Ingenie Ing enierr´ıas ıas:: Aero Aeroesp espacia acial, l, Civi Civill y Qu Qu´ ´ımic ımica. a. Matem´ Matem ´ atic as I. 201 aticas 2010-2 0-2011 011.. Departame nto de Matem´ Departamento atica Aplic atica Aplicada ada II. Escuela Superior de Ingenieros. Universidad de Sevilla.
Tema 1.- C´ oni cas y Cu´ onicas adr icas. adrica s. 1.1.- Las c´ onicas. Ecuaci onicas. Ecuaciones ones reduci reducidas. das. Las secciones c´ onicas. onicas. Definici´ on m´etrica on etric a y elemento elementoss nota notables. bles. La propiedad focal. Ecuaci´ on reducida de una c´ on onica no girada. onica Ecuaciones Ecuaci ones para param´ m´etricas. etric as.
1.2.- Las cu´ adricas. Ecuaci adricas. Ecuaciones ones reduci reducidas. das. Ecuaci´ on reducida de una cu´ on adrica no girada. adrica Los elipsoides. Los hiperboloides y el cono. Los paraboloides. Los cilindros y las cu´adricas adricas degenerad degeneradas. as.
1.3.- Ejercicios. 1.4.1.4 .- Ap´ end ice:: MATLAB. endice Referente a la geometr Referente geometr´´ıa del plano, el alumno conoce, de sus estudios de bach bachiller illerato, ato, las curvas que se obtienen como gr´ afica de una funci´ afica on ex on expl´ pl´ıcit ıc ita, a, y = f as, conoce f ((x). Adem´as, la ecuaci´ on general (o impl on impl´´ıcita) de la recta ax + by + c = 0, ecuaci´on o n que salvo casos excepcionales excepcion ales (b = 0) define a y como funci´ on exp on expll´ıc ıcit itaa de d e x, y = 1b (ax + c). Por otra parte, conoce la circun circunferenci ferencia, a, curv curvaa que no puede obteners obtenersee como gr´ afica de una funci´ on exp on expll´ıc ıcit ita. a. 2 2 2 La relaci´ on que establece la ecuaci´ on on de una circunferencia (x on (x a) + (y b) = r entre las variables (x, (x, y ) es una relaci´on on impl impl´´ıcita ıcita.. Podem Podemos os obten obtener er expre expresiones siones expl expl´´ıcita ıcitass de y en funci´on on de x si dividimos la circunferencia en dos semi-circunferencias y = b r 2 (x a)2, pero el trabajar con estas expresiones obliga a no poder considerar y hacer c´ alculos sobre la curva completa. En este tema estudiaremos las ecuaciones y los aspectos elementales de las c´ onicas (curonicas vas planas de segundo grado) y las cu´ adricas (las superficies de segundo grado). En dicho adricas tratamiento elemental consideraremos las propiedades intr intr´´ınsecas (propiedades ( propiedades que no dependep enden del sistema de coordenadas) y estudiaremos las ecuaciones de dichas curvas y superficies cuando sus elementos de simetr´ıa ıa son paralelos a alguno de los ejes o planos coordenados. co ordenados. M´ as adelante, en la parte final de la asignatura, con las herramientas correspondientes al c´ alculo alculo de autovalores y autovectores y a la diagonalizaci´ on ortogonal de una matriz sim´etrica etrica re real al , podr´ a completarse el estudio considerando las c´ onicas y cu´ onicas adricas dadas por su ecuaci´ adricas on en on forma general.
− −
1
− ± − −
2
Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
1.1.- Las c´ onicas. Ecuaciones reducidas. onicas. onicas no degeneradas onicas En primer lugar vamos a estudiar los aspectos b´ asicos de las c´ asicos (par´abola, ab ola, eli elipse pse e hip´erbola) erb ola) , considerando la definici´ on de ´estas on estas como el lugar geom´etrico de todos los puntos del plano que verifican una determinada pro propie piedad dad m´ et rica etri ca . Independientemente de que el resultado sea o no sea una c´ onica, algunos ejemplos sencillos onica, de lugares geom´etricos etricos definidos mediante condiciones m´etricas etricas son los siguientes: La circunferencia: circunferenc ia: lugar luga r geom´etrico etrico de los puntos de un plano que est´ an a una distancia prefijada de un punto fijo, La med mediat iatriz riz de un segm segmen ento: to: el luga lugarr geom geom´´etrico etrico de los pun puntos tos de un plan planoo que equidistan de los extremos del segmento, El lugar geom geom´´etrico etrico de los puntos que equidistan de dos rectas que se cortan est´ a formado por las dos bisectrices de los angulos a´ngulos que determinan las rectas dadas, Una vez definida cada c´ onica, veremos que, adoptando un sistema de ejes onica, ej es adecuado, adecu ado, ´esta esta queda caracterizada mediante una ecuaci´ on impl on impl´´ıcita en dos variables (x, y ) que vendr´a dada por una ecuaci´ on polin´omica on omica de segundo grado sin t´ermino ermino en xy xy.. Adem´ as de las ecuaciones as ecua ciones impl impl´´ıcitas de las distintas c´ onicas (referidas a ejes apropiados) onicas consideraremos una descripci´ on pa on para ram´ m´etr et rica . En t´erminos erminos generale generales, s, puede decirs decirsee que las descripciones param´etricas etricas son las herramientas m´ as apropiadas a la hora de representar gr´aficamente aficamente una curva (plana o tridimensional) o una superficie. Esto se pone de manifiesto a la hora de obtener las gr´ aficas de curvas y superficies usando MATLAB (o cualquier otro aficas paquete de programas que permita representar gr´ aficamente curvas y superficies definidas mediante ecuaciones).
1.1.1.- Las secciones c´ onicas. onicas. Dejando al margen coordenadas, ecuaciones,...el nombre completo de las c´ onicas es el onicas onicas pues son las curvas que se obtienen al seccionar un cono mediante onicas de secciones c´ un plano. El tipo de curva que se obtiene al cortar un cono circular recto (m´as as adelante obtendremos su ecuaci´ on) con un plano depende on) dep ende de si el plano pasa o no por p or el v´ ertice del ertice π cono y de la relaci´ on entre el angulo, on a´ngulo, 0 α 2 , de inclinaci´on on del plano respecto al eje del π cono y el angulo, a´ngulo, 0 < β < 2 , de inclinaci´on on de la recta generatriz del cono respecto del eje. Tenemos los siguientes casos:
≤ ≤
concretament mentee el v´ertice ertice del cono, si cortamos con un plano que pasa por p or el • Un punto, concreta v´ert er tic icee y β < α ≤ . p or el v´ ertice y 0 ≤ α < β . ertice • Dos rectas secantes, si cortamos con un plano que pasa por ertice y α = β . • Una recta doble, si cortamos con un plano que pasa por el v´ertice co rtamos con un plano que no pase pa se por po r el v´ertice ertice del cono y β < α ≤ . En • Una elipse, si cortamos π 2
π 2
particular, si cortamos con un plano perpendicular al eje del cono (α (α = π2 ), se obtiene una circunferencia.
• Un Una a pa par´ r´ ab ola abol a, si cortamos con un plano que no pase por el v´ertice ertice y sea paralelo a una generatriz, α = β .
• Un Una a hi hip´ p´ er bola erbo la , si cortamos con un plano que no pase por el v´ertice ertice y 0 ≤ α < β . Matem´aticas I.
2Ing Ingeni enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
1.1- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas.
Un punto
Elipse Circunferencia
3
Una recta doble Dos rectas que se cortan
Par´ abola abola
Hip´ Hi p´erb er b ola
1.1.2.- Definici´ on m´ on etric a y eleme etrica elementos ntos notable notables. s. Vamos a definir (cada una de) las c´ onicas como el conjunto de puntos del plano que onicas verifican una determinada propiedad m´etrica etrica (referida ( referida a distancias). Adoptando Adopta ndo un sistema de referencia adecuado, obtendremos la ecuaci ecuaci´ on ´ impl´ıcita ıcita corresp co rrespondiente ondiente y las coordena coo rdenadas das y ecuaciones de los elementos distintivos (centro, ejes,...) que tenga en cada caso.
• La pa par´ r´ ab ola. abol a.
Aunque sea una curva plana conocida por el alumno como la gr´ a fica de una funci´ afica on on 2 polin´ omica de segundo grado y = f omica f ((x) = ax + bx + c y como la trayectoria descrita por un proyectil, adoptaremos ahora otro punto de vista.
Definici´ on. Dada una recta L y un punto F (que no est´e en L), se denomina pa on. par´ r´abol ab ola a geom´´etrico etrico de d e los puntos P (del plano determinado por de foco F y directriz L al lugar geom la directriz y el foco) que equidistan de la directriz L y el foco F F ,, d (P, L) = d (P, F F )).
Ejercicio. ¿Qu´e sucede si el punto F est´a en la recta L? Matem´aticas I.
3
2 0 1 0 -2 0 1 1
4
Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
En la definici´ on considerada no hay ninguna referencia a sistema de coordenadas alguno. on En el plano determinado por la recta y el punto dados, vamos a considerar un sistema de referencia adecuado, de forma que la ecuaci´ on que caracterice a los puntos de la par´ on abola abola sea lo m´as as sencilla posible. Como eje OX OX ,, de la variable independiente, vamos a tomar la recta que pasa por el foco F y es perpendicular a la directriz L. Como origen del sistema de referencia tomamos el punto O de dicha recta que equidista del foco y de la directriz. Por u ultimo, ´ ltimo, como eje OY de nuestro sistema de referencia tomamos la recta que pasa por O y es paralela a la directriz. En este sistema de ejes perpendiculares tendremos que las coordenadas del foco ser´ an de an p p la forma F = ( 2 , 0) y la ecuaci´on on de la directriz ser´ a L x = 2 . U n punto P = (x, y ) pertenecer´ a a la par´ abola definida si y s´olo abola olo si p p 2 d (P, L) = x + = d (P, F ) + y 2. F )) = (x 2 2
≡
−
−
Y
De aq aqu u´ı es f´acil acil obtener que los puntos (x, y ) que est´ a n en la par´ an abola est´ abola an an caracterizados por la ecuaci´ on on y 2 = 2 p x
V´ertice O
P = (x, y ) Foco Eje de sime simetr´ tr´ıa ıa p X F = ( , 0) 2
| p p| = d (F, L).
La recta y = 0 (el eje OX OX )) es eje de simetr´ıa de la par´ abola anterior y el abola v´ertice (el punto de corte del eje de simetr´ıa ıa con la par´abola) abola) es el origen de coordenadas O = (x = 0, y = 0).
directriz x=
− p2
y 2 = 2 p x
El eje de simetr simetr´´ıa de una par´ abo la tambi´ abola t ambi´en en se suele llamar eje focal. La recta que pasa secundario dario de la por el v´ertice ertice y es perpendicular al eje de simetr simetr´´ıa se suele llamar eje secun par´abola. abola. Una ecuaci´ o n del tipo x2 = 2q y define una par´ on abola con eje de simetr abola simetr´´ıa el eje OY y v´ertice ertice en el origen de coordena coordenadas. das. Si cuando hemos obtenido la ecuaci´ o n de la on 2 par´abola, abola, y = 2 p x, hubieramos adoptado un si siste stema ma de ej ejes es pa paral ralel eloo al qu quee he hemo moss adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una traslaci´ on del sistema de coordenadas), on en el cual el eje OX sea paralelo al eje de simetr´ sime tr´ıa ıa de la par par´ a´b ola (dicho eje de simetr´ıa abola ıa tendr ten dr´´ıa com comoo ecua e cuaci´ ci´ on y = β ) y el v´ertice on ert ice tuviera como coordenadas (α, (α, β ), ), la ecuaci´on on de la par´abola abola en dicho sistema de coordenadas ser ser´´ıa de la forma (y
− β )
2
= 2 p (x
Y V´erti er tice ce (α, β )
Eje y = β
O
− α).
(y
x=α
2
− β )
= 2 p (x
− α)
X
Ejercicio. Determina el v´ertice, ertice, el eje de simetr simetr´´ıa, el foco y la directriz direct riz de las par´ abolas (y Matem´aticas I.
− β )
2
= 2 p (x
− α),
(x
2
− α)
= 2q (y
− β ).
4Ing Ingeni enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
1.1- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas.
5
Las ecuaciones ecuaciones anteriores cubren cubren todos to dos los casos en los que el eje de la par´ abola es paralel paraleloo a uno de los ejes coordenados. No estamos todav´ todav´ıa en condici condiciones ones de estudi estudiar ar la ecuaci´ on de una par´ abola cuy abola cuyoo eje de sime simetr tr´´ıa no sea paralelo a ningun ningunoo de los ejes del sistem sistemaa de referencia que se considere. on 2y 2 + 4y on 4y + 3x 3x + 7 = 0 en la forma Ejercicio. Expresa la ecuaci´ (y
2
− β )
= 2 p (x
− α).
Determina el v´ertice, ertice, el fo co, la directriz y el eje de simetr simetr´´ıa de la par´ pa r´ abola y haz la representaci´ on gr´ on afica. afica.
• La elipse. Definici´ on. Dados dos puntos F 1 y F 2 (iguales o distintos) y una constante 2a (mayor que on. la distancia entre los focos), se llama el elip ipse se de foc focos os F 1 y F 2 y constante 2a al lugar geom´etrico etrico de los puntos, P P ,, cuya suma de distancias a F 1 y F 2 es 2a, d (P, F 1) + d (P, F 2) = 2a.
Ejercicio. ¿Qu´e sucede si 2a es ig igua uall a la di dist stan anci ciaa en entr tree lo loss foc focos os?? ¿y si es me meno nor? r? ¿Qu´ ¿Q u´e su suce cede de si F 1 = F 2 ? Introducimos ahora un sistema de referencia respecto del cual la elipse estar´ a caracterizada por una ecuaci´ o n lo m´as on as simple posible. Tomamos como eje OX la recta que une los focos F 1 y F 2 y como eje OY la recta perpendicular en el punto medio de los focos, punto que ser´ a por tanto el origen de coordenadas del sistem sistemaa de referen referencia. cia. Respecto de ´este este de referencia los focos vendr´ an dados mediante F 1 = (c, 0) y F 2 = ( c, 0). an Un punto P = (x, y ) estar´ a en la elipse si y s´olo olo si
−
d(P, F 1) + d(P, F 2) =
(x
− c)
2
+ y2 +
(x + c)2 + y 2 = 2a.
Sin m´as as que hacer operaciones tenemos dejando una ra ra´´ız cuadrada en cada uno de los miembros de la iguald igualdad, ad, (x
− c)
+ y 2 = 2a
2
−
(x + c)2 + y 2
elevando al cuadrado los dos miembros de la igualdad, (x
2
− c)
+ y 2 = 2a
−
(x + c)2 + y 2
2
desarrollando, (x x2 + c2 Matem´aticas I.
2
2
2
2
2
[(x + c) + y ] − 4a (x + c) + y − c) + y = 4a + [(x 2cx + y − 4a (x + c) − 2cx + y = 4a + x + c + 2cx 2
2
2
5
2
2
2
2
2
+ y2 2 0 1 0 -2 0 1 1
6
Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas. simplificando y dejando en uno de los miembros de la igualdad s´ olo la ra olo ra´´ız cuadr cuadrada ada 4a (x + c)2 + y 2 = 4a2 + 4cx 4cx simplificando y elevando al cuadrado cada uno de los dos miembros de la igualdad, 2
a2 (x + c)2 + y 2 = a2 + cx , desarrollando, 2cx + y 2] = a4 + c2 x2 + 2a 2a2 cx a2 [x2 + c2 + 2cx 2a2 cx + a2 y 2 = a4 + c2 x2 + 2a 2a2 cx, a2 x2 + a2 c2 + 2a simplificando, agrupando t´erminos erminos y despejando, (a2
2
2
− c )x
denotando b2 = a2 tenemos
+ a2 y 2 = a4
2 2
(a2
−a c ⇔
2
2
− c )x
+ a2 y 2 = a2 (a2
2
−c )
2
2 2
− c (> 0) y dividiendo ambos miembros de la igualdad por a b x2 y 2 + 2 = 1, a2 b
siendo b2 = a2 Y
P = (x, y )
2
−c .
(0,, b) (0 a
b ( a, 0)
−
F 2 = ( c, 0)
−
c O
(0,, b) (0
−
(a, 0) X F 1 = (c, 0)
x2 y 2 + 2 =1 a2 b
Es f´acil acil comprobar que el eje OX (la recta que une los focos) y el eje OY (la perpendicul p erpendicular ar ejess de sim simetr´ etr´ıa ıa de la elipse y su punto de corte (el en el punto medio de los focos) son eje origen de coordenadas) es centro de sime simetr tr´´ıa. Notemos que si un pun punto to (x, y ) verifica la ecuaci´on on de la elipse, los puntos ( x, y ) :
± ±
(x, y ), (x, y ), ( x, y ), ( x, y )
−
−
− −
tambi´en en verifican dicha ecuac ecuaci´ i´ on. El eje de simetr on. simetr´´ıa que pasa por p or los focos suele denominarse eje focal. Los puntos en los que los ejes de simetr´ıa ıa cort cortan an a la elipse e lipse ( a, 0) y (0, (0, b) se denomi denominan nan v´ertices. Tambi´ Tambi´en en suelen denominarse denominar se ejes ej es de la elipse a los dos segmentos que se determinan
±
Matem´aticas I.
±
6Ing Ingeni enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
1.1- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas.
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por los v´ertices ertic es en cada c ada eje de simetr´ s imetr´ıa. ıa. Las dista distancias ncias a > 0 y b > 0 del centro de la elipse a los v´ertices ertic es se denomi denominan nan semiejes. Notemos que dichos semiejes son la mayor y la menor distancia de un punto de elipse a su centro. Cuando hay un unico u ´ nico foco, F 1 = F 2 , la definici´on on de elipse corresponde a la circunferencia de centro F 1 = F 2 y radio r = a > 0. En este caso tenemos que 2c 2c = d (F 1, F 2) = 0, b2 = a2 y la ecuaci´ on puede escribirse como x2 + y 2 = a2 . En este caso cualquier recta que pase por on el cent centro ro es eje de simet simetrr´ıa y de la circunferencia hay un unico u ´ nico foco que coincide con el centro cent ro y cualqu cualquier ier recta que pase por p or el cen centro tro es eje de simet simetrr´ıa. Si tenemos un siste sistema ma de referenc referencia ia respecto del cual el cen centro tro de simetr´ simetr´ıa de la elips elipsee tiene por coordenadas (α, (α, β ) y sus ejes de simetr simetr´´ıa son paralelos a los ejes coordenados (con lo cual ser´an an las rectas x = α e y = β ) la ecuaci´on on de la elipse ser´a de la forma (x
2
− α) a2
+
(y
2
− β ) b2
=1
Si a = b tendremos una circunferencia y dependiendo de si a > b ´o a < b, los focos de la elipse y el semieje mayor de la elipse estar´ a sobre uno de los ejes de simetr´ simetr´ıa o sobre el otro. Y Y
y = β
y = β
(α, β )
(α, β )
a>b O
a
x=α
O
x=α
X
• La hi hip´ p´ er bol erb ola. a. Al igual que la par´abola, abola, el alumno conoce la hip´erbola erbola como representaci´ on gr´ afica de afica k una funci´ on ex on expl´ pl´ıcit ıc itaa y = f erbolas son equil´ ateras y tienen ateras f ((x) = x , k = 0. Todas estas hip´erbolas como as as´´ıntotas a los ejes coordena coordenados. dos. Veamos la hip´erbola erbola desde otro punto de vista.
Definici´ on. Dados dos puntos distintos, F 1 y F 2 , y una constante 2a > 0 (menor que la on. distancia entre los focos), se llama hip´ erbo la de foc erbola focos os F 1 y F 2 y constante 2a al lugar geom´etrico etr ico de d e los pun puntos tos P cuya diferencia de distancias a F 1 y F 2 es 2a,
|d (P, F ) − d (P, F )| = 2a. 1
2
Ejercicio. ¿Qu´e suc sucede ede si 2a es mayor que la distancia entre los focos? ¿y si es igual? ¿y si 2a = 0? Al igual que en el caso de la elipse, tomamos como sistema de referencia el que tiene como eje OX la recta que une los focos y como eje OY la perpendicular en el punto medio Matem´aticas I.
7
2 0 1 0 -2 0 1 1
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
de los focos. En este sistema de referencia las coordenadas de los focos ser´ an de la forma 0),, F 2 = ( c, 0). Un punto P = (x, y ) estar´ a en la hip´erbola erbola si y s´ olo si olo F 1 = (c, 0)
−
|d(P, F ) − d(P, F )| = 1
2
(x
− c)
2
+ y2
−
(x + c)2 + y 2 = 2a.
Sin m´as as que hacer operaciones se puede obtener que la anterior ecuaci´ on es equivalente a la on ecua ec uaci ci´´on on x2 y 2 = 1, b2 = c2 a2 . 2 2 a b Una hip´erbola erb ola est´a formada por dos ramas Y (dos curvas sin puntos en com´ un) que vienen un) dadas, respectivamente, por los puntos P que verifican
−
d(P, F 1)
−
F 2
− d(P, F ) = 2a 2
F 1
X
y por los que verifican d(P, F 1 )
− d(P, F ) = −2a. 2
Es f´acil acil comprobar que el eje OX (la recta que une los focos) y el eje OY (la perpendicula perpendicularr en el punto medio de los focos) son eje hip´´erbola erbola y su punto de corte ejess de sim simetr´ etr´ıa ıa de la hip (el origen de coordenadas) es centro de simetr simetr´´ıa. Notemos que si un punto (x, (x, y ) verifica la ecuaci ecu aci´´on on de la hip´erbola erb ola,, los l os punt puntos os ( x, y ) :
± ±
(x, y ), (x, y ), ( x, y ), ( x, y )
−
−
− −
tambi´en en verifican dicha ecuac ecuaci´ i´ on. El eje de simetr on. simetr´´ıa que pasa por p or los focos suele denominarse eje focal. fo cal. Notemos que uno de los ejes de simetr simetr´´ıa, el que hemos tomado como eje OY OY ,, no corta a la hip´erbola erbola mientras que el otro, otro , la recta que une los focos, fo cos, corta a la hip´erbola erbola en rtiices. Los valores a > 0 y b > 0 se denominan dos puntos ( a, 0) que se denominan v´ert semiejes de la hip´erbola. nto otas . erb ola. Otro elemento cara caracter´ cter´ıstico ıstico de las hip´erbolas erb olas son sus as´ınt 2 2 b x y Las rectas y = h ip´erbola erbola 2 = 1 y tienen pendiente x que pasan por el centro de la hip´ a a b2 b equi uil´ l´ at era ater a si sus dos semiejes son iguales son sus as as´´ıntota ıntotas. s. Se dice que la hip´erbola erb ola es eq a equivalente, alente, si sus as as´´ıntotas son perp perpendiculares endiculares entre s´ı. a = b, o lo que es equiv b ınto tota tass y = Y As´ın x a
±
±
−
±
±
V´erti er tice cess ( a, 0) b F 2
±
c a
X
F 1 x2 a2
Centro Matem´aticas I.
−
y2 =1 b2
Ejess de sime Eje simetr´ tr´ıa ıa 8Ing Ingeni enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
1.1- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas.
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Ejercicio. Siendo F 1 = (0 (0,, c) y F 2 = (0 (0,, c), determina la ecuaci´ on de la hip´ on h ip´erbola erb ola form formada ada por los puntos P que verifican d(P, F 1) d(P, F 2) = 2a. x2 y 2 Si cuando hemos obtenido la ecuaci´ on de la hip´erbola on erb ola,, 2 = 1, hubieramos hubieramos adoptado a b2 un sistema de ejes paralelo al que hemos adoptado (o lo que es lo mismo si hacemos una traslaci´on on del sistema de coordenadas), en el cual el eje OX fuera paralelo a la recta que une los focos (y el eje OY fuera la perpendicular en el punto medio de los focos), los ejes de simetr´ıa ıa tendr´ıan ıan po porr ecuac ecuaciones iones resp respectivas ectivas x = α e y = β y la ecuaci´ on de la hip´erbola on erb ola ser´ıa
|
− −
|
−
Y
(x
2
− α) − (y − β ) a b 2
y = β
2
2
= 1.
Centro (α, (α, β )
X x=α En el caso de que adoptaramos un sistema de ejes en el que los focos estuvieran sobre una recta paralela al eje OY tend ndrr´ıa ıamo moss OY ,, te Y
(x
2
− α) − (y − β ) a b 2
2
y = β
2
=
−1
Centro (α, (α, β )
x=α
X
k ¿Qu´ u´e re rela laci ci´ o´n hay entre las gr´ on aficas y = aficas y las hip´erbolas? erbolas? Caundo esObservaci´ on. ¿Q on. x tudiemos la ecuaci´ on de un giro veremos que, si giramos on giramo s la hip´erbola erbola xy = k , con centro en π el origen de coordenadas, un angulo a´ngulo de φ = radianes radia nes obtenem ob tenemos os la hip´erbola erb ola de ecuac ecuaci´ i´ on 4
−
(x)2 2k
−
(y )2 =1 2k
que es una hip´erbola erbola equil´ atera con centro el origen de coordenadas y ejes los ejes coordeatera nados. Cuando una hip´erbola erb ola (equil´atera) atera) viene dada por una ecuaci´ on del tipo xy = k se dice on que la hip´erbola erb ola est´a referida ref erida a sus as´ as´ıntotas y cuando viene dada por una ecuaci´ on del tipo 2 2 x y = 1 se dice que est´a referida a sus ejes. a2 b2
−
±
Matem´aticas I.
9
2 0 1 0 -2 0 1 1
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
1.1.3.- La propiedad focal. Aunque las tres c´ onicas (no degeneradas) tienen una propiedad focal, la m´ onicas as conocida es as la propiedad focal de la par´ abola. Vamos a enunciar la propiedad focal de cada una de las abola. c´onicas oni cas en t´ermino erm inoss geo geom´ m´etrico etr icoss y en t´ermino erm inoss opticos. ´
• Propie Propiedad dad foc focal al de la par´ abol a. abola.
En cada punto P de la par´ abola, el angulo ´ que forma la recta tangente con el segmento ´ que forma con la recta paralela al P F F ,, que une el punto con el foco, coincide con el angulo eje que pasa por el punto considerado. θ
Foco
Eje de Sime Simetr´ tr´ıa ıa
Si colocamos una fuente luminosa luminosa en el foco de una par´ abola, los rayos emitidos se reflejan en la par´abola abola en la direcci´ on del eje. Y viceversa, todos los rayos de luz que incidan en una on par´abola abola en la direcci´on on de su eje se reflejan en el foco. Si tenemos la superficie que se obtiene al girar una par´ abola, esta propiedad permite conabola, centrar en el foco de la par´ abola todo lo que recibe la superficie (ondas, luz,...) paralelamente abola al eje. Rec Rec´´ıprocamen ıprocamente, te, permite reflejar paralel paralelamen amente te al eje todo lo que se emite desde el foco. Ejemplos de utilizaci´ on de esta propiedad son los faros de los autom´ on oviles, las antenas oviles, parab´olicas olicas de TV, los grandes reflectores de los telescopios que se usan en Astronom Astronom´´ıa, los hornos parab´ olicos,... olicos,...
• Propiedad focal de la elipse. En cada punto P de la elipse, la recta tangente forma ´ angulos iguales con los segmentos P F 1 y P F 2 que unen el punto con los focos. Y θ F 2
Matem´aticas I.
θ
F 1
X
10Ingeni Ing enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
1.1- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas.
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Si colocamos una fuente luminosa en uno de los focos de una elipse, los rayos emitidos se reflejan en la elipse y se concentran en el otro foco.
Ejercicio: ¿Qu´e dice la propiedad focal de la circunferencia, si es que tiene sentido plantearse dicha propiedad?
• Propie Propiedad dad foc focal al de la hip´ erbo la. erbola. En cada punto P de la hip´ h ip´erbola, erbola, la l a re recta cta tangente forma angulos ´ iguales con los segmentos P F 1 y P F 2 que unen el punto con los focos.
F 2
F 1 θ
Si tenemos una fuente lumin luminosa osa situada en uno de los focos fo cos de una hip hip´´erbola, erbola, los ray rayos os de luz se reflejan en (la correspondiente correspondiente rama de) la hip´erbola erbola de forma divergente divergente como si provinieran del otro foco.
1.1.4.- Ecuaci´ on reducida de una c´ on onica no girada. onica En general, una c´ onica es una curva formada por todos los puntos del plano cuyas cooronica denadas (x, (x, y ) verifican una ecuaci´ on de segundo grado on 2a12 xy + 2a 2a1x + 2a 2 a2 y + a0 = 0. a11 x2 + a22 y 2 + 2a Notemos que una ecuaci´ o n de este tipo puede describir, junto a las c´ on onicas previamente onicas estudiadas, otro tipo de c´ onicas que se suelen conocer, unas como c´ onicas onicas degeneradas onicas y otras como c´onicas onicas imaginarias. imaginarias. Los siguie siguientes ntes ejemplos ilust ilustran ran este tipo de c´ onicas: una 2 2 2 pareja de rectas (que se corten en punto, x 4 = 0 o que y = 0, que sean paralelas x sean coincidentes, x2 = 0), o un unico u ´ nico punto punto,, x2 + y 2 = 0, o nada, x2 + y 2 + 1 = 0. En general, cualquier ecuaci´ on de segundo grado, en dos variables (x, on (x, y ), si sin n t´ er mino ermi no en xy (a12 = 0) puede reducirse a uno de los siguientes tipos de ecuaci´ on on
−
a X 2 + b Y 2 + c = 0,
X 2 + bY = 0,
−
X 2 + c = 0
sin m´as as que completar cuadrados. Estas ecuaciones representan a c´ onicas cuyos ejes son onicas paralelos paralel os a los ejes coordenados (las c´ onicas no est´ onicas an giradas respecto al sistem an sistemaa de referencia on reduci on reducida da de la c´onica considerado). A este tipo de ecuaci´ on se le denomina ecuaci´ on onica o ecuaci ecu aci´´on on de la c´ onica referida a sus ejes. Cuando el coeficiente de xy es distinto de cero, la onica ecuaci´on on tambi´ en se puede reducir a uno de los tipos de ecuaci´ en on anteriores, pero para eso ser´a necesario hacer un giro y esta cuesti´ on tendr´ on a su lugar natural m´as as adelan adelante. te. Matem´aticas I.
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1.1- Las c´onicas. Ecuaciones reducidas.
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67 67 y b = . 16 8 ¿Sobre que recta est´ an los focos de la elipse? ¿Cu´aales an les son los ejes eje s de simetr simetr´´ıa? Calcula los focos y los v´ertices ertices de la elipse y dib´ ujala. ujala. y la c´onica onica es una elipse con centro el punto
− 34 , 52
y semiejes a =
1.1.5.-- Ecuaci 1.1.5. Ecuaciones ones param´ etric as. etricas. Para describir mediante ecuaciones una curva plana hemos utilizado distintos tipos:
xpl´ l´ıcita mediante la cual una coordenada est´ En forma exp a expresada como variable dependiente de la otra que es una variable independiente recorriendo un cierto intervalo (o semirrecta o toda la recta real). Por ejemplo, la igualdad y = 3x2 define a x como funci´on on exp expll´ıc ıcit ita, a, y = f f ((x), de x y la curva est´a formada por los puntos (x, f f ((x))
2
∈R
:x
∈ I ⊂ R
siendo I un determinado intervalo (finito o infinito) de la recta real. En forma imp a formada por los puntos cuyas coormpll´ıcit ita a mediante la cual la curva est´ denadas verifican una determinada ecuaci´ on, F on, (x, y ), F ((x, y ) = 0, en las dos variables (x, llamada ecuaci´ on impl on impl´´ıcita de la curv curva. a. Por ejempl ejemplo, o, la circun circunferenci ferenciaa de cen centro tro el 2 2 origen de coordenadas y radio 1 queda determinada por la ecuaci´ on x + y = 1. En forma pa (x, y ), de los puntos de para ram´ m´ etr tric ica a mediante la cual las coordenadas, (x, la curv curvaa viene vienen n definid definidas as como funcion funciones es expl expl´´ıcitas de una variable independi independiente ente t, denominada par ar´ ´ am etro, que recorre un determinado intervalo, ame x = f f ((t), y = g (t),
t
∈ I ⊂ R.
El ejemplo m´as as simpl simplee nos lo proporcionan las ecuacio ecuaciones nes param param´´etricas etricas de una recta descrita descri ta a trav´es es de un punto A = (x0 , y0) y un vector director v = (v1 , v2), x = x0 + tv1 y = y0 + tv2
t
∈ R.
Si quisieramos obtener un segmento de la recta, recta , bastar bast ar´´ıa con restringir el recorrido r ecorrido del par´ametro ametro t a un cierto intervalo. Por ejemplo, cuando t recorre el intervalo [0, [0, 1] el punto (x, (x, y ) dado por la anterior parametrizaci´ on recorre el segmento de extremos A on y A + v. En general, para una misma curv curvaa se pueden dar distintas parametrizacione parametrizacioness median mediante te las cuales se pued puedee reco recorrer rrer la curv curvaa de dis distin tintas tas form formas: as: con distint distintoo sen sentid tido, o, con distinta velocidad (constante o variable), etc. Por ejemplo, para la misma recta anterior,
• la par parame ametr triza izaci´ ci´on on
x = x0 y = y0
− λv λ ∈ R. − λv permite, cuando λ va desde −∞ hasta +∞, recorrer la recta en sentido contrario al dado por el recorrido que se obtiene cuando t va desde −∞ hasta +∞ en la 1
2
primeraa parametri primer parametrizaci´ zaci´ on on Matem´aticas I.
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
• la par parame ametr triza izaci´ ci´on on
x = x0 + µ2 v1 y = y0 + µ2 v2
µ
∈ R.
permite, cuando µ va desde hasta + , recorrer dos veces una de las dos semirrectas que parten del punto A,
−∞
parame ametr triza izaci´ ci´on on • la par
∞
x = x0 + s3v1 y = y0 + s3 v2
µ
∈ R.
permite, cuando s va desde hasta + , recorrer la recta completa pero con velocidad variable: cuando s recorre, por ejemplo, los intervalos [0, [0, 1] y [3, [3, 4] se obtienen segmentos de recta de distinta longitud,
−∞
∞
consideramos eramos unas ecuacio ecuaciones nes param param´´etricas etricas tomando otro punt puntoo de la recta y • si consid otro vector direcci´ on, la forma de recorrer la recta ser´ on, a distinta.
Toda curv curvaa plana que ven venga ga dada en forma expl expl´´ıcita, por ejemplo ejemplo y = f tambi mbi´´en en f ((x), ta est´a dada en forma impl impl´´ıcita, mediante F param´´etrica, etrica, F ((x, y ) = y f f ((x) = 0, y en forma param mediante x = t, y = f f ((t).
−
Sin embargo, dada una ecuaci´ on impl´ıcita, on ıci ta, F siem empre pre es pos posib ible le despejar despejar F ((x, y ) = 0, no si una variable en funci´ on de la otra (como una unica on ´ funci´ on). Por ejemplo, de la ecuaci´ on). on on 2 2 1 = 0 no es posible despejar ninguna variable en funci´ on de la otra. Para describir on x +y la circunferencia completa necesitar necesitar´´ıamos dos funciones expl expl´´ıcitas. De la misma forma, no siempre es posible pasar de las ecuaciones param´etricas etricas a una ecuaci´ on ex expl´ pl´ıcit ıc itaa o imp impll´ıc ıcit ita. a. El estudio de las condiciones bajo las cuales una ecuaci´ on imp on impll´ıc ıcit ita, a, F F ((x, y ) = 0, define a una de las variables como funci´ on expl´ on expl´ıcita de la otra, cae dentro del campo de actuaci´ on del on c´ alculo diferencial de varias variables. variables. Desde el punto de vista de la representaci´ o n gr´ on afica afica de una curva, habitualmente se considera a ´esta esta dada por unas ecuaciones param´etricas etricas (o el caso m´as as simple de una ecuac ecuaci´ i´on on expl expl´´ıcita ıcita). ). En la relac relaci´ i´ on de ejercicios se consideran algunos on ejemplos de parametrizaci´ o n de curvas en el espacio. B´ on asicamente,, las parametri asicamente parametrizacione zacioness se obtienen a partir de levantar una parametrizaci´ o n de una curva en uno de los planos on coordenados.
−
Referente a una parametrizaci´ on de las c´ on onicas no giradas (en el plano) tenemos: onicas
Par´abo Par´ ab ola. Es inmediato parametrizar cualquier par´ abola con ejes paralelos a los coabola ordenados.. Seg´ ordenados un que el eje de sim un simetr etr´´ıa sea hori horizon zontal tal o ve vertic rtical al podremo podremoss exp expreresar x como func funci´ i´ on expl on expl´´ıcita de y o y como func funci´ i´ on expl on expl´´ıcita de x. La par´abola abo la (y β )2 = 2 p 0),, de v´ertice ert ice (α, β ) y eje horizontal, define a x como p((x α), ( p = 0) funci´on on expl´ıcita ıci ta de y y tenemos la parametrizaci´ on asociada, on
−
−
(y
2
− β )
= 2 p p((x
− α) =⇒
x=α+ y=t
1 2 p
(t
− β )
2
,
(
−∞ < t < ∞)
Elipse. La elipse de centro (α, (α, β ) y semiejes a y b respectiv respectivamen amente, te, tiene por ecuaci´ on (x
− α) a2
Matem´aticas I.
2
+
(y
2
− β ) b2
= 1.
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1.2.-Las cu´adricas.
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Teniendo en cuenta que la circunferencia unidad, X 2 +Y 2 = 1, la podemos parametrizar tomando como par´ ametro el angulo ametro a´ngulo polar t, cos(t), X = cos(t sen(t), Y = sen(t
t
∈ [0[0,, 2π];
podemos parametrizar la elipse dada mediante x y
− α = a cos( cos(tt) sen(tt) − β = b sen(
t
∈ [0[0,, 2π].
Si quisi´eramos eramo s obtener obt ener un arco ar co de la circunfer cir cunferencia encia o de la elipse basta bastarr´ıa con co n considerar consi derar un intervalo apropiado de variaci´ on de t. on
Hi p´ Hip´ er bol erb ola. a. Para describir mediante ecuaciones param´etricas etricas una hip´erbola erbola vamos a considerar por separado cada una de las ramas y vamos a utilizar las funciones olico y la funci´on olico olico dadas olico hiperb´ olicas: la funci´on olicas: on coseno hiperb´ on seno hiperb´ por et + e−t et e−t cosh(tt) = cosh( senh(tt) = senh( , , t R 2 2
−
∈
que tienen t ienen algunas similitudes con co n las funciones trigonom´etricas etricas (paridad, derivadas,... derivadas,...)) y algunas diferencias significativas (acotaci´ on,...). En particular tendremos en cuenta on,...). que senh(t senh(t) recorre toda la recta real cuando t var´ıa ıa de desd sdee a + y que
−∞
cosh2 (t)
∞
2
− senh (t) = 1.
on gr´ on afica de las funciones hiperb´ afica olicas y comproba olicas comprobarr Ejercicio. Obtener la representaci´ la igualdad anterior. La rama r ama derecha de la hip´ h ip´erbola erb ola x2 y 2 = 1 puede obtenerse mediante la parametrizaci´ on
−
cosh(t) x = cosh(t senh(t) y = senh(t
t
∈ R.
parametrizaci´ zaci´ on de la rama izquierda de la hip´erbola erbola anterior Ejercicio. Obtener una parametri as´´ı como de cada una de las ramas de las hip´erbolas as erbolas (x
2
− α) − (y − β ) a b 2
2
2
=
±1.
1.2.- Las cu´ adricas. Ecuaciones reducid adricas. reducidas. as. 1.2.1.- La ecuaci´ on reducida de una cu´ on adrica no girada. adrica En general, una cu´adrica adrica es la superficie formada por todos los puntos del espacio cuy cuyas as coordenadas (x,y,z (x,y,z)) verifican una ecuaci´ on de segundo grado on 2a12 xy + 2a 2a13 xz + 2a 2a23 yz + 2a 2a1 x + 2a 2a2 y + 2a 2a3z + a0 = 0. a11 x2 + a22 y 2 + a33 z2 + 2a Matem´aticas I.
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
Notemos que una ecuaci´ on de este tipo puede describir, on describir, adem´ as de las superficies que veremos as m´as as adelante, las llamadas cu´ adricas degeneradas: una pareja de planos (que se corten en adricas una recta, que sean paralelos o que sean coincidentes), x2
−y
2
= 0,
x2
− 4 = 0,
x2 = 0
o una recta, x2 + y 2 = 0, o un unico u ´ nico punto, x2 + y 2 + z2 = 0, o nada x2 + y 2 + z2 + 1 = 0. 0. Cuando en la ecuaci´ on de la cu´ on adrica no aparecen t´erminos adrica erminos cruzados, la ecuaci´ on puede completar tar cuadrados y t´erminos ermino s lineal lineales es, a una ecuaci´on reducirse, sin m´as as que comple o n en la que a lo sumo aparece un t´ermino ermino en cada variable (y, posiblemente, un t´ermino ermino independiente), es decir a uno de los siguientes tipos de ecuaci´ on: on: ax2 + by 2 + cz 2 + d ax2 + by 2 + cz ax2 + by + cz ax2 + by ax2 + c
= = = = =
0 0 0 0 0.
Dependiendo de los signos de los coeficientes involucrados tendremos superficies con diferentes elementos distintiv distintivos os (planos, ejes y centros de simetr simetr´´ıa, v´ertices, ertices, cortes con planos paralelos a los planos coordenados,...). Aunque todav to dav´´ıa no estemos en condiciones de d e abordar ab ordar el estudio de la ecuaci´ on general, la ecuaci´ ecuac i´on on de cualqu cualquier ier cu´ adrica se puede reducir a uno de los tipos anteriores que se denomina adrica ecuaci´ ecuac i´on on reduc reducida ida de la cu´ adrica correspondiente. A continuaci´ adrica on estudiamos las diferentes on cu´adricas adricas y sus elementos notables.
1.2.2.- Los elipsoides. Los elipsoides se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos no s quedan tres t´ermierminos de segundo grado con coeficientes del mismo signo, es decir d ecir la ecuaci´ ecua ci´on on t´ıpica es: X 2 Y 2 Z 2 + 2 + 2 = a2 b c
1, 0, 1
siendo a,b,c = 0.
−
• El elipsoide (real). Los elipsoides propiamente dichos se tienen en el caso X 2 Y 2 Z 2 + 2 + 2 =1 a2 b c que es una super superfici ficiee que es sim sim´´etrica etrica res respecto pecto a cada uno de los planos coordenados. coordenados. Si un punto (X,Y,Z (X,Y,Z ) pertenece a dicha superficie (sus coordenadas verifican la ecuaci´ on), los puntos ( X,Y,Z ), (X, Y, Z ), (X,Y, Z ) tambi´ en pertenecen. Por tanto, en t anto, dicha superficie tambi´en en es e s sim´etrica etric a resp respecto ecto a los lo s ejes ej es coo c oordena rdenados dos (rect (rectas as de corte c orte de los lo s planos pla nos de simetr´ si metr´ıa) ıa) y res respecto pecto del ori origen gen de coorde coordenada nadass (pun (punto to de cort cortee de los tres pla planos nos de sim simetr etr´´ıa). Por otra parte, cuando cortamos dicha superficie con un plano paralelo a alguno de los planos
−
Matem´aticas I.
−
−
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1.2.-Las cu´adricas.
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coordenados, por ejemplo Z = k, obtenemos una elipse para ciertos valores de k, o un punto o nada. La gr´ afica del elipsoide es la que se ve en la figura adjunta. afica Elementos caracter caracter´´ısticos de un elipsoide son:
Z
X2 a2
+
Y 2 b2
+
Z 2 c2
=1
Centro de simetr´ıa, ıa, (X = 0, Y = 0, Z = 0). Planos y Ejes de simetr simetr´´ıa, los coordena coordenados. dos.
c a
V´ertices, ertic es, puntos punto s de corte co rte del d el elipsoide elipso ide con co n sus ejes de simetr simetr´´ıa con , es decir, los puntos
b
Y
( a, 0, 0) 0),, (0 (0,, b, 0) 0),, (0 (0,, 0, c).
±
X
±
±
Los semiejes a,b,c a,b,c,, distancias del centro a los v´erti er tice ces. s.
Elipsoide
Cuando los tres semiejes del elipsoide son iguales, a = b = c, tenemos una esfera X 2 + Y 2 + Z 2 = a2 de centro el origen de coordenadas (X (X = 0, Y = 0, Z = 0) y radio r = a. Cuando s´olo olo dos de los semiejes sean iguales (y el otro disti distinto) nto) tendremos un elips elipsoide oide de revo revoluci´ luci´ on (ver el on ep´ıgra ıg rafe fe 3) 3)..
• El caso degenerado y el caso imaginario. Los otros dos casos que pueden aparecer cuando los tres coeficien co eficientes tes de los t´erminos erminos de segundo grado g rado son (no nulos y) del mismo signo corresponden corr esponden a situaciones geom´etricas etricas que no se deben llamar elipsoides propiamente dichos. X 2 Y 2 Z 2 La ecuaci´ on 2 + 2 + 2 = 0 tiene como unica on u´nica soluci´on on real (X (X = 0, Y = 0, Z = 0). a b c Es decir, la cu´ adrica se reduce a un unico adrica u´nico punto. 2
2
2
La ecuaci´ on Xa + Y b + Z c = 1 no tiene ninguna soluci´ on on real, es decir, no representa on a ninguna superficie del espacio real tridimensional. A veces se denomina elipsoide imaginario.. imaginario 2
2
2
−
1.2.3.- Los hiperboloides y el cono. Los hiperboloides y el cono se obtienen cuando, una vez completados cuadrados, nos quedan que dan tres t´erminos erminos de seg segund undoo grad gradoo con dos coefic coeficien ientes tes del mis mismo mo sig signo no (y el otro distinto), es decir la ecuaci´on on t´ıp ıpic icaa es es:: X 2 Y 2 + 2 a2 b
−
Z 2 = c2
1, 0, 1
siendo a,b,c = 0.
−
• El hiperboloide hiperb´olico olico (o de una hoja). Una ecuaci´ on del tipo on
Matem´aticas I.
X 2 Y 2 + 2 a2 b
−
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Z 2 =1 c2 20 10 -2 01 1
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
corresponde a una superficie denominada hiperboloide hiperb´ olico o de una hoja. Notemos olico que al cortar esta superficie con planos Z = k, paralelos al plano OX Y Y ,, se obtienen elipses, al cortar con planos X = k ´o Y = k , paralelos a los otros dos planos coordenados co ordenados,, se obtiene obtienen n hip´ hi p´erb er b ol olas as.. Z
Elementos caracter caracter´´ısticos de un hiperb hiperboloide oloide de una hoja son su centro y su eje. En el caso considerado, 2
2
X Y + a2 b2
X2 a2
2
−
Z = 1, c2
+
Y 2 b2
−
Z 2 c2
=1
Y X2 a2
X
el centro es el origen de coordenadas (X (X = X = 0 0, Y = 0, Z = 0) y el eje es OZ Z = 0 que es un eje de simetr´ıa. ıa.
+
≡
Y 2 b2
=1 Z = 0
Hiperboloide hiperb´ olico olico
Al igual que el elips elipsoide, oide, el hiperboloide de dos hojas ho jas es sim sim´´etrico etrico respecto a los planos y ejes coordenados. Si un punto (X,Y,Z (X,Y,Z ) verifica la ecuaci´ on, los puntos on, ( X, Y, Z )
± ± ±
tambi´en en verifican dicha ecuac ecuaci´ i´ on. Los cortes con los planos coordenados son on. X 2 Y 2 con Z = 0, la elipse (llamada elipse de garganta) 2 + 2 = 1. a b X 2 con Y = 0, la hip´eerbola rb ola 2 a Y 2 con X = 00,, la hip´eerbola rb ola 2 b
−
Z 2 = 1. c2
−
Z 2 = 1. c2
El hiperboloide de una hoja tiene una particularidad que resulta sorprendente (desde un punto de vista intuitivo), esta particularidad es el ser una superficie reglada. Se dice que una superficie es reglada si por cada uno de sus puntos pasa una recta totalmente contenida en la superficie (es decir, puede considerarse formada por rectas). Por cada punto de un hiperboloide de una hoja pasan dos rectas totalmente contenidas en la superficie. Se puede comprobar que si tenemos un punto, A = (x0 , y0, z0 ), del hiperboloide de una hoja de ecuaci´ on x2 + y 2 = 1 + z2 , las rectas que pasan por A y tienen como vectores direcci´ on on on respectivos x0 z0 + y0 x0 z0 y0 y v = y0z0 + x0 u = y0z0 x0 2 1 + z0 1 + z02
−
−
est´an an totalmente contenidas en el hiperboloide de una hoja. Para un hiperboloide de una hoja de ecuaci´ on on X 2 Y 2 Z 2 + 2 =1 a2 b c2
−
Matem´aticas I.
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1.2.-Las cu´adricas.
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basta hacer el cambio de variables x=
X Y Z , y= , z= a b c
para obtener las rectas contenidas en el hiperboloide y que pasan por uno de sus puntos.
• El hiperboloide elel´´ıptico (o de dos hojas). X Y Z − Una ecuaci´ o n del tipo on + = −1 corresponde a una superficie denominada a b c 2
2
2
2
2
2
hiperboloide el´ el´ıptico o de dos ho jas. Notemos que al cortar esta superficie con planos Z = k, paralelos al plano OX Y Y ,, se obtienen elipses (o un punto o nada) X 2 Y 2 k2 + 2 = 2 a2 b c
− 1.
obtienen nen hip´erbolas erb olas X = k, paralelos al plano OY Z , se obtie Y 2 b2
−
Z 2 = c2
k2 . a2
−1 −
obtienen nen hip´erbolas erb olas Y = k, paralelos al plano OX Z , se obtie X 2 a2
−
Z 2 = c2
−1 −
k2 . b2
Elementos caracter car acter´´ısticos de un hiperboloide hip erboloide de una hoja son su centro y su eje. En el caso considerado, X 2 Y 2 + 2 a2 b
−
Z 2 = c2
Z
−1. X2 a2
el centro es el origen de coordenadas
+
Y 2 b2
−
−1
X
X = 0 . Y = 0 Obviamente, teniendo en cuenta la ecuaci´ on consid on considererada, el hiperb hiperboloide oloide de dos ho jas es sim´etrico etrico respecto r especto a los planos y ejes coordenados.
≡
• El cono.
=
Y
(X = 0, Y = 0, Z = 0) y el eje es el eje OZ
Z 2 c2
Hiperb Hip erbolo oloide ide el´ıptico ıpt ico
X 2 Y 2 Z 2 Una ecuaci´ on del tipo 2 + 2 on = 0 corresponde a una superficie denominada cono. a b c2 Se puede consid considerar erar como un caso l´ l´ımite de los dos tipos de hiperboloides que acabamos de ver. Sin m´as as que despejar, podemos escribir la ecuaci´ on anterior de la forma on
−
X 2 Y 2 Z = 2 + 2 , A B 2
A, B = 0.
Notemos que al cortar esta superficie con planos Z = k paralelos al plano OX Y se obtienen elipses (salvo en el caso k = 0 que obtenemos un unico u´nico punto) punto) y al cortar con planos paralelos paralelos Matem´aticas I.
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
a los otros dos planos plano s coordenados co ordenados se obtienen hip´erbolas. erbolas. Adem´ as, al cortar con planos que pasan por el origen de coordenadas pueden obtenerse: una pareja de rectas que se cortan, una recta doble o un unico u´nico punt punto. o. Elemen Elementos tos caracter caracter´´ısticos de un cono son su v´ertice, en los casos considerados es el origen de coordenadas (0, (0, 0, 0), y su eje, que en los casos considerados es el eje OZ X = 0 = Y ales son so n el eje y el v´ertice ertice del cono de ecuaci´ on on Y .. ¿Cu´ales 2 2 2 (x 3) = 2 (y + 1) + z ?
≡
−
Z
Notemos que un cono es una superficie que puede ser descrita f´ acilmente mediante rectas. acilmente Si tenemos una elipse en el espacio y un punto a en el plano de la elipse, la suV que no est´ perficie formada por (todos los puntos de) las rectas que pasan por V y por un punto de la elipse es un cono con v´ertice ertic e V V ..
Cono Y
O
Z 2 =
X
X2 A2
+
Y 2 B2
1.2.4.- Los paraboloides. Los paraboloides se obtienen cuando en la ecuaci´ on reducida aparecen dos t´erminos on erminos de segundo grado gr ado y un t´ermino ermino de primer grado. gr ado. Es decir, dos do s de las variables aparecen elevadas al cuadrado y la otra aparece con exponente uno. Para fijar ideas ideas,, supongamos que la variable variable en la que no aparece ning´ un t´ermino un ermino de segundo grado es Z . En este caso, la ecuaci´ o n se on podr´ a expresar de una de las dos formas siguientes: Z =
±
X 2 Y 2 + 2 a2 b
´o Z =
X 2 a2
±
−
Y 2 b2
con a, b = 0.
• El parabo paraboloide loide el el´ ´ıptico ıptico.. Una ecuaci´ on del tipo on
Z =
±
X 2 Y 2 + 2 , a,b = 0 a2 b
corresponde a una superficie denominada paraboloide el el´´ıptico. Notemos que al cortar con planos paralelos a los planos coordenados, por ejemplo la superficie correspondiente al signo + en el segundo miembro, obtenemos: con X = k, las par ar´ ´ ab olas dadas por Z abo
− con Y = k, las par ar´ ´ ab olas dadas por Z − abo
k2 a2
=
Y 2 b2
(en el plano X = k).
k2 b2
=
X2 a2
(en el plano Y = k).
con Z = k, las elipses (o un punto o nada) dadas por Matem´aticas I.
X2 a2
2
+ Y b = k (en el plano Z = k). 2
20Ingeni Ing enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
1.2.-Las cu´adricas.
21 Z
Elemento s cara Elementos carater ter´´ıstico ısticoss de un para parabo boloide loide el el´´ıptico son su v´ertice ertic e y su eje de simetr´ıa, ıa, en el caso considerado, X 2 Y 2 Z = 2 + 2 , a b el v´ertice ertice es el origen o rigen de coordena coordenadas das (X = 0, Y = 0, Z = 0)
Y
x=0 . Por otra parte, la y=0 superficie es sim´etrica etrica respecto a dos do s de los planos coordenados, OY Z X = 0 y OX OXZ Z Y = 0. y el eje es el eje OZ
≡
≡
O
X 2 Y 2 Z = 2 + 2 a b Parabo Para boloi loide de el el´´ıpt ıptico ico
X
≡
Z
Parabo Para boloi loide de el el´´ıpt ıptico ico Z =
X2 a2
−
+
Y 2 b2
Si hubieramos considerado la ecuaci´ on on Z =
X
O
Y
−
X 2 Y 2 + 2 a2 b
tendr´ıamos una superficie de la misma tendr´ forma pero abierta hacia los valores negativos de Z .
• El paraboloide hiperb´olico. olico. Una ecuaci´ on del tipo on Z =
−
X 2 Y 2 + 2 , a,b = 0 a2 b
corresponde a una superficie, denominada paraboloide hiperb´ olico, que se asemeja a una silla de montar y a veces recibe ese nombre. Al cortar con planos paralelos a los planos coordenados obtenemos: k2 Y 2 con X = k, las par + 2 = 2 (en el plano X = k). ar´ ´ ab olas dadas por Z abo Z + a b X 2 con Y = k, las par ar´ ´ ab olas dadas por 2 = abo b
−
k2 Z + 2 Z + b
(en el plano Y = k).
X 2 Y 2 hip´ p´ er bol erb olas as dadas por con Z = k, para k = 0 la lass hi + 2 = k (en el plano Z = k) a2 b y para k = 0 las as as´´ıntotas comunes de (la proyecci´ on sobre el plano Z = 0 de) todas las hip´erbolas erb olas anterio anteriores. res.
Matem´aticas I.
−
21
20 10 -2 01 1
22
Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas. Z El paraboloide hiperb´ olico consid olico considerado erado es sim´etrico etrico respecto a dos de los planos coordenados, respecto al plano OX Z Y = 0 y respecto al plano tanto,, es sim sim´´etrico etrico respecto OY Z X = 0. Por tanto al eje coordenado intersecci´ on de los planos anterion X = 0 ores, el eje OZ puesto que si un punY = 0 to de coordenadas (X,Y,Z (X,Y,Z ) verifica la ecuaci´on, on, el punto de coordenadas ( X, Y, Z ) ta tambi´ mbi´en en la verfica.
Y
O
≡
≡
≡
X
Z =
−
X 2 Y 2 + 2 a2 b
− −
Paraboloide Paraboloi de hiperb´ olico olico Notemos adem´ as que el paraboloide hiperb´ as olico tambi´ olico en es una superficie reglada. De en hecho, hec ho, por cada uno de sus puntos pasan dos rectas totalmente totalmente conte contenidas nidas en ´el. el. Se puede comprobar que si tenemos un punto A = (x0 , y0 , z0 ) del paraboloide hiperb´ olico de ecuaci´ olico on on z=
−
x2 y 2 + 2 a2 b
las rectas que pasan por dicho punto y tienen como vectores direcci´ on respectivos 2(ay u = (a2b,ab2 , 2( ay0
y v = ( a2 b,ab2 , 2( 2(ay ay0 + bx0 ))
− bx ))
−
0
est´an an totalmente contenidas en el paraboloide hiperb´ olico. olico.
1.2.5.- Los cilindros y las cu´ adricas degeneradas. adricas Las cu´ adricas de tipo cil adricas cil´´ındrico corresponden a los casos restan restantes, tes, es decir, cuando en la ecuaci´ on reducida en los que en la ecuaci´ on on reducida no aparece alguna de las variables. on Las posibles ecuaciones t´ıpicas son:
Tipo Ti po el´ıpti ıp tico co:: dos cuadrados del mismo signo y la otra variable no aparece, X 2 Y 2 + 2 = a2 b X2 a2
1 0
−1
Y 2 b2
• Cil Cilind indro ro el´ıpti ıp tico co : + = 1. • Recta (doble): + = 0 ≡ X = Y = 0. Cilindroo el´ıptico ıptic o imaginar ima ginario io (Nada) ( Nada):: + • Cilindr X2 a2
Y 2 b2
X2 a2
Y 2 b2
= 1. No hay ning´un un punto de cuyas coordenadas verifiquen la ecuaci´ on anterior. on
−
Tipo hiperb´ olico: dos cuadrados de distinto signo y la otra variable no aparece, olico: X 2 a2
olico: • Cilindro hiperb´olico Matem´aticas I.
X2 a2
−
−
Y 2 b2
Y 2 = b2
=
±1 0
±1.
22Ingeni Ing enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
R3
1.2.-Las cu´adricas.
23 X2 a2
• Par de planos secantes: −
Y 2 b2
=0
X a
≡ −
Y b
= 0, ´o
X a
+
Y b
= 0.
u ´ nico cuadrado Tipo parab´ olico: Un unico olico: + bZ + c Y 2 = aX aX +
• Cilindro parab´olico olico: a ´o b distintos de cero. Por ejemplo Y • Par de planos paralelos: Y = c > 0 ≡ Y = ±√c. • Plano doble: Y = 0. • Nada: Y = c < 0.
2
= 2 pZ, p = 0.
2
2
2
Z
Z
Y
Y X 2 Y 2 + 2 =1 a2 b
X Cilindr Cili ndroo El El´´ıpt ıptico ico
Z
Y 2 = 2 pZ X Cilindro Cili ndro parab´ olico olico
Y X
X 2 a2
−
Y 2 = b2
−1
Cilindro hiperb´ olico olico
De forma gen´erica, erica, todos to dos los casos en los que la ecuaci´ on de segundo grado representa planos (secantes, (secantes, paralelos o coinci coincidendes dendes), ), rectas, puntos o nada se suelen denominar casos degenerados. Obviamente, todos los cilindros (y los casos degenerados en los que hay superficie) son superficiess regladas superficie regladas..
Nota. P´aginas aginas web sobre c´ onicas, cu´ onicas, adricas y otras curvas y superficies: adricas http://www.cnice.mec.es/mem2000/supe http://www.cnice.mec .es/mem2000/superficies rficies http://www.math.com/ http://www .math.com/tables/algebra/c tables/algebra/conics.htm onics.htm http://www.cnice.mec http://www .cnice.mec.es/eos/Material .es/eos/MaterialesEducativos/me esEducativos/mem2000/conicas/port m2000/conicas/portada ada http://www.cnice.mec http://www .cnice.mec.es/programa/mat .es/programa/mates.htm es.htm http://platea.pntic. http://pla tea.pntic.mec.es/~jescuder mec.es/~jescuder/ / http://www.monografi http://www .monografias.com/Matematic as.com/Matematicas/ as/
En alguna de ellas, como por ejemplo http://www http://www.cnice.mec .cnice.mec.es/mem2000/sup .es/mem2000/superficies erficies pueden verse en movimiento las cu´ adricas y otras superficies (poliedros, superficies de revoadricas luci´on,...) on,...) y pueden modificarse los par´ametros ametros en el “applet” asociado (subprograma que genera la superficie) para comprobar c´ omo afectan a la representaci´ omo on gr´ on afica los cambios en afica los coeficientes de las variables.
Matem´aticas I.
23
20 10 -2 01 1
24
Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas. A modo mo do de resum´en en en lo que a cu´ adricas se refiere: adricas Completando cuadrados, con cambios de variables de la forma X = x Y = y Z = z
− α, − β, − γ,
podemos reducir una ecuaci´ on de segundo grado en tres variables, (x,y,z on (x,y,z), ), en la que no aparezcan productos cruzados (xy,xz,yz (xy,xz,yz), ), a una ecuaci´ on de los tipos considerados on al inicio, es decir a una ecuaci´ on en la que a lo sumo hay un sumando en cada una de on las variables (X,Y,Z (X,Y,Z ). ). Las cu´ adricas regladas son: adricas
• el cono, • el hiperboloide de una hoja, olico y • el paraboloide hiperb´olico cilindros ndros • los cili
adem´as as de los pares de planos y la recta (doble). Una ecuaci´ on de segundo grado en tres variables puede representar: on
Nada
Punto
x2 + 1 = 0
x2 + y 2 + z 2 = 0
Pares de planos,... Recta doble
Matem´aticas I.
− −
−
− −
Z
Y
Y
Cilindr Cili ndroo el el´´ıpt ıptico ico
Secantes, (x (x 3)(y 3)(y 2) = 0. Paralelos, (x (x 3)( 3)(x x 4) = 0. Coincidentes, (x (x 3)2 = 0.
x2 + y 2 = 0
Cilindros Z
Z
x2 y 2 + 2 =1 2 a b X
Par de planos
y 2 = 2 p z X Cilindro Cilin dro parab´ olico olico
Y X
y2 a2
−
x2 =1 b2
Cilindro Cili ndro hiperb´ olico olico
24Ingeni Ing enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
1.2.-Las cu´adricas.
25 x2 y2 z2 + + = 1. a2 b2 c2
Z
c a
b
Y
X
−
z2 =1 c2
x2 a2
Z Y X
y2 b2
− −
z2 =1 c2
2
Cono
V´ ertice: O. ertice: Secciones con planos paralelos al plano X Y : elipses (o un punto). Secciones con planos paralelos al plano X Z ´o Y Z : hi hip´ p´erb er b ola olas. s. Simetr´´ıa: respecto a los planos y ejes coordenados. Simetr Centro (de (d e simetr sim etr´´ıa): Origen de coordenad co ordenadas. as. Es de revoluci´on on si a = b.
Y X
Z
x2 y2 z= 2 + 2 a b Y
O Z
Parabo Para boloi loide de el´ ıp tico ıptic o
Eje del parabol paraboloide oide:: OZ variable que aparece con grado uno. V´ ertice: Origen de coord ertice: coordenadas. enadas. Secciones con planos paralelos al X Y : elipses (o un punto o nada). Secciones con planos paralelos al plano X Z ´o Y Z : par´abolas. abolas. Simetr´ıa ıa resp respecto ecto a los planos XZ e Y Z y al eje OZ . z=
Y
Matem´aticas I.
Hip erboloi Hiperb oloide de el el´ ´ıpt ıptico ico (o de dos hojas)
Eje del hiperboloide: variable con coeficiente positivo. No hay corte con el plano coordenado perpendicular al eje. Secciones con planos paralelos al plano X Y ´o X Z : hi hip´ p´erb er b ola olas. s. Secciones con planos paralelos al Y Z : elipses (o un punto o nada). Simetr´´ıa respecto Simetr r especto a los ejes y los planos coordenados. coord enados. Centro: Origen de coordenadas. x2 y2 z = 2 + 2 a b Eje del cono: OZ .
Z
X
Hiperboloide hiperb´ Hiperboloide olico olico (o de una hoja)
Eje del hiperboloide: variable con coeficiente negativo. Secciones con planos paralelos al plano X Y : elipses Secciones con planos paralelos al plano X Z ´o Y Z : hi hip´ p´erb er b ola olass Simetr´´ıa respecto Simetr r especto a los ejes y los planos coordenados. coord enados. Centro: Origen de coordenadas. Es de revoluci´on on si a = b.
Y
X
X
Secciones con plano Secciones planoss paral paralelos elos a los coordenados: coordenados: Elipse Elipses. s. Simetr´´ıa respecto a los planos y ejes coordenados. Simetr Centro (de (d e simetr sim etr´´ıa): Origen de coordenad co ordenadas. as. Es de revoluci´on on si dos de los coeficientes a, b y c son iguales. Es una esfera si a = b = c. x2 y2 + 2 a2 b
Z
Elipsoide
− xa
2
2
+
y2 b2
Paraboloide hiperb´ olico olico
Eje de sim simetr´ etr´ıa: ıa: OZ . Simetr´ıa ıa resp respecto ecto a los planos XZ e Y Z . Secciones con planos paralelos al X Y : hip´erbolas erb olas (o dos rectas). Secciones con planos paralelos al plano X Z ´o Y Z : par´abolas. abolas.
25
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26
Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
1.3.- Ejercicios. Ejercicio 1. o n de la par´ on abola de eje horizontal que tiene por foco F = ( 2, 3) y abola (1) Calcula la ecuaci´ pasa por el punto ( 1, 3).
−
−
(2) Calcula la ecuaci´on on de la elipse que pasa por el punto P = (4 (4,, 15 ) y tiene por focos los 4 puntos F 1 = (4 (4,, 2) y F 2 = ( 2, 2). Determina sus elementos notables y dib´ ujala. ujala.
−
(3) Calcula la ecuaci´on on de la hip´erbola erbola que tiene por v´ertices ertices los puntos (1 (1,, 2) y (1, (1, 6) y pasa por el punto (3, (3, 8). Ejercicio 2. Indica la respuesta correcta: (1) La ecuaci´ on y 2 on
− 6x − 4y − 20 = 0 corresponde a: Una par´abola ab ola cuyo v´ertice ertic e es V = (−4, 2). Una par´abola abola cuyo eje es la recta de ecuaci´ on y = on
−4.
Dos rectas que se cortan en un punto. on 5x2 + y 2 = 1 corresponde a: on (2) La ecuaci´ Una elipse con focos en el eje de abscisas. Una elipse con focos en el eje de ordenadas. Una hi hip´ p´erbo er bola la..
(3) La cu´adrica adrica x2
−y
2
+ z2 + 4y 4y + 6z 6z + 13 = 0 verifica:
Tiene por centro C = (0 (0,, 2, 3).
−
Contiene a la recta x
− 1 = y − 2, z = 4.
No tiene centro. onica onica Ejercicio 3. Completa cuadrados en las siguientes ecuaciones y determina: el tipo de c´ que es, sus elementos notables y su representaci´ on gr´ on afica: afica: 3y 2 + x + 5y 5y + 1 = 0. (1) 3x2 + 3y
(2) 3x2
− 3y
2
+ x + 5y 5y + 1 = 0.
5y + 1 = 0. (3) 3y 2 + x + 5y
Ejercicio 4. Determina, seg´ un los valores de α un cada una de las ecuaciones siguientes: (α2 (1) 2x2 + (α
∈ R, el tipo de c´onica onica que corresponde a
2
1)yy − 2x + (α (α − 1) 1)yy − 3 = 0. − 1) (2) x + αy + x + 2y 2y + α − 1 = 0. (α − α)y − 2x − 4y + 2 = 0. (3) αx + (α 2
2
2
2
Matem´aticas I.
2
26Ingeni Ing enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
1.3.- Ejercicios.
27
Ejercicio 5. Determina, si existen, los valores de α R para los que la siguiente ecuaci´ on on corresponde a una circunferencia o a una hip´erbola erbola equil´ atera
∈
2x2 + αy 2
− 6x + 3y 3 y + α = 0.
Ejercicio 6. Sea L una recta del plano y F un punto que no est´ Ejercicio a en la recta. Tomando como eje OY la recta L y como eje OX la recta perpendicular a L que pasa por F F ,, determina la ecuaci´ ecuac i´on on del lugar geom´etrico etric o de los puntos P para los que el cociente entre su distancia a constante te e > 0, F y su distancia a L es constan d (P, F F )) = e. d (P, L) Comprueba que:
(a) Si e = 1 dicho lugar luga r geom´etrico etrico es una par´ abola. abola. luga r geom´etrico etrico es una elipse. (b) Si 0 < e < 1 dicho lugar
(c) Si e > 1 dicho lugar geom´etrico etric o es una hip´erbola. erb ola. En cualquiera de los casos se trata de una c´ onica y se dice que e es su excentricidad y que onica abola, la directriz y abola, L y F son su directriz y su foco respectivamente. En el caso de la par´ el foco son unicos. u ´ nicos. Para la elipse y la hip´erbola erbola hay dos parejas fo co-directriz. on anterior nunca se obtiene una circunferencia, aunque Observaci´ on. Notemos que con la definici´on on. ´esta esta pueda obtener obtenerse se como un caso l´ımite. Siend Siendoo p = d(F, L) la distancia del foco a la directriz, + tomando q = pe constante, cuando e 0 (y p = qe + ) las elipses correpondientes tienden a la circunferencia con centro el foco y radio q .
→
→ ∞
(x, y ) la ecuaci´ o n de la c´ on onica que en onica Ejercicio 7. Determinar en coordenadas cartesianas (x, coordenadas polares (r, (r, θ) viene dada por r=
p . 1 + e cos( cos(θθ)
Determina, Deter mina, en funci´on on de e, el tipo de c´onica onica que se obtiene y sus elementos notables.
Completa ta cuadrados en las siguientes siguientes ecuaciones y determina: el tipo de cu´ adriEjercicio 8. Comple Ejercicio ca que es, sus elementos notables y su representaci´ on gr´ on afica: afica:
(1) x2 + 3y 3y 2 + z2 + 2x 2x + 5y 5y (2) 3x2 + y 2
−z
2
− 2z + 1 = 0.
+ x + 2y 2y + 2z 2z + 1 = 0.
4y + 3z 3z (3) x2 + y 2 + x + 4y
(4) x2 + y 2 (5) x2 + y 2
− 1 = 0. + x + 4y 4y − z − 1 = 0. + x + 4y 4y − 1 = 0.
Matem´aticas I.
2
27
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28
Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
(6) x2 (7) x2 (8) x2
2
− 1 = 0. + x + 4y 4y + 3z 3z − 1 = 0. − y + x + 4y 4y + z − 1 = 0. −y
+ x + 4y 4y
2
on de las cu´adricas on adricas siguientes: Ejercicio 9. Determinar la ecuaci´ z z (1,, 3, 2) (1 (1,, 3, 2) (1
(1)
(2)
y
(1,, 3, 0) (1
(1,, 3, 0) (1
x
x (1,, 1, 0) (1
(1,, 1, 0) (1
(2, 3, 0)
Ejercicio 10. Determina, seg´ un los valores de α un a cada una de las ecuaciones siguientes: (α2 (1) 2x2 + (α
1)yy − 1)
2
y
+ z 2 + 2x 2x + 5y 5y
(2, 3, 0)
∈ R, el tipo de cu´adrica adrica que corresponde
− 2z + 1 = 0.
2y + (α (α (2) x2 + αy 2 + x + 2y
(3) αx2 + (α ( α2
− α)y
2
1)zz + 1 = 0. − 1) + α z + x + 4y 4y − 1 = 0. 3 2
Ejercicio 11. Considera la elipse de ecuaci´ on x2 + 4y on 4 y 2 = 4 en el plano OX Y Y .. Determina las ecuaciones de la par´abola abola del plano OX Z que tiene como v´ertice ertic e el punto pu nto (0 ( 0, 0, 8) y pasa por los v´ertices ertices del semieje may mayor or de la elipse dada. dada .
Ejercicio 12. Esboza y parametriza la curva determinada por la intersecci´ on de las siguientes on superficies : (1) El plano y
2
− z + 2 = 0 con el cilindro x
(2) El hemi h emisfe sferio rio esf´erico eri co x2 + y 2 + z2 = 4, z
+ y 2 = 1. 2
≥ 0, con el cilindro x
+ (y (y
− 1)
2
= 1.
(3) El cono x2 + y 2 = z 2 con el plano 3z 3z = y + 4. 2y 2 y z = 5 (4) Los paraboloides z = 2x2 + 2y
Matem´aticas I.
2
2
− 3x − 3y .
28Ingeni Ing enier er´´ıa ıas: s: Aer Aeroe oespa spacia cial, l, Civil Ci vil y Qu´ımica ımic a
1.4.- Ap´endice: MATLAB.
29
1.4.1. 4.- Ap´ endice: endi ce: MA MATLA TLAB. B. Aunque las posibilidades de las que dispone MATLAB para representar curvas y superficies superan, con mucho, las posibilidades de lo que podemos considerar ahora, no s´ olo olo en cuanto a la extensi´ on, sino tamb on, tambi´ i´en en en cuan cuanto to a las herrami herramientas entas t´ecnicas ecnicas de las que disponemos, disponem os, a cont continua inuaci´ ci´ on describimos algunas de las funciones de MATLAB relacionadas on con el conte contenido nido del Tema 1. En t´erminos erminos generales, en lo que se refiere a represe representaci ntaci´ on ´ de curvas y superficies, hay esencialmente dos opciones/posibilidades que pueden referirse a distintos tipos de coordenadas (cartesianas, polares,...):
(i) Comandos/F Comandos/Funcione uncioness que parten de datos num num´´ericos ericos y a partir de ellos construyen construyen los puntos de la curva o superficie (ii) Comandos/Funciones que parten de expresiones simb´ olicas. Estos comandos olicas. comandos/funci /funciones ones comienzan con ez... Un poco de sintaxis: siendo MATLAB un entorno que trabaja, esenciamente, con matrices, las operaciones se refieren, habitualmente, a operaciones matriciales. Por ejemplo: x*y
denota la matriz producto de las matrices x e y (cuando sus dimensiones lo permiten), x^3
denota la potencia 3 de la matriz (cuadrada) x. Si tenemos que hacer operaciones sobre las entradas de una o varias matrices, cosa habitual a la hora de generar datos, necesitamos anteponer un punto (.) a la op operaci´ eraci´on on corr corresespondiente. Por ejemplo: x.*y
denota la matriz que se obtiene multiplicando cada elemento de la matriz x con el correspondiente correspondi ente eleme elemento nto de y (para lo cual es necesario que las matrices x e y tengan las mism mismas as dimens dimensiones), iones), x.^3
denota la matriz que se obtiene elevando a 3 cada uno de los elementos de matriz (cuadrada o no) x. Para la lass oper operaci acion ones es qu quee es est´ t´ an defi defini nidas das el elem emen ento to a el elem emen ento to (s (sum uma, a, prod product uctoo por un n´umero, umero, ...) no es necesario anteponer el punto y, de hecho, si se hace da un mensaje de error. Por otra parte, para indicar a MATLAB que una expresi´ on es simb´olica, on olica, y no se refie refiere re a expresiones num´ ericas previamente consideradas, se utilizan comillas simples. Por ejemplo, ericas 2 para indicar 3x 3x 2 co cos( s(yy ) + xy se hace mediante ’3*x2 -2*cos(x)+x*y’ y para almacenar esta expres expresi´ i´ on como una funci´ on on f se utiliza inline on
−
f=inline(’3*x^2-2*cos(x)+x*y’).
Matem´aticas I.
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30
Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
Pasamos a describir c´ omo obtener, usando MATLAB, la representaci´ omo on gr´ on afica de curvas afica (en el plano y en el espacio) y superficies.
Curvas Planas. asica es plot(x,y) siendo x e y vectores reales con la misma (a) PLOT PLOT. La sintaxis b´asica longitud. Mediante dicha orden se representa la curva que se obtiene al unir los puntos que tienen como coordenadas las correspondientes componentes de los vectores x e y . Comprueba el resultado que se obtiene mediante las siguientes ´ordenes: ordenes: >> >> >> >>
x = [0 [0:0 :0.1 .1:2 :2]; ]; y = x.^2; plot(x,y plot (x,y) ) plot(x,y,’or’) plot(x,y, ’or’)
y consulta la ayuda sobre dicha orden plot para ver las distintas opciones sobre: tipo de d e l´ınea, color, ejes, marc marcas as en los ejes, t´ıtulos, datos complejos, distintas di stintas curvas en la misma gr´ afica,..... afica,... Por otra parte, para dibujar usando plot una curva descrita mediante expresiones simb´olicas olicas en un cierto int interv ervalo, alo, basta con generar los datos num num´´ericos ericos correspondientes. Por ejemplo, para dibujar el arco de la elipse cos( s(tt), x = 2 co sen(t), y = sen(t que est´ a en el segundo cuadrante basta con obtener una partici partici´ on ´ del intervalo [ π2 , π ] de variaci´on on de t que permite recorrer el arco considerado, por ejemplo >> t=[ t=[pi/ pi/2: 2: 0.0 0.01 1 :pi :pi]; ];
generar a continuaci´ on los datos on dato s num´ericos ericos de las coordenada coordenadass de los puntos correspondientes de la curva, >> x=2* x=2*cos( cos(t); t); >> y=si y=sin(t) n(t); ;
y dibujar los puntos correspondientes con las opciones deseadas en cuanto a ejes, tipo de linea para unir los puntos considerados, etc. Por ejemplo, >> plot plot(x,y (x,y,’b’ ,’b’), ), axis equa equal l
Notemos que en lo que se refiere a la partici´ on del intervalo de variaci´ on on de t, on si consideramos muy pocos valores de t, tendremos pocos puntos de la curva correspondiente y la gr´ afica que se obtiene al unir los puntos se parecer´ afica a poco a la que pretendemos obtener. on ezplot permite reprsentar gr´ aficamente curvas planas que aficamente (b) EZPLOT EZPLOT. La funci´on pueden venir definidas defin idas a trav´ es de expresiones simb´ es olicas:
expl´ pl´ıci cita ta mediante una expresi´ en forma ex on y = f on f ((x). Por ejemplo la orden >> ezplot(’sq ezplot(’sqrt(1-x^2)’, rt(1-x^2)’,[-0.5,1]) [-0.5,1])
√ −
dibuja la gr´afica afica de y = 1 x2 cuando la variable independiente x recorre el intervalo [ 0.5 0.5,, 1]. Es decir, dibuja un arco de la circunferencia x2 + y 2 = 1 de centro el origen de coordenadas y radio 1.
−
Matem´aticas I.
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1.4.- Ap´endice: MATLAB.
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mpl´ l´ıcita mediante una ecuaci´ en forma imp on f on f ((x, y ) = 0. Por ejemplo la orden >> ezplot(’x^ ezplot(’x^2+y^2-1’,[2+y^2-1’,[-0.5,1,-2,1]) 0.5,1,-2,1])
dibuja la gr´afica afica dada por la ecuaci´ on x2 + y 2 on
− 1 = 0 en el rect´angulo angulo {(x, y ) : −0.5 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 1} .
en forma pa para ram´ m´ et rica etri ca mediante expresiones x = x(t), y = y (t),
a
≤ t ≤ b.
La orden ezplot(x(t),y(t),[a,b]) dibuja la curva dada por las expresiones consideradas cuando el par´ ametro t recorre el intervalo [a, ametro [a, b]. Por ejemplo, la orden >> ezplot(’co ezplot(’cos(t)’,’sin( s(t)’,’sin(t)’,[-pi/3,pi]) t)’,[-pi/3,pi])
dibuja el arco que se obtiene de la circunferencia unidad, sobre la cual est´ an an los puntos (cos(t (cos(t), sen( sen(tt)), cuando el angulo a´ngulo t recorre el intervalo dado.
(c) Consular la ayuda sobre las ´ordenes ordenes polar, ezpolar referidas a la representaci´ on on de curvas planas dadas en forma polar y sobre fplot referida a la representaci´ on on gr´afica afica de una funci´ on ex on expl´ pl´ıcit ıc itaa y = f f ((x). Curvas en el espacio. aloga a la orden plot. aloga (a) PLOT3 PLOT3 Es, para el espacio real tridimensional, la orden an´ La sintaxis b´asica asica es plot3(x,y,z) siendo x,y,z vectores de la misma longitud. Consulta la ayuda sobre plot3 para ver las distintas opciones y comprueba el resultado que se obtiene mediante las ´ordenes: ordenes: >> >> >> >> >> >> >> >>
x = [0 [0:0 :0.1 .1:1 :1]; ]; y = [-1 3 7 2 4 0 -2 3.5 2 -3 6]; z = xx-2* 2*y. y.^2 ^2; ; plot3(x, plot 3(x,y,z) y,z) plot3(x,y,z,’r*’) plot3(x,y, z,’r*’) plot3(x,y,z,’bo-.’) plot3(x,y, z,’bo-.’) plot3(x,y,z,’kd:’) plot3(x,y, z,’kd:’) plot3(x,y,z,’cs’) plot3(x,y, z,’cs’)
Por otra parte, para dibujar, usando plot3, una curva descrita mediante expresiones simb´olicas olicas en un cierto int interv ervalo, alo, basta con generar los datos num num´´ericos ericos correspondientes. Por ejemplo: para dibuja dibujarr la h´elice elice c´ onica dada por las ecuaciones onica sen(tt) x = t sen( cos(tt) y = t cos( z=t cuando t recorre el intervalo [0, [0, 4π ] basta con obtener una partici´on on del intervalo de variaci´on on de t, por ejemplo Matem´aticas I.
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas. >> t=[0:4*pi/ t=[0:4*pi/100:4*pi]; 100:4*pi];
generar los datos num´ericos ericos de las coordenadas co ordenadas de los puntos de la curv curva, a, >> x=t. x=t.*sin *sin(t); (t); >> y=t. y=t.*cos *cos(t); (t); >> z=t z=t; ;
y dibujar los puntos correspondientes con las opciones deseadas en cuanto a ejes, tipo de linea, color, ..., por ejemplo >> plot plot3(x, 3(x,y,z, y,z,’ro: ’ro:’), ’), titl title(’e e(’espir spiral al coni conica’) ca’)
para dibujar (el arco de) la par´ abola que se obtiene al cortar el paraboloide abola z = x2 + y 2 con el plano x + y = 0 cuando x recorre el intervalo [ 1, 3] basta con ejecutar las siguientes ordenes: o´rdenes:
−
>> >> >> >>
x=[-1:0.1:3] x=[-1:0. 1:3]; ; y=1-x; y=1 -x; z=x.^2+y z=x. ^2+y.^2; .^2; plot3(x, plot 3(x,y,z) y,z), , axis equa equal l
aloga a la orden (b) EZPLOT3 EZPLOT3. Es, para el espacio real tridimensional, la orden an´aloga asica es ezplot3(x,y,z) siendo x,y,z expresiones simb´ asica olioliezplot. La sintaxis b´ cas. Consulta la ayu ayuda da sobre ezplot3 para ver las disti distintas ntas opciones y comprue comprueba ba el resultado que se obtiene mediante las ordenes: o´rdenes: >> ezplot3(’ ezplot3(’cos(t)’,’si cos(t)’,’sin(t)’,’t’,[1,8* n(t)’,’t’,[1,8*pi]) pi]) >> ezplot3(’ ezplot3(’t*cos(t)’,’ t*cos(t)’,’t*sin(t)’,’t’,[ t*sin(t)’,’t’,[1,6*pi]) 1,6*pi])
on de curvas, la representaci´ on on de superficies on Superficies. Al igual que para la representaci´ puede abordarse desde dos puntos de vista: on a partir on pa rtir de datos num´ericos, erico s, MA MATLAB TLAB (a) desde el punto de vista de la representaci´ dispone de las siguientes ordenes: o´rdenes: SURFA SU RFACE CE, , MES MESH, H, SUR SURF, F, MES MESHC, HC, SU SURFC RFC, , MES MESHZ HZ, , WAT WATERF ERFALL ALL, ,
que tienen todas una sintaxis b´ asica similar a partir de tres matrices num asica num´´ericas ericas con las mismas dimensiones. Ejecutar las siguientes ´ordenes ordenes y comprobar X,Y,Z con X,Y,Z los resulta resultados: dos: >> >> >> >> >> >> >> >> >> >>
x=rand(7,4); x=rand(7 ,4); y=randn( y=ra ndn(7,4) 7,4); ; z=2*randn(7,4); z=2*randn (7,4); figure(1 figu re(1), ), surf surface( ace(x,y, x,y,z) z) figure(2 figu re(2), ), mesh mesh(x,y (x,y,z) ,z) figure(3 figu re(3), ), surf surf(x,y (x,y,z) ,z) figure(4 figu re(4), ), mesh meshc(x, c(x,y,z) y,z) figure(5 figu re(5), ), surf surfc(x, c(x,y,z) y,z) figure(6 figu re(6), ), mesh meshz(x, z(x,y,z) y,z) figure(7 figu re(7), ), wate waterfal rfall(x, l(x,y,z) y,z)
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1.4.- Ap´endice: MATLAB.
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No obstante, cuando se trata de representar una superficie dada, por ejemplo, mediante unas ecucio ecuciones nes para param´ m´etricas etric as x = f f ((s, t) y = g (s, t) , z = h(s, t) cuando los par´ ametros (s, ametros (s, t) recorren un determinado rect´ angulo [a, angulo [a, b] [c, d], podemos usar las ordenes o´rdenes anteriores, con todas las opciones que cada una de ellas acepta, generando los datos de la siguiente forma:
×
(1) partici´on on de cada uno de los intervalos de variaci´on on de los par´ ametros s y t. ametros Dividimos el intervalo [a, [a, b] en (n (n + 1) subintervalos de longitud (b (b a)/n y el intervalo [c, [c, d] en (m (m + 1) subintervalos de longitud (d (d c)/m mediante >> s= s=[a [a : a+ a+(b (b-a -a)/ )/n n : b] b]; ; t= t=[c [c : (d (d-c -c)/ )/m m : d] d]; ;
−
−
on de (las matrices asociadas al) mallado que permite obtener las (2) generaci´on coordenadas de los puntos de la superficie, >> [S,T]=mesh [S,T]=meshgrid(s,t) grid(s,t)
alculo de las matrices X,Y,Z asociadas a las coordenadas de los puntos de (3) c´alculo la superficie que queremos representar, >> X=f( X=f(S,T) S,T); ; >> Y=g( Y=g(S,T) S,T); ; >> Z=h( Z=h(S,T) S,T); ;
(4) dibujo de la superficie con alguna de las funciones apropiadas y opciones posibles, >> mesh mesh(X,Y (X,Y,Z), ,Z), axis squa square re >> surf surfc(X, c(X,Y,Z) Y,Z), , >> .. ... .
Consideremos, por ejemplo: El (trozo de) cono de ecuaci´ on z 2 = x2 + 2y 2 que se obtiene mediante la on parametrizaci´on on cos(tt) x = s cos( 1 sen(tt) y = 2 s sen( z=s cuando s recorre el intervalo [ 1, 2] y t recorre el intervalo [0, [0, π ]. >> >> >> >> >> >> >> >>
−
s=[-1:0.1:2] s=[-1:0. 1:2]; ; t=[0 t=[0:0.1 :0.1:pi] :pi]; ; [S,T]=meshgrid(s,t); [S,T]=mesh grid(s,t); X= S. S.* * co cos( s(T) T); ; Y=0.5*S.*sin(T); Y=0.5*S.*s in(T); Z= S; mesh(X,Y mesh (X,Y,Z), ,Z), axis squa square re surfc(X, surf c(X,Y,Z) Y,Z), , ... .. .
Comprueba Comprue ba los resu resultad ltados os que se obti obtiene enen n cuan cuando do se cons conside ideran ran dis distin tintos tos intervalos de recorrido de los par´ ametros s y t o particiones distintas de los ametros intervalos correspondientes. Matem´aticas I.
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
√
El trozo de cono dado por la ecuaci´ on ex on expl´ pl´ıcit ıc itaa z = x2 + 2y 2y 2 cuando (x, (x, y ) recorre el rect´ angulo [ 1, 2] [ 1, 1]. En este caso, tenemos la parametrizaci´ angulo on on asociada x=x y=y , 2y 2 z = f f ((x, y ) = x2 + 2y
− ×−
√
y po podemos demos obtener la representaci´on on gr´ afica median afica mediante: te: >> >> >> >> >> >>
x=[-1:0.1:2] x=[-1:0. 1:2]; ; y=[y=[-1:0. 1:0.1:1] 1:1]; ; [X,Y]=meshgrid(x,y); [X,Y]=mesh grid(x,y); Z= sqrt sqrt(X.^ (X.^2+2* 2+2*Y.^2 Y.^2); ); mesh(X,Y mesh (X,Y,Z), ,Z), axis squa square re surfc(X, surf c(X,Y,Z) Y,Z), , ... .. .
(b) Desde el punto de vista de expresiones simb´ olicas MATLAB cuenta con los coolicas mandos/funciones: EZMESH, EZME SH, EZME EZMESHC, SHC, EZSU EZSURF, RF, EZSU EZSURFC. RFC.
Para representar la gr´ afica de una funci´ afica on exp on expll´ıc ıcit itaa z = f f ((x, y ) de dos variables independientes, por ejemplo z = x2 y 2 , basta con ejecutar
−
>> ezmesh(’x^ ezmesh(’x^2-y^2’) 2-y^2’)
con las opciones que se deseen en cuanto a dominio de las variables. Para obtener una gr´ afica dada afica da da por unas ecuaciones ecua ciones param´etricas, etricas, por p or ejemplo ej emplo cos(tt) x = es cos( s sen(tt) y = e sen( log(tt2 + 1) z = s log(
−
basta con ejecutar >> ezmesh(’e ezmesh(’exp(s)*cos(t xp(s)*cos(t)’,’exp(s)*sin( )’,’exp(s)*sin(t)’,’s-log(1+t t)’,’s-log(1+t^2)’) ^2)’)
o bien >> >> >> >>
x=inline(’exp(s)*cos(t)’) x=inline(’exp(s)*cos (t)’) y=inline(’exp(s)*sin y=inline( ’exp(s)*sin(t)’) (t)’) z=inline(’s-log(1+t^ z=inline( ’s-log(1+t^2)’) 2)’) ezmesh(x ezme sh(x,y,z ,y,z) )
(c) Consultar la ayuda sobre los comandos CONTOUR, CONT OUR, CONTOUR3, CONTOUR3, CONTOURC, CONTOURC, CONTOURF, CONTOURF,
EZCONTOU EZCO NTOUR, R, EZCO EZCONTO NTOURF URF
referidos a la representaci´ on de una superficie a trav´ on es de sus curvas de nivel. es
Superficies particulares. Elipsoides. Dados el centro (x (x0, y 0, z 0) y los semiejes a,b,c de un elipsoide, (x
− x0)
2
+ a2 la funci´on on ELLIPSOID permite Matem´aticas I.
(y
− y0) b2
2
+
(z
− z0) c2
2
= 1,
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1.4.- Ap´endice: MATLAB.
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• represe representar ntar gr´ aficamente el elipsoide indicado mediante la orden aficamente ellipsoid(x0,y0,z0,a,b,c,N)
•
mediante la cual se genera la figura pero sin argumentos de salida y generar los datos, datos, [X,Y,Z]=ellipsoid(x0 [X,Y,Z]=el lipsoid(x0,y0,z0,a,b,c,N) ,y0,z0,a,b,c,N)
que permite p ermiten n represe representar ntar el elips elipsoide oide mediante mediante difere diferente nte posibilidades posibilidades de representaci´ on de superficies como on surf(X,Y surf (X,Y,Z), ,Z), mesh mesh(X,Y (X,Y,Z), ,Z), ...
con las cuales se pueden utilizar las distintas opciones relativas a ejes, coloreado,... Ejecutar las siguientes ordenes o´rdenes y comprobar los resultados >> >> >> >>
ellipsoid(-1 ellipsoi d(-1,2,1 ,2,1,1,2 ,1,2,3), ,3), axis equa equal l [X,Y,Z]= [X,Y ,Z]=elli ellipsoi psoid(-1 d(-1,2,1, ,2,1,1,2,3 1,2,3); ); mesh mesh(X,Y (X,Y,Z), ,Z), axis equ equal al ellipsoi elli psoid(-1 d(-1,2,1 ,2,1,1,2 ,1,2,3,50 ,3,50), ), axis equa equal l [X,Y,Z]= [X,Y ,Z]=elli ellipsoi psoid(-1 d(-1,2,1, ,2,1,1,2,3 1,2,3,50); ,50); mesh mesh(X,Y (X,Y,Z), ,Z), axi axis s equa equal l
Esferas. MATLAB dispone del comando SPHERE para generar la esfera unidad (centro en el origen de coordenadas y radio 1) con un n´ umero prefijado de caras umero caras.. Consultar la ayuda y ejecutar las siguientes ordenes o´rdenes >> >> >> >>
sphere(6) sphere(6 ) [X,Y,Z]= [X,Y ,Z]=sphe sphere(6 re(6); ); mesh mesh(X,Y (X,Y,Z) ,Z) sphere(3 sphe re(36) 6) [X,Y,Z]=sphere(36); [X,Y,Z]=s phere(36); meshc(X,Y, meshc(X,Y,Z) Z)
Superficies de rev Superficies revoluci´ oluci´ on. MATLAB dispone de la funci´on on CYLINDER que permite generar (dibujar directamente y obtener los datos para poder dibujar posteriormente con distintos comandos opciones) superficies de revoluci´ on alrededor del eje on y comprobar on OZ en la franja 0 z 1. Consultar la ayuda sobre dicha funci´ el resultado que se obtiene mediante las siguientes ordenes o´rdenes
≤ ≤
>> cyli cylind nder er([ ([0 0 1 0 2] 2]) ) >> [X, [X,Y,Z Y,Z]=c ]=cyli ylinde nder([ r([0 0 1 0 2]) 2]), , mes mesh(X h(X,Y, ,Y,Z) Z)
Sin embargo, no es ´esta esta la forma m´ as vers´atil as atil de generar una superficie de revoluci´on, on, sino que podemos utiliz utilizar ar las ecuacio ecuaciones nes param param´´etricas etricas que hemos obtenid obtenidoo cuando hemos considerado las superficies de revoluci´ on. Si, por ejemplo, tenemos on. una curva en el plano OY Z que viene dada por los puntos (0, (0, g (s), h(s)) cuando el par´ametro ametro real s recorre un cierto intervalo [a, [a, b], al girar un punto de dicha curva alrededor del eje OZ obtenemos los puntos de coordenadas (x,y,z (x,y,z)) dadas por cos(θθ) x = g (s) cos( sin(θθ) , y = g (s) sin( 0 θ 2π. z = g ( s)
| | | |
≤ ≤
es decir la superficie est´ a formada por los puntos de la forma (x = g (s) cos( cos(θθ), y = g (s) sin( sin(θθ), z = g (s))
|
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|
|
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|
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas. cuando s recorre el intervalo [a, [a, b] y θ recorre el intervalo [0, [0, 2π ] (o cualquier otro intervalo de longitud 2π 2π ). Utilizando el proceso descrito antes: on de cada uno de los inetrvalos de variaci´ on de los par´ on ametros s y θ. ametros (1) partici´on Dividimos el intervalo [a, [a, b] en (n (n + 1) subintervalos de longitud (b (b a)/n y el intervalo [0, [0, 2π ] en (m (m + 1) subintervalos de longitud 2π/m 2π/m mediante
−
> s= s=[a [a : a+ a+(b (b-a -a)/ )/n n : b] b]; ; th thet eta= a=[0 [0 : 2* 2*pi pi/m /m : 2* 2*pi pi]; ];
(2) generaci´on on de (las matrices asociadas al) mallado que permite obtener las coordenadas de los puntos de la superficie, > [S,T]=mesh [S,T]=meshgrid(s,the grid(s,theta) ta)
(3) c´alculo a lculo de las (matrices asociadas a las) coordenadas de los puntos de la superficie > X=abs(g(S) X=abs(g(S)).*cos(T); ).*cos(T); > Y=abs(g(S) Y=abs(g(S)).*cos(T); ).*cos(T); > Z=g( Z=g(S); S);
(4) dibujo de la superficie con alguna de las funciones apropiadas y opciones posibles, >> mesh mesh(X,Y (X,Y,Z), ,Z), axis squa square re >> surf surfc((X c((X,Y,Z ,Y,Z) )
Notemos que si en lugar de considerar un intervalo de amplitud 2π 2π, hacemos que o n gr´ on afica afica θ recorra un intervalo de amplitud menor, tendremos la representaci´ de una franja de la superficie de revoluci´ on. Ejecutar las siguientes ordenes on. o´rdenes y comprobar el efecto de considerar el valor absoluto en las variables X e Y Y :: >> >> >> >> >> >> >> >>
s=[1:0.1:5]; s=[1:0.1 :5]; t=[1:0.1:3*pi/2]; t=[1:0.1: 3*pi/2]; [S,T]=meshgrid(s,t); [S,T]=mes hgrid(s,t); X= abs( abs(sin( sin(S)). S)).*cos *cos(T); (T); Y= abs( abs(sin( sin(S)). S)).*sin *sin(T); (T); Z=S; Z= S; mesh(X,Y mesh (X,Y,Z), ,Z), axis square surfc((X surf c((X,Y,Z ,Y,Z) )
y ejecutar a continuaci´ on on >> >> >> >> >>
X= sin( sin(S).* S).*cos( cos(T); T); Y= sin( sin(S).* S).*sin( sin(T); T); Z=S; Z= S; mesh(X,Y mesh (X,Y,Z), ,Z), axis square surfc(X, surf c(X,Y,Z) Y,Z)
Ejemplo.En el ejercicio 6 hemos considerado la definici´ o n de una c´ on o nica definida por un foco y onica una directriz. Si adoptamos un sistema de coordenadas en el que el foco F es el origen de coordenadas y la directri directrizz L es la recta de ecuaci´ on x = p on on de la c´onica on onica que tiene p,, la ecuaci´ foco F = (0 (0,, 0), como directriz L x = p y como excentricidad e > 0 es, en coordenadas
≡
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−
−
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1.4.- Ap´endice: MATLAB.
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polares ((θ, θ, r ), cos(θθ)) r = e ( p + r cos(
≡
r=
1
−
q , siendo q = pe. cos(θθ) e cos(
Recordemos que, aunque no se pueda obtener de la ecuaci Recordemos ecuaci´´on on origina originall para ning´ un valor de onica correspondiente es una circunferencia. e > 0, si tomamos e = 0, q = 0, la c´onica En este ejemplo vamos a definir una funci´ on que dibuje, en funci´ on on de ciertos par´ on ametros ametros (argumentos de entrada), las c´ onicas que tienen como ecuaciones, en coordenadas polares onicas (θ, r ) q q y r = r (θ ) = r = r (θ ) = . 1 e cos( cos(θθ) 1 + e cos( cos(θθ)
−
Ya hemos descrito el foco y la directriz de la primera, la segunda c´ onica tiene por foco el origen de coordenadas y por directriz la recta x = p (q = pe ). Mediante dicha funci´ on, on, pe). teniendo como argumentos de entrada e la excentricidad, ametro q = pe relacionado con la excentricidad y con la distancia del foco a ametro q es el par´ la directri directriz, z, umero de subintervalos en los que se divide el intervalo [0, [0, 2π ] para obtener las n n´umero representaci represe ntaciones ones gr´ aficas, aficas, dibujaremos cada una de las dos c´ onicas de dos formas distintas: onicas primero mediante la orden polar que permi permite te rep represe resent ntar ar una curv curvaa con ecu ecuaci aci´ on ´ r = r (θ) en coordenadas polares y a continuaci´on on mediante la orden plot pasando a las correspondientes coordenadas cartesianas cos( s(θθ) x = r(θ) co 0 θ 2π. sen( n(θθ) y = r (θ) se
≤ ≤
Notemos que las anteriores expresiones nos dan una parametrizaci´ on de la c´onica onica correspondiente, aunque dicha parametrizaci´ o n es en general distinta de la descrita en el on ep´ıgra ıg rafe fe 2. Guardar el siguiente listado de instrucciones en un fichero con nombre conicafocal.m y alojado en la carpeta work .
%% Fich Fichero ero coni conicafo cafocal. cal.m m function conicafoc conicafocal(e,q,n) al(e,q,n) % % % %
e es la ex exce cent ntri rici cida dad d es la ex exce cent ntri rici cida dad d de la co coni nica ca q es la ex exce cent ntri rici cida dad d po por r la di dist stan anci cia a de del l fo foco co a la di dire rect ctri riz z n de deno nota ta el n\ n\’u ’ume mero ro de su subi bint nter erva valo los s en lo los s qu que e se di divi vide de el int interv ervalo alo $[0 $[0,2\ ,2\pi] pi]$ $
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Tema 1.- Conicas o´nicas y Cu´adricas. adricas.
if e<1 e<1 t1=’elip t1=’ elipse, se, ’; elseif else if e==1 t1=’para t1=’ parabola bola, , ’; else t1=’hipe t1=’ hiperbol rbola, a, ’; end t2= ’ e= ’; t3= ’ , q= ’; theta=[0:2*pi/n:2*pi]; r=q*ones(1,n+1)./(1r=q*ones(1 ,n+1)./(1-e*cos(theta)); e*cos(theta)); subplot(2,2,1) polar(theta,r) title( tit le([t1 [t1 t2 num num2st 2str(e r(e) ) t3 num num2st 2str(q r(q) ) ’, foc foco o (0, (0,0)’ 0)’ ’, dir direc ectri triz z x=x=-q/ q/e.’ e.’ ]); pause subplot(2,2,2) plot(r.* plot (r.*cos( cos(thet theta),r a),r.*si .*sin(the n(theta)), ta)), grid grid, , axis equa equal l pause s=q*ones(1,n+1)./(1+e*cos(theta)); s=q*ones(1,n+1)./(1+ e*cos(theta)); subplot(2,2,3) polar(theta,s) pause subplot(2,2,4) plot(s.* plot (s.*cos( cos(thet theta),s a),s.*si .*sin(the n(theta)), ta)), grid grid, , axis equa equal l title( tit le([t1 [t1 t2 num2str( num2str(e) e) t3 num num2st 2str(q r(q) ) ’, foc foco o (0,0)’ (0,0)’ ’,
dire di rectr ctriz iz x= x=q/e q/e.’ .’ ]);
A continuaci´ on, en la linea de comandos de MATLAB, teclea, por ejemplo, las siguientes on, instrucciones pulsando una tecla cada vez que se genera una gr´ afica : afica >> >> >> >>
conicafocal(0.8,2,100) conicafocal(0.8,2,100 ) conicafocal(0.1,2,100 conicafoca l(0.1,2,100) ) conicafocal(1,2,100) conicafoca l(1,2,100) conicafocal(4,2,100) conicafoca l(4,2,100)
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