Programa de Estudios Generales Departamento Académico de Ciencias y Humanidades
Matemática Básica Período académico 2011-1
Guía N° 3 Las cónicas Al terminar de resolver los temas tratados en esta guía estará en condiciones de: 1. Determinar y graficar la ecuación de la circunferencia en sus diferentes formas. 2. Determinar y graficar la ecuación de la parábola en sus diferentes formas, e identificar sus elementos . 3. Determinar y graficar la ecuación de la elipse en su forma canónica, e identificar sus elementos y área . 4. Determinar y graficar la ecuación de la hipérbola en su forma canónica, e identificar sus elementos .
1
1
Imagen tomada de: http://www.universum.unam.mx/eq_mate_07.html
RESUMEN TEÓRICO DEFINICIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
P
r
Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de otro punto del mismo palno, llamado centro .
d (P, O) = r
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A
DD’
: Diámetro
CC’
: Cuerda
Q
: Centro de la Circunferencia
r
: Radio de la Circunferencia
D r A’
C
Q
D’
AA’
C’
: Arco de circunferencia
ECUACIÓN CARTESIANA DE LA CIRCUNFERENCIA a)
Forma ordinaria
x h2 y k 2 r 2 . Siendo C (h; k) su centro y r su radio.
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b)
Forma Canónica (Centro en el origen de coordenadas y radio = r )
x2
c)
y2
r2
Forma general :
x 2
y 2
Dx Ey F 0
I) ECUACIÓN LA CIRCUNFERENCIA. Definición y elementos. Ecuación cartesiana de la circunferencia en sus formas ordinaria, canónica y general. Grupo 1
1. Grafique las siguientes ecuaciones, indicando su radio en caso sea una circunferencia. circunferenc ia. a) x + y = 1 Respuesta: Se trata de una circunferenc circunferencia ia de centro C(0;0) y radio igual a 1. 2
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2
b) 3x + 3y – 15 = 0 2
2
Respuesta: Se trata de una circunferenc circunferencia ia de centro C(0;0) y radio igual a
c) x + y +3 = 0 Respuesta: No es una circunferenc circunferencia ia 2
d)
2
x + y = 0. 2
2
Respuesta: No es una circunferenc circunferencia, ia, se trata sólo del punto (0;0) 2. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones determinan una circunferencia? circunferenc ia? En cada caso afirmativo, halle el centro, el radio y los puntos de máxima y mínima abscisa así como los de máxima y mínima ordenada, de cada una de ellas: a) x + y – 6x + 4y – 3 = 0 2
2
Respuesta:
Si corresponde a una circunferencia : Centro (3 ; -2) radio = 4 Punto de máxima abscisa = (7 ; -2) Punto de mínima abscisa = (-1 ; -2) Punto de máxima ordenada = (3 ; 2) Punto de mínima ordenada = (3 ; -6)
b) x + y – x + y + 14 = 0 2
2
Respuesta:
No corresponde a una circunferencia
c) x + y + 8x – 2y +17 = 0 2
2
Respuesta:
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No corresponde a una circunferencia, es el punto (-4 ; 1)
d) x + y + x = 0 2
2
Respuesta:
Si corresponde a una circunferencia : Centro
Punto de máxima ordenada = Punto de mínima ordenada = Punto de máxima abscisa = Punto de mínima abscisa =
3. Complete el siguiente cuadro considerando que cada dato se refiere a una circunferencia circunfer encia con centro en (0; 0). Respuesta: Datos
Ecuación canónica
r = 1,5
C:
Es tangente a la recta L: x + y –
= 0
Pasa por el punto A (4; 3). El área de su interior es 4 u2.
ó C: C: C: C:
4. Los siguientes datos corresponden a una circunferencia. circunferenc ia. En cada caso determine sus ecuaciones en las formas ordinaria y general. a) Centro C (1; –3) y radio r = 2. Respuesta: Forma ordinaria: C: (x – 1)2 + (y + 3) 2 = 4 Forma general: C: x2 + y2 – 2x + 6y + 6 = 0 b) La circunferencia pasa por el punto A (2; 4) y el centro es C ( –1; – 2). Respuesta: Forma ordinaria: C: (x + 1)2 + (y + 2)2 = 45 Forma general: C: x2 + y2 + 2x + 4y – 40 = 0 c) El centro C (1; –1) y es tangente a la recta L: 3x – 4y + 8 = 0. Respuesta:
Forma ordinaria:
C: (x – 1)2 + (y + 1) 2 = 9
Forma general:
C: x2 + y2 – 2x + 2y – 7 = 0
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5. Determine la ecuación de la circunferencia circunferenc ia con el centro en el eje de ordenadas, y los extremos de una de sus cuerdas son los puntos M (2; 7) y N (4; 1). Respuesta: Forma ordinaria: C: x2 + (y – 3)2 = 20 Forma general: C: x2 + y2 – 6y – 11 = 0 6. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos R (1; 2), S (1; –4) y T (6; 1). C: x2 + y2 – 6x + 2y – 3 = 0
Respuesta:
7. Presente la ecuación de la circunferencia circunfer encia que pasa por el punto P (9; 12) y es tangente a la recta L: 2x – 3y –8 = 0, en el punto Q (7; 2). Respuesta: C: (x – 3)2 + (y – 8)2 = 52 C: x2 + y2 – 6x – 16y + 21 = 0
Forma ordinaria: Forma general:
8. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por por la intersección intersecci ón de las circunferencias: circunfer encias:
,
y por el origen de
coordenadas . Respuesta: 9. Halle
la
C :
ecuación ecuac ión
que
contiene
al al
diámetro diám etro
de
la
circunferencia ci rcunferencia
; y que es perpendicular a la recta . Respuesta:
L: 2x – 5y + 19 = 0
10. Son dos las circunferencias circunfer encias tangentes a los ejes coordenados que pasan por el punto P (-11; 0). Halle las ecuaciones generales de estas circunferencias. circunferen cias. 2
2
Respuesta: C1 : x + y + 22x – 22y + 121 = 0
2
2
C2 : x + y + 22x + 22y + 121 = 0
11. Halle la ecuación de la recta tangente a la circunferencia circunferenc ia el punto P (0; 0). Respuesta:
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L:
ó
L : 2x – 3y = 0
;
en
12. En algunos textos se encuentra el siguiente teorema: “Toda ecuación de segundo grado, con dos variables x e y, sin término en xy, y de la
forma , representa una circunferencia”. circunfere ncia”. El enunciado del teorema es incompleto en razón a que una ecuación de esta naturaleza puede ser una circunferencia, un punto o representar un conjunto vacío. ¿Podría el alumno completar el enunciado con las restricciones restriccione s necesarias y cuáles serían éstas? Rpta.
Al completar cuadrados en la ecuación, se transforma a la forma ordinaria el término numérico situado después de la igualdad es:
, luego si es
Negativo, la ecuación no representa ningún lugar geométrico.
Cero, la ecuación representa un punto.
Positivo, la ecuación representa una circunferencia.
TAREA 1
13. En las siguientes ecuaciones utilizando el método de completar cuadrados, identifique si se trata de una circunferencia o de un caso degenerado de circunferencia. a) x + y + 6x – 4y + 13 = 0 2
2
b)
2x + 2y – x + 8y + 22 = 0 2
2
c) x + y + 3x – 2y – 3/4 = 0 Rpta. 2
2
a) Es un caso degenerado de la circunferencia, representa el punto T (-3, 2) . b) Es un caso degenerado de la circunferencia no representa ningún ligar geométrico. c) Representa una circunferencia, cuyo centro es (-3/2 ; 1) , radio r = 4.
14. Determine la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A (3; 1) y B ( –1; 3), sabiendo que su centro pertenece a la recta L: 3x – y –2 = 0 Rpta.
(x-2)2 + (y-4)2 = 10
15. Determine el centro de una circunferencia de radio 50, sabiendo que esta pasa por el punto A (0; 8) y determina en el eje de las abscisas una cuerda de longitud 28 u. Rpta. El centro de la circunferencia es (30; 48). 16. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son el centro de la circunferencia
, y los puntos de intersección de la recta , con la circunferencia C. Rpta. El área es (13/2) u 2 Página 7 de 25
17. El ingreso a un túnel tiene forma de semicircunferencia ¿Cuál es la altura máxima del túnel, si a dos metros de su extremo la altura es 8 metros? Rpta. La altura máxima del túnel es 17 metros .
se trazan rectas paralelas a los ejes coordenados, las cuales cortan a la circunferencia , en cuatro puntos.
18. Por el punto
a) Determine analíticamente las coordenadas de los cuatro puntos. b) Compruebe que el cuadrilátero cuadrilátero que resulta al unir los cuatro puntos es un trapecio isósceles. c) Halle las coordenadas de de un punto que equidiste de los cuatro puntos. Rpta. .
a) A (-4; 3)
B (3; 4)
b) mBC = m AD = -1 c) El punto es P (0; 0).
C (4; 3) ;
D (3; -4) d (A; B)= d (D; C) = 5 2
pasa por el centro de la circunferencia , es tangente a la recta en el punto y es un diámetro de dicha circunferencia. el segmento circunferen cia. Luego de interpretar geométricamente el problema, determine las coordenadas de y la ecuación de la circunferencia .
19. Una
circunferencia circunferenc ia
Rpta.
2
2
2
A(6; 0) y la ecuación de la circunferencia es (x-4) + (y -1.5) = (2.5)
y , si los centros de las circunferencias y están en la recta . Luego, con los valores hallados de y de , encuentre la ecuación
20. Determine los valores de
ordinaria de la circunferencia que pasa por los puntos M, N y O, donde M es el punto de mínima ordenada de , es el punto de máxima abscisa de y es el origen de coordenadas. Rpta.
Los valores son: a = 3 , b = 2 ; M (6; 0) 2 2 La circunferencia es (x-3) + (y + 2) = 13
;
N (0; -4)
y dos de sus diámetros de están contenidos en las . Luego de bosquejar la gráfica de la
21. Una circunferencia pasa por
rectas: y circunferencia, calcule la longitud del diámetro y halle su ecuación general.
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Rpta. El diámetro es D = 3 2 u. ; La ecuación general de la circunferencia es 2 2 x + y + 2x + 4y – 15 =0 .
22. Halle la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo cuyos vértices son
Rpta. 2
2
La ecuación es (x+3) + (y+4) = 25
RESUMEN TEÓRICO DEFINICIÓN DE PARÁBOLA Es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz (el foco no pertenece a la directriz).
Y
Si P(x; y) es un punto de la
Ld
parábola, entonces se cumple:
X
d (P; F) = d (P; L d)
ELEMENTOS Ld: Directriz F: Foco EF: Eje focal perpendicular a L d V: Vértice, punto medio de DF LR: Lado recto: Cuerda focal
perpendicular al eje focal. Asumiendo que p d( V;F ) , se determina que la longitud del lado recto es 4p . Página 9 de 25
EF
FORMA CANÓNICA DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA Se presenta cuando el vértice es V (0; 0) y el eje focal coincide con uno de los ejes de coordenadas. CASO 1: El eje focal coincide con el eje de abscisas
Y
Y
X X
CASO 2: El eje focal coincide con el eje de ordenadas.
Y
X
X
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FORMA ORDINARIA DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA Se presentan cuando el eje focal es paralelo a un eje de coordenadas y vértice V (h; k). CASO 1: Eje focal paralelo al eje de abscisas.
CASO 2: Eje focal paralelo al eje de ordenadas.
X
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FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA CASO 1: Eje focal paralelo al eje de abscisas.
Donde {D, E, F} R, con D 0 Nota: Si D = 0, la ecuación se reduce a y 2 + E y + F = 0, que es un caso degenerado, que representa: dos rectas, una recta, o ningún lugar geométrico; dependiendo de sus raíces.
CASO 2: Eje focal paralelo al eje de ordenadas.
Donde {D, E, F} R, con E 0 Nota: Si E = 0, la ecuación se reduce a x 2 + D x + F = 0, que es un caso degenerado, que representa: dos rectas, una recta, o ningún lugar geométrico; dependiendo de sus raíces.
II) ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA. Definición y elementos. Ecuación cartesiana de la parábola con eje focal coincidente o paralelo a uno de los ejes coordenados, en sus formas canónica, ordinaria y general
Grupo 2
23. Grafique en cada caso la parábola correspondiente a la ecuación e indique su foco, los extremos del lado recto, así como la longitud del lado recto, las ecuaciones del eje de simetría y de la recta directriz.
Respuestas:
; L ( F ( ; L (
a) F ( b)
; L ( ; L (
c) F ( d) F (
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; L (
e) (
24. Grafique en cada caso la parábola correspondiente e indique su vértice, foco, los extremos del lado recto, así como la longitud del lado recto, las ecuaciones del eje de simetría y de la recta directriz.
Respuestas:
; L ( ; L ( ; L (
a) V(-2;1); F ( b) V(-1; 2); F ( c) V(3;0); F (
25. Cada una de las siguientes ecuaciones representa una parábola o un caso degenerado de parábola. Si se trata de una parábola grafíquela indicando el foco y el vértice, las ecuaciones de la directriz y del eje focal así como la longitud del lado recto. Escriba la ecuación en la forma ordinaria. Y si es un caso degenerado, grafique la curva que le corresponde, en el caso que sea posible.
Respuestas: a) b) c)
d) e) Ningún lugar geométrico. f) Dos rectas:
26. En cada uno de los siguientes ejercicios, ejerc icios, el vértice de la parábola está en el origen de coordenadas. Presente su ecuación y bosqueje el el gráfico respectivo, si se sabe que: a) Es simétrica respecto del eje de abscisas y pasa pasa por el punto P ( –1; 2). b) Su eje focal es el eje de ordenadas y pasa por el punto P (2; –3). c) La directriz es la recta de ecuación L d: y – 4 = 0. d) El foco tiene abscisa cero y p = 8 Respuestas: a) b)
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c) d)
27. Halle la ecuación y bosqueje el gráfico de cada una de las siguientes parábolas que verifican, en cada caso, las condiciones dadas. a) F( 2; 2; 3), 3), directriz L d: x – 6 = 0 b) V ( – –2; 2) y F (2; 2) c) El vértice pertenece a la recta L 1:7 x + 3 y – 4 = 0, eje horizontal y F (3; –1) Respuestas: a) b) c)
28. Un arco tiene forma de una parábola con eje focal vertical. Su punto más alto está 18m sobre la base cuya longitud es 36m. Halle la longitud L de una cuerda horizontal que se encuentra a 10m sobre la base. Respuesta: La longitud de la cuerda horizontal es de 24 m. 29. ¿Es posible que una parábola tenga por por vértice V (2; 2) y por extremos del lado recto los puntos L (4; 4) y M (4; 0)? Justifique su respuesta. Respuesta: No es posible, el valor de p en un caso es 1 y en otro 2. 30. Determinar todos los puntos sobre la parábola y 2 = 12x tales que el pie de la perpendicular trazada del punto a la directriz, el foco y el punto mismo sean vértices de un triángulo equilátero. Respuesta. Los puntos son:
:
TAREA 2
31. Grafique en cada caso la parábola correspondiente e indique su foco, los extremos del lado recto así como la longitud del lado recto, las ecuaciones del eje de simetría y de la recta directriz correspondientes a cada uno de los siguientes casos:
Respuestas:
; L ( ; L ( V( ; 2); F (1 ; L (1
a) V(-1;0); F ( b) V(-2;-2); F ( c)
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32. En las siguientes ecuaciones utilizando el método de completar cuadrados identifique si se trata de una parábola o un caso degenerado de parábola.
Respuestas: a) b) c)
33. Halle la ecuación de la parábola de eje focal paralelo al eje de ordenadas, presentándola en su forma ordinaria si se sabe que pasa por los puntos A (1; 2) y B (5; 2) y que además su vértice se encuentra en la recta L: 2x –3y+6 = 0. Respuesta:
34. Determine la ecuación de una parábola de eje horizontal, preséntela en su forma general, si su vértice es el punto V (1; 3) 3) y su foco está en la recta L: 3 x + 4 y – 9 = 0. Además, determine los extremos de su lado recto así como la ecuación de su directriz.
35. Halle la ecuación de la circunferencia circunfer encia que pasa por por el vértice y por los extremos del lado recto de la parábola 36. Se tiene un rampa de forma parabólica cuya sección transversal está definida por la parábola y = x 2 –2x+2. Una bola se coloca en el punto A (m; 17), m>0, y se deja rodar sobre la parábola hasta llegar al punto B (n; 2), n>0. Calcule m –n.
37. Una circunferencia circunfer encia es tangente a la directriz y al lado recto de la parábola de ecuación P: 3x 2 + 6x + 12y 5 = 0. Halle la ecuación de dicha circunferencia circunferencia si su centro es el vértice de la parábola dada.
38. El vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo es un extremo del lado recto de la parábola y 2 = 8x. El segundo vértice del triángulo es el vértice de la parábola. ¿Cuál es el tercer vértice y cuánto mide la hipotenusa, hipotenusa, si se sabe que dicho dicho vértice está sobre sobre la recta L: 2x y 14 = 0?
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39. Si A es un punto cualquiera de la directriz de una parábola y L y M son los extremos de su lado recto, determine si el área del triángulo LMA es siempre constante.
40. Un proyectil describe una curva parabólica alrededor de un punto F, siendo éste el foco de la parábola. Cuando el proyectil está a 10 km. de F, el segmento de recta de F al proyectil hace un ángulo de 60° con el eje de la parábola.
ó
a) Halle la ecuación canónica de la parábola. b) ¿Qué tan cerca de F pasa el proyectil?
41. La órbita de un cometa es una parábola que tiene como foco al sol. Cuando se halla a 100 millones de Km del Sol, el ángulo entre el eje de la parábola y la recta desde el Sol al cometa es de 45°. 45°. Determine la distancia distanci a más corta del cometa al Sol.
42. Un arco de puente tiene la forma de una parábola, la luz es de 12 m., y la altura máxima es de 5 m. Halle la altura del arco a 3 m, desde un extremo hasta el centro.
43. El filamento de una lámpara de flash está a 3/8 de centímetro del vértice del reflector parabólico y se encuentra en su foco. Halle una ecuación para la sección del reflector, suponiendo que está dirigido hacia la derecha y su vértice es el origen.
44. El receptor de una antena parabólica de televisión dista 90 cm. del vértice y se encuentra situado en su foco. Halle una ecuación de la sección del reflector (suponiendo que esté dirigido hacia arriba y su vértice en el origen).
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RESUMEN TEÓRICO DEFINICIÓN DE ELIPSE La elipse es el conjunto de puntos del plano, de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos permanece constante (una cantidad igual a 2a)
P(x;y)
F 1
F 2
Si el punto P(x; y) pertenece a una elipse, se cumple:
d (P; F1 )
d (P ; F2 )
Donde: “a” es una constante positiva, tal t al que
ELEMENTOS 1. Focos: F 1 y F2 2. Eje Focal : (E F) es la recta que pasa por los focos. 3. Vértices: V 1 y V2, d(V1 ;V2) = 2a 4. Centro: Q, es el punto medio entre F1 y F2 . 5. Eje normal : (E N) es la recta que pasa por Q y es perpendicular al eje focal. 6. Covértices : B 1 y B 2 que son los puntos en que el eje normal intercepta a la elipse. 7. Eje mayor
:
dV V
2a
8. Eje menor
:
dB B
2b
Página 17 de 25
1
1
2
2
2a
2a
d ( F1 ; F2 )
9. Distancia focal
:
10. 11. 12. 13.
: Es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse. : Es la cuerda que pasa por uno de los focos.
Cuerda Cuerda focal Lado recto Radio vector
dF F
2c
1 2
: LR
y L’ R’.
: Es el segmento que une cualquier punto de la elipse con uno de los focos. (PF2, PF1). a = d (Q; V): Longitud del semieje mayor b = d (Q; B): Longitud del semieje menor c = d (Q; F): Semidistancia focal.
Además:
La relación entre estas constantes es:
a
2
b
2
c
2
, donde se cumple que a > b y a > c.
Fórmulas: a2 = b2 + c2 (relación pitagórica entre los parámetros a, b y c). i)
ii)
La longitud del lado recto (L. L. R.) es:
iii)
Área de una elipse:
L.L.R.
2b
2
a
A = π a.b
ECUACIÓN DE LA ELIPSE FORMA CANÓNICA. El centro es Q (0 ; 0) y el Eje focal es coincidente con un eje de coordenadas. Caso1: El eje focal ( ) es es coincidente con el eje X
Y l
l
d 2
x=-
V 2
B 1 2
a c
.
N 1
.
F 2
2
L1
.
Q
.
F 1
d 1
x= a c
.
V 1
E:
B 2
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L2
a
2
y2 b
X
V1 (a ; 0) N 2
x2
B1 (0; F1
,
b) ,
–a; 0) V2 ( – B2
(0; –b)
(c; 0) , F2 ( – –c; 0)
2
1
Caso 2: El eje focal (
es coincidente con el eje Y Y
E:
x2
y2
b
V1
(0; a),
B1
(b; 0) ,
F1
(0; c), F2 (0; -c)
a
2
1
2
X
V2
(0; -a)
B2
(-b; 0)
Ecuación de la elipse. Definición y elementos. Ecuación cartesiana de la elipse en su forma canónica.
III)
Grupo 3
41. Grafique en cada caso la elipse correspondiente e indique: focos, vértices, covértices, longitud del lado recto, extremos de los lados rectos, ecuaciones del eje focal y eje normal, así como el área de la elipse: a)
x
2
9
y
y
2
16
V1
1
Q (
0
;
0
)
V1 ( 0 ; V2 ( 0 ;
4 -4
) )
L1 ( -9/4 ;
7
)
F1 ( 0 ;
7
)
R1 ( 9/4 ;
7
)
F2 ( 0 ; - 7 B1 ( 3 ; 0 B2 ( -3 ; 0
)
L2 ( -9/4 ; -
7
)
) )
R2 ( 9/4 ; - 7 ) LLR=2(9/4) unid ÁREA= 12 π unid2
L1
R1
F1
Q B2
B1 F2
L2
R2 V2
Página 19 de 25
x
b)
x
2
100
+
y
2
=1
64
y B2
V1 V2 F1 F2 B1 B2
( ( ( ( ( (
10 -10 6 -6 0 0
; ; ; ; ; ;
2
0 0 0 0 -8 8
) ) ) ) ) )
2
c) 25x + 16y – 400 = 0,
V1 V2 F1 F2 B1 B2
( ( ( ( ( (
0 0 0 0 4 -4
; ; ; ; ; ;
5 -5 3 -3 0 0
Q ( 0 ; L1 ( 6 ; R1 ( 6 ; L2 ( -6 ; R2 ( 6 ; LLR=2(32/5) ÁREA= 80 π
) ) ) ) ) )
x 2 16
+
y 2 25
Q L1 R1 L2 R2
0 32/5 -32/5 32/5 -32/5 unid
) ) ) ) )
L1
L2
Q
F2
V1
V2 R1
R2 B1
2
unid
y
=1
( 0 ; 0 ( -16/5 ; 3 ( 16/5 ; 3 ( -16/5 ; -3 ( 16/5 ; -3 LLR=2(16/5) unid ÁREA= 20 π unid2
x
F1
V1
) ) ) ) )
L1
R1
F1
Q B2
B1 F2
L2
R2 V2
42. Si la distancia desde un covértice a uno de los focos de una elipse es 6, ¿Cuál es la distancia desde el centro de la elipse hasta uno de los vértices? b2 + c2 = a2 = 36 , a = 6 unid 43. En cada caso, el centro de la elipse está en el origen de coordenadas y su eje focal coincide con uno de los ejes coordenados. Presente su ecuación y bosqueje el gráfico respectivo, indicando sus elementos y área, si se sabe que: a) Pasa por los puntos P (4; 0) y Q (0; –5). x 2 16
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y 2 25
1
x
y V1
L1
V1 V2 F1 F2 B1 B2
( ( ( ( ( (
0 0 0 0 4 -4
; ; ; ; ; ;
5 -5 3 -3 0 0
) ) ) ) ) )
Q L1 R1 L2 R2
( 0 ; 0 ( -16/5 ; 3 ( 16/5 ; 3 ( -16/5 ; -3 ( 16/5 ; -3 LLR=2(16/5) unid ÁREA= 20 π unid2
) ) ) ) )
R1
F1
Q B2
B1
x
F2 L2
R2 V2
b) Es tangente a las rectas L 1: x + 4 = 0 y L2: y – 8 = 0. x 2 16
y 2
64
V1 ( 0 ; V2 ( 0 ;
1
y V1
8 -8
) )
Q (
0
;
L1 (
-2
; -4 3
)
F1 ( 0 ; 4 3
)
R1 (
2
;
)
F2 ( 0 ; -4 3 B1 ( 4 ; 0 B2 ( -4 ; 0
)
L2 (
-2
; -4 3
)
) )
R2 (
2
;
)
LLR=2(2) ÁREA= 32 π
0
)
4 3 4 3 unid 2
L1
R1
F1
Q B2
B1 F2
L2
R2
unid
V2
c) La longitud del eje mayor es el doble de la longitud del eje menor y pasa por el punto P (2; 1). (Dos soluciones) Condición: 2a = 2(2b); a=2b, hay 2 elipses (vertical y horizontal) que pasan por P. i)
Horizontal,
ii)
Vertical,
x 2 17
x 2 8
y 2 17
y 2 2
1
1
4
44. ¿Cuánto mide el lado recto de la elipse Completando cuadrados se obtiene: ( x 1) 25
2
Página 21 de 25
( y 2) 16
?
2
1,
a=5, b=4, LLR=32/5 unid
x
45. ¿El área del rectángulo cuyos lados son paralelos a los ejes coordenados y
tangentes a la elipse Completando cuadrados se obtiene:
, es?
( x 2)
2
9
( y 2)
2
16
46. ¿Cuánto mide
1 , Área=2bx2a=6x8=48
el
diámetro
unid 2
de
mayor
longitud
de
la
elipse
a
la
elipse
? Completando cuadrados se obtiene: ( x 5)
2
12
47. ¿Cuál
( y 1)
2
4
es
1 , Diámetro mayor = 2a = 4
la
ecuación
de
la
3
unid.
elipse
simétrica simétric a
con respecto al eje de abscisas? Completando cuadrados se obtiene: ( x 5)
2
4 ( x 5)
( y 4)
2
( y 4)
2
1 , la ecuación de la elipse simétrica respecto al eje x, es:
1
2
4
48. ¿Cuánto mide el eje mayor de una elipse, que pasa por el origen de coordenadas, cuyos focos son los puntos F 1(8; 6) y F 2 ( - 4; 3)? Usando la definición de Eilpse: PF 1 PF 2 ( x 8)
2
49. ¿Para
( y 6)
qué
2
2a , siendo P(x;y) se obtiene:
+ ( x 4) 2 (y 3) 2 =2ª, reemplazando (0;0), 2a=15
valor(es)
de
k,
representa
una
elipse
la
ecuación,
? Completando cuadrados se obtiene: ( x 5) 2 3(y 1) 2
28 k , para que sea una elipse
28-k>0, k<28 50. Hallar el área del cuadrilátero cuadriláter o que tiene dos de sus vértices en los focos de la
elipse menor.
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y los otros otr os vértices vértice s coinciden con los extremos extrem os del eje
Área del cuadrilátero (que resulta un cuadrado) se obtiene 16 unid 2. 51. La figura muestra la sección transversal de un canal semielíptico semielíptic o de 56 cm. de boca y 80 cm. de profundidad. Encuentre el ancho “L” de la superficie, cuando el canal lleve agua
con una profundidad de 40 cm.
56 cm L
80 cm 40 cm
L= 28
3 unid.
TAREA 3
52. Grafique cada una de las siguientes ecuaciones. Identifique sus elementos y área:
a)
y B2 L1
L2
V1 ( V2 F1 F2 B1 B2
2
;
0
)
( - 2 ( 1 ( -1 ( 0 ( 0
; ; ; ; ;
0 0 0 -1 1
) ) ) ) )
Q ( L1 (
0 1
) )
1
; 0 ; 1/ 2 ; -1 2
R1 ( L2 (
-1
;
1
2
)
R2 (
-1
; -1
2
)
LLR=2(1/ 2 ) ÁREA=
2 π
)
Q
F2
x
F1 V1
V2 R1
R2 B1
unid unid
2
b)
y V1
V1 ( V2 F1 F2 B1 B2
( ( ( ( (
0 0 0 0 3 -3
; 3 2 ; -3 2 ; 3 ; -3 ; 0 ; 0
) ) ) ) ) )
Q ( 0 L1 ( -3 2 R1 ( 3 2
; ;
0 3
) )
;
3
)
L2 ( -3 2 R2 ( 3 2
;
-3
)
;
-3
)
LLR=2(3/ 2 )
unid
ÁREA= 9
unid
2 π
L1
R1
F1
Q B2
B1 F2
2
L2
R2 V2
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x
53. Una puerta tiene forma de una semielípse y tiene 10 pies de ancho en la base y el 40% del ancho, de alto en el centro. Una caja con 2 píes de altura ingresará por el centro de la puerta. ¿Qué tan ancha puede ser la caja? L=5
3
unid.
54. Una pista de carreras es de forma elíptica siendo la longitud de su eje mayor 100m y la de su eje menor 50% menos que el eje mayor. Calcule la longitud de la cuerda perpendicular al eje focal que dista 10m de uno de sus vértices. Longitud de cuerda = 30 metros 55. Halle la ecuación de las elipse que es tangente a las rectas : . Además, el eje focal tiene por ecuación
Respuesta:
x 2 14
2
y 2 2
11
y
1
56. El eje normal de una elipse el ipse tiene por ecuación , y uno de sus vértices es el punto V (8; 5). Halle la ecuación general de la elipse, sabiendo además que su eje menor se ve desde uno de los focos bajo un ángulo recto. x 2
Respuesta:
64
( y 5)
2
32
1
57. Calcule los valores de de una elipse, cuyo lado recto se observa desde el centro bajo un ángulo recto. Poniendo las variables “a” y “c” en función de “b” y partiendo de:
b 2 c ; a 2 a
b 2 c 2 ; se obtiene:
a b
5 1 2
;
c b
5 1 2
58. Determinar las longitudes longit udes de los diámetros de las cónicas cónic as cuyas ecuaciones ecua ciones
son respectivamente , , si se sabe que estos diámetros están sobre una misma m isma recta. Además, determinar la ecuación de la recta que contiene a dichos diámetros.
Diámetro circunferencia = 2
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5 unid;
Diámetro elipse = 4 unid.
59.La 59.La órbita de la tierra es una una elipse con semieje mayor de longitud excentricidad
150x10 6 km y una
. Si se sabe que el sol se encuentra en un foco de esta elipse,
determinar en cuánto excede la mayor distancia de la tierra al sol (afelio) de la menor (perihelio). Distancia mayor = a+c Distancia menor = a-c Diferencia de distancias = 2c = 5,1 x 10 6 km. 60.Determinar 60.Determinar la ecuación canónica de una elipse de eje focal vertical, sabiendo además que pasa por el punto A (1; 4) y la longitud de su lado recto es
veces su semidistancia
focal.
Respuesta:
x 2 9
y 2 18
1
61. Un punto ficticio P se desplaza sobre una elipse. Si la distancia menor y mayor del punto P a uno de los focos son 10 cm. Y 30 cm; determine el área del rectángulo que resulta al unir los extremos de los lados rectos. Área = 600 cm 2. 62.El 62.El cometa de Halley tiene una órbita elíptica con diámetros mayor y menor respectivos de 36,18 UA y 9,12 UA (1 UA es la unidad astronómica, la distancia media de la tierra al sol). ¿Cuál es su máximo acercamiento al Sol (suponiendo al Sol en uno de sus focos)? Máximo acercamiento (aprox.) = 0,59 UA 63.Una 63.Una elipse es tangente a una circunferencia, de centro en el origen de coordenadas y radio igual a 3u, de tal manera que sus focos se encuentran sobre la circunferencia. Determine su ecuación. Respuesta:
x 2 18
y 2 9
1
LOS PROFESORES DE LA ASIGNATURA
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