DEDICATORIA
A nuestros padres, por estar con nosotros, por enseñarnos a crecer crec er y a que si caemos debemos levantarnos, por apoyarnos y guiarnos, por ser las bases que me nos ayudaron a llegar hasta aqu!
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A"RADECI#IE$TO
%ueremos agradecer a nuestros maestros ya que ellos nos enseñaron a valorar los estudios y a superarnos cada da, tambi&n agradecemos a nuestros padres porque ellos estuvieron en los das m's di(ciles de nuestra vida como estudiantes! ) agradecemos a Dios por darnos la salud! Estamos Estamos seguros que nuestras nuestras metas planteadas dar'n (ruto en el (uturo (uturo y por ende debemos es(or*arnos cada da para ser me+ores en todo lugar!
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RESUMEN
En el presente traba+o se estar' dando a conocer los siguientes temas como lo son la historia historia de las secciones cnicas, cnicas, la super(icie super(icie cnica, las conicas conicas desde el punto de vista de la geometra analtica, la circun(erencia y su de(inicin, las ecuaciones reducida y general de la circun(erencia, circun(erencia, ecuali*acin ecuali*acin cannica de la circun(erencia! -e estar' tratando de la elipse, hip&rbolas y par'bola y de su de(inicin, elementos y propiedades que la componen, e.centridad, par'metros, tra*ado, estudio analtico y e+emplos reales, respectivamente!
Abstract In the present /or0 the (ollo/ing topics /ill be announced as the history o( the conic sections, the conic sur(ace, the conics (rom the point o( vie/ o( the analytical geometry the circum(erence and its di(inicion, the reduced and general equations o( the Circum(erence, canonical equali*ation o( the circum(erence! It /ill be dealing /ith the ellipse, hyperbolas and parabola and its de(inition, elements and properties that compose it, eccentricity, parameters, layout, analytical study and real e.amples, respectively! res pectively!
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INDICE Contenido
Pg.
DEDICATORIA111!11111111111111111111111112 A"RADECI#IE$TO111111!!11111111111111111!!!!!!!!!3 RE-4#E$111111111111111111111111111111!5 6ndice11111111111111111111111111111111!!789 I! Introduccin11111111111111111111111111: II! Ob+etivo "eneral1111111111111111111111!!1!; III! Aspectos
-uper(icie Cnica11111111111111111111>7 3!2 3! ?as Cnicas Desde El @unto De ista De ?a "eometra Analtica1111111111111111111111!>: I! Circun(erencia111111111111111111111111!>; 5!> De(inicin11111111111111111111111!>; 5!2 Ecuaciones reducida y general de la circun(erencia111!!!!!!!>; 5!3 ecuacin! Cannica de la circun(erencia1!11111!!!1!!1!>= 5!5 circun(erencia en la mBsica111111111111111!!2 5!7 la circun(erencia en las armas111111111111!112 5!9 la circun(erencia en el transporte1111111111111!2 5!: la circun(erencia en los deportes111111111111!12> 5!; la circun(erencia, tambi&n en la naturale*a1111111!!!!!!!2> ! Elipse111111111111111111111111111!22 7!> De(inicin11111111111111111111111!22 7!2 Elementos de la elipse11111111111111111!!22 7!3 @ropiedades de la elipse1111111111111111!!23 7!5 e.centricidad de la elipse1111111111111111!23 Página 5
7!7 @ar'metros1111111111111111111111!23 7!9 Tra*ado 11111111111111111111111!!27 7!: Estudio Analtico1111111111111111111!!!!27 7!; Ecuacin Reducida de la elipse1111111111111!!27 7!= E+emplos Reales111111111111111111113 ! De(inicin1111111111111111111111132 7!2 Elementos de la hip&rbola!!111111111111111!32 7!3 @ropiedades de la hip&rbola!!11111111111111!!33 7!5 e.centricidad de la hip&rbola1!!1111111111111!33
7!7 @ar'metros1111111111111111111111!35 7!9 Tra*ado 11111111111111111111111!!39 7!: Estudio Analtico1111111111111111111!!!!3:
7!; E+emplos Reales111111111111111111113; ! @ARAO?A1111111111111111111111111111!5 7!> De(inicin111111111111111111111115 7!2 Elementos de la elipse11111111111111111!5 7!3 @arametro111111111!1111111111111!5
7!5 Tra*ado 11111111111111111111111!52 Página 6
7!7 Estudio Analtico1111111111111111111!!!55
7!9 E+emplos Reales111111111111111111!!!157 I! Conclusin11111111111111111111111111111! II! ibliogra(a11111111111111111111111111111 III! Ane.os111111111111111111111111111111!
I.
INTRODUCCIÓN
El presente traba+o da a conocer el tema de las cnicas circun(erencia, elipse, par'bola e hip&rbola, el cual busca dar a conocer los elementos que cada una contiene, las (ormas de gra(icarlo, la historia de las secciones Cnicas, propiedades, de(inicin, e.centricidad, tra*ado, estudio analtico, e+emplo realesF para as poder dar un aporte a los conocimientos tericos de los di(erentes lectores o estudiantes para as poder sobresalir en su educacin!
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II.
OBJETIVO GENERAL
Estudiar algunas aplicaciones de la par'bola, elipse e hip&rbola y a partir de procesos de modelacin conceptuali*ar las curvas como lugares geom&tricos y obtener la representacin analtica!
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III.
ASPECTOS HISTÓRICOS SOBRE LAS CÓNICAS
Al hablar sobre las cnicas nos re(erirnos a las cnicas de Apolonio para e.altar el traba+o deG Apolonio de @erga H2928>= A!C uno de los tres grandes matem'ticos del helenismoG +unto con Euclides y Arqumedes, reconocido como el gemetra de la AntigJedad! Antes de Apolonio las curvas matem'ticas cnicas (ueron estudiadas por #enecmo matem'tico griego que vivi sobre el 37 A!C, al tratar de solucionar uno de los tres grandes problemas cl'sicos irresolubles de la geometra griega ?a duplicacin del cuboHconstruir un cubo de doble volumen que otro dado! Al respecto Carl oyer K3L comenta que durante un siglo y medio apro.imadamente estas curvas no tuvieron otro nombre espec(ico m's que descripciones triviales de la manera como haban sido descubiertas secciones de un cono agudo Hu o.itoma, secciones de un cono rect'ngulo Hu ortoma y secciones de un cono Página 9
obtuso Ho amblitoma! ?as secciones en aquellos tiempos se consideraban perpendiculares a la generatri*! Apolonio en su obra maestra ?as cnicas es quien acuña los nombres que se utili*an hoy da, Al respecto "on*'le* 4rbane+a K7L comenta que los nombres de elipse, par'bola e hip&rbola, son procedentes del lengua+e pitagrico de la Aplicacin de las Mreas! En el cambio de denominacin de las cnicas por Apolonio subyace un cambio conceptual, toda ve* que una ve* construidas a trav&s del cono, Apolonio mane+a las cnicas mediante relaciones de 'reas y longitudes, que e.presan en cada caso la propiedad caracterstica de de(inicin de la curva de la que se obtienen sus propiedades intrnsecas! Apolonio (ue capa* de vincular los aspectos estereom&tricos y planos de las cnicas, al mostrar que las secciones de los conos tenan importantes propiedades como lugares planos, traducibles en b'sicas e.presiones geom&tricas Nequivalentes a nuestras ecuacionesN, que permitan deducir, a su ve*, otras innumerables propiedades de las cnicasG! Apolonio organi*a su obra en ocho libros de los que conservamos siete gracias a los traba+os de Thabitibn%urra Hhacia ;79 d!C! y de Edmond 9798>:52! Al respecto #iguel de "u*m'n O*ami* K:L en su seccin de historia de las matem'ticas denominada Apolonio en su apartado ?as Cnicas de Apolonio hace una descripcin de la obra indicando que hasta el I libro organi*a lo que e.ista y del en adelante describe sus halla*gos! -u ndice, con palabras nuestras, se puede proponer m's o menos as I!
#odos de obtencin y propiedades (undamentales de las cnicas!
II!
Di'metros, e+es y asntotas!
III!
Teoremas notables y nuevos! @ropiedades de los (ocos!
I!
$Bmero de puntos de interseccin de cnicas!
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!
-egmentos de m'.ima y mnima distancia a las cnicas! $ormal, evoluta, centro de curvatura!
I!
Igualdad y seme+an*a de las secciones cnicas! @roblema inverso dada la cnica, hallar el cono!
II!
Relaciones m&tricas sobre di'metros!
III!
H-e desconoce su contenido! Tal ve* problemas sobre di'metros con+ugados!
El libro I comien*a con la generacin del cono circular oblicuo de dos ho+as que, seccionado por un plano, dar' lugar a los di(erentes tipos de cnicas! Introduce el par'metro lado recto establece las propiedades de ordenada y abscisa de las cnicas, considera el centro, e+es, di'metros con+ugados, tangentes! El libro II estudia (undamentalmente las propiedades de las asntotas de la hip&rbola! El libro III se dedica primero a estudiar las relaciones de tri'ngulos y cuadril'teros determinados por tangentes y di'metros con+ugados! Obtiene la relacin armnica sobre los cuatro puntos determinados en una secante a la cnica que pasa por un punto, su polar y los dos de interseccin de la secante con la cnica! En la proposicin 5> se establece cmo tres tangentes a la par'bola se cortan en la misma ra*n y as resulta la par'bola como envolvente de las rectas con esta propiedad! En la proposicin 53 aparece la hip&rbola como lugar de puntos tales que .y constante, siendo . e y abscisa y ordenada respecto a los e+es constituidos por las asntotas! Desde la proposicin 57 a la 72 aparecen propiedades interesantes sobre los (ocos! ?a proposicin 5= a(irma esencialmente que la podaria H-e llama podaria de la curva C con respecto al punto @ al lugar geom&trico de las Página 11
proyecciones ortogonales de @ sobre las tangentes de la curva C del (oco es el crculo de di'metro AAP en la elipse e hip&rbola! ?a 72 contiene lo que hoy solemos tomar a veces como de(inicin de elipse H@Q@QP2a! ?os (ocos, en Apolonio, son τα εκ εηs παραβοληs γευηθευτα οηµεια es decir, Slos puntos que surgen de la aplicacinS de 'reas! El libro I es de bastante menos valor! En &l estudia el nBmero de puntos de interseccin de las cnicas! El libro , que consta de :: proposiciones es, con gran di(erencia, el m's sorprendente de todos! -e puede decir que en &l Apolonio, 2 siglos antes que 9:3 introduce ya, a su modo, con instrumentos puramente sint&ticos, nociones tales como normal a una curva, evoluta, centro de curvatura, etc! y logrando obtener estos elementos para las cnicas de la manera m's rigurosa! En el libro I, dedicado (undamentalmente a la igualdad y seme+an*a de cnicas! En el libro II, en su mayor parte, contienen numerosas relaciones m&tricas entre di'metros con+ugados, 'reas, etc!!! El lengua+e de Apolonio es, por supuesto, el lengua+e de la geometra sint&tica, utili*ando a la per(eccin los vie+os procedimientos pitagricos de la aplicacin de 'reas! ?os resultados sin embargo son ('cilmente traducibles al lengua+e de la geometra analtica dado que su m&todo de coordenadas guarda una gran similitud con los de la geometra analtica! -e observa que #enecmo traba+a las secciones utili*ando un cono recto mientras que Apolonio demostr que el cono no necesita ser recto y consider, asimismo, el cono con dos ho+as por lo cual avan*a al reconocer las dos ramas de la hip&rbola, como se ilustra en la (igura 28> Ha y Hb Página 12
Secciones cnic!s seg"n Mecne#o $ A%o&onio
Apolonio logra determinar la mayora de las propiedades que se conocen y con las cuales se de(inen hoy las cnicas como lugares geom&tricos, e+es, centros, di'metros, asntotas, (ocos, tangentes y normales entre otros! -u obra (ue el re(erente sobre las cnicas durante varios siglos hasta que en el siglo II los matem'ticos Qermat y Descartes con el concurso del Arte Analtica de ieta Hdispone del instrumento algortmico del Mlgebra simblica que aplicaba a problemas geom&tricos, pero no lleg a utili*ar coordenadas, es un estudio intermedio esencial en el camino que arranca del 'lgebra "eom&trica de los griegos y con(luye en la geometra analtica de Descartes, establecen que una ecuacin arbitraria de dos cantidades indeterminadas determina, con respecto a un sistema dado de coordenadas, una curva! Al respecto "on*'le* 4rbane+a K9L en Coordenadas en ?as Cnicas de Apolonio escribe que en Ula "eometra griega, las coordenadas, variables y ecuaciones no eran elementos de partida, sino conceptos subsidiarios derivados de situaciones geom&tricas concretas de curvas que determinan las ecuaciones sin que se d& la situacin inversa, es decir, que las ecuaciones determinen las curvas, ya que &stas siempre se producan mediante una construccin estereom&trica como secciones de un slido Ntal es el caso de las propias cnicas de ApolonioG! ) en ?a proyeccin histrica de la "eometra Analtica cartesiana U?a "eometra Analtica de Descartes permite utili*ar la e.presin algebraica de la ecuacin de una curva para encontrar sus elementos geom&tricos m's notables Ndi'metros, e+es, centros, etc1! Es decir, la ecuacin de la curva es un elemento esencial para esclarecer las propiedades y encontrar Página 13
los elementos relevantes de la curvaG! ?o anterior permite dar cuenta del cambio histrico que se da en cuanto al estudio de las cnicas se pasa de la geometra griega H'lgebra geom&trica o sint&tica a la geometra analtica H'lgebra simblica! Años m's tarde, el matem'tico neerland&s Vohan de Witt H>92=8>9:2 escribi SElementa Curvarum ?inearumS donde demostr que toda ecuacin de segundo grado describe una cnica! ) luego ?eonhard @aul Euler H>::8 >:;3 matem'tico sui*o segBn comenta "on*'le* 4rbane+a K:L en su artculo ?A "EO#ETR6A A$A?6TICA DE ?A 3> I$TROD4CTIO I$ A$A?)-I$ I$QI$ITOR4# DE E4?ER UEuler da un gran paso de gigante en la sistemati*acin de la "eometra Analtica plana y tridimensional! uena parte de lo que hoy se enseña en los cursos de "eometra Analtica se debe pr'cticamente a Euler, en particular, la teora de secciones cnicas y las super(icies cuadr'ticas, desde el punto de vista uni(icado proporcionado por la ecuacin general de segundo grado con seis t&rminos para las cnicas y con die* t&rminos para las cu'dricas! -obre las cnicas reali*a un tratamiento analtico general libre de re(erencias al cono e incluso a diagramasF re(iere la cnica a sus e+es principales, reali*a la clasi(icacin de cnicas, encuentra los puntos, lneas y ra*ones notables y demuestra con sorprendente pericia numerosas propiedades de la geometra de estas curvas! -i en el caso de las cnicas, Euler ampla y per(ecciona los traba+os anteriores al normali*ar de (orma de(initiva y program'tica su estudio, para las cu'dricas es un aut&ntico pionero en la investigacin de los elementos geom&tricos y propiedades de estas super(icies! ) todo ello con una habilidad magistral en el mane+o del cambio de coordenadas!
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IV.
SUPERFICIE CONICA
Curvas cnicas se denominan curvas cnicas a las secciones producidas sobre la super(icie cnica por un plano que no pasa por el v&rtice! ?a super(icie cnica se genera al girar una recta Ugeneratri*G alrededor de otra (i+a llamada e+e! Estas dos rectas se cortan en el v&rtice y el 'ngulo que (orman no vara! -e generan as dos ramas sim&tricas respecto al v&rtice ! Cuando el plano corta todas las generatrices de la super(icie, la curva es una elipse! Página 15
Cuando el plano es paralelo a una generatri* de la super(icie, la curva es una par'bola!
Cuando el plano es paralelo a dos generatrices de la super(icie, la curva es una hip&rbola!
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-i te (i+as en la (igura siguiente, a las cnicas podemos clasi(icarlas teniendo en cuenta el 'ngulo que (orman el plano con el e+e del cono
-i el plano es perpendicular al e+e, tenemos una seccin circular cuyo contorno es la circun(erencia! En resumen
V.
LAS CÓNICAS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Queron los griegos quienes UinventaronG la geometra! ?a palabra geometra signi(ica medir la tierra! ?a accin de medir la tierra la tenan que repetir cada ve* que el ro $ilo se inundaba y borraba las señales y lmites anteriores!
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De esta pr'ctica surgieron (rmulas de distintas (iguras geom&tricas para el c'lculo de super(icies y volBmenes! Tiene que transcurrir mucho tiempo, hasta el siglo II en que Ren& Descartes aborda la resolucin de problemas geom&tricos haciendo aplicacin del 'lgebra con la ayuda especial de las coordenadas cartesianas! Este es el comien*o del estudio de la geometra en el que para la resolucin de los problemas geom&tricos no slo se necesitan regla y comp's sino que e.amin'ndolos, anali*'ndolos, reducirlos a e.presiones y ecuaciones algebraicas para su inmediata resolucin! A esta "eometra la conocemos como "eometra Analtica! A continuacin pasamos a estudiar separadamente cada una de las super(icies planas que hemos obtenido por la interseccin de planos y conos!
VI. Circunfrncia De'inicin. ?a circun(erencia es un Sdibu+oS que todos conocemos! Es un tra*o de una lnea curva cerrada que Sda una vuelta per(ectaS! ?a de(inicin S(ormalS de la Circun(erencia es la siguiente S4na Circun(erencia es el con+unto de todos los puntos del plano que equidistan de otro punto del plano llamado CentroS Página 18
Esto signi(ica que cada punto de la circun(erencia tiene la misma distancia al centro! Esta distancia se le llama radio de la circun(erencia! De esta manera, cuando tra*as una circun(erencia con un comp's, la abertura de este comp's es precisamente lo que mide el radio!
Ec(!ciones )ed(cid! $ gene)!& de &! ci)c(n'e)enci!* Cualquier punto de la circun(erencia @H.,y dista al centro de la misma, la distancia r! Observa que el centro de la circun(erencia coincide con el origen de coordenadas!
@odemos escribir dicha distancia ecuacin reducida de la circun(erencia!
Ec(!cin c!nnic! de &! ci)c(n'e)enci! -upongamos que Ọ tiene coordenadas H h,k
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a la que denominamos
?a distancia entre los puntos @H., y de la circun(erencia y el punto CHh, h, la cual denotamos como UrG, est' dada por r √ ( x −h ) +( y −k ) , entonces, tenemos 2
( x −h ) +( y −k ) =r 2
2
2
circun(erencia! @ara
2
Ecuacion cannica de una r
2
X !
L! Ci)c(n'e)enci! en &! M"sic! -e utili*an t&cnicas circun(erenciales para muchas cosas! @or e+emploF ?os Cds, pie*as ordinarias en la mBsica actual, son una placa circular con un borde que termina siendo una circun(erencia! Al centro se observa un ori(icio redondo que sirve para tomar el Cd y para que la radio lo reprodu*ca! Estas pie*as de la electrnica requieren de mucha precisin para su correcto (uncionamiento! @or lo tanto para su (abricacin se usan las t&cnicas del radio y el di'metro!
L! Ci)c(n'e)enci! en &!s A)#!s Página 20
Como ya hemos dicho, el di'metro es un segmento que une dos puntos de la circun(erencia pasando por el centro, este di'metro es lo que se usa para medir el tamaño de agu+eros como lo es en las armas! -e habla normalmente de pistolas calibre de 9!37 mm, :!97 mm, = mm, etc! Esto no es solo un UnombreG, sino que esto se re(iere al tamaño del agu+ero Hcañn por donde salen los proyectiles Hbalas del arma, usando el tamaño del di'metro y usando una medida milim&trica para lograrlo!
L! Ci)c(n'e)enci! en e& T)!ns%o)te En el transporte tambi&n podemos apreciar la presencia de la Circun(erencia, de hecho, donde se puede notar y e+empli(icar me+or es en la icicleta, un con+unto de tubos met'licos con dos ruedas que aplican la geometra per(ectamente ?as ruedas est'n hechas de un UarcoG ! ?a me+or parte de esto es que la rueda se a(irma desde el centro y desde este salen un montn de alambres delgados llamados UrayosG y estos son radios que mantienen la (orma circun(erencial de la rueda per(ectamente! Otra cosa es que el tamaño de la rueda es medido en Aro 25, 29, etc! ) esto se hace usando el di'metro!
L! Ci)c(n'e)enci! en &os De%o)tes %ui*'s pare*ca que en la Bnica parte en donde podra aplicarse la Circun(erencia en los deportes sera en los balones1 @ero no, si solo nos detenemos a pensar un poco nos daremos cuenta que muchas de las canchas o lugares en donde se practican deportes tienen marcas geom&tricas y Circun(erencias que determinan situaciones reglamentarias, etc! ?os campos de Qutbol, las canchas de asquetbol, los campos de Qutbol Americano y en muchas m's!
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L! Ci)c(n'e)enci!+ t!#,i-n %)esente en &! N!t()!&e! ?a circun(erencia tambi&n est' presente en la naturale*a, aunque no sea totalmente precisa! ?os 'rboles, tipos de vida antiqusimos, crecen con el pasar de los años! @rimero crecen pequeñas rami(icaciones desde el suelo! ?uego crecen m's y con esto va aumentando el grosor de su Tronco! ?a circun(erencia se aplica entonces debido a que las personas relacionadas con la $aturale*a como los Ingenieros Qorestales, saben per(ectamente que al cortar un 'rbol, se pueden apreciar muchos UanillosG que est'n en el tronco! ) con el UtamañoG de cada anillo, se puede determinar la edad que tiene cierto 'rbol! ?o que nuevamente se usa, entonces, es el di'metro de cada anillo!
ELIPSE
De'inicin* -e llama elipse a la curva cerrada y plana, que determina el lugar geom&trico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos (i+os Q y Q AB
P llamados (ocos, es constante e igual al e+e mayor
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!
E&e#entos de e&i%se* Q y QP son puntos (i+os, los (ocos de la elipse! ?a recta que contiene a los (ocos se llama e+e (ocal A, AP, AP, y P son los v&rtices de la elipse! El segmento AAP es el e+e mayor y el segmento P es el e+e menor! El unto de interseccin de los dos e+es, O, es el centro de la elipse! -ituando la elipse en unos e+es cartesianos, con el e+e (ocal sobre el e+e y su centro sobre el origen de coordenadas, se cumple que d HQ, QP 2c d HA, AP 2 a d H, P 2b
P)o%ied!des de &! e&i%se* ?a suma de las distancias desde un punto de la elipse a los (ocos es 2 a! dHA,QdHA,QPdHA, AP2 a Como A es un punto de la elipse, se cumple que dHA, QdHA, QP0 @or tanto tenemos que 02 a ?a distancia desde los v&rtices v&rtices y a cada uno de los (ocos es a! Página 23
En una elipse se cumple sierre que
a
2
= b2 + c2
E/cent)icid!d de &! e&i%se* ?a e.centricidad de una elipse es un valor que est' comprendido entre o y > c
y se calcula mediante el cociente
a
!
@ara el mismo valor de a, cuanto mayor sea la separacin entre los (ocos, m's se acerca el valor de c al valor de a, y por tanto, la e.centricidad se acerca a >! En estos casos la elipse muestra un aspecto alargado! @or el contrario, cuanto m's pr.imos est'n los (ocos la e.centricidad se acerca m's a y la elipse se parecer' m's a una circun(erencia!
P!)0#et)os* ?a elipse tiene dos e+es de simetra perpendiculares entre s, que se cortan en el centro de la curva HO! ?os (ocos son los puntos de tangencia entre el plano que genera la elipse y las es(eras inscritas en la super(icie cnica! Est'n situados sobre el e+e mayor distantes UaG de los e.tremos del e+e menor! ?a distancia (ocal
FF ´
es igual a 2c!
c
?a e.centricidad es la ra*n
a
Hcoseno del 'ngulo en Q y en la elipse su
valor oscila entre y >! es la ra*n de distancias de un unto cualquiera de la curva al (oco y a la directri* correspondiente
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AB
2 ae+e mayor
CD
2b e+e menor
2c distancia (ocal
FF ´
?os tres par'metros con(iguran un tri'ngulo rect'ngulo, por lo que se cumple
a
2
= b2 + c2
!
T)!!do* M-todo de& 1!)dine)o* @ara tra*ar elipses de grandes dimensiones podemos usar una cuerda de longitud igual al e+e mayor, colocamos sus e.tremos sobre los (ocos y estiramos la cuerda para dibu+ar la curva! Página 25
Est(dio !n!&2tico* x 2 a2
+
y 2 b2
=
1
Ec(!cin )ed(cid! de &! e&i%se* Tomamos como sistema de e+es coordenados los e+es de la elipse y como origen el centro de la misma! Con la (ormula reducida de la elipse podemos conocer las coordenadas de todos sus puntos!
(a y=
2
.b
2
) − (b a
2
x 2
)
(a
2
x=
2
b 2 ) − ( a 2 y 2 ) b2
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Página 28
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E1e#%&os )e!&es* Página 30
Orbitas planetaria ?as orbitas de los planetas al rotar alrededor del sol son elpticas! El sol estara situado en uno de sus (ocos!
Qormas circulares ?a representacin de cualquier (orma circular que no observemos (rontalmente, es una elipse platos, discos, ruedas, señales de tra(ico, vasos! Etc!
vedas elipsoidales Página 31
?as bvedas elipsoidales permiten a dos personas HA y situadas en los (ocos, mantener una conversacin sin que las personas mas pr.imas se enteren! 4na cBpula elipsoidal (amosa es la de -tatuary
Iluminacin ?a (orma que adopta la proyeccin de un (oco puntual sobre un plano oblicuo, respecto a su e+e de iluminacin, es una elipse!
!IP"R#OLAS Página 32
De'inicin* -e llama hip&rbola a la curva cerrada y plana, que determina el lugar geom&trico de los puntos del plano cuya di(erencia de distancias a otros dos (i+os Q 1
2
y QP llamados (ocos, es constante e igual e+e real !
E&e#entos de &! 3i%-),o&!* Q y QP son los (ocos, los puntos (i+os de la hip&rbola! ?a recta que une los (ocos, Q y QP, se llama e+e (ocal! ?os v&rtices A y AP, son los dos puntos de interseccin del e+e (ocal con la hip&rbola! El punto medio del segmento que une los (ocos, O, es el centro de la hip&rbola! ?as dos rectas a las que la hip&rbola se acerca inde(inidamente sin llegar a tocarlas, r y rP, se denominan asntotas!
-ituando la hip&rbola en unos e+es cartesianos y su centro sobre el origen de coordenadas, se cumple que dHQ,QP2c dHA,AP2 a
P)o%ied!des de &! 3i%-),o&!* Página 33
?a di(erencia de las distancias desde un punto de la hip&rbola a los (ocos es 2 a! dHA,QP8dHA,Q dHA,QP8dHAP,QP dHA,AP2 a d ( A, F ) − dA, F ´)
=
k
como A es un punto de la hip&rbola, se cumple que @or tanto, tenemos que 02 a
en una hip&rbola se cumple siempre que
c
2
= a2 + b2
!
El punto es uno de los puntos de interseccin de la recta perpendicular al e+e (ocal que pasa por O He+e ), con la circun(erencia de centro A y radio c! a la distancia entre O y la llamamos !
E/cent)icid!d de &! 3i%-),o&!* c
?a e.centridad de una hip&rbola,
a
, es siempre mayor que >, porque cYa!
Qi+ando un valor de a, cuanta menor separacin tengan los (ocos de los v&rtices, mas se acerca el valor de c al valor de a y, por lo tanto, la e.centridad se acerca a >! En estos casos, la hip&rbola es muy cerrada! @or el contrario, cuanto m's ale+ados est&n los (ocos, la e.centridad se ale+a de > y la hip&rbola ser' mas abierta!
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P!)0#et)os* -imetra la hip&rbola tiene dos e+es de simetra perpendiculares entre s, que se cortan en el centro de la curva O
E+es la hip&rbola tiene dos e+es perpendiculares e+e real y e+e imaginario o virtual! El e+e real contiene los v&rtices y los (ocos de la curva y es igual a 2 a! El e+e virtual es igual a 2b!
Qocos los (ocos son los puntos de tangencia entre el plano que genera la hip&rbola y las es(eras inscritas en la super(icie cnica! Est'n situados sobre el e+e real distantes UcG del centro de la curva! ?a distancia (ocal Página 35
F − F ´
es igual a 2c!
@ar'metros
2 a e+e real
V 1V 2
2b e+e virtual
2c distancia (ocal
FF ´
?os tres par'metros con(iguran un tri'ngulo rect'ngulo por lo que se cumple
c
2
= b2 + a2 c
E.centricidad es la ra*n
a
Hinversa del coseno del 'ngulo de la asuntota
y en la hip&rbola su valor oscila entre uno e in(inito! Es la ra*n de distancias de un punto cualquiera de la curva al (oco y a la directri* correspondiente!
Página 36
Asntotas las asuntotas son las tangentes a la hip&rbola en puntos del in(inito! -on sim&tricas respecto a los e+es y pasan por el centro cuando (orman con los e+es 'ngulos de 57Z, la hip&rbola se denomina Uequil'teraG y se cumple q ab!
T)!!do*
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El doble* es una tangente a la hip&rbola, y a su ve*, e+e de simetra entre el punto @ H(oco de la elipse y los puntos de la circun(erencia de papel Hcircun(erencia (ocal del otro (oco
Est(dio !n!&2tico* Ecuacin reducida de la elipse x 2 a2
+
y 2 b2
=
1
Tomamos como sistema de e+es coordenados los e+es de la hip&rbola y como origen el punto de interseccin de ambos! Con la (ormula reducida de la elipse podemos conocer las coordenadas de todos sus puntos!
(b
2
2
) − (a
2
b2
)
a2
y
(a .
. x
2
b 2 ) + ( a 2 y 2 ) b2
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E1e#%&os )e!&es* Iluminacin ?a lu* que proyecta la l'mpara tronconica sobre una pared paralela a su e+e, tiene (orma de hip&rbola!
Relo+ solar ?a sombra que proyecta una varilla recta clavada perpendicularmente sobre un plano, tiene (orma de hip&rbola! @or ello los relo+es solares tienen esa disposicin! ?a sombra arro+ada cada da es di(erente al anterior! En el gr'(ico se encuentran las siete lneas de declinacin comunes, esto es, la lnea ara cada uno de los solsticios, equinoccios, y la supuesta entrada del sol en cada uno de los signos *odiacos!
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Telescopios de tipo cassegrain ?a hierbota tiene propiedades de re(le.in an'logas a las de la eclipse! -i proyectamos un ha* de lu* desde un (oco se re(le+ara en la hierbota en direccin el otro (oco! Este principio se usa en los telescopios de tipo cassegrain!
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PAR$#OLA
De'inicin* -e llama par'bola a la curva abierta, lana y de una sola rama, que determina el lugar geom&trico de los puntos del plano que equidistan de un punto (i+o Q llamado (oco, y de una recta (i+a d, llamada directri*!
PM PF
E&e#entos de &! %!)0,o&!* Q es el (oco de la par'bola y s es la directri* A la distancia entre la directri* y el (oco la llamamos p! ?a recta e que pasa por Q y es perpendicular a s es el e+e! El v&rtice es el punto , que es la interseccin del e+e con la par'bola!
-i situamos la par'bola en unos e+es cartesianos, son v&rtice en el origen de coordenadas y cuyos e+es es el e+e ), se cumple que
F 0,
p
2
s : y
=−
p 2
P!)0#et)os* Directri* la directri* es el lugar geom&trico de los puntos sim&tricos del (oco respecto de cada una de las tangentes de la par'bola! Página 41
E+es la par'bola tiene un e+e perpendicular a la directri*, que contiene al (oco Q y al v&rtice ! el e+e de la curva es a se ve* e+e de simetra! Qocos el (oco es el punto de la tangencia entre el plano que genera la par'bola y la es(era inscrita en la super(icie cnica! Est' situado sobre el e+e, distante U@G de la directri*! El v&rtice est' situado en el punto medio de
FD
@ar'metros la par'bola solo tiene un par'metro, U@G que con(igura y da (orma a la curva! El par'metro es la distancia entre (oco (, y la directri* d! p
FD
!
Tambi&n determina la distancia del (oco Q, a los puntos de la curva situados en la vertical el (oco!
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T)!!do* Tra*ado de la par'bola por haces proyectivos Conocemos el e+e, el v&rtice y un punto @@ de la curva! Tra*amos @P sim&trico de @ respecto del e+e!
Dividimos los segmentos
VA, VB, AP
y
iguales!
Página 43
BP ´
en el mismo numero de partes
4nimos el v&rtice con las divisiones de los segmentos
AP
y
BP ´
! Cortamos
estas rectas con las hori*ontales tra*adas por las divisiones homnimas de los segmentos
VA
y
VB
!
4nimos los puntos a mano al*ada para dibu+ar la par'bola!
Página 44
Est(dio !n!&2tico* y 2 2 px
Tomamos como sistema de e+es coordenados el e+e de la par'bola y la tangente en el v&rtice, y como origen el v&rtice de la misma
Página 45
E1e#%&os )e!&es* -uper(icies parablicas las super(icies parablicas re(le+an las radiaciones paralelas al e+e su (oco y viceversa, propiedad que se utili*a para (abricar antenas parablicas, espe+os, cale(actores, (aros, lentes, hornos solares, centrales el&ctricas parablicas, etc!
Iluminacin la (orma que adopta la proyeccin de un (oco puntual sobre un plano paralelo a un lado del (oco, es una par'bola! Página 46
Trayectoria de proyectiles tambi&n es parablica la trayectoria que describen los proyectiles Hdespreciando el ro*amiento con el aire! Diseño la par'bola es utili*ada (recuentemente en la arquitectura moderna y diseño industrial!
Página 47
CONCLUSIÓN
"racias a la investigacin obtenida hemos concluido que
?a hip&rbola
•
@ar'bola
•
Circun(erencia
•
Elipse ?as cnicas o tambi&n llamadas secciones cnicas se presentan cuando un
doble cono se interseca con planos! -i el plano corta oblicuamente al e+e del cono y a todas sus generatrices, sin pasar por el v&rtice, la seccin que obtenemos es una elipse! -i el corte lo hacemos, de (orma oblicua al e+e del cono pero paralela a la generatri* del mismo obtenemos una parábola Página 48
-i el plano corta a las generatrices en ambos lados del vértice del cono, obtenemos una hipérbola . -i el plano es perpendicular al e+e, tenemos una seccin circular cuyo contorno es la ci)c(n'e)enci!!
ibliogra(a http[[///!aula(acil!com[cursos[l>:=;[ciencia[matematicas[matematica s8conicas[conicas8circun(erencia8elipse8hiperbola8parabola https[[///!dspace!espol!edu!ec[bitstream[>23579:;=[:;>[3[>5;:!pd( http[[///!ehu!eus[\mtpale*p[conicas!pd( http[[///!academia!edu[;;72>9=[A@?ICACIO$E-]DE]?A-]CO$ICA -]C^C3^3nica]-e]llama]c^C3^3nica]a #ises illena #uo*
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ANE4OS CIRC4QERE$CIA
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@ARAO?A
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E?I@-E Página 56
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