INTRODUCCIÓN
Las figuras cónicas, se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano. Llamamos superficie cónica de revolución a la superficie engendrada por una línea recta que gira alrededor de un eje manteniendo un punto fijo sobre dicho eje, mientras que denominamos simplemente cónica a la curva obtenida al cortar esa superficie cónica con un plano. La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones simples, tales como el lanzamiento de un proyectil, así como en situaciones más complejas como son viajes espaciales. En este trabajo se pretende dar a conocer algunas aplicaciones específicas a la ngenieria !ivil, y cuál es su importancia en dicha ingeniería.
1. ELEMENTOS
1.1. LA RECTA
La inclinación que tiene tiene una recta con el eje "x” se conoce con el nombre de pendiente de la recta, es decir, la pendiente es la tangente trigonom#trica del ángulo que una recta forma con la dirección positiva del eje de las x$ y se representa por m. y puede ser %nicamente de cuatro formas&
'endiente positiva
'endiente negativa
'endiente nula 'endiente indefinida
!omo se observa en las figuras anteriores la pendiente es muy importante ya que la utilizamos en nuestra vida cotidiana o tenemos relación con ella por ejemplo& En el techo de la casa es muy usual dejar cierta pendiente para que el agua corra y no estanque ya que por este motivo motivo empiezan las filtraciones o en la bolsa de valores tambi#n es utilizada para indicar cuanto esta al alza o a la baja, en la venta del petróleo, entre otros. (ngulos que forman dos rectas. )os rectas que se cortan r * y r + forman ángulos suplementarios, cada uno de los cuales puede ser tomado como el ángulo que forman for man dichas rectas. )efinimos el ángulo que forman r * y r + como aqu#l que se mide por la amplitud de la rotación de r * en sentido contrario al movimiento movimiento de las manecillas manecillas del reloj- en torno del punto de intersección hasta colocarse sobre sob re r +. Ecuación punto pendiente de la recta. 'endientes de una línea recta es una medida de su declive, es decir, decir, de su desvío con respecto a la horizontal.
Ecuación de una recta& Ecuación que se satisface por las coordenadas de todos los puntos de la recta. Es decir, que si un punto es de la recta sus coordenadas satisfacen la ecuación y recíprocamente, si las coordenadas de un punto satisfacen la ecuación el punto pertenece a la recta. Ecuación de la recta que pasa por un punto& La epresión corresponde a la ecuación de la recta que pasa por un punto, cuando es condicionada su pendiente. Llamamos m a una pendiente cualquiera. y - y1= m (x-x1)
/orma simplificada de la ecuación de la recta
0i una recta 12 corta el eje de las 3 en el punto '* 4, b-, se tiene& y - b = m (x – 0 )
0implificando y = mx + b
Esta epresión corresponde a la forma simplificada de la ecuación de la recta. La ecuación de una recta puede epresarse en la forma simplificada transformándola en otra equivalente donde la variable Y se encuentra despejada. Es importante hacer notar que b es la distancia que hay entre el origen y el punto de intersección de la recta con el eje de las yy’ y se llama ordenada al origen. La distancia entre el origen y la intersección es la recta con el eje xx’ se denomina abscisa al origen y se representa por . )ada la ecuación de una recta haciendo x = 0 se obtiene el valor de , y haciendo y = 0 se obtiene el valor de b. La determinación de la abscisa y la ordenada al origen permite construir la recta con mayor facilidad.
Ecuación de la recta en forma sim#trica& Es aquella que viene dada en función de los segmentos y b en magnitud y signo- que determina sobre los ejes de coordenadas. Esta ecuación, que se aplica solamente, a las rectas que cortan al los dos ejes coordenados, es de la forma& /orma 5eneral de la ecuación de la recta& La ecuación de una recta es una ecuación de primer grado con dos variables. 6ecíprocamente toda ecuación de primer grado, con dos variables, representa una recta. La ecuación general de primer grado es de la forma& Ax +!y +C = 0
1, 2, ! son constantes, donde 1 y 2 son diferentes de 4. )ividiendo ambos miembros de la ecuación entre 2 y despejando y, resulta& y78 1 8 ! 2 2 9 7 8 1 si 2 : ; 2 2 7 8 ! si ! : ; y 2 : ; 2
1.".
CIRCUN#ERENCIA
)efinición de circunferencia.
La circunferencia se define como el lugar geom#trico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se le llama radio.
Ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio r. 0ea la circunferencia de centro ;4,4- y radio r. 1plicando el m#todo de los lugares geom#tricos, tendremos&
*. 0ea el punto ', y- un punto cualquiera de la circunferencia . +. La condición que establece que ' es de la circunferencia oP r . =. >raduciendo analíticamente fórmula de la distancia entre dos puntos+ y + r + , que es la ecuación cartesiana de la circunferencia de r x y ó x centro el origen y radio r.
+
+
Ecuación una circunferencia coordenados y radio.
de centro en uno de los ejes
$%&m'% *. El centro se
localiza sobre el eje "?.
0i llamamos h a la abscisa del centro, sus coordenadas serán
C h,4 ó C h,4 .
0i P x, y es un punto cualquiera de la circunferencia. )onde
CP r
x h + y + r x h + y + r +
1..
$ARA!OLA
D',&&&/ Es el conjunto de los puntos que están a la misma distancia de una recta fija, llamada directriz, y de un punto fijo del plano que no pertenece a la recta y se llama foco
5eom#tricamente se describe como la curva que resulta al interceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. Elementos fundamentales de la parábola. Eje de la parábola& Es la recta que pasa por el foco y por el punto de la parábola llamado v#rtice. La posición del eje determina la posición de la parábola$ hay parábolas horizontales, verticales o inclinadas, seg%n que el eje sea horizontal, vertical o inclinado. La parábola siempre es sim#trica con respecto a su propio eje. EE@)irectriz& 6ecta perpendicular al eje de la parábola y está a la misma distancia del v#rtice que el v#rtice del foco. ))@Lado recto& 6ecta que une dos puntos de la parábola, que pasa por el foco y es perpendicular al eje de la parábola. L6 6adio focal& )istancia que hay entre el foco de una parábola y cualquier punto de la misma. A#rtice& 'unto medio del segmento 1/ !uerda& 0egmento de dos puntos cualesquiera de la parábola !!@!uerda focal& !uerda que pasa por el foco 22@Ecuación de una parábola. 1hora deducimos la ecuación de una parábola con foco / 4, p- y la directriz y 7 8 p, donde p B 4. Entonces vemos que el eje de la parábola está a lo largo del eje y, como lo muestra la figura. El origen es necesariamente el v#rtice, puesto que está situado en al eje a p unidades tanto del foco como de la directriz. 0i el punto ' , y - es un punto sobre la parábola, entonces la distancia de ' a la directriz es& d* 7 y 8 8 p - 7 y C p
ecuación *
, x 4- +
, y p - +
ecuación +
gualando la ecuación * y la ecuación +, tenemos que& , x 4-
+
, y p-
+
y p
Elevando al cuadrado ambos lados y simplificando, obtenemos& x +
, y p- +
x +
y +
x
+
, y p- +
+ py p +
y +
+ py p +
D py
Esta ecuación se refiere a la ecuación en forma estándar de la parábola con foco 4, p- y directriz y 7 8 p para p B 4
Ecuación de la parábola
x +
D py
/ormas estándar parábolas v#rtice en el .
para con origen
Ecuación cartesiana
A#rtice
+ 7
4,4-
D py
Eje
/oco
7 4 4 , p -
Lado 6ecto
)irectriz
Dp
378p
La parábola se abre hacia Facia arriba si pB4
+
3
+
Facia abajo si pG4
7 8 D py 7 D p
4,4-
3+ 7 8 D p
1..
374
p,4-
Dp
78p
Facia la derecha si pB4 Facia la izquierda si pG4
ELI$SE
D',&&&. Es el lugar geom#trico de todos los puntos del plano, tales que la suma de las distancias de cada uno de ellos a dos puntos fijos /* y /+- llamados focos, es constante.
Si M es un punto móvil de la curva, F y F’ los focos, se cumple la condición: MF
+
MF’
=
constante Es decir, que si el punto M se mueve a lo laro de toda la curva la suma de estos sementos de rectas es el mismo.
En la figura 11H 3 22H son los ejes de simetría de la elipse y O su centro de simetría
AA’ es
el e!e mayor, di"metro mayor o e!e focal y se representa por 2a. BB’ es
el e!e menor, di"metro menor o e!e no focal y se representa por 2b.
FF’
es la distancia focal y se representa por 2c.
MF y MF’ se llaman radios vectores o simplemente vectores.
Ecuación de la elipse con centro en el Ecuación de la elipse con centro en el origen y eje focal coincidente con el eje origen y eje focal coincidente con el eje coordenado H. coordenado yyH.
)onde& / representa el valor num#rico del eje mayor abscisas- positivas y negativas. b/ representa la mitad de la longitud del eje menor ordenadas-. x y y/ ejes coordenados del plano cartesiano.
Ecuación de la elipse con centro no coincidente con el origen y eje focal paralelo al eje H.
# ) ' ($ * a*
# y ' ($ * # a*
+
+
#
y'& %*
* )'& $
%*
$*
=1
=1
!omo se observa en la figura cuando el centro de la elipse se encuentra fuera del origen del plano cartesiano sus coordenadas son h,I-. Ecuación de la elipse con centro J; coincidente con el origen y eje focal paralelo al eje H.
Elipse cuyo centro tiene por coordenadas h, I- y eje focal paralelo al eje coordenado yyH. Ecuación general de la elipse. 'ara obtener la ecuación general de la elipse desarrollamos la ecuación ordinaria, por ejemplo si la ecuación de la elipse es& y+ LD
.+ +K
*
o sea& +K y+ C D + 7 D-+KD+ C +K y+ 7 *MN+ * + C M y+ 7 DDK * + C M y+ O DDK 7 4 6epresentación gráfica de la ecuación. D+ C +K y+ 7 *MN+
y 7 *MN+ O D +-PQ+K
/amilia de Elipses angentes y 0ecantes a la elipse )ado ', un punto en la elipse,
y* )* + =1 a* %*
la bisectriz del ángulo formado por la
recta /' y la recta /H ' que, con ecepción de ', contiene solo puntos fuera de la elipse, es la recta tangente a la elipse en el punto '
1..
2I$ER!OLE
La hip#rbola es el lugar geom#trico de todos los puntos que tienen una característica en com%n y esta es, que la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
S i M es un punto cualquiera de la curva y F y F’ los focos, la siuiente condición se cumple.
Es el e!e focal, e!e transverso o e!e real y se representa por 2a. Es el e!e no focal, e!e -mainario o e!e con!uado y se representa por 2b. Es la distancia focal y se representa por 2c. y ’ est"n situados de modo que . y ’ son los v/rtices de la (ip/r%ola.
Lado recto de la hip#rbola 'ara un punto móvil 9 situado en cualquiera de las ramas de la hip#rbola se cumple siempre la condición& 9/ R MF, ,
" ó )istancia focal
6elación entre los ejes y la distancia focal. En una hip#rbola cualquiera como la que se muestra en la siguiente gráfica se tiene por construcción
12 F
c
Entonces en el S ;12, que es un rectángulo en O se tiene& c
2
a
2
b
2
/órmula que permite calcular la longitud de una de los ejes o la distancia focal, cuando se conocen los otros dos elementos. Ejemplo. >razar la hip#rbola seg%n los datos& si a 7 , b 7 K 0ustituyendo el valor de a y b en &
c
2
a
2
b
2
>enemos& c
c
c
!onstruyendo la gráfica tenemos&
Ecuación de la los ejes coordenados.
0*
K+
=L LD
*44
c 7 *4
hip#rbola cuyos ejes coinciden con
Ecuación ordinaria de la hip#rbola cuyo eje real coincide con H y eje imaginario coincide con 33H !uando el centro de la hip#rbola coincide con el origen del plano cartesiano y el eje real de la hip#rbola con el eje H como se ve en la figura.
2a ecuación de la (ip/r%ola es: x + a+
y + b+
*
Ecuación ordinaria de la hip#rbola cuyo eje real coincide con yyH y eje imaginario coincide con H
3uando el centro de la coincide con el orien cartesiano y el e!e real de la con el e!e 44’ como se fiura. 2a
ecuación
del
plano
(ip/r%ola ve en la
de la (ip/r%ola es : +
Eje focal paralelo al eje H del plano cartesiano.
(ip/r%ola
+
0i 9,y- es un punto cualquiera de la hip#rbola y !h,I- el centro de simetría, como se ve en la figura.
2a ecuación ordinaria de la par"%ola es:
.
h
+
a+
y
I
+
b +
*
Eje focal paralelo al eje 33H del plano cartesiano.
2a ecuación ordinaria de la (ip/r%ola es:
y
a
I
+
+
.
b
h +
+
*
0i el centro de la hip#rbola coincide con el eje H, como I74 la ecuación ordinaria se reduce a&
x h + a
+
y b
+
+
*
0i el centro de la hip#rbola coincide con el eje 33H, como h74 la ecuación ordinaria de la hip#rbola se reduce a&
.+ a+
y I + b+
*
Ecuación general de la hip#rbola. 'ara obtener la ecuación general de una hip#rbola desarrollamos la ecuación ordinaria, por ejemplo si la ecuación de una hip#rbola es de la forma& )* 06
y*
'
50
= 1
6ealizando la fracción del miembro izquierdo de la igualdad, resolviendo los productos notables, e igualando a cero tenemos&
1* # y + 5$
*
' 6 # ) ' *$
*
67
#
*
#
= 1
*
1* y + 0y + : ' 6 ) ' 6) + 6 = 67 *
*
1*y + 9*y + 187 ' 6) + 10) ' 10 ' 67 = 8
12 y2 - 4x2 + 72y + 16x + 44 = 0
". A$LICACIÓN DE LA 3EOMETR4A ANAL4TICA EN LA IN3ENIER4A CI5IL
La aplicación de geometría analítica, y más específicamente cónicas es muy amplia dentro de la ingeniería en general. Los conceptos y las ecuaciones de dichas figuras geom#tricas
permiten al ingeniero civil resolver los problemas y situaciones que se presenten en el ámbito laboral, algunos ejemplos de dicha aplicación de ecuaciones cónicas dentro de la ingeniería civil son& ".1. C*6%7& 8' $7'6'/
El t#rmino puente se utiliza para describir a las estructural viales, con trazado por encima de la superficie, que permiten vencer obstáculos naturales como ríos, quebradas, etc. )entro del diseTo de puentes las cónicas van a aplicadas específicamente al diseTo de puentes colgantes.
'uente 8 'ara los peatones y P o tráfico de automóviles. Las torres son los soportes que se apoyan en los cimientos. Los cables largos de alambre son colocados sobre las torres y se fija a los anclajes en tierra. Las 'erchas, mantiene en su sitio al cable. !ualquier puente sólo puede mantenerse si puede soportar su propio peso llamado el peso muerto- y el peso de todo el tráfico que le atraviesa llamada carga viva-. La carga crea dos fuerzas principales que act%an sobre las partes de un puente& !;9'6E0UJ 8 La fuerza de compresión empuja hacia abajo la cubierta del puente, porque es un camino suspendido, los cables transfieren la compresión a las torres, que disipa la compresión directamente en la tierra donde están firmemente arraigadas. >EJ0UJ 8 Los cables de soporte, que corren entre dos anclajes, son los afortunados destinatarios de las fuerzas de tensión. Los cables etienden el peso del puente y su tráfico a medida que corren de etremo a etremo. Los anclajes están tambi#n bajo tensión, pero ya que, al igual que las torres, están ancladas firmemente en la tierra, la tensión que eperimentan se disipa.
Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica forman la envolvente de una parábola-. 0e creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas %nicamente por sus etremos tambi#n formaban parábolas hoy sabemos que la curva que describen es un coseno hiperbólico-. Los puentes colgantes son los %nicos puentes que pueden atravesar largas distancias. Esto es debido a la forma del puente de suspensión que es en realidad una de las estructuras más estables que hay. El cable del puente es inherentemente estable frente a cualquier perturbación si es lo suficientemente grueso como para resistir cualquier tensión.
".". C*6%7& 8' I6'%'&*' 3&%6*%& * 39*%&'6/
0e entiende por intersección giratoria o glorieta, o tambi#n conocida como rotonda u ovalo$ a toda intersección que se basa en la circulación de todos los vehículos por una calzada anular, en la que confluyen las diferentes vías, que discurre en torno a un islote central y que funciona con prioridad a los vehículos que circulan por la calzada anular. La aplicación de cónicas, más específicamente de elipses o circunferencias se da en el diseTo del islote central& El trazado de la isla central de una rotonda está subordinado a la velocidad de diseTo de la misma, el n%mero y situación de los accesos y a las distancias necesarias para los tramos de entrecruzamiento. Fay posibilidad de muchas posiciones para cada ramal de entrada y salida. !ada combinación de ellas sugiere una forma diferente de la isla central. La isla central puede ser totalmente circular, forma que da el área y el perímetro mínimo, y con la cual todos los segmentos de la rotonda pueden trazarse para la misma velocidad de diseTo. 0in embargo, esta forma, o la de un polígono regular, sólo es apropiada cuando los accesos son equivalentes en el perímetro y presentan intensidades de tránsito análogas. En la mayor parte de los casos no se dan estas circunstancias y entonces la forma de la isla debe
acomodarse a las necesidades de la planta y de los distintos tramos de entrecruzamiento de la rotonda, lo que frecuentemente eige diseTos alargados o islas en forma de óvalo.
0e recomiendan que los islotes centrales de forma circular o elipsoidal, sean de ecentricidad entre =PD y *, de diámetros comprendidos entre los *V y los =4 metros. En caso de disponerse cordón en torno a la calzada anular, se recomienda que sean de tipo montable y se sit%en, al menos, a un metro de la línea de delimitación de dicha calzada. 'ara mini glorietas, se recomiendan diámetros del islote central en torno a los cuatro metros. El islote debe construirse abombado, con materiales diferentes a los del resto de la calzada y no debe llevar cordón, seTales, ni ning%n tipo de obstáculo físico "..
D&':* 8' T;'9' 5&9'/
La construcción de t%neles esta aplicada a diversos campos de la ingeniería, tales como son ingeniería hidráulica, civil, minera, etc.
ambi#n hay t%neles diseTados para servicios de telecomunicaciones. ncluso eisten t%neles para el paso de ciertas especies de animales. 1lgunos conectan zonas en conflicto o tienen ca rácter estrat#gico, ya que sirven como refugio. En las grandes ciudades el transporte se realiza mediante una red de t%neles donde se mueve el metro. La posibilidad de soterrar ahorra espacio e impide el cruce al mismo nivel del tren con los peatones o los vehículos. Las parábolas nos permiten determinar el ancho y alto de un t%nel, y las dimensiones máimas de un vehículo para su transpirabilidad por dicha vía.
>%neles carreteros 0e diseTan para favorecer el paso fluyente, continuo, y seguro de vehículos motorizados, a trav#s de los obstáculos topográficos que impiden el trazado de una carretera cruzando montaTas horadando macizos rocosos, con objeto de lograr un trazado cómodo y funcional. 0u diseTo debe ser básicamente seguro, funcional y hasta donde sea posible est#tico.
CONCLUSIONES
'or consiguiente queda demostrado que la utilización de conceptos de geometría analítica, y en especial de cónicas como son& la circunferencia, parábola, elipse, hip#rbole y sus respectivos conceptos y ecuaciones$ tienen una amplia aplicación dentro de la ingeniería civil, siendo de gran importancia para el futuro profesional el obtener conocimiento básico sobre dicho tema para poder solucionar los problemas que se presenten en obra mediante este conocimiento en ecuaciones estandarizadas para cada aplicación de cónicas.
