiciones adicionales que deben satisfacer las constantes A, B, D, D, E y F para que la ecuación Ax 2 + By 2 + Dx + Ey + F = 0 tenga como gráfica una elipse. ¿Puedes deducir, además, las condiciones que deben satisfacer las constantes anteriores para obtener como gráfico: (a) el conjunto vacío; (b) un punto; (c) una recta; (d) dos rectas que se cortan? Curiosidad: Si tomamos B = A en la ecuación dada, ¿en que se transforma la ecuación de la elipse descrita en forma general? Ejercicios y Problemas:
1. Para cada una de las elipses que tienen las siguientes ecuaciones, determine (a) su centro, (b) los vértices principales, (c) el eje principal, (d) longitud del eje mayor, (e) los vértices secundarios, (f) longitud del eje menor, (g) los focos. Trace, además, sus gráficas. 1.1. 1.2.
x2 25
x2 100
y2
9
1
y2 169
1
1.3. 9x2 + 25y2 = 900 1.4. 4x2 + 9y2 16x 18y 11 = 0 1.5. 25x2 + y2 4y 21 = 0 1.6.
x2 3y2 + 4x + 23 = 0
1.7. 2x2 + 3y2 4x + 12y + 2 = 0 2. Encuentre la ecuación (formas canónica y general) de la elipse que satisfaga las condiciones dadas y trace su gráfica: 2.1. Focos en (5,0) y (5,0) y la longitud del eje mayor es 20. 5 5 3 2.2. Vértices principales en ,0 y ,0 y un foco en ,0 .
2
2
2
2.3. Centro en (4, 2), un vértice principal en (9, 2) y un foco en (0, 2). 2.4. Centro en el origen, sus focos sobre el eje X, la longitud del eje mayor es el triple de la longitud del eje menor y pasa por el punto (3,3). 2.5. Vértices secundarios en (2,5) y (2,0) y la distancia entre los focos es 3.
2.6. Un foco en (2, 3), un vértice principal en (2,4) y el centro sobre el eje X. 2.7. La suma de las distancias desde los puntos ( 4,0) y (4,0) a cualquier punto de la elipse es 10.
3) LA PARÁBOLA
DEFINICIONES: Una parábola es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de una recta y un punto que no está sobre la recta. El punto fijo se denomina foco y la recta fija, directriz. La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de simetría (o simplemente, eje) de la parábola. El punto intersección de la parábola con su eje se denomina vértice. Curiosidad: El vértice de una parábola está a la mitad de la distancia entre el foco y la directriz, ¿te imaginas por qué?
FORMA CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA: La parábola con vértice en el punto (x 0,y0) y cuyo eje es paralelo a uno de los ejes coordenados, tiene como ecuación: (xx0)2 = 4c(yy0)
Si el eje es paralelo al eje Y (Figuras 3.1 y 3.2)
(yy0)2 = 4c(xx0)
Si el eje es paralelo al eje X (Figuras 3.3 y 3.4)
donde 2 c es la distancia entre el foco y la directriz de la parábola.
Y
Y
Foco
X Directriz
(x0,y0)
c>0
Foco
(x0,y0)
Directriz
c<0
X
(Figura 3.1)
(Figura 3.2)
Y
Y
(x0,y0)
Foco
Foco
(x0,y0)
c>0
c<0 X
X
Directriz
Directriz
(Figura 3.3)
(Figura 3.4)
Actividad 3.1: Para cada uno de los gráficos anteriores obtenga las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz. Actividad 3.2: Deduzca la ecuación de la parábola (forma canónica) para el caso en que el eje es paralelo al eje Y y c>0.
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA: Toda parábola cuyo eje es paralelo a uno de los ejes coordenados, puede ser descrita por una ecuación de la forma general: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 donde A = 0 ó B = 0 (pero no simultáneamente). simultáneamente). Actividad 3.3: Obtenga la forma general de la ecuación de una parábola partiendo de la forma forma canónica. Actividad 3.4: No toda ecuación de la forma general tiene como gráfica una parábola, por tanto, determine las condiciones adicionales que deben satisfacer
las
constantes
A,
B,
D,
E
y
F
para
que
la
ecuación
Ax 2 + By 2 + Dx + Ey + F = 0 tenga como gráfica gráfica una parábola. ¿Puedes ¿Puedes deducir, además, las condiciones que deben satisfacer las constantes anteriores para obtener como gráfico: (a) el conjunto vacío; (b) un punto; (c) una recta; (d) dos rectas que se cortan?
Ejercicios y Problemas:
1. Para cada una de las parábolas que tienen las siguientes ecuaciones, determine (a) el vértice, (b) el eje, (c) el foco, (d) la ecuación de la directriz. Trace, además, sus gráficas. 1.1. x2 = 8y 1.2. x2 = 12y 1.3. y2 = 6x 1.4. 3y2 4x = 0 1.5. 4y2 48x 20y = 71 1.6. 9x2 +24x + 72y + 16 = 0 1.7. y2 + 4x = 7 2. Encuentre la ecuación (formas canónica y general) de la parábola que satisfaga las condiciones dadas y trace su gráfica: 2.1. Foco en (0,4) (0,4) y directriz directriz de ecuación ecuación y = 4. 3 2.2. Foco en ,0 y directriz directriz de ecuación 2x 3 = 0.
2
2.3. Con vértice en el origen, abre hacia abajo y pasa por ( 4,2). 2.4. Con vértice en ( 4,3) y foco en ( 1,3). 2.5. Con foco en (4, 3) y directriz de de ecuación y 1 = 0. 2.6. Con vértice en (0,3) y directriz directriz de ecuación x + 5 = 0. 2.7. El eje es paralelo al eje X y pasa por los puntos (0,0), (8, 4) y (3,1). 2.8. Con vértice en (4, 1), eje de ecuación y + 1 = 0 y pasa por el punto punto (3,3).
4) LA HIPÉRBOLA
DEFINICIONES: Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos es constante. A este par de puntos fijos se les denominan focos de la hipérbola. La recta que pasa por los focos se denomina eje principal. Los puntos donde la hipérbola intersecta al eje principal se llaman vértices, y el punto que se encuentra a la mitad entre los vértices se denomina centro. El segmento cuyos extremos están determinados por los vértices de la hipérbola se llama eje transverso. El eje conjugado es el segmento perpendicular al eje
transverso cuyo punto medio es el centro de la hipérbola y el cuadrado de su longitud viene dada por la diferencia de los cuadrados de la distancia entre los focos y la distancia entre los vértices. Si por los extremos del eje transverso (conjugado) se trazan rectas paralelas al eje conjugado (transverso), estas cuatro rectas determinan un rectángulo (llamado rectángulo auxiliar) y las rectas que contienen las diagonales de dicho rectángulo son denominadas asíntotas de la hipérbola. Actividad 4.1: Identifique los elementos definidos anteriormente en la siguiente figura:
FORMA CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA: La hipérbola con centro en el punto (x 0,y0) y cuyo eje principal es paralelo a uno de los ejes coordenados, tiene por ecuación: (x
x 0 )2
a2
(x
x 0 )2
b2
(y
y 0 )2
b2 (y
y 0 )2
a2
1
1
Si el eje principal es paralelo al eje X (Figura 4.1) Si el eje principal es paralelo al eje Y (Figura 4.2)
donde 2a es la longitud del eje transverso y 2b es la longitud del eje conjugado. Y Y
a
(x0,y0) b
b a (x0,y0)
X X (Figura 4.1)
(Figura 4.2)
Actividad 4.2: Para cada uno de los gráficos anteriores obtenga las coordenadas de los vértices, de los focos y de los extremos del eje conjugado, suponiendo que la distancia entre los focos es 2c. Actividad 4.3: En base base a la definición de “eje conjugado de una hipérbola”, encuentre la relación que existe entre los valores a, b y c. Actividad 4.4: Deduzca la ecuación de la hipérbola (forma canónica) con centro en el origen y en el caso en que el eje principal sea paralelo al eje X.
FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA: Toda hipérbola cuyo eje principal es paralelo a uno de los ejes coordenados, puede ser descrita por una ecuación de la forma general: Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0 donde A y B tienen diferentes signos. Actividad 4.5: Obtenga la forma general de la ecuación de una hipérbola partiendo de la forma forma canónica. Actividad 4.6: No toda ecuación de la forma general tiene como gráfica una hipérbola, por tanto, determine las condiciones adicionales que deben satisfacer
las
constantes
A,
Ax 2 + By 2 + Dx + Ey + F = 0
B,
D,
E
y
F
para
que
la
ecuación
tenga como gráfica una hipérbola. ¿Puedes ¿Puedes
deducir, además, las condiciones que deben satisfacer las constantes
anteriores para obtener como gráfico: (a) el conjunto vacío; (b) un punto; (c) una recta; (d) dos rectas que se cortan? Ejercicios y Problemas:
1. Para cada una de las hipérbolas que tienen las siguientes ecuaciones, determine (a) su centro, (b) el eje principal, (c) los vértices, (d) ( d) los focos, (e) las ecuaciones de las asíntotas, (f) longitud del eje transverso, (g) longitud del eje conjugado. Trace, además, sus gráficas. 1.1. 1.2.
x2 25 y2 36
y2 9 x2 36
1
1
1.3. 9x2 4y2 = 36 1.4. 25y2 36x2 900 = 0 1.5. 9y2 4x2 + 32x 36y 64 = 0 1.6. 3x2 y2 + 30 x + 78 = 0 1.7.
x2 3y2 + 4x + 23 = 0
1.8. 2x2 y2 + 12x + 8y 6 = 0 2. Encuentre la ecuación (formas canónica y general) de la hipérbola que satisfaga las condiciones dadas y trace su gráfica: 2.1. Vértices en (2,0) y (2,0) y la longitud del eje conjugado es 6. 2.2. Focos en (7,3) y (1,3) y la longitud del eje transverso es 4. 2.3. Focos en (0,5) y (0,5) y un vértice en (0,4). 2.4. Pasa por los puntos (3, 2) y (7,6), tiene su centro en el origen y el eje transverso está sobre el eje X. 2.5. Centro en ( 5,2), un vértice en ( 1,2) y un foco en (0,2). 2.6. Un foco en (26,0) y como asíntotas las rectas 12y = 2.7. Un foco en ( 3
5x.
3 13 ,1), las asíntotas se cortan en el punto ( 3,1)
y una asíntota pasa por el punto (1,7). 2.8. Vértices en (3,1) y (1,1) y la distancia entre los focos es 8 3 . 2.9. El valor absoluto de la diferencia de las distancias desde los puntos (0,5) y (0,5) a cualquier c ualquier punto de la hipérbola es 8.
3. Encuentre la ecuación de la hipérbola cuyos focos son los vértices principales de la elipse 7x2 + 11y2 = 77 y cuyos vértices vértices están en los focos de esta elipse. ¿QUÉ ES LA EXCENTRICIDAD DE UNA SECCIÓN CÓNICA?
Una sección cónica (no degenerada) puede definirse también como un conjunto de puntos P en un plano tal que la razón de la distancia a P desde un punto fijo a la distancia a P desde una recta fija que no contenga el punto fijo, es una constante positiva e. Cuando e = 1, la cónica es una parábola. Cuando e < 1, la cónica es una elipse. Y cuando e > 1, la cónica es una hipérbola. Curiosidad: ¿Cuál será la excentricidad de una circunferencia?
En los casos de la elipse y la hipérbola, se demuestra que la excentricidad e viene dada por la razón c/a, donde 2c representa la distancia entre los
focos y 2a representa la longitud del eje mayor (en la elipse) ó la longitud del eje transverso (en la hipérbola). Actividad: En base al hecho de que e = c/a en la elipse y en la hipérbola, ¿cómo podrías demostrar que en el caso de una elipse, se cumple que e < 1, y que en el caso de una hipérbola, se tiene que e > 1. Problemas:
1. En los problemas 1 de la elipse y la hipérbola obtenga la excentricidad en cada caso. 2. Halle la ecuación de una elipse cuyos focos son los puntos (2,0), ( 2,0), y su excentricidad es igual a 2/3. 3. Halle la ecuación de una elipse cuyos vértices principales son los puntos (3,1), (5,1), y su excentricidad es igual a 3/4. 4. Halle la ecuación de una hipérbola cuyos vértices son los puntos (3,4), (3,2), y su excentricidad es igual a 2. 5. Una hipérbola tiene su centro en el origen y su eje transverso sobre el eje X. Halle su ecuación si se sabe, además, que su excentricidad es que la curva pasa por el punto (2,1).
1 2
6
y
